Аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в конечных областях с угловыми точками границы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Меньшова, Ирина Владимировна

  • Меньшова, Ирина Владимировна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2013, Чебоксары
  • Специальность ВАК РФ01.02.04
  • Количество страниц 126
Меньшова, Ирина Владимировна. Аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в конечных областях с угловыми точками границы: дис. кандидат физико-математических наук: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела. Чебоксары. 2013. 126 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Меньшова, Ирина Владимировна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ФАДЛЯ-ПАПКОВИЧА. 9 ОСНОВЫ ТЕОРИИ

1.1 Решение для полуполосы с заданными на торце напряжениями

1.2 Решения для полуполосы с заданными на торце перемещения- 20 ми

1.3 Решения в прямоугольнике

1.4 Численные результаты

1.5 Выводы

2 ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ 63 КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ

И В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

2.1 Самоуравновешенная нормальная нагрузка на торцах полупо- 63 лосы и прямоугольника, распределенная по закону квадратной параболы

2.2 Квадрат под действием двух сил

2.3 Выводы

3 ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ 89 ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

3.1 Необходимые формулы

3.2 Полуполоса, защемленная по короткой стороне, сжатая двумя 93 сосредоточенными силами

3.3 Решение для защемленного прямоугольника

3.4 Передача нагрузки от поперечного стрингера к полосе

3.5 Выводы 103 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 111 ЛИТЕРАТУРА 112 ПРИЛОЖЕНИЕ

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Механика деформируемого твердого тела», 01.02.04 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в конечных областях с угловыми точками границы»

ВВЕДЕНИЕ

Теория упругости является основой инженерных методов расчета на прочность. Между тем, число имеющихся аналитических решений теории упругости незначительно. Не найдены аналитические решения в прямоугольнике, треугольнике и т.д., т.е. в конечных канонических областях с угловыми точками границы. Еще хуже обстоит дело в том случае, когда помимо угловых точек границы имеются точки смены типа граничных условий, разрывы сплошности и другие сингулярности.

Интерес к решениям краевых задач теории упругости в областях с угловыми точками границы, в частности, в прямоугольнике (полуполосе), не утихал никогда (последний обзор 2003 года [135] содержит более 700 ссылок на наиболее существенные работы по бигармонической проблеме за почти 200 лет).

В 1940-1980 годы интерес к этой проблеме разгорелся с новой силой. В эти годы было опубликовано несколько тысяч работ, в основном советскими математиками и механиками. После этого заметных публикаций фактически не было. Можно выделить несколько направлений или школ, которые сложились в эти годы в Советском Союзе. Их представителями были крупнейшие , ученые тех лет. Ленинградская школа (Папкович П.Ф. [97, 98], Лурье А.И. [79], Гринберг Г.А. [33, 34], Джанелидзе Г.И., Прокопов В.К. [40, 99-103, 104], Костарев A.B. [69, 70], Гуревич С.Г. [36, 37], Нуллер Б.М. [95] и другие) и Московское направление (Гусейн-Заде М.И. [38-39], Лурье С.А., Васильев В.В. [139] и многие другие) в своих исследованиях опирались на, так называемое, соотношение ортогональности Папковича. Ростовская-на-Дону школа под руководством акад. Воровича И.И. использовала различные подходы к решению краевых задач в прямоугольнике. Отметим некоторые их работы: Ворович И.И. [20-22], Копасенко В.В. [20, 63, 64], Ковальчук В.Е. | [22], Устинов Ю.А., Юдович В.И. [111, 112]. Очень сильную украинскую

школу математиков и механиков (Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Гомилко

3

*

f

A.M., Мелешко B.B. [26-31, 35] и многие другие) отличал высочайший уровень исследований. Сильные и яркие работы публиковались в Докладах Азербайджанской, Армянской, Грузинской АН ССР. Отметим наиболее значимые работы зарубежных авторов: Benthem J.P. [116], Bogy D.B. [117], Brahtz J.N.A. [118], Dougall J. [119], Flügge W., Kelkar V.S. [120], Little R.W. [134, 80], Smith R.C.T. [137]. Одна из самых ранних работ принадлежит Shiff P.A. [138].

Однако точного решения бигармонической краевой проблемы в прямоугольнике все же найдено не было.

Аналитические решения теории упругости составляют ее фундамент. Поэтому построение новых аналитических решений двумерной теории упругости в канонических областях с угловыми точками границы является важной и актуальной задачей.

Цель работы:

- решения двумерных краевых задач теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах (формулы для перемещений и напряжений);

- примеры аналитических решений некоторых нерешенных краевых задач теории упругости для прямоугольных подкрепленных и защемленных по торцам пластин, а также для прямоугольных пластин с разрывами сплошности;

- исследование свойств аналитических решений в прямоугольнике; их особенности и принципиальные отличия от решений в областях с гладкой границей (математическая и физическая стороны задачи).

Метод исследования. Решения ищутся в виде разложений по функциям

Фадля-Папковича, которые появляются естественным образом при решении

краевой задачи в прямоугольнике методом разделения переменных. Функции

Фадля-Папковича не образуют базиса на отрезке, но они образуют базис на

4

римановой поверхности логарифма. Теория базиса этих функций, разработанная около 10 лет назад, послужила основой для решения краевых задач в прямоугольнике.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- впервые построены точные аналитические решения краевых задач теории упругости в прямоугольнике и получены формулы для напряжений и перемещений при различных граничных условиях на его сторонах;

- даны примеры аналитических решения некоторых известных краевых задач плоской упругости в прямоугольнике, точные решения которых ранее не были найдены;

- установлено, что решения краевых задач теории упругости в прямоугольнике не единственны и, следовательно, существуют нетривиальные решения при нулевых граничных условиях, представимые в виде разложений по функциям Фадля-Папковича и описывающие собственные (начальные, остаточные) напряжения в прямоугольнике.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математического аппарата, используемого в работе; предельными переходами к известным решениям; сравнением с решениями в нестрогой постановке.

Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что на основе полученных решений могут быть найдены решения более сложных задач (в том числе смешанных). Полученные решения могут стать основой для разработки теории остаточных напряжений. Методология получения решений в прямоугольнике может быть использована для построения аналитических решений в канонических областях другой формы.

Практическая значимость состоит в том, что найденные аналитические решения можно использовать в прочностных расчетах характерных для

5

аэрокосмической промышленности конструкций типа тонкостенных панелей, для определения НДС в многослойных массивах горных пород (плоская деформация), а также для определения остаточных напряжений различного происхождения.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- аналитические решения краевых задач теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах (готовые формулы) и методология их построения;

- примеры аналитических решений некоторых известных краевых задач теории упругости в прямоугольнике, точные решения которых ранее не были найдены;

- особенности аналитических решений двумерных краевых задач в конечных областях с угловыми точками границы, заключающиеся, прежде всего, в неединственности этих решений и, как следствие, в существовании собственных полей напряжений и перемещений, описываемых рядами по функциям Фадля-Папковича.

Апробация и внедрение результатов работы. Основные результаты и работа в целом докладывались и обсуждались: в научно-исследовательском, проектно-изыскательском и конструкторско-технологическом институте оснований и подземных сооружений им. Н.М. Герсеванова (Москва, 2013); в Институте прикладной механики РАН (Москва, 2013); на Общеуниверситетском научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет им. B.C. Черномырдина» (Москва, 2012); на XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 22-31 мая 2013); на семинаре по механике деформируемого твердого тела при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

6

(Чебоксары, 2013); на Международной научно - практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий» (Чебоксары, 12-15 августа 2013); на VII региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов, ученых и специалистов «Наука, экономика общество» (Воскресенск, 28 апреля 2013).

Диссертационная работа выполнялась при поддержке грантов РФФИ 09-05-00767, 13-08-00118.

Результаты диссертации внедрены в расчетную практику НПЦ «ЭКО-РЕСУРСЫ» (г. Губкин), что подтверждено справкой о внедрении.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 научных работ, включая 5 статей, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Структура диссертационной работы и объем. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основной части, заключения, списка использованной литературы (139 наименований), а также приложения, содержащего справку о внедрении результатов работы. Общий объем работы -125 страниц в том числе, 52 рисунка и графика, 1 таблица.

Первая глава служит теоретической основой двух последующих глав. В ней приводятся окончательные формулы, дающие аналитическое решение краевой задачи теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями, в том числе, с разрывами перемещений.

Вторая глава посвящена дальнейшему анализу результатов первой главы. Один из выводов, полученных в результате этого анализа, заключается в том, что угловая точка в конечной области устроена не так, как угловая

точка в вершине бесконечного клина (впервые внимание на это обратил акад. Е.И. Шемякин [114]). По этой причине, использовать решения для бесконечного клина в качестве асимптотических приближений для решений в окрестности угловых точек в конечной области нужно с осторожностью.

В третьей главе диссертации даются точные решения известных, нерешенных, прикладных краевых задач теории упругости о распределении напряжений в защемленных и подкрепленных пластинах в различных постановках.

Результаты численных расчетов помещены в конце каждой главы.

1. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ФАДЛЯ-ПАПКОВИЧА.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

1.1. Решение для полуполосы с заданными на торце

напряжениями

На примере первой основной краевой задачи для полуполосы

{П+ : х > 0,| у |< 1} со свободными продольными сторонами у = ±1 и заданными на торце х = 0 нормальным и касательным напряжениями формулируется суть проблемы и способ ее решения, разработанный в статьях [4762, 121-133]. Приводятся (частично полученные в упомянутых работах) проверенные, отредактированные и дополненные формулы для напряжений и перемещений, которые затем используются в диссертации для решения конкретных краевых задач. Обсуждается физическая природа описываемых этими формулами точных решений. Рассмотрена только симметричная относительно оси х деформация полу полосы.

Решения в полуполосе, записанные в виде разложений по функциям Фадля-Папковича, имеют такой вид (без элементарного решения Яе Хк < 0):

оо ^ — — —■

«х&у) = Т,аках{хк^у)е кХ + аках^у)е к=1

оо ^ — — —^

ау(х>у) = Иакау(хк>у)е кХ + акаУ^у)е **> к=1

оо — — —

Тху{Х>У)=Т,акТху(Хк>У)е кХ +акТху^У)е (1ЛЛ)

к=1

ОО — — —

и(х,у) = ^аки(\к,у)е**х +аки(\к,у)еЪх,

к=1

ОО — — —

к=1

где и (ж, у) — Си{х, у), у) = (?г>(ж, у), а ?/) и г>(ж, у) - соответственно продольное и поперечное перемещения, (7 - модуль сдвига.

Функции Фадля-Папковича в случае симметричной деформации полуполосы равны - коэффициент Пуассона):

ах{-Хк л) = + {(вт \ - \к сов Хк) соз \y-\y вт А^ зт \у}, ау {Хк'У) = + ^\{{8[пХк + Хк соз А^)соз А^ + \кувш\к зт Аку},

тху{Хк'У) = {1 +1*)>${С08\8*пХкУ ~ у (1Л-2)

и(\к,у)

ху

¡1 1 + м , , -Т~8тЛА;--^ХксозХк

у{хк>у) = хк с°8 \ +зЬ хк \у -Vз1п \ с°3

причем т ^,±1) = сг ^,±1) = 0, так что граничные условия по продольным сторонам полуполосы т = стДж, ±1^ = 0 выполняются ав-

008 \У - ^Г" вт Хк зт Аку,

1 + М

I оо

тематически. Числа Хк~ множество |±А^,±А^| = Л всех комплексных

> к=1

нулей целой функции

Х(А) = А + втЛсозЛ. (1.1.3)

Для определения точных значений Хк можно воспользоваться асимптотической формулой

7Г % 1

А, « (Атг--- еЛ + -1п(4Ьг - тг - е,), е, =-1п(4А;7г - тг). (1.1.4)

4 2 Л к 4Ьг

Удовлетворяя с помощью выражений (1.1.1) заданным на торце полуполосы нормальным с (у) и касательным т[у) напряжениям, приходим к

задаче определения коэффициентов из краевых разложений

_____V

= Е аках +аках (А*> у)'

к=1 (1.1.5)

оо _ — .

т(у) = Е актху (А*> у) + актху (А*> И • Л=1

Искомые коэффициенты разложений определяются отсюда в явном виде по той же схеме, что и в известных решениях Файлона-Рибьера в тригонометрических рядах, т. е. на основе использования биортогональных систем функций.

Общая схема решения краевых задач в прямоугольнике следующая.

1. Вначале изучаются разложения только одной функции по какой-либо одной системе функций Фадля-Папковича. К ней строится биортогональная система функций, с помощью которой находятся коэффициенты разложений. Полученные так разложения одной функции были названы [123] разложениями Лагранжа. Разложения Лагранжа являются аналогами разложений в тригонометрические ряды Фурье и играют такую же роль при определении коэффициентов разложений (1.1.5), какую ряды Фурье играют в классических решениях Файлона и Рибьера.

Соотношения биортогональности для систем функций Фадля-Папковича удается построить благодаря следующему обобщению классического понятия биортогональности. В основе классической теории базиса для заданной на отрезке | у \ < 1 системы экспонент лежит двойственность между классом целых функций экспоненциального типа равного 1 и классом функций аналитических в плоскости комплексного переменного х + гу, разрезанной по отрезку мнимой оси | у | < 1. Эта двойственность устанавливается преобразованием Бореля в классе целых функций экспоненциального типа [8, 13, 16, 24, 41, 43, 76, 78]. Определенные на отрезке | у |< 1 функции Фадля-Папковича можно рассматривать как обобщение систем экспонент, порождающее другой тип двойственности: между классом квазицелых функций экспоненциального типа равного 2 и классом функций аналитических и од-

нозначных в плоскости комплексного переменного х + iy, разрезанной по отрезку мнимой оси | у \ < 1 и по произвольному лучу, проведенному из начала координат1. Поэтому носитель искомой биортогональной системы функций есть совокупность упомянутых разрезов.

2. Рассмотрим систему функций ja^A^y)}^ ^. Явные выражения для

функций Хр{у) биортогональной к ней системы определяются по классической схеме, как решение уравнения

7 ax{\y)Xv{y)dy = )т , А^Л {v > 1), (1.1.6)

(Л2 - АI)

где

°х f) = /-О-М А — A cos Л) cos Ху — At/ sin A sin Л у} (1.1.7) порождающая функция. Принимая в (1.1.6) X — Хк, получим соотношение

биортогональности для рассматриваемой системы функций Фадля-Папковича

о

Понятие биортогональности включает также следующие равенства

оо

f *x(*k>vK(v№

—оо

Mk = cos xk = (1Л<8)

оо

/ ax(Xk,y)Xiy(y)dy

—оо

и (к, v - любые)

О'

(1.1.9)

оо --оо -

/ *х{\,у)ХиШу= I °х{\,У)Хи{у)йу = 0. (1.1.10)

—оо —оо

Для комплексных значений параметра А интегралы (1.1.6) - (1.1.10) в общем не существуют. Но их можно сделать существующими благодаря со-

' Такой тип двойственности устанавливается преобразованием Бореля в классе квазицелых функций экспоненциального типа [132], [50].

ответствующей деформации контура интегрирования. При этом целую порождающую функцию (1.1.7) нужно заменить целой функцией более общего вида (как это делается, например, в теории тригонометрических рядов)

аех{\,у) = (1 + /i)A{(sinA — Acos+ AzsinXe^z} (z = x + iy).(1.1.11) В частности, если в формуле (1.1.8) считать, что Re > 0, то интеграл берется по контуру, составленному из луча х < 0 и отрезка | у |< 1. Функции X (у) можно представить следующим образом

х$\> И"!' (1Л.12)

Похожие диссертационные работы по специальности «Механика деформируемого твердого тела», 01.02.04 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Меньшова, Ирина Владимировна

3.5. Выводы

В различных постановках получены точные решения краевой задачи теории упругости для защемленного по торцам прямоугольника. Рассмотрена задача о передаче нагрузки от поперечного стрингера к полосе. Все решения представляются в простой явной форме и имеют такую же структуру, как и решения Файлона-Рибьера, что весьма важно для использования полученных формул в инженерной практике.

Решения для защемленного прямоугольника (равномерная нагрузка) m := — - Коэффициент Пуассона

ЛЛ/W ^ т х J

Р := 1 а := 0.5 -полудлина прямоугольника (его ширина равна 2) Р

Р а - Давление статически эквивалентно Р/а k := 1,2. 50000

А" - Файл собственных чисел READPRN("zks-60000.prn") Хк := Ак ак := Re(Xk) bk Im(\k)

Мк := cos(Xk)2

Числа Уки Vlk, соответствующие аналитическому и периодическому продолжениям раскладываемой функции v(y) вне отрезка |у| < 1 l-m)-p -2 , (1 -m) p 2-(xk-cos(Xk) - sin(Xk)) uk := 0 vk :=-■--vlk --

2 (Xk)2 2 (l+m)(Xk)2.sin(Xk) д(р,а) := exp(p a - a-a) - exp(-pa - a-a) sx(p,a,x) := exp(p x - а-a) - exp(-p-x - a-a) p,a) := exp(p a - a-a) + exp(-p a. - a-a) cx(p,a,x) := exp(p x - а-a) + exp(-p x - a a) i 1-m . 1 +m Л (1 +m)-(p-y-sin(p)-sin(p-y)) и(Р.У) "•= I —sm(p) - ——p-cos(p) lcos(p-y) ---e ^ i 1 +m / ч ^ • , Л • / ч (1 +m) (p y sin(p) cos(p-y)) Х(Р'У) := I —-p-cos(p) + sin(p)J-sin(p-y) ---cx(p,y) := (sin(p)-p cos(p))-cos(p-y)-p-y-sin(p)-sin(p-y) cy(p,y) := (sin(p)+p-cos(p))-cos(p-y)+ p-y-sin(p)-sin(p-y) тху(р>у) := cos(p)-sin(p y)-y sin(p)-cos(p-y)

Расчетное сечение и количество взятых членов ряда

X := О у := -1,-0.99. 1 п := 100 ni := 500 п2 := 1000

Решение для бесконечной полосы

Рх(х,у) := -р т о"Ру(х,у) := -р

Up(x,y):= 0

Vp(x,y) :=

-(1 -ш)ру трХу(х,у) := о

Решение для прямоугольника (аналитическое продолжение v(y)) ni ч уп |,ní Л Ч vk Im(xks(\k,ak)cx(Xk,ak,x)) CTvx(x,y) := \ 2-Re crx(Xk,y)-—---¡—-^

Mk Im(xk.s(xk,ak).c(xk,ak)) k = 1

JJ rvy(x,y) := ^ k = 1

2-Re 7 у(Хьу)vk Im[xk- s(\k, ak) • cx(Xk, ak, x) ■ (\k)2] Mk(Xk)2 Im(xk-s(Xk,ak)c(Xk,ak)) ni

TvXy(x,y) := ^Г

2-Re к = 1 тх у(хьу)vk 1'п[>^- s(xk, ак)- sx(X|c, ак, х)-(Хк)] хкмк Im(x^s(xk,ak)c(xk,ak))

Uv(x,y) := £ к = 1

2-Re и(Хк,у)

Vk Im(xk- s(xk, ак)- Хк- sx(Xk, ак, х)) Мк-(Хк) lm(Xks(Xk,ak)c(Xk,ak))

Vv(x,y) := ^Г

2-Re к=1 V у^ у) Im(xk s(xk,ak)-cx(\k,ak,x)) мк Im(xk.s(xk,ak)-c(xk,ak))

Решение для прямоугольника (периодическое продолжение v(y))

CTvlx(x,y) := ^ п2 / Г 2-Re k= 1 V ч Vlk Im(xk-s(xk,ak)-cx(xk,ak,x))

TX(Xk,yj--•-/— /—-ч-г—

Mk lm(xk-s(xk,ak)c(xk,ak)j n2

CTvly(x,y) := ^ k = 1

2-Re o-y(X}c,y)vlk Im[xk- s(xic, ak)- cx(Xk, ak, x)- (Xk)2] Mk-(Xk)2 Im(xk-s(xk.ak)-c(xk,ak)) n2

TvlXy(x,y) := ^ k = 1

2-Re тху(Хк,у)vlk Im^- s (xk, ak) - sx (Xk, ak, x) • (Xk)] Mkxk Im(xk-s(xk,ak)-c(xk,ak)) ni

Uvl x,y) := £ k = 1

2-Re

U(Xk,y)vlk Im (Xk- s(xk, ak)- Xk- sx(Xk, ak, x)) Mk (Xk) Im (Xk- s (Xk, ak) • с (Xk, ak)) 1

Vvl(x.y) := £ ni f í 2-Re k = 1 V y(xk y) — Im (Xk- s ''cx 'ak'x))

Mk Imfvs^.aJ-cíXk^k))

GL3#2-2nPHMOyr2p.xmcd

106

Полное решение

Д(х,у) := ир(х,у) + иу(х,у)

Ш(х,у) := ир(х,у)+иу1(х,у)

Х(х,у) := Ур(х,у) + Уу(х,у)

VI(х,у) := Ур(х,у) + Уу1(х,у) о-х(х.у) := сгрхСх.у)+стух(х,у) о"1х(х,у) := стрх(х,у) + сту1х(х,у) сту(х,у) := стру(х,у) + стуу(х,у) сг1у(х,у) := сгру(х,у) + сту1у(х,у) тХу(х,у) := трху(х,у) + туху(х,у) т1Ху(х,у) := трху(х,у) + ту1ху(х,у)

У(х,у) У1(х,у)

•О.У

- 1

1.78 сту(х,у) <71у(х,у)

- 1.86

1.94"

Передача нагрузки от поперечного стрингера к полосе -j Коэффициент Пуассона

Elf"

К :=- Коэффициент, учитывающий соотношенние жесткостей стрингера и пластины

2-G-t 5 k := 1,2.50000

Д:= READPRN("zks-60000.prn") Ч "■= -Ak

Mk := cos(\k)2

St := I К + —----— 1 1-m Xk 1-m . 1+m ^ (1+m)(p-y-sin(p)-sin(py)) U(p,y) := ——sin(p) - ——p-cos(p) -cos(p y) - ---^-^^ 1+m . ^ . (1 + m)(p-y-sin(p)cos(py)) Х(Р>У) := | —J— P-cos(p) + sin(p) I sin(p-y) - *--x(P,y) := (1 + m) p [(sin(p) - p-cos(p)) cos(p y) - p-y-sin(p)-sin(p y)]

У(Р>У) := (1 +m) p [(sin(p) + p cos(p)) cos(p-y) + p y-sin(p)-sin(p-y)] 2

ТХУ(Р>У) := (1 +rn) p (cos(p)-sin(p-y) - y-sin(p) cos(p-y))

GL3#3 STRINGER P.xmcd

108

Производная от функции У(р,у) (в тексте обозначена штрихом) ргУ(р,у) := АУк — ы2

1 1

- + ш 2 2 соз(р)-р +

•совСр у) +1 ^ + ^-т |-у-8т(р-у)-5т(р) р2

Расчетное сечение и колличество взятых членов ряда п := 500 п1 := 1000 х := 0.002 у :=-1,-0.99. 1 р

Расчетные формулы для напряжений в пластине (опущен множитель —) и(х,у) := ^

2-Яе к = 1 и(хьу)

Мк(хк) хкх\ хк-хклук.1т1е >

XI

1т хк'8к)Л

У(х,у) := ^

2Яе к=1 V

У(Хьу) 1т(хкеХк'Х) ч мк 1т(хк-8к)

Л\ ; п1

2Яе к=1 V х(хк,у) 1т(хк е к ) Мк 1т(хк8к) у п 1

ТхУ(х,у) := ^ к = 1

2-Яе тху(хк,у)

Мк

Хк-Ч-АУк1"^ V

1т(хк8к) п1 к = 1

2-Яе сту(хк,у)

Мк-(Хк)2 1т(Хк-е к Х)

Хк-ХкАУк--/

1т(Хк8к) ,

С1 3#3 ЭТт^ЕИ Р.хтсс!

109

Напряжения и перемещения в сечении, расположенном вблизи стрингера

0.4т

0.321

-0.321

- 0.4^~

- 1 х(х>У)

0"у(х,у)

01- 3#3 БТтМСЕК Р.хтсс!

110

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены аналитические решения краевых задач теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах. Решения представляются в виде разложений по функциям Фадля-Папковича, коэффициенты которых определяются в явном виде.

2. Даны ранее неизвестные аналитические решения плоской задачи теории упругости для прямоугольника с поперечным и продольным разрывами сплошности.

3. Даны примеры аналитических решений краевых задач теории упругости для прямоугольника, защемленного по торцам и для пластин с ребрами жесткости, точные решения для которых не были построены.

4. Показано, что полученные в диссертации аналитические решения в прямоугольнике описывают собственные (начальные, остаточные) напряжения и перемещения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Меньшова, Ирина Владимировна, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Агарев В.А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. - Киев.: АН УССР, 1963. - 350 с.

2. Айтматов И.Т., Тажибаев К.Т., Казакбаева Г.О. Остаточные напряжения - фактор пространственной неоднородности естественных полей напряжений массивов горных пород и динамических проявлений горного давления / Третья тектонофизическая конференция в ИФЗ РАН. Тектонофи-зика и актуальные вопросы наук о Земле: Материалы докладов конференции 8-12 октября 2012 г. в 2-х томах. Т.1.М.: ИФЗ., 2012.- С. 19-24.

3. Айтматов И.Т. Роль остаточных напряжений в горных породах в формировании очага горных удар и техногенных землетрясений // Геодинамика и геоэкологические проблемы высокогорных регионов. - М., Бишкек, 2003.-С.209-221.

4. Анисимов В.Н. Взрывомагнитная деструкция кристаллических материалов (горных пород) различными импульсными динамическими воздействиями. - ВИА им. Н.Е. Жуковского, 2008. - 128 с.

5. Анисимов В.Н. К концепции малооперационной ресурсосберегающей технологии взрывной рудоподготовки железистых кварцитов при различных динамических волновых воздействиях // ГИАБ. - 2005. - №11. - С. 154-157.

6. Анисимов В.Н. Учет особенностей генезиса железистых кварцитов для разработки ресурсосберегающей технологии их рудоподготовки // ГИАБ. - 2002. - №5. - С. 166-169.

7. Анисимов В.Н. Влияние особенностей строения массивов и их генезиса на эффективность взрывной рудоподготовки железистых кварцитов // ГИАБ. - 2005. - №12. - С.139-146.

8. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965. -407с.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. 4.1 -М.: Наука, 1974. - 294с.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. 4.2. -М.: Наука, 1974. -295с.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1 -М.: Наука, 1969.-343с.

12. Бейтмен., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.2.

- М.: Наука, 1970. - 327с.

13. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. - М.: Мир, 1968. - 276с.

14. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. -М.: Наука, 1980. - 974с.

15. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. - М.: Наука, 1977. - 286с.

16. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.

- М.: Наука, 1964. - 267с.

17. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. - М.: Стройиздат, 1975. - 224с.

18. Влох Н.П., Липин Я.И., Сашурин А.Д. Исследование остаточных напряжений в крепких горных породах / В кн.: Современные проблемы механики горных пород. - Л.: Наука, Ленингр. отд., 1972. - С. 186 - 189.

19. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1988.- 512с.

20. Ворович И.И., Копасенко В.В. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. -1966. - Т.30. - Вып.1.- С. 109-115.

21. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Труды 2-го Всесоюз. съезда по теорет. и прикл. механике: Механика твердого тела. - М.: Наука, 1966. - С.116-137.

22. Ворович И.И., Ковальчук В.Е. О базисных свойствах одной системы однородных решений // ПММ. - 1967. - Т.31. - Вып. 5. - С.861-869.

113

23. Галаджиев C.B., Гоголева О.С., Коваленко M.Д., Трубников Д.В. Особенности напряженного состояния в конечных областях вблизи угловых точек границы // Механика композиционных материалов и конструкций. -2011. - Т.17. - №1. - С. 53-60.

24. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Физматгиз, 1959. - 439с.

25. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. - М.: Наука, 1967. - 375с.

26. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Асимптотика неизвестных при решении методом суперпозиции плоской задачи о продольной деформации упругой полосы // Прикл. механ. - 1988. - Т. 24. - Вып. 7. - С. 7783.

27. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Метод однородных решений в смешанной задаче для упругой полуполосы // Прикл. механ. -1990. - Т.26.- Вып. 2. - С. 98-108.

28. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О возможностях метода однородных решений в смешанной задаче теории упругости для полуполосы // Теор. и прикл. механ. - 1987. - Вып. 18. - С. 3-8.

29. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О методах однородных решений и суперпозиции в статических граничных задачах для упругой полуполосы // Прикл. механ. - 1986. - Т.22. - Вып.8. - С. 84-93.

30. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О методе Файлона разложения функций в ряды по однородным решениям в задачах теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - Вып. 4. - С. 48-53.

31. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О сходимости разложений по однородным решениям в плоской задаче для полуполосы с негладкими нагрузками// Прикл. механ. - 1989. - Т.25. - Вып. 4. - С. 76-82.

32. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. -М.: Машиностроение, 1980. - 416 с.

33. Гринберг Г.А. О методе, предложенном П.Ф.Папковичем для решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области и задачи изгиба прямоугольной тонкой плиты с двумя закрепленными кромками и о некоторых его обобщениях // ПММ. - 1953. - Т.17. - Вып. 2. - С. 211-228.

34. Гринберг Г.А., Покровский А.П., Уфлянд Я.С. О характере напряженного состояния упругой тонкой клиновидной плиты с закрепленной и свободной сторонами // Инж. Сб. - 1955. - Т. 22. - С. 193-198.

35. Гринченко В.Т., Улитко В.Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т.З Равновесие упругих тел конечных размеров. -Киев: Наукова Думка, 1985. - 385с.

36. Гуревич С.Г. Решение плоской задачи для прямоугольной области, загруженной по краям нормальными усилиями, и применение ее к расчету фланцевых соединений // Сб.: Прочность элементов паровых турбин. Л.: Машгиз. -1951.

37. Гуревич С.Г. К решению смешанной задачи для прямоугольной пластинки // Изв. Ленингр. электротехн. ин-та - 1958. - № 35. - С.239-251.

38. Гусейн-Заде М.И. О необходимых и достаточных условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. - 1985. - Т.29. - Вып.4. - С. 452-759.

39. Гусейн-Заде М.И. Об условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. - 1985. -Т.29. - Вып. 2. - С. 393-399.

40. Джанелидзе Г.И., Прокопов В.К. Метод однородных решений в математической теории упругости // Труды 4-го Всесоюз. Математического съезда. Т. 2. - М.: Наука, 1964. - С.551-557.

41. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 671с.

42. Диткин В.А. , Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М.: Физматгиз, 1961. - 524с.

43. Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. - М.: Наука, 1971. - 518с.

44. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. - М.: Наука, 1984. - 495с.

45. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. - М.: Мир, 1978. - 518с.

46. Китовер К.А. Об использовании специальных систем бигармони-ческих функций для решения некоторых задач теории упругости // ПММ. -1952. - Т. 16. - Вып. 6. - С. 739-748.

47. Коваленко М.Д. Биортогональные разложения по собственным функциям. 1 // Диф. уравнения. -1987. - Т. 23. - № 10. - С. 1764-1772.

48. Коваленко М.Д. Биортогональные разложения по собственным функциям.2 // Диф. уравнения. - 1987. - Т. 23. - № 11. - С. 1864-1873.

49. Коваленко М.Д. Биортогональные разложения в первой основной задаче теории упругости // ПММ. - 1991. - Т. 55. - Вып. 6. - С. 956-963.

50. Коваленко М. Д. О преобразовании Бореля в классе W квазицелых функций // Фундамент, и прикл. матем. - 2001. № 3. - С. 761-774.

51. Коваленко М. Д. Об одном свойстве биортогонального разложений по однородным решениям // Доклады РАН. - 1997. - Т. 352. - № 2. - С. 193-195.

52. Коваленко М. Д. Разложения Лагранжа и нетривиальные представления нуля по однородным решениям // Доклады РАН. - 1997. - Т. 352. -№ 4. - С. 480-482.

53. Коваленко М.Д., Галаджиев C.B., Гоголева О.С., Трубников Д.В. Особенности напряженного состояния в конечных областях вблизи угловых точек границы // Механика композиционных материалов и конструкций.-2011. - Т.17. - №1. - С.53-60.

54. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Шуляковская Т.Д. Разложения по функциям Фадля-Папковича. Примеры решений в полуполосе // Известия

РАН. Механика твердого тела. -2013. - №5. - С. 136-158.

116

55. Коваленко М. Д., Меньшова И. В. Разложения по функциям Фадля-Папковича в полуполосе // Статьи победителей конкурса внутриву-зовских грантов МГОУ 2011-2012 учебного года: сб. статей. - М. : Изд-во МГОУ, 2013.-С. 76-98.

56. Коваленко М. Д., Себряков Г.Г., Цыбин H.H. О некоторых свойствах системы однородных решений теории упругости // Доклады РАН. — 2003. - Т. 388. - № 2. - С. 193-196.

57. Коваленко М. Д., Себряков Г.Г., Шуляковская Т.Д. Особенности разложений по функциям Фадля-Папковича в полуполосе // Доклады РАН. -2012. - Т. 445. - № 5. - С. 525-528.

58. Коваленко М.Д., Себряков Г.Г., Цыбин H.H., Шуляковская Т.Д. Разложения по функциям Фадля-Папковича в задаче для полосы с разрезом // Доклады РАН. - 2008. - Т. 439. - № 6. - С. 763 - 766.

59. Коваленко М. Д., Цыбин H.H. Об одном интегральном преобразовании, применяемом в теории упругости // Доклады РАН. - 1999. - Т. 365. -№2.-С. 190-192.

60. Коваленко М. Д., Шибирин С. В. Полуполоса под действием сосредоточенной силы. Точное решение // Доклады РАН. -1997. - Т. 356. - № 6. - С. 763-765.

61. Коваленко М. Д., Шибирин С. В. Стык двух полуполос // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1997. - № 1. - С. 56-63.

62. Коваленко М. Д., Шуляковская Т. Д. Разложения по функциям Фадля-Папковича в полосе. Основы теории // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2011. - №5. - С. 78-98.

63. Копасенко В.В. Исследование алгебраической системы бесконечного порядка, возникающей при решении задачи для полуполосы // ПММ. -1968. - Т.37. - Вып. 4. - С. 715-723.

64. Копасенко В.В. Две задачи теории упругости для полуполосы // Изв. АН СССР. МТТ. - 1968.

65. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 542с.

66. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1980. - Т. 44. - № 5. - С. 1066-1114.

67. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. - 1981. -Т.36.-Вып. 1.-С. 73-126.

68. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. математич. - 1978. - Т. 42. - № 2. - С. 325-355.

69. Костарев A.B. Применение соотношений расширенной ортогональности к решению краевых задач теории упругости // Изв. АН АРМ. ССР. сер. Механика.- 1973. - Т. 26. - № 2. - С. 15-24.

70. Костарев A.B., Прокопов В.К. Соотношение расширенной ортогональности для некоторых задач теории упругости // ПММ. - 1970. - Т. 34. -Вып. 5.-С 945-951.

71. Кулиев В. Д., Меньшова И. В. Концентрация напряжений в угловых точках (антиплоская деформация) // Вестник МГОУ. - 2009. - № 3. - С. 94-112.

72. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. - М.: Физматлит, 2005.

719 с.

73. Кулиев В.Д., Бугаенко С.Е., Разумовский И.А. Разработка критериев проектирования многослойных материалов ИТЭР. Хрупкое разрушение многослойных материалов // В сб.: Термоядерный синтез. - М.: НИКИЭТ, 1998.

74. Кулиев В.Д., Бугаенко С.Е., Разумовский И.А. Хрупкая прочность многослойных материалов ИТЭР. Анализ особенностей НДС в зонах стыка разнородных материалов. 15th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology. - 1999. - Seoul, Korea.

75. Лаврентьев M.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: ГИФМЛ, 1958. - 678с.

118

76. Левин Б .Я. Распределение корней целых функций. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 632с.

77. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. - Л.: ГИФМЛ, 1963. - 358с.

78. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. - М.: Наука, 1976. - 536с.

79. Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. - 939с.

80. Литл. Р. Задача о полуполосе с заделанными краями// Прикладная механика. - 1969. - № 2. - С. 184-186.

81. Меньшова И. В. Напряженное состояние защемленной полосы // Вестник МГОУ. Техника и технология. - 2012. - №4. - С.73-79.

82. Меньшова И. В. Разложения по функциям Фадля-Папковича. Основные формулы // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Механика предельного состояния. - 2012. - №4(14). - С. 133-139.

83. Меньшова И. В. Передача нагрузки от поперечного ребра жесткости к полосе // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Механика предельного состояния. - 2012. - №4(14). - С. 140-146.

84. Меньшова И. В. Собственные напряжения в полосе // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2013. - Т. 19, №3. - С. 353-371.

85. Меньшова И. В. Разложения по функциям Фадля-Папковича в полуполосе (симметричная деформация) // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС, 2013), 22-31 мая 2013 г., Алушта. - М. : Изд-во МАИ, 2013. - С. 393-395.

86. Меньшова И. В. О собственных напряжениях в бесконечной полосе // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий : сб. ст. по мат-лам междун. научн.-практ. конф. (Чебоксары, 12-15 августа 2013 г.) : в 2 ч. Ч. 1. Механика твердого тела. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2013. - С. 192-197.

87. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. -М.: Мир, 1974. - 327с.

88. Мороз А.И. Самонапряженное состояние горных пород - М.:Изд-во Московского государственного горного университета, 2004. - 288 с.

89. Мороз А.И. Самонапряженное состояние горных пород как одна из возможных причин травматизма в глубоких шахтах // Безопасность труда в промышленности. - 2005. - №5. - С.ЗО - 33.

90. Мороз А.И. Одна из возможных причин самовоспламенения ме-танонасыщенного угля в условиях разгрузки // Безопасность труда в промышленности. - 2005. - №7. - С.65 - 68.

91. Мороз А.И. Репников Л.И., Механизм образования двух совмещенных систем напряжений в горной породе различного генезиса // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. - Т.П. - №2. - С.258 -265.

92. Муки Р., Стернберг Е. Передача сосредоточенной нагрузки от растягиваемого поперечного стержня к полубесконечной упругой пластине // Труды Американского об-ва инж.-мех. - 1968. - Т.35. - № 4. - Е.

93. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М - Л.: Изд. АН СССР, 1949. - 635 с.

94. Картозия Б.А., Мороз А.И. Возникновение самонапряженного состояния горной породы при разгрузке // Горный информационно- аналитический бюллетень - 2001. - №4. - С.5 - 9.

95. Нуллер Б.М. Контактные задачи для полос и прямоугольных пластинок, усиленных стержнями // ПММ. - 1975. - Т. 39. - Вып 3. - С.959-964.

96. Открытие № 162 РФ. Явление возникновения самонапряженного состояния горной породы, сформировавшейся под действием внешних сил // Репников Л.Н., Картозия Б.А., Мороз А.И. // Научные открытия. - М.: РАЕН, 2001.

97. Папкович П.Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит //

ПММ. - 1941.- Т. 5. - Вып. 3. - С. 359-374.

120

98. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Доклады АН СССР - 1940. - Т. 27. -№4.

99. Прокопов В.К. О соотношении обобщенной ортогональности П.Ф.Папковича для прямоугольной пластинки // ПММ. - 1964. - Т. 28. - Вып. 2.-С. 351-355.

100. Прокопов В.К. О соотношениях обобщенной ортогональности, имеющих приложения к теории упругости// Труды симпозиума по механ. сплошной среды и родств. проблемами анализа. Т.4. - Тбилиси: Мицниереба, 1973.-С. 206-213.

101. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям // Труды ЛИИ. - 1967. - № 279. - С. 31-46.

102. Прокопов В.К. Об одной плоской задаче теории упругости для прямоугольной области // ПММ. - 1952. - Т. 11. - Вып. 1. - С. 45-56.

103. Прокопов В.К. Однородные решения теории упругости и их приложения к теории тонких пластинок// Труды 2-го Всесоюзного съезда по тео-ретич. и прикл. механ. - М.: Наука, 1966. - С. 253-259.

104. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. -

493с.

105. Ребецкий Ю.Л. Механизм генерации остаточных напряжений и больших горизонтальных сжимающих напряжений в земной коре внутрипли-товых орогенов // Проблемы тектонофизики. К 40 -летию создания М.В.Гзовским лаборатории тектонофизики в ИФЗ РАН. - М.: изд.ИФЗ РАН, 2008.

106. Ребецкий Ю.Л. Механизм генерации тектонических напряжений в областях больших вертикальных движений // Физическая мезомеханика. — 2008. - Т.1. -№1.

107. Ребецкий Ю.Л. О возможном механизме генерации в земной коре горизонтальных сжимающих напряжений // Доклады РАН.-2008. -Т.423. -№4.

108. Ребецкий Ю.Л. О возможном механизме генерации горизонтальных тектонических напряжений/Шроблемы современной сейсмологии и геодинамики Центральной Азии. Материалы Всеросс. Совещания с международным участием. 18-24 сентября 2007, г. Иркутск ИЗК СО РАН.: Иркутское изд. ИЗК Со РАН, 2007.

109. Ревуженко А.Ф., Лавриков C.B., Клишин C.B. Структурно-неоднородный горный массив как среда с внутренними источниками и стоками энергии / Труды Междунар. конф. "Проблемы и перспективы развития горных наук" (1-5 ноября 2004 г.) в II т. - T.I. Геомеханика. - Новосибирск: Ин-т горного дела СО РАН, 2005. - С. 214 - 219.

110. Ставрогин А.Н., Ширкес O.A. Явление последействия в горных породах, вызванное предшествующей необратимой деформацией// ФТПРПИ. -1986. -№4.

111. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте элементарных решений биоортогонального уравнения в полуполосе // ПММ. - 1973. - Т. 37. - Вып.№. 3. - С. 706-714.

112. Устинов Ю.А. О полноте системы однородных решений теории плит // ПММ. - 1976. - Т.40. - Вып.З. - С. 536-543.

113. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. - Л.: Наука, 1967. - 402с.

114. Шемякин Е.И. О краевых задачах теории упругости для областей с угловыми точками (плоская деформация) // Доклады РАН. - 1996. - Т.347. -№3. - С.342-345.

115. Шерман Д.И. Об одной задаче теории упругости // Доклады АН СССР. - 1940. - Т. 27. - № 9. - С. 907- 913.

116. Benthem J.P. A Laplace transform method for the solution of semiinfinite and finite strip problems in stress analysis // Quart. J. Mech. and Appl. Math. - 1963. - Vol, 16, № 4. - P. 413-429.

117. Bogy D.B. Solution of plane end problem for a semiinfinite strip.// Z.

Angew. Math. phys. - 1975. - Vol. 26, № 6. - P. 749-769.

122

118. Brahtz J.N.A. The stress funchtion and photoelasticity applied to dams // Proc. of the American Soc. of civil end. - 1935. - V.61. - № 7. - P. 983-1020.

119. Dougall J. An analytical theory of the equilibriym of an isotopic plate // Trans. Roy. Soc. of Edinbourg. - 1904. - Vol 41, part. 1, № 8. - P. 143-197.

120. Flugge W., Kelkar V.S. The problem of an elastic circular cylinder // J. Solids Structures. - 1968. - Vol. 4, № 4. - P. 397-420.

121. Kovalenko M.D. Biorthogonal expansions in the first fundamental problem of elasticity theory // J. Appel. Math. Mechs. - 1991 . - Vol. 55, No. 6. -P. 836-843.

122. Kovalenko M.D. On a property of biorthogonal expansions in terms of homogeneous solutions //Physics-Doklady. - 1997. - Vol. 42, No. 1. - P.212 -215.

123. Kovalenko M.D. The Lagrange expansions end nontrivial representations in terms of homogeneous solutions // Physics-Doklady. - 1997. - Vol. 42, No. 2.-P. 212-216.

124. Kovalenko M.D. Biorthogonal expansions in eigenfunctions // Differential equations. - 1987. - Vol. 23, No. 10. - P. 341-351.

125. Kovalenko M.D. Biorthogonal expansions in eigenfunctions, (part 2.) // Differential equations. - 1987. - Vol. 23, No. 11. - P. 402-413.

126. Kovalenko M.D., Knyaz T.A. Borel transformation in the W-class of quasi-integral functions and its applications // 15-th World-Congress on scientific computation, modeling and applied mathematics. - 1997. - Vol.3. - P. 411-414.

127. Kovalenko M.D., Sebryakov G., Tsybin N. Some properties of the Set of homogenious solutions of the Elasticity Theory // Physics-Doklady. - 2003. Vol. 42, No. 1.-P. 351-353.

128. Kovalenko M.D., Sebryakov G., Tsybin N. Expansions in terms of the Fadle-Papkovich functions in the problem for a strip with a cat // Physics-Doklady. - 2008. - Vol. 53, No. 4. - P. 237-240.

129. Kovalenko M.D., Sebryakov G.G., Shulyakovskaya T. D. Features of Expansions in Fadke-Papkovich Functions in a Semistrip // Doklady Physics. -2012. - Vol. 57, No. 8. - P. 327-330.

130. Kovalenko M.D., Shibirin S.V. A half-strip under the action of concentrated force: an exact solution to the problem // Physics-Doklady. - 1997. - Vol. 42, No.10. - P. 289-294.

131. Kovalenko M.D., Shibirin S.V. A junction of two semistrips // Mechan. of solids. - 1997. Vol. 32. - P. 45-51.

132. Kovalenko M.D., Shulyakovskaya T.D. Expansion in Fadle-Papkovich Functions in a Strip. Theory Foundations // Mechanics of Solids. -2011. - Vol. 46, No. 5. - P. 721-738.

133. Kovalenko M.D., Tsybin N.N. On an integral transform used in Elasticity Theory // Physics-Doklady. - 1999. - Vol. 44, No. 3. - P. 301-306.

134. Little R.W. Semi-infinite strip problem with built in edges // Trans. ASME. - ser. E. - 1969. - Vol. 36, № 2.

135. Meleshko V.V. Selected topics in the history of two-dimensional bi-harmonic problem // ASME report No AMR 341/ Appl. Mech. Rev. #1. - 2003. -P. 33-85.

136. Pfluger A. Uber eine Interpretation gewisser konvergenz - und Fortsetzungseigenschaften Dirichletscher Reichen // Comment. Math. Helv. -1935/36.-Vol. 8.-P. 89-129.

137. Smith R.C.T. The bending of a semi-infinite strip // Australian J. of Scientific Res. - 1952. - Vol. 5. - P. 227.

138. Shiff P.A. Sur L'equilibre d'un cylinder d'elastique // I. Math, pures et apple. - 1883.-T.3.-serie III.

139. Vasiliev V.V., Lurie S.A. The biharmonic problem in the theory of elasticity. Gordon and Breach. Amsterdam. - 1995.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.