Анализ составных симплектических методов и симплектических методов Рунге-Кутта на длительных интервалах времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Геворкян, Мигран Нельсонович

• Геворкян, Мигран Нельсонович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Геворкян, Мигран Нельсонович

Оглавление

Глава 1. Классификация численных методов решения ОДУ. Методы семейства Рунге-Кутты

1.1. Классификация численных методов. Основные понятия и обозначения

1.2. Методы семейства Рунге-Кутты

1.3. Способы построения численных методов

Глава 2. Симплектические численные методы

2.1. Механика Гамильтона на языке симплектической геометрии

2.2. Условие симплектичности методов семейства Рунге-Кутты

2.3. Составные симплектические методы

2.4. Симплектичность в терминах производящей функции

Глава 3. Анализ основных симплектических методов

3.1. Условие явности и диагональной неявности присоединенного метода Рунге-Кутты и связь с условием симплектичности

3.2. Сравнение различных симплектических численных методов

3.3. Ограниченная задача трех тел

Список иллюстраций

Список источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ составных симплектических методов и симплектических методов Рунге-Кутта на длительных интервалах времени»

Введение

Общая характеристика работы

Данная работа посвящена сравнительному анализу эффективности (точность и скорость) применения симплектических численных методов разных типов к уравнениям Гамильтона в зависимости от вида функции Гамильтона. Также даны оценки точности сохранения физически значимых инвариантов на примере задачи Кеплера и задачи трех тел. Для задачи трех тел записан составной симплектический метод неприводимый к методам из семейства Рунге-Кутта.

Актуальность темы

При численном моделировании динамических процессов на длительных промежутках времени (колебательные процессы, орбиты планет, электромагнитные колебания) необходимо следить за сохранением физических инвариантов, иначе численная модель не будет адекватно описывать эти явления и не будет соответствовать непрерывной модели. Наиболее простой пример — очень точное сохранение полной энергии системы (гамильтониана) даже для больших шагов сетки. Эта особенность дает возможность определить характер динамического процесса, используя лишь грубые вычисления (с большим шагом сетки).

При создании классических численных методов основное внимание уделялось производительности: скорости вычисления, экономии памяти и т.д. Однако, по мере усложнения решаемых задач и развития вычислительной техники появилась необходимость в моделировании явлений и процессов продолжительных по времени. При этом проявились недостатки большинства классических численных методов — несохранение физических инвариантов и геометрических структур. В 90-х годах прошлого века стали активно развиваться методы, сохраняющие геометрические структуры. В случае гамильтоновой механики такими методами являются симплектические численные методы.

Стоит также отметить, что некоторые из типов симплектических методов (составные методы, в частности методы Йошиды) отличаются простотой построения компьютерных алгоритмов, так как изначально являются явными.

Интересно, что в сферу применимости симплектических численных методов входит такая сугубо прикладную область, как компьютерная графика и анимация.

Цель диссертационной работы

Оценка применимости симплектических раздельных методов типа Рунге-Кутта и симплектических составных методов к различным задачам гамильтоновой механики, оценка точности сохранения физически значимых инвариантов (полная энергия, момент импульса и т.д.).

Задачи диссертационной работы

- Систематизация известных симплектических численных методов для достижения единообразия в терминах и обозначениях.

- Оценка возможности записи конкретных симплектических численных методов в явном или диагонально-неявном виде (в случае раздельного метода Рунге-Кутта) в зависимости от функции Гамильтона.

- Сравнения методов типа Рунге-Кутта и составных симплектических методов по точности сохранения инвариантов в зависимости от шага сетки.

- В ограниченной задаче трех тел гамильтониан не представим в виде

= Т(р) + £/(я). Ввиду этого для этой задачи нельзя записать явные симплектические методы типа Рунге-Кутта. Возникает проблема получения составных симплектических схем для ограниченной задачи трех тел.

- Разработка комплекса необходимых программы, реализующих рассматриваемые в работе симплектические численные схемы (вплоть до 10-го порядка).

Результаты, выносимые на защиту

- Сформулированы и доказаны утверждения, касающиеся связи условий диагональной неявности и явности присоединенного метода к методы Рунге-Кутта с условиями симплектичности раздельных методов Рунге-Кутта.

- Показана связь между составными методами и методами Рунге-Кутта для гамильтониана вида Н(р, q) = Т(р) + U(q).

- На основе численных моделей линейного осциллятора и задачи двух тел дана оценка точности сохранения физически значимых инвариантов сим-плектическими численными методами.

- Записаны несводимые к методам семейства Рунге-Кутта симплектиче-ские численные методы типа SABA и SS для ограниченной задачи трех тел.

Научная новизна

- Ввиду малого количества статей по симплектическим интеграторам на русском языке (автору известны лишь статьи [1], [2]) представляется актуальным подробный обзор и систематизация известных симплектических методов на русском языке. Для достижения единообразия в терминологии и обозначениях.

- Получены утверждения, показывающие связь условий симплектично-сти раздельных методов Рунге-Кутта и условий диагональной неявности/явности присоединенных методов Рунге-Кутта.

- Дана оценка точности сохранения инвариантов для большого количества симплектических методов на примера задачи двух тел и линейного осциллятора.

- Получены формулы для симплектических численных схем для ограниченной задачи трех тел несводимые к раздельным методам Рунге-Кутта.

- Для записи численных схем использована тензорная нотация, ввиду того, что для описания симплектической структуры используется дифференциальная геометрия и тензорный формализм. На примере доказательств теорем об условиях симплектичности методов Рунге-Кутта, раздельного Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Нюстрёма показано, что использование тензорной нотации упрощает выкладки и делает их технически проще.

Методы исследования

Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы, методы дифференциальной геометрии, методы группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебр Ли.

Обоснованность и достоверность результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения использовались строгие и проверенные методы: методы Рунге-Кутта, раздельные методы Рунге-Кутта, методы Рунге-Кутта-Нюстрёма, составные методы, методы группового анализа ОДУ, методы качественного анализа ОДУ. Везде, где это возможно, проводилось сравнения полученного численного решения с аналитическими решениями.

Практическая значимость

Широкое применение еимплектических методов в теоретических исследованиях гамильтоновых систем где необходимы вычисления на длительных промежутках времени. В особенности это касается небесной механики и космологических задач, где временные промежутки могут достигать столетий. Другая область применения — задачи молекулярной динамики, где временные промежутки существенно меньше, но скорости движения тел (молекул) напротив существенно выше.

- Отдельно необходимо упомянуть такую прикладную область как компьютерная графика и анимации длительных процессов (маятник настенных часов). С увеличение производительности компьютеров и появлением возможности создавать длительные анимированные сцены проявились проблемы классических численных методов, что привело к необходимости использования геометрических методов (в том числе и еимплектических).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Геворкян, Мигран Нельсонович

Заключение

Полученные в диссертации результаты можно разделить на три группы: теоремы связанные с композицией раздельного метода Рунге-Кутты со своим присоединенным, оценка погрешностей сохранения физических инвариантов для различных симплектических методов на примере задачи Кеплера и разработка составного метода для ограниченной задачи трех тел. Обоснуем актуальность и новизну каждого из этих результатов.

Известно, что с возрастанием порядка точности возрастает сложность уравнений, связывающих коэффициенты методов типа Рунге-Кутты. С помощью композиции нескольких методов типа Рунге-Кутты можно получить новый метод более высокого порядка. Встает следующая заддча: найти условия на коэффициенты методов типа Рунге-Кутты позволяющие при композиции метода со своим присоединенным получить явную и симплектическую схему.

Из теорем, доказанных Санс-Серной, Рутом, Сурисом, Хайрером и др. для методов Рунге-Кутты, раздельных методов Рунге-Кутты и методов Рунге-

Кутты-Нюстрёма, следует, что явную схему можно получить для раздельного метода Рунге-Кутты и метода Рунге-Кутты-Нюстрёма в случае гамильтониана вида Н = Т + и Поэтому необходимо найти условия, позволяющие при композиции раздельного метода Рунге—Кутты со своим присоединенным получать явный или диагонально-неявный методы. Эти условия даются доказанными в диссертации теоремами ??

Обосновануем необходимости анализа конкретных реализаций симплек-тических методов. За последние два десятка лет изучения симплектических численных было предложено и получено как несколько различных подходов к построению симплектических методов, так и большое количество конкретных реализаций симплектических численных методов различного типа (под реализацией подразумевается вычисление коэффициентов метода).

Разработаны методы вплоть до 10-го порядка точности. Ввиду большого количества конкретных реализаций задача получения нового метода для практических нужд не столь актуальна. Более актуальна задача исследования известных методов на применимость к той или иной задачи. Под применимостью подразумевается:

- возможность записи явной схемы для данной задачи;

- скорость работы (стадийность);

- точность сохранения инвариантов;

- точность сохранения вычисляемых величин.

Именно для решения этой задачи был написан комплекс программ, реализующий более двадцати симплектических методов, и проведен численный эксперимент на примере задачи Кеплера.

Обоснуем актуальность разработки составного численного метода для ограниченной задачи трех тел. Известно, что к ограниченной задаче трех тел неприменимы методы семейства Рунге-Кутты (невозможно записать явную схему), поэтому необходимо использовать составные симплектические методы.

В диссертации были получены формулы для методов типа в5 и ЗАВА. Сформулированные методы были проверены в нескольких точках из окрестности точек Лагранжа на предмет сохранения полной энергии системы. В данных точках полная энергия сохраняется с большой точностью 10~8. В бедующем следует оценить погрешность вычисления других инвариантов системы для большого числа начальных условий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Геворкян, Мигран Нельсонович, 2013 год

Список источников

1. Сурис Ю.Б. Гамильтоновы методы типа Рунге-Кутты и их вариационная трактовка. // Математическое моделирование.— 1990.— Т. 2, № 4.— С. 78-87.

2. Ракитский Ю. В. О некоторых свойствах решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами численного интегрирования. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1961. — Т. 1, № 6. — С. 947-962. — URL: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7 998.

3. Шутц Б. Геометрические методы математической физики.— Москва : Платон, 1995. — 321 с.

4. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам. — 1 изд. — Москва : Логос, 2004. — 184 с. — ISBN: 5-94010-286-7.

5. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations.— 2 edition. — New Zealand : Wiley, 2003. - 425 p. — ISBN: 0-471-96758-0.

6. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Под ред. А. А. Абрамова. — Москва : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 288 с.

7. Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Под ред. С. С. Филиппова. — 1 изд. — Москва : Мир, 1990. — 512 с. — ISBN: 5-03-001179-Х.

8. Hairer Е., Norsett S. P., G.Wanner. Solving Ordinary Differential Equations

I. — 2 edition. — Berlin : Springer, 2008. — 528 p. — ISBN: 978-3-54056670-0.

9. Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Springer series in computational mathematics. — Springer, 2006. — ISBN: 9783540306634.— URL:http://books.google.ru/books?id=TlTaNRLmZv8C.

10. Suzuki Masuro. Fractal decomposition of exponential operators with applications to many-body theories and Monte Carlo simulations // Physics Letters A.— 1990.— Vol. 146, no. 6.— P. 319-323.— URL: http://www. sciencedirect.com/science/article/pii/0375 960190 90 962N.

11. Yoshida Haruo. Construction of higher order symplectic integrators // Physics Letters A.— 1990.— Vol. 150, no. 5-7.— P. 262-268.— URL: http:// linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0375960190 900 923.

12. Creutz M., Gocksch A. Higher order hybrid Monte Carlo algorithms // Physics Review Letters. — 1989. — Vol. 63, no. 1. — P. 9-12.

13. Forest E., Ruth R. D. Fourth-order symplectic integration // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1990. — 5. — Vol. 43. — P. 105-117.

14. В.И.Арнольд. Математические методы классической механики.— Москва : УРСС, 2003, — 416 е. — ISBN: 5-354-00341-5.

15. Сурис Ю.Б. О некоторых свойствах методов численного интегрирования систем вида х = f(x) II Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987. — Т. 27, №10.- С. 1504-1515.

16. Sanz-Serna J.M., Calvo М.Р. Numerical Hamiltonian Problems.— 1 edition. — London : Chapman and Hall, 1994. — 207 p. — ISBN: 0-412-54290-0.

17. Budd С.J., Piggott M. D. Geometric Integration and Its Applications // in Handbook of numerical analysis.— 2003.— Vol. 11.— P. 35139.— URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S1570865902110027.

18. McLachlan Robert I, Quispel G Reinout W. Geometric integrators for ODEs // Journal of Physics A: Mathematical and General.— 2006.— Vol. 39, no. 19.—P. 5251-5285. —URL: http://stacks.iop.org/0305-4470/ 39/i=19/a=S01.

19. Hairer E. Symplectic integrators.— 2010.— TU Munchen. URL: www.

unige.ch/~hairer/poly_geoint/week2.pdf.

20. Methods of integration which preserve the contact transformation property of the Hamiltonian equations : Rep. / Univ. of Notre Dame ; Executor: R. de Vo-gelaere : 1956.

21. Ruth Ronald D. A Canonical Integration Technique // IEEE Transactions on Nuclear Science.— 1983.— august. — Vol. 30, no. 4.— P. 2669-2671.— URL: http://dx.doi.org/10.110 9/TNS.1983.4 332 919.

22. Feng K. On difference schemes and symplectic geometry // Proceedings of the 5-th Intern. Symposium on differential geometry and differential equations. — Beijing, 1985. — august. — P. 42-58.

23. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. — Москва : Факториал, 1995. —448 с.

24. Голдстейн Г. Классическая механика. — 1 изд. — Москва : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.— 410 с.

25. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механики. — 2 изд. — Москва : Наука, 1966. — 300 с.

26. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. — Москва : Мир, 1989,— 637 с.

27. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в га-мильтоновой механике. — Москва: Издательский дом «Удмуртский Университет», 1999. — 464 с.

28. Sanz-Serna J М. Runge-kutta schemes for Hamiltonian systems // BIT. — 1988,— Vol. 28, no. 4.— P. 877-883.— URL: http://www. springerlink.com/index/10.1007/BF01954 907.

29. Lasagni F. M. Canonical Runge-Kutta methods // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP).— 1988.— Vol. 39.— P. 952953.— 10.1007/BF00945133. URL: http://dx.doi.org/l0.1007/ BF00945133.

30. Okunbor Daniel I., Lu Eric J. Eighth-order Explicit Symplectic Runge-Kutta-Nyström Integrators. — 1994.

31. Okunbor D., Skeel R.D. Canonical Runge-Kutta-Nyström Methods of Orders 5 and 6 // J. Comput. Appl. Math. — 1994. — Vol. 51, no. 3. — P. 375-382.

32. Kinoshita Hiroshi, Yoshida Haruo, Nakai Hiroshi. Symplectic integrators and their application to dynamical astronomy // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy.— 1991.— Vol. 50, no. 1.— P. 59-71.— URL: http: //www.springerlink.com/content/h4mkq77 68115777v/.

33. Yoshida Haruo. Symplectic Integrators for Hamiltonian Systems: Basic Theory // Chaos Resonance and Collective Dynamical Phenomena in the Solar Sys-

tem.— 1992. —Vol. 152. —P. 407-+. — URL: http://adsabs .harvard. edu/abs/1992IAUS..152..407Y.

34. Yoshida Haruo. Recent progress in the theory and application of symplec-tic integrators // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 1993. — Vol. 56, no. 1-2.— P. 27—43.— URL: http://www.springerlink.com/ index/10.1007/BF00 699717.

35. Candy J., Rozmus W. A symplectic integration Algorithm for separable Hamiltonian Functions // Journal of computational physics.— 1991.— Vol. 92, no. 1. — P. 230-256.

36. Blanes S., Casas F., Murua A. Splitting and composition methods in the numerical integration of differential equations // Boletín de la Sociedad Española de Matemática Aplicada.— 2008.— Vol. 45.— P. 89-145.— URL: http://www.gicas.uj i.es/Fernando/MyPapers/BSemaO8.pdf.

37. Relations among Lie formal series and construction of symplectic integrators.— Vol. 673 of AAECC'10, 1993.— URL: http://www.math. jussieu.fr/~koseleff/publications/aaecclO.pdf.

38. Laskar Jacques, Robutel Philippe. High order symplectic integrators for perturbed Hamiltonian systems. — 2000. — May. — arXiv:astro-ph/0005074.

39. Mclachlan Robert I. Composition methods in the presence of small parameters. — 2003. — February.

40. Mclachlan Robert I. On the numerical integration of ordinary differential equations by symmetric composition methods // SIAM J. Sci. Comput. — 1995. — Vol. 16, —P. 151-168.

41. Stern A., Desbru M. Descrete Geometric Mechanics for Variational Time Inte-

grators // Discrete Differential Geometry: An applied Introduction / Caltech. — 2006. —P. 75-80.

42. Hairer Ernst, Lubich Christian, Wanner Gerhard. Geometric numerical integration illustrated by the Stormer-Verlet method // Acta Numerica. — 2003. — Vol. 12, —P. 399^50.

43. Sanz-Serna J.M. The numerical integration of Hamiltonian systems // Computational Ordinary Differential Equations / Ed. by J.R. Cash, I. Gladwell. — Clarendon Press, Oxford, 1992. — P. 81-106.

44. Okunbor Daniel I., Skeel Robert D. Explicit canonical methods for Hamiltonian systems // Mathematics of Computation. — 1992. — Vol. 59. — P. 439-455.

45. Calvo M.P., Sanz-Serna J.M. Order conditions for canonical Runge-Kutta-Nystrom methods //BIT.— 1992, —Vol. 32. —P. 131-142.

46. Calvo M.P., Sanz-Serna J.M. High-order symplectic Runge-Kutta-Nystrom methods // SIAM J. Sci. Comput.— 1993. — Vol. 114. — P. 1237-1252.

47. Calvo M.P., Sanz-Serna J.M. Reasons for failure. The integration of the two-body problem with a symplectic Runge-Kutta-Nystrom code with stepchang-ing facilities // Equadiff 91 / Ed. by C. Perello, C. Simo, J. Sola-Morales.— World Scientific, Singapore, 1993. — P. 34^8.

48. Calvo M., Sanz-Serna J. The Development of Variable-Step Symplectic Integrators, with Application to the Two-Body Problem // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1993. — Vol. 14, no. 4. — P. 936-952.

49. Suzuki Masuro. General theory of higher-order decomposition of exponential operators and symplectic integrators // Physics Letters A.— 1992.— Vol. 165, no. 5-6.— P. 387-395.— URL: http: //www. sciencedirect. com/

science/article/pii/03759 60192 90335J.

50. Varoquaux Gael, Vaught Travis, Millman Jarrod. Editorial // Proceedings of the 7th Python in Science Conference / Ed. by ваё1 Varoquaux, Travis Vaught, Jarrod Millman. — Pasadena, CA USA, 2008. — P. 3-4.

51. Hunter J. D. Matplotlib: A 2D graphics environment // Computing In Science & Engineering. — 2007. — Vol. 9, no. 3. — P. 90-95.

52. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. — Москва : Наука, 1982. —656 с.

53. Дубошин Г. Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. — Москва : Наука, 1976. — 864 с.

54. Cohen D., Jahnke Т., Lorenz К., Lubich Ch. Numerical Integrators for Highly Oscillatory Hamiltonian Systems: A Review.— 2006. — May.— doi:3-540-35657-6-20.

55. Бахвалов H. С., Жидков H. П., Кобельков Г. M. Численные методы. — 6 изд. — Москва : Бином, 2008. — 636 с. — ISBN: 978-5-94774-815-4.

56. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. — 4 изд. — Москва : УРСС, 2006.- 856 е. — ISBN: 5-354-01150-7.

57. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Москва : УРСС, 2009. — 448 с. — ISBN: 978-5-397-00005-5.

58. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — 1 изд. — Москва : Наука, 1979. — 760 е. — ISBN: 5-88688-075-5.

59. Айне Э. JI. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 1 изд. — Москва : Факториал Пресс, 2005. — 640 с.

60. Hofer Н., Zehnder Е. Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics.

Birkhäuser advanced texts / Basler Lehrbücher.— Birkhäuser, 1994.— 341 p. — URL: http://books.google.ru/books?id=lKDFmGLU54sC.

61. Broucke R.A., Aeronautics United States. National, Administration Space. Periodic Orbits in the Restricted Three-Body Problem With Earth-Moon Masses.— 1968. —February.— Technical Report 82-1168. URL: http: //books.google.со.in/books?id=THTvAAAAMAAJ.

62. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Г. И. Марчук.— Москва : Мир, 1973.-462 с.

63. Э. Хайрер, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Под ред. С. С. Филиппова. — Москва : Мир, 1999. — 685 с. — ISBN: 5-03-0031170.

64. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений.— Москва : Мир, 1988.— 337 е. — ISBN: 5-03-000466-1.

65. Suris Yu.B. Hamiltonian Runge-Kutta type methods and their variational interpretation. // Mat. Model. — 1990. — Vol. 2, no. 4. — P. 78-87.

66. Csillik I. Symplectic and Regularization Methods // Technische mechanik. — 2004. — Vol. 24, no. 1. — P. 67-73.

67. Libert Anne-Sophie, Hubaux Charles, Carletti Timoteo. Symplectic integration of deviation vectors and chaos determination. Application to the Henon-Heiles model and to the restricted three-body problem.— 2010. — May.— arXiv: 1005.5611.

68. Akishin P.G., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. A hybrid numerical method for analysis of dynamics of the classical Hamiltonian systems // Computers and Mathematics with Applications. — 1997. — Vol. 34, no. 2-4. — P. 45-73.

69. Wisdom J., Holman M., Touma J. Symplectic Correctors // Integration Algorithms and Classical Mechanics / Ed. by Jerrold E. Marsden, George W. Patrick, William F. Shadwick ; Fields Institute.— Vol. 10 of Fields Institute Communications. — American Mathematical Society, 1996. — July. —P. 217-244.

70. Wisdom J., Holman M. Symplectic maps for the iV-body problem // Astron. J.— 1991. —Vol. 102. —P. 1528-1538.

71. Araújo A. L., Murua A., Sanz-Serna J. M. Symplectic Methods Based on Decompositions // SIAM J. Numer. Anal. — 1997. — Vol. 34, no. 5. — P. 19261947.

72. Hochbruck M., Lubich C. A bunch of time integrators for quantum/classical molecular dynamics. — 1997. — Submitted to Algorithms for Macromolecu-lar Modelling (P. Deuflhard, J. Hermans, B. Leimkuhler, A. Mark, S. Reich and R. D. Skeel, eds.), Springer Lecture Notes in Computational Science and Engineering.

73. Jay L. O. Symplectic partitioned Runge-Kutta methods for constrained Hamiltonian systems // SIAM J. Numer. Anal. — 1996. — Vol. 33. — P. 368-387.

74. Zhang M.-Q., Qin M.-Z. Explicit Symplectic Schemes to Solve Vortex Systems // Comp. & Math, with Applic. — 1993. — Vol. 26, no. 5. — P. 51.

75. Zhang M. Q., Skeel R. D. Symplectic integrators and the conservation of angular momentum // J. Comput. Chem. — 1995. — Vol. 16. — P. 365-369.

76. Zhang M., Skeel R. D. Cheap Implicit Symplectic Integrators.— 1996.— Preprint.