Аппроксимация функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Федоровский, Константин Юрьевич

• Федоровский, Константин Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Федоровский, Константин Юрьевич

Введение. 1

Постановка задач. 4

Обзор содержания диссертации. 22

1. Ст-приближение функций полиномиальными решениями общих эллиптических уравнений. 39

1.1. Пространства функций класса Ст.39

1.2. Основные результаты и их следствия .44

1.3. Свойства L-аналитических функций. Локализационный оператор Витушкина для L.50

1.4. Доказательства теорем 1.1, 1.2 и 1.5.62

1.5. Задача 2.1 при L = дп, п ^ 2, т = п — . 74

2. Множества Каратеодори и их свойства. 76

2.1. Введение.76

2.2. Области Каратеодори и конформные отображения.80

2.3. О мерах, ортогональных к пространствам рациональных функций.87

2.4. Компакты Каратеодори и теорема Вермера о максимальности 99

2.5. Области Каратеодори и теорема Рудина об обращении принципа максимума модуля. 101

3. Равномерная аппроксимация полианалитическими многочленами .107

3.1. Введение и анализ задачи.107

3.2. Понятие неванлинновской области.113

3.3. Аппроксимация на компактах Каратеодори.118

3.4. Аппроксимация на компактах, не являющихся компактами Каратеодори .122

3.5. Зависимость условий приближаемости функций полианалитическими многочленами от порядка полианалитичности . . 133

3.6. Аппроксимация на границах квадратурных областей.144

4. Неванлинновские области и их свойства.148

4.1. "Жесткость" понятия неванлинновской области.148

4.2. Неванлинновские области и конформные отображения.151

4.3. Неванлинновские области и однолистные функции в модельных подпространствах.154

4.4. О регулярности границ неванлинновских областей.165

4.5. Неванлинновские области в других аппроксимационных задачах .182

4.6. /с-Неванлинновские области.192

5. Дополнение.198

5.1. Аппроксимация функций бианалитическими многочленами и 2 д -задача Дирихле. 198

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимация функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений»

Теория аппроксимации функций аналитическими функциями (голоморфными, гармоническими, полианалитическими и др.) и многочленами в нормах классических пространств функций (равномерной, Ст, т > О, V, р ^ 1, и др.) на замкнутых подмножествах в N > 1, представляет собой сложившееся и актуальное направление в комплексном анализе.

Хорошо известны классические результаты М. В. Келдыша, Ж. Дсни и М. А. Лаврентьева о равномерных гармонических аппроксимациях на компактах в (1940-е годы), С. Н. Мергеляна (1952 г.) и А. Г. Витушкина (1967 г.) о полиномиальных и рациональных аппроксимациях голоморфными функциями на плоских компактах.

Ряд интересных и важный результатов о равномерной приближаемое™ функций многочленами и рациональными функциями комплексного переменного были получены в 1940-1980-х годах в работах II. У. Аракеляпа, Е. Бишопа, Д. Всрмсра, Т. Гамелина, Д. Гарнетта, И. Гликсберга, А. Гли-сона, А. А. Гончара, К. Гофмана, Е. П. Долженко, П. Кертиса, М. С. Мельникова, А. Рот, У. Рудина, Д. Уолша, В. П. Хавина и др.

С 1970-1980-х годов эта тематика приобретает еще большую актуальность. В ней начинают рассматриваться существенно более общие задачи аппроксимации функций решениями (полиномиальными, целыми, ме-роморфными с локализованными особенностями) однородных эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными комплексными коэффициентами. При этом аппроксимация рассматривается в метриках классических пространств функций (таких, как равномерная, Ст, т > 0, или I/, р ^ 1) на компактных (или на замкнутых) множествах на плоскости или в пространстве, а также в специальных абстрактных пространствах обобщенных функций (распределений). Надо отмстить, что в рассматриваемом направлении теории приближений естественно выделились задачи, связанные с аппроксимацией функций полианалитическими и полигармо-ничсскими функциями и многочленами, естественно возникающими как в ряде разделов современного анализа, так и в прикладных задачах (например, в задачах плоской теории упругости). Кроме того, появились и были развиты новые глубокие методы исследования соответствующих емкостей (методы теории сингулярных интегралов и геометрической теории меры, метод спектрального синтеза и др.). Здесь необходимо отметить работы

А. Буавс, Д. Вердсры, С. Гардинсра, П.М. Готье, Г. Давида, Д. Кармоны, М. Я. Мазалова, Д. Матеу, П. Маттилы, М. С. Мельникова, Ю. В. Нетрусо-ва, Д. Оробича, П. В. Парамонова, К. Толсы, А. Г. О'Фаррела, В. П. Хавина, Д. Хавинсона, С. Я. Хавинсона, Н. А. Широкова и ряда других авторов, включая автора диссертации. Основные результаты, полученные в этом направлении теории приближений, будут сформулированы и обсуждены ниже.

Несмотря на успешное и активное развитие рассматриваемой области теории приближений, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Одной из таких задач является, например, задача описания компактных подмножеств X комплексной плоскости таких, что всякая функция, непрерывная на X и п-аналитическая (т.е. полианалитическая порядка п, где п ^ 1 — целое число) во внутренних точках X может быть равномерно на X приближена последовательностью п-аналитических многочленов. Эта задача (которая интересует специалистов начиная с 1980-х годов) представляет интерес как в свете общего интереса к теории поли-аналитическнх функций, в которой за последние годы получен ряд интересных и важных результатов, так и в связи с недавно открывшейся связью этой задачи с другими активно развивающимися направлениями современного анализа, в частности, с теорией модельных пространств. Отметим еще задачи аппроксимации функций решениями (полиномиальными, целыми, мероморфными с локализованными особенностями) общих однородных эллиптических уравнений в равномерной и Ст-нормах, т > 0.

В диссертации получены новые результаты в задачах о равномерной и С""-приближаемости функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами при целых значениях т ^ огд.Ь — 1, где Ь — соответствующий дифференциальный оператор. Особое внимание уделено равномерной аппроксимации функций полианалитическими многочленами. В этой задаче для достаточно широкого класса компактных множеств получены необходимые и достаточные условия (критерии) приближаемости, исследован характер этих условий.

Изучение задачи о равномерной приближасмости функций полианалитическими многочленами привело к возникновению нового интересного направления исследований в комплексном анализе, связанного с изучением свойств иеванлштовских областей. Свойство области быть неванлишюв-ской — это специальная аналитическая характеристика плоских односвяз-ных областей, введенная автором и позволившая получить решение соответствующей аппроксимационной задачи для компактов Каратеодори. Понятие неванлинновской области имеет глубокие связи с теорией конформных отображений, с теорией модельных пространств (инвариантных относительно оператора обратного сдвига подпространств пространства Харди Я2), а также с теорией квадратурных областей. В диссертации получено описание певанлинновских областей в терминах конформных отображений, установлены новые свойства и построены новые примеры таких областей.

В рассматриваемой проблематике естественно возникает также понятие множества (компакта и области) Каратеодори. В диссертации получен ряд новых свойств компактов и областей Каратеодори и их конформных отображений, имеющих важные приложения в теории приближений. В частности, классическая теорема Каратеодори о сходимости к ядру распространена на случай, когда предельная область является областью Каратеодори, а теорема Каратеодори о продолэ/сеиии распространена с жордановых областей на области Каратеодори. Эти результаты позволили уточнить ряд классических результатов о структуре мер, ортогональных к пространству рациональных функций с полюсами вне заданного компакта X, и распространить эти результаты на существенно более широкие классы компактных множеств. Последние результаты, в свою очередь, были использованы в диссертации при изучении условий равномерной аппроксимации функций полианалитическими многочленами.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, дополнения и списка использованной литературы. Во введении формулируются основные рассматриваемые в диссертации задачи и приводится подробный обзор истории изучения и современного состояния соответствующей области комплексного анализа и теории приближений. После этого во введении дается подробный обзор диссертации по главам п формулируются все основные результаты диссертации. В первой главе диссертации рассматриваются задачи о равномерной и Ст-приближаемости функций (при натуральных значениях га) на плоских компактах полиномиальными решениями общих однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами. Во второй главе рассматриваются множества (области и компакты) Каратеодори и устанавливается ряд важных для рассматриваемых задач теории приближений новых свойств таких множеств. В третьей главе изучается задача о равномерной приближаемо-сти функций полиапалитическими функциями и многочленами. Четвертая глава диссертации посвящена изучению понятия неванлинновской области. В дополнении рассматривается взаимосвязь между задачей о равномерной приближаемостп функций полиапалитическими многочленами и задачей Дирихле для бианалитических функций. В завершении текста диссертации кратко формулируются основные выводы и полученные результаты.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Федоровский, Константин Юрьевич

Основные выводы и результаты работы

В диссертации изучен ряд задач равномерной и Ст, т > О, прнближае-мости функций полиапалитическими многочленами и полиномиальными решениями общих однородных эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными комплексными коэффициентами на компактных подмножествах комплексной плоскости.

Отметим, что задача о равномерной приблио/саемости функций полианалитическими многочленами — это первая задача в рассматриваемой проблематике, в которой по существу возникают нелокальные условия при-ближаемости аналитического характера, которые не выражаются в известных емкостных, метрических или топологических терминах. Такой характер соответствующих условий приближаемости был впервые установлен в работах автора. Эта задача оказалась естественно связанной и с рядом важных и интересных задач о свойствах мпооюеетв (компактов и областей) Каратеодори.

Аналитической характеристикой плоских множеств, описывающей компакты, на которых возможна равномерная аппроксимация функций по-лианалитичсскими многочленами, является понятие неваплииповской области, введенное автором. Это понятие, как оказалось, имеет очень интересные и глубокие связи с теорией модельных пространств (т.е. инвариантных относительно оператора обратного сдвига подпространств пространства Харди Я2).

Сформулируем основные полученные в диссертации результаты:

1. Для общего однородного эллиптического оператора Ь порядка п с постоянными комплексными коэффициентами получен критерий Сп~г-слабой приближаемости функций ¿-аналитическими многочленами на компактах в С, идентичный классической теореме Мергеляна. Кроме того, установлены новые необходимые и достаточные условия равномерной и Ст-слабой приближаемости функций ¿-аналитическими многочленами при т ^ п, также формулируемые в терминах топологических свойств компактов, на которых рассматривается аппроксимация.

2. Получено обобщение классической теоремы Каратеодори о сходимости к ядру в случае, когда предельная область является областью Каратеодори. Теорема Каратеодори о продолжении распространена на области

Каратеодори. Установлен ряд новых результатов о структуре мер, ортогональных к рациональным функциями на компактах в С.

3. Получен критерий равномерной приближаемости функций полианалитическими многочленами на плоских компактах Каратеодори. Введено понятие иеванлинновской области, оказавшееся ключевым для изучения задачи о равномерной приближаемости функций полианалитическими многочленами.

4. Найдено описание неванлинновских областей в терминах конформных отображений, и предложен метод построения неванлинновских областей, основанный на построении однолистных функций, принадлежащих модельным пространствам вида К в, где В — произведение Бляшке. Построены нетривиальные примеры, показывающие степень возможной нерегулярности границ неванлинновских областей.

5. В задаче о равномерной приближаемости функций полианалитическими многочленами на плоских компактах, не являющихся компактами Каратеодори, получен ряд достаточных условий приближаемости, установлена зависимость условий приближаемости от порядка полианалитичности и получены результаты, показывающие характер этой зависимости.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Федоровский, Константин Юрьевич, 2013 год

1. Андриевский В. ВБелый В. И., Мяймескул В. В. Прямые и обратные теоремы приближения функций для рациональных модулей в областях с квазиконформной границей // Матсм. заметки. 1989. Т. 46, вып. 2. С. 12-20.

2. Вицадзс А. Г. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. — М.:Наука, 1966.

3. Вуаве. А., Готье П.М., Парамонов П. В. О равномерной аппроксимации 'n-аналитическими функциями на замкнутых множествах в С // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т. 68, №3. С. 15-28.

4. Буавс. А., Парамонов П. В. Аппроксимация мероморфными и целыми решениями эллиптический уравнений в банаховых пространствах распределений // Матем. сб. 1998. Т. 189, №4. С. 3-24.

5. Всрдсра Дж., Мельников М. С., Парамонов П. В. С^-аппроксимация и продолжение субгармонических функций // Матсм. сб. 2001. Т. 192, №4. С. 37-58.

6. Витушкип А. Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений // УМН. 1967. Т. 22, №6. С. 141-199.

7. Долженко Е. П. О граничном поведении компонент полианалитичс-ских функций // Матем. заметки. 1998. Т. 63, вып. 6. С. 821-834.

8. Долженко Е. П. О граничной гладкости конформных отображений областей с негладкими границами // Докл. РАН. 2007. Т. 415, вып. 2. С. 155-159.

9. Долженко Е. П. Оценки модулей непрерывности конформных отображений об- ластей вблизи их достижимых граничных дуг // Матем. сб. 2011. Т. 202, №12. С. 57-106.

10. Долженко Е.П., Данченко В. И. О граничных свойствах решений обобщенного уравнения Коши-Римана // Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2002. Т. 236. С. 142-152.

11. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М.: Мир, 1986.

12. Гамелнп Т. Равномерные алгебры. — М.: Мир, 1973.

13. Гарнстт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

14. Голузип Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. M.-JL: Гостехиздат, 1952.

15. Зайцев А. Б. О равномерной приближаемости функций полиномами специальных классов на компактах в Ж2 // Матсм. заметки. 2002. Т. 71, выи. 1. С. 75-87.

16. Зайцев А. Б. О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка па компактах в R2 // Матем. заметки. 2003. Т. 74, вып. 1. С. 41-51.

17. Зайцев А. Б. О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на плоских компактах // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т. 68, №6. С. 85-98.

18. Зайцев А. Б. О равномерной аппроксимации полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка и о соответствующей задаче Дирихле // Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2006. Т. 253. С. 67-80.

19. Келдыш М. В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле // Успехи математических наук. 1941. Т. 8. С. 171-231.

20. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир. 1984.

21. Лаврентьев М.А. О функциях комплексного переменного, прсдста-вимых рядами полиномов // Actual. Sri. et Ind. 1936. №441: La théorie des fonctions. (Русский перевод: Лаврентьев M. A. Избранные труды. Матем. и мех. М. Наука. 1990. С. 149-185).

22. Ландкоф Н. С. Основы современно теории потенциала. — М.: Наука, 1966.

23. Мазалов М. Я. Пример непостоянной бианалитической функции, обращающейся в нуль всюду на нигде не аналитической границе // Матем. заметки. 1997. Т. 62, вып. 3-4. С. 524-526.

24. Мазалов М.Я. О равномерных приближениях бианалитическими функциями на произвольных компактах в С // Матем. сб. 2004. Т. 195, №5. С. 79-102.

25. Мазалов М.Я. Критерий равномерной приближаемости на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений // Матем. сб. 2008. Т. 199, Nol. С. 15-46.

26. Мазалов М. Я. О задаче Дирихле для полианалитических функций // Матем. сб. 2009. Т. 200, №10. С. 59-80.

27. Мазалов М. Я. О задаче равномерного приближения гармонических функций // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23, №4. С. 136-178.

28. Мазалов М. Я. О равномерном приближении гармоническими функциями на компактах в Я3 // Зап. научи, сем. ПОМИ. 2011. Т. 389, С. 162-190.

29. Мазалов М. Я. Критерий равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в М3 // Труды МИАН им. В. А. Стек-лова. 2012. Т. 279. С. 120-165.

30. Мазалов М. Я. Критерий приближаемости гармоническими функциями в пространствах Липшица // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2012. Т. 401. С. 144-171.

31. Маркушевич А. И. Конформное отображение областей с переменными границами с приложениями к аппроксимации аналитических функций полиномами. М., Диссертация, 1934.

32. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том 2. М.: Наука, 1968.

33. Мсргслян С.Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного // УМН. 1952. Т. 7, №2. С. 31-122.

34. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1971.

35. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.

36. Парамонов ПВ. О гармонических аппроксимациях в С^-норме // Матем. сб. 1990. Т. 181, №10. С. 1341-1365.

37. Парамонов П. В. Ст-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в Мп // Матем. сб. 1993. Т. 184, №2. С. 105128.

38. Парамонов П. В. О приближениях гармоническими полиномами в С1-норме на компактах в М2 // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. Т. 57, №2. С. 113-124.

39. Парамонов П. В. Некоторые новые критерии равномерной приближаемости функций рациональными дробями // Матем. сб. 1995. Т. 186, №9. С.97-112.

40. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

41. Расулов К.М. О разрешимости краевых задач типа Дирихле для полианалитичсских функций // Докл. РАН. 1989. Т. 309, вып. 6. С. 1309-1313.

42. Синанян С. О. Аппроксимация аналитическими функциями и полиномами в среднем по площади // Матем. сб. 1966. Т. 69(111), №4. С. 546-578.

43. Смирнов С. К., Хавин В. П. Задачи приближения и продолжения для некоторых классов векторных полей // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10, №3. С. 133-162.

44. Стсйн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: "Мир", 1973.

45. Тарханов Н. Н. Равномерная аппроксимация решениями эллиптических систем // Матем. сб. 1987. Т. 175, №3. С. 356-381.

46. Тарханов Н. Н. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск. Наука, 1991.

47. Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М. Мир, 1965.

48. Федоровский К. 10. О равномерных приближениях функций п-аналитчиескими многочленами на спрямляемых контурах в С // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 4. С. 604-610.

49. Хсйман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

50. Хермандср JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. Теория распределений и анализ Фурье. — М.: Мир, 1986.

51. Aharonov D., Shapiro H.S. Domains in which analytic functions satisfy quadrature identities //J. Analyze Math. 1976. V. 30. P. 39-73.

52. Ahern P. R., Clark D. N. On functions orthogonal to invariant subspaces // Acta Math. 1970. V. 124. Pp.191-204.

53. Anderson J. Т., Cima J. A., Levenbcrg N., Ransford T. J. Projective hulls and chractcrizations of meromorphic functions // ArXiv:1107.4345vl math.СV. Jul 21, 2011.

54. Balk M.B. Polyanalytic functions. Berlin: Academic Verlag, 1991. Mathematical Research. Vol. 63.

55. Bcgchr H., Du J., Wang У. A Dirichlet problem for polyharmonic functions // Annali di Matematica. 2008. V. 187. P. 435-457.

56. Bell S.R. Density of quadrature domain in one and several complex variables // Complex Variables and Elliptic Equations. 2009. V. 54, №3-4. P. 165-171.

57. Bishop E. The structure of certain measures // Duke Math. J. 1958. V. 25, №.2. P. 283-289.

58. Bishop E. Simultaneous approximation by a polynomial and its derivatives // Proc. Amer. Math. Soc. 1959. V. 10. P. 741-743.

59. Bishop E. Boudnary measures of analytic differentials'// Duke Math. J. 1960. V. 27, №. P. 331-340.

60. Boivin A., Gauthier P.M., Paramonov P.V. Approximation on closed sets by analytic or meromorphic solutions of elliptic equations and applications // Canadian J. of Math. 2002. V. 54, №5. P. 945—969.

61. Böttcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz Operators. Berline. Springer Verlag, 2006.

62. Bourdon P. Density of polynomials in Bergman spaces // Pacific J. Math. 1987. V. 130, №2. P. 215-221.

63. Browder F. Approximation in uniform norm by solutions of elliptic differential equations //???. 1961. P. 400-404.

64. Browder F. Approximation by solutions of partial differential equations // Amer. Math. J. 1962. V. 84. P. 134-160.

65. Browder F. Functional analysis and partial differential equations // Math. Ann. 1961/1962. V. 145. P. 81-226.

66. Burbea J. Polynomial approximation in Bers space of Caratheodory domains // J. London Math. Soc. 1977. V. 15, №2. P. 255-266.

67. Caratheodory C. Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten // Math. Ann. 1912. V. 72. P. 107144.

68. Caratheodory C. Uber die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis // Math. Ann. 1913. V. 73. P. 305-320.

69. Caratheodory C. Uber die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete // Math. Ann. 1913. V. 73. P. 323-370.

70. Carleson L. Sets of uniqueness for functions regular in the unit circle // Acta Math. 1952. V. 87. P. 325-345.

71. Carmona J. J. A necessary and sufficient condition for uniform approximation by certain rational modules // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. V. 86, №3. P. 487-490.

72. Carmona J. J. Mcrgelyan approximation theorem for rational modules // J. Approx. Theory. 1985. V. 44. P. 113-126.

73. Carmona J. J. The closure in Lip a norms of rational modules with three generators // Illinois J. Math. 1985. V. 29, №3. P. 418-431.

74. Caugliran J. G. Polynomial approximation and spectral properties of conposition operator on H2 // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 21, №1. Pp.81-84.

75. Cohn W.S. On the Hp classes of derivatives of functions orhogonal to invariant subspaces // Michigan Math. J. 1983. V. 30. P. 221-229.

76. Conway J.B. The theory of subnormal operators. Providence, Rhode Island (USA): Amer. Math. Soc, 1991.

77. Danchcnko V. I., Dolzhenko E. P. On boundary behaviour of holomorphic components of bianalytic functions // Journal of Math. Sciences. 2005. V. 126, №6. P. 1586-1592.

78. Davis P. The Schwarz functions and its applications. Buffalo (NY). Math. Assoc. Amer., 1974. Carus Mathematical Monographs, V. 17.

79. Deny J. Systèmes totaux de fonctions harmoniques // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1949. V. 1. P. 103-113.

80. Douglas R. G., Shapiro H.S., Shields A.L. Cyclic vectors and invariant subspaces for the backward shift operator // Annales de l'institut Fourier. 1970. V. 20, N. 1. P. 37-76.

81. Dovgoshci O. Certain characterizations of Caratheodory domains // Computational Methods and Function Theory. 2005. V. 5, №2. P. 480503.

82. Dyakonov K., Khavinson D. Smooth functions in star-invariant subspaces / / Recent Advances in Operator-Related Function Theory. 2006. Contemporary Mathematics. Vol. 393. Pp.59-66.

83. Dyn'kin E.M. Methods of the theory of singular integrals: Hilbert transform and Calderon-Zygmund theory// Commutative harmonic analysis, I. Berlin. Springer, 1991. Encyclopaedia Math. Sci. V. 15. P. 167— 259.

84. Gustafsson B., Shapiro H.S. What is a quadrature domain? // Quadrature domains and their application. Basel, Switzerland: Birkhâuser Verlag. 2005. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 156. P. 1-25.

85. Farrell O. J. On approximation to an analytic functions by polynomials // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. V. 40. Pp. 908-914.

86. Farrell O. J. On approximation by polynomials to a function analytic in a simply connectcd region // Bull. Amer. Math. Soc. 1935. V. 41. P. 707711.

87. Horowitz Ch. Zeros of functions in the Bergman spaces // Duke Math. J. 1974. V. 41. P. 693-710.

88. Kapoor G.P., Nautiyal A. Approximation of entire functions over Carathéodory domains // Bull. Austral. Math. Soc. 1982. V. 25, №2. P. 221-229.

89. Khavinson D. On a geometric localization of the Cauchy potentials // Michigan Math. J. 1986. V. 33. P. 377-385.

90. Khavinson D. F. and M. Riesz theorem, analytic balayage, and problems in rational approximation // Constr. Approx. 1988. V. 4. P. 341-356.1.besgue H. Sur le problcme de Dirichlet // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1907. V. 29. P. 371-402.

91. Mateu J., Netrusov Yu., Orobitg J., Verdera J. BMO and Lipschitz approximation by solutions of elliptic equations // Ann. Inst. Fourier. 1996. V 46, №4. P. 1057-1081.

92. Matcu J., Orobitg J. Lipschitz approximation by harmonic functions and some applications to spectral synthesis // Indiana Univ. Math. J. 1990. V. 39, №3. P. 703-736.

93. Mateu J., Verdera J. BMO harmonic approximation in the plane and spectral synthesis for Hardy-Sobolev spaces // Revista Matem. Iberoamericana. 1988. V. 4. P. 291-318.

94. Mazurkiewicz S. Über erreichbare Punktc // Fund. Math. 1936. V. 26. P. 150-155.

95. OFarrell A.G. Annihilators of rational modules // J. Functional Analysis. 1975. V. 19, №4. P. 373-389.

96. OFarrell A. G. Hausdorff content and rational approximation in fractional Lipschitz norms // Trans. Amer. Math. Soc. 1977. V. 228. P. 187-206.

97. O'Farrell A. G. Estimates for capacities and approximation in Lipschitz norms. // J. Reine Angew. Math. 1979. V. 311/312. P. 101-115.

98. OFarrell A. G. Rational approximation in Lipschits norms. II. Proc. Royal Irish. Acad. 1979. V. 79A. P. 104-114.

99. OFarrell A. G., Preskcnis K.J. Uniform approximation by polynomials in two functions // Math. Ann. 1989. V. 284. P. 529-535.

100. Paramonov P. V., Verdcra J. Approximation by solutions of elliptic equations on closed subsets of Euclidean space // Math. Scand. 1994. V. 74. P. 249-259.

101. Perez-Gonzalez F., Rättyä J. Univalent functions in Hardy, Bergman, Bloch and related spaces // Journal d'Analyse Mathématique. 2008. V. 105. P. 125-148.

102. Pommcrenke Ch. Univalent functions. Göttingen. Vandenhoek & Ruprecht, 1973.

103. Pommerenkc Ch. Boundary behavior of conformai maps. Berlin. SpringerVerlag, 1992.

104. Pommercnke Ch. Conformai maps at the boundary // Handbook of Complex analysis: Geometric Function Theory. Volume 1. Amsterdam. Elsiver, 2002.

105. Protas D. Tangential limits of functions, orthogonal to invarinat subspaces // TYans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 172. P. 163-172.

106. Putinar M, Shapiro H.S. The Friedrichs operator of a planar domain // Complex Analysis, Operators, Related Topics. Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 2000. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 113. P. 303-330.

107. Rao N. V. Approximation by gradients //J. Approximation Theory. 1974. V. 12. P. 52-60.

108. Roan R.C. Composition operators on Hp with dense range // Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27, №1. P. 159-162.

109. Rubel L., Shields A. Bounded approximation by polynomials // Acta Math. 1964. V. 112. P. 145-162.

110. Rudin W. Real and complex analysis. McGraw-Hill, New York, 1987.

111. Runge C. Zur theorie der eindeutigen analytischen funktionen // Acta Math. 1885. V. 6. P. 228-244.

112. Sakai M. Regularity of boundary having a Schwarz function // Acta Math. 1991. V. 166. P. 263-297.

113. Seidcnbcrg A. Elements of the theory of algebraic curves. Addison Wesley, 1968.

114. Shaginyan A.A. On potential approximation of vector fields // Lecture Notes in Math. 1987. V. 1275. P. 272-279.

115. Shapiro ILS. Generalized analytic continuation // Symposia on Theor. Phys. and Math. 1968. V. 8. P. 151-163.

116. Shapiro, H. S. The Sehwarz function and its generalization to higher dimensions. Wiley-Interscience Publications, 1992. The University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences. V. 9.

117. Shields A. Carathéodory and conformai mapping // The Mathematical Intelligencer. 1988. V. 10, №1. P. 18-22.

118. Stout E. L. The theory of uniform algebras. Bogden&Quigley, Inc., Tarrytown-on-Hudson, N. Y., 1971.

119. Toisa, X. Painleve's problem and the semiadditivity of analytic capacity // Acta Math. 2003. V. 190. P. 105-149.

120. Toisa X. The semiadditivity of continuous analytic capacity and the inner boundary conjecture // Amer. J. Math. 2004. V. 126. P. 523-567.

121. Trent T., Wang J. L.-M. Uniform approximation by rational modules on nowhere dense sets // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. V. 81, №1. P. 62-64.

122. Trent T., Wang J. L.-M. The uniform closure of rational modules // Bull. London Math. Soc. 1981. V. 13. P. 415-420.

123. Verchota G. C., Vogel A. L. Nonsymmetric systems on nonsmooth planar domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1997. V. 349, №11. Pp.4501-4535.

124. Verdcra J. Approximation by rational modules in Sobolev and Lipschitz norms //J. Functional Analysis. 1984. V. 58. P. 267-290.

125. Verdcra J. On Cm rational approximation // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 97, №4. P. 621-625.

126. Verdcra J. Cm-approximation by solution of elliptic equations and Calderon-Zygmund operators // Duke Math. J. 1987. V. 55, №1. P. 157187.

127. Verdcra J. On the uniform approximation problem for the square of the Cauchy-Riemann operator // Pacific J. Math. 1993. V. 159. P. 379-396.

128. Vcrdera J. Removability, capacity and approximation // Complex potential theory. Dordrecht: Kluwcr, 1993. NATO ASI Series C. Vol. 439, P. 419-473.

129. Verdera J. L2 boundedness of the Cauchy integral and Monger curvature // Harmonic analysis and boundary value problems. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2001. Contemp. Math. V. 277. P. 139-158.

130. Vitushkin A.G., Mclnikov M.S. Analytic capacity and rational approximation, Linear and Complex Analysis, Problem Book, Lecture Notés in Math., V. 1403, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

131. Walsh J. L. The approximation of harmonic functions by polynomials and by harmonic rational functions // Bull. Amcr. Math. Soc. 1929. V. 35. P. 499-544.

132. Wang J. L.-M. Approximation by rational modules on nowhere dense sets // Pacific J. Math. 1979. V. 80, №1. P. 293-295.

133. Wang J. L.-M. Rational modules and higher order Caushy transforms // Internat. J. Math. & Math. Sci. 1981. V. 4, №4. P. 661-665.

134. Wang J. L.-M. Approximation by rational modules on boundary sets // Pacific J. Math. 1981. V. 92, №1. P. 237-239.

135. Wang J. L.-M. Approximation by rational modules in Lip a norms // Illinois J. Math. 1982. V. 26, №4. P. 632-636.

136. Wang J. L.-M. A localization operator for rational modules // Rocky Mountain J. Math. 1989. V. 19, №4. P. 999-1002.

137. Wang J. L.-M. A Mergclyan-Vitushkin approximation theorem for rational modules //J. Approx. Theory. 1990. V. 63, №3. P. 368-374.

138. Wang J. L.-M. Approximation by rational modules in LP and BMO //J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 160, №1. P. 19-23.

139. Wang J. L.-M. Rational modules and Cauchy transforms, II // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V. 115, №2. P. 405-408.

140. Weinstock B. M. Uniform approximation by solutions of elliptic equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V. 41, №2. P. 513-517.

141. Whitney H. Analytic extension of differentiate functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. P. 63-89.