Асимптотически оптимальные по надежности неветвящиеся программы с оператором условной остановки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Грабовская, Светлана Михайловна

  • Грабовская, Светлана Михайловна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2012, Пенза
  • Специальность ВАК РФ01.01.09
  • Количество страниц 89
Грабовская, Светлана Михайловна. Асимптотически оптимальные по надежности неветвящиеся программы с оператором условной остановки: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика. Пенза. 2012. 89 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грабовская, Светлана Михайловна

Оглавление

Введение '

Глава 1. Основные понятия и вспомогательные утверждения 17 Глава 2. Неветвящиеся программы с абсолютно надежным

оператором условной остановки

2.1 Верхняя оценка ненадежности неветвящихся программ

2.1.1 Базисы, содержащие нелинейную функцию двух переменных

2.1.2 Базисы, содержащие особенную функцию

2.2 Нижняя оценка ненадежности неветвящихся программ

2.3 Среднее время работы неветвящихся программ

Глава 3. Неветвящиеся программы с ненадежным оператором

условной остановки

3.1 Верхняя оценка ненадежности неветвящихся программ

3.1.1 Базисы, содержащие нелинейную функцию двух переменных

3.1.2 Базисы, содержащие особенную функцию

3.2 Нижняя оценка ненадежности неветвящихся программ

3.3 Среднее время работы неветвящихся программ

Заключение

Литература

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дискретная математика и математическая кибернетика», 01.01.09 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотически оптимальные по надежности неветвящиеся программы с оператором условной остановки»

Введение

Одной из важнейших задач математической кибернетики является задача синтеза надежных программ (схем) из ненадежных операторов (элементов).

Неветвящиеся программы (с оператором условной остановки или без него), реализующие булевы функции, относятся к числу основных модельных объектов математической теории синтеза, сложности и надежности управляющих систем. Неветвящиеся программы с оператором условной остановки [1,2] отличаются от неветвящихся программ наличием управляющей команды - команды условной остановки, дающей возможность досрочного прекращения работы программы при выполнении определенного условия, а именно, при поступлении единицы на вход оператора условной остановки (который еще называют стоп-оператором).

Разработка специальных методов синтеза как для схем из ненадежных функциональных элементов, так и для неветвящихся программ с оператором условной остановки связана главным образом с выбранной математической моделью неисправностей. Одна из основных моделей определяется инверсными неисправностями на выходах функциональных элементов схемы и вычислительных операторов неветвящейся программы. В диссертации решается задача построения асимптотически оптимальных (асимптотически наилучших) по надежности неветвящихся программ с оператором условной остановки в предположении, что все вычислительные операторы подвержены инверсным неисправностям на выходах, а операторы условной остановки могут быть как абсолютно надежны (2- я глава), так и ненадежны, подвержены двум типам неисправностей (3-я глава). Задача решается во всех полных конечных базисах. Уделяется внимание среднему времени работы асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ с оператором условной остановки.

Известно, что схемы из функциональных элементов (ФЭ) являются моделями электронных схем, а неветвящиеся программы (как с условной остановкой, так и без нее) моделируют работу вычислительных устройств.

Однако, несмотря на эти различия, результаты о надежности и сложности, полученные для схем из функциональных элементов переносятся на неветвящиеся программы без стоп-операторов и наоборот.

До появления работ автора задача построения надежных (а также и асимптотически оптимальных по надежности) неветвящихся программ с оператором условной остановки не рассматривалась, поэтому приведем известные и связанные с тематикой диссертации результаты о надежности и сложности схем из ненадежных функциональных элементов и о среднем времени вычисления неветвящихся программ с оператором условной остановки (в предположении, что все операторы программ абсолютно надежны) .

Впервые задачу синтеза надежных схем из ненадежных функциональных элементов рассматривал Дж. фон Нейман [3]. Он предполагал, что элементы схемы подвержены инверсным неисправностям на выходах, когда функциональный элемент с приписанной ему булевой функцией </? в неисправном состоянии, в которое переходит независимо от других элементов схемы с вероятностью £ (е € (0,1/2)), реализует функцию (р. С помощью итерационного метода Дж. фон Нейман установил, что произвольную булеву функцию можно реализовать схемой, вероятность ошибки на выходе которой при любом входном наборе значений переменных не превосходит се при любом в € (0,1/6] (с - некоторая положительная константа) .

Для повышения надежности схем Дж. фон Нейман использовал схему, реализующую функцию голосования (медиану) т(х\,х2,хз) = V х\хз VХ2Х?,, и многократное дублирование исходных схем, что, естественно, приводило к увеличению сложности схем (примерно в раз, где к - число итераций). Поэтому именно сложности уделялось главное внимание в дальнейших исследованиях, среди которых отметим результаты С. И. Ор-тюкова [4], Д. Улига [5], С. В. Яблонского [6]. Чтобы сформулировать эти результаты, введем необходимые понятия и определения.

Полное (в Р2) конечное множество В = {еь ..., ет} {т е N) называется полным конечным базисом в Р2.

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов [7], подверженных инверсным неисправностям на выходах, в полном конечном базисе В = {ei, ..., ет}, т е N. (Множество всех функциональных элементов Ei, функции которых е^ принадлежат базису В, будем также называть базисом В [8].)

Каждому элементу базиса Еi приписано положительное число v(Ei) - вес данного элемента. Сложность L(S) схемы S, реализующей булеву функцию /(х) (х = (xi, ..., хп)), определяется как сумма весов всех входящих в нее элементов. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е переходят в неисправные состояния. Пусть а) - вероятность появления значения /(а) на выходе схемы

S при входном наборе а = (а\, ..., ап). Ненадежностью Ns(S) схемы S называется Ne(S) = maxPy^y(5, а), где максимум берется по всем возможным входным наборам а схемы S. Надежность схемы S равна 1 — N£(S). Вводится функция Шеннона LPj£(n) — maxminL(5), характеризующая сложность схем, реализующих функции от п переменных в базисе В, где минимум берется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим функцию / с ненадежностью Ne(S) ^ р, а максимум - по всем булевым функциям / от п переменных.

Пусть Ne(f) = infNs(S), где инфимум берется по всем схемам S S

из ненадежных элементов, реализующим функцию /. Схема S из ненадежных элементов, реализующая функцию /, называется асимптотически оптимальной (асимптотически наилучшей) по надежности, если Ne(S) ~ N£(f) при £ —» 0, т. е. lim = 1.

Приведенным весом называется число р = min(v(El)/(n(Ei) — 1)),

Ei

где минимум берется по всем элементам Ei базиса, для которых n(Ei) > 1, n(Ei) - число существенных переменных функции е^, реализуемой элементом Ei, a v(Ei) - вес функционального элемента Ei ( i = 1, ..., т).

О. Б. Лупанов [9] показал, что для схем, реализующих булевы функции от п переменных и состоящих из абсолютно надежных элементов (т.е. при е = 0 и р = 0), выполняется соотношение L0,о ~ р • 2п/п.

С. И. Ортюков [4] для инверсных неисправностей на выходах элементов получил следующий результат: пусть 0 < £ < £q, р > q(£)Lg, где Lg

- минимальное число надежных элементов, необходимое для реализации функции голосования д(х 1, х<1, = Х\Х2 V Х\Хз V х2х% в рассматриваемом базисе; ц{е) - некоторая функция, такая, что ц{е) = е + Зе2 + о(г2) при £ —>• 0. Тогда существует такая функция р(е) —р при £ -» 0, что Ьр,£(п)<р(£)-2п/п.

Д. Улиг [5] для инверсных неисправностей на выходах элементов с вероятностью ошибки £ доказал, что для любых сколь угодно малых чисел г и К (т, Н > 0) существует такое число е' (г' Е (0,1/2)), что при любом г (е Е (0, г']) и любом р, удовлетворяющем условию р ^ (1 + К)еЬ9 (точнее р ^ ц(е)Ьд), справедливо соотношение Ьр^£(п) < (1 + т)р2п/п.

Таким образом, в результатах С. И. Ортюкова и Д. Улига асимптотика функции Шеннона сохраняется с точностью до множителя, сколь угодно близкого к единице (при этом вероятность сбоя £ ограничена константой), т.е. найденные ими методы синтеза позволяют строить асимптотически оптимальные по сложности схемы, функционирующие с некоторым уровнем надежности.

С. В. Яблонский [6] рассматривал задачу синтеза надежных схем в базисе В = {х\кх2,х\ V х% х\, д(х\, £3)}. Он предполагал, что элемент, реализующий функцию голосования д(х \,Х2<Хз) — Х\Х2 V х\Хз V х2х$, абсолютно надежный, а конъюнктор, дизъюнктор и инвертор - ненадежные, подвержены произвольным неисправностям, ненадежность каждого из них не больше е. С. В. Яблонский доказал, что для любого р > 0 существует алгоритм, который для любого п для каждой булевой функции /(х1,х2,.--,хп) строит такую схему реализующую /, что Ntг(5) ^ р,

т < 2п-'/п.

Полный базис В называется неприводимым полным базисом (в Р2), если никакое его собственное подмножество полным не является.

Обозначим через В^ множество всех булевых функций, зависящих от переменных Х\, Х2, ..., х^ (к ^ 2).

Задачу синтеза асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов решали М. А. Алехина [10], В. В. Чугунова [И], А. В. Васин [12].

М. А. Алехина [10] рассматривала константные неисправности только на входах или только на выходах функциональных элементов и доказала, что во всех неприводимых полных базисах В С В2 (исключая три случая) почти все булевы функции можно реализовать асимптотически наилучшими по надежности схемами 5, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной N£(S) ~ се1 при е —> 0, константы с и i зависят от базиса и типа неисправностей, с £ {1, 2, 3}, t £ {1, 2}. Для почти всех функций сложность таких схем S удовлетворяет соотношению L(S) < кв ■ 2п/п, причем мультипликативная константа кв зависит только от базиса В, 40 ^ кв ^ 168.

Важный результат о верхней оценке ненадежности схем при инверсных неисправностях на выходах элементов получил С.И. Аксенов [13]. Он доказал, что в произвольном полном конечном базисе любую булеву функцию / можно реализовать такой схемой S, что при всех £ £ (0, £i] верно неравенство

N£(S) ^ + с\е2. (1)

причем £Х = 1/3600, а = 10584.

Позднее М. А. Алехиной и А. В. Васину [14] удалось ослабить ограничение на £, а константу с\ уменьшить: е\ = 1/960, с\ = 182.

А. В. Васин [12] решил задачу синтеза асимптотически оптимальных по надежности схем во всех полных базисах В С Б3 при инверсных неисправностях на выходах элементов. Он доказал, что почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами из функциональных элементов с ненадежностью, асимптотически равной кв ■ £ при £ —У 0. Константа кв зависит от базиса В, и кв £ {1, 2, 3, 4, 5}. Для почти всех функций сложность таких схем асимптотически не больше чем в три раза превышает сложность минимальных схем, построенных из абсолютно надежных элементов.

В частности, из результатов А. В. Васина [12] следует, что для некоторых базисов, например В = {Х\Х2, нельзя понизить мультипликативную константу 5 в оценке ненадежности (1).

Чтобы сформулировать известные результаты о среднем времени вычисления неветвящихся программ с оператором условной остановки (все

операторы предполагаются абсолютно надежными), введем необходимые понятия и определения.

Сложностью С(Рг) неветвящейся программы Рг назовем число команд этой программы.

Временем работы Т(Рг, а) неветвящейся программы Рг на входном наборе а назовем число команд программы, выполненных до остановки.

Если на входном наборе а ни один из операторов условной остановки не сработал (т.е. входы всех стоп-операторов равны нулю), то Т(Рг, а) = С{Рг).

Величину Т(Рг) = (%2Т(Рг, а))/2п, где суммирование производится по всем двоичным наборам а длины п, назовем средним временем работы программы Рг.

Очевидно, что для любой неветвящейся программы Рг верно неравенство Т(Рг) ^ С{Рг). В частности, если неветвящаяся программа 5 не содержит операторов условной остановки, то ее сложность равна среднему времени ее работы, т.е. С (Б) = Т(5).

Величину Т(/) = ттГ(Рг), где минимум берется по всем неветвя-щимся программам, вычисляющим /, назовем средним временем вычисле-лил (средней сложностью) функции /.

Программу Рг, вычисляющую функцию /, назовем минимальной программой, если для нее справедливо равенство Т(Рг) = Т(/).

А. В. Чашкин [2] доказал: в полном базисе В С В^ (к ^ 3), содержащем функцию, существенно зависящую от к переменных, для почти всех функций /, зависящих от п переменных, среднее время вычисления

2?г-1

~ —г,-г при п оо; а если полный базис В С В2) то для любой

п(к — 1)

булевой функции /, зависящей от п переменных, среднее время вычисле-

2 п

ния Т(/) < 2п~1/п, и для почти всех функций от п переменных Г(/) > —

о'ТЬ

при п —> оо.

Сравним среднее время работы неветвящихся программ с оператором условной остановки [2] и схем [9] в случае, когда все операторы программ и все функциональные элементы схем абсолютно надежны. Поскольку все операторы программы имеют вес, равный единице, будем считать, что вес

функционального элемента также равен единице. Тогда для полного базиса В С Вк (к ^ 2), содержащего функцию, существенно зависящую от к переменных, приведенный вес р = Следовательно, при к > 3 среднее время работы (сложность) минимальных схем для почти всех функций в два раза больше, чем среднее время работы неветвящихся программ с оператором условной остановки. Если к — 2, то для почти всех функций отношение среднего времени работы (сложности) минимальных схем к среднему времени работы неветвящихся программ с оператором условной остановки не больше 3.

В диссертационной работе исследуются неветвящиеся программы с оператором условной остановки, в которых вычислительные операторы подвержены инверсным неисправностям на выходах, а для стоп-операторов рассмотрены два случая: 1) операторы условной остановки абсолютно надежны; 2) операторы условной остановки ненадежны, подвержены неисправностям первого и второго рода. В каждом из двух случаев решена задача синтеза асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ с оператором условной остановки в произвольном полном конечном базисе. Уделено внимание среднему времени вычисления таких программ.

Во второй главе будем считать, что все операторы условной остановки абсолютно надежны. А значит, каждый из них срабатывает (и следовательно, прекращает работу программы) при поступлении на его вход единицы. При этом на выходе программы появляется значение выходной переменной г, вычисленное последним до остановки.

В третьей главе будем считать, что операторы условной остановки подвержены двум типам неисправностей (первого и второго рода) и переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Неисправность первого рода характеризуется тем, что при поступлении единицы на вход стоп-оператора он с вероятностью 5 (5 Е (0, 1/2)) не срабатывает, и, следовательно, работа программы продолжается. Неисправность второго рода такова, что при поступлении нуля на вход стоп-оператора он с вероятностью г] (?7 Е (0, 1/2)) срабатывает, и, следовательно, работа программы прекращается. Обозначим р = тах{£, 6, г]}.

Ненадежностью Nß{Pr) программы Рг назовем максимальную вероятность ошибки на выходе программы Рг при всевозможных входных наборах. Надежность программы Рг равна 1 — N^(Pr). Обозначим Nß(f) = inf Nß(Pr), где инфимум берется по всем программам Рг, реализующим булеву функцию /. Программа Рг, реализующая функцию /, называется асимптотически оптимальной по надежности, если N^{Pr) ~ Nfl(f) при ß 0, т.е. lim р^г = 1.

В частности, в обозначениях Л^ДРг) и Nß(f ) вместо символа ¡1 будем использовать символ если 1) в неветвящейся программе все операторы условной остановки абсолютно надежны (т.е. ö = 0, г) = 0); 2) если ß — е; 3) если неветвящаяся программа не содержит операторов условной остановки.

Обозначим через Subst(h) множество всех функций, зависящих от п переменных Х\,Х2, ■■■■,хп (n ^ 3) и полученных из функции h всевозможными подстановками переменных (т.е. заменой и/или отождествлением переменных).

Обозначим Ао(п) = {хь ..., хп], Ar(n) = Subst(fr(xi,.... х2г+\))-, гДе fr(xi,...,X2r+l) = Х\Х2 v ¿1X3X4 V X1X3X5XQ V ... V XiX3...X2r-3X2r-lX2r V xiXz...X2r-zX2r-iX2r+i (r > 1, ^г e {хь ...,xn} при всех г G N).

00

Обозначим A{n) = |^J,4fc(n).

k=0

Пусть К. (ri) - множество всех неконстантных булевых функций, зависящих от переменных xi, • • •, хп (п ^ 3), не принадлежащих множеству

оо

Л(п). Обозначим К = |^jK(n).

п=3

Замечание. Мощность множества Л(п) удовлетворяет неравенству

\А(п)\ ^п2п-\

Поэтому —0 при n 00. Следовательно, -рт^ —> 1, а множество К содержит почти все булевы функции.

Основные результаты работы в самом общем виде можно сформулировать в виде теорем 1, 2 (для случая абсолютно надежных стоп-операторов) и теорем 3, 4 (для случая ненадежных стоп-операторов).

Теорема 1. В любом полном конечном базисе для любой булевой функции f существует такая неветвящаяся программа Рг/ с абсолютно надежными операторами условной остановки, реализующая /, для которой

ЛГДРг/) < е + 4е2. и для любой булевой функции / Е К

Щ/) > г - с^2

при всех £ Е (0,1/960], где с\ - некоторая положительная константа.

Теорема 2. Для произвольного полного конечного базиса В, любого действительного числа т > 0 существует константа е\ Е (0,1/2), такая, что при любом п ^ 3 всякую булеву функцию /' Е К(п) можно реализовать программой Рг{ с абсолютно надежными операторами условной остановки, для которой при всех е Е (0, £1]

и

Т(Рг;)<3(1+т)р2п/п при п —У оо, где - некоторая положительная константа.

Из теорем 1 и 2 следует, что в произвольном полном конечном базисе любую булеву функцию / Е К можно реализовать асимптотически оптимальной по надежности неветвящейся программой -Рг/, ненадежность которой Л^(Рг/) ~ е при е —У 0. Среднее время работы таких программ для почти всех функций асимптотически не больше чем в 9(1 +т) раз превышает среднее время работы минимальных программ, построенных из абсолютно надежных операторов (т - любое сколь угодно малое положительное число).

В теоремах 3 и 4 будем считать, что операторы условной остановки ненадежны, подвержены неисправностям первого и второго рода.

Теорема 3. В любом полном конечном базисе для любой булевой функции f существует такая неветвящаяся программа Ptf с ненадежными операторами условной остановки, реализующая f, для которой при всех £ е (0,1/960] и ß = e

N£(Prf)^£+ 17е2, и для любой булевой функции f Е К

N£(f) ^ е - с3г2, где сз - некоторая положительная константа.

Теорема 4. Для произвольного полного конечного базиса В, любого действительного числа г > 0 существует константа £2 Е (0,1/2) , такая, что при любом п ^ 3 всякую булеву функцию f Е К(п) можно реализовать программой Prj с ненадежными операторами условной остановки, для которой при всех £ Е (0, £2] и ß = £

N£{Prf) - N£(f) ^ c4£2

и

T(Prf)<3(l+r)p2n/n при п —> оо (?4 - некоторая положительная константа).

Из теорем 3 и 4 следует, что в произвольном полном конечном базисе любую булеву функцию / Е К можно реализовать асимптотически оптимальной по надежности неветвящейся программой Prj с ненадежным оператором условной остановки, ненадежность которой N£(Prf) ~ е, если р, = £ и г —> 0. Среднее время работы таких программ для почти всех функций асимптотически не больше чем в 9(1 + г) раз превышает среднее время работы минимальных программ, построенных из абсолютно надежных операторов (г - любое сколь угодно малое положительное число).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 28 наименований. Общий объем работы - 89 страниц.

Первая глава диссертации содержит необходимые определения, обозначения и ряд вспомогательных утверждений.

Особенной функцией [15] называется функция вида Х\Х2 © Х2Х4 0 азд Ф Ф Р2Х2 0 Р&ъ 0 0о (А е {О, 1}, г € {О, 1, 2, 3}).

Пусть В - полный конечный базис, тогда в этом базисе содержится нелинейная функция Д. Из функции Д (Н. П. Редькин [15]) подстановкой переменных можно получить либо некоторую нелинейную функцию двух переменных, либо некоторую особенную функцию. Таким образом, можно считать, что рассматриваемый базис В содержит либо нелинейную функцию двух переменных, либо особенную функцию.

В этой главе предложен также метод повышения надежности исходных программ с помощью программы, реализующей некоторую функцию вида х{1ха22 V х?х13 V х°22хаъ3 (а{ 6 {0,1}, г Е {1, 2, 3}), и с его помощью доказана теорема 1.2: пусть В - полный конечный базис; пусть существует такое ./V, что любую булеву функцию / можно реализовать неветвящей-ся программой Я/ с ненадежностью АДЯ/) ^ Ы; пусть д(х\, х2, х3) -функция вида х\хха^ V х^х? V х^х^ {аг е {0,1}, г Е {1, 2, 3», Ртд - программа, реализующая функцию д(х 1, £'2, ^з), а А^(Ргд) ~ ненадежность программы Ргд. Тогда любую булеву функцию / в этом базисе можно реализовать такой программой Р77, что справедливы неравенства

ЛЦРГ/К Л^(Ргд) + зя2,

Л^(Рг}) < шах{и\ г;0} + ЗТУ • АДРг5) + ЗТУ2,

где V1 и г>° - вероятности ошибок программы Ргд на наборах (сть <72, 03) и ((ТЬ сг2, аз) соответственно.

Эти неравенства в дальнейшем используются для получения верхних оценок ненадежности программ.

Во второй главе исследуется ненадежность неветвящихся программ в предположении, что операторы условной остановки абсолютно надежны. В разделе 2.1 разработаны методы синтеза надежных программ и получены верхние оценки ненадежности построенных программ. В разделе 2.1.1 предполагается, что полные конечные базисы содержат нелинейную функцию двух переменных, причем в разделе 2.1.1.1 рассматриваются полные конечные базисы, содержащие обобщенную дизъюнкцию, а в разделе 2.1.1.2 - полные конечные базисы, содержащие обобщенную конъ-

юнкцию. В разделе 2.1.2 исследуются полные конечные базисы, содержащие особенную функцию. В каждом из этих случаев конструктивно доказано (теоремы 2.1-2.5), что любую булеву функцию можно реализовать неветвящейся программой, ненадежность которой при всех е € (0, 1/960] не больше е + 4е2.

Таким образом, справедлива теорема 2.6: в произвольном полном конечном базисе любую булеву функцию можно реализовать неветвящейся программой, ненадежность которой при всех г Е (0, 1/960] не больше £ + 4е2.

Раздел 2.2 посвящен нижним оценкам ненадежности неветвящихся программ с абсолютно надежным оператором условной остановки.

Доказана теорема 2.7: в произвольном полном конечном базисе для любой булевой функции / Е К и любой неветвящейся программы Рту с абсолютно надежными операторами условной остановки, реализующей /, верно неравенство ТУ£(Рг/) ^ е(1 — е)т (т - число вычислительных операторов в программе Рту).

Таким образом, из теоремы 2.6 следует, что все булевы функции можно реализовать программами, функционирующими с ненадежностью асимптотически не больше, чем £ при £ —> 0. Из теоремы 2.7 получаем, что функции из класса К нельзя реализовать программами с ненадежностью асимптотически меньше, чем е (е —>• 0). Следовательно, построенные при доказательстве теоремы 2.6 программы являются асимптотически оптимальными по надежности для функций из класса А', т.е. почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности программами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной £ при £ —У 0.

В разделе 2.3 исследуется среднее время работы асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ с абсолютно надежным оператором условной остановки. Доказано (теорема 2.8), что в произвольном полном конечном базисе для почти всех функций среднее время работы асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ асимптотически не больше чем в 9(1 + г) раз превышает среднее время работы минимальных неветвящихся программ, построенных из абсо-

лютно надежных операторов (т - любое сколь угодно малое положительное число).

В третьей главе исследуется ненадежность неветвящихся программ в предположении, что операторы условной остановки ненадежны.

В разделе 3.1 разработаны методы синтеза надежных программ и получены верхние оценки ненадежности построенных программ.

В разделе 3.1.1 рассматриваются полные конечные базисы, содержащие нелинейную функцию двух переменных, и конструктивно доказано (теорема 3.1), что в полном конечном базисе, содержащем нелинейную функцию двух переменных, любую булеву функцию / можно реализовать программой Prf с ненадежностью Nß(Prj) ^ £ + 131ц2 при всех £ £ (0, 1/960] (напомним, что ¡i = maxjs, 6, rj}). В случае /i = £ результат теоремы 3.1 можно улучшить (следствие 3.1): в полном конечном базисе, содержащем нелинейную функцию двух переменных, любую булеву функцию / можно реализовать такой программой Рг/, что при всех г Е (0, 1/960] и ¡i = £ верно неравенство Ne{Pr¡) < £ + 16г2.

В разделе 3.1.2 рассматриваются полные конечные базисы, содержащие особенную функцию, и конструктивно доказано (теорема 3.2), что в полном конечном базисе, содержащем особенную функцию, любую булеву функцию / можно реализовать программой Pr¡ с ненадежностью Nß(Prf) ^ max{£, rj} + 147/х2 при всех £ Е (0, 1/960]. В случае ß = £ результат теоремы 3.2 можно улучшить (следствие 3.2): в полном конечном базисе, содержащем особенную функцию, любую булеву функцию / можно реализовать такой программой Pry, что при всех £ Е (0, 1/960] и ¡i = £ верно неравенство Ne(Pr¡) ^ £ + 17г2.

Учитывая результаты следствий 3.1 и 3.2, получаем (теорема 3.3), что в произвольном полном конечном базисе любую булеву функцию можно реализовать такой неветвящейся программой, что при всех г £ (0,1/960] и ¡i = £ ее ненадежность не больше £ + 17е2.

В разделе 3.2 получена нижняя оценка ненадежности неветвящихся программ с ненадежными операторами условной остановки. Доказана теорема 3.4: в произвольном полном конечном базисе для любой булевой функции / £ К и любой программы Pr¡ с ненадежными операторами условной

остановки, реализующей /, верно неравенство А^(Рг/) ^ е{1 — /л)т+т, где та - число функциональных операторов; г - число стоп-операторов программы Ргг.

Таким образом, из теоремы 3.3 следует, что все булевы функции можно реализовать программами, которые в случае ¡л = е функционируют с ненадежностью асимптотически не больше, чем г при е —> 0. Из теоремы 3.4 получаем, что функции из класса К нельзя реализовать программами, функционирующими с ненадежностью асимптотически меньше, чем £ (е 0) в случае р = е. Следовательно, программы из теоремы 3.3 являются асимптотически оптимальными по надежности для функций из класса К, т.е. почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности программами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной е, если (л = е и е —» 0.

В разделе 3.3 исследуется среднее время работы асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ с ненадежным оператором условной остановки. Доказано (теорема 3.5), что в произвольном полном конечном базисе для почти всех булевых функций среднее время работы таких неветвящихся программ асимптотически не больше чем в 9(1 + т) раз превышает среднее время работы минимальных неветвящихся программ, построенных из абсолютно надежных операторов (г - любое сколь угодно малое положительное число).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18] - [28], среди них 3 работы, написанные в соавторстве с научным руководителем М.А. Алехиной. В совместных работах результаты являются собственными, М.А. Алехиной принадлежат постановка задачи и идея доказательства.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору М.А. Алехиной за постоянное внимание к работе, поддержку и полезные советы.

Похожие диссертационные работы по специальности «Дискретная математика и математическая кибернетика», 01.01.09 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Грабовская, Светлана Михайловна

Заключение

В диссертации исследована ненадежность неветвящихся программ с оператором условной остановки в произвольном полном конечном базисе. Предполагалось, что вычислительные операторы программ ненадежны, подвержены инверсным неисправностям на выходах, переходят в неисправные состояния независимо друг от друга с вероятностью е (е £ (0,1/2)). Для операторов условной остановки рассмотрены два случая: 1) стоп-операторы абсолютно надежны, 2) стоп-операторы ненадежны, подвержены неисправностям 1-го рода (с вероятностью 5 (6 £ (0,1/2))) и 2-го рода (с вероятностью Г) (т) £ (0,1/2))), переходят в неисправные состояния независимо друг от друга.

В первом случае (2-ая глава) доказано, что в произвольном полном конечном базисе все булевы функции можно реализовать неветвящи-мися программами с абсолютно надежным оператором условной остановки, которые функционируют с надежностью асимптотически (е 0) не больше чем е, и существуют функции / £ К, которые нельзя реализовать неветвящимися программами с оператором условной остановки, которые функционируют с надежностью асимптотически (е —» 0) меньше чем г. Класс К содержит почти все булевы функции. Таким образом, получаем следующий результат: в произвольном полном конечном базисе почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности неветвящимися программами с оператором условной остановки, которые функционируют с ненадежностью, асимптотически равной £ при £ -> 0.

Этот результат принципиально отличается от аналогичного результата для неветвящихся программ (без стоп-оператора). Проведем сравнение с известными результатами для полных базисов В С (поскольку в других полных конечных базисах задача построения асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ пока не решена).

Из результатов А. В. Васина [12] следует, что в полном базисе В С В3 при инверсных неисправностях на выходах вычислительных операторов почти все функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности неветвящимися программами (без стоп-операторов), функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной к в • £ при £ —> 0. Константа кв зависит от базиса В и кв Е {1, 2, 3, 4, 5}. Например, если полный базис В содержит функцию х\х2 0 х3) то кв = 1; если В — {х\х2,х\(х2 \/хз),1}, то кв = 2; если В = {Х\Х2,Х\ V Х2,х\], то кв = 3; если В = {Х\Х2, х\\, то кв = 4; если В = {х\х2, Х\}, то кв — 5.

Тогда как для неветвящихся программ с оператором условной остановки в произвольном полном базисе В константа к в = 1.

Отметим также, что с точки зрения сложности вычислений (но не средней сложности!) результат для асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ с оператором условной остановки такой же, как для асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ (без стоп-оператора), а именно сложность названных программ отличается от сложности неветвящихся программ (как с оператором условной остановки, так и без него), построенных из абсолютно надежных операторов, асимптотически не больше чем в три раза.

Таким образом, проведенные исследования показывают, что если есть возможность выбора, то с точки зрения надежности предпочтительнее использовать неветвящиеся программы с оператором условной остановки.

Во втором случае (3-я глава) доказано, что в произвольном полном конечном базисе все булевы функции можно реализовать неветвящимися программами с ненадежным оператором условной остановки, которые функционируют с надежностью, асимптотически (¡л —V 0, ¡л = тах{г, 6, г]}) не больше чем тах{б:,77}, и существуют функции / Е К, которые нельзя реализовать неветвящимися программами с оператором условной остановки, которые функционируют с надежностью асимптотически (¡л —> 0) меньше чем £. Класс К (тот же, что и во 2-ой главе) содержит почти все булевы функции.

Попытки получить нижнюю оценку вида тах{е, г)} позволили выявить свойства подпрограмм исследуемой программы, при которых ошибки ненадежных стоп-операторов не влияют на результат вычисления. Эти свойства не зависят ни от базиса, ни от функции, которую вычисляет программа, определяются лишь структурой самой программы. А значит, в самом общем случае для произвольной программы, реализующей функцию / £ К, невозможно оценить ее ненадежность снизу выражением вида г] • (р(е, 6, 77) или 6 ■ ф(е, д, г}) 5, ту), ф(е, 77) - некоторые функции, зависящие от е, <5, г]). Этот факт указывает на то, что именно ошибки вычислительных операторов наиболее существенно влияют на оценку ненадежности неветвящихся программ с оператором условной остановки.

Если же /л — е, то верхняя и нижняя оценки ненадежности программ асимптотически {¡л 0) равны е. В этом случае получаем следующий результат: в произвольном полном конечном базисе почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности неветвящимися программами с оператором условной, которые функционируют с ненадежностью, асимптотически равной £ при е —>• 0.

Среднее время вычисления таких программ для почти всех функций | по порядку равно среднему времени вычисления минимальных неветвящихся программ с оператором условной остановки, построенных из I абсолютно надежных операторов. 5 1 I

1 [

I |

4 |

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грабовская, Светлана Михайловна, 2012 год

Литература

1. Чашкин, А. В. О среднем времени вычисления значений булевых функций / А. В. Чашкин // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. - 1997. - Т. 4, № 1. - Январь-март - С. 60-78.

2. Чашкин, А. В. О среднем времени вычисления булевых операторов / А. В. Чашкин // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. - 1998. - Т. 5, № 1. - Январь-март - С. 88-103.

3. Von Neuman, J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components / J. von Neuman // Automata studies / edited by C. Shannon, Mc. Carthy J. - Princeton University Press, 1956. (Русский перевод: Автоматы. - M. : ИЛ, 1956. - С. 68-139.)

4. Ортюков, С. И. Об избыточности реализации булевых функций схемами из ненадежных элементов / С. И. Ортюков // Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям (г. Москва, 27-29 января 1987 г.). - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989. - С. 166-168.

5. Uhlig, D. Reliable networks from unreliable gates with almost minimal comlexity / D. Ulig // Fundamentals of Computation Theory. Intern, conf. FCT'87 (Kazan, June 1987). - Proc. Berlin : Springer-Verl, 1987. -P. 462-469. (Lecture Notes in Coinput. Sci.; V. 278).

6. Яблонский, С. В. Асимптотически наилучший метод синтеза надежных схем из ненадежных элементов / С. В. Яблонский // Banach Center. - 1982. - № 7. - P. 11-19.

7. Редькин, Н. П. Надежность и диагностика схем / Н. П. Редькин. -М. : Изд-во МГУ, 1992. - 192 с.

8. Лупанов, О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем / О. Б. Лупанов. - М. : Изд-во МГУ, 1984.

9. Лупанов, О. Б. Об одном методе синтеза схем / О. Б. Лупанов // Изв. вузов. Радиофизика. - 1958. - Т. 1, № 1. - С. 120-140.

10. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов : моногр / М. А. Алехина. - Пенза : ИИЦ ПГУ, 2006. - 156 с.

11. Чугунова, В. В. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем при инверсных неисправностях на входах элементов : дис. .. . канд. физ.-мат. наук / В. В. Чугунова. - Пенза, 2007.

12. Васин, А. В. Асимптотически оптимальные по надежности схемы в полных базисах из трехвходовых элементов : дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. В. Васин. - Пенза, 2010.

13. Аксенов, С. И. О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Серия «Естественные науки». - 2005. - № 6 (21) - С. 42-55.

14. Алехина, М. А. О надежности схем в базисах, содержащих функции не более чем трех переменных / М. А. Алехина, А. В. Васин // Ученые записки казанского государственного университета. Серия «Физико-математические науки». - 2009. - Т. 151, кн. 2. - С. 25-36.

15. Редъкин, Н. П. О полных проверяющих тестах /' Н. П. Редькин // Математические вопросы кибернетики. - 1989. - Вып. 2 - С. 198-222.

16. Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику: учебное пособие для вузов / С. В. Яблонский / под ред. В. А. Садовничего. -3-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2001. - 384 с.

17. Алехина, М. А. О сложности надежных схем при инверсных неисрав-ностях на выходах элементов / М. А. Алехина, С. И. Аксенов // Дискретная математика и ее приложения : материалы IX Между нар. семинара, посвященного 75-летию со дня рождения академика О. Б. Лу-панова (г. Москва, 18-23 июня 2007 г.). - М. : Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ, 2007. - С. 56-59.

18. Грабовская, С. М. Синтез надежных неветвящихся программ с условной остановкой в полном конечном базисе, содержащем х\кх2 ,/ С. М. Грабовская // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 43-54.

19. Грабовская, С. М. О надежности неветвящихся программ в базисе, содержащем функцию вида х\1 V х%2 / С. М. Грабовская //

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико/

математические науки. - 2010. - № 4 (16). - С. 26-38.

20. Грабовская, С. М. О надежности неветвящихся программ с ненадежным оператором условной остановки в произвольном полном конечном базисе / С. М. Грабовская // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). -С. 52-60.

21. Грабовская, С. М. О надежности неветвящихся программ в базисе, содержащем функцию вида ж"1 &Ж22 / С. М. Грабовская //Дискретный анализ и исследование операций. - 2012. - Т. 19, № 1. - С. 33- 40.

22. Алехина, М. А. Нижняя оценка ненадежности неветвящихся программ с оператором условной остановки / М. А. Алехина , С. М. Грабовская // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. 44-56.

23. Алехина, М. А. О надежности неветвящихся программ в произвольном полном конечном базисе / М. А. Алехина , С. М. Грабовская // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2012. - № 2 -С. 13-22.

24. Грабовская, С. М. О верхней оценке ненадежности неветвящихся программ в некоторых базисах / М. А. Алехина, С. М. Грабовская // Проблемы автоматизации и управления в технических системах : тр. Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 19-22 апреля 2011 г.) - Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. - Т. 1 - С. 116-120.

25. Алехина, М. А. О методах повышения надежности схем и неветвящихся программ / М. А. Алехина, С. М. Грабовская // Проблемы теоретической кибернетики : материалы XVI Междунар. конф. (г. Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г.) - Нижний Новгород : Изд-во Нижегородец гос. ун-та, 2011. - С. 30-33.

26. Грабовская, С.М. О надежности неветвящихся программ в базисах, содержащих нелинейную функцию двух переменных / С. М. Грабовская // Проблемы теоретической кибернетики : материалы XVI Междунар. конф. (г. Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г.) - Нижний Новгород : Изд-во Нижегородск. гос. ун-та, 2011. - С. 122-125.

27. Грабовская, С. М. О среднем времени работы неветвящихся программ в произвольном полном конечном базисе / С. М. Грабовская // Математика и математическое моделирование : тр. Всерос. науч.-практ. конф. (г. Саранск, 13-14 октября 2011 г.). - Саранск : Изд-во Мордовск. гос. пед. ин-та им. М. Е. Евсевьева, 2011. - С. 25-29.

28. Грабовская, С. М. О верхней оценке ненадежности неветвящихся программ с ненадежным оператором условной остановки / С. М. Грабовская // Материалы восьмой молодежной школы по дискретной математике и ее приложениям (г. Москва, 24-28 октября 2011 г.). - М. : Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ им. М. В. Ломоносова, 2011. - Ч. 1. - С. 18-23.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.