Асимптотическое исследование некоторых нелинейных моделей математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Несмеянов, Алексей Александрович

• Несмеянов, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Несмеянов, Алексей Александрович

Введение.

Глава I. Формулировка краевых задач теории мелководных волн.

1.1. Физическая постановка задачи.

1.2. Гидродинамическая аналогия в теории мелководных волн.

1.3. Вывод основных уравнений.

1.4. Вывод краевых условий.

1.5. Математическая формулировка краевой задачи.

1.6. Описание метода полной аппроксимации. Получение формул для коэффициента давления.

Глава II. Дифракция мелководных волн на тонком теле при движении с околокритической скоростью.

2.1. Формулировка и решение краевой задачи при числах Фруда больших единицы.

2.2. Анализ полученных результатов.

2.3. Формулировка и решение краевой задачи при числах Фруда меньших единицы.

2.4. Анализ полученных результатов.

Глава III. Низкочастотные гармонические колебания телесного профиля в околозвуковом потоке газа при числах Маха больших единицы.

3.1. Формулировка и решение краевой задачи.

3.2. Анализ полученных результатов.

Глава IV. Оптимальные формы обтекаемых контуров тел минимального волнового сопротивления при околокритических скоростях и числах Маха или Фруда больших единицы.

4.1. Формулировка и решение задачи определения профиля крыла самолёта.

4.2. Анализ полученных результатов.

4.3. Формулировка и решение задачи определения контура ватерлинии корабля или гидросамолёта.

4.4. Анализ полученных результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое исследование некоторых нелинейных моделей математической физики»

Актуальность проблемы.

При исследовании математических моделей теории околозвуковых течений в газовой динамике и околокритических течений в гидродинамике на мелкой воде возникают задачи, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго и выше порядков. В частности, это задачи теории мелководных волн, ряд задач околозвуковой газовой динамики и другие.

Первые теоретические работы в этой области относятся к 40-м годам. В течении последующих четырёх десятилетий были получены решения ряда задач теории мелководных волн, касающиеся сверхкритических и докритических режимов обтекания тел, что соответствовало сверхзвуковым и дозвуковым течениям в газовой динамике, но только в линейной постановке. Значимые результаты были получены Н.Е. Жуковским [22], A.A. Костюковым [26], А. Мие-ле [76], М.Д. Хаскиндом [80], JI.H. Сретенским [72], Д. Ньюменом [56], Дж. Коулом, JI. Куком [29], J. С.М. Коротковым [25], J. А. Aranha, С.А. Martins [83] и др. Решение же вышеупомянутых задач в нелинейной постановке вызывало большие трудности, что было связано с несовершенством математического аппарата их исследования. Актуальность данного направления послужила в последние годы толчком к разработке и развитию ряда качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, которые успешно применялись к отдельным задачам. Общий обзор методов дан в работах [3, 5-7, 9, 71, 35-37,12, 17, 63,64, 81].

С точки зрения современного состояния теории большой интерес представляют работы ученых Новосибирского института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева И.В. Стуровой [73] - [74] и И.К. Тена [75]. И.В. Стуровой найдены решения двумерных нестационарных задач о поведении плавающей на свободной поверхности жидкости упругой балки конечных размеров и упругой круглой пластины под действием внешней нагрузки. Совместное движение тел и жидкости рассмотрено в рамках линейной теории. И.К. Тен рассматривает двумерную нестационарную задачу о плавающем теле прямоугольной формы в слое жидкости конечной глубины. Задача исследуется в рамках линейной теории потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости. Уравнения движения жидкости сводятся к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода методом декомпозиции области течения и полученная система исследуется и решается численно методом редукции. В результате найдено распределение гидродинамических давления и силы, действующих на тело.

В работе С.И. Горлова [13] рассматривается применение численного метода Рунге-Кутта-Фельберга к задаче о погружении кругового цилиндра под свободной поверхностью весомой жидкости. В результате приводятся профили генерируемых волн и суммарные гидродинамические характеристики контура.

Т.А. Кулагина и O.A. Трошкина [31] рассматривают решение краевой задачи обтекания телесного профиля потоком сжимаемой жидкости на малых отстояниях от опорной поверхности в случае дозвукового диапазона течений методом малых возмущений. В результате получены значения коэффициента подъёмной силы и моментов.

В.П. Житников, О.И. Шерыхалин и Н.М. Шерыхалина исследуют задачи о течении идеальной несжимаемой весомой жидкости при наличии внутреннего источника, вихря, диполя или тела конечного размера [21]. Для решения задач применяются численно-аналитические методы с выделением особенностей. Основное внимание уделяется решениями типа солитона и волны Стокса. Решение строится в виде аналитической функции, удовлетворяющей тривиальным краевым условиям на всех участках границы, за исключением одного, где граничное условие задается в виде нелинейного интегрального уравнения (интеграла Бернулли). Особенности, соответствующие волне Стокса и солитону, учитываются с помощью дополнительных слагаемых, входящих в решение.

Коэффициенты перед дополнительными слагаемыми определяются из краевого условия путем предельных переходов к особым точкам.

Интересна, с точки зрения исследования математических моделей теории околокритических течений, работа В.Г. Сизова [70], посвященная обсуждению вопроса о граничном условии на бесконечности для краевой задачи, определяющей потенциал скоростей, вызванных движущимся судном. Здесь приводится высказанное М.Г. Крейном предположение о возможных условиях на бесконечности впереди и позади судна. Затем рассмотрен метод, примененный Мичеллом для решения полученной им краевой задачи. Отмечается, что по сути Мичелл впервые применил обобщенное преобразование Фурье для решения краевой задачи. Указывается более общий вид уравнений, к которым применимо преобразование Фурье-Мичелла.

Д.Ф. Абзалиловым и Н.Б. Ильинским в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости рассматривается задача построения крылового профиля, обладающего продольной устойчивостью [1]. Решение строится методом обратных краевых задач аэрогидродинамики. Выполнение условий разрешимости задачи и продольной устойчивости профиля достигается применением способа квазирешения некорректных задач математической физики. Такой подход, использующий в качестве основных исходных данных распределение скорости по искомому контуру крылового профиля, позволяет находить форму устойчивых профилей, обладающих достаточно хорошими аэродинамическими характеристиками.

В диссертации В. Г. Леонтьева [32] поставлена и решена задача построения крылового профиля, вдоль контура которого задано распределение скорости в виде кусочно-постоянной функции. Доказано, что для рассмотренного класса имеется максимум подъемной силы. Построено численное решение задачи нахождения формы бесконечно тонких профилей, обладающих максимальной подъемной силой, в неограниченном потоке и при наличии плоского экрана. На основе разработанных алгоритмов построено решение задачи нахождения телесного профиля с оптимальными аэродинамическими характеристиками в неограниченном потоке и при наличии экрана.

А. М. Елизаров, А. Н. Ихсанова, Д. А. Фокин в своих работах [19, 20] находят численное решение вариационной обратной краевой задача аэрогидродинамики, в которой отыскивается непроницаемый крыловой профиль, обладающий максимальным коэффициентом подъемной силы, при ограничении на максимум скорости потока идеальной несжимаемой жидкости на его контуре и проводят численный эксперимент.

В работе Bai K.J., Kyoung J.H., Kim J.W. [84] рассматривается движение тонкого судна вдоль прямолинейного канала прямоугольного сечения. Определяется форма свободной поверхности (корабельные волны). Задача в рамках полной нелинейности теории безвихревых волн решается численно методом конечных элементов с результатом в виде аэродинамических характеристик.

Японские ученые Kataoka Shiro, Sueyoshi Akira, Arihama Kiyoshi, Iwashita Hidetsugu, Takaki Mikio в своей работе [88] численно исследовали нелинейное нестационарное давление, действующее на корпус судна, продвигающегося в волнах. В вычислениях по временной области функция Грина, удовлетворяющая линеаризованному условию на свободной поверхности, применена в нелинейной задаче, которая отслеживает изменение формы корпуса под спокойной водой при движении судна. Показано, что учет нелинейных эффектов заметно сказывается на нестационарном давлении вблизи резонансных условий у кормы.

Dymitruk Janusz, Laudanski Ludomir M. представлен метод численного моделирование обтекания авиационного профиля нестационарным околозвуковым потоком [86]. Метод опирается на сопряжении наружного невязкого потока с вязким потоком внутри пограничного слоя у поверхности профиля и вдоль по вихревому следу. Физическая модель наружного потока основана на нестационарном, полном уравнении для потенциала, которое решается методом конченных разностей. Уравнения сжимаемого пограничного слоя решаются в интегральной форме как система обычных дифференциальных уравнений. Форма этой системы уравнений зависит от характера потока в пограничном слое. Практическая реализация разработанного метода и программа для компьютера позволяют анализировать обтекание профиля как в стационарном, так и в полностью нестационарном режиме.

Таким образом, за последние годы, рассматриваемая теория в целом и теория мелкой воды в частности, получили достаточно большое развитие. В то же время можно констатировать, что полученные результаты ещё далеки от завершения и необходимы дальнейшие исследования, что определяет достаточно большое теоретическое и практическое значение работы в этом направлении.

В последнее время был развит асимптотический метод, который позволил эффективно решить ряд околозвуковых задач газовой динамики, - метод полной аппроксимации, основанный на задаче полной аппроксимации, предложенной А.Н. Панченковым [61, 62], математически обоснованный и развитый Г.Ф. Сигаловым [64, 66], и являющийся дальнейшим обобщением метода деформируемых координат [10, 38]. В соответствии с этим методом вводятся новые независимые деформированные переменные, в которых нелинейное дифференциальное уравнение линеаризуется с определённой асимптотической оценкой, что позволяет построить структуру решения. Обратный переход к исходным переменным позволяет получить искомое решение.

На основе метода полной аппроксимации был исследован широкий круг задач для нелинейных дифференциальных уравнений - обыкновенных и в частных производных [64, 68, 69]. В теории мелководных волн можно уравнения движения несжимаемой жидкости привести к уравнениям газовой динамики и для околокритических режимов (докритический и сверхкритический диапазоны) получить уравнения аналогичные уравнениям околозвуковой газовой динамики. В связи с этим интересен вопрос о применении метода полной аппроксимации в теории мелководных волн при околокритических режимах течения. Отметим, что в гидродинамике такие задачи часто исследовались на основе экспериментов [11,23, 26, 69, 82, 85, 87, 90], а теоретические решения, как уже говорилось ранее, были получены в основном для задач в линейной постановке. Нелинейные задачи теории мелководных волн исследовались на основе метода последовательных приближений и ряда других аналогичных методов, что, однако, могло приводить к возникновению неравномерности решения в дальней области (кумулятивный эффект) [10, 29, 38, 40]. Эта неравномерность решения в виде кумулятивного эффекта аналогична неоднородности в теории профиля крыла [10, 38]. То есть применение метода последовательных приближений в этом случае не представлялось возможным вследствие того, что уже на первом шаге нужно было решать нелинейные дифференциальные уравнения.

Получение равномерно пригодного решения возможно либо с применением метода деформируемых координат, либо метода сращиваемых асимптотических разложений [28, 38, 80, 83].

В дальней области, применяя преобразование координат, приходим к нелинейному уравнению типа Кортевега - де Фриза [16, 18, 89], которое представляет собой дисперсионное уравнение, с решением в виде либо периодической, либо уединённой волны. Решение уравнений типа Кортевега - де Фриза производится численным или аналитическим методом при помощи специальных преобразований независимых и зависимых переменных типа Коула-Хопфа или Бэклунда в зависимости от вида уравнения. Затем эти решения должны сращиваться, образуя равномерно пригодное решение.

Как видим, это решение задачи о мелководных волнах довольно сложно по следующим причинам:

1. Решение неравномерно пригодно (в асимптотическом представлении решения могут быть пропущены члены шкалы сравнения).

2. Трудоёмкость вычислений резко возрастает при переходе от низших приближений к высшим.

Применение же метода полной аппроксимации в задачах теории околозвуковых течений показало, что решения полученные на его основе являются равномерно пригодными [64].

В данной работе на основе метода полной аппроксимации получены решения ряда новых нелинейных задач, касающихся дифракции волн на мелководье, низкочастотных колебаний тела и оптимизации контуров обтекаемых тел [41]-[55]. Общность этих задач состоит в близости формулировок их математических моделей.

Целью работы является развитие и приложение метода полной аппроксимации к решению ранее не исследованных нелинейных задач механики жидкости и газа.

Методы исследования Результаты работы получены на основе использования метода полной аппроксимации, методов математической физики и вариационного исчисления. Расчёт конкретных значений и получение их графической интерпретации проводился с использованием современных средств вычислительной техники и сопутствующего программного обеспечения, в частности, созданного с участием автора, программного комплекса «Конус».

Научная новизной данной работы является дальнейшее развитие метода полной аппроксимации и его приложение для решения ряда ранее не исследованных актуальных задач теории околозвуковых течений в газовой динамике и околокритических течений в гидродинамике на мелкой воде. Необходимо отметить, что подход к решению задач, рассматриваемый в работе впервые применён в теории мелководных волн. Его дальнейшее использование в этом направлении представляет широкий научный интерес и возможно позволит получить аналитическое решение целого класса ранее не исследованных задач.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Исследованы новые нелинейные задачи механики жидкости и газа, касающихся дифракции волн на мелководье, низкочастотных колебаний тела и оптимизации контуров обтекаемых тел.

2. Сформулированы и доказаны теоремы о существовании решений нелинейных задач об дифракции мелководных волн на тонких телах различных форм при числах Фруда больше или меньше единицы.

3. Получены выражения для определения усилий, возникающих при дифракции мелководных волн.

4. Получено уравнение для границы устойчивости колебаний телесного профиля в околозвуковом потоке газа при числах Маха больших единицы.

5. Найдены оптимальные формы обтекаемых контуров тел минимального волнового сопротивления при околокритических скоростях и числах Маха или Фруда больших единицы.

Практическая ценность:

1. Результаты, полученные в работе, могут использоваться на этапах предварительного проектирования судов и различных авиационных конструкций.

2. Прикладные программы, используемые в работе, вошли в программный комплекс «Конус», на который получено авторское свидетельство Российского агентства по патентам и товарным знакам [51].

3. Полученные в диссертации результаты использовались:

- при проведении научно-исследовательских работ в Институте Солнечно-земной физики СО РАН в рамках федеральной целевой программы «Интеграция» (проект №3.2-268 - «Центр коллективного пользования уникальным учебно-техническим оборудованием»).

- при проведении научных исследований и в учебном процессе в Институте математики, экономики и информатики ИГУ и ГОУ ВСИ МВД России.

Личный вклад автора. При выполнении работ по теме диссертации автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработки методологии исследований, создании комплекса расчётных программ и подготовке публикаций по результатам исследований.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на ряде научных конференций: международной конференции «Математические модели и методы их исследования (Красноярск, КГУ, 1999 г.), 3-ей Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошной среды» (Новосибирск, НГУ, 1999 г.), юбилейной научной конференции, посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, МГУ, 1999 г.), 6-й Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы деятельности правоохранительных органов и государственной противопожарной службы» (Иркутск, ВСИ МВД, 2001 г.), XII научно-технической конференции «Проблемы повышения боевой готовности, боевого применения, технической эксплуатации и обеспечения безопасности полётов летательных аппаратов с учётом климатогеографических условий Сибири, Забайкалья и Дальнего Востока» (Иркутск, ИВАИИ МО РФ, 2001 г.), VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, КГТУ, 2002 г.), международной молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения 2002» (Казань, 2002 г.), III Всероссийской конференции «Математика, Информатика, Управление» (Иркутск, ИДСТУ РАН, ИГУ, 2004 г.), 4-м российско-швейцарском научно-практическом семинаре «Проблемы экологической безопасности и борьбы с лесными пожарами» (Улан-Удэ - Иркутск, 2006 г.).

- научных семинарах в Институте математики, экономики и информатики ИГУ и в Восточно-Сибирском институте МВД России.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 научных работ [4155]. В число указанных статей входит две статьи [45, 50] из «Перечня ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации 2006 года».

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы (90 наименований). Общий объем диссертации 114 страниц, включая 25 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Несмеянов, Алексей Александрович

Основные выводы как для профиля крыла так и для ватерлинии корабля или гидросамолёта сводятся к тому, что контур перестаёт быть симметричным относительно поперечной оси, центр максимальной толщины смещается по сравнению с линейной теорией назад к хвостовой оконечности контура.

Кроме того, необходимо отметить, что изменение формы и уменьшение сопротивления оптимального контура по сравнению с линейной теорией тем больше, чем ближе число Маха или Фруда к единице и чем больше относительная толщина контура.

II. Подход к решению задач, рассматриваемый в работе ранее не применялся в теории мелководных волн и его дальнейшее использование в этом направлении представляет большой интерес и возможно позволит получить аналитическое решение целого класса ранее не исследованных задач, например, определения оптимальной формы шпангоута при оптимальной ватерлинии корабля и, таким образом, оптимальной пространственной формы корабля при различных ограничениях, оптимальной формы крыловых профилей при различных ограничениях на их форму, исследования различных задач теории мелководных волн и околозвукового обтекания тел в пространственных случаях и так далее.

III. Результаты, полученные в работе, могут рассматриваться как оценочные и использоваться на этапах предварительного проектирования судов и различных авиационных конструкций.

Заключение

I. В работе на основе асимптотического метода полной аппроксимации проведено исследование ряда задач, решение которых до сих пор не было получено. К ним относятся: задача о дифракции мелководных волн на тонком теле при околокритических скоростях движения при числах Фруда как больших так и меньших единицы, краевая задача, описывающая низкочастотные гармонические колебания тонкого телесного профиля в сверхзвуковом диапазоне околозвуковых течений, задача определения профиля крыла самолёта при околозвуковых скоростях движения и числах Маха лишь немного больших единицы и задача определения контура ватерлинии корабля или гидросамолёта на мелкой воде, при околокритических скоростях движения и числах Фруда лишь немного больших единицы. Эти задачи объединяет общность их математических формулировок.

При исследовании этих задач были получены следующие выводы:

- Для задачи о дифракции мелководных волн на тонком теле при числах Фруда больших единицы, при решении которой получены выражения для усилий, возникающих на теле при отражении волн, было установлено, что в области околокритических скоростей наблюдается резкое возрастание усилий по нелинейной теории и при Рг =1.15 оно составляет, соответственно до 23.5% от линейной. При увеличении числа Фруда результаты нелинейной теории стремятся к линейным и при Рг = 2 переходят в линейную теорию.

- Для задачи о дифракции мелководных волн на тонком теле при числах Фруда меньших единицы сделан вывод о том, что увеличение толщины тела ведёт к увеличению общего значения усилий. Кроме того с увеличением частоты колебаний в диапазоне от 0,1 до 0,3 наблюдается значительное возрастание усилий по нелинейной теории по сравнению с линейной, и при сг = 0,3 нелинейная добавка составляет до 16,5 % от линейной теории. Затем, с ростом частоты колебаний, начинает наблюдается уменьшение значения нелинейной добавки, и при больших значениях частоты нелинейная теория практически переходит в линейную. Увеличение значения числа Фруда также ведёт к значительному возрастанию усилий по нелинейной теории по сравнению с линейной и, например, при Рг = 0,9 нелинейная добавка составляет до 24,8 % от линейной теории.

- Для краевой задачи, описывающей низкочастотные гармонические колебания тонкого телесного профиля в сверхзвуковом диапазоне околозвуковых течений были получены выражения для подъёмной силы и момента для тонких тел произвольной формы, удобные для инженерных расчётов и определена область устойчивых колебаний для чечевицеобразного профиля.

Расчёты по полученному для границы устойчивости уравнению сравнивались с результатами нелинейной теории Ван-Дайка, полученной методом последовательных приближений. Полученные результаты значительно отличаются от результатов Ван-Дайка, особенно в области околозвуковых чисел Маха и область неустойчивости имеет замкнутую кривую.

- Для задач определения профиля крыла самолёта при околозвуковых скоростях движения и числах Маха лишь немного больших единицы и определения контура ватерлинии корабля или гидросамолёта на мелкой воде, при околокритических скоростях движения и числах Фруда лишь немного больших единицы получены оптимальные формы для контуров крыла самолёта и ватерлинии корабля при различных числах Маха или Фруда.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Несмеянов, Алексей Александрович, 2007 год

1. Абзалилов Д.Ф., Ильинский Н.Б. Построение устойчивого крылового профиля / Д.Ф. Абзалилов, Н.Б. Ильинский // Доклады АН. -М, 2004. - № 4. - т.397. С. 481-485.

2. Абрамов Ю. А. Регуляризация сингулярного интегрального уравнения в дозвуковом потоке газа / Ю.А. Абрамов // Труды ИЛИ. 1969. - вып 52. Сер. Физ.-мат.- С. 218-224.

3. Аэродинамика летательных аппаратов при трансзвуковых скоростях / Обзор ОНТИЦАГИ. 1974. - 4.1. - № 441. - 187 с.

4. Аэродинамика частей самолёта при больших скоростях / Пер. с англ Г.И. Ба-ренблата, А.И. Бунимовича, А.И. Смирнова, В.П. Шидловского; Под ред. Г.Ф. Бураго. М.: Изд. иностр. лит., 1959. - 707 с.

5. Баранцев Р.Г. Лекции по трансзвуковой газодинамике./ Баранцев Р.Г. Л.: ЛГУ, 1965.-216 с.

6. Баранцев Р.Г. Перспективные идеи в асимптотической методологии. / Баранцев Р.Г. // Вестник молодых учёных. Серия: прикладная математика и механика. Санкт-Петербург: изд-во СПбГТУ, 2002. - № 1. - С. 27-35.

7. Баранцев Р.Г., Энгельгарт В.Н. Асимптотические методы в механике жидкости и газа. / Р.Г. Баранцев, В.Н. Энгельгарт. Л: ЛГУ, 1987. - 89 с.

8. Бисплингофф Р.Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость / Р.Л. Бисплин-гофф, X. Эшли, Р.Л. Халфмэн; пер. с англ Г.И. Баренблата, А.И. Смирнова, В.П. Шидловского; под ред. Э.И. Григолюка. М.: Изд. иностр. лит., 1958. -799 с.

9. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко.- Киев: Наук. Думка, 1969. 247 с.

10. Ю.Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван Дайк; пер. с англ. В.А. Смирнова. М.: Мир, 1967. - 310 с.

11. Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла / Д.Н. Горелов. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 215 с.

12. Горлов С.И. Генерация нелинейных поверхностных волн, вызванных погружением контура / С.И. Горлов // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 1999. - т.З. С.281-286.

13. Н.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: ГИФМЛ, 1963. - 1094 с.

14. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений / К. Г. Гудерлей; пер. с нем. Г.А. Вольперта; под ред. Л.В. Овсянникова. М:. Изд. иностр. лит., 1960. -421 с.

15. Джи Л. Уравнения типа Кортевега-Де Фриза с поправочными членами высшего порядка для длинных волн в слабодиспергирующих средах / Л. Джи // Вестник МГУ. Серия 1. 1998. - № 1. - С. 49-53.

16. Дифференциальные уравнения с частными производными. // Серия. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. - Т.5. 248 с.

17. Додд Р., Эйлбек Д., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Д. Эйлбек, X. Моррис; пер. с англ. В.П. Гурария и В.И. Мацаева; под редакцией А.Б. Шабата. М.: Мир, 1988. - 694 с.

18. Елизаров A.M., Ихсанова А.Н., Фокин Д.А. Оптимальное аэродинамическое проектирование крыловых профилей при ограничении на максимум скорости / A.M. Елизаров, А.Н. Ихсанова, Д.А. Фокин // Изв. Вузов. Авиационная техника. Казань, 2004. - № 3. - С. 32-36.

19. Жуковский Н.Е. Полное собр. сочинений. М.: ГИТТЛ, 1949. - Т.2. - 720 с.

20. Карафоли E.H. Аэродинамика больших скоростей / E.H. Карафоли; пер. с англ. М.А. Павлихиной; под редакцией Л.П. Смирнова. М: изд-во АН СССР, 1960.-439 с.

21. Коротков С.М. Двумерная теория движения судна на мелководье / С.М. Короткое. Новосибирск, 1995. - 113 с.

22. Костюков A.A. Теория корабельных волн и волнового сопротивления / A.A. Костюков. Л.: Судпромгиз, 1959. - 311 с.

23. Костюков А. А. Взаимодействие тел, движущихся в жидкости / A.A. Костюков. Ленинград: Судостроение, 1971. - 310 с.

24. Коул Д. Методы возмущений в прикладной математике / Д. Коул; пер. с англ. А.И. Державиной и В.И. Диесперова; под редакцией О.С. Рыжова. М.: Мир, 1972. - 274 с.

25. Коул Д., Кук JL Трансзвуковая аэродинамика Д. Коул, JI. Кук; пер. с англ. В. П. Стулова; под редакцией У. Г. Пирумова. М.: Мир, 1989. - 359 с.

26. Леонтьев В.Г. Аэродинамическое проектирование и оптимизация формы крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / В.Г. Леонтьев; КГТУ. Казань, 2003. - 20 с.

27. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн / И.К. Лифанов. М.: Янус-К, 1995. - 520 с.

28. Майлс Д.У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений / Д.У. Майлс; пер. с англ. Ю.А. Рыжова. М.: ГИФМЛ, 1963. - 272 с.

29. Методы расчёта обтекания элементов летательных аппаратов при трансзвуковых скоростях // Обзор ОНТИ ЦАГИ, 1960. 4.1. - № 558. - 244 с.

30. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Ми-тропольский. Киев: Наукова выдумка, 1971.-281 с.

31. Моисеев H.H. Асимптотические методы в нелинейной механике / H.H. Моисеев. М.: Наука, 1969. - 379 с.

32. Найфэ А. Методы возмущений / Найфэ А.; пер. с англ. A.A. Меликяна, A.A. Миронова; под редакцией Ф.Л. Черноусько. М.: Мир, 1976. - 455 с.

33. Некрасов А.И. Собрание сочинений: В 5т. М.: Изд. АН СССР, 1962. - Т.2. -438 с.

34. Нелинейные волны / под редакцией С. Лейбовича и А.Сибасса; пер. с англ. A.B. Гапонова и Г.А. Островского. М.: Мир, 1977. - 319 с.

35. Несмеянов A.A., Сигалов Г.Ф. Дифракция мелководных волн на тонком теле при околокритических скоростях движения при числах Фруда больше единицы / A.A. Несмеянов, Г.Ф. Сигалов // Деп. в ВИНИТИ. 2001. - №1243 от 15.05.01.

36. Несмеянов A.A. Расчёт усилий на тонком теле при движении с околокритической скоростью при числах Фруда меньше единицы на мелкой воде / A.A. Несмеянов // Сборник научных трудов молодых учёных. Иркутск: ВСИ МВД России, 2001.- Выпуск №3. - С. 92-101.

37. Несмеянов A.A., Сигалов Г.Ф. Низкочастотные колебания телесного профиля в околозвуковом потоке газа при М > 1 / A.A. Несмеянов, Г.Ф. Сигалов // Изв. Вузов. Авиационная техника. Казань, 2003. - № 1. - С. 19-23.

38. Ньюмен Д. Морская гидродинамика / Д. Ньюмен; пер. с англ. Н.Б. Плисова.- Ленинград: Судостроение, 1985. 367 с.

39. Общая теория аэродинамики больших скоростей / пер. с англ. Г.И. Богомолова, H.A. Лукьянова, А.И. Тишкова, А. И. Уткина; под редакцией А.И. Па-ничкина. М.: ВИ МО СССР, 1962. - 667 с.

40. Паничкин А.И. О силах, действующих на колеблющийся профиль крыла в сверхзвуковом потоке газа / А.И. Паничкин // ПММ. 1947. - т.11, вып.1. - с. 165-170.

41. Панченков А.Н. Несущая поверхность в околозвуковом потоке газа // Гидродинамика больших скоростей / А.Н. Панченков. Киев: Наук, думка, 1967.- вып. 3. С. 7-20.

42. Панченков А.Н. Неклассические задачи и методы теории возмущений / А.Н. Панченков // Гидродинамика больших скоростей. Киев: Наук, думка, 1969. -вып. 4.-С. 9-18.

43. Панченков А.Н. Основы теории предельной корректности/ А.Н. Панчен-ков. М.: Наука, 1976. - 240 с.

44. Панченков А.Н. Теория потенциала ускорений / А.Н. Панченков. Н: Наука, 1975.-220 с.

45. Сердюченко А.Н. Нелинейные модели в гидродинамике поверхностных волн на воде / А.Н. Сердюченко // Вестник Запорожского государственного университета. Запорожье, 2002. - № 1. - С. 1-5.

46. Сигалов Г.Ф. Метод полной аппроксимации в теории околозвуковых течений / Г.Ф. Сигалов. Иркутск: ИГУ, 1988. - 222 с.

47. Сигалов Г.Ф. Оптимизация формы удлинённых тел в околозвуковых течениях при М > 1 / Г.Ф. Сигалов // Асимптотические методы в задачах оптимального проектирования и управления движением. Новосибирск: Наука. -1990. - Гл. VIII.

48. Сигалов Г.Ф. О деформировании координат в методе полной аппроксимации / Г.Ф. Сигалов // Вестник ВСИ МВД России. Иркутск: изд-во ВСИ МВД России, 2001.-№4.

49. Сигалов Г.Ф. Корчагина М.А. Тело вращения минимального волнового сопротивления с заданной длиной и диаметром донного сечения в околозвуковом потоке газа / Г.Ф. Сигалов, М.А. Корчагина // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1987. - №3. - С. 59-64.

50. Сигалов Г.Ф. A.B. Диогенов, Шицзян Д. Обобщение метода полной аппроксимации и его приложений / Г.Ф. Сигалов A.B. Диогенов, Д. Шицзян // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск : изд-во ВСФ СО АН СССР, 1990. - с. 83-99.

51. Сигалов Г.Ф. A.B. Диогенов, Шицзян Д. Приближённые аналитические решения некоторых задач с сильной нелинейностью / Г.Ф. Сигалов A.B. Диогенов, Д. Шицзян // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск: изд-во ВСФ СО АН СССР, 1990. - с. 150-161.

52. Сизов В.Г. О краевой задаче в работе Мичелла о волновом сопротивлении судна / В.Г. Сизов // Прикладная гидромеханика. Киев, 2005. - №2. - т.7. С. 73-75.

53. Спрейтер Д.Р. Аэродинамика крыльев и тел при околозвуковых скоростях / Д.Р. Спрейтер // Механика сб. обзоров и переводов иностранной периодической литературы. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. - № 3 (61). -С. 3-50.

54. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости / Л.Н. Сретенский. М : Наука, 1977. - 736 с.

55. Стурова И.В. Нестационарное поведение плавающей на мелководье упругой балки под действием внешней нагрузки / И.В. Стурова // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск, 2002. - № 3, С. 88-98.

56. Стурова И.В. Действие нестационарной внешней нагрузки на упругую круглую пластину, плавающую на мелководье / Стурова И.В. // Прикладная математика и механика. Новосибирск, 2003. - № 3. Т. 67, С. 453-463.

57. Тен И.К. Нестационарное движение плавающего тела прямоугольной формы / И.К. Тен // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск, 2001.-№5.

58. Теория оптимальных аэродинамических форм // под ред. А.Миеле. М.: Мир, 1969. - 508 с.

59. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М: Наука, 1977. - 736 с.

60. Фын Я. Введение в теорию аэроупругости / Я. Фын. М., Физматгиз, 1959. -523 с.

61. Хаскинд М.Д. Колебания крыла в дозвуковом потоке газа / М.Д. Хаскинд // ПММ. 1947. - Т2, вып. 1. - С. 131-146.

62. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля / М.Д. Хаскинд. -М.: Наука, 1972.-338 с.

63. Численные методы в динамике жидкости / пер. с англ.; под ред. О.М. Бело-церковского и В.П. Шидловского. М.: Мир, 1981. - 407 с.

64. Шашин В.М. Гидромеханика / В.М. Шашин. М.: Высшая школа, 1990. -383 с.

65. Aranha J.A., Martins С.A. Diffraction of sea waves by a slenderbody. Part 2. Water of finite depth. / J.A. Aranha, C.A. Martins // J. Fluid mechanics. 1990. - vol 216. - pp.133-160.

66. Bai K.J., Kyoung J.H., Kim J.W. Numerical computations for a nonlinear free-surface problem in shallow water. / K.J. Bai, J.H. Kyoung, J.W. Kim // Trans. ASME. J. Offshore Mech. and Arct. Eng. 2003. - № 1. - vol.125. - p. 33-40.

67. Dymitruk J., Laudanski L.M. О pewnym zadaniu odwrotnym dynamiki belki ogonowejz smiglowca / J. Dymitruk, L.M. Laudanski // 5 Krajowe forum wiropla-towe. -17-18 pazdz. 2003. - Warszawa.

68. Ishiguro Mitsuo. The maximal elevating force of the plane at dynamic failure of a stream. //Nihon kikai gakkaish. 2002. - № 1006. - vol.105. - p.622-624.

69. Levi D., Sanielevici M. Irrotational water waves and the complex Korteweg-de Vries equation / D. Levi, M. Sanielevici // Physica. D. 1996. - № 2-4. - p. 510514.

70. Li Zhi-guo, Zhu Peng-cheng, Li Feng. Definition of factors of elevating force and resistance of wings of small lengthening at Reynolds's small numbers. // Liuti lixue shiyan yu celiang. 2004. - № 4. - vol.18. - p. 78-82.