Автореферат Методы автоматического построения пространственной гранично-элементной сетки на примере решения контактных задач

На правах рукописи

ВАХТИН АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ СЕТКИ
НА ПРИМЕРЕ РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидат физико-математических наук

Воронеж 2006

Работа выполнена на кафедре программирования и информационных
технологий в Государственном образовательном учреждении высшего про¬
фессионального образования «Воронежский государственный университет»

кандидат физико-математических наук,
доцент Тюкачев Николай Аркадьевич

Научный руководитель:


доктор физико-математических наук, профессор
Артемов Михаил Анатольевич
кандидат физико-математических наук, доцент
Шаруда Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты:


Воронежский государственный архитектурно¬
строительный университет, г. Воронеж

Ведущая организация:


Защита диссертации состоится 09 марта 2006 г. в 1530 час. на заседании
Диссертационного совета Д 212.035.02 в Государственном образовательном
учреждении высшего профессионального образования «Воронежская госу¬
дарственная технологическая академия» по адресу: 394000, г. Воронеж, про¬
спект Ревлюции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воро¬
нежская государственная технологическая академия»

Автореферат разослан 07 февраля 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета    к.т.н., доц. И.А. Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается интенсивное
развитие метода граничных элементов и применение его для приближенных
решений различных задач в области теории потенциала, теплопроводности,
теории упругости, механики жидкости, вязкопластичности и т. п.

Решение физических задач методом граничных элементов в общем
случае сводится к трем основным этапам: подготовка данных к расчетам
(препроцессор), численное решение физических задач (процессор) и вывод
результатов расчета в виде иллюстраций и таблиц
(постпроцессор). Разбие¬
ние численной реализации решения на три этапа обусловлено тем, что каж¬
дый из указанных этапов может рассматриваться и решаться отдельно, заост¬
ряя внимание лишь на характере начальных и полученных результатов.
Иными словами, средства реализации гранично-элементных сеток могут
быть получены без конкретного представления о численной реализации ре¬
шения физической задачи, или наоборот - разрабатывать гранично -
элементные методики решений, не заостряя внимание на алгоритмах и мето¬
дах получения гранично-элементной сетки.

К сожалению, существует довольно мало программных средств, позво¬
ляющих проводить вычислительный эксперимент методом граничных эле¬
ментов, так как данный метод только развивается. Все существующие про¬
граммы (COSMOS, ЛИРА, FEM_MODELS, SCAD, ANSYS, Z_SOIL, PLAXIS
и др) основаны на конечно-элементном методе. До сих пор остается актуаль¬
ной задача построения пространственной гранично-элементной сетки слож¬
ной формы. Иногда для геометрического моделирования и дискретизации
пространственных поверхностей используют существующие программные
средства (AutoCAD, CREDO, SCAD и др.). Но это не решает проблемы, так
как задача построения гранично-элементной сетки с желаемыми качествами
по-прежнему требует соответствующих навыков и тщательного труда
(например, необходимо отслеживать соблюдение единого правила обхода
узлов, а также отсутствие пересечений и перекрытий элементов). Кроме того,
для реализации методов поиска наилучших (оптимальных) решений возника¬
ет существенная необходимость в алгоритмах генерации гранично -
элементной сетки с меньшими затратами счетного времени. Все это обуслав¬
ливает актуальность темы исследования.

Диссертация выполнена на кафедре программирования и информаци¬
онных технологий Воронежского государственного университета в соответ¬
ствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ по теме:
«Разработка и совершенствование алгоритмов, моделей и средств решения
контактных задач теории упругости и строительной механики методом гра¬
ничных элементов».

Цель и задачи исследования. Разработка эффективных методов и ал¬
горитмов автоматической гранично-элементной дискретизации простран¬
ственных поверхностей сложной формы, обеспечивающих качественную
подготовку данных к расчету.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие зада¬
чи исследования:

1)    Рассмотреть существующие методы пространственной гранично¬
элементной дискретизации, применяемые в решении физических задач.

2)    Разработать методы и алгоритмы построения пространственной гра¬
нично-элементной сетки для поверхностей сложной формы.

3)    Разработать и реализовать эффективные программные средства для
пространственной гранично-элементной дискретизации (препроцессор).

4)    Произвести апробацию полученных результатов на примере решения
пространственных контактных задач для абсолютно жестких штампов за¬
глубленных в упругое однородное полупространство.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы
применялись: дискретная математика и теория множеств, теория графов,
численные методы интегрирования, алгебра матриц, аналитическая геомет¬
рия, современные методы и технологии программирования (Delphi, ООП,
СОМ, OpenGL).

Научная новизна работы: В диссертационной работе получены сле¬
дующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1)    Разработан метод композиций для геометрических объектов, характер¬
ной новизной которого является сведение композиции к логическим опе¬
рациям над двоичными кодами. Это позволяет найти любое решение с
любым количеством геометрических объектов.

2)    Разработан алгоритм построения пространственной гранично¬
элементной сетки методом композиций геометрических объектов, гра¬
нично-элементное разбиение которых тривиально или уже известно. В от¬
личие от метода фрагментальной дискретизации в новом методе не требу¬
ется аналитического представления поверхности.

3)    Разработаны методы хеширования узлов и граничных элементов для
сокращения времени выполнения алгоритмов построения пространствен¬
ных гранично-элементных сеток. Хеширование узлов и граничных эле¬
ментов является дополнительным улучшением реализации существующих
или разрабатываемых методов гранично-элементной дискретизации.

4)    Разработано программное средство (SBEM-Contact) предназначенное
для автоматической подготовки данных к проведению вычислительного
эксперимента (гранично-элементная дискретизация). Реализация SBEM-
Contact основывалась на технологии СОМ, что предоставляет возмож¬
ность расширения и модификации программного продукта путем разра¬
ботки и реализации новых методов гранично-элементной дискретизации
без перекомпиляции и изменений всей программы, что не применяется в
большинстве программ.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использо¬
ваны для повышения эффективности работы существующих и разработке
новых систем моделирования процесса вычислительного эксперимента осно¬
ванного на методе граничных элементов. Полученные простые и эффектив¬
ные алгоритмы построения пространственной гранично-элементной сетки
обладают свойством минимальных затрат счетного времени, что позволяет
использовать их в решении задач поиска наилучшей (оптимальной) геомет¬
рической формы рассчитываемой поверхности. Разработанное программное
средство построения пространственной гранично-элементной сетки и реше¬
ния контактных задач (SBEM-Contact) можно рекомендовать проектным или
научно-исследовательским организациям в качестве препроцессора для вы¬
числительных экспериментов.

Аппробация работы. Основные результаты работы доложены на

-    всероссийской конференции «Прикладная геометрия, построение рас¬
четных сеток и высокопроизводительные вычисления» (г. Москва, ВЦ
РАН), 2004 г.;

-    международной научной конференции «Образование, наука, производ¬
ство и управление в XXI веке» (С. Оскол, СОТИ), 2004 г.;

-    конференции международной школы-семинара «Современные пробле¬
мы механики и прикладной математики» (г. Воронеж), 2005 г.;

-    международной научной конференции «Современные проблемы при¬
кладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж),
2005 г.

-    научных конференциях профессорско-преподавательского состава и
научных работников ВГУ, 2001 - 2005 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 16 ра¬
бот, в том числе 15 статей и патент Государственного фонда алгоритмов и
программ РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 151
страницах, включает 5 таблиц, 39 рисунков, 4 определения и 5 утверждений с
доказательствами. Состоит из введения, трех глав, заключения, списка лите¬
ратуры из 129 наименований и 6 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы,
сформулированы цели и задачи исследования, определена практическая зна¬
чимость.

В первой главе приводятся основные положения теории упругости,
необходимые для построения различных моделей контактного взаимодей¬
ствия жесткого штампа с упругим основанием. На основании обзора литера¬
туры проводится научный анализ решения пространственных контактных
задач механики с целью определить основные и необходимые свойства гра¬
нично-элементной сетки.

Конечномерный аналог контактных задач в общем случае сводится к
системе линейных алгебраических уравнений размерностью
(3m + 6) X (3m + 6), где m - общее число граничных элементов, посредством
которых аппроксимирована контактная поверхность штампа и упругого
основания. Коэффициенты основного блока разрешающей матрицы являются
поверхностными интегралами от фундаментального решения Миндлина.
Трудность вычисления данных интегралов заключается в том, что при сведе¬
нии двойных интегралов к повторным первообразные найти не удается. По¬
скольку контактная поверхность Г чаще всего аппроксимируется плоскими
треугольными и четырехугольными элементами достаточно малых размеров,
то для численного интегрирования используются квадратурные схемы Г аус-
са, которые в настоящее время являются лучшими с точки зрения точности
при заданном числе точек. Для вычисления интегралов при
K е АГ? исполь¬
зуется аналитический способ интегрирования.

Метод граничных элементов дает возможность проводить расчеты
жестких штампов различных конструктивных форм по деформациям основа¬
ний с общей методологической позиции. От расчетчика не требуется делать
предварительных предположений о характере распределения контактных
напряжений, о наличии и локализации зон отрыва штампа от основания и
привлекать другие дополнительные соображения, учитывающие особенности
напряженно-деформированного состояния на контактной поверхности.

Гранично-элементная сетка представляет собой набор плоских тре¬
угольных и выпуклых четырехугольных граничных элементов, полностью
покрывающих поверхность контакта жесткого штампа с деформируемым
основанием без пересечений и перекрытий. Также необходимо соблюдать
единое правило обхода узлов (вершин) граничных элементов. Узлы коллока-
ции, являющиеся центрами масс граничных элементов, должны равномерно
распределяться по всей контактной поверхности. Некоторые области кон¬
тактной поверхности могут быть разбиты на граничные элементы меньшего
размера (предполагается, что в данной области большие изменения функции
контактных напряжений), в таком случае гранично-элементная дискретиза¬
ция называется
неравномерной.

Обычно для дискретизации поверхностей всех типов применяется
фрагментальная дискретизация, что соответствует предварительному разбие¬
нию контактной поверхности на граничные макроэлементы. В качестве гра¬
ничных макроэлементов принимаются поверхностные фрагменты, имеющие
простейшую топологию: плоские треугольники и четырехугольники, части
цилиндрических, конических и сферических поверхностей.

Граничные макроэлементы разбиваются на отдельные граничные эле¬
менты с автоматической генерацией координат и узлов. Разбиение произво¬
дится регулярно и не обязательно равномерно. Степень неравномерности
разбиения в отдельном граничном макроэлементе по различным направлени-

ям задается параметрически и, по возможности, учитывает предполагаемый
характер изменения контактных напряжений. Важным аспектом фрагмен-
тальной дискретизации является согласование по числу граничных элементов
на линиях сопряжения сложных граничных макроэлементов. Это необходимо
для улучшения численного решения и удобства при обработке и интерпрета¬
ции полученных результатов.

Обычно в фрагментальной дискретизации рассматриваются осесим¬
метричные и плоские макроэлементы.

Плоские поверхностные фрагменты определяются заданием глобальных
координат узловых точек (
Xi, Yi, Zi), i = 1, 2, ..., l.

Разбиение выпуклых четырехугольных граничных макроэлементов на
отдельные элементы производится на основе техники изопараметрических
элементов. Описание геометрии в плоскости четырехугольного граничного
макроэлемента получается с использованием интерполяционных формул:

Интерполяционные формулы дискретизации треугольных граничных
макроэлементов следуют из формул (2) и (3), с учетом, что две смежные
вершины сливаются в одну. При разбиении треугольных макроэлементов в
качестве вершины сгущения не рекомендуется брать острые углы, так как
при дискретизации может появиться большое количество граничных элемен¬
тов с общей вершиной, площадь которых близка к нулю.

Сложность дискретизации плоских граничных макроэлементов произ¬
вольной формы заключается в том, что аналитически трудно определить
наиболее эффективный алгоритм решения поставленной задачи. Как правило,
все существующие алгоритмы дискретизации плоских фрагментов произ¬
вольной формы сводятся к задаче
триангуляции, но ввиду неэффективности
применения треугольных элементов в гранично-элементных сетках, разрабо¬
тан другой алгоритм, состоящий из двух этапов:

1)    Рекурсивное расщепление плоского элемента по хордам на выпуклые

четырехугольные и треугольные элементы.

2)    Дискретизация полученных макроэлементов по изопараметрическим

формулам (2), (3).

Так как n-угольник может быть разбит на и - 2 треугольника проведе¬
нием
n - 3 хорд (теорема о триангуляции полигона), то выполнение первого
этапа гарантировано для плоских элементов любой формы. Данный алгоритм
можно свести к поиску эффективной дискретизации (треугольные макроэле¬
менты близки к равносторонним, а четырехугольные - к прямоугольным),
если найти все решения задачи первого этапа и выделить среди них лучшее.

Контактную поверхность, подвергаемую аппроксимации граничными
элементами, можно представить в виде макроэлементов, которые, в свою
очередь могут быть разбиты на граничные элементы по предложенным алго¬
ритмам. Данный подход применим к большинству поверхностей, топология
которых может быть задана аналитически. Но зависимость дискретизации от
геометрической формы поверхности не всегда является удачным решением,
так как не возможно охватить максимальный диапазон поверхностей со
сложной геометрией.

Во второй главе рассматриваются разработанные методы гранично¬
элементной дискретизации поверхностей сложной формы.

Поверхность, состоящую из набора плоских элементов можно свести к
искомой за конечное число следующих геометрических преобразований:

1)    пространственное перемещение вершин;

2)    добавление новых вершин и граней;

3)    удаление вершин и граней.

При реализации алгоритмов необходимо соблюдать правило локальной
нумерации вершин в гранях: против часовой стрелки при наблюдении с

внешней стороны поверхности (ориентация граней), а также отсутствие пере¬
сечений и перекрытий.

Если вершина принадлежит только треугольным граням, то изменение
ее координат не составит труда: три точки всегда будут лежать на плоскости.
Иначе перемещаемая вершина может оказаться вне плоскости, образованной
другими вершинами. Для решения данной проблемы применяется разбиение
грани, что по теореме о триангуляции полигонов возможно всегда.

Добавление нового узла заключается в построении новых ребер и гра¬
ней, соединяющих заданную пространственную точку с вершинами гранич¬
ной поверхности. При реализации данной операции необходимо определять
ориентацию добавляемых граней, которая зависит от обхода узлов в смеж¬
ных гранях. Таким образом, для добавления узла необходимо:

1)    зафиксировать вершины граничной поверхности;

2)    определить обход фиксированных вершин (называется контуром);

3)    построить грани, связанные с узлами контура и новой вершиной;

4)    определить и удалить фрагменты, ограниченные контуром и новыми

гранями;

Для однозначности решения поставленной задачи фиксируется только
три вершины лежащие на одной грани. Данное упрощение не ограничивает
возможности геометрического построения, так как любое решение может
быть достигнуто за конечное число геометрических преобразований.

рис. 1. Добавление новой (а) и существующей (б) вершины R к граничной
поверхности (штриховкой отмечены удаляемые фрагменты)

На рис. 1, а изображен пример добавления новой вершины R, которая
соединяется с вершинами 0, 2 и 3. В соответствии с обходом вершин выделя¬
ется контур [3, 2, 0] и строятся новые грани: [0, 2, R], [2, 3, R] и [3, 0, R].
Грань [0, 1, 2, 3, 4] разбивается на части с целью выделения и удаления фраг¬
мента, образованного вершинами 0, 2, 3. Данный алгоритм позволяет добав¬
лять не только новые вершины, но и новые грани, если свободной точкой
будет вершина граничной поверхности (рис. 1,
б).

Удаление вершины основано на отсечении части многогранника, вы¬
деленного четырьмя смежными вершинами
(фиксированными), что позволяет
не только сохранить единственность решения и удалить намеченную верши¬
ну за конечное число шагов, но и предусмотреть удаление граней и ребер.

рис. 2. Выполнение процедуры удаления узла 0 (штриховкой отмечены
добавляемые фрагменты):
а) отсечение фрагментов; б) удаление полностью
Например, для удаления вершины 0 связанной с вершинами 1, 2, 3, 4
необходимо вырезать фрагменты [0, 3, 4] и [0, 2, 3] (рис. 2, а), а затем удалить
полностью (рис. 2,
б).

На рис. 3 а-и приведен пример построения поверхности щелевой кре¬
стообразной конструкции с наклонными боковыми гранями с помощью до¬
бавления вершин. После построений полученная поверхность разбивается на
граничные элементы (рис. 3, к).

рис. 3. Построение поверхности с помощью добавления вершин
в интерактивном режиме

Предложенные алгоритмы предоставляют возможность построения
гранично-элементных сеток любой сложности путем геометрической моди¬
фикации с исключением возможности перекрытий и нарушение правила об¬
хода узлов, если корректируемая поверхность изначально имела правильную
структуру, но на каждом шаге построения требуется проверять отсутствие
пересечений граней.

Другой метод построения гранично-элементной сетки на контактных
поверхностях сложной формы основан на методе представления сложных
геометрических объектов в виде объединения, пересечения и/или вычитания
геометрических объектов, у которых дискретизация поверхностей тривиаль¬
на или уже известна.

Пусть заданы замкнутые поверхности двух геометрических объектов

Р1 и P2, охватывающие пространственные множества Р1 сЕ и Р2 сЕ. Без

ограничения общности предполагается, что р u р2 Ф0 . Тогда все множе¬
ство Е можно разбить на четыре непересекающихся подмножества (рис. 4),
нумерация которых задается согласно табл. 1.

В общем случае можно рассматривать шестнадцать множеств, которые
могут быть получены в результате операций (сложение, вычитание, пересе¬
чение, инверсия) над двумя множествами р и Р2. Множествам р и Р2 со¬
поставляется четырехразрядный двоичный код, где единица в i-м бите озна¬
чает, что элементы i-го подмножества (табл. 1) принадлежат данному множе¬
ству. Очевидно, что любые логические операции над множествами р и Р2
соответствуют логическим операциям над двоичными кодами данных мно¬
жеств р = 0101 и р = 0011.

Следует заметить, что пары различных битов кода множества соответ¬
ствуют границе множества. Иными словами, если

1)    каждой паре различных битов в двоичном представлении множества

сопоставить индексы a.b, где а - номер единичного бита, b - номер ну¬
левого бита;

2)    каждому граничному элементу геометрических объектов сопоставить
индекс, состоящий из номеров подмножеств, которые они разделяют:
a.b,
где
a - номер подмножества, которое охватывает поверхность геометри¬
ческого объекта,
b - номер внешнего множества (рис. 4);

то полученные индексы граничных элементов будут совпадать с парой номе¬
ров различных битов в двоичном представлении кода операции. В случае,

когда a.b = b.a требуется изменить направление обхода вершин данного гра¬
ничного элемента (инверсия).

Например, в операции вычитания двух множеств р / р (рис. 4) раз¬
личны пары битов 2.0, 2.1 и 2.3, что соответствует граничным элементам с
индексами 0.2, 2.1, 2.3, а элементы с индексом 0.2 инвертируются.

Данный алгоритм позволяет без труда вычислять любые операции компози¬
ций над любым числом геометрических объектов, выделять граничные эле-

менты, соответствующие искомому решению и учитывать локальную нуме¬
рацию вершин (обход против часовой стрелки, если смотреть с внешней сто¬
роны), что весьма важно при использовании метода граничных элементов.

Утверждение. Пусть замкнутые поверхности n геометрических объек¬
тов ограничивают соответствующие множества. Тогда каждому множеству
можно задать такой 2п-разрядный двоичный код, что любые операции над
данными множествами будут соответствовать логическим операциям над
соответствующими двоичными кодами.

Доказательство. Используя метод математической индукции легко
доказать, что
n множеств, в общем случае, разбивает множество Е на 2"
непересекающихся подмножеств. Так как
к множеств разбивает множество
Е на
2к непересекающихся подмножеств, то при добавлении (к +1) -го
множества, полученные подмножества будут разбиты на два: с элементами,
которые принадлежат (
к +1) -му множеству и с элементами, которые ему не
принадлежат. Следовательно, количество подмножеств удваивается:
2к 2 = 2к+1, что и требовалось доказать.

Остается найти двоичные коды множеств и доказать, что они удовле¬
творяют данному утверждению. Пусть заданы множества р, F2,...
Fn, кото¬
рые разбивают множество Е на 2" непересекающихся подмножеств
М1, М2,...
ММ . Тогда множества р, F2,... Fn можно представить в следую¬
щем виде:


Так как операции над множествами коммутативны, ассоциативны и
дистрибутивны, то любое выражение можно представить в следующем виде:


2’


Если принять замену Мi ~ 1 и 0 ~ 0, то вычисление выражения
F1 i, Л2 i,... Л ni) сводится к вычислению логических выражений над би¬
нарными числами (0 и 1). Таким образом, вычисление выражения (5) будет
соответствовать вычислению логического выражения над двоичными кодами
множеств
P. ( j = 1, n), где единица в i-м бите означает, что элементы под¬
множества
Мi принадлежат множеству Р.. Таким образом, для множеств

P, P2,... P5n будут построены соответствующие двоичные коды. Следова¬
тельно - теорема доказана.

Критерием нумерации граничных элементов является определение
пространственного положения каждого граничного элемента. Естественно,
при нумерации необходимо исключить пересечения граничных элементов
геометрических объектов разбиением их на части.

Для определения пространственного положения граничных элементов
достаточно зафиксировать любую точку
M (xM , yM, zM) данного граничного
элемента: если число пересечений гранично-элементной сетки с лучом
I
= {x = xM ; y = yM ; z > zM } четно, то граничный элемент находится вне об¬
ласти, ограниченной поверхностью Q .

Разработанный алгоритм построения пространственных гранично¬
элементных сеток методом композиций состоит из следующих этапов:

1)    проверка гранично-элементной сетки на замкнутость и в случае
необходимости добавление граничных элементов;

2)    в соответствии с установленной нумерацией граничные элементы
разделяются на 2
n не пересекающихся множества (n - число геометриче¬
ских объектов);

3)    вычисляется двоичный код, соответствующий решению метода ком¬
позиций;

4)    в зависимости от пар несовпадающих битов в полученном двоичном
коде выделяются необходимые узлы и граничные элементы.

На практике гранично-элементная сетка имеет большое число узлов и
граничных элементов, что существенно сказывается на времени выполнения
алгоритма нумерации граничных элементов и поиске соответствующих уз¬
лов. С помощью разработанных хеш-таблиц удалось существенно увеличить
скорость выполнения разработанного метода композиций для гранично¬
элементных сеток.

Хеш-таблица строится на основании того, что гранично-элементная
сетка заключена в параллелепипед, заданный минимальными и максималь¬
ными значениями координат узлов. Полученный параллелепипед делится на
равные части (рис. 5):

и максимальные значения координат узлов граничного элемента. Получен¬
ные индексы используются для заполнения хеш-таблицы, ячейки которой
являются открытыми массивами, в которых хранятся граничные элементы.

Очевидно, что информация, хранимая в построенной хеш-таблице из¬
быточна, но это компенсируется возможностью для любой пространственной
точки весьма быстро отбросить существенное количество не нужных гранич¬
ных элементов и выделить только те, которые могут пересекаться с лучом.
Практический опыт показал, что разработанная хеш-таблица для граничных
элементов существенно сокращает время выполнения метода композиций.

рис. 5. Разбиение прямоугольного параллелепипеда, охватывающего
гранично-элементную сетку, на
nx, n , nz равных частей



В третьей главе рассмотрена программа гранично-элементной дис¬
кретизации, в которой реализованы разработанные алгоритмы. Также здесь
предложен алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений
больших размеров методом параллельных вычислений.

Визуальная среда автоматизации построения пространственных гра¬
нично-элементных сеток и решения контактных задач (SBEM-Contact) разра¬
ботана с учетом следующих требований:

1)    должна иметься возможность модификации программы при расшире¬
нии диапазона задач;

2)    учтена возможность сопряжения разработанной программы с другими
общеизвестными пакетами графических или расчетных программ;

3)    работа с программой должна быть как можно более простой и унифи¬
цированной;

4)    затраты времени на подготовку данных и системные требования к
ЭВМ должны быть минимизированы.

Удовлетворение первого требования реализовано применением техно¬
логии компонентно-объектного моделирования (COM). Структурно разраба¬
тываемое приложение состоит из нескольких взаимосвязанных блоков:

1)    основное приложение (Uran.exe);

2)    встроенные COM-серверы построения гранично-элементной сетки
(утилиты проектирования);

3)    встроенные COM-серверы работы с файлами (файловые утилиты);

4)    встроенные COM-серверы решения контактных задач (утилиты реше¬
ния задач);

5)    библиотека типов (Custom.tlb), которая служит связующим звеном
между приложением и утилитами (рис. 6).

рис. 6. Схема структуры связей в SBEM-Contact

Утилиты можно подключать к программе на стадии инсталляции или
при последующих обновлениях, что обеспечивает гибкие возможности мо¬
дификации при расширении диапазона задач проектирования. Настройки
визуальной среды SBEM-Contact хранятся в системном реестре Windows и
загружаются при запуске программы.

В управляющем приложении осуществляется доступ к утилитам и
отображение результатов геометрических построений в трех проекциях (XY,
ZY, ZX), и перспективе (XYZ). Окна проекций используются как для визу¬
ального отображения моделируемой конструкции, так и для возможности
проектирования мышью, например, можно менять координаты вершины гео¬
метрического объекта с максимальной точностью, поворачивать фигуру от¬
носительно осей координат или выполнять другие операции, заданные в ути¬
литах проектирования.

Утилиты геометрического построения гранично-элементных сеток
можно разбить на два типа:

1)    утилиты генерации гранично-элементной сетки - предназначены для
быстрого и эффективного построения сетки на поверхностях конструкций
заданной топологией. Сложность реализации данных утилит заключается
в разработке алгоритмов геометрического анализа и численно¬
аналитических расчетов координат узлов сетки, особенно, для поверхно¬
стей с нетривиальной топологией;

2)    утилиты проектирования поверхностей твердых тел - направлены на
построение гранично-элементной сетки в интерактивном режиме или кор¬
ректировки исходной. Данные утилиты позволяют получать аппроксими¬
рованную граничными элементами поверхность сложной топологией.
Применение утилит проектирования дает возможность проводить экспе¬
риментальные работы с целью нахождения конструкций новой геометри¬
ческой формы наиболее эффективных на практике.

В SBEM-Contact реализованы численно-аналитические решения кон¬
тактных задач для жестких штампов, заглубленных в упругое полупростран¬
ство. Результатом решений данных задач являются приближенные значения
контактных напряжений в узлах коллокаций (центры масс граничных эле¬
ментов). Ввиду большого объема информации, которую весьма затрудни¬
тельно обрабатывать вручную, возникла необходимость в разработке алго¬
ритмов автоматической обработки данных и вывод результатов в виде гра¬
фических иллюстраций. Сложность анализа полученного решения заключа¬
ется в том, что контактные напряжения являются векторными величинами, а
контактная поверхность имеет произвольную форму.

Пусть заданы две 32-разрядные цветовые константы cmin и cmax соот¬
ветствующие минимальным и максимальным значениям из полученных про¬
екции векторов контактных напряжений. Требуется найти цветовой спектр

где Rmax , Rmin , Gmax , Gmin , Bmax , Bmin - интенсивность красного синего и зе¬
леного канала цветов c^n и cmax ; RGB - функция преобразования трех цве¬
товых каналов в цветовую константу;
ptp - проекция вектора контактных
напряжений на нормаль,
pm — min pПр , pt^ — max pПр . Так как контактное

i —1,n    i —1,n

напряжение pi равномерно распределено по всей поверхности i-го гранично¬
го элемента, то данный граничный элемент будет равномерно закрашен в
цвет
ci , полученный по формуле (7).

Численное решение рассматриваемых контактных задач сводится к
решению системы линейных алгебраических уравнений. Если число гранич¬
ных элементов равно
n, то объем занимаемого пространства для матрицы
разрешающих уравнений будет вычисляться по формуле:
Dim(n) — 3 •
n • (3 • n +1) • d , где d - размерность одного элемента в байтах.
Обычно при реализации решения данных задач на ЭВМ используют веще¬
ственные числа с двойной точностью (
double), размерность которых состав¬
ляет 8 байт.

Решение систем больших размеров вызвало некоторые трудности, так
как в данном случае нет возможности полностью загрузить в оперативную
память матрицу системы. В этом случае наиболее эффективно применять
другой следующий метод: матрица линейно-алгебраических уравнений вво¬
дится в оперативную память не сразу, а последовательно по одной строке,
каждая из которых подвергается преобразованиям метода Г аусса (вычитание
предыдущих строк). Таким образом, после
k-го шага полученную строку бу¬
дет целесообразнее хранить в массиве размерностью
(n - k +1) (k — 1, n). В

итоге для данного метода потребуется оперативной памяти почти в два раза
меньше, чем для хранения исходной матрицы.

Предложенный метод очень эффективно использовать для кластеров,
так как архитектура таких компьютеров состоит из независимых блоков (уз¬
лов) со своей оперативной памятью и процессором. Пусть кластер состоит из
n узлов и в оперативной памяти k-го узла может храниться mk строк матрицы

линейно-алгебраических уравнений (k — 0, n -1). На каждом этапе итерации
основной узел будет последовательно загружать в оперативную память стро¬
ки матрицы уравнений с последующей обработкой метода Гаусса. Если
imk, где k - номер кластера, i - номер строки, то обработанная строка пе¬
редается кластеру с номером (k +1), иначе - сохраняется в данном кластере.
Соответственно, обратный ход метода Гаусса начинается с
(n -1) -го класте¬
ра, посылая всем кластерам полученные решения необходимые для коррект¬
ной работы алгоритма. В данном алгоритме предполагается, что матрицу
уравнений можно загрузить в память узлов кластера полностью.

В приложении представлены алгоритмы и части листинга модулей
программ на языке программирования Delphi и C++, а также табличные и
графические данные результатов апробации полученных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1)    Разработаны методы интерактивного построения поверхностей состо¬
ящих из набора плоских многоугольников путем добавления, удаления
или пространственного перемещения вершин и дискретизации получен¬
ной поверхности на граничные элементы.

2)    Разработан алгоритм автоматического построения гранично¬
элементных сеток на конструкциях сложной формы путем объединения,
вычитания и/или пересечения геометрических объектов, поверхность ко¬
торых аппроксимирована ансамблем граничных элементов.

3)    Разработаны методы хеширования узлов и граничных элементов для
сокращения времени выполнения алгоритмов построения пространствен¬
ных гранично-элементных сеток.

4)    Разработано программное средство построения пространственной гра¬
нично-элементной сетки и решения контактных задач (SBEM-Contact) на
основе компонентно-объектной модели, что предоставляет возможность
расширения программного средства при расширении диапазона решаемых
задач путем реализации и подключения новых утилит без перекомпиля¬
ции и изменений всей программы.

5)    Проведена апробация полученных результатов на примере решения
контактной задачи для заглубленного в упругое полупространство абсо¬
лютно жесткого штампа испытывающего действие пространственной си¬
стемы нагрузок.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ
В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1.    Алейников С. М., Вахтин А. А. Генерация гранично-элементных сеток
для расчета оснований и фундаментов мостовых опор в пространственной
постановке. // Научный вестник воронежского государственного архитек¬
турно-строительного университета. Серия: дорожно-транспортное строи¬
тельство. Воронеж: ВГАСУ, -2004. - Вып. 2. - С. 3 - 11.

2.    Алейников С. М., Вахтин А. А. Гранично-элементная дискретизация
плоских областей в пространстве. // Мат. рег. науч.-мет. конф. Информати¬
ка: проблемы, методология, технологии. - Воронеж: ВГУ, 2004. - Вып. 4. -
С. 6 - 9.

3.    Алейников С. М., Вахтин А. А., Тюкачев Н. А. Алгоритмы построения
пространственных гранично-элементных сеток. // Мат. рег. науч.-мет.

конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. - Воронеж: ВГУ,
2004. - Вып. 4. - С. 9 - 11.

4.    Алейников С. М., Вахтин А. А., Тюкачев Н. А. Пространственные гра¬
нично-элементные сетки в контактных задачах теории упругости. // Тр.
всероссийской конф. Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и
высокопроизводительные вычисления. - М.: ВЦ РАН, 2004. - Т. 2 - С. 61 -
72.

5.    Алейников С. М., Вахтин А. А., Тюкачев Н. А. Система автоматизации
построения пространственных сеток для решений контактных задач мето¬
дом граничных элементов на основе технологии COM. // Вестник ф-та при¬
кладной математики, информатики и механики. - Воронеж: ВГУ, - 2005. -
№ 5 - С. 10 - 18.

6.    Вахтин А. А. Автоматизация построения гранично-элементных сеток
для решения статических задач теории упругости. // Мат. междун. науч.
конф. образование, наука, производство и управление в XXI веке. - С.
Оскол: СОТИ, 2004. - Т. I. - С. 274 - 278.

7.    Вахтин А. А. Алгоритмы автоматического моделирования многогран¬
ников. // Межвузовский сб. науч. тр. Математическое обеспечение ЭВМ. -
Воронеж: ВГУ, 2002. - Вып. 4. - С. 27 - 31.

8.    Вахтин А. А. Генерация гранично-элементной сетки на поверхностях
осесимметричных конструкций. // Мат. рег. науч.-мет. конф. Информатика:
проблемы, методология, технологии. - Воронеж: ВГУ, 2004. - Вып. 4. - С.
48 - 52.

9.    Вахтин А. А. Генерация пространственных гранично-элементных сеток
для фундаментных конструкций блочного типа. // Тр. междун. конф. моло¬
дых ученых и студентов Актуальные проблемы современной науки. Ч. 17:
Естественные науки. Информатика, вычислительная техника и управление.

- Самара: Поволжская молодежная академия наук, 2003. - Вып. 4 - С. 11 -
13.

10.    Вахтин А. А. Генерация пространственных сеток для решений кон¬
тактных задач методом граничных элементов. // Мат. науч.-практ. семинара
Новые информационные технологии. - М.: Российская академия есте¬
ственных наук, 2004. - Вып. 7. - С. 110 - 118.

11.    Вахтин А. А. Метод композиций для гранично-элементной дискретиза¬
ции. // Науч.-техн. Журнал Системы управления и информационные техно¬
логии. - Воронеж: ВГТУ, - 2005. - № 4 (21) - С. 66 - 71.

12.    Вахтин А. А. Метод композиций для построения пространственных
гранично-элементных сеток. // Мат. междун. науч. конф. Современные
проблемы прикладной математики и математического моделирования. -
Воронеж: ВГТА, 2005. - С. 54.

13.    Вахтин А. А. Методы построения гранично-элементных сеток для чис¬
ленного решения пространственных контактных задач теории упругости. //

Сб. тр. междун. школы-семинара «Современные проблемы механики и
прикладной математики». - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 87 - 90.

14.    Вахтин А. А. Препроцессор гранично-элементного программного ком¬
плекса для решения задач геотехники. // Науч.-техн. журнал Системы
управления и информационные технологии. - Воронеж: ВГТУ - 2003. - №
1-2 (12) - С. 68 - 72.

15.    Вахтин А. А. Программный пакет автоматизированного твердотельно¬
го проектирования. // Мат. рег. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы,
методология, технологии. - Воронеж: ВГУ, 2003. - Вып. 3 - С. 29 - 32.

16.    Вахтин А. А., Тюкачев Н. А. Патент Государственного фонда алгорит¬
мов и программ № 50200501397 от 04.10.05.

20