Численное моделирование физиологических систем методом нечеткой линеаризации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Евдокимов, Алексей Витальевич

  • Евдокимов, Алексей Витальевич
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2003, Москва
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 125
Евдокимов, Алексей Витальевич. Численное моделирование физиологических систем методом нечеткой линеаризации: дис. кандидат физико-математических наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Москва. 2003. 125 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Евдокимов, Алексей Витальевич

Глава 1. Введение и обзор.

1.1. Цель работы и ее актуальность.

1.2. Решаемые задачи и научная новизна работы.

1.3. Практическая значимость и использование результатов работы

1.4. Обзор математических методов обработки неопределенности.

1.5. Обзор моделей кровообращения.

1.6. Ограничения работы.

1.7. Положения, выносимые на защиту.

Глава 2. Метод линеаризации для численного решения нечетких уравнений.

2.1. Анализ существующих нечетких методов и идея метода линеаризации.

2.2. Метод линеаризации как метод учета зависимостей чисел.

2.3. Прямой вариант метода линеаризации.

2.4. Экономичность метода линеаризации.

2.5. Ограничения метода и перспективы его развития.

2.6. Резюме.

Глава 3. Результаты решения тестовых систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом линеаризации.

3.1. Простейшее дифференциальное уравнение.

3.2. Колебательные системы: линейный осциллятор, уравнения Ван-дер-Поля и Релея.

3.3. Влияние численного метода решения ОДУ на нечеткое решение уравнения Релея методом линеаризации.

3.4. Сопоставление результатов в задаче массового обслуживания. Экономичность метода. Влияние способа описания нечеткости.

3.5. Резюме.

Глава 4. Квазистационарная модель сердца.

4.1. Рассматриваемые физиологические проблемы и эффекты.

4.2. Алгебраическая модель сердца.

4.3. Численная реализация модели.

4.4. Результаты численных расчетов модели и их верификация.

4.5. Резюме.

Глава 5. Применение метода линеаризации к физиологическим моделям с нечеткими параметрами.

5.1. Результаты нечетких расчетов алгебраической модели сердца.

5.2. Чувствительность модели сердца к исходным данным.

5.3. Модель гемодинамики и транспортных процессов в нефроне.

5.4. Нечеткие результаты модели нефрона и ее чувствительность к исходным данным.

5.5. Резюме.

Глава 6. Программная реализация и внедрение метода.

6.1. Требования к методу с точки зрения использующего его прикладного пакета.

6.2. Объектно-ориентированная реализация нечетких расчетов методом линеаризации.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование физиологических систем методом нечеткой линеаризации»

1.1. Цель работы и ее актуальность

Целью данной работы является расчет погрешности результатов численного моделирования некоторых физиологических систем, обусловленной неопределенностью их параметров, с помощью разработанного метода.

Физиология человека является одной из наиболее слабо формализуемых предметных областей, где математические модели зачастую базируются на принципиально приближенных закономерностях (не только на физических законах, но и на экспертных оценках), а значения их параметров всегда имеют существенную неопределенность (обусловленную низкой точностью измерений, субъективностью оценок, вариабельностью значений у различных людей). В то же время, сложность (в частности, нелинейность) уравнений в физиологии достаточно высока, не позволяя использовать аналитические методы получения их решения и оценок его погрешности. Поэтому в этой области особенно актуальной является проблема расчета неопределенности результатов численного моделирования.

Для решения этой проблемы при моделировании в физиологии и других областях давно используются разнообразные численные методы, учитывающие неопределенность параметров моделей. Условно их можно разделить на три класса: стохастические, интервальные и нечеткие методы. Каждый из них имеет свои достоинства, недостатки и область применения, которые перечисляются ниже в разделе 1.4. Наиболее гибкими и интенсивно развивающимися в настоящее время являются численные методы, представляющие неопределенность в форме нечетких чисел с произвольной функцией принадлежности. Однако реализация наиболее точных нечетких методов требует слишком больших вычислительных ресурсов, экспоненциально увеличивающихся с ростом числа нечетких параметров. С другой стороны, высокопроизводительные и математически строгие алгебраические методы интервальных вычислений дают слишком большую по величине и слишком мапоинформативную по форме неопределенность результатов, которая имеет смысл далеко не во всех прикладных задачах. В связи с этим, проблема сочетания в одном методе достоинств существующих подходов к численной обработке неопределенности до сих пор является актуальной.

К настоящему времени математическая физиология накопила достаточно много знаний и моделей на их основе, чтобы переходить от описания частных явлений к комплексному моделированию функциональных систем и даже организма в целом. По мнению части исследователей, именно такие модели в состоянии преодолеть барьер, который отделяет физиологическую кибернетику от практического применения (прежде всего, медицинского), и обусловлен интенсивными системными взаимодействиями в организме. При создании комплексных моделей организма учет неопределенности параметров играет большую роль (хотя бы по причине их большого количества), однако существующие численные методы, как правило, не отвечают требованиям таких моделей. В частности, комплексные физиологические модели почти всегда являются весьма разнородными с математической точки зрения: они могут одновременно содержать подсистемы с сосредоточенными параметрами (алгебраические и дифференциальные) и пространственно распределенные части, описываемые уравнениями в частных производных на ветвящейся одномерной, двумерной или трехмерной геометриях.

Поэтому, помимо упомянутых выше требований высокой производительности метода и не слишком большой неопределенности его результатов, для таких моделей важна универсальность численного метода в смысле его пригодности к расчету широкого класса математических типов уравнений. Также метод должен быть универсальным в смысле произвольности способа формализации неопределенных параметров: параметры комплексных моделей могут быть как экспериментального происхождения (со статистической неопределенностью измерений), так и экспертными оценками, взятыми из разных источников и плохо сопоставимых между собой. Обе трактовки универсальности метода становятся особенно важными, когда речь идет о его реализации в рамках некоторого прикладного программного пакета широкого назначения, т. е. когда заранее неизвестно, какие неопределенные данные будут вводиться в модель, к каким типам уравнений она сведется и даже какие вычислительные алгоритмы будут использованы для ее расчетов.

При разработке комплексных моделей функциональных систем организма, наряду с недостаточностью существующих методов обработки неопределенности, возникает также много проблем содержательного характера. Одна из них — проблема моделирования работы сердца и ее регуляции, встречающаяся в большинстве таких исследований — подробно исследуется в данной работе. Несмотря на огромное число публикаций по этой тематике (см. раздел 1.5), до сих пор является актуальной задачей создание замкнутой модели кровообращения, которая была бы максимально близка к принятому в физиологии способу описания закономерностей сердечной деятельности, и поэтому имела бы минимальное число подлежащих идентификации параметров и минимальный уровень формализации (что позволило бы использовать ее не только математикам, но и специалистам предметной области).

Таким образом, цель диссертации имеет две тесно взаимосвязанные составляющие: во-первых, создание высокопроизводительного, универсального и простого в реализации инструмента численного расчета нечетких уравнений; во-вторых, моделирование с его помощью конкретных физиологических систем, включающее анализ погрешности (нечеткости) результатов и их чувствительности к исходным данным.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Евдокимов, Алексей Витальевич

Заключение

В работе предложен высокопроизводительный метод проведения алгебраических операций с зависимыми нечеткими числами на основе хранения линеаризованной истории операций. Универсальность метода позволяет реа-лизовывать расчеты с нечеткими числами без привязки к конкретным классам задач (алгебраических или дифференциальных) и к конкретным вычислительным алгоритмам, предназначенным для решения этих задач в вещественных числах. Кроме того, метод позволяет анализировать погрешности результатов расчетов на предмет их чувствительности к конкретным параметрам, а также максимально экономичным образом проводить серию однотипных расчетов, в которых нечеткости параметров отличаются по величине и форме представления. Метод внедрен в программном пакете для моделирования версии 2.1, находящейся в настоящее время в стадии альфа-тестирования.

Содержательным результатом диссертации является замкнутая модель кровообращения человека с минимальным числом подлежащих идентификации параметров и минимальным уровнем формализации закономерностей сердечной деятельности. Адекватность модели подтверждается сопоставлением с известными статистическими данными, а также явным использованием в модели эмпирических диаграмм работы сердца.

В работе приведены результаты расчетов (предложенным методом) алгебраической модели сердца и разнообразных дифференциальных систем в гауссовских и интервальных нечетких числах с помощью нескольких стандартных вычислительных алгоритмов. Проведено сопоставление полученных погрешностей решения с их оценками через многократное решение соответствующих четких задач, а также с результатами других авторов, пользующихся основанной на этом методикой решения нечетких дифференциальных уравнений. Сопоставление показало хорошее качественное, а иногда и количественное согласие между решениями при существенно меньших затратах машинного времени в случае использования предложенного метода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Евдокимов, Алексей Витальевич, 2003 год

1. Алтунин А. Е., Семухин М. В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: монография - Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. - 352 с.

2. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа Новосибирск: Наука, 1986. - 222 с.

3. Абрамович Ф.П., Вагенкнехт М.А., Хургин Я. И. Решение нечетких систем линейных алгебраических уравнений Lß-типа // Методы и системы принятия решений: сб. статей. Рига: РПИ, 1987. - С. 35-47

4. Захаров A.B.у Шокин Ю.И. Алгебраическое интервальное решение систем линейных интервальных уравнений Ax = bnAx + d = b: Препринт / ВЦ СО АН СССР. -Красноярск, 1987. -№5 -17 с.

5. Семухин М.В. Разрешимость нечетких и интервальных уравнений. Вестник Тюменского государственного университета. Тюмень: ТюмГУ, 1998. -Вып. 2 - С. 23-26.

6. АленфельдГ., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления М: Мир, 1987. - 360 с.

7. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. -М: Наука, 1985. 248 с.

8. БазаровМ.Б., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. О построении конечно-разностных интервальных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вопросы вычислительной и прикладной математики: сб. статей. ИК АН УзССР, 1984. - Вып. 71. - С. 131-144.

9. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Аналитические и численные методы исследования. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.160 с.

10. Стратонович P. JI. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. - 209 с.

11. Казаков И. Е., Мальчиков С. В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1983. - 384 с.

12. Синщын В. И. Методы статистической линеаризации (обзор) // АиТ., 1974- №5 С. 3-36.

13. Крендалл С. Случайные колебания с нелинейными восстанавливающими силами. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1961. - 144 с.

14. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971- 328 с.

15. Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1990.

16. Fortran 95 Interval Arithmetic Programming Reference (Forte Developer 6 update 2). http://docs.sun.com/db/doc/806-7994.pdf

17. Kutscher S., Schulze J. Some Aspects of Uncertain Modeling Experiences in Applying Interval Mathematics to Practical Problems // Bandemer H. (editor). Modelling Uncertain Data. Akademie Verlag, Berlin, 1993 - P. 62-68.

18. MoorR.E. A survey of interval methods for differential equations // Proc. 23rd IEEE Conf. Decis. and Contr., Las Vegas, Nev., 1984. Vol.3 - P. 1529-1535.

19. Kaufmann A., Gupta M.M. Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications. Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1985.

20. Walley P. Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities. Chapman & Hall, London, 1991.

21. Isukapalli S.S. Uncertainty Analysis of Transport-Transformation Models: PhD thesis. Rutgers, The State University of New Jersey, 1999.http: / /www. ccl. rutge rs. edu/ ~ss i/thes is/thes is. html.

22. Adomian G. Applied stochastic processes // Adomian G. (editor). Stochastic System Analysis. Academic Press, New York, 1980. - P. 1-17.

23. Пугачев B.C., Синицын И.М. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. - 560 с.

24. Bischof С. Н., Khademi Р., Mauer A., Carle A. ADIFOR 2.0 automatic differentiation of Fortran 77 programs // IEEE Computational Science & Engineering., 1996. - Vol. 3, N3- P. 18-32.

25. Гущин В.А., Онуфриева И.П. Численное исследование течения жидкости в сосуде с локальными изменениями поперечного сечения. // Медицинская биомеханика. Рига, 1986 - Т. 2 - С. 53-59.

26. Холодов А. С. Некоторые динамические модели внешнего дыхания и кровообращения с учетом их связности и переноса веществ // Компьютерные модели и прогресс медицины. М.: Наука, 2001. - С. 127-163.

27. Евдокимов A.B., Холодов A.C. Квазистационарная пространственно распределенная модель замкнутого кровообращения организма человека // Компьютерные модели и прогресс медицины. М.: Наука, 2001. -С. 164-193.

28. Абакумов M.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин A.B., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы // Дифференциальные уравнения, 1997. Т.33(7) - С. 892-898.

29. Абакумов М. В., Есикова Н. Б., Мухин С. И., Соснин Н. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А.П. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе: Препринт / М., Диалог-МГУ, 1998.

30. Солодянников Ю.В. Элементы математического моделирования и идентификации системы кровообращения. Самара: ЗАО Самара-Диалог, 2003.

31. Гродинс Ф. Теория регулирования и биологические системы. М., Мир, 1966.

32. AI. Шумаков В.К, Зимин Н.К., Иткин Г.П. Искусственное сердце. М.: Наука,1988.

33. Гайтон А. Минутный объём сердца и его регуляция. М.: Мир, 1969. -472 с.

34. Аносов Н.М., Палец Б.Л., Агапов Б.Т., Ермакова И.И., Лябах Е.Г., Пацкина С.А., Соловьев В. П. Теоретическое исследование физиологических систем. Математическое моделирование. К.: Наукова думка, 1977. - 245 с.

35. ЛищукВ. А. Математическая теория кровообращения. -М.: Медицина, 1991.

36. Лигай В. В. Применение нечетких и интервальных алгебр для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений: магистерская диссертация МФТИ, 2003. - 38 с.

37. Физиология человека. В 3-х томах. Т. 2. Под ред. Шмидта Р. и Тевса Г. -М. Мир, 1996. 313 с.

38. Аболина А. В. Моделирование транспортных процессов в нефроне: выпускная квалификационная работа на степень бакалавра. МФТИ, 2003.

39. E. Mosekilde, M. Barfred, N.-H. Holstein-Rathlou. Bifurcation analysis of nephron pressure and flow regulation // Chaos, 1996 Vol. 6 - P. 280-287.

40. БурыкинАА., Евдокимов А. В. О применении объектно-ориентированного анализа при создании сложных компьютерных моделей в физиологии. // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ Долгопрудный, 1999 - с. 50

41. Евдокимов А. В. Объектно-ориентированный подход в математическом и имитационном моделировании. // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ Долгопрудный, 1999 - С. 85

42. Евдокимов А. В. Объектно-ориентированный подход в вычислительной математике и имитационном моделировании. Магистерская диссертация. Долгопрудный, МФТИ, 2000.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.