Численное решение задач термоупругости пластин и оболочек прямыми методами минимизации энергии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Прилипов, Николай Валерьевич

• Прилипов, Николай Валерьевич
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Прилипов, Николай Валерьевич

Введение.

Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета тонкостенных конструкций, находящихся в температурном поле.

1.1. Анализ методов расчета стационарных и нестационарных температурных полей.

1.2. Построение исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек.

1.3. Методы решения термоупругих задач теории пластин и оболочек.

Глава 2. Решение нестационарной задачи теплопроводности методом конечных элемен- 34 тов.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение матриц жесткости и энтальпии.

2.3. Расчет нестационарных температурных полей.

Глава 3. Задачи термоупругости пластин и оболочек и методика их решения.

3.1. Исходные геометрические и физические соотношения нелинейной теории оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и температурного воздействия.

3.2. Построение дискретного аналога функционала Лагранжа.

3.3. Формирование вектора градиента.

3.4. Численный алгоритм квазиньютоновского мето- 71 Да.

3.5. Численный алгоритм метода сопряженных градиен

Глава 4. Решение задач термоупругости.

4.1. Решение тестовых задач.

4.2. Расчет пластинки на силовое и термосиловое воздействие.

4.3. Расчет пологой сферической оболочки при термосиловом воз-дейст

4.4. Расчет ортотропной пластинки и цилиндрической оболочки с низкой сдвиговой жесткостью на термосиловое воздейст- 108 вие.

4.5. Структура вычислительной программы для решения задач термоупругости пластин и пологих оболо- 121 чек.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение задач термоупругости пластин и оболочек прямыми методами минимизации энергии»

Тонкостенные пространственные системы в виде оболочек и пластин как естественные конструктивные формы применяются в различных областях техники — в машино- и приборостроении, в судостроении, авиа-и ракетостроении и других областях. Значительное распространение пространственные тонкостенные конструкции получили в строительстве в качестве рациональных решений покрытий и перекрытий промышленных, гражданских, жилых и сельскохозяйственных зданий и в качестве конструктивных форм инженерных сооружений. Типы пространственных конструкций покрытий весьма разнообразны — от сравнительно небольших по размерам систем в виде оболочек панелей размером на пролет здания порядка 18-г24 м до большепролетных конструкций с размерами до 200 м и более. Оболочечные конструкции подразделяются на жесткие и гибкие. К первой группе относятся: короткие панели-оболочки, своды, складки, цилиндрические своды-оболочки, пологие оболочки двоякой кривизны, купола, составные системы из совокупности нескольких оболочек различных конфигураций, сетчатые оболочки и структуры. Жесткие оболочки, опирающиеся на опорный контур, в основном работают на сжатие, сдвиг, а также на растяжение. Ко второй группе относятся большепролетные, весьма пологие из-за экономии строительной высоты оболочки, а также висячие оболочки, вантовые и мембранные системы, подвешиваемые к опорному контуру. Последние, в основном, работают на растяжение и сдвиг. К гибким оболочкам относятся также пневматические конструкции.

В последние годы интенсивно разрабатываются новые типы облегченных пространственных конструкций покрытий из многослойных панелей и композиционных материалов, вес которых в 5-6 раз меньше железобетонных, что существенно снижает расход материала на поддерживающие их конструкции каркаса стен и фундаментов. Типы оболочек инженерных сооружений также весьма разнообразны. Они применяются в виде оболочек вращения при сооружении телевизионных башен, силосов, трубопроводов, резервуаров, градирен, корпусов доменных печей, газгольдеров, корпусов и защитных оболочек атомных реакторов, а также в виде односвязных и многосвязных складчатых систем применительно к конструкциям башенных копров, угольных и горнорудных шахт, элеваторов, приливных электростанций, доков, коробчатых строений мостов и ряда других конструкций.

Таким образом, вопросы надежного проектирования и расчета тонкостенных пространственных систем представляют важную инженерную задачу.

Теория и методы расчета тонкостенных пространственных систем, применяемых в строительстве, имея много общего с теорией и расчетом подобных систем в других областях техники, обладают рядом особенностей. Это объясняется тем, что применяемые в строительстве пространственные системы отличаются большими габаритами и весьма разнообразны по конструктивным решениям и виду применяемых материалов. Теория расчета оболочек и пластин представляет один из важных разделов строительной механики. Наибольшее развитие получили математическая и прикладные (технические) линейные теории оболочек, поскольку для них физические зависимости между напряжениями и деформациями, выражаемые линейными алгебраическими зависимостями закона Гука, наиболее просты и такой расчет идет в запас прочности, а при учете нелинейных факторов является необходимым этапом итерационного способа решения нелинейных уравнений.

Классическая математическая теория тонких упругих оболочек, заложенная на сегодня в основу почти всех методов расчета тонкостенных систем и основанная на гипотезах Кирхгофа— Лява, развивалась в направлении построения основных дифференциальных уравнений и их качественного анализа. Как и для расчета стержневых систем, при расчете оболочечных систем приходится иметь дело с рассмотрением краевых задач для дифференциальных уравнений, но с частными производными, решение которых может выполняться в соответствии с тремя методами строительной механики: методом перемещений, методом сил и смешанным методом, при этом используются аналитические, полуаналитические и численные методы расчета. Использование аналитических и полуаналитических методов расчета оболочечных конструкций в тех случаях, когда удается их разработать, всегда остается более привлекательным и уместным, поскольку они позволяют более наглядно проводить как качественный, так и количественный анализ решения задачи и, кроме того, при их использовании, в сопоставлении с численными методами расчета на ЭВМ, существенно экономится машинное время. При расчете сложных по конфигурации тонкостенных пространственных систем, оболочечных конструкций находящихся под воздействием нестационарных температурных полей, при построении кривых равновесных состояний оболочечных конструкций с учетом геометрической и (или) физической нелинейности их поведения, приходится прибегать к численным методам расчета. Характерная особенность численных методов состоит в том, что они позволяют с большей или меньшей точностью представить решение в числовом виде в конечном числе дискретно расположенных точек (в узлах условной расчетной сетки).

Современная строительная механика характеризуется широким проникновением ЭВМ в область проектирования и расчета строительных конструкций, в том числе тонкостенных пространственных систем. Это проникновение одновременно сопровождается совершенствованием и развитием технических теорий и численных методов расчета тонкостенных конструкций с использованием ЭВМ, таких как разностные и вариационно-разностные, включая различные модификации метода конечных элементов.

Важным вопросом в теории тонкостенных конструкций является вопрос сведения исходных трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек. При построении исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек целесообразно учесть деформации поперечного сдвига по толщине плит и оболочек, что позволяет построить некий вариант уточненной технической теории, который, существенно упрощает алгоритмизацию численных методов расчета. В этом случае применение вариационно-разностного метода (ВРМ) дает возможность построить эффективный численный алгоритм, который, обладая всеми присущими классическому варианту ВРМ достоинствами при расчете тонкостенных конструкций (упрощение формулировки краевых и контактных задач, понижение порядка аппроксимирующих функций, симметрия матрицы разрешающих алгебраических уравнений и т. д.), вместе с тем не имеет весьма существенных недостатков, присущих ВРМ, основанному на классической теории тонкостенных конструкций в рамках модели Кирхгофа-Лява. При дискретизации потенциальной энергии изгиба, входящей в функционал Лагранжа, в силу того, что она содержит производные выше первого порядка, появляются законтурные точки, а это требует введения дополнительных условий для их исключения. Кроме того, при разном порядке производных в функционале необходима различная дискретизация. Оба эти обстоятельства заметно усложняют вычислительный алгоритм. Реализация разработанной уточненной технической теории позволяет построить достаточно простой и эффективный алгоритм расчета линейно и нелинейно деформируемых тонкостенных пространственных систем без использования законтурных точек при линейной в направлении координатных осей аппроксимации искомых функций перемещений.

Построенная таким образом уточненная техническая теория тонкостенных конструкций, в которой учитываются деформации поперечного сдвига и геометрическая нелинейность позволяет существенно расширить класс решаемых задач. Как показывают проведенные исследования, учет деформаций сдвига по толщине играет большую роль при расчете относительно толстых оболочек (h/R ~ 1/20 — 1/3), в динамических задачах при быстроменяющихся во времени нагрузках, в задачах взаимодействия тонкостенных элементов между собой и с жесткими штампами, при расчете трехслойных тонкостенных пространственных конструкций с легким заполнителем и конструкций, выполненных из композиционных анизотропных материалов с низкой сдвиговой жесткостью.

Задача минимизации исходного функционала Лагранжа при использовании классического вариационно-разностного метода сводится к решению уравнений Эйлера, представляющих собой систему линейных алгебраических уравнений. Для решения подобной задачи требуется предварительно построить матрицу системы (матрицу Гессе), коэффициенты которой находятся как вторые производные дискретного аналога исходного функционала. Для этой цели используются приближенные разностные формулы, реализация которых требует существенных вычислительных затрат. После формирования матрицы система уравнений решается одним из известных численных методов (методы Гаусса, Холецкого, итерационные методы). В качестве альтернативного подхода к решению вариационной задачи может быть применен один из так называемых квазиньютоновских прямых методов минимизации функции многих переменных. В методе Дэвидона-Флетчера-Пауэлла матрица, обратная матрице Гессе аппроксимируется с помощью градиентов целевой функции. Для квадратичной целевой функции с п неизвестными решение находится за п шагов. Такой подход имеет определенное преимущество, поскольку формирование коэффициентов градиента требует меньше вычислительных затрат по сравнению с формированием коэффициентов матрицы вторых производных. Эффективный численный алгоритм может быть построен на основе метода сопряженных градиентов, в котором используются лишь векторы градиентов, что существенно экономит объем машинной памяти.

В связи с появлением технологических процессов, происходящих при высоких температурах, созданием конструкций ядерных реакторов, высокими скоростями полетов объектов аэрокосмической техники, строительством пространственных покрытий, работающих в условиях высоких градиентов температур, большое значение приобретает расчет строительных, машиностроительных, авиационных конструкций на температурные воздействия. Нагревание конструкции приводит к тепловому расширению ее элементов. В том случае, когда тело может свободно расширяться, напряжения в нем отсутствуют. Если же температурное воздействие неравномерно или имеются лишние связи, то в теле возникают температурные напряжения.

В общем случае задача определения температурного поля и поля напряжений является связанной. В связанной задаче учитываются влияние напряжений на распределение температур и тепло, которое выделяется при деформации тела в результате приложения внешних силовых нагрузок.

Для большого количества практически важных задач, и в первую очередь задач расчета пространственных строительных конструкций, скорость изменения температуры мала, а эффект связанности незначителен и им можно пренебречь. В этом случае при решении задачи термоупругости вначале определяется поле температур, а затем решается задача об определении напряженно-деформированного состояния при заданных значениях температуры.

Представляет практический интерес квазистатическая задача термоупругости, когда не учитываются инерционные члены в уравнениях движения и связывающий член в уравнении теплопроводности. В этом случае система уравнений связанной задачи распадается на уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения термоупругости при заданном температурном поле. При численной реализации такой модели возможно пошаговое решении задачи, когда на каждом шаге по времени для текущих значений температуры определяется напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкции. Процедура решения квазистатической задачи термоупругости может быть реализована в рамках единой вычислительной программы с визуализацией результатов расчета в виде изополей или поверхностей.

Целью диссертационной работы является:

1. Построение базовой математической модели тонких и средней толщины нелинейно-деформируемых пластин и оболочек с учетом температурного воздействия.

2. Создание численных алгоритмов решения нестационарной задачи теплопроводности на базе метода конечных элементов.

3. Разработка методик решения задачи термоупругости на основе квазиньютоновского метода минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа и метода сопряженных градиентов.

4. Разработка программного обеспечения и расчет пластин и оболочек при различных видах термосилового воздействия.

Научную новизну работы составляют:

1. Вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и температурного воздействия.

2. Методика решения термоупругой задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.

3. Результаты расчета тонкостенных пространственных конструкций при тепловом и термосиловом воздействиях в линейной и геометрически нелинейной постановках.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения для расчета ортотропных пластин и оболочек при термосиловом воздействии, который реализован в среде Fortran PowerStation и позволяет визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется построением корректных математических моделей, возможностью перехода от предложенной теории пластин и оболочек к известным частным теориям, выбором хорошо апробированных методов решения краевых задач, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов для ЭВМ. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов.

По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Прилипов, Николай Валерьевич

Заключение

Основные теоретические и практические результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Построен вариант энергетического функционала Лагранжа теории упругих пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и геометрической нелинейности при температурном и силовом воздействии.

2. Разработан численный алгоритм решения нестационарной задачи теплопроводности на базе метода конечных элементов.

3. Разработана методика решения задачи термоупругости на основе вариационно-разностной процедуры с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.

4. Получены формулы для вычисления элементов вектора градиента при решении термоупругой задачи вариационно-разностным методом.

5. Разработан численный алгоритм решения квазистатической задачи термоупругости ортотропных пластин и оболочек, позволяющий оценивать напряженно-деформированное состояние конструкции при изменении температурных полей во времени.

6. Разработано программное обеспечение для расчета изотропных и ортотропных пластин и оболочек в линейной и геометрически нелинейной постановке при термосиловом воздействии. Программное обеспечение реализовано в среде Fortran PowerStation с использованием средств, позволяющих визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.

7. Решен ряд тестовых задач теории теплопроводности и термоупругости пластин и оболочек, подтверждающих эффективность и работоспособность предлагаемых численных алгоритмов.

8. Выполнены расчеты свободно опертой по контуру пластинки с учетом геометрической нелинейности на силовую нагрузку и линейно деформируемой пластинки при термосиловом нагружении.

9. Выполнены расчеты пологой сферической оболочки на прямоугольном плане при различных граничных условиях (опирание на диафрагмы и жесткое закрепление по контуру) на различные виды темосилового воздействия, включая локальное температурное воздействие.

10. Исследовано напряженно-деформированное состояние пластинки и оболочки, выполненных из композиционного анизотропного материала с низкой сдвиговой жесткостью (органопластика). Рассмотрена задача расчета жестко закрепленной по контуру пластинки, а также пологой цилиндрической оболочки с различными граничными условиями при совместном действии поперечной нагрузки и температуры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Прилипов, Николай Валерьевич, 2006 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Айнола Л.Я. Асимптотическая теория динамики упругих пластинок при больших перемещениях // Изв. АН Эст.СССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, 1965, т. 14, №3, с.337-344.

3. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст.ССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, 1965, т. 14, №3, с.337-344.

4. Айнола Л.Я. О геометрически нелинейной теории динамики упругих пластинок // Прикладная механика, 1965, т.1, №8.

5. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов А.Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ, ч. 1-2. М.: Стройиздат, 1976.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. -446 с.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Физматгиз, 1967. -266 с.

8. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1987, №5, с.37-42.

9. Ю.Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. -344с.

10. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1969.-288 с.

11. Безухов Н.И. и др. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур. М.: Машиностроение, 1965. - 567 с.

12. М.Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

13. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964.-518с.

14. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987.-524 с.

15. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. - 248 с.

16. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Дискретный анализ в теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966, с.209-214.

17. Ванюшенков М.Г., Коренев Б.Г. Основы расчета конструкций на тепловые воздействия. М.: Изд-во МГСУ, 2003. - 118с.

18. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1963. - 28 с.

19. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978.-183с.

20. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. -784 с.

21. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. - 492 с.

22. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: ГИТТЛ, 1956. -420 с.

23. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок.-М.: Наука, 1966, с.896-903.

24. Ворович И.И., Малкина О.С. Асимптотический метод решения задачи теории упругости о толстой плите // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966, с. 251-254.

25. Габбасов Р.Ф. Расчет плит с использованием разностных уравнений метода последовательных приближений. // Строительная механика и расчет сооружений, 1980, №3, с. 27-30

26. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. -Казань: Изд-во КГУ, 1975. -325 с.

27. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам. М.: ИЛ, 1959. -350с.

28. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. -400 с.31 .Гольденбладт И.И., Николаенко Н.А. Расчет термоупругих напряжений в ядерных реакторах. М.: Госатомиздат, 1962.

29. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостех-издат, 1953.-544 с.

30. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. Киев: Издательство «Факт», 2005. - 340 с.

31. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-360 с.

32. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. -440с.

33. Исаханов Г.В., Кепплер X., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Исследование алгоритмов решения нелинейных задач теории упругости методом конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вельник, 1975, вып.ХХУН, с.3-10.

34. Исаченко В.П., Осипов В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. -М.: Энергоатомиздат, 1980. -416с.

35. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.

36. Камат М.П., Хайдук Р.Дж. Обзор последних достижений в области использования квазиньютоновских методов для анализа и синтеза конструкций // Ракетная техника и космонавтика, 1982, т.20, №6, с. 64-73.

37. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986. -288с.

38. Карпиловский B.C., Криксунов Э.З., Микитаренко М.А. и др. SCAD OFFICE. Интегрированная система анализа конструкций. М.: Издательство АСВ, 2003. - 240 с.

39. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. - 354 с.

40. Коваленко Л.Д. Термоупругость. Киев: Вища школа, 1975. -216 с.

41. Конюхов А.В., Коноплев Ю.Г. Задачи раздувания гипертермоупру-гих оболочек // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Труды XX Международной конференции. СПб: Изд-во СПбГУ, т.Ш, 2003, с.29-34.

42. Копейкин Ю.Д. Применение бигармонических потенциалов в краевых задачах статики упругого тела. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М., 1978.

43. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости.-М.:Наука, 1980.

44. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

45. Косицын С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. МИИТ, М., 1993.-48 с.

46. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. -336 с.

47. Кроник Я.А., Демин И.И. Расчеты температурных полей и напряженно деформированного состояния грунтовых сооружений методом конечных элементов. Учебное пособие. М.: МИСИ, 1982. -102 с.

48. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216с.

49. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физ-матгиз, 1963. - 472 с.

50. Лебедев Н.Н.Температурные напряжения в теории упругости. М.: ОНТИ, 1937.

51. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. -600с.

52. Майзель В.М. Температурная задача теории упругости. Киев: Изд-во АН УССР, 1951

53. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями.-М.: Физматгиз, 1958. -168с.

54. Милейковский И.Е. Система исходных уравнений пологих оболочек при учете сдвига по толщине и решение их по методу конечных элементов // Пространственные конструкции зданий и сооружений, 1977, вып.З, с.5-10.

55. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. М.: Стройиздат, 1989. - 200 с.

56. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. -М.: Наука, 1990.-488с.

57. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1981. -216 с.

58. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

59. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. - 352 с.

60. Моисеенко А.К., Цурпал И.А. Плоская задача термоупругости для физически нелинейных сред //Динамика и прочность машин.-Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1968, вып.9.

61. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

62. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины //ДАН СССР, 1959, т. 128, №6.

63. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1981. -216 с.

64. Нерубайло Б.В., Смирнов B.C. Напряжения в круговой цилиндрической оболочке при локальном распределении температуры //Труды Уфимского политехнического института. Уфа: Изд-во Уфимского политехнического института, вып.32, 1971.

65. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. J1.-M.: Гостехтеориздат, 1948.-212с.73.0гибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М.: Изд-во МГУ, 1968. -520с.

66. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. -М.: Физматгиз, 1963. -252с.

67. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможности их анализа. Киев: Сталь, 2002. - 445 с.

68. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.-376 с.

69. Постнов В.А. (ред.) Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов. Труды XX Международной конференции, т. 1-3. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003.

70. Проскурина В.М. Равновесие гибких нелинейно-упругих оболочек при совместном воздействии нагрузки и температуры //Некоторые задачи и методы расчета стержневых систем, стержней, пластин и оболочек. -М.: Изд-во МИСИ, вып. 112, 1973.

71. Ржаницын А.Р. Новые уравнения теории оболочек // Международная конференция по облегченным пространственным конструкциямпокрытий для строительства в обычных и сейсмических районах. Доклады. М.: Стройиздат, 1977, с. 126-139.

72. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов. Рига: Зинатне, 1974. - 270 с.

73. Самарский А.А. Введение в численные методы. -М.: Наука, 1982. -272с.

74. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392с.

75. Синицын С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем. М.: Издательство АСВ, 2002. - 320 с.

76. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: Издательство АСВ, 2005. - 736 с.

77. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций/ Кар-мишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. М.: Машиностроение, 1975. -376 с.

78. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977. -350с.

79. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат, 1987. - 160 с.8 8. Термопрочность деталей машин /Под ред. И.А.Биргера и Б.Ф.Шорра. -М.: Машиностроение, 1975. -455с.

80. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

81. Хечумов Р.А., Кепплер X, Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Издательство АСВ, 1994.-353 с.

82. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-536 с.

83. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техника, 1976.

84. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. -М.: Машиностроение, 2004. 512 с.

85. Шаповалов J1.A. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1968, №1, с.56-62.

86. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж.журнал, 1964, t.IV, вып.З, с.504-509.

87. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.: ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

88. Шмит, Богнер, Фокс. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием конечных элементов пластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №5, с. 17-29.

89. Bushnell D. Stress, buckling and vibration of hybrid bodies of revolution // Computers & Structures, 1977, vol.7, No.4, pp.517-573.

90. Cruse T.A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics // Int. J. Sol. and Struct., 1969, 5, pp. 1259-1274.

91. Friedrichs K.O., Dressier R.F. A boundary layer theory for elastic plates. Comm. Pure Appl. Math., 1964, vol.14, No.l.

92. Gallager R.H., Gellatly R.A., Pedlog J., Mallet R.H. A discrete element procedure for thin shell instability analysis // AIAA Journal, 1967, №1.

93. Kamat M.P., Hayduki R.J. Energy minimization versus pseudo force technique for nonlinear structural analysis // Computers & Structures, 1980, vol.11, №5, pp.403-409.

94. Naghdi P.M. On the Theory of Thin Elastic Shells // Quart. Appl. Math., vol.14, No.4,1957, pp.369-380.

95. Reissner E. On the derivation of the theory of thin elastic shells. -Journal of Mathematics and Physics, Vol.42, No.4, 1963.

96. Reissner E. On the equation for finite symmetrical deflections of thin shells of revolution // Progr. Appl. Mech., New-York, 1963, pp. 171178.

97. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // Journal of Mathematics and Physics. Vol. XXIII, No.4, 1944, pp. 184-191.

98. Reissner E. Stress Strain Relations in the Theory of Thin Elastic Shells // Journal of Mathematics and Physics. Vol. XXXI, No.2, 1952, pp. 109-119.

99. Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Quart, appl. Math., 1967, 25, pp.8395.

100. Tsao C.H. Strain-displacement relations in large displacement theory of shells // AIAA Journal, 1964, vol.2, №11, pp.236-238.

101. Turner MJ. Designe of minimum mass structures with specified natural frequencies // AIAA Journal, 1967, №3.

102. Turner M.J., Dill E.H., Martin H.C. and Melosh RJ. Large Deflections of Structural Subjected to Heating and External Loads // Journal of the Aerospace Sciences, vol.27, No.2, 1960, pp. 97-106.

103. Zienkiewicz O.C., Tailor L.R. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann, 2005, 752 pp.