Численные методы на основе эрмитовых сплайнов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации кривых и поверхностей, в задачах оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Никуличев, Юлий Васильевич

• Никуличев, Юлий Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Никуличев, Юлий Васильевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Семейства новых методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

§1. Введение.

§2. Семейство методов на основе двухточечных эрмитовых сплайнов

-методы).

§3. Аналитическое представление и дифференцирование функций.

§4. Семейство методов на основе трехточечных эрмитовых сплайнов

LMR-методы).

§5. Интегрирование системы ОДУ с разрывными функциями правых частей.

§6. Краевые задачи.

§7. Примеры решения тестовых задач.

ГЛАВА II. Новый метод аппроксимации кривых и поверхностей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы на основе эрмитовых сплайнов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации кривых и поверхностей, в задачах оптимального управления»

** '

§2. LL-аппроксимация кривой.76

§3. ¿¿-аппроксимация поверхности.94

§4. Метод вариации поверхности.106

Рисунки к главе II.111

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Никуличев, Юлий Васильевич

Результаты работы по мере их получения докладывались на:

- Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды". Новосибирск. 1991.

23

- IV - й всероссийской школе молодых учёных. Красноярск. 1992.

- Всероссийской школе - семинаре по комплексам программ мат. Физики. Новосибирск, 1992.

- XI-й международной конференции по автоматически пилотируемым летательным аппаратам. Англия, Бристоль. 1994.

- Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения". I

Казань. 1999г.

- Конференции «Юбилейные Чаплыгинские чтения» Новосибирск. - 1999г.

- Ш-й всероссийской конференции «Математика, информация, управление». Иркутск, 2004.

- на VII - XII International conference on the "Method of Aerophysical Research" (Novosibirsk, 1994, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004 гг, на семинарах ИТПМ CO РАН.

Рисунки, относящиеся к главам, помещены за ними и имеют нумерацию (m,n), где m — номер главы, п - номер рисунка.

Обозначения формул имеют аналогичный вид: m - номер главы, an- номер формулы в пределах этой главы.

Обозначения формул в приложении отмечены буквой «п», например, (п.1). Список литературы состоит из 126 наименований, приведенных в алфавитном порядке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации приведены результаты исследований по созданию новых и совершенствованию существующих численных методов, алгоритмов комплексов и пакетов прикладных программ в следующих областях: 1. Интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные два новых семейства методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) основаны на представлении функций правых частей системы интерполяционными полиномами Эрмита для двух (Ц?-методы) точек и для трёх (¿МК-методы) точек соответственно. Параметрами первого семейства являются степени интерполирующих полиномов, параметрами второго - степени интерполирующих полиномов и величина, определяющая пропорции деления отрезка интегрирования на одном шаге. Методы применимы для интегрирования жёстких систем ОДУ. Это показано теоремами, определяющими существование областей значений параметров методов, гарантирующих их А - и Ь - устойчивость. В соответствии с новым введенным определением Ь(Ь) - устойчивости, доказана теорема о Ь{5) - устойчивости ЬМ11( 1,0,1) - и ЬМЯ( 1,1,1) - методов.

2. Автоматизированное геометрическое проектирование - аппроксимация таблично заданных криволинейных границ двух и трех мерных тел. Для аппроксимации таблично заданных кривых и поверхностей разработан новый метод, названный /Х-аппроксимацией, который позволяет строить кусочно-полиномиальную функцию, удовлетворяющую изогеометрическим требованиям, предъявляющимся во многих практических задачах. Эти требования сформулированы и доказаны в теоремах, гарантирующих для ¿¿-аппроксимации:

- отсутствие осцилляций аппроксимирующей функции между задающими точками;

- монотонность аппроксимирующей функции при монотонности задающих точек;

- так называемое натяжение - форма аппроксимирующей кривой при увеличении степени полинома приближается к линейному каркасу -кусочно-линейной кривой, проходящей через задающие точки.

При работе с аппроксимирующей поверхностью возникают важные вопросы, связанные с визуализацией и способами варьирования. Приведенные методы построения изолиний для аппроксимирующих поверхностей и метод варьирования отдельных участков аппроксимирующей кривой или поверхности помогают решать эти вопросы. Созданы алгоритмы, реализующие описанные методы, на основе которых разработаны библиотеки программ.

3. Нелинейное программирование. Создан комплекс программ решения задач нелинейного программирования ПОИСК, в котором реализованы алгоритмы покоординатного спуска, матричного -спуска, сканирующего конуса с адаптацией параметров и с использованием элемента случайности. С помощью этого комплекса решено множество практических задач.

4. Оптимальное управление. На основе математической модели генной сети, созданной в Институте цитологии и генетики СО РАН, впервые сформулирована и решена задача управления биосинтезом холестерина в клетке как задача оптимального управления динамической системой. Новые методы аппроксимации кривой использованы для аппроксимации и расчёта управляющих функций.

В качестве основных результатов настоящей работы молено выделить следующие:

1. Разработаны два новых семейства методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Сформулированы и доказаны теоремы, определяющие области значений параметров, гарантирующих А - и Ь - устойчивость семейства ЬК. - методов.

2. Разработаны алгоритмы для аналитического представления производных произвольного порядка, которые используются при решении задачи Коши для систем ОДУ ЬЛ - методами порядка больше единицы.

3. Разработаны алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ ЬЩ1,г) -методом, ЬМЯ{ 1,0,1) - и ЬМЯ{\,\,\) - методами с расчётом ошибки на шаге, а также алгоритм интегрирования систем ОДУ с разрывными функциями правых частей. На основе этих алгоритмов построены соответствующие библиотеки прикладных программ.

4. Предложено новое определение устойчивости численных методов интегрирования систем ОДУ - Д5) - устойчивость. Сформулированы и доказаны теоремы об А - и Ь(Ь) - устойчивости ЬМЯ( 1,0,1) - и ЬМЛ( 1,1,1)- методов.

5. Предложены новые методы кусочно-полиномиальной аппроксимации таблично заданных кривых и поверхностей, названные, соответственно, ЬЬаппроксимацией кривой и ^-аппроксимацией поверхности. Для этих методов сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие выполнение основных условий изогеометрии (отсутствие паразитных осцилляций, монотонность, о близости к задающим точкам). Описаны способы построения изолиний для аппроксимирующих поверхностей. Приведен метод, позволяющий варьировать отдельные участки аппроксимирующей кривой или поверхности. Создана библиотека прикладных программ, в основе которой лежат описанные методы аппроксимации кривых и поверхностей.

220

6. Разработан алгоритм решения задач нелинейного программирования с адаптацией параметров и использованием элемента случайности. На основе этого алгоритма создана библиотека прикладных программ ПОИСК для персонального компьютера.

7. С помощью алгоритмов, разработанных на основе описанных методов и реализующих их программ решены следующие прикладные задачи: в задаче прогнозирования движения искусственного спутника Земли применение новых методов позволило увеличить интервал прогнозирования в пределах заданной точности по сравнению с использовавшимися ранее методами, - решён ряд практических задач расчета оптимальной формы крыльевых профилей дозвуковых самолетов при заданных аэродинамических и геометрических ограничениях, решена задача о механизме разложения ряда пространственно -затрудненных фенолов, сформулированная как задача идентификации параметров математической модели, задача управления биосинтезом холестерина в клетке впервые сформулирована и решена как задача оптимального управления динамической системой. Новые методы использованы для аппроксимации и расчёта управляющих функций.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Никуличев, Юлий Васильевич, 2005 год

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972. - 316 с.

2. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление.- М: Машиностроение. 1968.

3. Атлас спектров ароматических и гетероциклических соединений. Вып.25. -Новосибирск: 1983 - 215 С.

4. Аульченко С.М., Никуличев Ю.В. Modeling of the mechanism of hydrodynamic drag reduction by the method of a surface running wave. 12-th International conference on the Methods Aerophysical Research (ICMAR) Proceedings, p.4.Novosibirsk, 2004. --- .

5. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф. Построение плоских кривых с помощью параметрических полиномов четвертого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. - Т.35. - № 7. - С. 1139-142.

6. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф. Построение крыловых профилей в дозвуковом потоке газа методами числениой оптимизации // Механика жидкости и газа. 1997. - № 2. - С. 174-182.

7. Аульченко C.M., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. The study of influence of airfoils contour approximation on its rating characteristics. 10-th International conference on the Methods Aerophysical Research (ICMAR) Proceedings, P.I.Novosibirsk, 2000.

8. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Variational method for designing two-dimensional optimal aerodynamic configurations. Abstracts International conference Free-boundary problems in continuum mechanics, Novosibirsk, 1991, pi 2.

9. Аульченко C.M., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Исследование влияния способов аппроксимации границ на аэродинамические характеристики крыловых профилей. Доклады Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения". Казань. 1999г.

10. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием интерполяционных полиномов Эрмита // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1998.- Т. 38. -№ 10. С. 1665-1670.

11. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Опыт оптимизации аэродинамических характеристик эксплуатируемых крыловых профилей // Прикладная Механика и Техническая Физика. 2002.- Т.43. - № 1.- С. 60-64.

12. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение кривых и поверхностей с помощью параметрических полиномов // Автометрия.- 2000. -№ 4,- С. 60-76.

13. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение кривых с помощью параметрических полиномов // Ж. вычисл. матем. И матем. Физ.1998. Т. 38. - № 12. с. 1967-1972.

14. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение поверхностей с помощью параметрических полиномов // Ж. вычисл. матем. И матем. Физ.1999. Т. 39,- № 12. С. 339-346.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.: Наука, 1987. 598 с.

16. Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Падэ. Пер. с англ. —М.: Мир, 1985,- 502 с.

17. Беллман Р. Динамическое программирование. ИЛ. 1960. — 400 с.

18. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.1. М.: Наука, 1966. -632 с.

19. Брайсон А., Хо Ю Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.-544 с.

20. Василенко В.А. Сплайн функции: Теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Наука, 1983. - 215 с.

21. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М: Наука. 1988.- 552 с.

22. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. -400с.

23. Воронин В.Т. Построение сплайнов сохраняющих изогеометрию. Препринт № 404. ВЦ СО АН СССР. - 1982. - 19 с.

24. Горбунов Б.Н., Гурвич Я.А., Маслова И.П. Химия и технология стабилизаторов полимерных материалов. М.: Химия. - 1981. - 368 с.

25. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений,- М. : Изд во МГУ, 1978. - 207 с.

26. Гребенников А.И. Изогеометрическая аппроксимация функций. В кн.: Числ. Анализ на ФОРТРАНе. Методы и алгоритмы. - М. : Изд - во МГУ, 1978. - С. 48 - 55.

27. Гринченко С.Н., Растригин JI.A. О матричном случайном поиске// Автоматика и вычисл. техника. 1977. - № 4. - С. 48 - 51.

28. Жонголович И.Д. Труды Института теоретической астрономии АН СССР, т.З. 1952.

29. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн -функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

30. Иванов В.В., Трутень В.Е. К методу штрафных функций // Кибернетика. № 2. 1962.

31. К. де Бор Практическое руководство по сплайнам.- М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

32. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. Пер. с англ. М. "Мир". 1969. 380 с.

33. Квасов Б. И. Интерполяция рациональными параболическими сплайнами. В сб. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984. — Т.15,- №4.-С. 60-70.

34. Квасов Б. И., Яценко С. А. Решение задачи изогеометрической интерполяции в классе рациональных сплайнов. Препринт № 3 88. ИТПМ СО АН СССР. - 1988. - 60 с.

35. Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. Основные алгоритмы. М. 1976.-680 с.

36. Кобков В. В. Монотонные и квадратичные выпуклые сплайны с дополнительными узлами. — В кн. : Некот. пробл. диф. уравнений и дискрет, матем. Н., 1986 С. 94 - 104.

37. Колобов Б. П., Колобов П.П. Вариационный способ построения нелокальных кубических сплайнов из С1 для описания пространственных кривых и поверхностей// Препринт № 6 91. ИТПМ СО АН СССР. - 1991. -65 с.

38. Колчанов H.A., Ананько Е.А., Колпаков Ф.А., Подколодная O.A., Игнатьева Е.В., Горячковская Т.Н., Степаненко И.Л. Генные сети // Молек. Биол.- 2000.34.

39. Колчанов H.A., Латыпов А.Ф., Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Никуличев Ю.В., Ратушный A.B. Задачи оптимального управления в динамике генных сетей и методы их решения // Известия РАН Теории и системы управления. -2004. № 6. С. 36-45.

40. Крайко A.H. Плоские и осесимметричные конфигурации, обтекаемые с максимальным критическим числом Маха// Прикладная математика и механика. 1987. - № 6. - С. 941 - 950.

41. Латыпов А.Ф. Модифицированный метод наискорейшего спуска (метод склона)// Аэрофизические исследования, 1973.

42. Латыпов А.Ф. Об одной модификации метода наискорейшего спуска // Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук. 1974. Т. 2. - № 8. С. 87-89.

43. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. A family of methods of solution of stiff ordinary differential equations. 12-th International conference on the Methods Aerophysical Research (ICMAR) Proceedings, p. 1.Novosibirsk, 2004.

44. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. New Methods Based on Hermit Approximation For Solving Problems of Guidance, Forecasts and Optimization. Xl-th International conference on Remotely Piloted Vehicles. Conference papers, Bristol, 1994.

45. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Set of methods for solution the couchy problem for stiff systems of ordinary differential equation. 11-th International conference on the Methods Aerophysical Research (ICMAR) Proceedings, p. 1.Novosibirsk, 2002.

46. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Об одном методе поиска минимума функции многих переменных. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1972.

47. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Применение метода аппроксимации в пространстве состояний в задачах оптимального управления. Труды школы-семинара по комплексам программ мат. физики. Новосибирск, 1992.

48. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Специализированный комплекс программ оптимизации. Препринт ИТПМ СО АН СССР № 15, 1985.

49. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Численный' метод решения задач оптимального управления. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1972.

50. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Численный метод решения задач оптимального управления посредством аппроксимации управляющих функций непрерывными кусочно-линейными функциями. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1974.

51. Латыпов А.Ф. О решении экстремальных задач с ограничениями // Изв. Сибирского отделения АН СССР, серия технических наук. Вып. 3.- 1974.

52. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М: "Наука". 1968. 180 с.

53. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Ратушный A.B. и др. Обобщенный химико-кинетический метод моделирования генных сетей // Молекуляр. Биология 2001.35.

54. Ляпунов C.B. Построение профилей минимального волнового сопротивления// Уч. зап. ЦАГИ. 1986. - № 4. - С. 1 - 7.

55. Мирошниченко В. JI. Интерполяция функций с большими градиентами. В кн. Методы аппроксимации и интерполяции, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР. - 1980. - С. 98- 107.

56. Никуличев Ю.В. Новые численные методы решения задач управляемого движения. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Новосибирск, 1981.

57. Никуличев Ю.В. Новый метод решения задачи Коши для системы уравнений в частных производных первого порядка. Сб. тезисов докладов «численные методы механики сплошной среды», Красноярск, IV -я всероссийская школа молодых учёных. 1992.

58. Никуличев Ю.В. О градиентном методе в задачах оптимизации динамических систем. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1973.

59. Никуличев Ю.В. Построение численных методов решения жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе LR-метода. Препринт ИТПМ СО АН СССР. № 2-87, 1987.

60. Никуличев Ю.В. Численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аналитического дифференцирования функций на ЭВМ. Сб. «Численные методы механики сплошной среды», Новосибирск, 1980, т.2, № 1.

61. Никуличев. Ю.В. Численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аналитического дифференцирования функций на ЭВМ. Сб. «Оптимизация динамических систем». ИТПМ, СО АН СССР, Новосибирск, 1979.

62. Новиков В.А., Новиков Е.А. Два эффективных алгоритма численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Препринт ИТПМ СО АН СССР. № 5-84, 1984.

63. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. Пер. с англ. М.: Мир. 1974. 376 с.

64. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 2-е изд. М.: "Наука"'. 1969.

65. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

66. Растригин JI.A. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. Рига.: Зинатне, 1965. 211с.

67. Ратушный A.B., Игнатьева Е.В., Матушкин Ю.Г. и др. Математическая модель регуляции биосинтеза холестерина в клетке. Докл. второй междуиар. конф. по биоинформатике или регуляции и структуре генома. Т.1. Новосибирск. 2000.

68. Рогинский В.А. Фенольные антиоксиданты. М.: Наука. - 1988. - 248 с.

69. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж. Холл и Дж. Уатт. Пер. с англ. М.: Мир. 1979. 312 с.

70. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под. Ред. Г.Н. Дубошина. Изд. 2-е. «Наука». 1976. 864 с.

71. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под. ред. Миеле. — М.: Мир, 1969. -508с.

72. Трухаев Р.И., Хоменюк В.В. Теория неклассических вариационных задач. -Изд. ЛГУ, 1971.

73. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М: Наука, 1967.

74. Фойгт И. Стабилизация синтетических полимеров против действия тепла и света. Л.: Химия. - 1972. - 270 С.

75. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. -М.: Мир, 1982. 304 с.

76. Чуян O.P. Оптимальный одпошаговый алгоритм максимизации дважды дифференцируемых функций. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1986. -Т. 26. №3,- С. 381-387.

77. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 712с.

78. Шляпинтох В.Я. Фотохимические превращения и стабилизация полимеров. -М.: Химия.- 1979.-343 С.

79. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. - 464 с.

80. Штифель Н., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика,- М.: "Наука". 1975. 368 с.

81. Эмануэль Н.М., Бучаченко А.Л. Химическая физика старения и стабилизации полимеров. М.: Наука. - 1982. - 359 с.

82. Bezicr P. Example of an Existing System in the Motor Industry // The UNISURF System Proc. Roy. Soc. Lond. 1971. A 321.J

83. Brown R.L. Multi-derivative numerical methods for the solution of stiff ordinary differential equations. Departament of Computer Science, University of Illinois. Rep. UIUCDCS-R-74-672. 1974.

84. Bulirsch R., Stoer J. Numerical Treatment of Ordinary Differential Equations by Extrapolation Methods //Num. Math. 8. 1-13. 1966.

85. Cêa Jean. Optimisation théorie et algorithmes. Paris, DUNOD, 1971.

86. Coons S.A. Surfaces for Computer Aided Design of Space Forms, MAC-TR-41, Project MAC, M.I.T. 1967.

87. Curtis C.F., Hirshfelder J.O. Integration of stiff equation. Proc. Nat. Acad. Sci., 38, pp. 235-243, 1952.

88. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT, 3, p. 27-43, 1963.

89. Ehle B.L. High order A-stable methods for the numerical solution of system of D.E's // BIT. 8. Pp. 276-278. 1968.

90. Ehle B.L. On Pade approximation to the exponential function and A — stable methods for the numerical solution of initial value problems. University of Waterloo Dept. Applied Analysis and Computer Science, Research Rep. № CSRR 2010. 1969.

91. Everhart E. An efficient integrator of veiy high order and accuracy with appendix listing of Radau. Denver. Res. Inst. Tech. Rep. July, 1974.

92. Everhart E. Implicit single-sequence method for integrating orbits // Cel. Mech. 10. 35-56. 1974.

93. Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Third Edition. Academic Press, San Diego, CA, 1993.

94. Fatunla S.O. An Implicit Two-Point Numerical Integration Formula for Linear and Nonlinear Stiff System of Ordinary Differential Equations // Mathem. Of Computations. Vol. 32. № 141. 1978.

95. Ferguson J.C. Multivariate Curve Interpolation // Journal ACM, II, 2, 221-228, 1964.

96. Fletcher R., Powell M. J. D. A rapidly convergent descent method for minimization. Comput. Journ., 6. 1963.

97. Fritsch F. N., Carlson R. E. Monotone piecewise cubic interpolation // SIAM J. Nuraer. Anal. 1980. Vol. 17. № 2. p. 238-246.95.

98. Gear C.W. The automatic integration of ordinary differential equations // Comput. and Structures. 1985. V. 20. № 6. P. 915-920.

99. Hairer E., Wanner G. Solving ordinary differential equations II. Stiff and differential-algebraic problems // Springer ser. comp. math. 14. Berlin: SPRINGER, 1991, (sec. ed. 1996).

100. Hicks R.M., Vanderplaats G.N., Murman E.M., King R.R. Airfoil section drag reduction of transonic speeds by numerical optimization // NACA TMX 73097. 1976.

101. Hicks R.M., Vanderplaats G.N. Design of low speed airfoils by numerical optimization // SAE Pap. 740524. - 1975.

102. Hoshchek J., Lasser D. Fundamentals of Computer Aided Geometric Design. A. K. Press, Ltd., Wellesley, MA, 1993. 727 p.

103. Johnson R.R., Hicks R.M. Application of numerical optimization to the design of advanced supercritical airfoils // NACA CP. № 2045. - 1079.

104. Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion. Ann. Univ. Turku.1. Ser. Al, 73,1964.