Дифференциальные многочлены с заданными решениями и аналитическая сложность голоморфных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Красиков, Виталий Александрович

• Красиков, Виталий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Красиков, Виталий Александрович

Оглавление

Введение

1. Линейные зануляющие дифференциальные операторы для алгебраических функций

1.1. Зануляющие операторы для решений голономных систем дифференциальных уравнений

1.2. Вычисление зануляющего оператора для заданной алгебраической функции

1.3. Примеры зануляющих операторов для алгебраических функций

1.4. Многогранники Ньютона оптимальных зануляющих операторов

2. Аналитическая сложность голоморфных функций двух комплексных переменных

2.1. Основные определения. Классы сложности

2.2. Условие принадлежности второму классу аналитической сложности

2.3. Сложность многочленов двух переменных

2.3.1. Сложность взвешенных однородных форм

2.3.2. Сложность дискриминантов

2.4. Сложность алгебраических функций

2.5. Сложность функций трех и более переменных

2.6. Примеры дифференциальных многочленов для частных случаев функций из классов сложности С1\ и С12

3. Аналитическая сложность гиперповерхностей и узлов

3.1. Сложность аналитической гиперповерхности в С"

3.2. Аналитическая сложность узла, вложенного в 1'

Заключение

Указатель обозначений

Список литературы

Работы автора по теме диссертации

Приложения

Приложение 1. Программа на языке среды Mathematica 7.0 для вычисления

зануляющего оператора для квинтики общего вида

Приложение 2. Зануляющие дифференциальные операторы для алгебраических функций

Приложение 3. Дифференциальные многочлены для функций различных

классов аналитической сложности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные многочлены с заданными решениями и аналитическая сложность голоморфных функций»

Введение

Многие классические и современные разделы математики ориентированы на решение (точное или численное) дифференциальных уравнений, их систем и обобщений (интегро-дифференциальных, дифференциально-разностных, псевдодифференциальных уравнений). К таким областям математики относятся, например, некоторые разделы функционального анализа, теория D-модулей, групповой анализ дифференциальных уравнений, значительная часть теории специальных функций. Обратная задача построения уравнения или системы уравнений из определенного класса по известным решениям пользуется значительно меньшей популярностью и зачастую воспринимается как намного более простая. Это отчасти связано с замкнутостью класса элементарных функций относительно операции дифференцирования в совокупности с множеством простых примеров элементарных функций, не имеющих элементарной первообразной. Данное обстоятельство является следствием узости класса элементарных функций и может быть устранено путем перехода к подходящему расширению этого класса, например, при помощи специальных функций математической физики.

К числу обратных задач классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений можно отнести 21-ю проблему Гильберта, решение которой было получено A.A. Болибрухом в 1989 г. [3]. Эта классическая проблема, которая на протяжении почти 70 лет ошибочно считалась решенной Племелем в 1908 г., ставит вопрос о построении фуксо-вой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданным ветвлением ее решений (то есть, с заданной группой монодромии). Результат Племеля состоял в возможности построения системы с заданной

монодромией в классе систем с регулярными особенностями. Болибрух показал, что для более узкого класса фуксовых систем обыкновенных дифференциальных уравнений это, вообще говоря, неверно.

Другой классической задачей, приводящей к обратной задаче теории дифференциальных уравнений в частных производных, является 13-я проблема Гильберта. В ее дословной формулировке ставится вопрос о возможности представления решений приведенного алгебраического уравнения 7-й степени в виде композиции непрерывных функций двух переменных. Решение данной проблемы дается теоремой Колмогорова-Арнольда, согласно которой любая непрерывная функция произвольного (конечного) числа переменных, заданная на компактном подмножестве вещественного пространства, может быть представлена в виде композиции непрерывных функций одного переменного и всего лишь одной функции двух переменных, в качестве которой можно взять, например, функцию /(ж, у) = х + у. Данное представление возможно благодаря широте класса всех непрерывных функций одного переменного. В то же время решение исходного алгебраического уравнения является многозначной аналитической функцией нескольких комплексных переменных и потому встает вопрос о нахождении аналогичного представления в классе аналитических функций двух переменных [6]. Данный вопрос естественным образом приводит к понятию классов сложности аналитических функций двух переменных и задаче нахождения дифференциальных критериев принадлежности функций этим классам [20]. Таким образом, возникает необходимость конструктивного построения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных с заданным семейством решений, зависящим от нескольких произвольных функций одного переменного.

В работе [57] Д. Цейльбергер (О. Zeilberger) рассматривает подход к доказательству функциональных соотношений, основанный на понятии голопомной функции. Определение голономной функции в этой работе несколько отличается от традиционного для теории Х>-модулей, а именно, ПОД семейством ГОЛОНОМНЫХ функций /(х 1, . . . , 777,1, . . . , 'ГП,1), где Х\.... . Хр- - переменные, 7774, ■ ■ ■ ; пц - дискретные параметры, понимается

множество функций, которое удовлетворяет «максимально возможному числу (однородных) линейных дифференциально-разностных уравнений (с полиномиальными коэффициентами)» (см. [57]). Зная такую систему уравнений («каноническое голономное представление») для функций / и д, мы можем вычислить аналогичные системы для их суммы, разности, произведения, интеграла от функции по любому переменному или функционального ряда вида /, где ш7; - дискретный параметр. Тогда любое функциональное соотношение вида ^ = С, в левой и правой частях которого стоят голономные в описанном выше смысле функции, может быть доказано, если найти канонические голономные представления для ^и Си показать, что эти представления эквивалентны. Таким образом, знание множества дифференциальных (разностных) уравнений для «сложной» функции может быть весьма полезным.

Классическая проблема якобиана также может быть сформулирована как обратная задача теории дифференциальных уравнений. Предложим формулировку в случае многочленов двух переменных: необходимо найти уравнение вида А(х,у)/'Х -Ь В(х,у)/'у — 1 = 0 с полиномиальными коэффициентами вида А(х,у) = д[, В(х,у) = д'х, которому бы удовлетворял заданный многочлен /(х,у), при условии, что отображение (/,(?) обратимо.

Широкий класс обратных задач в теории дифференциальных уравнений в частных производных образуют обратные задачи математической физики. Это связано с тем, что при моделировании реальных физических процессов часто необходимо но известным результатам измерений восстановить значения некоторых параметров процесса. Сам процесс, как правило, описывается в некоторой области функционального пространства системой дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными (начальными) условиями. Такая ситуация соответствует необходимости решения обратной задачи. Непосредственные формулировки задач могут сильно отличаться в зависимости от математической модели. В частности, такие задачи могут включать установление предыстории данного состояния процесса, восстановление граничных условий или величин, в них входящих, определение коэффи-

циептов уравнений, нахождение геометрических характеристик контура области или координат точек внутри нее [1]. Возможны также комбинированные постановки обратных задач.

В качестве наиболее общей формулировки приведем следующую (см. стр. 133 - 134 в [4]) рассматриваем уравнения

где Р оператор прямой задачи; Q - «информационный» оператор, описывающий изменения правой части; д заданный, а и и / искомые элементы соответствующих функциональных пространств.

Существует обширный список источников, посвященных методам решения обратных задач математической физики (см., например, [4], [11], [12], [14], [15]). Отметим сразу, что традиционно обратные задачи математической физики относят к классу некорректных по Адамару, поскольку чаще всего у их решений отсутствует свойство непрерывной зависимости от входных данных [1]. Однако существует другая точка зрения на этот вопрос, в соответствии с которой любую обратную задачу можно сформулировать как корректно поставленную [10]. Обычным подходом при решении некорректных задач является сужение класса допустимых решений и использование различных регуляризирующих методов.

Обозначим в (0.1) А = QP и будем считать оператор А линейным, самосопряженным, положительным, но, вообще говоря, неограниченным и действующим на некотором гильбертовом пространстве Н. Пусть также область определения D{Ä) плотна в Н. В вариационных методах вместо решения уравнения (0.1) минимизируется функционал невязки J0(v) = || Av

~ 9\\н■ Решение такой вариационной задачи не единственно, и необходимо разумно распорядиться информацией о погрешности правой части для того, чтобы выделить наиболее приемлемое решение. Отдельно хочется выделить м,етод регуляризации А. Н. Тихонова, вводящий сглаживающий функционал Ja(v) = \\Av — g\\2H + а||г>||д-. Приближенное решение задачи (0.1) есть экстремаль этого функционала Ja{u) — min JQ(^). В том случае, если оператор А нелинеен, исполь-

(0.1)

иеН

зуются методы линеаризации (см., например, п. 3 главы 4 в [11]).

Перейдем к рассмотрению различных формулировок обратных задач в теории дифференциальных уравнений. Одной из наиболее элементарных является задача построения линейного обыкновенного дифференциального уравнения с заданным линейным пространством решений.

Простой способ получения дифференциального уравнения для семейства линейно независимых функций одного переменного основан па использовании определителя Вронского (вронскиана).

Предложение 0.1. Пусть С - некоторая область в С. Если функции Уг{х): У'2{%), ■ ■ ■ ,'Уп(х) € Ск(С) линейно независимы, то определитель

В

1 У\ ■■■ У»

т. ¡А ••• Уп

Лп) (п)

с1х» У1 • ■ • У'1

(0.2)

представляет оператор, своим дел1ствием, обралцающий в нуль любую функи/аю из линейного пространства с базисом у\{х), у2(х),... ,уп(х).

Обратим внимание па то, что, в соответствии с общей теорией, пространство решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения 77-го порядка имеет размерность п, поэтому любой элемент из ядра оператора И лежит в линейном пространстве, порожденном функциями У\(х), у2(х),...,уп{х).

Однако с вычислительной точки зрения вронскиан и основанная на нем конструкция дифференциального уравнения для заданной функции представляют собой лишь неконструктивную теорему существования. Причин этому три: во-первых, для формирования вронскиана необходимо выбрать базис в пространстве всех ростков функции в окрестности неособой точки, то есть, полностью решить сложную в общем случае задачу аналитического продолжения. Во-вторых, вычислительную сложность представляет задача раскрытия определителя, содержащего производные высоких порядков. Наконец, высокую сложность имеет задача упрощения и приведения к каноническому виду полученного громоздкого выражения средствами современной компьютерной алгебры.

Например, уже вычисление дифференциального оператора для решения приведенного кубического уравнения с помощью вронскиана представляет значительную трудность (см. пример в § 5 в [39]). В общем же случае использование вронскиана невозможно еще и по причине отсутствия механизмов упрощения выражений, содержащих производные специальных функций высокого порядка, в современных системах компьютерной алгебры.

В дальнейшем не рассматриваются дифференциальные уравнения и их системы с вещественно-аналитическими коэффициентами или с коэффициентами конечной гладкости. Зависимость решений такого дифференциального уравнения от его коэффициентов может быть весьма сложной и, как показывает знаменитый пример Леви [41, 54], уравнение с вещественно-аналитическими коэффициентами может вообще не иметь решений класса С1.

Дифференциальные уравнения и их системы с аналитическими коэффициентами, решения которых ищутся в классе функций, голоморфных в окрестности заданной точки или в некоторой области, рядом своих ключевых свойств выгодно отличаются от уравнений с коэффициентами конечной гладкости. Во-первых, для таких уравнений (при необходимости дополненных начальными условиями) верны аналоги теоремы Коши-Ковалевской. Во-вторых, для уравнений с однозначными голоморфными коэффициентами имеет место принцип консерватизма [42]: если уравнению удовлетворяет некоторый росток (вообще говоря, многозначной) аналитической функции, то ему удовлетворяет и любой другой ее росток, полученный из исходного путем аналитического продолжения.

Знание глобального соотношения для специальной функции, заданной локально (например, в виде суммы сходящегося в окрестности некоторой точки ряда) позволяет сделать выводы о глобальных свойствах этой функции. При этом особенный интерес представляют линейные дифференциальные соотношения с полиномиальными коэффициентами. Если специальную функцию удается «погрузить» в пространство решений системы линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, не имеющей при этом «лишних» решений, то весьма

сложные в общем случае вопросы об аналитическом продолжении такой функции и вычислении множества ее особенностей решаются стандартными техническими средствами (см., например, [47]). При этом под «лишними» понимаются решения, которые не являются ветвями изучаемой функции, то есть, не могут быть получены из нее при помощи аналитического продолжения.

В 1827 году Абель доказал (см. [16]) теорему о том, что любая алгебраическая функция удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению с полиномиальными коэффициентами. Этот результат сразу же вызывает интерес к алгебраическим функциям с точки зрения построения таких дифференциальных уравнений.

Решив в 1989 году 21-ю проблему Гильберта, A.A. Болибрух доказал, что в общем случае невозможно построить линейную фуксову систему дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии (см. [19]). Однако задача эффективного нахождения системы дифференциальных уравнений (и, в частности, единственного дифференциального уравнения) с заданным ветвлением решений (когда это возможно) остается открытой и активно исследуемой, см. [25], [27] и [30]. Система компьютерной алгебры Magma содержит встроенную команду DifferentialOperator для нахождения таких операторов (см. [26]). Другой мощный инструмент нахождения линейных дифференциальных уравнений (как однородных, так и нет) для алгебраических функций это пакет gfun для системы компьютерной алгебры Maple 12, разработанный В. Salvy и др. (см. [25]).

Большой интерес представляет многомерный случай, то есть, нахождение линейного дифференциального уравнения в частных производных, которому удовлетворяет заданная функция многих комплексных переменных, однако такая задача имеет несколько существенных отличий от одномерного случая.

Основным классом линейных дифференциальных уравнений, рассматриваемых в данной работе, являются дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами, связанные с понятием алгебры Вей-ля. Напомним основные определения, касающиеся этих алгебраических

структур.

Пусть К некоторое поле характеристики 0. Алгеброй Вейля размерности п называется кольцо К[х\,..., хп, с^,.... дп] с правилами коммутации

х, ■ х3 = х3 • Х{, д7 • д7 = дэ • дг, дг • х3 = х3 • д, при г -ф (1, • ^ = XI • дг + 1.

изоморфное кольцу дифференциальных операторов над афинным пространством Кп размерности п. В дальнейшем алгебра Вейля размерности п обозначается Т>п, а поле К совпадает с полем комплексных чисел. Система линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами может быть ассоциирована с некоторым (левым) идеалом в Т>п.

Трудность многомерного случая по сравнению с одномерным заключается, в первую очередь, в неоднозначности выбора базиса идеала операторов, зануляющих заданную функцию или семейство функций. Ситуацию отчасти упрощает доказанная в работе [52] Дж. Т. Стаффордом теорема, в соответствии с которой любой левый (или правый) идеал алгебры Вейля Т>п порождается не более, чем двумя элементами. Конструктивное доказательство теоремы Стаффорда дано в работе [40].

Другим качественным отличием многомерного случая от одномерного является возможность наличия бесконечного семейства линейно независимых решений идеала в алгебре операторов.

Важным понятием, используемым в работе, является понятие голо-номного идеала в алгебре Вейля Т>п (или голономной системы уравнений, соответствующей идеалу). Напомним, что идеал I называется голоном-ным в том случае, если размерность его характеристического многообразия СЬаг(/) = {(ж, г) е С2п\а(Р)(х, г) = 0 для всех Р е I} равна п. Здесь сг(Р) - это главный символ оператора Р. Если система уравнений голономна, то пространство ее голоморфных решений в окрестности точки общего положения имеет конечную размерность.

Класс линейных дифференциальных операторов с произвольными аналитическими (в окрестности заданной точки или в заданной области) коэффициентами слишком узок для построения дифференциальных .урав-

нений, которым бы удовлетворяли даже некоторые элементарные функции. Например, функция 1/1пж не удовлетворяет никакому линейному дифференциальному уравнению с однозначными аналитическими коэффициентами (см. пример 1.5 (5) главы 1), что следует непосредственно из принципа консерватизма и того факта, что пространство линейно независимых ветвей данной функции в окрестности произвольной точки общего положения порождено бесконечным числом элементов. Тем не менее, данная функция удовлетворяет нелинейному уравнению третьего порядка с постоянными коэффициентами 2(/')4 — 2/(//)2/// + 2/2(///)2 — /2////// = 0. Левая часть этого уравнения является дифференциалъным многочленом.

Таким образом, мы можем расширить класс исследуемых уравнений, рассмотрев понятие дифференциального многочлена для функции/(.Тх, ..., хп), х\,...,хп £ С. Дифференциальным многочленом с частными производными над полем К характеристики 0 называется многочлен

= Ля> € ки, Д, ..., /.[.„,

• •■, /х™.1х1...х„...х7,]- Число т будем называть дифференциальным, порядком ИР.

Типичными примерами для нас будут дифференциальные многочлены с коэффициентами в множествах С, Ъ, Щх], С[ж], О(П), Л4(П), С[[ж]].

Алгебраическим, дифференциальным, уравнением, с частным,и производными назовем уравнение вида ВР{$) — 0, где ИР - некоторый дифференциальный многочлен с частными производными. В дальнейшем под дифференциальным многочленом или алгебраическим дифференциальным уравнением будем понимать дифференциальный многочлен или алгебраическое дифференциальное уравнение с частными производными.

Решением, дифференциального многочлена ИР в точке х^ £ С" называется росток (вообще говоря, многозначной) аналитической функции / £ 0(их{о)) такой, что РР(/) — 0 в некоторой окрестности IIхщ точки х(0)_

Функция ф(х\,...,хп) называется дифференциально алгебраической над полем К в том случае, если она является решением дифференци-

алы-юго многочлена с коэффициентами из ноля К па некотором непустом множестве. В противном случае функция / является трансцендентно трансцендентной (или гипертрансцендентной). В качестве примера трансцендентно трансцендентной функции можно привести гамма-функцию Г(г), которая, в соответствии с теоремой Гельдера (1887), не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению. В работе [37] показано, что класс аналитических функций с тремя особыми точками на сфере Римана содержит континуальное множество трансцендентно трансцендентных функций с существенно различным характером ветвления. Также примеры гипертрансцендентных функций приведены в работе [46].

Семейство функций называется равномерно дифференциально алгебраическим,, если существует алгебраическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют все функции семейства. Функции, принадлежащие классу аналитической сложности Сім? N = 0,1,..., (см. (2.1) в главе 2) являются примером равномерно дифференциально алгебраического семейства. С определением равномерно дифференциально алгебраического семейства связана проблема Рубеля. Она формулируется следующим образом: существует ли трансцендентная целая функция /(:х), такая, что семейство {fk} является равномерно дифференциально алгебраическим? Ответ на этот вопрос дан в работе [21] - функции, удовлетворяющей этим условиям, не существует.

Определение 0.2. Алгебраической степенью дифференциального монома

назовем сумму ^р/ показателей степеней всех производных функции /, I

входящих в моном. Здесь I = (¿1,.. . Лп) - мультииндекс, принимающий значения в некотором подмножестве множестваМд, |/| — ¿1 + .. £

N. Дифференциальный многочлен называется алгебраически однородным, степени /с, если все входящие в него дифференциальные мономы имеют одну степень к.

(0.3)

Определение 0.3. Дифференциальным, порядком дифференциального монома (0.3) будем называть величину max/ |/|. Дифференциальный порядок дифференциального многочлена равен наибольшему из дифференциальных порядков входящих в него мономов, то есть, порядку соответствующего дифференциального уравнения.

Определение 0.4. Диффе,ре.нциальной степенью однородности дифференциального монома (0.3) будем называть вектор D = pj ■ I G Nq .

i

Полной дифференциальной степенью однородности монома (0.3) будем называть число \D\. Дифференциальный многочлен будет называться дифференциально однородным степени v G Nq (вполне дифференциально однороднымесли все присутствующие в нем мономы имеют одну и ту же степень дифференциальной однородности v (соответственно одну и ту же полную дифференциальную степент однородности).

Например, дифференциальный многочлен, находящийся в левой части уравнения (2.2) из главы 2, определяющий первый класс аналитической сложности голоморфных функций двух переменных, имеет алгебраическую степень 4, дифференциальный порядок 3 и является дифференциально однородным степени (3,3).

Определение 0.5. Будем называть дифференциальный многочлен с коэффициентами из поля К, обращающий в нуль семейство функций Т (например, оно может состоять из единственного элемента или же быть параметризовано набором произвольных функций), м,ини,м,альным. если он имеет наименьшую алгебраическую степень из всех возможных. Как правило, существует несколько минимальных дифференциальных многочленов для заданного Т.

Множество минимальных дифференциальных многочленов для заданного семейства функций существенно зависит от выбора базового поля К. «Каноническими представителями» в этом множестве естественно считать дифференциальные многочлены с целыми коэффициентами в том смысле, что они всегда присутствуют среди дифференциальных

многочленов с коэффициентами в конечном расширении((])[ж], обращающих в нуль заданную аналитическую функцию.

При исследовании свойств дифференциальных многочленов в дальнейшем будут использованы понятия деком,позиции и фа к гп ор и з а ц и и. Декомпозицией дифференциального многочлена ИР{х 1,.. ., /) назовем представление ВР в виде ВР = ВС}(х1, ВН(х\..... хп, /)), где

В(^) и ВЯ - некоторые дифференциальные многочлены. Ф а кт ор из а ц ? /, е й дифференциального многочлена ВР(х 1,.. ., хп, /) назовем его представление в виде произведения ИР = ВС^(х 1,... , х„, /) х ВЯ(х\,..., жп, /).

Задача нахождения дифференциального многочлена, который обращает в нуль заданная аналитическая функция, имеет алгебраический аналог, которым является задача нахождения минимального многочлена для алгебраического числа. Напомним, что лш,ммлшлъш>ш называется многочлен неременного х с рациональными коэффициентами, обращающийся в нуль при подстановке вместо аргумента данного алгебраического числа и обладающий минимальной степенью из всех таких многочленов.

Существует множество реализаций алгоритма нахождения минимального многочлена для алгебраического числа, как в проприетарных (функция Мгтт,а,1Ро1употш1 в среде МаШетайса 7.0, одноименная функция в среде Мар1е 13.0), так и в системах компьютерной алгебры, распространяемых свободно.

Напомним, что множество алгебраических чисел из С является полем. Таким образом, сумма, разность, произведение и частное любых двух алгебраических чисел также являются алгебраическими числами. В этом заключается сходство между дифференциально алгебраической и алгебраической задачей, поскольку множества решений дифференциальных многочленов с целыми коэффициентами также образуют поле (см. [21]). Предложение 2.7 работы [46] говорит о том. что композиция дифференциально алгебраических функций, одна из которых - мероморфная, вторая - целая, также является дифференциально алгебраической функцией. Таким образом, при некоторых предположениях относительно областей определения дифференциально алгебраических функций, их мно-

жество образует поле и относительно операции взятия композиции.

Отметим, однако, важное отличие решения обратных задач в теории дифференциальных уравнений (в том числе, обыкновенных) от алгебраического случая. Для заданной функции искомый дифференциальный многочлен, которому она удовлетворяет, может быть не единственным, даже при выполнении определенных требований минимальности.

Приведем пример в случае обыкновенных дифференциальных уравнений (см. введение работы [13]). Функции семейства fc(x) = sin(£ + C), где С Е С, обращают в нуль дифференциальные многочлены (f')2 + f2 — 1 и /"+/, не являющиеся дифференциальными следствиями друг друга.

Аналогичный пример можно привести в случае дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрим семейство функций вида f(x, у) = а(х) + sin у. В этом случае «качественно разными» дифференциальными многочленами для них будут f"y и (fyy)2 + (fy)2 — 1.

Подобные ситуации могут возникать и в случае идеалов, задаваемых алгебраическими (а не дифференциальными) многочленами. В качестве примера можно рассмотреть скрученную кубику - кривую, задаваемую отображением v : Р1 —> Р3, в локальных координатах имеющим вид v : х i—У (х, ж2, х3). В однородных координатах [X : Y : Z : W] на

о

Р скрученная кубика является нулевым множеством следующих многочленов: {XZ - У2, YW - Z2, XW - YZ} (см. [38]). Это алгебраическое многообразие коразмерности 2, таким образом, не может быть задано пересечением двух гиперповерхностей, что соответствует случаю неполного пересечения.

Целью настоящей диссертации является построение дифференциальных многочленов, которые обращают в нуль функции заданных семейств, в частности, нахождение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для алгебраических функций и исследование многогранников Ньютона коэффициентов таких уравнений, нахождение алгебраических дифференциальных уравнений в частных производных для голоморфных функций классов аналитической сложности, введенных В.К. Белошапкой в работе [20]; также рассмотрено применение понятия аналитической сложности к задаче вычисления сложности гиперповерх-

ности в С2 и узла, вложенного в К3.

Глава 1 посвящена нахождению линейных дифференциальных операторов, которые обращают в нуль алгебраические функции общего вида. Предложен алгоритм нахождения оптимальных зануляющих операторов для алгебраических функций у{х). удовлетворяющих уравнениям вида

ym + xlymi + .. . + хпут"+х = 0. (1.1)

Здесь оптимальным, зануляющим оператором, называется такой линейный дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами, который своим действием обращает функцию у{х) в нуль и имеет наименьший дифференциальный порядок среди всех таких операторов. Предложенный алгоритм основан на представлении ветвей алгебраических функций, используемом в работе [39]. Исследованы многогранники Ньютона коэффициентов зануляющего оператора.

В главе 2 рассматривается определение аналитической сложности голоморфной функции двух комплексных переменных, введенное В. К. Бе-лошапкой в [20]. Доказаны леммы об оценке аналитической сложности многочленов, оценке аналитической сложности композиции функций двух переменных. Получен дифференциальный многочлен простого вида для алгебраической функции двух переменных. Доказаны теоремы об оценке сложности дискриминантов разреженных тетраномов. Вычислена система линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, решением которой является функция, удовлетворяющая уравнению fm + xfp + yfq — 1 = 0, т>р>д>0и дана оценка сложности этой функции для некоторых значений параметров m}p,q. Вычислены неизвестные ранее дифференциальные многочлены для функций «промежуточной» сложности, лежащих в С/2, НО более сложных, чем общий элемент С1\.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Красиков, Виталий Александрович

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Разработан алгоритм вычисления зануляющих дифференциальных операторов для алгебраических функций. Предложенный алгоритм отличается от других методов областью своего приложения (он работает с алгебраическими уравнениями общего вида), основными принципами работы (голономные системы дифференциальных уравнений в частных производных и некоммутативное исключение) и сложностью дифференциальных операторов, эффективно вычисляемых с его помощью.

2. Исследованы полиномиальные коэффициенты оптимального зану-ляющего дифференциального оператора. Доказана теорема о виде многогранников Ныотона этих коэффициентов.

3. Разработан алгоритм для определения принадлежности голоморфной функции двух переменных сужению второго класса аналитической сложности.

4. Доказана теорема об оценке аналитической сложности дискриминантов разреженных тетраномов.

5. Введены определения аналитической сложности для узлов и комплексных гиперповерхностей. Вычислена аналитическая сложность узлов типа З1, 41, 61, 62

Указатель обозначений

N - множество неотрицательных целых чисел; Z - множество целых чисел; 0> множество рациональных чисел; М множество вещественных чисел; С - множество комплексных чисел; Р - сфера Римана;

М" - вещественное пространство размерности п; С" - комплексное пространство размерности п; С* = С \ {0};

М\ - число элементов в конечном множестве М; а, Ь) = а\Ъ\+. .+апЪп - скалярное произведение векторов а = (ах,., ап) и Ь = (6Ь • • - А);

Xе = XI1 . . . Х'п' - МОНОМ С вектором оснований X = (.Т1, ., хп) и вектором показателей 5 = (51,., зп); а| = + . • + ап - норма мультииндекса а £ Мп; т] - наименьшее из целых чисел, больших, чем число х £ К. а\Ь - а делится на Ь без остатка, где а,Ь £ Z. ж] - целая часть числа х £ М.

К[х\,. . ., Хп] -- кольцо многочленов с переменными Х\,. хп и коэффициентами ИЗ ПОЛЯ К]

К(х\,., хп) - поле рациональных функций с переменными х\,., хп и коэффициентами из поля К; Г(г) - гамма-функция Эйлера; supp (/) - носитель ряда (в частности, многочлена) Пюизо, то есть, для / = Eq Cq^" 110 определению supp (/) = {а : сп ф 0}; в = (01, ., вп), ві =

V - алгебра Вейля линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами и порождающими х\,. ., хп, ., ■ - композиция дифференциальных операторов из алгебры Вейля (используется в тех случаях, когда необходимо отличить композицию операторов от действия оператора на функции);

• - действие оператора из алгебры Вейля на некоторую функцию о - композиция функций;

С/і,., Uт) - левый идеал в алгебре Вейля, порожденный операторами ■ ■ ■, Uт]

U, V] = UV — VU ■■■■■ коммутатор дифференциальных операторов U. V Є j(P) - главный символ линейного дифференциального оператораР Є Т)\

Char(/) - характеристическое многообразие идеала / С Т>„; rank (/) голономный рані1 левого идеала /, то есть, число его линейно независимых (над полем комплексных чисел) голоморфных решений в окрестности точки общего положения; vert (А/*) - множество вершин многогранника АЛ,

НА(А ■ с) = IA + a%jXjdXj - {А ■ с)і : г = 1,., п - га) С Т>п А-гипергеометрическая система дифференциальных уравнений в частных производных с вектором параметров А • с;

С1п - 77-й класс аналитической сложности голоморфных функций, см. стр. 42;

Р1п - 77.-й класс полиномиальной сложности многочленов, см. стр. 55; С(S) - глобальная аналитическая сложность гиперповерхности S, см. стр. 85;

R(tïi, гаї,. . ,ran) - число линейно независимых (над полем С) ростков решений уравнения у"1 + х\у'14 + . . + xnym" + х = 0 в точке общего положения х Є С для произвольных значений параметров (х\,. . , хп) Є С", см. стр. 30;

Sj(si,. , sm) - элементарный симметрический многочлен переменных

1,. ., з7п,

8уя(7) - модуль сизигий идеала I.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Красиков, Виталий Александрович, 2013 год

Литература

[1] Алифанов О. M. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным, задачам теплообмена / О. М. Алифанов, Е.А.Артюхин, С.В.Румянцев. - М.: Наука, 1988. - 286 с.

[2] Арнольд В. И. О представлении непрерывных функций т,рех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных / В.И.Арнольд // Матем. сб. 1959. №48(90):1. С. 3-74.

[3] Болибрух А. А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения / А. А. Болибрух. - М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2000.

[4] Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи / А. Л. Бухгейм. - Новосибирск: Наука, 1983. - 207 с.

[5] Витаньи П. Кол,могоровская сложность: двадцать лет, спустя / П. Витаньи, М. Ли // УМН. 1988. №43:6(264). С. 129-166.

[6] Витушкин А. Г. 13-я проблема Гильберт,а и смежные вопросы, / А. Г. Витушкин // УМН. 2004. №59:1(355). С. 11-24.

[7] Громов М. Л. Дифференциальные соотношения с частными производными: пер. с англ. / М.Л.Громов. - М.: Мир, 1990.

[8] Зайцев В.Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка / В.Ф.Зайцев, А. Д. Полянин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

[9] Колмогоров А. Н. Теория информации и теория алгоритмов / А.Н.Колмогоров. -М.: Наука, 1987.

[10] Перчик Е.Л. Метюдология синтеза знаний: преодоление фактора некорректности задач математического моделирования / Е.Л. Перчик, http ://www.pelbook.ru/pelbook.pdf

[11| Романов В. Г. Обратные зада,чи математической физики / В.Г.Романов. - М.: Наука, 1984.

[12] Самарский А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики: учебное пособие / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. - изд. 3-е. - М.: Издательство ЛКИ, 2009. - 480 с.

[13] Соснин М. В. Алгоритмы декомпозиции дифференциальных многочленов: диссертация кандидата физико-математических наук: 05.03.11 / М. В. Соснин. - Красноярск, 2003. - 94 с.

[14] Тихонов А. Н. Методы решения некоррект,ных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 285 с.

[15] Тихонов А. Н. Численные методгл решения некоррект,ных задач, / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. - М.: Наука, 1990.

[16] Abel N.H. Euvres Completes de Niels Henrik Abel. Tome II. Imprimerie de Grondahl & Son. 1981. Edited and with notes by L. Sylow and S. Lie.

[17] Adams C.C. The Knot Book. An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots / Colin C. Adams. - W. H. Freeman and Company, New York, 1994.

[18] Akashi S. A version of Hilbert's 13th problem, for entire functions / S. Akashi // Taiwanese Journal of Mathematics. 2008. V.12, №6. P. 1335-1345.

[19] Anosov D. V. The Riemann-Hilbert, problem, / D. V. Anosov, A. A. Bolibruch. - Aspects of Mathematics E22. - Friedr. Vieweg & Sohn, 1994.

[20] Beloshapka V.K. Analytic complexity of functions of two variables / V. K. Beloshapka // Russian Journal of Mathematical Physics. 2007. №14:3. P. 243-249.

[21] Bergweiler W. Solution of a problem of Rubel concerning iteration and algebraic differential equations / W. Bergweiler // Indiana Univ. Math. J. 1995. V. 44. .№ 1. P. 257Ц268.

[22] Beukers F. Monodromy for the hypergeometric function nF,/ F. Beukers, G.Heckman // Invent. Math. 1989. №95. P. 325-354.

[23] Bjork J.-E. Rings of Differential Operators / J.-E.Bjork. - North. Holland Mathematical Library, 1979.

[24] Bjork J.-E. Analytic T>-Modules and Applications / J.-E.Bjork. - Kluwer Academic Publishers, 1993.

[25] Bostan A. Differential equations for algebraic functions / A. Bostan, F. Chyzak, B. Salvy, G.Lecerf, E.Schost; Proceedings of ISSAC. - Waterloo, Ontario, Canada. 2007. P. 25-32.

[26] Cannon J.J. Handbook of Magma Functions / J.J.Cannon, W. Bosma (Eds.). - Edition 2.13. - 2006. - 4350 pages.

Carra Ferro G. Generalized differential resultant system,s of algebraic ODEs and differential elimination theory / G. Carra Ferro // Trends in Mathematics: Differential Equations with Symbolic Computation, Birkhauser, 2006. P. 327-341.

Cattani E. The A-hypergeometric system associated with a monomial curve / E. Cattani, C. D'Andrea, A. Dickenstein // Duke Math. J. 1999. №99. P. 179-207.

Cockle J. On transcendental and algebraic solution / J. Cockle // Philosophical Magazine, XXL 1861. P. 379-383.

Cormier O. Linear differential operators for polynomial equations / 0. Cormier, M.F. Singer, B.M.Trager, F.Ulmer // J. Symbolic Computation. 2002. №34. P. 355-398.

Coutinho S. C. A Primer of Algebraic V-Modules / S. C. Coutinho; London Mathematical Society Student Texts. - Cambridge University Press, Cambridge, 1995 - V.33.

Cromwell P. R. Knots and Links / P.R.Cromwell. - Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

Dickenstein A. Bases in the solution space of the Mellin system, j A. Dickenstein, T. M. Sadykov // Sbornik: Mathematics. 2007. №198:9. P. 1277-1298.

Gelfand I. M. Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants / I.M.Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky. - Birkhauser, Boston, 1994.

Gelfand I.M. Hypergeom,etric functions and toric varieties / I.M.Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky // Funct. Anal. Appl. 1989. №23:2. P. 94-106.

Grothendieck A., Esquisse d'un programme. / A. Grothendieck // London Mathematical Society Lecture Note Series 242, Geometric Galois actions, 1, 5-48. English translation on pp. 243-283. Cambridge University Press, 1997.

Haimo F. Rem,arks on Analytic Continuation / F. Haimo, M.F. Singer, M. Tretkoff // Bulletin of the London Mathematical Society. 1980. V. 12. №1. P. 9-12.

Harris J. Algebraic Geometry: A First Course (Graduate Texts in Mathematics) / J.Harris. - Springer, 1992. - 350 p.

Larusson F. Dessins d'enfants a,nd differential equations / F. Larusson, T. M. Sadykov // St. Petersburg Math. J. 2007. №19:6. P. 184-199.

Leykin A. Algorithmic proofs of two theorems of Stafford / A. Leykin. -arXiv:math/0204303v2 [math.RA], - 2002.

Lewy H. An example of a smooth partial differential equation without solution j H. Lewy // Annals of Mathematics. 1957. №66. P. 155-158.

[42] Marichev O.I. Handbook of integral transform,s of higher transcendental functions: theory and algorithmic tables / O. I. Marichev. - Translated from Russian by L. W.Longdon. -Ellis Horwood Series in Mathematics and its Applications. - Chichester: Ellis Horwood. -1983. - 336 p.

[43] Mayr K. Uber die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen / K. Mayr // Monatshefte für Mathematik und Physik. 1937. V. 45. P. 280313.

[44] McCabe T. J. A complexity measure / T.J.McCabe // IEEE Transactions on Software Engineering. 1976. vol. SE-2. №4. P. 308-320.

[45] Mellin Hj. Résolution de l'équation algébrique générale à l'aide de la fonction F / Hj.Mellin // C.R. Acad. Se. 1921. №172. P. 658-661.

[46] Malesevic B. Differentially transcendental functions / B. Malesevic. Z. Mijajlovic // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2008. V. 15. № 2. P. 193-201.

[47] Passare M. Nonconfluent hypergeometric functions in several variables and their singularities / M. Passare, T. M. Sadykov, A.K.Tsikh // Compos. Math. 2005. №141:3. P. 787-810.

[48] PetkovSek M. A = B / M. Petkovsek, H. Wilf, D. Zeilberger. - A K Peters/CRC Press, 1996.

[49] Rolfsen D. Knots and Links / D. Rolfsen. - AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 2003.

[50] Saito M. Gröbner Deformations of Hypergeometric Differential Equations j M. Saito, B. Sturmfels, N.Takayama. - Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2000.

[51] Skopenkov A. Basic Embeddings and Hubert's 13th Problem / A. Skopenkov. -arXiv: 1003.1586vl [math.FA]. - 2010.

[52] Stafford J. T. Module structures of Weyl algebras / J. T. Stafford //J. London Math. Soc. 1978. V. 18(2), №3. P. 429-442.

[53] Sturmfels B. Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometric series / B. Sturmfels-// Discrete Math. 2000. №210: (1-3). P. 171-181.

[54] Süli E. Lewy equation - a smooth PDE with no solution j E. Siili. - 2001. -http ://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/pdectb/lewy2.pdf.

[55] Tsarev S. P. Factorization of overdetermined system,s of linear partial differential equations with, finite-dimensional solution space / S. P. Tsarev // Proceedings of the 4th international workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. Springer Verlag, 2001. P. 529539.

[56] Wilf H. An algorithmic proof theory for hypergeornetric (ordinary and "q") multtsum/integral identities / H. Wilf, D.Zeilberger // Invent. Math. 1992. №108. P. 575-G33.

[57] Zeilberger D. A holonomic system approach to special function identities / D.Zeilberger // J. of Computational and Applied Math. 1990. .№32. P. 321-368.

[58] A. Zupan. Bridge and pants complexities of knots. - arXiv: 1110.3019.

Работы автора по теме диссертации

[591 Красиков В. A. The Newton Polytope of the Optimal Differential Operator for an Algebraic Curve / В.А.Красиков, Т. М.Садыков // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. 2013. .№6(2), Р. 200-210.

[60] Красиков В. А. Об аналитической сложности дискриминантов / В. А. Красиков, Т.М. Садыков // Труды МИАН. 2012. №279. С. 86-101.

[61] Красиков В. А. Аналитическая сложност,ь многочленов и дискриминантов // В.А.Красиков. Материалы юбилейной 50-й международной научной студенческой конференции. Новосибирск: Новосибирский государственный университет. 2012. С. 92.

[62] Красиков В. А. О критерии прииадлежпост,и второму классу аналитической сложности для функций двух комплексных переменных // В.А.Красиков. Четвертое российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам: тезисы докладов. - Красноярск: Сибирский федеральный университет. 2012. С. 30-31.

[63] Красиков В. А. Зануляющие дифференциальные операторы, для, алгебраических функций // В. А. Красиков. Материалы XLIX международной студенческой конференции. Новосибирск: Новосибирский государственный университет. 2011. С. 49.

Соавт,орст,во. В совместной с Т.М. Садыковым работе [1] автору принадлежат результаты. связанные с вычислением оптимальных зануляющих операторов для алгебраических уравнений высокой степени, также в равной степени внесен вклад в алгоритм вычисления зануляющих операторов. В совместной с Т.М. Садыковым работе [2] автору принадлежат расчеты аналитической сложности функций в примерах, результаты по вычислению аналитической сложности многочленов, исключению переменных из системы Гельфанда-Капранова-Зелевинского для алгебраической функции, определение аналитической сложности для функций, зависящих от трех и более переменных, доказательство теоремы о сложности дискриминантов редких тетрано-мов и доказательства предложений об аналитической сложности узлов.