Динамика параметрического взаимодействия винтовых фазовых дислокаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Калинович, Алексей Андреевич

• Калинович, Алексей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Калинович, Алексей Андреевич

Введение.

Глава 1. Суперпозиция пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации.

1.1. Общая характеристика пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации.

1.2. Суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с одноименным топологическим зарядом.

1.3. Суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с разноименными топологическими зарядами.

Глава 2. Параметрическое взаимодействие двух несоосных пучков, содержащих винтовые дислокации.

2.1. Трехчастотное взаимодействие в средах с квадратичной нелинейностью.

2.2 Параметрическое взаимодействие двух смещенных одноименных дислокаций при фазовом синхронизме.

2.3. Параметрическое взаимодействие двух смещенных одноименных дислокаций при фазовой расстройке.

2.4. Параметрическое взаимодействие двух смещенных пучков, содержащих разноименные дислокации.

Глава 3. Динамика винтовых дислокаций при неколлинеарном параметрическом взаимодействии.

3.1. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие одноименных дислокаций при отсутствии начального смещения.

3.2. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие одноименных дислокаций при начальном смещении центров пучков.

3.3. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие разноименных дислокаций при сносе энергии.

Глава 4. Параметрическая генерация фазовых дислокаций наклонными гауссовыми пучками при сносе энергии.

4.1. Генерация фазовых дислокаций несоосными гауссовыми пучками при неколлинеарном взаимодействии.

4.2. Взаимодействие несмещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии.

4.3. Взаимодействие смещенных наклонных гауссовых пучков.

4.4. Свободное распространение сгенерированных оптических дислокаций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика параметрического взаимодействия винтовых фазовых дислокаций»

Вихревая структура присуща многим волновым явлениям. В последние десятилетия внимание исследователей, работающих в области лазерной физики, когерентной и нелинейной оптики, привлекли необычные свойства вортексов - электромагнитных полей с винтовой формой волнового фронта. В основополагающей работе, написанной Наем и Берри в 1974 году [1], впервые рассмотрены фазовые дислокации, близкие по топологической структуре некоторым типам дефектов в кристаллах. Затем было опубликовано большое число работ, в которых исследованы основные свойства вортексов, их распространение и взаимодействие [2-25]. Так как вортексы представляют собой фазовые сингулярности, то они являются одним из основных объектов исследований в сингулярной оптике.

Существуют три типа дислокаций в монохроматических волнах: во-первых, линейная дислокация, называемая также краевой, во-вторых, винтовая фазовая дислокация и, в-третьих, смешанная дислокация, представляющая собой комбинацию первых двух. Линейная дислокация представляет собой линию в поперечном сечении пучка, при пересечении которой фаза совершает скачок на л-. В некоторых модах лазерного излучения линейные дислокации видны как темные окружности.

В отличие от линейной, винтовая дислокация является точечной фазовой сингулярностью, в центре которой интенсивность волны стремится к нулю, а фаза неопределенна. В окрестности дислокации фаза закручивается винтовым образом: при обходе вокруг центра по замкнутому контуру происходит набег на величину, кратную 2 л-. Для характеристики дислокаций вводят так называемый топологический заряд т. Его модуль равен величине кругового набега фазы, деленной на 2к. Положительный знак топологического заряда соответствует закрученным вправо фазам, а отрицательный - закрученным влево. Следует отметить, что дислокации с единичным зарядом т = ± 1 устойчивы по отношению к малым возмущениям волнового фронта. Вортексы с большим зарядом могут распасться на несколько единичных дислокаций с сохранением суммарного топологического заряда [4].

Так как пучок, содержащий винтовую дислокацию, имеет ненулевую азимутальную компоненту вектора Пойнтинга, то пучок с такой дислокацией называют оптическим вихрем [16].

Фазовый фронт пучка, несущего вортекс, становится многолистной поверхностью - геликоидом [5]. Подобная структура наблюдается в кристаллической решетке, имеющей дефект типа винтовой дислокации, поэтому вышеупомянутый термин применяют и в сингулярной оптике.

Отдельной проблемой является идентификация оптических вихрей. Образование винтовых дислокаций на волновом фронте пучка является чисто фазовым эффектом. Хотя дислокации и соответствует область с минимумом амплитуды, не любой минимум говорит о наличии топологических особенностей. Приборы, измеряющие только интенсивность и, в частности, человеческий глаз, не могут дать заключение о наличии фазовой дислокации. Поэтому единственным способом, обеспечивающим надежную идентификацию оптических вихрей, является использование интерферометрической информации [24-26]. При этом обычно на исследуемый пучок накладывается наклонная опорная волна со сферической или плоской фазовой поверхностью. В результате суперпозиции образуется система интерференционных полос. Например, обе волны имеют плоский волной фронт, то все полосы параллельны друг другу. Если пучок имеет сложную фазовую структуру, но не содержит особенностей, то интерференционные линии перестают быть параллельными прямыми, но не пересекаются друг с другом. Если же фазовый фронт имеет спиралевидную форму, то в центре винтовой дислокации две соседние линии на интерферограмме сливаются в одну, образуются характерные «вилки». На интерференционных эффектах оптических вихрей основано и их использование в различных интерферометрах, при этом такая система обладает большей чувствительностью к фазовым сдвигам между пучками [27]. Также винтовые фазовые дислокации, применяют для коллимации лазерных пучков [28].

Оптические вихри являются устойчивыми к действию дифракции [6]: при расплывании пучка вортекс сохраняется, так как нулевой провал в амплитудном профиле не замывается. Благодаря такой устойчивости их можно использовать для хранения, передачи и обработки информации. В ряде работ созданы полностью оптические волноводы на основе оптических вихрей, то есть, осуществлено управление света светом [20-21]. Такие устойчивые структуры были использованы также в экспериментах для захвата микрочастиц, в частности, полых стеклянных шариков размерами в десятки и сотни микрон, плавающих в воде [22-23].

Большой интерес вызывает генерация солитонов при захвате пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации. Такие солитоны имеют угловой момент [29-49]. Были исследованы свойства вортекс-солитонов в средах с квадратичной нелинейностью [29-34], с кубичной нелинейностью как фокусирующего, так и дефокусирующего типа [35-45], при наличии нелинейностей разных порядков [46], в фоторефрактивных средах [47]. Было проанализировано их формирование, устойчивость, взаимодействие [48] и управление ими с помощью слабого когерентного пучка [49]. Показано, что вортекс-солитон в квадратично-нелинейной среде благодаря модуляционной неустойчивости по азимутальной координате может распасться на несколько обычных, невихревых квадратичных солитонов [31-33]. Однако слабая добавочная кубичная нелинейность может устранять модуляционную нестабильность квадратичных вихревых солитонов [34].

Важной проблемой является разработка методов генерация пучков с оптическими вихрями [40-74]. В одних случаях фазовые дислокации могут появляться непроизвольно [6], в частности, при отражении когерентного излучения от шероховатой поверхности или при его прохождении через неоднородную среду, в том числе через атмосферу [1, 6-7, 50-52]. При этом количество дислокаций напрямую связано с флуктуациями показателя преломления воздуха. Были предложены и нашли практическую реализацию методы диагностики турбулентных состояний атмосферы на основе регистрации и подсчета числа дислокаций [51-52].

С другой стороны стоит задача получения мощных лазерных пучков, содержащих фазовые вихри с заданными свойствами. При этом возможно два варианта: формирование дислокаций внутри лазерных резонаторов или изменение топологии лазерного излучения после выхода из резонатора. В первом случае возбуждается мода с винтовой формой волнового фронта. Эксперименты подобного рода проведены, в частности, в [53-56].

Второй вариант реализуется при пропускании одномодового лазерного излучения через оптически неоднородные объекты. Наиболее распространен метод голографии: при этом когерентное излучение пропускают через синтезированную голограмму оптического вихря, предварительно специально рассчитанную на компьютере [58-62]. Также вместо голограммы можно применять феррит-гранатовые магнитные пленки с полосовой доменной структурой [63]. Другим распространенным способом является использование специальной маски переменной оптической толщины; при этом сдвиг фаз меняется пропорционально азимутальной полярной координате [64-66]. Кроме того, дислокации могут появляться при дифракции Фраунгофера на линзе небольшой апертуры [67], интерференции двух гауссовых пучков [68] или нескольких плоских волн [68-69], дифракции на кругах Эйри [70], при прохождении излучения через волновод [71-72], гауссову линзу [73], одноосный кристалл [74] и жидкие кристаллы [75].

Распространение вихрей различного вида исследовано в свободном пространстве [16, 76-100], в волноводах [101-102], в квадратично-нелинейных средах [103-116], в кубично-нелинейных средах [117-124], при рассеянии Манделыптама-Бриллюэна [125], в фоторефрактивных средах [126-127], в фотонных кристаллах [128-130], в анизотропных средах [131-134].

Неочевидные результаты возникают при линейной суперпозиции оптических вихрей. Если существует несколько дислокаций, то при обходе вокруг них суммарный набег фазы будет равен арифметической сумме набегов от всех дислокаций. Однако, суперпозиция пучков, содержащих дислокации не всегда приводит к сохранению суммарного топологического заряда; большую роль здесь играет форма пучков. Так, в [76] показано, что при взаимодействии двух несоосных гауссовых пучков, несущих равные топологические заряды, возникает либо одна, либо три дислокации, две из которых имеют противоположные знаки зарядов. В связи с этим в диссертации разрабатывается детальная теория суперпозиции дислокаций в зависимости от их топологических зарядов, смещения центров, отношения амплитуд и разности фаз.

Более сложные эффекты возникают при нелинейном взаимодействии оптических вихрей. При распространении таких пучков в нелинейных средах происходит рождение и аннигиляция пар дислокаций противоположного заряда, миграция дислокаций по сечению пучка. Показано, что в квадратично-нелинейных средах на удвоенной частоте возникает вихрь удвоенного топологического заряда [109]. Картина взаимодействия существенно усложняется при неколлинеарном нелинейном взаимодействии из-за сноса энергии [110]. В случае взаимодействия нескольких различных оптических вихрей на разных частотах происходит образование многовихревых пучков сложной структуры [112-114].

Несмотря на все вышеперечисленное теория генерации и взаимодействия пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации, нуждается в дальнейшей разработке. Так, представляется целесообразным построить детальную теорию взаимодействия двух оптических вихрей одноименного и разноименного топологического заряда в зависимости от отношения их амплитуд, сдвиг фаз и смещения центров пучков, частным случаем которой будут результаты, полученные в [76]. Полученные результаты позволят описать динамику взаимодействия двух оптических вихрей, в частности, при параметрическом взаимодействии, в результате которого появляется сложные структуры, содержащие несколько дислокаций.

Данная работа была выполнена для решения задач генерации и взаимодействия оптических вихрей. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 161 наименование. Общий объем работы составляет 113 страниц, включающих 38 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Калинович, Алексей Андреевич

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Выведены выражения, задающие в неявном виде координаты дислокаций при взаимодействии двух несоосных пучков, содержащих единичные дислокации. Найдены методы их точного решения. Выполнена классификация различных случаев суперпозиции таких пучков. Найдены области существования заданного числа дислокаций. На границах областей, положение которых определяется соотношением амплитуд, разностью фаз и расстоянием между начальными вортексами, рождается или аннигилирует пара разноименных дислокаций. Вид этих областей различен для одноименных и разноименных зарядов.

2. Разработана полная теория параметрического взаимодействия вортексов сигнальной и холостой волн в поле широкой низкочастотной волны накачки в квадратично нелинейной среде, как при выполнении фазового синхронизма, так и без него. В основу теории положены три уравнения для огибающих волн накачки, сигнальной и холостой волн. Разработан оригинальный метод построения 3-х мерных траекторий винтовых фазовых дислокаций и определения областей существования определенного числа вортексов.

3. Путем применения численного моделирования и аналитических моделей показано, что в ходе переключения одноименных дислокаций существует либо одна, либо три дислокации, а при взаимодействии положительной и отрицательной дислокаций - два или четыре вортекса. После окончания переключения число дислокаций равно исходному числу.

4. Проанализирована динамика оптических вихрей при коллинеарном параметрическом взаимодействии несоосных пучков. Выяснено, что в зависимости от начальных параметров возможна как плавная миграция дислокации между центрами гауссовых пучков, так и перемещение дислокации путем возникновения и, затем, аннигиляции пары дислокаций.

5. Проведен анализ влияния сноса энергии на динамику переключения. Получены приближенные решения для огибающих сигнального и холостого пучков. Рассмотрены случаи взаимодействия дислокаций одинакового и противоположного знаков, соосных и несоосных пучков. Аналитически найдены траектории дислокаций для случая малых отклонений от центра пучка, и выполнено сравнение с численным решением полных уравнений трехчастотного взаимодействия.

6. Получены выражения для координат генерируемых дислокаций в случае взаимодействия несмещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии, найдено минимальная величина отношения амплитуд, необходимая для генерации цепочки дислокаций. С помощью численного моделирования прослежено распространение созданной подобным образом дислокации в линейной среде. Выяснено, что любой выделенный мягкой диафрагмой вортекс сохраняется при дифракции в линейной среде.

В заключение, прежде всего, хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Петровичу Сухорукову, за интересные предложенные темы, прекрасное руководство на протяжении многих лет, незаменимую профессиональную поддержку в научной работе. Также хочу поблагодарить всех сотрудников лаборатории нелинейных волн за помощь в научной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Калинович, Алексей Андреевич, 2005 год

1. J.F. Nye, M.V. Berry Dislocations in wave trains // Proc. R. Soc. Lond. A. 1974. V. 336. P. 165-190.

2. L. Allen Introduction to the atoms and angular momentum of light special issue // J. Opt. B: Quant.Semiclass. Opt. 2002. V. 4. P. S1-S6.

3. I.G. Marienko, V.A. Pasko, V.V. Slyusar, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Investigation of an optical vortex beam with a leaky planar waveguide // Opt. Comm. 2002. V. 213. P. 1-11.

4. I.V. Basistiy, V.Yu. Bazhenov, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Optics of light beams with screw dislocations // Opt. Comm. 1993. V. 103. P. 422.

5. I.V. Basistie, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Optical wavefront dislocations and their properties // Opt. Comm. 1995. V. 119. P. 604-612.

6. Б.Я. Зельдович, Н.Ф. Пилипецкий, B.B. Шкунов Обращение волнового фронта. М.: Наука. 1985.

7. M.S. Soskiny, M.V. Vasnetsov Nonlinear singular optics // Pure. Appl. Opt. 1998. V. 7. P. 301-311.

8. M. Brambilla, F. Battipede, L.A. Lugiato, V. Penna, F. Prati, C. Tamm, C.O. Weiss Transverse laser patterns. I. Phase singularity crystals // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. № 9. P. 5090-5113.

9. V.Yu. Bazhenov, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Screw dislocations in light wavefronts // J. Modern. Opt. 1992. V. 39. №. 5. P. 985-990.

10. S.C. Tiwari Photons and vortices // J. Modern. Opt. 1999. V. 46. №. 12. P .17211731.

11. A.Ya. Bekshaev, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov An optical vortex as a rotating body: mechanical features of a singular light beam pattern // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2004. № 6. P. sl70-sl74.

12. A. Desyatnikov, C. Denz, Yu. Kivshar Nonlinear optical beams carrying phase dislocations // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2004. № 6. P. s209-s212.

13. M.V. Vasnetsov, V.N. Gorshkov, I.G. Marienko, M.S.Soskin Wavefront Motion in the Vicinity of a Phase Dislocation: "Optical Vortex" // Opt.Spectr. 2000. V. 88. № 2. P. 260-265.

14. F.T. Arecchi, G. Giacomelli, P.L. Ramazza, S. Residori Vortex and Defect Statistics in Two-Dimensional Optical Chaos // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. № 27. P. 3749-3752.

15. I. Freunda, M.S. Soskin, A.I. Mokhun Elliptic critical points in paraxial optical fields // Opt. Comm. 2002. V. 208. P. 223-253.

16. A.B. Волар, В.Г.Шведов, Т.А.Фадеева Вращение волнового фронта оптического вихря в свободном пространстве // Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25. № 5. с. 87-94.

17. D. Rozas, Z.S. Sacks, G.A. Swartzlander, Jr. Experimental Observation of Fluidlike Motion of Optical Vortices // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. № 18. P. 3399-3402.

18. A.G. Peele, K.A. Nugent, A.P. Mancuso, D. Paterson, I. McNulty, J.P. Hayes X-ray phase vortices: theory and experiment // J. Opt. Soc. Am. A. '2004. V. 21. №. 8. P. 1575-1584.

19. A.G. Peele, P.J. McMahon, D. Paterson, C.Q. Tran, A.P. Mancuso, K.A. Nugent J.P. Hayes, E. Harvey, B. Lai, I. McNulty Observation of an x-ray vortex // Opt. Lett. 2002. V. 27. № 20. P. 1752-1754.

20. L.C. Crasovan, G. Molina-Terriza, J.P. Torres, L. Torner, V.M. Perez-Garcya, D. Mihalache Globally linked vortex clusters in trapped wave fields // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 036612.

21. C.T. Law, X.Zhang, G.A. Swartzlander,Jr. Waveguiding properties of optical vortex solitons // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 1. P. 55-57.

22. K.T. Gahagan, G.A. Swartzlander,Jr. Trapping of low-index microparticles in an optical vortex//J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. №. 2. P. 524-534.

23. K.T. Gahagan, G.A. Swartzlander, Jr. Simultaneous trapping of low-index and high-index microparticles observed with an optical-vortex trap // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. №. 4. P. 533-537.

24. G.V. Bogatiryova, M.S. Soskin Detection and metrology of optical vortex helical wave fronts // Semicondact.Phys.,Quant.El.&Optoelectron. 2003. V. 6. № 2. P. 254-258.

25. T.A. Фадеева, A.B. Воляр, А.Н.Алексеев Распознавание образа интерференционной спирали в волоконно-оптическом датчике на основе оптических вихрей // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. № 15. С. 8-14.

26. W.M. Lee, Х.-С. Yuan, К. Dholakia Experimental observation of optical vortex evolution in a Gaussian beam with an embedded fractional phase step // Opt. Comm. 2004. V. 239. P. 129-135.

27. J. Masajadaa, A. Popiolek-Masajadaa, D.M. Wieliczka The interferometric system using optical vortices as phase markers // Opt. Comm. 2002. V. 207. P. 85-93.

28. P. Senthilkumaran Optical phase singularities in detection of laser beam collimation // Appl. Opt. 2003. V. 42. № 31.P. 6314-6320.

29. T.J. Alexander, Y.S. Kivshar, A.V. Buryak, R.A. Sammut Optical vortex solitons in parametric wave mixing // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. № 2. P. 20422049.

30. P.D. Trapani, W. Chinaglia, S. Minardi, A. Piskarskas, G. Valiulis Observation of Quadratic Optical Vortex Solitons // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. № 17. P. 3843-3846.

31. G. Molina-Terriza, J.P.Torres, L. Torner, J.M. Soto-Crespo Impact of imbalancing in the self-splitting of beams with nested vortices into solitons in quadratic non-linear crystals//Opt. Comm. 1998. V. 158. P. 170-180.

32. L. Torner, D.V. Petrov Azimuthal instabilities and self-breaking of beams into sets of solitons in bulk second-harmonic generation // Electron. Lett. 1997. V. 33. №7. P. 608-610.

33. J.P. Torres, J.M. Soto-Crespo, L. Torner, D.V. Petrov Solitary-wave vortices in quadratic nonlinear media // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. №. 2. P. 625-627.

34. J.P. Torres, J.M. Soto-Crespo, L. Torner, D.V. Petrov Solitary-wave vortices in type II second-harmonic generation // Opt. Comm. 1998. V. 149. P. 77-83.

35. I. Velchev, A. Dreischuh, D. Neshev, S. Dinev Multiple-charged optical vortex solitons in bulk Kerr media // Opt. Comm. 1997. V. 140. P. 77-82.

36. A.S. Desyatnikov, Y.S. Kivshar Spatial optical solitons and soliton clusters carrying an angular momentum // J. Opt. B: Quant. Semiclass. Opt. 2002. V. 4. P. S58-S65.

37. B. Luther-Davies, J. Christou, V. Tikhonenko, Y.S. Kivshar Optical vortex solitons: experiment versus theory // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. №. 11. P. 3045-3053.

38. V. Tikhonenko, Y.S. Kivshar, V.V. Steblina, A.A. Zozulya Vortex solitons in a saturable optical medium // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. № 1. P. 79-86.

39. Y.S. Kivshar, J. Christou, V. Tikhonenko, B. Luther-Davies, L.M. Pismen Dynamics of optical vortex solitons // Opt. Comm. 1998. V. 152. P. 198-206.

40. V. Tikhonenko, J. Christou, B. Luther-Davies, Y.S. Kivshar Observation of vortex solitons created by the instability of dark soliton stripes // Opt. Lett. 1996. V. 21. № 15. P. 1129-1131.

41. A.H. Carlsson, J.N. Malmberg, D.Anderson, M. Lisak, E.A. Ostrovskaya, T.J. Alexander, Y.S. Kivshar Linear and nonlinear waveguides induced by optical vortex solitons // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 9. P. 660-662.

42. T.J. Alexander 1, L. Berge Ground states and vortices of matter-wave condensates and optical guided waves // Phys. Rev. E. V. 65. P. 026611.

43. V.I. Berezhiani, V. Skarka, N.B. Aleksic Dynamics of localized and nonlocalized optical vortex solitons in cubic-quintic nonlinear media // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 057601.

44. J.J. Garcia-Ripoll, V.M. Perez-Garcia, E.A. Ostrovskaya, Y.S. Kivshar Dipole-Mode Vector Solitons // Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. № 1. P. 82-85.

45. G.A. Swartzlander, Jr., C.T. Law Optical vortex solitons observed in Ken-nonlinear media // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. № 17. P. 2503-2506.

46. H. Michinel, J. Campo-Taboas, M.L. Quiroga-Teixeiro, J.R. Salgueiro, R. Garcya-Fernandez Excitation of stable vortex solitons in nonlinear cubic-quintic materials // J. Opt. B: Quant. Semiclass. Opt. 2001. № 3. P. 314-317.

47. Z. Chen, M. Shih, M. Segev, D.W. Wilson, R.E. Muller, P.D. Maker Steady-state vortex-screening solitons formed in biased photorefractive media // Opt. Lett. 1997. V. 22. № 23. P. 1751-1753.

48. Y.S. Kivshar A. Nepomnyashchy V. Tikhonenko, J. Christou, B. Luther-Davies Vortex-stripe soliton interactions // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 2. P. 123-125.

49. J. Christou, V. Tikhonenko, Y.S. Kivshar, B. Luther-Davies Vortex soliton motion and steering // Opt. Lett. 1996. V. 21. № 20. P. 1649-1651.

50. T. Ackemann, E. Kriege, W. Lange Phase singularities via nonlinear beam propagation in sodium vapor// Opt. Comm. 1995. V. 115. P. 339-346.

51. Т.И. Арсеньян, С.И. Кауль, П.В. Короленко Дислокации волнового фронта в турбулентной среде // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. № 10. С. 1773-1777.

52. Т.И. Арсеньян, П.В. Короленко, Е.А. Кулягина, Н.Н. Федотов. Амплиудно-фазовые искажения и дислокации волнового фронта оптического пучка на наклонной приземной трассе. // Радиотехника и электроника. 1994. т. 39. №. 10. С. 1471-1476.

53. БД. Бобров, Е.И. Дмитриев, Г.Ю. Снежков Топологические фазовые дефекты в излучении технологических С02-лазеров с устойчивым и неустойчивыми резонаторами // Квант, эл. 1993. Т. 20. № 7. С. 680-688.

54. D.V. Petrov, F. Canal, L. Torner A simple method to generate optical beams with a screw phase dislocations // Opt. Comm. 1997. V. 143. P. 265-267.

55. J.T. Malos, R. Dykstra, M. Vaupel, C.O. Weiss Vortex streets in a cavity with higher-order standing waves // Opt. Lett. 1997. V. 22. № 14. P. 1056-1058.

56. G. Gbur, T.D. Visser Coherence vortices in partially coherent beams // Opt.Comm. 2003. V. 222. P. 117-125.

57. Z.S. Sacks, D. Rozas, G.A. Swartzlander,Jr. Holographic formation of optical-vortex filaments media // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. №. 8. P. 2226-2234.

58. N. Chattrapiban, E.A. Rogers, D. Cofield, W.T. Hill,III, R. Roy Generation of nondiffracting Bessel beams by use of a spatial light modulator // Opt. Lett. 2003. V. 28. № 22. P. 2183-2185.

59. N.R. Heckenberg, R. McDuff, C.P. Smith, A.G. White Generation of optical phase singularities by computer-generated holograms // Opt. Lett. 1992. V. 17. № 3. P. 221-223.

60. В.Ю. Баженов, M.B. Васнецов, M.C. Соскнн Лазерные пучки с винтовыми дислокациями волнового фронта // Письма в ЖЭТФ. 1990. Т. 52. В. 8. С. 1037-1039.

61. К. Bezuhanov, A. Dreischuh, G.G. Paulus, M.G. Schatzel, H. Walther Vortices in femtosecond laser fields // Opt. Lett. 2004. V. 29. № 16. P. 1942-1944.

62. H.A. Грошенко, O.C. Макалиш, A.B. Воляр Оптические вихри в поле рассеяния магнитных доменных голограмм // ЖТФ. 1998. Т. 68. № 12. С. 54-58.

63. G.-H. Kim, J.-H. Jeon, К.-Н. Ко, H.-J. Moon, J.-H.Lee, J.-S.Chang Optical vortices produced with a nonspiral phase plate // Appl. Opt. 1997. V. 36. № 33. P. 8614-8621.

64. W.M. Lee, X.-C. Yuan, W.C. Cheong Optical vortex beam shaping by use of highly efficient irregular spiral phase plates for optical micromanipulation // Opt. Lett. 2004. V. 29. № 15. P. 1796-1798.

65. В.Г. Шведов, Я.В. Издебская, A.H. Алексеев, A.B. Воляр Формирование оптических вихрей в процессе дифракции света на диэлектрическом клине // ПЖТФ. 2002. Т. 28. В. 6. С. 87-94.

66. J.F.Nye Evolution from a Fraunhofer to a Pearcey diffraction pattern // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2003. № 5. P. 495-502.

67. H.H. Розанов О формировании излучения с дислокациями волнового фронта // дислокаций // Оптика и спектроскопия. 1993. Т. 75. № 4. с. 861867.

68. J. Masajada, В. Dubik Optical vortex generation by three plane wave interference//Opt. Comm. 2001. V. 198. P. 21-27.

69. J.F. Nye From Airy rings to the elliptic umbilic diffraction catastrophe // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2003. № 5. P. 503-510.

70. R.M. Jenkins, J. Baneiji, A.R. Davies The generation of optical vortices and shape preserving vortex arrays in hollow multimode waveguides // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2001. V. 3. P. 527-532.

71. G. Volpe, D. Petrov Generation of cylindrical vector beams with few-mode fibers excited by Laguerre-Gaussian beams // Opt. Comm. 2004. V. 237. P. 8995.

72. L.V. Kreminskaya, M.S. Soskin, A.I. Khizhnyak The Gaussian lenses give birth to optical vortices in laser beams // Opt. Comm. 1998. V. 145. P. 377-384.

73. A.B. Воляр, T.A. Фадеева, Ю.А. Егоров Векторные сингулярности гауссовых пучков в одноосных кристаллах: генерация оптических вихрей // ПЖТФ. 2002. Т. 28. В. 22. С. 70-77.

74. S. Subota, V. Reshetnyak, M.S. Soskin Phase Singularity Birth Owing to Gaussian Beam Self-action in Nematic Liquid Crystal // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2002. V. 375. P. 481-490.

75. G. Molina-Terriza, J. Recolons, L. Torner The curious arithmetic of optical vortices // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 16. P. 1135-1137.

76. V. Pyragaite, A. Stabinis Interference of intersecting singular beams // Opt. Comm. 2003. V. 220. P. 247-255.

77. S. Orlov, A. Stabinis Free-space propagation of light field created by Bessel-Gauss and Laguerre-Gauss singular beams // Opt.Comm. 2003. V. 226. P. 97105.

78. R.P. Singh, S.R. Chowdhury Trajectory of an optical vortex: canonical vs. non-canonical // Opt. Comm. 2003. V. 215. P. 231-237.

79. V.A. Pasko, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Transversal optical vortex // Opt. Comm. 2001. V. 198. P. 49-56.

80. D.V. Petrov Vortex-edge dislocation interaction in a linear medium // Opt. Comm. 2001. V. 188. P. 307-312.

81. J. Masajada Half-plane diffraction in the case of Gaussian beams containing // Opt. Comm. 2000. V. 175. P. 289-294.

82. V. Pyragaite, A. Stabinis Free-space propagation of overlapping light vortex beams // Opt. Comm. 2002. V. 213. P. 187-191.

83. D.V. Petrov Splitting of an edge dislocation by an optical vortex // Opt. and Quant. Electron. 2002. V. 34. P. 759-773.

84. S. Orlov, K. Regelskis, V. Smilgevicius, A. Stabinis Propagation of Bessel beams carrying optical vortices // Opt. Comm. 2002. V. 209. P. 155-165.

85. M.V. Vasnetsov, I.G. Marienko, M.S. Soskin Self-Reconstruction of an Optical Vortex // JETP Lett. 2000. V. 71. № 4. P. 130-133.

86. M.S. Soskin, V.N. Gorshkov, M.V. Vasnetsov, J.T. Malos, N.R. Heckenberg Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 4064-4075.

87. В.П. Аксенов, И.В. Измайлов, Б.Н. Пойзнер, О.В. Тихомирова Волновая и лучевая пространственная динамика светового поля при рождении, эволюции и аннигиляции фазовых дислокаций // Оптика и спектроскопия. 2002. Т. 92. №3. С. 452-461.

88. G. Molina-Terriza, J. Recolons, J.P. Torres, L. Torner, E.M. Wright Observation of the Dynamical Inversion of the Topological Charge of an Optical Vortex // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. № 2. P. 023902.

89. G. Molina-Terriza, E.M. Wright, L. Torner Propagation and control of noncanonical optical vortices // Opt. Lett. 2001. V. 26. № 3. P. 163-165.

90. F.S. Roux Canonical vortex dipole dynamics // J. Opt. Soc. Am. B. 2004. V. 21. №. 3. P. 655-663.

91. F.S. Roux Paraxial modal analysis technique for optical vortex trajectories // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. V. 20. №. 7. P. 1575-1580.

92. F.S. Roux Branch-point diffractive optics vortex // J. Opt. Soc. Am. A. 1994. V. ll.№. 8. P. 2236-2243.

93. U.T. Schwarz, S. Sogomonian, M. Maier Propagation dynamics of phase dislocations embedded in a Bessel light beam // Opt. Comm. 2002. V. 208. P. 255-262.

94. F.S. Roux Spatial evolution of the morphology of an optical vortex dipole // Opt. Comm. 2004. V. 236. P. 433-440.

95. D.L. Andrews, L.C. DavilaRomero, M. Babiker On optical vortex interactions with chiral matter // Opt. Comm. 2004. V. 237. P. 133-139.

96. A.B. Воляр, Т.А.Фадеева Дифракция комбинированных оптических вихрей //ПЖТФ. 2003. Т. 29. В. 15. С. 1-8.

97. M.V. Vasnetsov, I.G. Marienko, M.S. Soskin Self-Reconstruction of an Optical Vortex // JETP Lett. 2000. V. 71. № 4. P. 192-196.

98. A.Ya. Bekshaev, M.V. Vasnetsov, V.G. Denisenko, M.S. Soskin Transformation of the Orbital Angular Momentum of a Beam with Optical Vortex in an Astigmatic Optical System // JETP Lett. 2002. V. 75. № 3. P. 127-130.

99. M.V. Berry Wave dislocation reactions in non-paraxial Gaussian beams // J. Modern. Opt. 1998. V. 45. №. 9. P. 1845-1858.

100. A.B. Воляр, Т.А.Фадеева, X.M. Решитова Динамика дислокаций и дисклинаций поля маломодового волокна IV. Формирование оптического вихря // Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23. № 5. С. 70-75.

101. Т.А. Фадеева, А.В. Воляр Туннельная селекция оптических вихрей // ПЖТФ. 2003. Т. 29. В. 14. С. 50-56.

102. S. Orlov, К. Regelskis, V. Smilgevicius, A. Stabinis Free-space propagation of second harmonic beams carrying optical vortices // Opt. Comm. 2003. V. 215. P. 1-9.

103. D.V. Petrov Second harmonic generation by optical beams with edge phase dislocation//Opt. Comm. 2001. V. 192. P. 101-106.

104. V. Jarutis, A. Matijosius, V. Smilgevicius, A. Stabinis Second harmonic generation of higher-order Bessel beams // Opt. Comm. 2000. V. 185. P. 159169.

105. A. Stabinis, S. Orlov, V. Jarutis Interaction of Bessel optical vortices in quadratic nonlinear medium // Opt. Comm. 2001. V. 197. P. 419-429.

106. D.V. Petrov, L. Torner Second-harmonic generation by intense beams containing phase dislocations: self-breaking into sets of solitons // Opt. Quant. Electron. 1997. V. 29. P. 1037-1046.

107. A. Berzanskis, A. Matijosius, A. Piskarskas, V. Smilgevicius, A. Stabinis Conversion of topological charge of optical vortices in a parametric frequency converter//Opt. Comm. 1997. V. 140. P. 273-276.

108. D.V. Petrov, G. Molina-Terriza, L. Torner Vortex evolution in parametric wave mixing // Opt. Comm. 1999. V. 162. P. 357-366.

109. G. Molina-Terriza, L. Torner, D.V. Petrov Vortex streets in walking parametric wave mixing // Opt. Lett. 1999. V. 24. № 13. P. 899-901.

110. D.V. Petrov, L. Torner J. Martorell, R. Vilaseca, J.P. Torres, C. Cojocaru Observation of azimutal modulational instability and formation of patterns of optical solitons in a quadratic nonlinear crystal // Opt. Lett. 1998. V. 23. № 18. P. 1444-1446.

111. G. Molina-Terriza, L. Torner Reconfigurable dynamic beam shaping in seeded frequency doubling // Opt. Lett. 2001. V. 26. № 3. P. 154-156.

112. G. Molina-Terriza, S. Minardi, A. Bramati, P.D. Trapani Demonstration of Vortex-Induced Beam Shaping in Seeded Second-Harmonic Generation // Opt. Exp. 2001. V. 9. № 2. P. 110-115.

113. G. Molina-Terriza, L. Torner Multicharged vortex evolution in seeded second-harmonic generation // J. Opt. Soc. Am. B. 2000. V. 17. №. 7. P. 1197-1204.

114. P.D. Trapani, A. Berzanskis, S. Minardi, S. Sapone, W. Chinaglia Observation of optical vortices and J0 Bessel-like beams in quantum-noise parametric amplification // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. № 23. P. 5133-5136.

115. J.R. Salgueiro, A.H. Carlsson, E. Ostrovskaya, Y. Kivshar Second-harmonic generation in vortex-induced waveguides // Opt. Lett. 2004. V. 29. № 6. P. 593595.

116. G.H. Kim, J.H. Jeon, Y.C. Noh, K.H. Ко, H.J. Moon, J.H. Lee, J.S. Chang An array of phase singularities in a self-defocusing medium // Opt. Comm. 1998. V. 147. P. 131-137.

117. V. Pyragaite, K. Regelskis, V. Smilgevicius, A. Stabinis Noncollinear interaction of optical vortices in Kerr nonlinear medium // Opt. Comm. 2001. V. 198. P. 459-464.

118. D. Neshev, A. Nepomnyashchy, Y.S. Kivshar Nonlinear Aharonov-Bohm Scattering by Optical Vortices // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. № 4. P. 043901.

119. H.S. Eisenberg, Y. Silberberg Phase defects in self-focusing of ultrashort pulses // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. № 3. P. 540-543.

120. D. Rozas, G.A. Swartzlander, Jr. Observed rotational enhancement of nonlinear optical vortices // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 2. P. 126-128.

121. A.M. Deykoon, M.S. Soskin, G.A. Swartzlander, Jr. Nonlinear cusp diffraction catastrophe and vortex quadrupoles from a smooth initial beam // Journ. Nonlin. Opt. Phys. & Materials. 2002. V. 11. № 4. P. 351-365.

122. D. Rozasm, C.T. Law, G.A. Swartzlander, Jr. Propagation dynamics of optical vortices // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. №. 11. P. 3054-3065.

123. F.A. Starikov, G.G. Kochemasov Novel phenomena at stimulated Brillouin scattering of vortex laser beams // Opt. Comm. 2001. V. 193. P. 207-215.

124. N.R. Heckenberg, M. Vaupel, J.T. Malos, C.O.Weiss Optical-vortex pair creation and annihilation and helical astigmatism of a nonplanar ring resonator // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. № 3. P. 2369-2378.

125. A.V. Mamaev, M. Saffman, A.A. Zozulya Time-dependent evolution of an optical vortex in photorefractive media // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. № 3. P. rl713-rl716.

126. J. Yang, Z.H. Musslimani Fundamental and vortex solitons in a two-dimensional optical lattice // Opt. Lett. 2003. V. 28. № 21. P. 2094-2096.

127. D.N. Neshev, T.J.Alexander, E.A. Ostrovskaya, Yu.S. Kivshar, H.Martin, I. Makasyuk, Z. Chen Observation of Discrete Vortex Solitons in Optically Induced Photonic Lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. № 12. P. 123903.

128. J. W. Fleischer, G.Bartal, O.Cohen, O. Manela, M. Segev, J. Hudock, D.N. Christodoulides Observation of Vortex-Ring "Discrete" Solitons in 2D Photonic Lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. № 12. P. 123904.

129. G. Cincottia, A. Ciattonib, C. Sapia Radially and azimuthally polarized vortices in uniaxial crystals // Opt. Comm. 2003. V. 220. P. 33^0.

130. A.V. Mamaev, M. Saffman, A.A. Zozulya Vortex Evolution and Bound Pair Formation in Anisotropic Nonlinear Optical Media // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. № 22. P. 4544-4547.

131. A.V. Mamaev, M. Saffman, A.A. Zozulya Decay of High Order Optical Vortices in Anisotropic Nonlinear Optical Media // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. № 11. P. 2108-2111.

132. G. Molina-Terriza, L. Torner, E.M.Wright, J.J. Garcia-Ripoll, V.M. Perez-Garcia Vortex revivals with trapped light // Opt. Lett. 2001. V. 26. №20. P. 1601-1603.

133. А.П. Сухоруков Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.: "Наука". 1988.

134. А.А. Самарский Введение в теорию разностных схем. М.: "Наука". 1971.

135. R. Hadley Transparent boundary condition for beam propagation // Opt. Lett. 1991. V. 16. №9. P. 624-626.

136. А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Динамика параметрически связанных винтовых дислокаций // Изв. РАН. Сер. Физ. 1999. Т. 63. № 12. С. 24112416.

137. И.Г. Захарова, А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Адаптация метода прозрачных граничных условий для моделирования задачи трехчастотноговзаимодействия с учетом сноса энергии // Изв. РАН. Сер. Физ. 2000. Т. 64. № 12. С. 2373-2376.

138. И.Г. Захарова, А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Интерференция двух смещенных винтовых дислокаций, имеющих разные амплитуды и фазы // Изв. РАН. Сер. Физ. 2001. Т. 65. № 12. С. 1726-1729.

139. D.A. Chuprakov, A.A. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zakharova Effective Numerical Methods for Simulating (2+l)D Three-Wave Mixing // Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering. 2002. V. 2. № ls-2s. P. 51-56.

140. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Torner Superposition of noncoaxial vortices in parametric wave mixing // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 026611.

141. А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Параметрическое взаимодействие винтовых фазовых дислокаций при наличии сноса энергии // Изв. РАН. Сер. Физ. 2003. Т. 67. С. 1745 1747.

142. А.А. Калинович, В.В.Янгирова А.П. Сухоруков Генерация винтовых фазовых дислокаций при взаимодействии несоосных непланарных гауссовых пучков // Изв. РАН. Сер. Физ. 2004. Т. 68. С. 1799-1803.

143. A.A. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zakharova Adaptation of Transparent Boundary Conditions for Simulation of Wave Mixing with Walk-of // Proceedings of II International Conference "Modern Trends in Computational Physics". 2000. Dubna. P. 91.

144. A.A. Калинович, А.П. Сухоруков Динамика взаимодействия пучков с винтовыми фазовыми дислокациями // Научная молодежная школа "0птика-2000". Санкт-Петербург. 2000. С. 65-66.

145. А.А. Калинович Суммирование двух смещенных винтовых дислокаций с неодинаковыми амплитудами и фазами // 2 Международная конференция молодых ученых и специалистов "0птика-2001". С.-Петербург. Россия.2001. С. 70.

146. A.A. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zaharova Peculiarities of optical vorticies spreading in quadratic nonlinear media // V International Congress on Mathematical Modeling Dubna. Book of abstracts. 2002. V. 1. P. 242.

147. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Torner Optical coupled vortices // Laser Physics Workshop'02. Book of abstracts. Bratislava.2002. P. 185.

148. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Torner Opical vortices of parametrically coupled waves // International Quantum Electronics Conference 2002. Technical Digest. Moscow. Russia. 2002. P. 60.

149. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Torner Optical vortices of parametrically coupled waves // Nonlinear guided waves and their applications. 2002. Technical digest. P. NLMD25.

150. A.A. Калинович, А.П. Сухоруков Влияние сноса энергии на параметрическое преобразование фазовых дислокаций // Труды

151. Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Звенигород. 2003. Т. 2. С. 100.

152. А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Динамика оптических вортексов при параметрической связи волн // Тезисы международной конференции "Лазерная физика и применение лазеров". Минск. Белоруссия. 2003. С. II-5у.

153. А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov Optical vortices in three-wave mixing with walk-off // Technical Digest of Second International Conference on Laser Optics for Young Scientists. St.Petersburg. Russia. 2003. P. 27.

154. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich Optical vortices of coupled waves // Technical Program of XI Conference on Laser Optics. St.Petersburg. Russia. 2003. P. 38.

155. А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Снос энергии в параметрически взаимодействующих пучках с винтовыми дислокациями // Сборник трудов

156. I Международной конференции молодых ученых и специалистов "Оптика- 2003". Санкт-Петербург. 2003. С. 48.

157. А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov Noncollinear parametric interaction of optical vortices // International Conference of Coherent and Nonlinear Optics. St. Petersburg. 2005. C. 14.