Дискретные неравенства Харди с переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Альхалил Айман

• Альхалил Айман
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Альхалил Айман

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. НЕРАВЕНСТВО ХАРДИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С МЕРАМИ

§ 1.1. Постановка задачи и вспомогательные леммы

§ 1.2. Блочно-диагональный метод.

§ 1.3. Случай А = V

§ 1.4. Неравенство Харди с тремя мерами

Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Случай 0 < < д < ос

§ 2.3. Случай 0 < д < р < оо

Глава 3. ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

§ 3.1. Предварительные результаты

§ 3.2. Случай 0 < р < <7 < оо

§ 3.3. Случай 0 < д < р < оо

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные неравенства Харди с переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей»

Систематическое изучение неравенств началось с выходом в светныне классической монографии Г.Г. Харди, Д.Е. Литтлвуда и Г. Полиа [11], где, в частности, рассматриваются две стандартные формы неравенства Харди при 1 < р < со: дискретное неравенство Харди верное для произвольных последовательностей неотрицательных действительных чисел {аА;}]*3, и интегральное неравенство Харди

Г {УотаУах - (^т (оа2) выполненное для всех неотрицательных функций / на (0, сю), интегрируемых на любом интервале (0, х) для всех х > 0.

Для 0 < р < оо обозначим 1Р совокупность всех последовательностей а = К}~1 вещественных чисел таких, что

Аналогично, Ьр состоит из всех измеримых на (0, оо) по Лебегу функций (классов эквивалентности по модулю равенства почти всюду) / = /(:х) таких, что

0.0.1) а11гоо := зир|а*|.

ИЛЬоо := ев88ир|/(ж)|. ж€(0,оо)

При 1 < р < оо пространства 1Р и Ьр являются линейными нормированными пространствами.

Определим линейные операторы которые называются дискретным оператором Харди и интегралънъш оператором Харди, соответственно. является наилучшей из возможных. Из неравенств (0.0.1) и (0.0.2) вытекает, что операторы Харди Н и Н при р > 1 являются ограниченными линейными операторами, действующими из пространства 1р в 1р и из Ьр в Ьр, соответственно, и их нормы равны

В дальнейшем неравенства (0.0.1) и (0.0.2) были существенно обобщены и нашли применения во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Некоторые из этих обобщений и применений изложены в монографиях [5], [30] и [26], а также в историобиблиографической работе [25].

В литературе имеется гораздо больше результатов, касающихся обобщения интегральной версии (0.0.2). Эти два диаметральных случая смыкаются, когда рассматриваются неравенства с произвольными мерами •

Остановимся на развитиии результатов для дискретного неравенства Харди.

По аналогии с интегральным случаем возник естественный вопрос: и

Отметим, что константа в обоих неравенствах (0.0.1) и (0.0.2)

Бореля. найти необходимые и достаточные условия на весовые неотрицательные последовательности {ипи {г^}^ такие, что неравенство выполняется для всех произвольных неотрицательных последовательностей {ап}^^ при фиксированных параметрах 0 < р,д < оо.

Первый результат в этом направлении получен К. Ф. Андерсеном и X. П. Хайнигом ([12], Теорема 4.1), которые в 1983 году показали, что если 1<р<<7<оои то неравенство (0.0.3) выполняется.

Кроме того, в 1985 году X. П. Хайниг ([22], Теорема 3.1) доказал,

В 1987-1991 Г. Беннеттом в серии работ [14], [15] и [16] представлена характеризация неравенства (0.0.3) практически для всех соотношений параметров р и д за исключением случая 0 < д < р < 1, где критерий имел неявный вид. Случай 0<д<1<£><оо независимо и альтернативны: способом был характеризован в 1994 М. С. Браверманом и В. Д. Степановым [19]. В полном объеме задача о характеризации весового дискретного неравенства Харди для всех соотношений параметров р ид была решена М.Л.Гольдманом в 1998 [20] (см. также [1], [21]).

0.0.3) то неравенство (0.0.3) выполняется с константа С < дя(р')В.

Сформулируем полученные указанными авторами результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 0.1. (г) Если 1 < р < q < +оо, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда

-^(¿^(^(¿^^со, (0.0,) или оо \ ?

А2 := вир ик] ^ у1~р' < оо, (0.0.5

N>1 у Хк=1

ИЛИ оо \-7/оо / оо \ Р'\ Р7 := (Е ) Е^ Е«» <°°' (°-0-6) - \к=Ы \п=к / ) и) Если 0 < р < 1, < д < оо, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда

А4 := вир ( V щ ) у]/(к) < оо. (0.0.7) ш) Если 1 < р < оо, < р, и ^ = ^ - то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо /оо \р/п \ г п=1 \к=п / \Ь=1 / ) или оо /оо \'/п

Е«*-' Е«*) ) <«»• (° 0-9) п=\ \к—п ) \/с=1 ги) Если 0 < д < р < 1, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда л7 := Х>„ (¿щ) тах V ) < оо. (0.0.10) гг=1 \А;=п /----/

Из доказательств данной теоремы вытекает, что наилучшая константа С в неравенстве (0.0.3) и вышеуказанные константы Д; для каждого диапазона параметров связаны двусторонними неравенствами. Например,

А2 < С, Аг< С < р'Аи С < Л3 < (р')?С, (0.0.11) причем при р — <7 эти оценки неулучшаемы. Оценки (0.0.11) можно переписать также в виде тах.(д~яАъ {р')~?Аг) < А2 < С < тт(р',4ь дЛ3) < < тт{р'дКя(р')7)А2

Более точные соотношения между константами получены в ([16], Теорема 9), где при 1 < р < д < со показано, что

У + а2 < с < А2. р')-гдр7

Другие варианты соотношений даны в работах [14] и [19], а именно: а) Если 1 < р < то ч-р

РЯ где /3 = /3(а, Ь) обозначает бета-функцию, и если д = р то

Аг < С < р'Аи (0.0.13) b) Если 1 < p < q, то

A2<C<(l + iy (l + ^Y A2, (0.0.14) с) Если 1 < p < q < oo, то iLzE pq fa-^U-i' (00Л5) и если q = p то

A3<C < pAz. (0.0.16) d) Если O<<7<I<P<00, то

V Л6<С< A*. P

Аналогичные результаты имеют место для двойственного дискретного неравенства оо / оо \ ® / ОС) \р

П=1 \к—п / / \71~1 / а также для их интегральных аналогов.

Кроме этого, в литературе рассматривалась задача о нахождении необходимых и достаточных условий на неотрицательные меры Бореля А, д и и, при которых для любых неотрицательных измеримых функций / выполняется неравенство Харди f(t) d\(t))9d»(x))4 < С ( [ f(x)*dv(x)\Р. ' [0,оо) \J[0&\ J J \J[0,oo) /

0.0.17)

При 1 < p = q < +oo и d\(t) = dt эта задача в 1972 была решена Б. Мукенхоуптом [28], а затем результат тем же методом был обобщен на случай 1 < р < q < +оо (см. [18], [5]).

Во всей полноте неравенство Харди (0.0.17) с тремя мерами было изучено Д. В. Прохоровым [7].

За последние двадцать лет критерии выполнения неравенств Харди и связанные с этим вопросы об оптимальности и соотношении констант разрабатывались многими авторами (см. [23], [24], [27], [6], [29], [31], [32], [33], [35], [36], [37], [9], [10], [38], [39], [7], [34], [8], [2], [3])

Диссертация посвящена изучению обобщений неравенства (0.0.17) и дискретного неравенства Харди (0.0.3), когда пределами суммирования являются переменные функции.

Всюду в диссертации соотношение А <С В означает А < сВ с константой с, зависящей только от р и q, А « В равносильно А <С В <С А. Символы N и Z обозначают соответственно множество всех натуральных чисел и целых чисел, а 9Я+ множество всех измеримых неотрицательных функций. Хе суть характеристическая функция (индикатор) множества Е С (0,оо). Мы пользуемся также символами Lpx для обозначения классов Лебега с мерой Л.

Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Первая глава "Неравенство Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами. "

В ней рассматривается неравенство Харди вида ( ( [ № d\(t)Y dfi(x)) q <c(f f(xf dv(x)) P ,

J(0,oo) \J[a{x),b(x)] / / \J (0,oo) J где 0 < a(x) < b(x) < oo строго возрастающие дифференцируемые функции. Основными результатами главы являются следующие две теоремы.

Теорема 1.1. Пусть 1 < р < д < +оо, и А, ¡1 — а-конечные борелевские меры на (0, оо); и,у € Неравенство

1 , .1

Q \ q , / \ Р v{x)(f fudx) dp{x)\ < С I I fpd\i

0,oo) \J[a(x),b(x)} J J \J( 0,oo) J для всех f > О выполнено тогда и только тогда, когда

А := sup sup A(s,t) < оо, s>0 s<t<a~l(b(s)) где ^ ^

A(s,t) := ( [ vdß) q ( f up'd\) P . \J[s,t] J \J[a{t),b{s)] /

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве справедливо соотношение С « А.

Во второй теореме доказывается неравенство типа Харди с тремя мерами.

Теорема 1.2. Пусть 1 < р < g < -t-oo; X , v и ß — борелевские а-конечные мери на (0, оо) и и, v 6 Ш1+. Пусть (иа, vs) — разложение Лебега меры у относительно X, то есть v = где va абсолютно непрерывна относительно X, a vs и X взаимно сингулярны и ^ — производная Радона — Никодима va относительно X. Тогда неравенство v(x)(f uf dxY dß(x)\ < С ( [ f*dvУ \J{ 0,oo) \J[a(x),b(a;)] J J \J ( 0,oo) J для всех f > 0 выполнено тогда и только тогда, когда b / г / т \ 1 -р' \ V

4 f Г > I dva 4

Л := sup sup (I vdß\ I / up ( ^^ ) dX ) < +oo. s>0 ie[s,a-i(b(s))] \J[s,t] J \J[a(t),b(s)] V dX

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве справедливо соотношение С « Л.

Вторая глава "Дискретные неравенства Харди с одним переменным пределом суммирования в пространствах последовательностей " В этой главе изучаются дискретные неравенства Харди вида оо / \ 4 / ОО \р п=1 У1^'^™) / / ^п==1 и 5 / Ч А

ОО / \\ /ОО \р

5>(п) £ Д*) <С Е№М») (0.0.19) n=l \а{п)<к< ОО / J \П=1 / для всех вещественных последовательностей /(п) > 0, где а(п) > 1 и Ъ{п) > 1 строго возрастающие функции, принимающие целые значения.

Мы разбиваем наше рассуждение при 0<р<д<оона два случая: l<p<q<oon0<p<q< оо, 0 < р < 1.

Теорема 2.1. Пусть 1 < р < q < +оо. Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо \ | /Ь(п) \ 7

А := sup ( Е « (*0 ) I Е w(k)1~P' < \ к^^тъ J \ 1 J

Более того, справедливо соотношение С « А.

Теорема 2.2. Пусть 0<p<q<oou0<p<l. Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда

Л* := sup ( *S~]v(k) I sup w p (k) < oo. n J *e[i,b(n)]

Более того, справедливо соотношение С ~ .

При 0 < < р < оо мы рассматриваем три случая: 1 < д < р < оо, 0<?<р<1и0<д<р, 1 < р < оо, которым посвящены теоремы 2.3, 2.4 и 2.5, соответственно.

Теорема 2.3. Пусть 1 < q < р < -Ьоо, £ = ^ — К Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда

П>6 "!(*!) 1 7 1 1 * ш

1 -р' к) оо.

Более того, справедливо соотношение С ~ В.

Теорема 2.4. Пусть 0 < q < р < 1, \ = \ — Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо

Ъ := / ^(п) I у(к) ) вир IV р (к)

1 * ' 1<к<Ь(п) оо. п=1 кк>п

Более того, справедливо соотношение С & Ъ.

Теорема 2.5. Пусть 0 < < р, 1 < р < +оо п £ = ^ — неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда

Тогда

Ъ* оо Е п=1 I 7

Х>(*)) ( Е ^^ к<Ь(п) г;(п) оо.

Более того, справедливо соотношение С ~ Ъ*.

В третьей главе "Дискретные неравенства типа Харди с двумя переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей" рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения дискретных неравенств Харди вида i>w( Е /мП <c(jrr(n)w(n)V (0.0.20) \п=1 \a{n)<k<b(n) J ) \n=1 / для всех последовательностей /(п) > 0, где 1 < а(п) < Ь(п) < оо целочисленные строго возрастающие функции.

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < q < -foo. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда

А := sup sup A(m, п) < оо, т m^n^a-^K™)) где п /ъ(т) \ 7

A(m,n):= I $>(fc) I " k=m J \а{п) J

Более того, справедливо соотношение С ~ А.

Теорема 3.2. Пусть 0<p<q<cou0<p< 1. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда srf := sup sup А(т, п) < +оо, т т<п<а-1{Ь{т)) где ^ т,п) := J J sup w~p~(k). k=m J Ща(п),Ъ{т)]

Более того, справедливо соотношение С ~ srf.

Для заданных строго возрастающих последовательностей а(п) и Ь(п) таких, что 1 < а(п) < 6(п) выберем последовательности натуральных чисел {rik}keN, {^ilfceN С N такие, что ni = 2 и при <п< п'к п'к : a(n'fc) < Ь(пк) < Ь(п) < а(пк + 1); пк+1 := п'к + 1.

Теорема 3.3. Пусть 1 < < р < +оо. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда

В :=

1 + ^,2)

1 к -Ьоо, где

Вк, 1 :=

О (о. 1 (п) а«)

•5л,2 V п=а{пк) \ г=Пк

Ь(п'к) ( К

Е Е »« п=Ь(пк) \г=г>-1(гг) 3=п гг с?)1^)

1]>Ь(пк) причем С & В.

Теорема 3.4. Пусть 0 < д < р, 1 < р < +оо и £ — ^ — Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда оо,

Е + ^м) 1 к где К / п к,1 '• = § («ю \ ^ ^

Е (Е «(*) Е

П=П)Ь \к=пк / \к=а{п) у с,2 := V < / К«) ^

Е Е^) Е «м1-* «м причем С ~ 38.

Теорема 3.5. Пусть 0 <#<£>< ^ = д ~~ Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда

В :=

Е(вм+вУ

I к оо, где Ч п

Вм У1 у(п) У1 "(к) I 8иР т Р а.(п)<к<а(п'к)

Ва;,2 := Ш

Пи

А, у(п) I I эир ги р (к) п~?гк / Кпк)<к<Ь(п) причем С « В.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40]-— [43].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, член-корреспонденту РАН Степанову В. Д. за постановку задачи, полезные советы, внимание к работе и неоценимый опыт научной деятельности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Альхалил Айман, 2011 год

1. М. Л. Голъдман. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2001. Т. 232. С. 115-143.

2. Ю. А. Дубинский. Неравенства Харди при исключительных знасениях параметров и и их приложения. // Доклады АН. 2009. Т. 427. С. 586-590.

3. Ю. А. Дубинский. Об одном неравенстве типа Харди и его приложениях. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2010. Т. 269. С. 112-132.

4. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. -М.: Наука. 1984.

5. В. Г. Мазья. Пространства Соболева. Л., Изд-во Ленинградского ун-та. 1985.

6. Р. Ойнаров. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1993. Т. 204. С. 240-250.

7. Д. В. Прохоров. Неравенство Харди с тремя мерами. // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. Т.255. 2006. С. 233-245.

8. Д. В. Прохоров. Неравенство Харди с мерами, случай 0 < р < 1. // Матем. заметки. Т. 86. 2009. С. 870-883.

9. В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2001. Т. 232. с. 298-317.

10. В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова. Об операторе геометрического среднего с перемен-ными пределами интегрирования. //Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 260. 2008. С. 264-288.

11. Г. Г. Харди, Д. Е. Литтлвуд, Г. Полиа. Неравенства. М. ИЛ, 1948.

12. К. F. Andersen, Н. P. Heinig. Weighted norm inequalities for certain integral operators. // SIAM J. Math. V. 14. 1983. P. 834-844.

13. C. Bennett, R. Sharpley. Interpolation of operators. Academic Press, Boston, 1988.

14. G. Bennett. Some elementary inequalities. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 38. 1987. P. 401-425.

15. G. Bennett. Some elementary inequalities II. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 39. 1989. P. 385-400.

16. G. Bennett. Some elementary inequalities III. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 42. 1991. P. 149-174.

17. S. Bloom, R. Kerman. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math. Soc. V. 113. 1991. P. 135-141.

18. J. S. Bradley. Hardy's inequalities with mixed norms. // Canada Math. Bull. V. 21. 1978. P. 405-408.

19. M. S. Braverman, V. D. Stepanov. On the discrete Hardy's inequality. // Bull. London Math. Soc. V. 26. 1994. P. 283-287.

20. M. L. Goldman. Hardy type inequalities on the cone of quasimonotone functions. Research report 98/31, Russia Acad. Sci. Far-East Branch Computer Centre Khabarovsk. 1998. P. 1-70.

21. Grosse-Erdmann K. -G. The blocking technique, weighted mean operators and Hardy's inequality. Lecture Notes in Mathematics, V. 1679. Springer-Verlag: Berlin. 1998.

22. H. P. Heinig. Weighted norm inequalities for certain integral operators II. // Proc. Amer. Math. Soc. V. 95. 1985. P. 387-395.

23. H. P. Heining, G. Sinnamon Mapping properties of integral averaging operators. // Studia Math. V. 129. 1998. P. 157-177.

24. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy type operators // Proc. London Math. Soc. V. 79. 1999. P. 649-672.

25. A. Kufner, L. Maligranda, L. -E. Persson. The Hardy inequality About its history and some related results. Research report, Department of Mathematics. Lulea University of Technology. 2006. P. 1-141.

26. A. Kufner, L.-E. Persson. Weighted Inequalities of Hardy Type. -World Scientific Publishing Co., Singapore/ New Jersey/ London/ Hong Kong, 2003.

27. V. M. Manakov. On the best constant in weighted inequalities of the Rieman-Liouvlle integral. // Bull. London Math. Soc. V. 24. 1992. P. 442-448.

28. B. Muckenhoupt. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. V. 44. 1972. P. 31-38.

29. C. A. Okpoti, L.-E. Persson, A. Wedestig. Weight characterizations of discrete Hardy inequality with kernel. //J. Inequal. Appl., Article ID 18030. 2006. P. 1-14.

30. B. Opic, A. Kufner. Hardy-type Inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics 219, Longman Scientific and Technical, Harlow, 1990.

31. L.-E. Persson, V. D. Stepanov. Weighted integral inequalities with the geometric mean operator. // J. Inequal. Appl. V. 7. 2002. P. 727-746.

32. L.-E. Persson, V. D. Stepanov, E. P. Ushakova. Equivalence of Hardy-type inequalities with general measure on the cones of nonnegative respective non-increasing functions. // Proc. Amer. Math. Soc., V. 134. 2006. P. 2363-2372.

33. L.-E. Persson, V. D. Stepanov, P. Wall. Some scales of equivalent weight characterizations of Hardy's inequality: the case q < p. // Math. Inequal. Appl. V. 10. 2007. P. 267-279.

34. D. V. Prokhorov. Inequalities of Hardy type for a class of integral operators with measures. // Anal. Math. V. 33. 2007. P. 199-225.

35. G. Sinnamon. Transferring monotonicity in weighted norm inequalities. // Collect. Math., V. 54. 2003. P. 181-216.

36. G. Sinnamon. Hardy's inequality and monotonicity. // Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis. Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republic, 2004. P. 292-310.

37. G. Sinnamon, V. D. Stepanov. The weighted Hardy's inequality: new proofs and the case p = 1. // J. London Math. Soc., V. 54. 1996. P. 89-101.

38. V.D. Stepanov , E.P. Ushakova Hardy operator with variable limits on monotone functions //J. Function Spaces Appl. V. 1. 2003. P. 1-15.

39. V.D. Stepanov V.D.,E.P. Ushakova Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications. // Math. Inequal. Appl. V. 13. 2010. P. 449-510.

40. А. Альхалил. Неравенства типа Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами. // Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. 2010. № 1. С. 39-45.

41. А. Альхалил. Дискретные неравенства типа Харди с переменными пределами суммирования. I // Вестник РУДН -Серия Математика. Информатика. Физика. 2010. № 4. С. 55 -68.