Движение тела при пересечении свободной поверхности жидкости: Методика измерений; явление рикошета тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Зырянов, Денис Валерьевич

• Зырянов, Денис Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зырянов, Денис Валерьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РЕГИСТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ НА ГИДРОБАЛЛИСТИЧЕСКИХ ТРАССАХ

1.1 Гидробаллистические установки и методы регистрации

1.2 Юстировка оптической системы и описание моделей

1.3 Углы ориентации и отклонение луча лазера на экране

(однолучевая схема измерений)

1.4 Углы ориентации (использование двух следящих лучей)

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ПРИ ВХОДЕ В ВОДУ

2.1 Определение компонент вектора угловой скорости

2.2 Исследование частного случая

2.3 Взаимное соответствие точек осциллограмм

2.4 К вопросу о нахождении центра зеркального торца модели

2.5 Определение углов входа, атаки и скольжения

ГЛАВА 3. ОБСУЖДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

3.1 Условия входа в воду

3.2 Результаты обработки экспериментальных данных

3.3 Линейные размеры и погрешность измерений

ГЛАВА 4. ПОГРУЖЕНИЕ ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПОД УГЛОМ К СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

4.1 Исследование движения задней точки схода жидкости

4.2 Постановка задачи

4.3 Нахождение формы свободной поверхности

4.4 Распределение давления и силы

действующие на погружающийся цилиндр

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение тела при пересечении свободной поверхности жидкости: Методика измерений; явление рикошета»

ВВЕДЕНИЕ

Бурно развивающаяся в последнее время область ракетостроения наталкивается на вопросы связанные с движением тела при пересечении свободной поверхности жидкости. В случаях, например, старта баллистических ракет с подводной части траектории. К подобным же вопросам приводят задачи авиастроения при расчете параметров посадки гидросамолетов на воду с последующим переходом в режим нестационарного глиссирования. Исследования в этой области ведутся как в теоретическом аспекте, так и в экспериментальном. Настоящая работа относится к обеим областям и состоит соответственно из двух частей.

1. История вопроса, связанного с теоретическим исследованием процесса погружения тел различной формы под углом к свободной поверхности насчитывает уже более ста лет. В течении этого времени, задачи связанные с взаимодействием тел с жидкостью рассматривались в основном с двух точек зрения: с позиции теории удара и с точки зрения непрерывного погружения. Первая работа в рамках теории удара была решена Н. Е. Жуковским. [54]. В дальнейшем идеи Н. Е. Жуковского были развиты в трудах М. А. Лаврентьева [2], М. В. Келдыша [7], Л. И. Седова [1,7,9,34,36,40,43], Г. В. Логвиновича [37], М. И. Гуревича [55] и А. Б. Лотова [6,12]. Непрерывное погружение тел в жидкость нашло свое отражение в работах Г. Вагнера [35] и Л. И. Седова [34,36]. В работах А. Г. Багдоева, 3. Н. Добровольской, A.A. Коробкина [5,11,14,17], В. Д. Кубенко [4,49], Г. В. Логвиновича [37], А. Б. Лотова [6,12], В. В. Пухначева [11,17], А.Я. Сагомоняна [53], Л. И. Седова [1,7,9,34] рассмотрены теоретические аспекты погружения в сжимаемую жидкость пластинки, клиньев, конусов и полусферы. При высоких скоростях проникания (порядка 200 м/с и более) модели испытывают большие абсолютные значения сил и моментов, что часто приводит к разрушению корпуса модели. В работах В. Г. Баженова и С. В. Крылова проведены численные расчеты плоских задач высокоскоростного удара

деформируемых тел о поверхность сжимаемой жидкости. Проникание в воду сплошного упругого цилиндра рассмотрено в работах А. В. Кочеткова, Д. Лаумбаха и А. В. Плюснина. Дальнейшее развитие теории проникания связано с работами В. А. Самсонова [19,44] и В. А. Ерошина [19,22,23,24,25,26,27,31,33]. Аналитические выражения определяющие силы действующие на тонкое крыло получены Л. А. Бондаренко и Ю. Л. Якимовым [45]. В настоящей работе в рамках линейной теории Вагнера [35] решена задача несимметричного проникания твердого тела с гладким контуром под углом к свободной поверхности жидкости на начальном этапе.

2. Экспериментальные данные по входу в воду диска, цилиндра, различных моделей со сложной формой головных частей получены В. А. Ерошиным [25]. Проникание группы тел (стальные шарики, цилиндрические стержни и т. д.) в упругопластическую среду рассмотрены в работах Ю. К. Бивина [56,58]. В работе [57] исследована форма каверны при вертикальном входе твердых тел в упругопластическую среду. Показана зависимость ширины каверны от скорости движения тела.

Экспериментальные исследования в вопросе проникания твердых тел в жидкость осложняются, во-первых, большой абсолютной скоростью проникания движущихся моделей (200-500 м/с), во-вторых, сложностью измерительной аппаратуры. Для измерения физических параметров движущихся моделей (угол входа, атаки, скольжения, начальная угловая скорость, приобретенная за время движения тела на воздушной части траектории, и т. д.) используются в настоящее время два подхода: первый, в котором датчики ускорения и самопишущие устройства размещаются в самих моделях. По окончании эксперимента данные извлекаются, расшифровываются и обрабатываются на ЭВМ. Второй подход состоит в том, что следящая аппаратура (скоростные видео или телекамеры, системы автозапуска затвора фотоаппаратов и т. д.) размещаются стационарно. Запускаемая модель в этом случае представляет собой сплошное или толстостенное тело часто выполненное из стали или титана с различными формами головных частей. Второй метод является во всех отношениях более

предпочтительным, т. к. размещаемые в моделях датчики подвержены различным внешним нагрузкам (вибрация, изгибные колебания, продольные волны) учесть которые достаточно трудно.

На экспериментальной базе НИИ Механики МГУ разработан метод (авторское свидетельство № 1486775 от 23 ноября 1987 г. По кл. О 01 Р 3/36) в котором задействован оптический способ определения кинематических параметров движущихся тел на гидробаллистических трассах. Суть метода состоит в следующем: стационарный луч лазера направляют на геометрическую траекторию (т. е. линию, по которой тело двигалось бы в воздухе после выхода из канала ствола при отсутствии аэродинамических сил и сил тяжести) под некоторым острым углом. При движении модели луч лазера с некоторого момента времени начинает отражаться от заднего торца модели (для этого задний торец модели полируется под зеркало) и, отражаясь, попадает на полупрозрачный экран. Прочерченная лучом лазера линия регистрируется находящейся позади экрана фотокамерой. Путем обработки осциллограммы определяются начальная ориентация движущегося тела а также величина и направление угловой скорости.

В настоящей работе изложенный метод получил существенное дальнейшее развитие. Будем рассматривать экспериментальную установку в которой используются два следящих луча лазера, установленных во взаимно перпендикулярных плоскостях. По окончании эксперимента две осциллограммы с вертикального и горизонтального экранов обрабатываются по методике, изложенной в первых трех главах настоящей работы. Как будет показано ниже, двулучевая схема позволяет определять все три компоненты вектора нормали к зеркальному торцу модели (углы ориентации), а также позволяет вычислять значения компонент вектора угловой скорости, (при этом вращением модели вокруг оси симметрии пренебрегаем, полагая, что тело выстреливается из гладкоствольной пушки, которая не сообщает модели вращательного движения). Двулучевой метод позволяет также по проекциям лучей лазеров на экраны найти положение тела на гидробаллистической трассе в произвольный момент времени. Следовательно можно вычислить величину и направление смещения центра масс

с расчетной траектории. Если же вместо фотоаппаратов разместить скоростные видео или телекамеры, регистрирующие зависимость осциллограмм от времени, то ориентацию и угловую скорость модели можно определять на всем протяжении пока следящие лучи лазеров отражаются от зеркального торца, при этом отпадет необходимость в синхронизации осциллограмм 1.

В непрерывном процессе проникания тела с гладким контуром под углом к свободной поверхности жидкости можно выделить две фазы. Первая, ударная фаза, начинается в момент соприкосновения нижней кромки модели с поверхностью и оканчивается в момент, когда скорости границ жидкости становятся малыми по сравнению со скоростью самой модели. Вторая фаза характерна переходом движения в режим нестационарного глиссирования с возможностью дальнейшего рикошета в зависимости от угла входа, скорости, массы и других параметров задачи.

Цель работы: Целью проведенного исследования является построение методики определения углов входа, атаки, скольжения модели при ее движении на регистрируемой части траектории, а также решение задачи проникания тела с гладким контуром в жидкость на начальном этапе.

Методика исследования: Основными инструментами исследований, проводимых в диссертационной работе, являются: геометрическая оптика, аналитическая механика, кинематика и методы теории функции комплексного переменного. Основное аналитическое решение задачи проникания тела с гладким контуром в жидкость получено при помощи теоремы Келдыша-Седова.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, относятся к двум направлениям в вопросе исследования проникания твердых тел под углом к свободной поверхности жидкости. В первой, экспериментальной части работы предложен метод определения кинематических параметров тел на гидробаллистических трассах. Предложена методика нахождения величины изменения угловой скорости модели приобретенной за время ударной стадии

1 При использовании двух лучей лазеров возникает необходимость в синхронизации, о которой будет сказано далее.

погружения, что позволяет судить о нагрузках действующих со стороны жидкости на тело. Во второй части работы решена задача проникания тела с гладким контуром в жидкость на начальном этапе. Получены зависимости распределения давления по смоченной части модели.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на семинаре «Движение тела в сопротивляющейся среде» кафедры теоретической механики под руководством д. ф.-м. н. Самсонова В. А. и д. ф.-м. н. Вильке В. Г., на семинаре «Динамические системы классической механики» под руководством проф. С. В. Болотина и проф. В. В. Козлова, на семинаре «Аналитическая механика» под руководством акад. В. В. Румянцева и проф. А. В. Карапетяна, на семинаре «Механика и управление движением роботов» под руководством проф. Д. Б. Белецкого и проф. Ю. Ф. Голубева, а также на ежегодных Ломоносовских чтениях, проходивших в НИИ Механики МГУ в 1998г.

По результатам выполненной работы выпущен отчет НИИ Механики МГУ «Методика экспериментального определения кинематических параметров тел на гидробаллистических установках» №4525 (номер гос. регистрации: 01870011999), авторское свидетельство № 1486984 от 12 апреля 1998 г.: Ерошин В. А., Зырянов Д. В., Макаршин В. М., Плюснин А. В., Самсонов В. А., Якимов Ю. Л., «Способ измерения параметров движения объекта и устройство для его осуществления», препринт НИИ механики МГУ: В. А. Ерошин, Д. В. Зырянов, А. В. Плюснин. «Измерение кинематических параметров тел при входе в воду с большой скоростью» (в печати).

Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 58 наименований. Работа содержит 101 страницу машинописного текста, 22 рисунков и 6 таблиц.

Содержание работы:

В первой главе детально описывается установка для проведения экспериментов, типы применяемых моделей, а также юстировка системы. В п. 1.3 рассматривается один следящий луч лазера, устанавливаемый в горизонтальной плоскости. Показано, что для нахождения всех компонент вектора нормали (ориентация модели) одного следящего луча не-достаточно, т. к. система определяющих уравнений является незамкнутой. Для замкнутости системы (авт. св. № 1486775) ранее предполагалось, что модель в процессе своего движения не покидает вертикальной плоскости, что существенно снижало точность обработки экспериментальных данных. В п. 1.4 рассмотрена уже двух лучевая схема. Выведены основные уравнения для определения кинематических величин. Рассчитана точность производимых измерений в зависимости от угла у/ между одним из следящих лучей лазеров и осью канала ствола. Показано, что с

увеличением угла Щ от 0 до 45° точность возрастает, при у/ > 45° - снижается.

Следовательно угол у/ должен лежать в интервале 0 < у/ < 45°, т. к. дальнейшее увеличение приводит лишь к росту ошибки и снижению времени слежения за моделью.

Вторая глава посвящена методике определения угловой скорости модели при входе в воду. Показаны основные определяющие соотношения. Рассчитана точность производимых вычислений. Отдельным параграфом рассматривается

случай, при котором у/ = 45°. При этом значении угла у/ выражения для компонент вектора нормали существенно упрощаются. Показано, что при

у/ = 45° для нахождения кинематических параметров движения моделей достаточно знать лишь две координаты текущих точек на осциллограммах вместо 4-х при произвольном значении у/ .

При использовании двух-лучевой схемы неизбежно возникает проблема синхронизации двух осциллограмм, т. к. для определения ориентации модели и угловой скорости необходимо знать точки на графиках, отвечающих одному и тому же моменту времени. В п. 2.3 показано, что методом наложения

9

осциллограмм можно получить соответствующие значения, отвечающие моменту прохождения телом узловой точки Ох, в которой сходятся следящие лучи лазеров с осью геометрической траектории. К достоинствам двух-лучевой схемы следует отнести возможность определения смещения центра зеркального торца (а вместе с ним и центра масс модели) с геометрической траектории. В п. 2.4 выписаны соответствующие уравнения. Если известна ориентация и вектор скорости модели, то можно уточнить угол входа, атаки и скольжения при вхождении тела в воду.

Третья глава посвящена обработке данных экспериментов. В начале главы описаны условия входа в воду. Приводятся результаты обработки опытных данных. Приведены линейные размеры экспериментальной установки, которые в процессе проведения работ многократно уточнялись.

Четвертая, заключительная глава посвящена расчету теоретической модели начальной стадии вхождения цилиндра в воду. Рассмотрена плоская задача в линейной постановке Л. И. Седова. [1,7]. Жидкость считается несжимаемой и лишенной вязкости: перед ударом тела она была неподвижной и ее свободная поверхность представляла собой горизонтальную плоскость. Погружающееся тело считается абсолютно твердым. Расчет подобной модели для косого удара пластинки, а также расчет условий при которых возможен рикошет произведен в работах В. А. Ерошина [31,33]. Принципиальное отличие входа моделей без острых кромок от пластинки или различных крыловидных профилей состоит в том, что задняя точка схода струи жидкости заранее не определена. С течением времени ее положение на контуре модели меняется. В данной работе задача рассматривается в начальной фазе, характерной наличием подъема жидкости у задней части модели. Найдена зависимость распределения давления по смоченной дуге цилиндра. Получены выражения для компонент вектора силы (т. к. трение отсутствует, то крутящий момент равен нулю), действующей на тело со стороны жидкости.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Зырянов, Денис Валерьевич

Основные результаты работы:

1. Получено приближенное решение задачи синхронизации двух осциллограмм, позволяющее установить соответствие точек на экранах, отвечающих одному и тому же моменту времени.

2. Получено аналитическое решение задачи нахождения углов ориентации по положению двух точечных следов на экранах. Проведена оценка погрешностей измерений. В частности показано, что при угле 45 градусов между осью канала ствола и падающими лучами лазеров достигается наивысшая точность определения компонент вектора оси модели и вектора угловой скорости.

3. Разработана методика экспериментального определения угловой скорости тел на регистрируемой части траектории.

4. Получены простые соотношения, устанавливающие взаимное соответствие между амплитудами отклонения лучей лазеров на экранах и компонентами векторов нормали и угловой скорости тел при входе в воду.

В диссертации также рассмотрена плоская задача о наклонном входе тела с гладкой поверхностью в жидкость на начальном этапе.

5. Получено аналитическое решение задачи при помощи теории функции комплексного переменного с использованием теоремы Келдыша - Седова.

6. Построена форма свободной поверхности. Установлено подтверждение работы А. Б. Лотова [6] в которой показано, что при / —> 0, где t время прошедшее с момента первоначального контакта тела с жидкостью наклонный вход тел с гладким контуром не отличается от вертикального.

7. Построена функция распределения давления на смоченном участке поверхности тела. Рассчитан суммарный импульс силы, действующий со стороны жидкости на тело. Данный импульс действует в двух взаимно перпендикулярных направлениях: вертикальном, обеспечивая выталкивающий эффект, и горизонтальном - определяющим торможение модели. Установлены зависимости между импульсом модели и параметрами входа, при которых возможно гашение вертикального импульса тела импульсом выталкивающей силы, что в конечном итоге может привести к рикошету модели от поверхности жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации предложена методика определения кинематических параметров тел (углы входа, атаки, скольжения и т. д.) на гидробаллистических трассах. В экспериментальной установке использован оптический метод измерения параметров по траекториям, оставленными отраженными лучами лазеров на полупрозрачных экранах. Измерения проводились на регистрируемой части траектории движения модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зырянов, Денис Валерьевич, 1998 год

Список литературы

1. Л. И. Седов «Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики». Изд-во «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. М., 1966 г.

2. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат «Методы теории функций комплексного переменного». М., «Наука». 1987 г.

3. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов «Уравнения в частных производных математической физики». Издательство «Высшая школа». М., 1970 г.

4. В. Д. Кубенко, В. В. Гавриленко «Осесимметричная задача проникания жестких тел в в сжимаемую жидкость». Прикладная механика. 1987 г. т. 23, N2.

5. А. А. Коробкин «Начальная ассимптотика решения трехмерной задачи о входе затупленного тела в идеальную жидкость». Доклады АН СССР, 1985 г. Том 283, N4.

6. А. Б. Лотов «Об ударе шара о поверхность воды». Ученые записки ЦАГИ. 1971 г. Том 2. N4.

7. Л. И. Седов «Механика сплошной среды». Т. 1-2. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. М., 1970 г.

8. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики». Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. М., 1972 г.

9. Л. И. Седов «Методы подобия и размерности в механике». Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. М., 1967 г.

10. И. Симонов, Бивин Ю.К. «Рикошет среды», МЖГ.

11. А. А. Коробкин, В. В. Пухначев «Начальный этап соударения жидких и твердых масс». Институт гидромеханики им. М. А. Лаврентьева СО АН СССР, г. Новосибирск.

12. А. Б. Лотов «Глиссирование и быстрый вход тел в воду». М. 1984 г.

13. Jheng - Lun Chuang «Theorehcal Investigation on slamming of Cone - Shaped Bodies. Jurnal of ship Research. XII - 69 r.

14. А. А. Коробкин «Наклонный вход затупленного контура в идеальную жидкость». МЖГ, № 3, 1988 г.

15. Журнал прикладной механики и теоретической физики, № 5 (отдельный оттиск), г. Новосибирск, 1984 г.

16. А. Д. Васин «Гидроупругое взаимодействие с жидкостью погружающегося днища», Известия АН СССР, М., 1993 г., № 3.

17. A. A. Korobkin and V. V. Puchnachov. Initial Stage of Water Impact. Fluid Mechanics, 1988 y., 20, p.p. 159 - 185.

18. Ю. К. Бивин, Ю. M. Глухов, Ю. В. Пермяков «Вертикальный вход твердых тел в воду». Известия АН СССР, МЖГ. 1985 г. N6 Стр. 3-9.

19. В. А. Ерошин, В. А. Привалов, В. А. Самсонов. «Две модельные задачи о движении тела в сопротивляющейся среде». Сборник Научно-методических статей. М., Высшая школа, 1989 г. Стр. 75-78.

20. Ю. К. Бивин «Косой удар твердого тела о грунт или воду». Известия АН СССР. МЖГ. 1989 г. стр. 185-189.

21. Серебряков И. В. Авторское свидетельство N 638897, 1978 г.

22. Ерошин В. А. Препринт, 1991 г. *

23. Ерошин В. А. «Высокоскоростной вход в воду тяжелого диска под малым углом к свободной поверхности», МЖГ, N 6 1995 г.

24. Ерошин и др. Авторское свидетельство N 1486775, 1989 г.

25. Ерошин и др. МЖГ N 6, 1989 г.

26. Ерошин В. А. МЖГ, N 5 1992 г.

27. Ерошин В. А. «Определение гидродинамических сил на баллистических трассах». Институт механики МГУ. Отчет N 4446. 1996 г.

28. С. М. Белоцерковский, Б. К. Скрипач, В. Г. Табачников «Крыло в нестационарном потоке газа». Издательство «Наука». Главная редакция физ.-мат. литературы . М., 1971 г.

29. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа». Издательство «Наука». Главная редакция физ.-мат. литературы . М., 1968 г.

30. Демидович Б. П., Марон И. А. "Основы вычислительной математики", М., Наука, 1966 г., 664 стр.

31. Ерошин В. А., диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: "Некоторые задачи нестационарного движения жидкости с учетом свободных границ"., М., 1967 г.

32. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. "Интегральные уравнения: методы алгоритмы программы", справочное пособие, Киев, Наукова думка, 1986 г.

33. Ерошин В. А. "Рикошет пластинки от поверхности идеальной несжимаемой жидкости", Вестник МГУ, N6, 1970 г., стр. 99

34. Седов JI. И. "Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими вихрями". Труды ЦАГИ, вып. 252, 1936 г.

35. Wagner H., Uber stoss-und Gleitforgange an der Oberflache von Flüssigkeiten, z. Ang., Mach, und Mech, h. 4, band 12, стр. 193-216, 1932 г.

36. Седов JI. И. "Плоские задачи гидромеханики и аэромеханики, М., 1966 г.

37. Логвинович Г. В. "Погружение профилей в жидкость, удар и глиссирование", Труды ЦАГИ, вып. 707, 1958 г.

38. Pierson J. , The penetration of a fluid surface by a wedge, IAS, fund, paper Nff-3, 1950 r.

39. Schiffman m., Spencer D., Comm. Pure and App. Math., N4, 1951 r.

40. Седов Л. И. "Приложение теории функции комплексного переменного к некоторым задачам плоской гидродинамики", Успехи математических наук, вып. 5, 1940 г.

41. Фигурнов В. Э. "IBM PC для пользователя". М., 1990 г.

42. Гранштейн И. С., Рыжик И. М. "Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений", Физматгиз, М., 1963 г.

43. Седов Л. И. "Механика сплошной среды". 2т., М., Наука, 1970 г.

44. Локшин Б. Я., Привалов В. А., Самсонов В. А. "Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде". Издательство МГУ, 1986 г.

45. Л. А. Бондаренко, Ю. Л. Якимов «Сила, действующая со стороны потока жидкости на тонкое изогнутое тело кругового поперечного сечения». МЖГ №1, 1973 г.

46. Шорыгин О. П. «Несимметричный вход в воду тупого клина». Из-во Центрального аэро-гидродинамического института им. Н. Е. Жуковского. М.,. Труды. Вып. 1963 г. стр. 1-23.

47. Шорыгин О. П. «О перегрузках, действующих на клин при симметричном погружении его в жидкость». М. 1960 г. 31 стр. с иллюстрациями. Из-во Центрального аэро-гидродинамического института им. Н. Е. Жуковского. Вып. 797

48. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. «Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение)». Л.: Судостроение, 1976 г. - 199 стр.

49. Кубенко В. Д. «Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость». -Киев: Наук. Думка, 1981 г. 160 стр.

50. Поручиков В. Б. «Удар диска по поверхности идеальной сжимаемой жидкости. Прикладная математика и механика.-1964 г.-28, № 4, - С. 797 - 800.

51. Поручиков В. Б. «Проникание конуса в сжимаемую жидкость». Прикладная математика и механика. - 1973 г. - 37, № 1, - С. 84- 93.

52. Поручиков В. Б. «Проникание клина в сжимаемую жидкость». Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1974 г. № 2, С. 155 - 158.

53. Сагомонян А. Я. «Проникание». - М.: Издательство Московского университета, 1974 г. - 300 стр.

54. Жуковский Н. Е., Собрание сочинений, тт. 1-7, Гостехиздат, М., 1948-1950 гг.

55. Гуревич М. И., «Теория струй идеальной жидкости», Физматгиз, М., 1961 г.

56. Ю. К. Бивин «Прямое проникание группы тел в упругопластическую среду», МТТ, М, 1996 г.

57. Ю. К. Бивин «Каверна при вертикальном входе твердых тел в упругопластическую среду»., МТТ, М., 1997 г.

58. Ю. К. Бивин «Косой вход группы тел в упругопластическую среду»., МТТ, М., 1993 г.