Экспериментальное исследование свойств жидких металлов и углерода при высоких температурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Коробенко, Виктор Николаевич

• Коробенко, Виктор Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коробенко, Виктор Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 Измерение температуры тугоплавких металлов в жидком состоянии. Теплоемкость при постоянном давлении и излучательная способность жидкого циркония.

1.1. Введение. Обзор литературы.

1.1.1. Литературные данные по измерению энтальпии и теплоемкости циркония.

1.1.2 Излучательная способность металлов (обзор литературы).

1.2. Экспериментальное оборудование.

1.2.1. Установка для нагрева проводников электрическим током.

1.2.2. Пирометр.

1.3. Образцы.

1.3.1. Составная четырехполосная модель черного тела для жидкого циркония.

1.3.2. Клиновидная двухполосная модель абсолютно черного тела.

1.4. Зависимость энтальпии от температуры.

1.5. Зависимость удельной теплоемкости циркония от температуры.

1.6. Зависимость нормальной спектральной излучательной способности (на длине волны 855 нм) циркония от температуры.

1.7. Оценка систематических погрешностей измеряемых величин.

ГЛАВА 2 Измерение плотности и удельного электросопротивления железа и циркония.

2.1. Введение.

2.2. Оптическая схема измерений.

2.3. Методика импульсного нагрева и измерение удельной введенной энергии

2.4. Измерение температурного коэффициента объемного расширения р и удельного электросопротивления жидкого железа (литературные данные).

2.5. Тепловое расширение и удельное электросопротивление жидкого циркония (обзор литературы).

2.6. Результаты данной работы по измерению плотности жидкого железа.

2.7. Результаты измерений теплового расширения циркония.

2.8. Замечание о методике.

2.9. Удельное электросопротивление р° (отнесенное к начальным размерам) и удельное электросопротивление р (с учетом расширения) циркония.

2.10. Оценка систематических погрешностей измеряемых величин.

ГЛАВА 3 Метод измерения теплофизических свойств тугоплавких металлов при околокритических температурах.

3.1. Введение.

3.2. Физические основы метода.

3.3. Теоретическая модель.

3.4. Экспериментальные результаты и их интерпретация.

ГЛАВА 4 Плавление графита. Измерение теплофизических свойств жидкого углерода.

4.1. Введение.

4.2. Образцы.

4.3. Эксперименты с образцами в плоских стеклянных ячейках.

4.4. Измерение удельного электросопротивления жидкого углерода.

4.4.1. Эксперимент.

4.4.2. Оценка систематических погрешностей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментальное исследование свойств жидких металлов и углерода при высоких температурах»

Предложен и экспериментально обоснован ряд методик определения теплофизических свойств тугоплавких металлов при атмосферном давлении. В диапазоне температур от точки плавления до 4000 К получены температурные зависимости следующих свойств жидкого циркония - плотности, удельной энтальпии, теплоемкости, удельного электросопротивления и нормальной спектральной излучателной способности на длине волны 855 нм. Метод основан на быстром импульсном нагреве электрическим током за время около 5-8 мкс. Для измерения истинной температуры были изготовлены образцы, имеющие форму клиновидной модели черного тела. Ввиду малого количества опубликованных экспериментальных данных по температурным измерениям для жидкого циркония, подобные эксперименты были выполнены также на вольфраме и молибдене. Сравнение с данными других работ показало, что измерения настоящей работы хорошо с ними согласуются. Для измерения плотности применялась оригинальная методика. Изображение образца в форме проволоки с помощью микрообъектива проецировалось на ПЗС-матрицу видеокамеры. В процессе нагрева проволоки в некоторый момент времени образец освещался вспышкой света от неодимового лазера длительностью 5-6 не. Записанное изображение имело очень высокий контраст (собственное тепловое излучение образца отсекалось с помощью фильтров). Применение метода прямого экспонирования ПЗС-матрицы позволило получить очень высокое разрешение при измерении диаметра проволоки. Это, в свою очередь, позволило провести измерения плотности циркония не только в жидком, но и в твердом состоянии и провести сравнения с результатами стационарных экспериментов. Для контроля методики такие же измерения плотности были выполнены и для железа.

Была разработана и успешно применена оригинальная методика исследования плавления графита. С её помощью удалось измерить удельные энтальпии твердой и жидкой фаз и теплоту плавления с погрешностью около 10%. Получены оценочные значения теплоемкости при постоянном давлении жидкого углерода до температуры порядка 7000 К. Методика основана на том, что образец пиролитического графита прямоугольной формы помещался в стеклянную ячейку и нагревался в ней импульсом тока длительностью около 1 мкс. На построенных зависимостях сопротивления образца от удельной введенной энергии фиксируются точки излома, соответствующие началу и окончанию плавления. На зависимости интенсивности теплового излучения от удельной введенной энергии фиксируется плато плавления. Наблюдается заметное различие между значениями введенной энергии, соответствующими началу плавления, определенными из первой и второй зависимостей. То же относится и к энергии окончания плавления. Это различие составляет 10-15%. Оценка тепловых потерь в стенку ячейки показывает, что поверхностный слой графита толщиной около 2 мкм теряет около 10% введенной в него тепловой энергии. При этом средние теплопотери всего образца значительно меньше 1%. Такая ситуация приводит к тому, что удельная энергия начала плавления, определенная из зависимости интенсивности теплового излучения от удельной введенной энергии оказывается выше истинной на 10%. То же относится и к энергии окончания и теплоте плавления.

Проведены эксперименты с нагревом образцов из плоского пиролитического графита, помещенных в толстостенные сапфировые капилляры. Эти эксперименты позволили впервые измерить удельное электросопротивление жидкого углерода. Удалось показать, что удельное электросопротивление жидкого углерода практически не зависит от температуры до 7000К.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Коробенко, Виктор Николаевич

Выводы:

1. Установлено, что предложенный метод нагрева металлов и графита в плотных средах с темпом вплоть до 61010 К-с"1 позволяет расширить диапазон температурных измерений примерно до 12000 К. При этом, в случае применения тонкой фольги, неоднородность параметров состояния по сечению образца не превышает 5%.

2. Обнаружено, что быстрый (единицы микросекунд) электрический нагрев металлов в виде отрезка проволоки позволяет измерять тепловое расширение как жидких (выше точки плавления), так и твердых металлов, так как еще для твердого состояния достигается предел текучести и твердая проволока расширяется только в радиальном направлении.

3. Разработанная клиновидная модель черного тела (с вводом световода в малый угол этого клина) является надежным инструментом измерения истинных температур твердых и жидких металлов при высоких температурах, вплоть до 5600 К.

4. С помощью клиновидной модели черного тела установлено, что быстрый (единицы микросекунд) импульсный нагрев приводит к разности температур между поверхностью плавящегося образца его сердцевиной порядка 20 К. Эта разность температур, фиксируемая в точке плавления, выравнивается по сечению жидкого проводника за время ~ 0.2 мке, после чего, теплоемкость жидкого проводника соответствует равновесным данным.

6. Установлено, что теплоемкость жидкого циркония имеет растущий характер с увеличением температуры. В то же время теплоемкость жидкого вольфрама, измеренная тем же способом, не зависит от температуры.

7. Впервые установлено, что удельное электросопротивление жидкого углерода слабо растет с ростом температуры вблизи температуры плавления, то есть имеет металлический характер.

Научная новизна

Впервые удалось измерить зависимость теплоемкости жидкого металла от температуры вплоть до 10000 К с обоснованием однородности состояния металла по объему образца при столь высоких температурах.

Прямым методом измерена зависимость нормальной спектральной излучательной способности тугоплавкого металла от температуры почти до температуры кипения.

Установлено, что теплоемкость циркония имеет слабый температурный рост от 2400 К до 4000 К.

Разработана новая методика и проведены измерения энтальпии твердой и жидкой фаз и теплоты плавления углерода.

Разработана новая методика измерения и измерено удельное сопротивление жидкого углерода вблизи температуры плавления. Установлено, что удельное сопротивление жидкого углерода практически не зависит от температуры.

Впервые проведена экспериментальная оценка удельной теплоемкости жидкого углерода. Получена предварительная зависимость теплоемкости жидкого углерода при постоянном давлении от температуры вплоть до 7000 К.

Практическая значимость

Полученые зависимости плотности у(Т), удельной энтальпии Н(Т), удельной теплоемкости СР(Т), удельного сопротивления р(Т), нормальной спектральной изучательной способности на длине волны 855 nm £х(Т) для циркония могут быть использованы в составе баз данных теплофизических свойств веществ. Некоторые из них могут применяться для моделирования поведения циркониевых оболочек топливных элементов атомных реакторов при тяжелых авариях.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на многих конференциях. Укажем только международные:

1994 - 12-th Symposium on Thermophysical Properties, June, 19-24, 1994,

Boulder, USA.

1995 - 4-th International Workshop on Subsecond Thermophysics, June 27

29,1995, Cologne, Germany.

1995 - 9-th International Conference on Liquid and Amorphous Metals, August

27- September 1, 1995, Chicago, USA. 1996 - 14-th European Conference on Thermophysical Properties, September 16-19,1996, Lyon, France.

1998 - 5-th International Workshop on Subsecond Thermophysics, June 16

19,1998, Aix-en-Provence, France.

1999 - 15-th European Conference on Thermophysical Properties, September.

1999, Wurzburg, Germany.

2000 - 14-th Symposium on Thermophysical Properties, June, 25-30,2000,

Boulder, USA.

Основное содержание и результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Коробенко В.Н., Савватимский А.И. "Свойства твердого и жидкого циркония", Теплофизика высоких температур, 1991, т.29, №5, с.883-886.

2. V.N.Korobenko, and A.I.Sawatimski "The electrical resistance and enthalpy of industriel alloys based on nickel and copper", J. Non-Crystalline Solids, v.205-207, p.678-682, 1996.

3. В.Н.Коробенко, А.Д.Рахель, А.И.Савватимский «Удельное электросопротивление расширенных жидких молибдена и тантала», тезисы докладов. Proceeding of the Second International Scientific Conference, "Engineering and Functional Materials", Lviv, 1997, 14-16 October, p.75-76.

4. Коробенко B.H., Савватимский А.И. "Удельное электросопротивление жидкого углерода", ТВТ, т.36, №5, с.725-731, 1998.

5. V.N.Korobenko, and A.D.Rakhel "Technique for Measuring Thermophysical Properties of Refractory Metals at Supercritical Temperatures.", International Journal of Thermophysics, v.4, 1999, p. 1257-1266

6. V.N.Korobenko, A.I.Savvatimski, and R.Cheret " Graphite Melting and Properties of Liquid Carbon", International Journal of Thermophysics, v.20, N4, 1999, p. 1249-1258.

7. V.N.Korobenko, A.I.Savvatimski, and K.K.Sevostiyanov, "Experimental Investigation of Solid and Liquid Zirconium" - Paper presented on 15 European Conference on Thermophysical Properties, September 5-9, 1999. High Temp.-High Press., v.33, 2001,

8. V.N.Korobenko, M.B.Agranat, S.I.Ashitkov, and A.I.Sawatimskiy, " Zirconium and Iron Densities in a Wide Range of Liquid States" В Материалах 14-го симпозиума по теплофизическим свойствам, 25-30 июня, 2000г., г.Болдер, США, http://www.sympl4.nist.gov/PDF/SUB03KOR.PDF

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коробенко, Виктор Николаевич, 2001 год

1. Пелецкий В.Э., Чеховской В.Я., Латыев Л.Н., Фокин Л.Р., Шестаков Е.Н., Кугель К.И., Лисовская Т.Ю., Жук А.З. "Теплофизические свойства молибдена и его сплавов", Справочник под ред. Шейндлина А.Е., Москва, "Металлургия", 1990, всего 301 страница.

2. Guillermet A.F. Critical evaluation of the thermodynamic properties of zirconium, High

3. Temp.- High Press., v.19, p.l 19-160, 1987.

4. Fink J.K. http://www.insc.anl.gov/matprop/zirconium/zrhlf.pdf

5. A. Seifter, F. Sachsenhofer, S. Krishnan, and G. Pottlacher, "Emissivity Measurements on

6. Solid and Liquid Niobium, Using a High Speed Laser Polarimeter", Материалы международного симпозиума 14-th Symposium on Thermophysical Properties, June, 25-30, 2000, Boulder, USA.

7. Можаров Г.И. "Температурные зависимости теплоемкости и электросопротивленияжидких тантала и ниобия до 5000 К", Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1984, Институт высоких температур АН СССР.

8. Thomas L.K. Thermal radiation from rough tungsten surfaces in normal and off-normaldirections, J.Appl. Phys., v.39, #10, 1968.

9. Русин С.П., Пелецкий В.Э. "Тепловое излучение полостей", М., "Энергоатомиздат",1987, с.126-128.

10. Латыев Л.Н., Петров В.А., Чеховской В.Я., Шестаков Е.Н. Излучательные свойстватвердых материалов, Справочник. Под общей ред. Шейндлина А.Е., М., Энергия, 1974.

11. Miiller А.Р., and Cezairliyan А. " Radiance temperatures (in the wavelength range 519906 nm) of tungsten at its melting point by a Pulse-Heating Technique", Intem.J. of Thermophys., v.14, No 3, 1993.

12. Kaschnitz E., and Cezairliyan A. "Radiance temperatures at 1500 nm of Niobium and Molybdenum at their melting points by a Pulse-Heating Technique", Intern.J. of Thermophys., v. 17, No.5, p. 1069-1078, 1996.

13. Egry I., Lohofer G., and Sauerland S. "Measurements of thermophysical properties of liquid metals by Noncontact Techniques", Intem.J. of Thermophys., v. 14, No.3, p.573-584,1993.

14. Hansen G., Krishnan S., Hauge R., and J.Margrave, Appl.Opt., v.28, p. 1885, 1989.

15. Kaschnitz E., McClure J., and Cezairliyan A. "Radiance temperatures (in the wavelength range 530-1500 nm) of iron and cobalt at their melting points by a pulse-heating technique", High Temp.-High Press., v.29, p.103-111,1997.

16. Bober M., Singer J. "High temperature vapor pressures of metals from laser evaporation", High.Temp.Sci., v. 19, No 3, p.329-345, 1985.

17. Кац C.A., Чеховской В.Я., Коваленко М.Д. "Теплофизические свойства циркония и гафния при ысоких температурах", Теплофизика высоких температур, т.23, №2, с.395-397,1985.

18. Krishnan S., Anderson C.D., Nordine P.C. "Optical properties of liquid and solid zirconium", Physical Review B, v.49, No 5, p. 3161-3166,1994-1.

19. Gathers G.R. "Dynamic methods for investigating thermophysical properties of matter at very high temperatures and pressures", Rep.Prog.Phys., v.49, p.341-396, 1986.

20. Shaner J.W., Gathers G.R., Minichino C„ 1977, High Temp.-High Pressures 9 331-343.

21. Сенченко B.H., "Энтальпия и теплоемкость графита в окрестности точки плавления", Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1987, Институт высоких температур АН СССР.

22. Arpaci Е., Frohberg М., "Enthalpy measurements on solid and liquid tungsten by levitation calorimetry", Z. Metallkde., 1984, v.75, p.614-618.

23. Berthault A., Aries L., and Matricon J. "High-pressure, high-temperature thermophysical measurements on Tantalum and Tungsten", Intern. J.of Thermophys., v.7, #1, p. 167-179, 1986

24. Paradis P-F., Rhim W-K. Thermophysical properties of zirconium at high temperature (http://lucy.mrs.org/publications/imr/imra/1999/sep/032.html). 1999.

25. Байков А.П., Шестак А.Ф. Письма в ЖТФ. 1979. Т.5. В.22. С. 1355.

26. Отчет по проекту РФФИ №98-02-16278, «Плавление графита и свойства жидкого углерода», 2000г.

27. Вертман А.А., Самарин A.M. «Свойства расплавов железа», Издательство «Наука», Москва, 1969.

28. Boivineau М., Vermeulen J., and J.M. Thevenin Th., "Thermophysical properties of solid and liquid Berillium", Int. J.of Thermophys., v. 14, #3, p.427-439, 1993.

29. Obendrauf W., Kaschnitz, Pottlacher G., and Jager H. "Measurements of thermophysical properties of Nickel with a new highly sensitive pyrometer", IntJ.of Thermophys., v. 14, #3, p.417-426, 1993.

30. Hixson R.S. and Winkler M.A. "Thermophysical properties of liquid platinum", IntJ.of Thermophys., v.14, #3, p.409-416, 1993.

31. Thevenin Th., Aries L., Boivineau M., and Vermeulen J.M. "Thermophysical properties of rhenium", Int.J.ofThermophys., v. 14, #3, p.441-448,1993.

32. Onistchenko V.P., Kutirkin O.F., Bykov A.Yu. "Thermodynamic properties of liquid lead and bismuth at temperatures from melting points to 2000 K", High Temp.-High Press., v.31.,p. 113-118,1999.

33. Шпильрайн Э.Э. Каган Д.Н., Салихов Т.П., Ульянов С.Н. "Теплоемкость магния в твердой и жидкой фазах до 1600 К", Теплофизика высоких температур, т.22, №3, с.619-621,1984.

34. Чеховской В.Я., Тарасов В.Д., Гусев Ю.В. Калорические свойства жидкой меди // ТВТ. 2000. Т.38. №3. С.418.

35. Petrova I.I., Peletsky V.E. "Spectral (0.65 mkm ) emissivity at the temperature of solidus Zr-l%Nb alloy", Teplofyz. Vys. Temp. (High Temperature), 1995, v.33, N 5, p. 710 -714.

36. Вертман A.A., Самарин A.M. "Термохимия жидких металлов", в книге: Исследования металлов в жидком и твердом состояниях, ред. А.М.Самарин, Наука, Москва, 1964.

37. Bennett F.D., Burden H.S., and D.D.Shear "Expansion of superheated metals", J. of Appl.Phys., v.45, #8, 3429-3438, 1974.

38. Иващенко Ю.П., Марценюк П.С. "Установка для измерения поверхностной энергии и плотности расплавов тугоплавких металлов", ТВТ, т. 11, №6, 1285-1287, 1973.

39. Гельд П.В., Баум Б.А., Тягунов Г.В., Кушнир М.Н., Хасин Г.А. "Связь свойств металла в жидком и твердом состояниях", в книге: отв.ред. Гуляев Б.Б., Свойства расплавленных металлов, труды 16 Совещания по теории литейных процессов, Наука, 1974.

40. Seydel U., Fucke W. "Sub-Microsecond pulse heating measurements of high temperature electrical resistivity of the 3-d transition metals Fe, Co, and Ni", Z. Naturforsch. v.32a, p.994-1002, 1977.

41. С.И.Новикова "Тепловое расширение твердых тел", М., Наука, 1974.

42. Зиновьев В.Е., Калина Е.Н., Комарова Л.И. "Плотность и термическое расширение переходных металлов при высоких температурах", Обзоры по теплофизическим свойствам веществ, №3 (71), АН СССР, Институт высоких температур, стр.55, 1988.

43. Вилсон Д.Р. Структура жидких металлов и сплавов, Москва, "Металлургия", 1972.

44. Андронов В.Н., Чекин Б.В., Нестеренко С.В. Жидкие металлы и шлаки, Москва, "Металлургия", 1977.

45. Регель А.Р., Глазов В.М., Физические свойства электронных расплавов, "Наука", Москва, 1980.

46. Шипков Н.Н., Костиков В.И., Непрошин Е.И., Демин А.В. Рекристаллизованный графит", М., Металлургия, 1979.

47. Елютин В.П., Маурах М.А. Известия АН СССР, ОТН, №4, с.129-131,1956.

48. Gathers G.R. Electrical resistivity and thermal expansion of liquid Titanium and Zirconium, Internat. J.Thermophys., v.4, #3, p.273-278, 1983.

49. Зиновьев B.E. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах, (справочник), Москва, Металлургия, 1989.

50. Свойства элементов, т. 1, (справочник), по общей ред. М.Е.Дрица, Москва, Металлургия, ГУП "Журнал Цветные металлы", 1997.

51. Pottlacher G., Kashnitz Е., and JagerH., J. Non-Crystall. Solids, v. 156-158, p.374,1993.

52. Drotning W.D., "Thermal expansion of Iron, Cobalt, Nickel, and Copper", High Temp.-High Press., v.13, #4, pp.441-458, 1981.

53. Beutl M„ Pottlacher G„ JagerH., Int.J.Thermophys., v. 15, #6, p. 1323, 1994.

54. R.S.Hixson, M.A.Winkler, and M.L.Hodgdon, Phys.Rev.,B, 42: 6485, 1990.

55. Touloukian J.S., Kirbey R.K., Taylor F.E., Desai P.D. "Thermal expansion, metallic elements and alloys", Thermophys. Prop. Matter, v. 12, XXYI-1938 p., N.Y.-Washington: IFI/Plenum, 1975.

56. Skinner G.B., and Johnston H.L., J.Chem.Phys., v.21, p.1383, 1953.

57. G.R. Gathers, Int. J. Thermophys. 4:149 (1983).

58. A. Kloss, A. D. Rakhel and H. Hess, Int. J. Thermophys. 19:983 (1997).

59. A.D. Rakhel, Int. J. Thermophys. 17: 1011 (1996).

60. Н.Н.Кочина и Н.С.Мельникова, Прикладная Математика и Механика, т.23, в.93 1959.

61. Справочник физических величин. Под ред. И,С,Григорьева и Е.З.Мелихова (Энергоатомиздат, Москва, 1991).

62. D.A. Young, UCRL-52352 (Lawrence Livermore Laboratory, 1977).

63. А.Б.Шигапов, ТВТ т.36: №39 (1998).

64. Heremans J., Oik С.Н., and Eesley G.L. // "Observation of Metallic Conductivity in Liquid Carbon". Physical Review Letters. 1988. V.60.N2. P.452.

65. Cezairliyan A., and Miiller A.P. // "Measurement of the Radiance Temperature (at 655 nm) of Melting Graphite Near Its Triple Point by a Pulse-Heating Technique." Intern. Journal of Thermophysics. 1990. V.ll. N4. P.643.

66. Baitin A.V., Lebedev A.A., Romanenko S.V., Senchenko V.N., Sheindlin M.A. //"The melting point and optical properties of solid and liquid carbon at pressures of up to 2 kbar". High Temp.-High Press. 1990. V.21. P.157.

67. Асиновский Э.И., Кириллин А.В. Нетрадиционные методы исследования термодинамических свойств веществ при высоких температурах. М.: Янус-К. 1997.

68. Pottlacher G., Hixson R.S., Melnitzky S., Kaschnitz E., Winkler M.A., and Jager H. // Thermophysical properties of POCO AXF-5Q graphite up to melting. Thermochim. Acta. 1993. V.218. P. 183.

69. Bundy F.P. // Melting of Graphite at Very High Pressure. J. of Chem.Phys. 1963. V.38. N1.P.618.

70. Bundy F.P., Bassett W.A., Weathers M.S., Hemley R.J., Мао H.K., and Goncharov A.F. // The pressure-temperature phase and transformation diagram for carbon; updated through 1994. Carbon. 1996. V.34. N2. P.141.

71. Togaya M., Sugiyama S., and Mizuhara E., Melting line of graphite, AIP, Conference Proc. (USA), 1994. no.309, pt.l, 255 258.

72. Togaya M. // Pressure dependences of the melting temperature of graphite and theelectrical resistivity of liquid carbon. Physical Review Letters. 1997. V.79., N13. P.2474

73. Шейндлин M.A., Сенченко B.H. // Экспериментальное исследование термодинамических свойств графита в окрестности точки плавления. ДАН, Т.298., 1988, N6. С.1383.

74. M.Musella, C.Ronchi, M.Brykin, and M.Sheindlin, "The molten state of graphite: An experimental study"Journal of Appl. Phys., V.84, #5, 1998.

75. Бергман Г.А., Бучнев JI.M., Петрова И.И., Сенченко В.Н., Фокин Л.Р., Чеховской В.Я., Шейндлин М.А. Графит квазимонокристаллический УПВ-1Т. М.: ГСССД 2590. Таблицы стандартных справочных данных. 1991.

76. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теория упругости, Москва, Наука, 1987.