Гидродинамика и тепломассообмен при выращивании объемных кристаллов карбида кремния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Кулик, Алексей Викторович

• Кулик, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кулик, Алексей Викторович

Условные обозначения

Введение

1. Обзор литературы

1.1. Карбид кремния, его свойства и основные методы получения

1.2. Обзор литературы по моделированию роста объемных кристаллов SiC.

1.3. Выводы по главе 1.

2. Математическая модель 23 <Д 2.1. Оценка характерных параметров задачи и критериев подобия

2.2. Определяющие уравнения.

2.2.1. Уравнения течения газовой смеси

2.2.2. Вычисление векторов плотностей потоков и коэффициентов молекулярного переноса.

2.2.3. Модель течения и массопереноса в пористой среде

2.2.4. Сопряженный теплообмен.

2.3. Граничные условия.

2.3.1. Условия на оси или плоскости симметрии.

2.3.2. Условия на твердых стенках.

2.3.3. Условия на границах пористой среды

2.3.4. Условия на внешних границах расчетной области для задачи сопряженного теплообмена.

2.3.5. Условия на внутренних границах для задачи сопряженного теплообмена

2.4. Выводы по главе 2.

3. Дискретизация уравнений и метод решения

3.1. Обоснование выбора метода решения уравнений гидродинамики и тепломассопереноса.

3.2. Структура данных.

3.3. Дискретизация обобщенного уравнения переноса.

3.3.1. Дискретизация диффузионного слагаемого.

3.3.2. Дискретизация конвективного слагаемого.

3.3.3. Дискретизация источникового слагаемого.

3.3.4. Общий вид дискретного аналога.

3.4. Расчет поля течения.

3.5. Моделирование длительного ростового процесса.

3.6. Тестирование и методические исследования разработанного алгоритма.

3.6.1. Тепловая естественная конвекция в квадратной каверне

3.6.2. Тепловая естественная конвекция в квадратной каверне, частично заполненной пористой средой

3.7. Выводы по главе 3.

4. Исследование процесса сублимационного роста кристаллов SiC

4.1. Описание расчетной области. Методические расчеты

4.2. Исследование процесса на начальном этапе роста.

4.3. Исследование длительного ростового процесса.

4.4. Параметрическое исследование ростового процесса.

4.4.1. Влияние мощности нагрева.

4.4.2. Влияние положения обмотки индуктора.

4.4.3. Влияние давления в системе

4.5. Выводы по главе 4.

5. Оптимизация процесса сублимационного роста кристаллов SiC

5.1. Постановка задачи оптимизации.

5.2. Методы решения задач оптимизации.

5.3. Оптимизация теплового поля в системе для сублимационного роста SiC путем изменения геометрии системы

5.4. Управление процессом роста объемных кристаллов SiC

5.5. Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидродинамика и тепломассообмен при выращивании объемных кристаллов карбида кремния»

Одним из наиболее перспективных широкозонных полупроводниковых материалов, который может быть использован в производстве высокотемпературных, высокомощных и высокочастотных электронных приборов, является карбид кремния (SiC). Это связано с тем, что в карбиде кремния сочетаются такие свойства, как высокие значения напряжения пробоя, теплопроводности, механических характеристик, а также химическая и радиационная стойкость. Однако, в настоящее время, применение карбида кремния в промышленных масштабах сталкивается со значительными трудностями, обусловленными, прежде всего, низким качеством производимых объемных кристаллов. Это связано с наличием в кристаллах структурных дефектов (дислокаций, включений примеси) и макродефектов (микропор, микротрещин).

Основной технологией получения объемных кристаллов SiC является в настоящее время газофазный метод, идея которого заключается в сублимации исходного материала — порошка SiC и последующей конденсации паров на затравочном кристалле. Понимание физико-химических процессов, протекающих в ростовой камере в процессе сублимационного роста, исключительно важно для получения кристаллов SiC высокого качества и больших размеров. Экспериментальное исследование данной технологии представляет собой чрезвычайно трудоемкую и дорогостоящую процедуру, так как ввиду крайне высоких температур, характерных для этого процесса (свыше 2200° С), какие-либо детальные измерения практически невозможны. В связи с этим, весьма актуальной становится задача численного моделирования сублимационного роста кристаллов SiC. В настоящее время достаточно детальная математическая модель этого процесса, включающая в себя решение задач эволюции фронта растущего кристалла и массопереноса в порошковом источнике, находится в стадии активной разработки. Она является достаточно сложной и поддается только численному анализу. Последний позволяет существенно уточнить особенности ростового процесса и отчасти осуществить его оптимизацию при меньшем количестве физических экспериментов.

Данная диссертационная работа имеет следующие цели:

1) Разработка математической модели технологического процесса выращивания объемных кристаллов карбида кремния, описывающей сложную структуру течения газовой смеси в ростовой камере с учетом многочисленных физико-химических явлений, а также сопряженный теплообмен во всей ростовой установке, включая ее индукционный нагрев.

2) Программная реализация метода решения задачи газодинамики и массопереноса в ростовой камере и теплообмена во всей ростовой установке.

3) Анализ течения и физико-химических процессов, протекающих в ростовой камере, выявление общих закономерностей и специфических черт таких процессов, а также факторов, существенно влияющих на процесс роста кристалла.

4) Параметрическое исследование сублимационного роста, направленное на изучение зависимости эффективности использования источника, скорости роста и формы кристалла от основных технологических параметров, таких как положение обмотки индуктора, мощность нагрева и давление в системе.

5) Выбор и программная реализация эффективных алгоритмов оптимизации, применимых для задач роста кристаллов из паровой фазы. Решение задач оптимального проектирования и оптимального управления с использованием разработанного аппарата для численного моделирования процесса сублимационного роста кристаллов SiC.

Первая глава диссертации содержит обзор литературных данных по тематике работы. Рассматриваются основные методы получения объемных кристаллов карбида кремния, описывается история развития и современное положение вопроса о численном моделировании технологии сублимационного роста SiC.

Вторая глава содержит описание математической модели сублимационного роста SiC. Модель включает в себя уравнения существенно дозвукового течения многокомпонентной газовой смеси в газовой области ростовой камеры и в пористой среде порошковой засыпки. При этом учитывается протекание гетерогенных химических реакций на поверхностях кристалла, графитовых стенок тигля и гранул порошковой засыпки. Учитывается влияние стефановского потока на течение в ростовой камере и генерация/поглощение массы в объеме порошка. Также в модель входят уравнения сопряженного теплообмена во всей ростовой установке с учетом переноса тепла за счет теплопроводности, конвекции и радиации. Для расчета распределенного джоулева тепловыделения решаются уравнения Максвелла. Задача формулируется в двумерной осесиммет-ричной постановке. Для моделирования длительного процесса применяется квазистационарный подход.

Третья глава посвящена описанию численного метода решения задачи о гидродинамике и тепломассообмене в ростовой установке. Для дискретизации определяющих уравнений используется метод конечных объемов с использованием неструктурированных сеток. Расчет поля течения осуществляется с помощью метода SIMPLEC. При этом сеточные узлы для хранения значений давления и компонент скоростей совпадают, т.е. применяется так называемая совмещенная сетка. Также в этой главе содержится описание результатов тестовых расчетов, направленных на проверку работоспособности и исследования свойств созданной программы расчета газодинамики и тепломассообмена.

Четвертая глава содержит результаты численного исследования процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния. Анализируются физикохимические процессы, протекающие в ростовой камере и их влияние на процесс роста кристалла. Изучается начальный момент роста и развитие процесса во времени. В этой главе осуществляется параметрическое исследование сублимационного роста, направленное на изучение влияния различных технологических параметров на процессы тепломассообмена в ростовой установке и, в конечном счете, воздействие изменений в этих процессах на рост кристалла и эволюцию порошковой засыпки. Основными параметрами технологии сублимационного роста являются: мощность нагрева, положение обмотки индуктора и давление в системе.

Пятая глава посвящена решению задачи об оптимизации процесса сублимационного роста кристаллов SiC с помощью разработанного аппарата для численного моделирования этой технологии. В главе рассматривается общая формулировка задачи оптимизации, анализируются существующие методы численной оптимизации и выбираются наиболее эффективные из них. Формулируются и решаются задачи оптимального проектирования и оптимального управления для технологии сублимационного роста.

Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

1) Математическая модель технологического процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния и алгоритм численного решения задачи о течении и тепломассопереносе в процессе сублимационного роста кристаллов.

2) Результаты исследования процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния. Результаты параметрического исследования влияния положения обмотки индуктора, мощности нагрева и давления в системе на эффективность использования источника, скорость роста и форму кристалла.

3) Результаты решения задач оптимального проектирования и оптимального управления в применении к процессу роста объемных кристаллов из газовой фазы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Впервые сформулирована и апробирована двумерная модель процесса роста объемного кристалла SiC из паровой фазы, включающая в себя течение многокомпонентной газовой смеси в ростовой ячейке и в пористой химически реагирующей среде, сопряженный теплообмен, гетерогенные химические реакции. Модель позволяет исследовать эволюцию формы растущего кристалла и параметров порошковой засыпки источника.

2) В результате выполненного численного исследования детально проанализированы процессы тепломассообмена, сопровождающие сублимационный рост объемных кристаллов. Впервые проанализирована эволюция параметров порошковой засыпки в ходе длительного ростового процесса с учетом процессов сублимации и рекристаллизации гранул порошкового источника. Обнаружено, что неравномерное распределение температуры в объеме порошкового источника приводит к существенно неоднородной скорости испарения материала источника и, как следствие, к низкой эффективности его использования из-за рекристаллизации.

3) Исследовано влияние технологических параметров на процессы тепломассопереноса в ростовой установке и, как следствие, на рост кристалла и эволюцию параметров порошковой засыпки. Установлено, что наиболее эффективным способом управления формой растущего кристалла является изменение положения обмотки индуктора. При этом контроль скорости роста может осуществляться путем варьирования мощности нагрева и давления в системе, которые не оказывают существенного влияния на форму кристалла.

4) Впервые сформулирована и решена задача многопараметрической оптимизации применительно к процессу сублимационного роста кристаллов SiC, включая оптимизацию геометрии ростового тигля (задача оптимального проектирования) и оптимизацию режимов ростового процесса (задача оптимального управления).

Автор данного диссертационного исследования благодарит своих коллег и соавторов М.В. Богданова, О.В. Ворд, А.Н. Воробьева, С.Е. Демину, И.Ю. Евстратова, А.И. Жмакина, С.Ю. Карпова, С.К. Кочугуе-ва, В.Ф. Мымрина, Д.Х. Офенгейма и А.С. Сегаля за продуктивное сотрудничество и помощь в выполнении настоящего исследования, а также ЮА. Водакова, Е.Н. Мохова и А.Д. Роенкова за предоставление экспериментальных данных и плодотворные дискуссии.

Автор выражает особую благодарность Марку Спиридоновичу Рамму, без которого эта работа была бы невозможна, а также своему научному руководителю Юрию Михайловичу Циркунову.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Кулик, Алексей Викторович

5.5. Выводы по главе 5

В данной главе сформулирована и решена задача об оптимизации процесса сублимационного роста кристаллов SiC с использованием разработанной численной модели исследуемой технологии. Рассмотрена общая формулировка задачи оптимизации, проанализированы существующие методы численной оптимизации и выбраны наиболее эффективные из них. Формулируются и решаются задачи оптимального проектирования и оптимального управления для технологии сублимационного роста.

При рассмотрении задачи оптимального проектирования параметром оптимизации являлась форма ростового тигля, контур которой был описан кусочно-линейной функцией. В качестве варьируемых переменных были приняты радиальные координаты узловых точек этой функции. Целью оптимизации было достижение желаемого распределения температуры в ростовой системе (однородное поле температуры в объеме порошкового источника и заданный градиент температуры по радиусу затравки), а целевая функция формулировалась как степень отклонения температурного поля от желаемого. В процессе решения этой задачи обнаружено, что при увеличении габаритов ростовой системы с оптимизированной геометрией температурное поле перестает соответствовать желаемому распределению. Это означает, что при разработке технологии выращивания кристаллов больших диаметров необходима дополнительная, независимая оптимизация системы.

При решении задачи оптимального управления параметрами оптимизации являлись мощность нагрева системы и положение обмотки индуктора. Цель оптимизации — обеспечить рост кристалла заданной формы. Целевая функция при этом характеризовала величину отклонения формы профиля растущего кристалла от желаемой в каждый момент времени. Возможность эффективного управления формой кристалла в процессе его роста продемонстрирована на примере решения трех задач — рост кристалла плоской, слабо выпуклой и сильно выпуклой формы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог выполненному диссертационному исследованию, сделаем следующие выводы:

1) Разработана математическая модель и численный алгоритм для исследования процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния. Модель включает в себя уравнения существенно дозвукового течения многокомпонентной газовой смеси в газовой области ростовой камеры и в пористой среде порошковой засыпки, уравнения сопряженного теплообмена с учетом переноса тепла механизмами теплопроводности, конвекции и радиации и уравнения Максвелла для расчета источников джоулева тепловыделения. Для моделирования длительного ростового процесса используется квазистационарный подход. Установлено, что модель адекватно описывает процесс сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния.

2) Обнаружено, что в течение ростового процесса скорость роста кристалла уменьшается, а ее распределение по поверхности кристалла становится более равномерным. Показано, что заметно неравномерное распределение температуры в объеме порошкового источника приводит к тому, что материал источника испаряется очень неоднородно, что приводит к низкой эффективности использования источника ( < 10%) из-за его рекристаллизации.

3) Установлено, что наиболее эффективным способом управления формой растущего кристалла является изменение положения обмотки индуктора. При этом контроль скорости роста может осуществляться путем варьирования мощности нагрева и давления в системе, которые не оказывают существенного влияния на форму кристалла.

4) Впервые поставлена и решена задача оптимизации сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния на основе развитой численной модели процесса. Для решения задачи использовались методы численной оптимизации. Найдены: наилучшая геометрии ростового тигля с точки зрения желательного распределения температуры в ростовой камере (задача оптимального проектирования) и законы изменения во времени положения и мощности индуктора, обеспечивающие получение кристаллов формы близкой к заданной (задача оптимального управления).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кулик, Алексей Викторович, 2004 год

1. Н. Morkoc, S. Strite, G.B. Gao, М.Е. Lin, В. Sverdlov, М. Burns. Large-band-gap SiC, III-V nitride, and II-VI ZnSe-based semiconductor device technologies, J. Appl. Phys. 76 (3) (1994) p. 1363-1398.

2. Ю.М. Таиров, В.Ф. Цветков. Полупроводниковые соединения ^IVglV ^ g справочнике по электротехническим материалам / Под ред. Ю.В. Корицкого, В.В. Пасынкова, Б.М. Тареева. — Т. 3. — 3-е изд. перераб. — JL: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988. — 728 с .

3. Yu.A. Vodakov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, A.D. Roenkov. Epitaxial growth of silicon carbide layers by sublimation "Sandvich Method" (I). Growth kinetics in vacuum, Kristall und Technik 14 (1979) p. 729-740.

4. Ю.А. Водаков, E.H. Мохов. Способ получения полупроводникового карбида кремния, А.С. № 403275 (1970).

5. Yu.M. Tairov, V.F. Tsvetkov. Investigation of growth processes of ingots of silicon carbide single crystals, J. Crystal Growth 43 (1978) p. 209-212.

6. Yu.M. Tairov, V.F. Tsvetkov. General principles of growing large-size single crystals of various silicon carbide poly types, J. Crystal Growth 52 (1981) p. 146-150.

7. В.И. Левин, Ю.М. Таиров, М.Г. Траваджян, В.Ф. Цветков, М.А. Чернов. Исследование процесса выращивания монокристаллических слитков SiC из газовой фазы, Неорганические материалы 14(6) (1978) с. 1062-1066.

8. P.J. Wellmann, М. Bickermann, D. Hofmann, L. Kadinski, M. Selder, T.L. Straubinger, A.Winnacker. In situ visualization and analysis of silicon carbide physical vapor transport growth using digital X-ray imaging, J. Crystal Growth 216 (2000) p. 263-272.

9. M. Selder, L. Kadinski, Yu. Makarov, F. Durst, P. Wellmann, T. Straubinger, D. Hofmann, S. Karpov, M. Ramm. Global numerical simulation of heat and mass transfer for SiC bulk crystal growth by PVT, J. Crystal Growth 211 (2000) p. 333-338.

10. D. Hofmann, M. Heinze, A. Winnacker, F. Durst, L. Kadinski, P. Kaufmann, Yu. Makarov, M. Schafer. On the sublimation growth of SiC bulk crystals: development of a numerical process model, J. Crystal Growth 146 (1995) p. 214-219.

11. M. Pons, Б. Blanquet, J.M. Dedulle, I. Garcon, R. Madar, C. Bernard. Thermodynamic heat transfer and mass transport modeling of the sublimation growth of silicon carbide crystals, J. Electrochem. Soc. 143(11) (1996) p. 3727-3735.

12. S.Yu. Karpov, Yu.N. Makarov, M.S. Ramm. Simulation of sublimation growth of SiC single crystals, Phis. Stat. Sol.(b) 202 (1997) p. 201-220.

13. S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, I.A. Zhmakin, Yu.N. Makarov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, M.S. Ramm, A.D. Roenkov, Yu.A. Vodakov. Analysis of sublimation growth of bulk SiC crystals in tantalum container, J. Crystal Growth 211 (2000) p. 347-351.

14. I.A. Zhmakin, A.V. Kulik, S.Yu. Karpov, S.E. Demina, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov. Evolution of thermoelastic strain and dislocation density during sublimation growth of silicon carbide, Diamond and Related Materials 9 (2000) p. 446-451.

15. M. Selder, L. Kadinski, F. Durst, D. Hofmann. Global modeling of the SiC sublimation growth process: prediction of thermoelastic stress and control of growth conditions, J. Crystal Growth 226 (2001) p. 501-510.

16. M.V. Bogdanov, S.E. Demina, S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov. Advances in modeling of wide-bandgap bulk crystal growth, Cryst. Res. Technol. 38 (2003) p. 237-249.

17. А.П. Бабичев, H.A. Бабушкина, A.M. Братковский и др. Физические величины: Справочник. Под. ред. И.С. Григорьева, Е.З. Михайлова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.

18. Yu.N. Makarov, A.I. Zhmakin. On The flow regimes in VPE reactors, J. Crystal Growth 94 (1989) p. 537-550.

19. J. Drowart, G. de Maria, M.G. Inghram. Thermodynamic study of SiC utilizing a mass spectrometer, J. Chem. Phys. 29 (1958) p. 1015-1021.

20. L. Kadinski, M. Peric. Numerical study of grey-body surface radiation coupled with fluid flow for general geometries using a finite volume multigrid solver, Int. J. Num. Meth. Heat and Fluid Flow 6 (1996) p. 318.

21. Ю.В. Лапин, M.X. Стрелец. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.

22. Л.В. Гурвич, И.В. Вейц, В.А. Медведев и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание: В 4-х т. М.: Наука, 1978.

23. Э. Оран, Дж. Борис. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир, 1990. 660 с.

24. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Э. Берд. Молекулярная теория жидкостей и газов. М.: ИЛ, 1961. 929 с.

25. N.S. Martys, S. Torquato, D.P. Bentz. Universal scaling of fluid permeability for sphere packings, Phys. Rev. E 50(1) (1994) p. 403-408.

26. Р.И. Нигматулин. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

27. Р.И. Нигматулин. Динамика многофазных сред. Ч. I. М.: Наука, 1987. 464 с.

28. А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко, Е.А. Самарская, В.Ф. Тишкин. Методы математического моделирования окружающей среды. М.: Наука, 2000. 253 с.

29. Е. Skjetne, J.L. Auriault. New insights on steady, non-linear flow in porous media, Eur. J. Mech. B/Fluids 18(1) (1999) p. 131-145.

30. С. Beckermann, S. Ramadhyani, R. Viskanta. Natural convection flow and heat transfer between a fluid layer and a porous layer inside a rectangular enclosure, J. Heat Transfer 109 (1987) p. 363-370.

31. Q.-S. Chen, V. Prasad, A. Chatterjee. Modeling of fluid flow and heat transfer in a hydrothermal crystal growth system: use of fluid-superposedporous layer theory, ASME J. Heat Transfer 121(4) (1999) p. 1049-1058.

32. S. Ergun. Fluid flow through packed columns, Chemical Engineering Progress 48(2) (1952) p. 89-94.

33. E.L. Kitanin, M.S. Ramm, V.V. Ris, A.A. Schmidt. Heat transfer through source powder in sublimation growth of SiC crystal, Mater. Sci. Eng. В 55 (1998) p. 174.

34. M.D. Rintoul, S. Torquato, C. Yeong, D.T. Keane, S. Erramilli, Y.N. Jun, D.M. Dabbs, I.A. Aksay. Structure and transport properties of a porous magnetic gel via x-ray microtomography, Phys. Rev. E 56(3) (1996) p. 2663-2669.

35. F. Dupret, P. Nicodeme, Y. Ryckmans, P. Wouters, M.J. Crochet. Global modeling of heat transfer in crystal growth furnaces, J. Heat Mass Transfer 33 (1990) p. 1849-1871.

36. Д.А. Франк-Каменецкий. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967. 492 с.

37. A.S. Segal, A.N. Vorob'ev, S.Yu. Karpov, Yu.N. Makarov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, M.S. Ramm, A.D. Roenkov, Yu.A. Vodakov, A.I. Zhmakin. Transport phenomena in sublimation growth of SiC bulk crystals, Mat. Sci. Engin. B61-62 (1999) p. 40-43.

38. S.Yu. Karpov, V.G. Prokofyev, E.V. Yakovlev, R.A. Talalaev, Yu.N. Makarov. Novel approach to simulation of group-Ill nitrides growth by MOVPE, MRS Internet J. Nitride Semicond. Res. 4, 4 (1999).

39. С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

40. J.H. Ferziger, М. Peric. Computational methods for fluid dynamics, Springer, Berlin, 1999.

41. S.V. Patankar, D.B. Spalding. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows, Int. J. Heat and Mass Transfer 15 (1972) p. 1787.

42. J.P. Van Doormaal, G.D. Raithby. Enhancements of the SIMPLE Method for Predicting Incompressible Fluid Flows, Numerical Heat Transfer 7 (1994) p. 146-163.

43. C.M. Рхи, У.JI. Чоу. Численный расчет турбулентного обтекания профиля с отрывом у задней кромки, Аэрокосмическая техника №7 (1982) с. 33-63.

44. М. Tomadakis, М. Leschziner. Numerical simulation of viscous incompressible flows using a pressure-correction method and ustructured grids, Proceedings of Computational Fluid Dynamics'95 (1997) p. 325332.

45. Yu.E. Egorov, A.I. Zhmakin. Numerical simulation of low-Mach number gas mixture flows with heat and mass transfer using unstructured grids, Comput. Mater. Sci. 11 (1998) p. 204-220.

46. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т. 2. М.: Мир, 1998. 452 с.

47. А.В. Скворцов. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне, Вычислительные методы и программирование 3 (2002) с. 14-39.

48. R. Barrett, M. Berry, T.F. Chan, J. Demmel, J.M. Donato, J. Dongarra, V. Eijkhout, R. Pozo, C. Romine, H. Van der Vorst. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, www.netlib.org/templates/Templates.html.

49. M. Hortmann, M. Peric, G. Scheuerer. Finite volume multigrid prediction of laminar natural convection: bench-mark solutions, Int. J. Numer. Methods Fluids 11 (1990) p. 189-207.

50. P.J. Wellmann, D. Hofmann, L. Kadinski, M. Selder, T.L. Straubinger, A. Winnacker. Impact of source material on silicon carbide vapor transport growth process, J. Crystal Growth 225 (2001) p. 312-316.

51. M. Pons, M. Anikin, K. Chourou, J.M. Dedulle, R. Madar, E. Blanquet, A. Pisch, C. Bernard, P. Grosse, C. Faure, G. Basset, Y. Grange. State of the art in the modelling of SiC sublimation growth, Mat. Sci. Engin. B61-62 (1999) p. 18-28.

52. G. Augustine, H.McD. Hobgood, V. Balakrishna, G. Dunne, R.H. Hopkins. Physical vapor transport growth and properties of SiC monocrystals of 4H polytype, phys. stat. sol. (b) 202 (1997) p. 137-148.

53. A.S. Segal, A.N. Vorob'ev, S.Yu. Karpov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, M.S. Ramm, A.D. Roenkov, Yu.A. Vodakov, Yu.N. Makarov. Growth of silicon carbide by sublimation sandwich method in the atmosphere of inert gas, J. Crystal Growth 208 (2000) p. 431-441.

54. Э. Полак. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 376 с.

55. Дж. Ортега, В. Рейнболдт. Итерационные методы решения систем уравнвений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.

56. А.В. Аттетков, С.В. Галкин, B.C. Зарубин. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. — 440 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIV).

57. R.M. Lewis, V. Torczon, M.W. Trosset. Direct search methods: then and now, ICASE Technical Report 2000-26.

58. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery. Numerical Recipes in C: Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 1993, 994 p.

59. J.A. Nelder, R. Mead. A simplex method for function minimization, Computer Journal 7 (1965) p. 308-313.

60. M.J.D. Powell. An efficient method for finding the minimum of a function of several variables without calculating derivatives, Computer Journal 7 (1964) p. 155-162.

61. R. Fletcher, M.J.D. Powell. A rapidly convergent method for minimization, Computer Journal 6 (1963) p. 163-168.

62. M.S. Ramm, A.V. Kulik, A.I. Zhmakin, S.Yu. Karpov, O.V. Bord, S.E. Demina, Yu.N. Makarov. Modeling of PVT growth of bulk SiCcrystals: general trends and 2" to 4" reactor scaling, MRS Symp. Proc. 616 (2000) p. 227-233.

63. J.E. Meyer. Hydrodynamic models for the treatment of reactor thermal transients, Nucl. Sci. Eng. 10 (1961) p. 269-277.

64. П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. M.: Мир, 1980. 616 с.

65. L.-E. Eriksson. A preconditioned Navier-Stokes solver for low Mach number flows, Proceedings of Computational Fluid Dynamics'96 (1996) p. 199-205.

66. H. Bijl, P. Wesseling. A numerical method for the computation of compressible flows with low Mach number regions, Proceedings of Computational Fluid Dynamics'96 (1996) p. 206-212.

67. C.K. Forester, A.F. Emery. A computational method for low Mach number unsteady compressible free convective flows, J. Comput. Phys. 10 (1972) p. 487-502.

68. J.D. Ramshaw, J.A. Trapp. A numerical technique for low-speed homogeneous two-phase flow with sharp interfaces, J. Comput. Phys. 21 (1976) p. 438-453.

69. Д.А. Никулин, Г.С. Потехин, M.X. Стрелец. Приближенная система уравнений для описания нестационарной концентрационной естественной конвекции в бинарных газовых смесях, Изв. АН СССР. МЖГ №5 (1980) с. 57-61.

70. А.И. Жмакин, Ю.Н. Макаров. Численное моделирование гипозву-ковых течений вязкого газа, Докл. АН СССР. МЖГ 280 №4 (1985) с. 827-830.

71. А.И. Жмакин, Ю.Н. Макаров, Д.Х. Офенгейм, М.С. Рамм. Численное моделирование роста кристаллов из газовой фазы: В сб. Вопросыматематической физики и прикладной математики. СПб.: ФТИ им. А.Ф.Иоффе. 2001. с. 208-234.

72. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. — 4-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТ Л ИТ, 2001. — 656 с.

73. Д.В. Сивухин. Общий курс физики: Учеб. пособ.: Для вузов. В 5 т. Т. III. Электричество. — 4-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2002. — 656 с.

74. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля. — 8-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 536 с.

75. P. Raback. Modeling of the sublimation growth of silicon carbide crystals, PhD thesis, Center for Scientific Computing, Espoo, 1999.