Гиперболичность периодических решений некоторого класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Журавлев, Николай Борисович

  • Журавлев, Николай Борисович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2007, Москва
  • Специальность ВАК РФ01.01.02
  • Количество страниц 104
Журавлев, Николай Борисович. Гиперболичность периодических решений некоторого класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. Москва. 2007. 104 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Журавлев, Николай Борисович

Введение

1 Критерий гиперболичности в случае рационального периода.

1.1 Спектр оператора монодромии.

1.2 Резольвента оператора монодромии.

1.3 О вычислении фундаментальной матрицы

1.4 Пример.

1.5 Критерий гиперболичности.

2 Критерий гиперболичности в случае иррационального периода.

2.1 Рациональная аппроксимация.

2.2 Представление гладких периодических функций

2.3 Построение рациональной аппроксимации.

2.4 Критерий гиперболичности.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиперболичность периодических решений некоторого класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений»

1. Выбор темы для настоящей диссертации связан с актуальностью исследования динамики, порождаемой нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями. В диссертации изучаются условия гиперболичности периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений вида я'й = / (*(*), х{1 - п), х{г - г2), гп)) (1) с положительными рациональными запаздываниями 0 < г\ < . < гп (положим го = 0), где функция / : Мп+1 —у К непрерывно дифференцируема. Строгое определение гиперболичности в терминах собственных значений оператора монодромии (мультипликаторов Флоке) будет дано в определении 1. Здесь отметим, что гиперболичность периодического решения эквивалентна тому, что все траектории в пространстве начальных данных, близкие к периодической орбите, стремятся к ней либо при £ +оо, либо при £ —> —оо (см. [26, теорема 10.3.1]).

Важность исследования асимптотического поведения решений таких уравнений в окрестности периодических решений подчеркивается в теории искусственных нейронных сетей [28] и в теории управления с последействием. При изучении лазеров с запаздывающей обратной связью [40] особый интерес представляют неустойчивые (и, в частности, гиперболические) периодические решения. Неустойчивые негиперболические решения тоже встречаются в приложениях (см., например, [17]).

Один из первых результатов по устойчивости периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений получили в 1975 году J. L. Kaplan и J. A. Yorke [30]. Ядром доказательства являлась лемма о пересечении траекторий (здесь имеются ввиду траектории в пространстве R2), в которой развивается идея сравнения решений, использовавшаяся еще в книге А. Д. Мышкиса (см. [14, теорема 20]). J. L. Kaplan и J. A. Yorke рассматривали уравнение вида =-1)), где / — непрерывно дифференцируемая строго монотонная функция, проходящая через начало координат и ограниченная снизу, и исследовали поведение только, так называемых, медленно осциллирующих решений (т. е. решения, нули которых расположены на расстоянии, большем, чем запаздывание). Вопросы существования и единственности периодических медленно осциллирующих решений рассматривали J. L. Kaplan и J. A. Yorke [29], R. D. Nussbaum [36], Y. Cao [18] и другие. При аналогичных ограничениях на правую часть уравнения Н.-О. Walther доказал [41], что все начальные данные, которым соответствуют ограниченные решения, принадлежат замыканию множества начальных данных, которым соответствуют медленно осциллирующие решения. Несмотря на дальнейшее развитие этих результатов и внедрение других методов исследования устойчивости периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений отмеченные выше ограничения на правую часть уравнения и на исследуемое решение (а также требование четности или нечетности правой части) часто остаются существенными для построения доказательств (см., например, [18, 20]). Ограничения на функцию / часто ужесточаются при переходе к быстро осциллирующим решениям (см., например, [32]) и при появлении дополнительного аргумента x(t) в правой части уравнения (см., например, [6]).

В 1977 году в книге J. К. Hale [26] была изложена схема доказательства того, что поведение траекторий, близких к орбите периодического решения, в пространстве начальных данных определяется расположением мультипликаторов Флоке относительно единичной окружности. Полное доказательство этого факта было изложено в [27], а затем другое, более лаконичное, доказательство было дано в книге [21]. С помощью мультипликаторов Флоке исследовалась бифуркация из ветви периодических орбит семейства дифференциально-разностных уравнений [23, 38, 42], экспоненциальная устойчивость [20, 6], гиперболичность [1, 2, 3, 4, 39, 43], существование и структура глобального аттрактора [32]. S. N. Chow, О. Diekmann, and J. Mallet-Paret исследовали расположение мультипликаторов Флоке для определения свойств медленно осциллирующих решений интегрального уравнения [19]. J. Mallet-Paret и G. Sell изучили кратности упорядоченной последовательности мультипликаторов Флоке [34]. При помощи мультипликаторов Флоке X. Xie исследовал устойчивость периодических решений уравнений рассматриваемого типа, содержащих малый параметр [45]. P. Dormayer и В. Lani-Wayda для исследования повторных бифуркаций из ветви периодических решений провели численный анализ мультипликаторов Флоке [24].

При работе с мультипликаторами Флоке трудность заключается в том, что в случае функционально-дифференциальных уравнений оператор монодромии является бесконечномерным (в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений). Одним из методов исследования мультипликаторов Флоке является построение характеристической функции. При этом исследование спектра оператора монодромии сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей спектральный параметр. Этот шаг используется во многих работах и до настоящего времени [23]. Во всех этих работах исследуется решение с полупериодом Т/2 в два раза большим, чем запаздывание г [20, 6], или в три раза больше чем запаздывание [16]. (Иногда отмечается, что подобный шаг можно сделать при Т/г £ N.) Отметим, что в свете работы R. D. Nussbauma [35] такие периодические решения могут рассматриваться как исключительные. В случае произвольного T/r Е Q такой шаг был сделан только в работах Х.-О. Вальтера (Walther) и A. JI. Скубачевского, что позволило им построить характеристическое уравнение в случае периодического решения с произвольным рациональным периодом [1, 2, 3, 39] (при запаздывании г = 1) и даже получить первые подобные результаты в случае иррационального периода [4, 39].

В последние годы появился ряд работ (см., например [37, 44, 45]) по устойчивости и гиперболичности периодических решений уравнений вида (1), где используется дополнительное предположение о близости правой части уравнения к ступенчатой функции.

Отметим, что в последнее время А. Д. Мышкис опубликовал ряд работ по существованию и устойчивости периодических решений дифференциально-разностных уравнений (см. например [15]). Однако, он исследовал, так называемые, системы с релаксацией, в которых определение решения дается иначе, чем в перечисленный выше работах.

2. Новизна результатов. В диссертации задача отыскания мультипликаторов Флоке и проверка простоты (алгебраическая кратность равна единице) отдельно взятого мультипликатора Флоке сводится к исследованию краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей спектральный параметр. Подобный переход использовался ранее во многих работах и является одним из наиболее эффективных средств исследования поведения траекторий, близких к орбите периодического решения нелинейного дифференциально-разностного уравнения, в пространстве начальных данных. При этом допускается произвольный рациональный период исследуемого периодического решения, что было достигнуто ранее только в работах Х.-О. Вальтера и А. Л. Скубачевского [1, 2, 3, 39].

В настоящей диссертации впервые подобный переход совершается в отсутствии каких-либо дополнительных ограничений. Это достигается благодаря явному выписыванию оператора, осуществляющего изоморфизм между собственным подпространством оператора монодромии и пространством решений построенной краевой задачи. Становится ясно, что для тривиальности ядра этого оператора не требуется использовавшихся ранее дополнительных ограничений. Кроме того, используется другой подход к исследованию условий простоты собственных значений оператора монодромии.

В работах Х.-О. Вальтера и А. Л. Скубачевского [4, 39] впервые переход к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений был сделан для иррационального периода (в случае запаздывания, равного единице). При этом предополагалось, что исследуемое периодическое решение с иррациональным периодом допускает рациональную аппроксимацию (в работах [4, 39] это определение является новым).

В настоящей диссертации в отсутствии дополнительных ограничений приводится конструктивное доказательство того, что любое периодическое решение допускает рациональную аппроксимацию. Само определение рациональной аппроксимации несколько изменяется. При этом удается воспроизвести использованную в работах [4, 39] идею перехода к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводимое в настоящей диссертации построение рациональной аппроксимации содержит переход от исходного дифференциально-разностного уравнения (даже в случае одного запаздывания, равного единице) к уравнению, содержащему несколько рациональных запаздываний. Поэтому изначально все результаты выводятся для уравнения, содержащего несколько рациональных запаздываний.

Отметим, что при построении рациональной аппроксимации доказывается и используется интересное свойство гладких периодических функций. А именно, используя произвольную гладкую периодическую функцию и фиксированный набор ее запаздываний, можно выразить конечным образом любую другую гладкую периодическую функцию с тем же периодом.

3. Диссертация состоит из введения и двух глав.

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Журавлев, Николай Борисович, 2007 год

1. Вальтер Х.-О., Скубачевский А. Л. О спектре оператора мо-нодромии для медленно осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений. //Доклады Академии Наук. 2002. Т.384. № 4. С. 442-445.

2. Вальтер Х.-О., Скубачевский А. Л. О мультипликаторах Флоке для медленно осциллирующих периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. //Труды Московского Математического Общества. 2003. Т.64. С. 3-53.

3. Вальтер Х.-О., Скубачевский А. Л. О гиперболичности быстро осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений. //Функц. анализ и его приложения. 2005. Т.39. вып.1. С. 82-85.

4. Вальтер Х.-О., Скубачевский А. Л. О гиперболичности решений с иррациональными периодами некоторых функционально-дифференциальных уравнений. //Доклады АН. 2005. Т.402. №2. С. 151-154.

5. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше// Мат. сборник. 1971. Т. 84, № 4. С. 607-629.

6. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием. Известия УрГУ. 2005. № 38. С. 50-68.

7. Журавлев Н. Б., Скубачевский A. JI. О гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями// Труды Матем. инст. им. В. А. Стек-лова. 2007. Т. 256. С. 148-171.

8. Журавлев Н. Б. О гиперболичности медленно осциллирующих периодических решений некоторого класса функционально-дифференциальных уравнений// Proceedings of the sixteen Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol. 2006. V. 16. P. 135-141.

9. Журавлев Н. Б. Критерий гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями// Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 21. С. 37-61.

10. Журавлев Н. Б. Критерий гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с рациональным периодом// Функц. анализ и его приложения. 2007. Т. 41. вып.1, Стр. 90-92.

11. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

12. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва. 1951.

13. Brunovsky P., Erdelyi A. Walther H.-O. On Model of a Currency Exchange Rate Local Stability and Periodic Solutions// J. Dynam. Differential Equations. 2004. V. 16. № 2. P. 393-432.

14. Cao Y. Uniqueness of periodic solutions for differential delay equations// J. Differential Equations. 1996. V. 128. P. 46-57.

15. Chow S. N., Diekmann O., and Mallet-Paret J. Stability, multiplicity and global continuation of symmetric periodic solutions of a nonlinear Volterra integral equation// Japan J. Applied Mathematics. 1985. V. 2. P. 433-469.

16. Chow S. N., and Walther H.-O. Characteristic multipliers and stability of symmetric periodic solutions of x(t) = g(x(t — 1)))// Transactions of the A.M.S. 1988. V. 307. P. 127-142.

17. Diekmann O., van Gils S., Verduyn Lunel S. M., and Walther H.-O. Delay Equations: Functional-, Complex- , and Nonlinear Analysis. Springer, New York, 1995.

18. Dieudonne J. Foundations of Modern Analysis. Academic Press, New York, 1960.

19. Dormayer P., Ivanov A. F., Lani-Wayda B. Floquet multipliers of symmetric rapidly oscillating solutions of differential delay equations// Tohoku Math. J. 2002. V. 54. P. 419-441.

20. Dormayer P., Lani-Wayda B. Floquet multipliers and secondary bifurcations in functional differential equations: Numerical and analytical results, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik. 1995. V. 46. № 6. P. 823-858.

21. Dunford N., and Schwartz J. T. Linear Operators. Part I: General Theory. Interscience Publishers. New York. 1958.

22. Hale J. K. Theory of functional differential equations. Springer. New York. 1977.

23. Hale J. K., and Verduyn Lunel S. M. Introduction to Functional Differential Equations. Springer. New York. 1993.

24. Herz A. V. M. Global analysis of recurrent neural networks// In Domany E., van Hemmen J. L., and Schulten K. (eds.). Models of Neural Networks. 1994. V. 3. Springer-Verlag. New York.

25. Kaplan J. L., and Yorke J. A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of delay differential equations// J. Mathematical Analysis and Applications. 1974. V. 48. P. 317-324.

26. Kaplan J. L., and Yorke J. A. On the stability of a periodic solution of a differential delay equation// SI AM J. Mathematical Analysis. 1975. V. 6. P. 268-282.

27. Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators. Springer. New York. 1966.

28. Krisztin T., and Walther H.-O. Unique periodic orbits for delayed positive feedback and the global attractor// J. Dynamics and Differential Equations. 2001. V. 13. P. 1-57.

29. Mallet-Paret J., and Nussbaum R. D. Global continuation and asymptotic behaviour for periodic solutions of a differential-delay equation// Annali di Matematica Pura ed Applicata. 1986. V. 145. P. 33-128.

30. Mallet-Paret J., and Sell G. Systems of differential delay equations: Floquet multipliers and discrete Lyapunov functions// J. Differential Equations 125 (1996), 385-440.

31. Nussbaum Ft. D. The range of periods of x'(t) = —af(x(t — 1))// J. Mathematical Analysis and Applications. 1977. V. 58. P. 280-292.

32. Nussbaum R. D. Uniqueness and nonuniqueness for periodic solutions of x'{t) = —g(x(t 1))// J. Differential Equations. 1979. V. 34. P. 25-54.

33. Ou Ch., Wu J. Periodic Solutions of Delay Differential Equations wich a Smal Parameter: Existence, Stability and Asymptotic Expansion// J. Dynam. Differential Equations. 2004. V. 16. № 3. P. 605-628.

34. Röst G. Bifurcation of periodic delay differential equations at points of 1:4 resomamce// J. "Functional Differential Equations". 2006. V. 13. PP. 19-36.

35. Skubachevskii A. L., Waither H.-O. On the Floquet multipliers of periodic solutions to nonlinear functional differential equations// J. Dynam. Differential Equations. 2006. V. 18. № 2. P. 257-355.

36. Walther H.-O. Density of slowly oscillating solutions of x(t) = —f(x(t — 1))// J. Mathematical Analysis and Applications. 1981. V. 79. P. 127140.

37. Walther H.-O. Bifurcation from periodic solutions in functional differential equations// Mathematische Zeitschrift. 1983. V. 182. P. 269289.

38. Walther H.-O. Hyperbolic periodic solutions, heteroclinic connections and transversal homoclinic points in autonomous differential delay equations// Memoirs of the A.M.S. 1989. V. 79. № 402.

39. Walther H.O. Contracting return maps for monotone delayed feedback// Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2001. V. 7, № 2. P. 259274.

40. Xie X. Uniqueness and stability of slowly oscillating periodic solutions of delay equations with bounded nonlinearity// J. Dynamics Differential Equations 3 (1991), 515-540.

41. Zhuravlev N. B. On the spectrum of the monodromy operator for slowly oscillating periodic solutions of functional differential equations with several delays// J. "Functional Differential Equations". Israel. 2006. V. 13. No 2, PP. 323-344.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.