Группы автоморфизмов сетевых подгрупп линейных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Пащевский, Александр Александрович

• Пащевский, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пащевский, Александр Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ГЛАВА I. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ I. Сети и сетевые подгруппы.

§ 2. Вспомогательные результаты.

§ 3. Симметрические группы.

ГЛАВА П. АВТОМОРФИЗМЫ СЕТЕВЫХ ГРУШ НАД ПОЛЕМ.

§4. Автоморфная допустимость Е(бг ) и & (er \ в А

§ 5. Насыщенные сети.

§ 6. Экстремальные инволюции.

§ 7. Описание автоморфизмов.

ГЛАВА Ш. ПОЛУЛОКАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ.

§ 8. Полулокальные кольца.

§ 9. Центральные автоморфизмы.

ГЛАВА 1У. ИЗОМОРФИЗМЫ СЕТЕВЫХ ГРУШ НАД КОММУТАТИВНЫМ.

КОЛЬЦОМ.

§ 10. Диагональные инволюции.

§ II. Изоморфизмы сетевых групп.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы автоморфизмов сетевых подгрупп линейных групп»

Вопросы, связанные с описанием автоморфизмов матричных групп, традиционно занимают важное место в теории линейных групп. Чаще всего ограничиваются изучением автоморфизмов некоторых классов подгрупп, выделяемых в полной линейной группе условиями различного типа. Отметим среди таких классов алгебраические группы и группы Шевалле, а также подгруппы, порожденные элементами специального вида, например: элементарными трансвекциями.

Настоящая работа посвящена изучению автоморфизмов сетевых подгрупп полной линейной группы. Понятие сетевой группы ввел Боревич З.И. в работе [3]. Сетевые группы нашли широкое, применение в описании решетки подгрупп линейных групп, см.,например: [4],[9j,[17], чем и вызван интерес к ним. Более подробно "сетевая" тематика будет освещена в обзоре литературы, а пока отметим, что сетевые группы в определенном смысле похожи на полную линейную группу и поэтому задача нахождения их автоморфизмов наиболее близка к аналогичной задаче для группы G L (r\, R ),

Среди автоморфизмов группы GL (n , R) вццеляются четыре типа, называемые элементарными.

1) ft: а-а а u'1 fa6GL(n,R)fueGL(ntS)f где 5 - некоторое расширение кольца R .

2) t ; а-еа + (i -e)V, а е G L ( * , R) , е идемпотент кольца R.

3) ? : ( а.)-* ( Г ( а.).) , ае GL(n,R) , т автоморфизм кольца R,

4) X : a->%(a) a , ae GL(n,R) ( j;подходящий гомоморфизм , : GL(n,R)-*C(GL(n,R))^R*.

Классические результаты описания автоморфизмов звучат примерно так: при некоторых предположениях на кольцо R и число п каждый автоморфизм группы GL(nfR) представляется в виде произведения элементарных автоморфизмов вида (l)-(4). В этом случае также говорят, что все автоморфизмы группы GL («, R) стандартны, см., например: [47], [Ц7], [143] и т.д. В последнее время в связи с переходом к некоммутативным кольцам стандартными автоморфизмами иногда называют суперпозицию автоморфизмов вида (2), (4) и автоморфизма кольца /Л (п, ft ) .В качестве примера такой ситуации можно привести работы [41],[42]. Для сетевых подгрупп элементарные автоморфизмы претерпевают некоторые изменения, что вызвано спецификой строения сетей. Однако основные результаты формулируются, как и в классическом случае: всякий автоморфизм сетевой группы G(6) является произведением элементарных автоморфизмов (в каждом случае мы приводим их определение). Можно сказать и иначе: каждый автоморфизм сетевой группы G (S) является стандартным (в вышеуказанном, более широком смысле), т.е. является суперпозицией автоморфизмов вида (2), (4) и автоморфизма сетевого кольца Л\(в). Но для большей точности мы всегда приводим также и разложение автоморфизма сетевого кольца ГЛ (6) на более простые, элементарные автоморфизмы.

Прежде чем сформулировать основной результат работы, сделаем небольшое замечание. В наших результатах обычно требуется неразложимость сети (по поводу определения см. §1). Это требование не является принципиальным; сделав необходимые переформулировки, от него можно отказаться. Однако это приводит к неоправданному (на наш взгляд) техническому усложеннию работы, что и послужило причиной введения вышеуказанного ограничения.

Итак, основной результат настоящей работы состоит в том, что описаны автоморфизмы группы G < б) в следующих случаях:е - неразложимая насыщенная ©-сеть (см. §§ 1,5) в поле К , отличном от поля из трех элементов и характеристики не равной двум;

6 - неразложимая ©-сеть в полулокальном коммутативном связном кольце R с обратимой двойкой, удовлетворяющая условию h(Q) >л . Также изучены изоморфизмы между группами G (в) и G(t) , Е(6) иЕ(тг) в том случае, когда 6 и "С -две 90-сети в коммутативном кольце R с обратимой двойкой, удовлетворяющие условиям h(6) , hex) ?з ,6-е и

Те - неразложимы при любом идемпотенте е е R . Эти три теоремы связаны между собой следующим образом: увеличивая общность основного кольца мы вынуждены брать более узкий класс сетей. Ограничения на сеть оправдываются существованием не удовлетворяющих сформулированным условиям сетей, соответствующие которым группы имеют нестандартные автоморфизмы. Необходимо отметить связь наших результатов с анонсированным в [42] описанием автоморфизмов промежуточных между Е и G (в) подгрупп с точностью до автоморфизмов сетевого кольца /л (в) в случае, когда R - РI -кольцо и Ь(б) ъЧ.

В доказательствах мы пользуемся методом инволюций (см., например, [94],[I29J), соответствующим образом модернизированным применительно к нашей ситуации. Необходимость модификаций вызвана в основном тем обстоятельством, что диагональные инволюции одного типа в сетевой группе могут быть не сопряжены, в то время, как в полной линейной группе они сопряжены при помощи матриц-подстановок.

Другой задачей является изучение поведения подгрупп Е(S) и G(6) при автоморфизмах промежуточной подгруппы А , удовлетворяющей условию G(e)< А . Удается доказать, что Е(&) и G(e) автоморфно допустимы в А в случае неразложимой

-сети 6 в поле К порядка больше трех и характеристики не равной двум. Иными словами, если - нормальная подгруппа группы А , то Е(6) и G (характеристические подгруппы в А при вышеприведенных условиях.

Последняя тема, затрагиваемая в работе, - изучение центральных автоморфизмов сетевых групп, т.е. автоморфизмов вида (4). Исследуется вопрос о том, какие автоморфизмы центра могут быть продолжены до центральных автоморфизмов сетевой группы и какими способами это можно проделать. Результаты получены при некоторых предположениях на сеть и кольцо, также при этих условиях удается непосредственно вычислить группу центральных автоморфизмов.

В диссертации приведена литература, содержащая известные автору работы по линейным группам в аспектах, близких к теме диссертации .

Перейдем теперь к характеризации содержания диссертации по главам.

Первая глава носит подготовительный характер. В § I напоминаются определение сети и вводятся различные подгруппы, связанные с сетью. Также в этом параграфе собраны необходимые сведения о сетях и сетевых подгруппах из работ [4] ,[8],[13],[17].

В § Z приведены технические результаты, необходимые в последующих главах. § 3 посвящен вспомогательной лемме о симметричес^ ких группах, важной для четвертой главы. Стиль и техника § 3 резко отличаются от остального изложения, связанного с линейными группами, чем и вызвано его перемещение в подготовительную главу.

Во второй главе мы рассматриваем автоморфизмы сетевых групп над полем. В § 4 доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА I. Пусть К - поле характеристики не равной двум и порядка больше трех, © - неразложимая Ф -сеть в поле К . Для любой промежуточной подгруппы A,G(6)*A</Vfs), группы Е(6) и G (©) автоморфно допустимы в А .

Важное для дальнейшего понятие насыщенной сети вводится в § 5. А именно, пусть шит две SD-сети порядка п над полем К , удовлетворяющие следующим условиям:

1. Если со. =1 при L * j , то т^. - 0 при i Ф L и т = о при ч . Двойственным образом, если т. =1 J J при t * j , ТО Cd^ = 0 при t Ф i И = О при t Ф j .

2. со ф т , т 4 и) .

Матрица В , определенная равенствами

1, если со., или Т. равны 1 , ' ч у * *

О, если со. = г. = о % ' \) м » является сетью. Мы говорим в этом случае, что б есть прямое объединение сетей со и X 5)-сеть 6 называется насыщенной, если хоть один ее недиагональный элемент отличен от нуля и ее нельзя представить в виде прямого объединения двух ©-сетей. В этом параграфе также доказываются некоторые результаты о насмценных сетях и приводятся без доказательства предложения I и 2, иллюстрирующие естественность введения понятия насыщенной сети с точки зрения автоморфизмов.

Изучением действия автоморфизмов на экстремальных инволюциях мы занимаемся в § 6. Предложение 2 показывает, что экстремальная инволюция переходит в экстремальную.

В § 7 дается описание автоморфизмов сетевых групп при некоторых условиях на сеть и поле, а именно, доказан следующий факт.

ТЕОРЕМА 2. Пусть 6 неразложимая насыщенная сеть в поле И , отличном от поля из трех элементов и характеристики не равной двум. Всякий автоморфизм у группы QC6) представляется либо в виде:

A Л й либо в виде:

Л Л Л Л J

•Vp = (Jojro0oToX.

Здесь g обозначает автоморфизм, переводящий а е. G (6) в д а д'1 t д е Л/ (в) f 9 - отображение, определенное правилом С Ф(ct)]. = а. , где (б.) - матрица из /Л (&) , У у У bj удовлетворяющая следующим условиям: * 0 , как только о , Эи ' = при всех i,j , к таких, что©-к-е^*о. Если взг= t6 то от обозначает автоморфизм G (6) , переводящий а в (or) fca1 (or)*1 , х - автоморфизм группы G(e)t определенный по правилу [ т (а)]. = Т(а.),где т - автоморУ А У физм поля К . Наконец, через % обозначается автоморфизм : a->- Я (a) а при подходящем Z: G (6 )-С (Gee)).

Теоремы I и 2 в свете полученного в [4] описания промежуточных подгрупп (предложение 5 § I) дают некоторый подход к изучению автоморфизмов последних, поскольку каждая такая подгруппа содержит в качестве нормального делителя некоторую сетевую подгруппу.

С технической точки зрения отличие методов этой главы от классической ситуации описания автоморфизмов в основном обуславливается тем, что экстремальные инволюции в сетевой группе не обязательно сопряжены и вообще соотношения между ними ослаблены ввиду отсутствия некоторых элементарных трансвекций.

Глава Ш состоит из двух параграфов. В § 8 изучаются автоморфизмы сетевых групп над полулокальным связным коммутативным кольцом, описание которых дается следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 3. Пусть R - полулокальное коммутативное связное кольцо с обратимой двойкой, © - неразложимая -сеть в R порядка п удовлетворяющая условию h(e) г Z . Любой автоморфизм у группы G (в) представляется либо в виде:

А А Л либо в виде: лр = а се о % .

Здесь а означает отображение "а : а-► и а и'11 где ас GL(n , fi ) ; £ - отображение контраградиента,

Л + ^ л t : а. -а ; X - центральный автоморфизм, X : а—

->Х(а)-а при подходящем гомоморфизме Х\ G(&)—»с (осе».

Ф - отображение, определенное правилом С 6 (со]. = в. (а.) } fJ ^j j где 9. : е.-»- R - аддитивные мономорфизмы, подчиняющиеся j условиям в. (а ) 6 . Ifi) = е. (<*■£>) при всех с , j , к

016 6. , А е в . )

4 1К ' " Kj

Следует отметить, что в формулировке теоремы 3 полулокальность кольца R можно заменить условием, чтобы единицы кольца порождали его. Разумеется, при этом матрицу а нужно будет брать из G L ( n , S ) , где В - некоторое расширение кольца R . Доказательство этого, более общего, результата, по существу не отличается от нашего,вследствие технического приема, примененного в лемме I.

- ю

§ 9 посвяцен описанию центральных автоморфизмов для некоторых классов сетевых групп над кольцами. Имеет место следующая теорема (по поводу определений и обозначений см. § I).

ТЕОРЕМА 4. Пусть R - коммутативное кольцо, в котором найдется обратимый элемент б такой, что <5-1 также обратим, 6 - неразложимая 5)-сеть в R , C(G(©)) состоит из скалярных матриц. Пусть также E<s) = Iwi dsX и выполнено одно из следующих двух условий :

1. Для любого йс1 » { 1, . . . , п} е (<*) равно (0) или (1).

2. е {{1}) = (0).

Тогда группа центральных автоморфизмов группы G (В) изоморфна группе Нот (G(6)/C (G(5)) , R* )) * < у е ^ut ft* : яр |r «id, у (e ) £1 € R *m(6) для всех g с R *>,

Вообще, при лк)бом гомоморфизме % : G (6)—>С (G (en ч 1 отображение X : а-«-fcccoa будет эндоморфизмом. Условия, когда этот эндоморфизм инъективен, тривиальны. Однако аналол гичные условия для сюръективности X нам не удалось найти в литературе даже для случая, когда R - поле, а 6 - единичная сеть. В теореме 4 вычислена группа центральных автоморфизмов G ( б ) , а предложения 1,2,3 этого параграфа показывают, какие автоморфизмы центра группы G < 6) могут быть продолжены до центральных автоморфизмов G (в) и какими способами это можно проделать.

В главе 1У дается описание изоморфизмов групп Е (6) и G<61 в случае коммутативного кольца. Сначала мы изучаем поведение диагональных инволюций при изоморфизме сетевых групп. Этому посвящен § 10. Основная трудность, как и обычно, заключается в том, что инволюции в сетевой группе не обязательно сопряжены, а это не позволяет использовать стандартные методы (см., например, [129], [143]). Эту трудность мы обходим с помощью техники, разработанной в главе I (предложение 1.2 и лемма 1.3).

В § II мы получаем основной результат главы 1У, теорему 5. Следует отметить ее связь с анонсированным в [42] описанием автоморфизмов промежуточных между £(6) и подгрупп при более общих предположениях относительно кольца и несколько более жестких условиях на сеть.

ТЕОРЕМА 5. Пусть R - коммутативное кольцо с обратимой двойкой, © и Т - две ©-сети порядка п в кольце R, h (6) * з , Ыг) г з . Пусть также сети & и t j* J* неразложимы при любой компоненте связности уи е . Пусть лр - изоморфизм G С ©) на &(т) ( £ (в ) на Е < "О ), 3 = К - расщепляющее расширение кольца R .

Тогда найдутся матрица ue GL (п, 5) ; отображение 6 ~ (в.) \ J идемпотент 6 из R , гомоморфизм -*-C(G(6)) такие, что у(а) = а[ $~1(%(а)-а)-е -»- t (§~1(%(а)а))~1а - е) ] а"1 в первом случае ( -у ; G(6) -»- G <т)) и f(a) = и[(Г1(сп-е -ь *(е~1<со)и(1-е)] а"1 во втором случае ( ^р : Е (6)->Е <т) ) .

Здесь 0.:б.—- аддитивные мономорфизмы, подчиняющие-Ч ч ся условиям б. (о) • & . ( а) - в. (а а) для всех ое 6, а е в . и 1.1 х j LJ 'Ч/ '

Itijj, t < n . Кроме того, бг(ег£.)=R при всех i . Отображение 0 определено по правилу: 6 (а)]. = в. (а.), ч м lj

Перейдем теперь к обзору литературы и основных известных результатов, связанных с темой настоящей работы. Обзор состоит из двух частей: первая часть посвящена автоморфизмам классических групп, вторая - работам, связанным с "сетевой" тематикой.

АВТОМОРФИЗМЫ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП. В этой части обзора мы будем рассматривать в основном библиографию по автоморфизмам полной линейной группы (как наиболее близкой к сетевым) и лишь мельком затронем остальные классические группы.

Изучение автоморфизмов классических групп было начато в 1928 г. Шрайером и Ван-дер-Варденом описавшими в [134] автоморфизмы группы Р S L ( ю , И ) над произвольным полем К . В 1951 г. Дъедонне [94] получил описание автоморфизмов полной линейной группы над телом, степени больше двух. Это описание было получено с помощью метода инволюций, развитого в работах Макки [114] , Ршскарта [I32J, Дъедонне [94].

В этом же году Хуа JIo-кен и Райнер [103] изучили автоморфизмы группы GL ( n , I ) при п » 3 .В 1957" 'Лэндин и Райнер [III] обобщили предыдущий результат на некоммутативные области главных идеалов. Почти одновременно с ними аналогичные результаты получил Вань Чже-сянь [140]. Автоморфизмы специальной линейной группы над телом изучались в работах [102],[104],[105], кроме тогоfв них рассмотрен и проективный случай.

В 1955 г. вышла книга Дъедонне [95] (русский перевод третьего издания [47]), которая подвела итог'достижениям, полученным к тому времени.

В 1957 г. Райнер [131] обнаружил у группы GL (я , К [ х] где К - поле, нестандартные автоморфизмы, после чего стало ясно, что автоморфизмы линейной группы порядка два над кольцом требуют специального рассмотрения. Следующий шаг в этом направлении сделал Кон [91] в 1969 г. Наконец, в 1974 г. Далл [93] обобщил результаты Кона на произвольную G Ez -область. Сюда же следует отнести работу Далла [92 ] , посвященную автоморфизмам группы PSL^ .В 1958 г. Лэндин и Райнер в [ИЗ] нашли достаточные условия стандартности автоморфизмов группы GL. . Л

Также в 1958 г. Лэндин и Райнер рассмотрели автоморфизмы линейных групп над кольцом целых гауссовых чисел, [112].

В 1965-1966 гг. автоморфизмы полной линейной группы над коммутативной областью целостности исследовали Янь Ши-цзянь С149] и О'Мира [120] при условии п >3.

Автоморфизмы полной линейной группы над широким классом степенных колец исследовал Кон в 1966 г. [90]. В 1969 г. О'Мира придумал новый метод характеризации трансвекций с помощью подгрупп С DC (X) [123] (здесь С обозначает централизатор, a D - коммутант). Основываясь на этом методе и работе [150], О'Мира и Цассенхауз в [1283 описали автоморфизмы конгруэнц-подгрупп порядка п * В над дедекиндовой областью.

В 1972 г. Хан [96] изучал гомоморфизмы линейных групп над целостными кольцами в достаточно больших (больше стабильного ранга) размерностях. В этом же году Помфрэ и Макдональд [129] описали автоморфизмы группы G- L (п, R) при п г Ъ над коммутативным локальным кольцом с обратимой двойкой, тем самым начав изучение автоморфизмов полной линейной группы над кольцом с делителями нуля.

В работах [43], [44] исследуются автоморфизмы полной линейной группы над кольцом с условием минимальности и полулокальными кольцами. В 1971-73 гг. автоморфизмы проективных групп и конгруэнцподгрупп над областями целостности изучал Солацци [135],[136],[137],[138]. Исключительный двумерный случай исследован в [64].

В 1974 г. вышла книга 0'Мира [125], в которой излагается теория изоморфизмов групп богатых трансвекциями. Впоследствии в работе [126] О'Мира перенес эту теорию на случай некоммутативных целостных колец с телами частных. Исключительную ситуацию малых размерностей исследовал Ю.В.Сосновский в[85]. Сюда же можно отнести работы Хана 73-75 гг. [97],[98], в которых описаны изоморфизмы серии классических групп над целостными кольцами. В том же 1975 г. Г.А.Носков в статье [68] описал автоморфизмы группы G L (и , R ) при некоторых ограничениях на коммутативное кольцо R и с условием и * X * oltw А\ а х ( R ).

Развивая идеи,заложенные в [115] и [116] , Макдональд в 1978 г. в статье [117] доказал стандартность автоморфизмов группы над связным коммутативным кольцом с обратимой двойкой при п * Ъ . Одновременно с ним аналогичные результаты получил В.Я.Блощицын [2]. Это продвижение стало возможным, в значительной степени благодаря результатам А.А.Суслина о нормальности элементарной группы в полной линейной, см. [86].

В 1976-82 гг. вышла целая серия работ, посвященных исключительному двумерному случаю (см., например,[45], [46],[48],[49],[83], [87], [Ц8]).

Наконец, в 1980 г. Уотерхаус [143] доказал стандартность автоморфизмов группы GL(n,tf> при л >, з над коммутативным кольцом R с обратимой двойкой. В своей работе Уотерхаус в существенной мере опирается на уже цитированную работу [117]. Два года спустя В.М.Петечук [79] снял предположение об обратимости двойки, но при условии п г Н . Он же обнаружил нестандартные автоморфизмы групп SL (3 , R), G L (3 , R) над кольцом R с необратимой двойкой ([77],[80]). Также В.М.Петечук [81] исследовал изоморфизмы линейных групп над . коммутативным кольцом при вышеуказанных условиях.

Недавно И.3.Голубчик и А.В.Михалев ([39],[41]) выяснили ситуацию в случае ассоциативных колец. А именно: пусть R и Т-ассоциативные кольца с обратимыми двойками, y:GL(nt R^— GL (иг» "П-изоморфизм, и ?3 , тгз . Тогда найдутся центральные идемпо-тенты £ и f в кольцах матриц R и Т^ соответственно, кольцевой изоморфизм б * eR^ -*- J> Т^ , кольцевой антиизоморфизм Т : (1-е) R^-такие, что чр(а) = & (еа) + г к±-е) а'1) для всех а е. Е (и , R Существуют примеры, показывающие, что для произвольной матрицы из G-L С" , R) это не так. Этими же авторами в [42] анонсирована весьма общая теорема, касающаяся автоморфизмов линейных групп над рI -кольцом. В частности, из нее следует стандартность автоморфизмов полной линейной группы над PI -кольцом. Также их результат охватывает широкий класс сетевых подгрупп, о чем уже упоминалось в первой части введения.

Автоморфизмы симплектической группы описал Хуа Ло-кен в 194648 гг. ([61],[101]), затем их исследовали различные авторы,"см., например, [94], [122],[130],[133],[142]. В 1978 г. вышла книга 0'Миры [127] , подводящая некоторый итог полученным к тому времени результатам. Несколько ранее случай локального кольца исследовали Маккин и Макдональд [119] , а случай области целостности разобрал Хан [97]. Из недавних работ можно упомянуть [78] и [89].

Автоморфизмы унитарной группы начали изучать Дъедонне [94] и Риккарт [133] в 195I году. Вслед за ними автоморфизмы унитарных и ортогональных групп над полем описывали многие математики (см., например, [109],[121],[139],[144],[145],[146]). Случай области целостности исследован в [89] ,[97],[99],[100],[107], [108], [ПО]; локального кольца в-[106]. Наконец, в 1983 г. в [40] И.3.Голубчик и А.В.Михалев дали описание автоморфизмов унитарных групп над ассоциативным кольцом.

На русском языке имеются книги Дъедонне [47] и 0*Миры [69], а также сборники переводов [I] и [51].

Получить информацию о современном состоянии теории автоморфизмов алгебраических групп можно в обзоре [82] В.П.Платвнова и С.А.Рапинчука, а также в статье Бореля и Титса [88], поэтому освещать этот вопрос мы не будем.

За более подробными сведениями об автоморфизмах классических групп мы отошлем к обзорам: Г373 ,[63],[65],[66],[67]. Самые последние результаты отражены в обзорных статьях А.Е.Залесского [50] и В.Т.Маркова,А.В.Г.1ихалева,Л.А.Скорнякова,А.А.Туганбаева [62].

СЕТЕВЫЕ ГРУППЫ. В этой части обзора мы затронем работы, в которых встречаются сетевые группы. Сетевые группы были введены З.И.Боревичем [3] в качестве языка, на котором дается описание подгрупп полной линейной группы,содержащей некоторую фиксированную подгруппу (обычно подгруппу диагональных матриц).

В серии работ [4],[21],[52],[53],[54],[55],[56],[57] З.Й.Боревич и В.А.Койбаев описали подгруппы полной линейной группы над полем, содержащие диагональ. Аналогичный результат для полулокальных колец получен в итоге работ З.И.Боревича и Н.А.Вавилова: [б],[9],[Ю],[293,132]. Параболические подгруппы над различными кольцами изучались в [33,15],[253,[263.

Подгруппы, содержащие группу клеточно-треугольных матриц изучал Вавилов Н.А. в статьях 127],[283,(34]. Различные результаты об описании подгрупп,содержащих группу клеточно-диагональных или элементарных клеточно-диагональных матриц можно найти в работах [II], [12],[15],[17],[18],t35],[38],1583,1593,[601. Подгруппы линейных групп, богатые трансвекциями,описал З.Й.Бо-ревич [7].

Ряд работ посвящен изучению различных свойств сетевых подгрупп. Так,в [20],[30] рассматривается вопрос о сопряженности сетевых подгрупп в полной линейной группе, в [13],[14] вводится понятие сетевого определителя. В работе [23] рассматриваются сетевые нормальные делители, в [19] вычисляется индекс сетевых подгрупп в полной и специальной линейной группе над дедекин-довым кольцом. В статье [22] доказано совпадение нормализатора сетевой подгруппы с ее субнормализатором, в [84] изучаются ряды коммутантов сетевых подгрупп. Работа [16] посвящена доказательству некоторых полезных свойств сетевых подгрупп в случае вполне слабоконечных колец.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Нине приводится список обозначений, которыми мы будем систематически пользоваться на протяжении всей работы.

ITI

Т и9 N

I-C i, id клк f Im f

YIa 3n

3(T) t i'V к R

R* chat К J(R) Spec R Лсхх R Pic R t

Rp

- мощность множества T ;

- дизъюнктное объединение множеств Т и N ; - теоретико-множественная разность множеств Т и N , п> - отрезок натурального ряда;

- тождественное отображение;

- ядро гомоморфизма у ;

- образ гомоморфизма у ;

- ограничение отображения у на подмножество А ;

- группа подстановок множества I ;

- группа подстановок множества Т ;

- подстановка из группы £(Т) , переводящая t в в t а остальные элементы множества Т оставляющая на месте;

- поле;

- кольцо;

- мультипликативная группа кольца R ;

- характеристика поля К ;

- радикал Джекобсона кольца R ;

- простой спектр кольца R ;

- максимальный спектр кольца R ;

- группа Пикара кольца R ;

- простой идеал кольца R ;

- локализация кольца R по простому идеалу ц> ;

- множество компонент связности пространства SpecR; t j R f ex r

Л at R Rth) tan к M

Нот (A , К

Л (n yR) GrL (и , R ) E(n, R)

D( n , К ) a. lJ V la <ar) e е. у d. (a) t dlag , t.(cO 4 и. lJ jr.

4) прямое слагаемое кольца R , соответствующее компоненте СВЯЗНОСТИ jvi е {Я ;

R -компонента элемента а из R;

- группа автоморфизмов кольца R ; свободный модуль ранга п над кольцом R ;

- ранг модуля Л ;

N) - группа гомоморфизмов модуля Л\ в модуль

N над кольцом R ;

- кольцо матриц степени п над кольцом R ;

- полная линейная группа степени п над кольцом R \

- группа элементарных матриц степени г> над кольцом R ;

- группа диагональных матриц степени п над полем К ;

- элемент матрицы , a , стоящий на позиции ( t ,j) ;

- матрица, у которой на позиции стоит элемент а. при всех I ,j ;

- транспонированная матрица, сьа = a .

- матрица, соответствующая подстановке JT , aT)Lj = ПРИ ВСеХ 1 • J *

- единичная матрица;

- матрица, у которой на позиции tL,j > стоит 1 на остальных местах нули;

- диагональная матрица, d. (а) = е + е. • ; i t* L *

- диагональная матрица с элементами а

1 п '

С* по главной диагонали;

- элементарная трансвекция, t. (сО » е + а е. *, j 41

- диагональная инволюция, b. » d.X-D о/. (-1) ;

У 1 J матрица-подстановка, иг. = е + е.-е. - е. - е •

Ч) м J1 «•«- JJ

V* - положительное пространство инволюции h Vj^ - отрицательное пространство инволюции Ь А™ - подгруппа группы А , порожденная m -ми степенями элементов из А ; Л/^ (Н) - нормализатор группы Н в группе G ; CQ (Н) - централизатор группы Н в группе G ; с ( н) - центр группы Н;

Gf - нормальное замыкание подгруппы F в группе G cg, нз - взаимный коммутант подгрупп G и Н ; О* - подгруппа, сопряженная с D , Dx = х D х'л ;

Нот (А,В) - группа гомоморфизмов абелевой группы А в абелеву группу 6 ; F - подгруппа F нормальна в группе G ) ос , - коммутатор элементов х и ^ , С эс , у] = х^ х'1 ;

Т. - подгруппа, состоящая из всех матрица вида t., (ос) , принадлежащих рассматриваемой группе G (здесь I ); х* - элемент, сопряженный с х , х^ = ^ xjj"1 ; в - 3>-сеть в кольце R ; б. - идеал кольца R , находящийся на позиции в сети е ;

6Д - единственная сеть такая, что G < 6Д ) - нормальный делитель в промежуточной подгруппе А ; t "t

6 - транспонированная сеть, ( 6 « » б31" - сеть, подобная сети в се3*"}. = 6,,,., „ . ; ^ ' ij Ж U1 , от (j) »

S ja -компонента сети в ( jw е {ft \ ;

G(6> - сетевая группа, соответствующая сети 6 N (6) - нормализатор сетевой группы G (6) в полной линейной группе;

Р(бг) - группа всех матриц вида (ЗГ) , которые содержатся в

N(6) (здесь от е );

Т(б) - множество подгрупп группы G вида Т. . = < t. (оо ; а е в. > ( L * j ) ; tj tj J

E (б) - элементарная сетевая группа, порожденной всеми элементарными трансвекциями из G (&); V6 - отношение эквивалентности на множестве X , определяемое правилом: i ~ j тогда и только тогда, когда В = в . = (1); j J fi(6) - наименьший из порядков классов эквивалентности . . . , , определяемых отношением ;

S(cO - идеал кольца R , определяемый подмножеством с*с!} (<5) С

-е а } j €

6" (°0 = . е. е. ;

Ч J1

- абелева группа, определенная правилом:

§(©)= П у (R/GM) ;

16 СХ <=1 ' o(.et - гомоморфизм сетевого определителя otal -►ф(б) ; ' т(в) - наибольший общий делитель всех чисел , для которых © (а ) * (1) . Ссылка "лемма 2"обозначает лемму 2 этого же параграфа,"предложение 2.3"обозначает предложение 2 § 3. Так как мы имеем дело только с ©-сетями, частицу $ будем иногда опускать.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пащевский, Александр Александрович, 1984 год

1. Автоморфизмы классических групп (сб.перев.с англ.и франц.).-М., Мир, 1976. 264с.

2. Блощицын В. Я. Автоморфизмы общей линейной группы над коммутативным кольцом, не порождаемым делителями нуля. Алгебра и логика, 1978, т.17, № б, е.639-642.

3. Боревич З.И. О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом. Вестн.Ленингр.ун-та, 1976, №13, с.16-24.

4. Боревич З.И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1976, т.64, с.12-29.

5. Боревич З.И. О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом. Вестн.Ленингр.ун-та, 1976, № 19, с.29-34.

6. Боревич З.И. О некоторых подгруппах полной линейной группы.-Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1977,т.71, с.42-46.

7. Боревич З.И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвек-циями. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1978, т.75, с.22-31.

8. Боревич З.И. О расположении подгрупп. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1979, т.94, с.5-12.

9. Боревич З.И.,Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1978, т.75, с.32-34.

10. Боревич З.И.,Вавилов Н.А. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц. Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1978, т.148, с.43-57.

11. Боревич 3.И.,Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом. ХУ1 Всесоюзная алгебр, конф. Тезисы, Л., 1981, с.23-24.

12. Боревич 3.И.,Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом. Докл.АН СССР,. 1982, т.267, № 4, с.24-42.

13. Боревич 3.И.,Вавилов Н.А. Об определителях в сетевых подгруппах. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1982, т.114, с.37-49.

14. Боревич 3.И.,Вавилов Н.А. О сетевом определителе над локальным кольцом Безу. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1982, т.116, с.5-13.

15. Боревич 3.И.,Вавилов Н.А. Расположение подгрупп, содержащих группу клеточно диагональных матриц, в полной линейной группе над кольцом. Изв.высш.учеб.заведений,Математика, 1982, Ml(246), C.IK5.

16. Боревич 3.И.,Вавилов Н.А. Об определении сетевой подгруппы.-Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1983,т.132, с.26-33.

17. Боревич 3.И.,Вавилов Н.А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом. Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1984, т.165, с.24-42.

18. Боревич 3.И.,Вавилов Н.А.,Наркевич В. О подгруппах полной линейной группы над дедекиндовым кольцом. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1979, т.94, с.13-20.

19. Боревич З.И.,Дыбкова Е.В. Об индексе сетевых подгрупп в полной и специальной линейных группах над дедекиндовым кольцом. Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1978, т.148, с.58-64.

20. Боревич З.И.,Дыбкова Е.В.,Колотилина Л.Ю. О сопряженностисетевых подгрупп в линейных группах. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1979, т.86, с.11-16.

21. Боревич З.И.,Койбаев В.А. Подгруппы полной линейной группы над полем из пяти элементов. Алгебра и теория чисел, Орджоникидзе, Северо-осетинский ун-т, 1978, с.9-37.

22. Боревич З.И.,Колотилина Л.Ю. О субнормализаторе сетевых подгрупп в полной линейной группе над кольцом. Зап.науч. семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1982, т.Ц6,с.14-19.

23. Боревич З.И.,Толасов Б.А. О сетевых нормальных делителях полной линейной группы. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд. Мат.ин-та АН СССР, 1976, т.64, с.49-54.

24. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М., Мир, 1971. 707с.

25. Вавилов Н.А. О параболических конгруэнцподгруппах в линейных группах. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1976, т.64, с.55-63.

26. Вавилов Н.А. Параболические подгруппы полной линейной группы над дедекиндовым кольцом арифметического типа. Зап. науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1977, т.71, с.66-79.

27. Вавилов Н.А. Подгруппы полной линейной группы над кольцом, содержащие группу клеточно-треугольных матриц . Вестн. Ленингр.ун-та, 1977, № 19, с.139-140.

28. Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над кольцом, содержащих группу клеточно треугольных матриц. Алгебра и теория чисел, Межвуз.сб., вып.З, Орджоникидзе, 1978, с.33-43.

29. Вавилов Н.А. Об описании подгрупп полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц.-Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР,1979, т.86, с.30-33.

30. Вавилов Н.А. О сопряженности подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. Заседания Моск. мат.об-ва, окт.1978- апр.1979. Успехи мат.наук, 1979, т.34, № 5, с.216-217.

31. Вавилов Н.А. О подгруппах линейных групп. Вестн.МГУ, 1979, № 6, с.

32. Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц. -Вестн.ЛГУ, 1981, № j, с.Ю-15.

33. Вавилов Н.А. О подгруппах классических групп. Вестн. Моск.ун-та, 198I, № 6, с.107.

34. Вавилов Н.А. Подгруппы полной линейной группы над кольцом, содержащие группу клеточно-треугольных матриц.П. Вестн. ЛГУ, 1982, № 13, с.5-9.

35. Вавилов Н.А. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу клеточно-диагональных матриц. Вестн.ЛГУ, 1983, № I, с.16-21.

36. Вавилов Н.А. О группе SL над дедекиндовым кольцом арифметического типа. Beстн.Ленингр.ун-та, 1983, Аг° 7,• с- 5-ю.

37. Вольвачев Р.Т.,Супруненко Д.А. Линейные группы. Итоги науки, ВИНИТИ. Сер.Алгебра.Топол.Геометрия.М.,1967.с.45-61.

38. Голубчик И.З. О подгруппах полной линейной группынад ассоциативным кольцом R . Успехи мат.наук, 1984, т.39, № I, с.125-126.

39. Голубчик И.3.,Михалев А.В. Об изоморфизме полных линейных групп. У Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск, 1982, с.40.

40. Голубчик И.З.,Михалев А.В. Изоморфизмы унитарных групп надассоциативными кольцами. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд. Матин-та АН СССР, 1983, т.132, с.97-109.

41. Голубчик И.3.,Михалев А.В. Изоморфизмы полной линейной трупы пы над ассоциативным кольцом. Вестн.Моск.ун-та,Мат.,мех., 1983, № 3, с.61-72.

42. Голубчик И.3.,Михалев А.В. Автоморфизмы линейных групп надPI-кольцами. ХУЛ Всесоюзная алгебр.конф.Тезисы,ч.1, Минск, 1983, с.49-50.

43. Дроботенко B.C.,Дроботенко Э.С.,Погориляк Е.Я. Автоморфизмы линейных групп над коммутативными кольцами с условием минимальности. Успехи мат.наук, 1973, т.28, № 6, с.205-206.

44. Дроботенко B.C.,Погориляк Е.Я. Автоморфизмы линейной группы над некоммутативным полулокальным кольцом. Успехи мат. наук, 1977, т.32, №3, с.157-158.

45. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М., Мир, 1974. 204с.

46. Жилинская 3.П.,Росса А.Р. Автоморфизмы двумерной специальной линейной группы над кольцом классов вычетов по wod . -Материалы ХХХШ итог.науч.конф.проф.-преп.состава Ужгород, ун-та.Секц.мат.н.,Ужгород,1981,с.I9I-2II (Деп.в ВИНИТИ,2086-81 Деп.)

47. Жилинская 3.П.,Росса А.Р. Автоморфизмы двумерной специальной линейной группы над коммутативным локальным кольцом. Материалы ХХХУ итог.науч.конф.проф.-преп.состава Ужгород.ун-та, Секц.мат.н., Ужгород, 1982, с.227-239 (Деп.в ВИНИТИ, М640-82 Деп.)

48. Залесский А.Е. Линейные группы. Итоги науки. ВИНИТИ. Сер. Алгебра.Топол.Геометрия. М., 1983, т.21, с.135-182.

49. Изоморфизмы классических групп над целостными кольцами (сб. перев.с англ.). М., Мир, 1980. 272с.

50. Койбаев В.А. Примеры немономиальных линейных групп без трансвекции. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1977, т.71, с.153-154.

51. Койбаев В.А. 0 подгруппах полной линейной группы над полемиз четырех элементов. ХУ Всесоюзная алгебр.конф. Тез.докл., ч.1» Красноярск, 1979, с.75.

52. Койбаев В.А. Подгруппы полной линейной группы над полем из четырех элементов. Алгебра и теория чисел. Нальчик, 1979, № 4, с.21-31.

53. Койбаев В.А. Описание 9) -полных подгрупп в полной линейной группе над полем из трех элементов. Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1980, т.103, с.76-78.

54. Койбаев В.А. Подгруппы полной линейной группы над полем из трех элементов. ХУ1 Всесоюзная алгебр.конф. Тезисы, чЛ, Л., 198I, с.73-74.

55. Койбаев В.А. Подгруппы полной линейной группы над полем из трех элементов. Структурные свойства алгебраических систем. Нальчик, Кабардино-Балкарский ун-т, 198I, с.56-68.

56. Койбаев В.А. 0 подгруппах полной линейной группы, содержащих

57. Носков Г.А. Автоморфизмы группы GLn(o) при dim м а х(о) » 2 п-2 . Мат.заметки, 1975, т.17, № 2, с.285-291.69. 0*Мира 0. Лекции о симплектических группах. М., Мир,1979, 166с.

58. Пащевский А.А. Автоморфизмы сетевых групп над локальным кольцом. ХУ1 Всесоюзная алгебр.конф.Тезисы, ч.1, Л.,1981, с.124-125.

59. Пащевский А.А. Автоморфизмы ©-сетевых подгрупп над полулокальным кольцом. В кн.: Структурные свойства алгебраических систем. Нальчик, Кабардино-Балкарский ун-т, I98l,c.9I-96.

60. Пащевский А.А. Автоморфизмы сетевых групп над полем. В кн.: Структурные свойства групп. Орджоникидзе, 1982, с.37-47.

61. Пащевский А.А. Автоморфизмы сетевых групп над связным кольцом. ХУЛ Всесоюзная алгебр.конф., Тезисы, ч.2, Минск,1983, с.145-146.

62. Пащевский А.А. Изоморфизмы сетевых групп над связным кольцом.-В кн.: Кольца и матричные группы. Орджоникидзе, СОГУ, с. 97-107.

63. Пащевский А.А. Изоморфизмы сетевых групп над коммутативным кольцом. IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы, М., 1984, с.226-227.

64. Петечук В.М. Автоморфизмы групп SLn , GLn над некоторыми локальными кольцами. Мат.заметки, 1980, т.28, № 2, с.187-204.

65. Петечук В.М. Автоморфизмы групп SL(M GL(K) МГУ, М.,3 * 31980, 21с. СДеп. в ВИНИТИ, № 2225-80 Деп.)

66. Койбаев В.А. О подгруппах полной линейной группы, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц. Вестн. ЛГУ, 1982, № 13, с.33-40.

67. Койбаев В.А. Подгруппы полной линейной группы над конечным полем, содержащие группу элементарных клеточно-диагональных матриц. Структурные свойства групп. Орджоникидзе, 1982, с.6-16.

68. Ло-кен Хуа. Автоморфизмы действительной симплектической группы. ДАН СССР, 1946, т.53, № 4, е.307-310.

69. Марков В.Т.,Михалев А.В. .Скорняков Л.А. ^уганбаев А.А. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей. Итоги науки. ВИНИТИ. Сер.Алгебра.Топол.Геометрия.М., 1983, т.21, с.183-254.

70. Мерзляков Ю.И. Линейные группы. Итоги науки. ВИНИТИ. Сер. Алгеьра.Топол.Геометрия. М., 1971, с.75-110.

71. Мерзляков Ю.И. Автоморфизмы двумерных конгруэнцгрупп. -Алгебра и логика, 1973, т.12, № 4, е.468-477.

72. Мерзляков Ю.И. Дополнение редактора. Обзор новейших результатов об автоморфизмах классических групп. В сб. "Автоморфизмы классических групп". М., Мир, 1976, с.250-259.

73. Мерзляков Ю.И. Линейные группы. ~ Итоги науки. ВИНИТИ. Сер. Алгебра.Топол.Геометрия. М., 1978, т.16, с.35-89.

74. Мерзляков Ю.И. Теория изоморфизмов классических групп в 1976-1980 годах. Дополнение I. В сб."Изоморфизмы классических групп над целости.кольцами". М., Мир, 1980, с.252-258.

75. Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами. Мат.сб., 1982, т.117, №4, с.534-547.

76. Петечук В.М. Автоморфизмы групп 5 Ьа ( к) , G L' (К ) Матзаметки, 1982, т.31, № 5, с.657-668.

77. Петечук В.М. Изоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами. Пятый Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Новосибирск, Ин-т мат.СО АН СССР, 1982,с.101.

78. Платонов В.П.,Рапинчук А.С. Алгебраические группы. Итоги науки. ВИНИТИ. Сер.Алгебра.Топол.Геометрия.М.,1983,т.21, с.80-134.

79. Погориляк Е.Я. Автоморфизмы группы матриц второго порядка над коммутативным локальным кольцом. Мат.сб.,Киев, 1976, с.76-80.

80. Ролофф X. Нижние центральные ряды и ряды коммутантов сетевых подгрупп полной линейной группы. Зап.науч.семинаров Ленингр, отд.Мат.ин-та АН СССР, 1982, т.114, с.180-186.

81. Сосновский Ю.В. К общей теории изоморфизмов линейных групп.-В сб."Изоморфизмы классических групп над целостными кольцами". М., Мир, 1980, с.259-268.

82. Суслин А.А. 0 структуре специальной линейной группы над кольцами многочленов. Изв.АН СССР. Сер.мат., 1977, т.41, № 2, с.235-252.

83. Bachmuth S., Moch.izu.ki H.Y. Automorphism groups and subgroups of SL^ over division rings.- Commun, Algebra, 1979, v. 7, p. 1531-1558.

84. Borel A., Tits J. On "abstract" homomorphisms of simple algebraic groups.- Proc. Bombay Colloquium on Algebraic Geometry, 1968, p. 75-82.

85. Callan D. The isomorphisms of unitary groups over noncommutative domains.- J. Algebra, 1978, v. 51, N2, p. 475-503.

86. Colin P.M. On the structure of the О Lz of a ring.- Pubis, math. IHES, 1966, N 30, p. 5-53.

87. Cohn P.M. Automorphisms of two-dimensional linear groups over Euclidean domains.- J. Lond. Math. Soc., 1969, v. I, N 2, p. 279-292.

88. Dull M.H. Automorphisms of PSL^ over domains with few units.- J. Algebra, 1973, v. 27, N2, p. 372-379.

89. Dull M.H. Automorphisms of the two-dimensional linear groupsover integral domains.- Amer. J. Math., 1974, v. 96, N I, p. 1-40.

90. Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups.-Mem. Amer. Math. Soc., 1951, 112, p. 279-292.

91. Dieudonne J. La geometrie des groupes classiques,- Berlin -- Hottingen Heidelberg, 1955.

92. Hahn A.J. On the homomorphisms of the integral linear groups.-Math. Ann., 1972, v. 197, H 3, p. 234-250.

93. Hahn A.J. The isomorphisms of certain subgroups of reflexive spaces.- J. Algebra, 1973, v. 27, IT 2, p. 205-242.

94. Hahn A.J. Isomorphisms of the integral classical groups and their congruence subgroups.- Amer. J. Math., 1975, v. 19,N 4, p. 865-887.

95. Hahn A.J. On the isomorphisms of the projective ortogonal groups and their congruence subgroups.- J. reine angew. Math., 1975, v. 273, p. 1-22.

96. Hahn A.J. Isomorphisms theoru for orthogonal groups over arbitrary integral domains.- J. Algebra, 1978, v. 51, N I, p. 233-287.

97. Hua L.K. On the automorphisms of the symplectic group over any field.- Ann. Math., 1948, v. 49, N 4, p. 739-759.

98. Hua L.K. Supplement to the paper of Dieudonne on the automorphisms of classical groups.- Mem. Amer. Math. Soc., 1951, N 2, p. 96-122.

99. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the unimodular group.-Trans. Amer. Math. Soc., 1951, v. 71, p. 331-348.

100. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the projective unimodular group.- Trans. Amer. Math. Soc., v. 72, Ж 3, p. 467-473.

101. Hua L.K., Wan C.H. On the automorphisms and isomorphisms of linear groups.- J. Chinese Math. Soc., 1953, v. 2, p. 1-32.

102. James D.G. Unitary- groups over local rings.- J.Algebra, 1978,v. 52, H 2, p. 354-363.

103. James D.G. Homomorphisms of unitaru groups.- Math. Z., 1981, v. 178, N 3, p. 343-352.

104. James D.G-., Weisfeiler Б. On the geometry of unitary groups.-J. Algebra, 1980, v. 63, N 2, p. 514-540.

105. Johnson A.A. The automorphisms of unitary groups over a field of characteristic 2.- Amer. J. Math., 1971, v. 93, N 2, p. 367-384.

106. Johnson A,A. The automorphisms of the orthogonal groupsn ( V) , n >, 5 J. reine und angew. Math., 1978, N 298, p. 112-155.

107. Landin J., Reiner I. Automorphisms of the general linear group over a principal ideal domain.- Ann. Math., 1957, v.65, Ю, p. 519-526.

108. McDonald B,R. Automorphisms of G-L^R)- Trans, Amer. Math. Soc,, 1976, v. 215, p. 145-159.

109. Mcdonald B.R. Geometric algebra over local rings,- Pure and Appl. Math., IT 36, Marcel Dekker, New York Basel, 1976, 421 pp.

110. McDonald B.R. Automorphisms of GLh(fO Trans, Amer. Math. Soc., 1978, v. 246, p. I55-I7I.

111. McDonald B.R. Ли-t (GL (R)) for rings.- Commun. Algebra,1981, v. 9, N 2, p. 205-220.

112. O'Meara O.I. Group theoretic characterization of trans-vections using CDC.- Math. Z., 1969, v. 110, И 5, p. 385-394.

113. O'Meara O.T. The integral classical groups and their automorphisms.- Number Theory Institute, Proc# Sympos. Pure Math., 1971, v. 20, p. 76-35.

114. O'Meara O.T. Lectures on linear groups.- Providence, Rhode Island, 1974.

115. O'Meara Off. A general isomorphism theory for linear groups.-J. Algebra, 1977, v. 44, IT I, p. 93-142.

116. O'Meara O.T. Symplectic groups.- Providence, R.I., Amer. Math. Soc., 1978, XII, 122 pp.

117. O'Meara O.T., Zassenhaus Ш. The automorphisms of the linear congruence groups over Dedekind domains.- J. Number Theory,1969, v. I, N 2, p. 2X1-22I.

118. Pomfret J., McDonald B.R. Automorphisms of G L С R) , R a local ring.- Trans. Amer. Math. Soc., 1972, v. 173, p. 379-388.

119. Reinrr I. Automorphisms of the symplectic modular group.-Trans. Amer. Math. Soc., 1955, v. 80, p. 35-50.

120. Reiner I. A new type of automorphisms of the general linear group over a ring.- Ann. Math., 1957, v. 66, N3, p. 461-466.

121. Rickart С.Б. Isomorphic groups of linear transformations.-Amer. J. Math., 1950, v. 72, p. 451-464.

122. Rickart G.E. Isomorphism groups of linear transformations, II.- Amer. J. Math., 1951, v. 73, N3, p. 697-716.

123. Schreier 0., van der Waerden B.L. Die automorphismen der projektiven gruppen.- Abh. Math. Sera. Univ. Hamburg, 1928, Bd.6, p. 303-322.

124. Solazzi R.E. Isomorphism theory of congruence groups.- Bull. Amer. Hath. Soc., 1971» v. 77, N I, p. 164-163.

125. Solazzi R.E. On the isomorphisms between certain congruence groups.- Froc. Amer. Math. Soc., 1972, v. 35, N 2, p. 405410.

126. Solazzi R.E. The automorphisms of certain subgroups ofPGL^IV) Illinois J. Hath., 1972, v. 16, IT 2,p. 330-348.

127. Solazzi R.E. On the isomorphisms between certain congruence groups,II.- Canad. J. Math., 1973, v. 25, N 5, p. I006-I0I4.

128. Spiegel E. On the automorphisms of unitary group over a field of characteristic 2.- Amer. J. Math., 1967, v. 89, If I, p. 43-50.

129. Wan C.H. On the automorphisms of linear groups over a noncom-mutative Euclidean ring of characteristic ^ 2.- Sci. Record, 1957, v. I, N I, p. 5-8.

130. Wan Z.X. On the automorphisms of linear groups over a non-commutative principal ideal domain of characteristic j* 2.-Sci. Sinica, 1958, v. 7, И 9, p. 885-933.

131. Wan Z.X., Wang Y.X. On the automorphisms of symplectic groups over a field of characteristic 2.- Sci. Sinica, 1963, v. 12, p. 289-315.

132. Waterhouse W.C. Automorphisms of GL^CR) Proc. Amer. Math. Soc., 1980, v. 79, N3, p. 347-351.

133. Wonenburger M.J. The automorphisms of the group of rotationsand its projective group corresponding to quadratic forms of any index.- Canad. J. Math., 1963, v. 15, Ж 2, p. 302-303.

134. Wonenburger M.J. The automorphisms of andRev/. Math. Hisp. Amer., 1964, v. 24, H 1-2, p. 52-65.

135. Xu C.H. On the automorphisms of orthogonal groups over perfect fields of characteristic 2.- Chinese Math., 1966, v. 8, Ж 4, p. 475-523.

136. Yien S.O. A system of relations of unimodular matrices and automorphisms of unimodular group.- Sci. Record, 1957» v.I, N I, p. 13-17.

137. Yien S.C. Linear groups over a commutative integral domain.-Sci. Record, 1957, v. I, If 5, p. 297-300.

138. Yan S.J. Linear groups over a ring.- Chinese Math., 1965, v. 7, N 2, p. 163-179.

139. Zassenhaus H. Characterization of unipotent matrices.- J.Number Theory, 1969, v. I, И 2, p. 222-230.