Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Оганесян, Хачатур Вачаганович

• Оганесян, Хачатур Вачаганович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Оганесян, Хачатур Вачаганович

Введение

Стратифицированные среды стали предметом интенсивных исследований, начиная с конца девятнадцатого века. Это связано с тем, что естественными природнымитифицированными средами являются мировой океан и земная атмосфера. Развитие техники сделало возможным проникновение человека в глубины мирового океана и в высокие слои атмосферы, что, в свою очередь, диктовалось многими практическими потребностями, в частности необходимостью расчета волнового сопротивления подводных аппаратов, прогнозов погоды, изучения механизмов образования циклонов и т.д. Особенностьютифицированных сред в поле силы тяжести и сил Кориолиса являются колебания плавучести (внутренние волны), возникающие под воздействием силы тяжести, сил Архимеда и силы Кориолиса. Хотя физическая природа этих колебаний весьма простая, точное математическое исследование возникающих граничных и смешанных задач для соответствующей системы уравнений является делом чрезвычайно трудным. Поэтому в многочисленных научных работах интенсивно развивались разнообразные приближенные и численные методы решения таких задач.

Исторически начало исследованию феномена внутренних волн было положено в работах классиков конца девятнадцатого века: Гельмгольца, Рэ-лея, Стокса, Буссинеска [5, 10,13]. На основании этих работ было объяснено явление мертвой зыби в норвежских фиордах, когда суда при входе в фиорд резко теряли скорость при неизменной мощности двигателя. Как оказалось, причина заключалась в том, что мощность двигателя частично тратилась на возбуждение внутренних волн на границе раздела слоя пресной воды, принесенной рекой, впадающей в фиорд, и слоя соленой морской воды. В работах классиков использовалось линейное приближение для динамических уравнений. Точное исследование удается провести только для весьма ограниченного и не самого интересного с практической точки зрения класса задач. В классической работе Н. Е. Кочина [3] была исследована в точной математической постановке плоская нелинейная задача о периодических волнах установившегося типа малой амплитуды на границе раздела двух слоев различной плотности. Для случая непрерывного распределения плотности по высоте соответствующая теорема существования периодических внутренних волн была доказана в работе Дюбрей-Жакотен [16]. Доказательство существования решений типа солитонов и кноидальных волн (длинных волн, вырождающихся в уединенную волну при длине волны, стремящейся к бесконечности) в произвольно стратифицированной жидкости дано в работе [19]. Глобальные теоремы существования, доказательства которых опираются на сложные математические теории, доказаны Л. В. Овсянниковым и его учениками [15].

Поскольку решение задач о внутренних волнах в точной постановке для представляющих практический интерес проблем при современном состоянии науки представляется нереальным, то огромное количество работ было посвящено исследованию решений задач в линеаризированной постановке. Простейшее линейное уравнение внутренних волн в форме Буссинеска имеет вид д2 (д2и д2и д2иЛ дх2 ду2 дг' д2и д2и\ дх2 ду' где n - частота Брента-Вяйсяля. Родственное уравнение д2и д2и д2и\ „о д2и дх2 ду2 дг' описывающее малые колебания однородной вращающейся жидкости, подробно исследовалось в работах С. Л. Соболева [10] и его многочисленных последователей. Некоторые исторические сведения и подробную библиографию можно найти в книге [1]. В этой же книге изложены в строгой математической постановке результаты этих авторов по исследованию задачи Коши и некоторых смешанных задач для уравнения (1) и уравнения (2).

Если в системе координат, движущейся с постоянной скоростью С в направлении оси х, движение представляется независящим от времени, то в подвижной системе координат уравнение (1) принимает вид д2 (д2и д2и д дх1 ду1 дг' дх2 ду'

Большое количество работ посвящено исследованию фундаментального решения уравнения (1). Задачи о внутренних волнах от неподвижных или движущихся источников массы или диполей представляют значительный интерес, поскольку в однородной жидкости движущееся твердое тело иногда удается заменить системой источников и диполей. При слабой стратификации подобной же системой особенностей можно заменять движущееся тело и в неоднородной жидкости. Решение задач о внутренних волнах от движущихся и неподвижных источников и диполей просто выражаются через фундаментальное решение уравнения (1) или уравнения (3). Основные трудности связаны с изучением различных асимптотик фундаментального решения при больших временах или на больших расстояниях от источника. Такие задачи решались в работах Лонга (Long R.R), Лайтхилла (Lighthill M J.), Майлса (Miles J.W.), Яновича (Yanovich M.), Ю (Yiu C.-S), Гудимака (Hudimac A.A.), Келлера (Keller J.B.), Манка (Münk W.H.), Вуазена (Voisin В.), Дородницына A.A. Боровикова В.А., Черкесова Л.В., Санникова В.Ф., Букатова А.Е., Владимирова Ю.В., Городцова В.А., Теодоровича Э.В., Доценко С.Ф., Каменко-вича В.М., Чашечкина Ю.Д., Миропольского Ю.З., Нестерова С.А., Стуро-вой, И.В.,Степанянца Ю.В., Тер-Крикорова A.M., Бежанова К.А., Онуфриева A.A., Яковлева Г.Н., и многих других авторов. Подробную библиографию можно найти в работе Вуазена [20].

Начало исследованию сравнительно нового класса задач было положено в работах [9] , [12]. Известно, что в консервативном поле сил в идеальной несжимаемой жидкости или в идеальном газе сохраняется так называемый «потенциальный вихрь», являющийся проекцией вектора вихря скорости на нормаль к поверхности постоянной плотности (для несжимаемой жидкости) или постоянной энтропии (для идеального газа). При малой стратификации в однородном поле сил тяжести эта проекция мало отличается от проекции вихря на вертикальное направление. Если оставаться в рамках классической линейной теории внутренних волн, когда в уравнениях отбрасываются все инерционные члены, то уравнение вертикальных колебаний может быть изучено отдельно от уравнений движения для горизонтальных компонент вектора скорости. Если в начальный момент вертикальные возмущения были равны нулю, то они в дальнейшем и не будут возбуждаться. В работах [9] , [12] было сделано предположение, что в потенциальном вихре квадраты окружных скоростей имеют тот же порядок, что и первые степени вертикальных скоростей. Это позволило свести задачу к решению неоднородного уравнения внутренних волн с правой частью, зависящей от интенсивности потенциального вихря. Изучались внутренние волны от неподвижных и подвижных потенциальных вихрей. В настоящей работе продолжается это направление исследований.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе»

скими вихрями. Прежде всего нужно отметить работу Эртеля (Ertel Н.) [17], результаты которой изложены в известном курсе гидродинамики [4]. Из теоремы Гельмгольца следует, что в однородной идеальной жидкости в потенциальном силовом поле в жидкой частице сохраняется вектор вихря. Из результатов Эртеля следует, что при отсутствии в неоднородной идеальной жидкости источников и стоков в жидкой частице сохраняется проекция вектора вихря на нормаль к поверхности постоянной плотности(для несжимаемой жидкости) или на нормаль к поверхности постоянной энтропии (для идеального газа). Эта проекция впоследствии была названа потенциальным вихрем. В случае жидкости, стратифицированной по вертикали, и для достаточно малых возмущений потенциальный вихрь с точностью до малых высших порядков совпадает с вертикальной проекцией вектора вихря скорости. Слабые нелинейные взаимодействия потенциальных вихрей и внутренних волн исследовались в работе [18]. Там же содержится и библиография работ по данному вопросу. Новый подход к проблеме внутренних волн, возникающих от потенциальных вихрей, был разработан в работе [9].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в приложении идей работ [9],[12]. для исследования осе симметричных установившихся состояний идеального газа и изу- \/ чения проблем устойчивости некоторых из этих состояний в линейной и нелинейной постановке.

В главе 1 рассматривается стратифицированный идеальный газ, заполняющий в поле силы тяжести все трехмерной пространство. Изучается такой класс осе симметрических движений, когда все частицы, находящиеся на од- л/ ной вертикальной прямой колеблются одинаковым образом. На оси симметрии располагается вихревая нить и распределены источники массы. Выводится уравнение для установившегося движения. Если нет источников массы, то решение этого уравнения находится просто. Если на оси распределены еще и источники, то решение находится в виде ряда по степеням малого параметра (в качестве малого параметра принимается величина обратная квадрату расстояния частица от оси симметрии). Показано, что отклонение ско- V рости звука от ее значения в положении равновесия стремится к нулю при

Г —> оо как Г 6. Для достаточно медленных движений выводится линейное нестационарное уравнение для возмущений стационарного решения.

В главе 2 исследуется устойчивость простого стационарного решения (на оси симметрии имеется вихревая нить и нет источников массы). Находится точное нелинейное уравнение для возмущений. Это уравнение линеаризуется в окрестности стационарного решения. Для исследования устойчивости стационарного решения строится фундаментальное решение полученного линейного уравнения. Исследование фундаментального решения показывает, что сначала развиваются гармонические колебания, но с течением времени амплитуда этих колебаний медленно (в смысле малого параметра) стремится 5 к бесконечности, что свидетельствует о медленно развивающейся неустойчивости стационарного решения. Предпринято также исследование для нахождения приближенного решения нелинейного уравнения возмущений. Оно также оказывается неограниченным.

В главе 3 для осе симметрического случая при отсутствии на оси симметрии вихрей и источников исследуется задача Коши-Пуассона о волнах от начальных возмущений. Предполагается, что частицы, лежащие на вертикальных прямых, возмущаются одинаково. Для описания колебаний этих вертикальных прямых получено обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение. Его точное решение находится традиционным методом малого параметра. Исследуются фазовые траектории.

В главе 4 выводится нелинейное уравнение в частных производных четвертого порядка, описывающее осе симметричные движения идеального газа в том случае, когда на оси симметрии распределены вихри и источники. Изучаются стационарные движения. Эти стационарные решения являются решениями нелинейного уравнения второго порядка в частных производных. В линейном приближении это уравнение оказывается неоднородным уравнением Кулона (частного вида). Решение неоднородного уравнения находится просто за счет специальной структуры правой части. Исследуются его особенности и асимптотическое поведение на больших расстояниях от оси симметрии. Методами теории уравнений Кулона исследуется регулярное и иррегулярное решения однородного уравнения, их особенности и асимптотическое поведение.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в работах [6]-[8]. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Оганесян, Хачатур Вачаганович

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Выведены уравнения осесимметрических движений идеального стратифицированного газа в поле силы тяжести в неограниченном пространстве. На оси симметрии могут быть распределены вихри, источники и стоки. В том случае, когда стратификация равномерна и на оси симметрии нет источников и стоков, методами малого параметра найдены стационарные решения, не зависящие от вертикальной координаты. Выведены линейные уравнения в частных производных для малых возмущений стационарных решений.

2. В линейном приближении исследована устойчивость полученного стационарного решения. Для исследования устойчивости построено фундаментальное решение для линейного уравнения возмущений. Исследованы свойства фундаментального решения. Из этого исследования получен вывод о неустойчивости стационарного решения. Исследован характер этой медленно развивающейся неустойчивости.

3. Построено приближенное решение для нелинейного уравнения возмущений. Показано, что учет нелинейности не меняет характера неустойчивости стационарного решения.

4. Для того случая, когда на оси симметрии нет особенностей и начальные возмущения не зависят от вертикальной координаты, построено решение задачи Коши-Пуассона.

5. Для того случая, когда на оси симметрии имеются вихри и источники, задача о колебаниях плавучести в идеальном газе сведена к решению нелинейного уравнения в частных производных четвертого порядка, содержащего только вторые производные по времени. В линейном приближении нахождение стационарных решений сводится к исследованию известного уравнения Кулона. Найдено асимптотическое поведение решения при приближении к оси симметрии и на больших расстояниях от оси симметрии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Оганесян, Хачатур Вачаганович, 2000 год

1. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн.//М.Наука. - 1990. -342с.

2. Гордейчик Б.Н., Тер-Крикоров A.M. О равномерных аппроксимациях фундаментального решения уравнения внутренних волн//Прикладная математика и механика. 1996. - Т.60. - Вып.З. - С.443-450.

3. Кочин Н.Е. Пространственная задача о волнах на поверхности раздела двух масс жидкостей разной плотности//Труды Главной Геофизической Обсерватории. 1938. - Вып.28. - С.3-30.

4. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., РозеН.В. Теоретическая гидромеханика.- Т.1-М. -ГИТТЛ. -1955. -560 с. Т.2-М-Л.-ГИТТЛ. -1948. 612с.

5. Ламб Г. Гидродинамика. М-Л. - ГИТТЛ. - 1947. - 928 с.

6. Оганесян Х.В., Тер-Крикоров A.M. Неустойчивость стационарных течений, генерируемых вихревой нитью в стратифицированном газе. // Прикладная математика и механика. 1999. - Т. 63. - Вып.З. С. 467-469.

7. Оганесян Х.В., Тер-Крикоров A.M. Нелинейная неустойчивость стационарных течений, генерируемых вихревой нитью в стратифицированном газе. Прикладная математика и механика - 2000. - Т. 64. - Вып. 2. С. 349-351.

8. Оганесян Х.В. Некоторые классы стационарных осесимметрических движений стратифицированного идеального газа ( принято к печати).

9. Секоян А.Х., Тер-Крикоров A.M. Внутренние волны от потенциальных вихрей//Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1998. - №1. -С.118-123.

10. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики//Изв. АН СССР.- Сер.мат. 1954. - Т.18. -№1. - С.3-50.

11. Сретенский Л. Н., Теория волновых движений жидкости // М. -Наука. -1977.-830 с.

12. Тер-Крикоров A.M. Вихри и внутренние волны в стратифицированной жидкости//Прикладная математика и механика. 1995. - Т.59. - Вып.4 -С. 599-606.

13. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. - Мир. - 1977. - 622 с. (перевод с английского).

14. Ы.Федорюк М.В. Метод перевала. М. - Наука. - 1977. -386 с.

15. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. -Новосибирск. -Наука. Сибирское отделение. - 1985. - 318 с.

16. Ter-Krikorov A.M. Theorie exacte des ondes longues stationnaires dans une liquide heterogens. // J. De Mecanique. 1963. - V.2. - №3. - P. 351 - 376.

17. Voisin B. Internal wave generstion in uniformly stratified fluids // Pt. 1. -Green function and point sources. J. Fluid Mech. -1991. - V. 231. - P. 439480.