Исследование и разработка методов моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций в системах автоматизации проектирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.12, кандидат технических наук Якивчук, Елена Евгеньевна

• Якивчук, Елена Евгеньевна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Якивчук, Елена Евгеньевна

Введение

Глава 1. Обзор методов моделирования, используемых в системах прочностных расчетов, интегрированных в САПР.

1.1. Постановка задачи математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций.

1.2. Метод конечных разностей и пути повышения точности решения по определению напряженно-деформированного состояния конструкций

Глава 2. Математическое обеспечение для решения краевых задач по определению напряженно-деформированного состояния статических систем.

Введение. Единый подход к основным задачам численного анализа.

2.1 Обращение матрицы Вандермонда.

2.1.1. Постановка задачи нахождения обратной матрицы.

2.1.2. Определитель матрицы Вандермонда.

2.1.3. Миноры матрицы Вандермонда.

2.1.4. Обращение матрицы Вандермонда.

2.1.5. Обращение матрицы Вандермонда с нулевым элементом.

2.2. Формулы численного дифференцирования.

2.2.1. Подходы к выводу формул численного дифференцирования

2.2.2. Общая формула аппроксимации производной п-порядка.

2.2.3. Погрешность формул численного дифференцирования.

2.3. Задача интерполирования.

2.3.1 Вывод интерполяционного многочлена.

2.3.2 Метод интерполяции Лагранжа.

2.3.3 Дифференцирование интерполяционного многочлена Лагранжа.

2.4. Квадратурные формулы.

2.4.1. Постановка задачи численного интегрирования.

2.4.2. Построение квадратурных формул.

2.5. Выводы

Глава 3. Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов и интерполяционных многочленов.

3.1 Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов для функции одного переменного.

3.2 Процедура, генерирующая коэффициенты интерполяционных многочленов для функции одного переменного.

3.3 Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов для функции п - переменных. Аппроксимация смешанных производных.

3.4 Процедура, генерирующая коэффициенты интерполяционных многочленов для функции п- переменных. Многомерная интерполяция.

3.5. Выводы.

Глава 4. Алгоритмы, программы и примеры численного решения краевых задач по определению напряженно-деформированное состояние системы

4.1. Определение напряженно-деформированного состояния стержневых конструкций.

4.2. Определение напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок.

4.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и разработка методов моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций в системах автоматизации проектирования»

Последние десятилетия характеризуются стремительным развитием вычислительной техники: от ЭВМ "Мир", "Наири" через "Минск-32" и "ЕС-1066", VAX и СМ к ПЭВМ 5-го и 6-го поколений (PC) и рабочим станциям (WS). Одновременно с ростом мощности вычислительной техники совершенствуются и возможности соответствующих программных продуктов (SOFTWARE). В последние годы наиболее эффективно ПЭВМ используются в небольших научных и производственных коллективах и отдельными квалифицированными пользователями. Соответствующую эволюцию претерпели и программные средства (ПС), обеспечивающие проведение основных видов расчетов (прочность, устойчивость, колебания, усталость, долговечность) строительных и машиностроительных конструкций. Не останавливаясь на истории вопроса, отметим состояние дел по развитию программных средств обеспечения прочностных расчетов. В настоящий момент существуют две основные тенденции развития ПС:

• создание специализированных ПС для узкого класса задач, отличающихся легкостью освоения и невысокими требованиями к мощности ПЭВМ;

• разработка универсальных пакетов прикладных программ, позволяющих решать практически любую задачу механики сплошных сред, достаточно сложных в освоении и эксплуатации.

Отметим программные продукты, получившие распространение в мире и России: FESTA - расчеты на прочность, устойчивость, а также проектирование плоских и пространственных судовых конструкций в рамках стержневых моделей, реализующие метод конечных элементов (МКЭ), GIFTS - версия 6.2.8 1988 г, и версия 6.5 1993г. Аризонского университета США. В библиотеку входит более 30 конечных балочных, пластинчатых и объемных элементов. В этом пакете достаточно удобно реализованы контактные задачи и задачи, требующие применения метода суперэлементов,

ANSYS - фирмы ANSYS (г. Хьюстон, США), COSMOS - фирмы SRAC (США), пакеты NASTRAN и ABAQUS для рабочих станций, отечественные пакеты ЗЕНИТ, ИСПА, ЛИРА, SCAD и ряд других.

Использование преимущественно зарубежных универсальных ПС объясняется тесной связью, прежде всего интерфейсов ввода-вывода, с последними возможностями вычислительной техники, новейшими операционными системами и интерфейсами CAD/CAM технологий.

При создании интегрированной в САПР подсистемы прочностных расчетов стоит задача - сделать подсистему более автоматизированной и более доступной для пользователей, не являющихся специалистами в области прикладной механики и вычислительных методов - удовлетворяющей следующим требованиям: наличие полной и ясной документации, дающей возможность пользователю самостоятельно решать мелкие проблемы, возникающие в процессе эксплуатации; простота и наглядность задания исходной геометрии; автоматизированная подготовка исходных данных для расчета объекта, на основе геометрической модели, созданной с помощью геометрического моделирования; программный анализ исходной информации на ее корректность; наличие мер контроля вычислений и средств проверки достоверности результатов; представление результатов в удобном виде; высокая надежность программы для заявленных классов задач.

Важным требованием на этапе разработки такого программного комплекса является его «открытость». С самого начала следует учесть возможности расширения, модификации программных модулей. Для этого должны быть предусмотрены следующие меры: выделены наиболее характерные программные модули, обеспечивающие типичные шаги расчета, и стандартизованы их входные и выходные данные; выработана типовая технология построения и разработки программных процедур в рамках данного комплекса.

Перечисленные требования во многом относятся к области сервиса, которые не преуменьшают важности построения и использования эффективных алгоритмов. Программное обеспечение расчетов на прочность характеризуется высокой сложностью применяемых математических моделей, алгоритмов и численных методов.

В настоящее время математическое моделирование и вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ стали составными частями общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Принципиально важно то, что математическое моделирование позволило объединить формальное и неформальное мышление и естественным образом сочетать способность ЭВМ "во много раз быстрее, точнее и лучше человека делать формальные, арифметические операции, отслеживать логические цепочки с удивительными свойствами человеческого интеллекта -интуицией, способностью к ассоциациям и т.д.", не менее важно и то, что современные средства отображения информации дают возможность вести с ЭВМ диалог - анализировать альтернативы, проверять предположения, экспериментировать с математической моделью [1,2,3].

Построение расчетной модели сложной конструктивной системы состоит из нескольких этапов, каждый из которых вносит свои допущения и погрешности. Основная часть из них зависит от опыта расчетчика и слабо связана с возможностями программного средства. Описание основных этапов построения численного моделирования («в это понятие мы включаем собственно математическое моделирование, сопряженное с численным экспериментом» [3]) осуществимо с помощью излагаемой ниже блок-схемы, предложенной в соответствии с идеями академика А.А. Самарского (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Блок-схема вычислительного эксперимента Здесь введены следующие обозначения:

• ФМ - физическая модель объекта. Она содержит описание основных свойств самого объекта; описание учитываемых граничных условий и внешних нагрузок, допущений о характере деформирования и распределения напряжений в подструктурах, свойств материала и т.п.

• ММ - математическая модель объекта. Для описания физической модели, как правило, используются интегро-дифференциальные уравнения математической физики. С точки зрения описания характера поведения физической модели, ММ приближенно отражает свойства ФМ.

• ЧМ - численная модель физического объекта. ЧМ строится, как правило, из ММ при помощи соответствующих численных алгоритмов. Большинство из них сводят ЧМ к системе линейных алгебраических уравнений.

Отметим, что начальные этапы - построение физической и математической модели - очень важны. Неудачно выбранная физическая модель не позволит перейти к удачной математической модели; некачественная математическая модель не позволит предложить эффективный численный метод, а недостатки в реализации метода не дадут удовлетворительного результата.

В большинстве случаев полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одной и той же ФМ, отличающихся различным уровнем упрощения. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания о физическом объекте. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислительного эксперимента, если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ФМ, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.

Итог анализа на рассматриваемом этапе - это обоснованный выбор рабочей ММ, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении этого этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ФМ, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Следующий этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ и в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, и далее - в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения этих этапов необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики и обладать профессиональной подготовкой в области программирования на ЭВМ.

Получаемые в итоге работы программы результаты вычислений должны, прежде всего, пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ. Тестирование может выявить недочеты, как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке ММ и соответствующей ЧМ. После устранения всех выявленных недочетов триаду "модель - алгоритм -программа" можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование физического объекта [4].

Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ФМ можно использовать типовые ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным.

Современный уровень развития промышленности и строительства сопровождается широким внедрением все более сложных конструкций и сооружений, состоящих из различных типов конструктивных элементов. В большинстве случаев для их расчета невозможно применить точные аналитические методы. С другой стороны, ускорение технического прогресса привело к созданию и интенсивному использованию при решении инженерных задач современных компьютерных технологий, в частности вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения. Все это обусловило дальнейшее развитие и совершенствование используемых численных методов. В настоящее время, как фундаментальные исследования, так и задачи, имеющие практическое приложение, выполняются, как правило, с применением вычислительных средств. Причем ЭВМ не только обеспечивает проведение вычислительных операций, но и берет на себя значительную часть работ по подготовке исходных данных, обработке результатов и представлению их в любом удобном виде. На долю же научного работника или инженера приходятся другие, более интеллектуальные задачи - создание эффективных физических и математических моделей, выбор наиболее подходящего численного метода решения конкретной задачи, квалифицированный анализ полученных результатов.

В общем случае реальная конструкция имеет бесконечно много особенностей геометрии, свойств материала, внешнего воздействия, которые в той или иной мере влияют на ее поведение. На практике при проведении инженерных расчетов учесть все эти особенности, как правило, невозможно. Достоверное решение может быть получено путем замены исходного объекта на некоторую физическую модель, обладающую конечным числом идеализированных особенностей из числа тех, которые присуще данной конструкции. Следующий шаг - построение математической модели объекта, под которой понимается совокупность математических соотношений, описывающих поведение соответствующей физической модели. Замена подобным образом реального объекта математической моделью позволяет сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для ее решения универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта [5].

Заключение диссертации по теме «Системы автоматизации проектирования (по отраслям)», Якивчук, Елена Евгеньевна

4.3. Выводы

Предлагаемый МКРпт, являясь разновидностью метода сеток и приближенным способом решения двумерных краевых задач, дает более точные решения при расчете прямоугольных пластинок, по сравнению с МКР, если использовать одинаковые сетки. Сравнение с методом конечных элементов в программной реализации Scad показывает, что на краю опорного контура, где функция краевого момента быстро меняется, расхождение с эталонными результатами (метод Галеркина) составляет более 30%. Для уменьшения погрешности по МКЭ необходимо более мелкое разбиение области на подобласти или можно использовать более сложный КЭ. И то и другое ведет к усложнению вычислений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для решения задач в САПР по расчету напряженно-деформированного состояния статических систем разработаны:

• автоматизированный подход к решению краевых задач на основе процедуры генерирующей коэффициенты разностных шаблонов

• математическое обеспечение, базирующееся на аналитическом едином подходе вывода коэффициентов разностных шаблонов и интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций. Этот подход осуществлен на основе аналитического обращения матрицы Вандермонда;

• программное обеспечение, включающее:

- генерирующую процедуру, реализующую алгоритм для нахождения коэффициентов центральных и односторонних разностных шаблонов как с регулярной сеткой, так и с произвольной, включая частные и смешанные производные, что позволяет автоматизировать расчеты и расширить область применения программы;

- алгоритм нахождения коэффициентов интерполяционных многочленов на основе единого подхода вывода коэффициентов интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций.

• математическое и программное обеспечение решения краевых задач для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на примере определения напряженно-деформированного состояния элементов статических систем;

- разработан алгоритм модифицированного метода конечных разностей для одномерных задач, позволяющий, в отличии от традиционного МКР, находить точное решение (в пределах рассматриваемой теории) для расчета стержневых систем;

- разработан алгоритм модифицированного метода КР для двумерных задач, имеющий большую точность по сравнению с традиционным МКР, при использовании одинаковых сеток.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Якивчук, Елена Евгеньевна, 2006 год

1. Моисеев Н.Н., Математика ставит эксперимент. -М.: Наука, 1979. -224 с.

2. Белоцерковский О.М., "Численное моделирование в механике сплошных сред", -М.: "Физ.-мат. лит.", 1994.

3. Рациональное численное моделирование в нелинейной механике /Под ред. О.М.Белоцерковского. -М.: Наука, 1990. 123 с.

4. Зарубин В С., Крищенко, А. П., Математическое моделирование в технике. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.- 496 с

5. Кульцеп А. В., Манухин В.А., Фрумен В.А., Автоматизированные системы расчетов прочности, устойчивости и колебаний в строительной механике корабля. СПб.: СПбГМТУ, 2000.- 125 с.

6. Лукашевич А. А., Современные численные методы строительной механики. Хабаровск: Хабаровский государственный технический университет, 2003.- 135 с.

7. Иванов В.Н., Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости: М.: РУДН, Издательство Российского университета дружбы народов, 2001.- 176 с.

8. Ржаницын А.Р., Строительная механика. -М.: Высшая школа, 1986. -400 с.(с. 75 314)

9. Постнов В. А., Суслов В.П.,Строительная механика корабля и теория упругости. Том 1. Теория упругости и численные методы решения задач строительной механики корабля. Л.: Судостроение, 1987.- 288 с.

10. Ю.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. -541с.

11. Сегерлинд Л., Применение метода конечных элементов. М.: Мир. 1979.-392с.

12. Варвак П.М., Варвак П.П., Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977, -160 с.

13. Самарский А.А., Введение в численные методы. -М.:Наука,1987, -272 с.

14. Самарский А.А., Теория разностных схем. -М.:Наука,1983, 616 с.

15. Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений: М.: Наука, 1978. - 592 с.

16. Калиткин Н.Н., Численные методы, М.: Наука, 1978. - 512 с.

17. Бахвалов Н.С., Численные методы. Т. 1.-М.: Наука, 1975.

18. Бахвалов Н. С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. М.: Наука, 1987, -600 с.

19. Марчук Г.И., Шайдуров В.В., Повышение точности решений разностных схем. -М.: Наука, 1979, -320 с.

20. Турчак J1. И., Плотников П.В., Основы численных методов. М.: Физматлит, 2002.- 304 с.

21. Волков Е.А., Численные методы. -М.: Наука, 1987. 248 с.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C., Разностные схемы. -М.: Наука, 1973. -400 с.

23. Хемминг Р.В., Численные методы (для научных работников и инженеров). -М.: Наука, 1972, -400 с.

24. Береговенко Г.Я., Пухов Г.Е.,Саух С.Е., Численные операторные методы решения дифференциальных уравнений и анализа динамических систем. -Киев: Наукова думка, 1993, 264 с.

25. Коллатц JL, Задачи на собственные значения. -М.: Наука, 1968, -503 с.

26. Carl М. Bender, Dorge С. Brody, Bernhard К. Meister, Inverse of Vandermonde Matrix. 2001,http://www.imperial.ac.uk7research/theory/people/brody/DCB/sa6.pdf.

27. Mongkol Dejnakarintra, David Banjerdpongchai, An Algorithm for Computing the Analitical Inverse of the Vandermonde Matrix. Departament of Engineering, Chulalongkorn University, 1999. www.ee.eng.chula.ac.th/~david/papers/vandrev.ps.

28. Голуб Дж., Ван Лоун Ч., Матричные вычисления. -М.: Мир, 1999, -552 с.

29. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений. -М:. Физматлит, 1962.- 464 с.

30. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М. : Наука, 1978, 832 с.

31. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н., Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1960, 656 с.

32. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. -М. : Наука, 1972, 368 с

33. Норенков И.П., Основы автоматизированного проектирования. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.- 336 с

34. Кузьмик П.К., В.Б. Маничев, Системы автоматизированного проектирования. Кн.5. Автоматизация функционального проектирования. -М.: Высшая школа, 1986.

35. Трудонощин В.А., Пивоварова Н.В., Системы автоматизированного проектирования. Кн.4. Математические модели технических объектов. -М.: Высшая школа, 1986.

36. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И., Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. -Минск: Наука и техника, 1983.

37. Смогунов, В. В., Зайцев В.Ю., Компьютерные технологии моделирования: Пенза: Пензенский государственный университет, 2003,- 88 с.

38. Бицадзе А.В., Уравнения математической физики. -М. : Наука, 1982,-336 с.

39. Тихонов А.Н., А.А. Самарский, Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977, 736 с.

40. Марчук Г.И., Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1977, -456 с.

41. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., Численные процессы решения дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1969, -368 с.

42. Панов Д.Ю., Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. -М.: ГИТТЛ, 1950, -184 с.

43. Уилкинсон Дж. X., Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970, -564 с.

44. Интегрированная система прочностного анализа и проектирования конструкций, Structure CAD Office, http://www.scadgroup.com

45. Якивчук Е.Е., Обращение матрицы Вандермонда. // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 8. М.; Издательство Ассоциации строительных вузов, 1999г., с. 67-69.

46. Якивчук Е.Е., Борзых Е.П., Решение задач строительной механики в полиномах. //Вестник Российского университета дружбы народов. Специальный выпуск. М.; Издательство Российского университета дружбы народов, 2002, №1, с.136 (112-116).

47. Ли К., Основы САПР (CAD/CAM/CAE), издательство: Питер, 2004, -560с

48. Трудоношин В.А., Уваров М.Ю., Метод конечных элементов http://www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/mke/rnke.html. кафедра САПР, МГТУ.

49. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П., Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. - 349 с.

50. Ильин В.П., Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений, Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000.,-345 с.

51. Зенкевич О., Морган К., Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986, -342с.

52. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Д. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 190с.

53. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. Пособие для вузов. М.: Высш.шк., 2000. - 266с.

54. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001. - 382 с.

55. Гришин A.M., Якимов А.С. Об одном методе решения трёхмерного эллиптического уравнения общего вида // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6, N 2. - С. 73 -83.

56. Горбовец А.В., Евзеров И.Д., Приближенные схемы для стационарных и нестационарных задач с односторонними ограничениями. //Вычислительные технологии, 2000, т.5, №6, стр.33-35.

57. Лантух-Лященко А.И.,ЛИРА. Программный комплекс для расчета и проектирования контрукций, Учебное пособие К.-М., ФАКТ, 2001, -312с.

58. Дыченко А., Анализ напряженно-деформированного состояния конструкций программными продуктами САПР. "САПР и графика", 2002, №10, http://griola.narod.ru/FEM.htm

59. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А., Численное моделирование процессов тепло- и массообмена., -М.: Наука, 1984, -288 с.

60. Трудоношин В.А., Уваров М.Ю., Метод конечных элементов, http://www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/mke/mke.html, кафедра САПР, МГТУ имени Н.Э.Баумана.

61. Розин Л.А., Метод конечных элементов., // СОЖ, 2000, № 4, с. 120— 127. http://iournal.issep.rssi.ru/articles/pdf/0004 120.pdf

62. Воробьев Н.Н., Теория рядов., -М.: Наука, 1975, -366 с.