Исследование корректности и асимптотических свойств некоторых задач математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Гусев, Николай Анатольевич

• Гусев, Николай Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гусев, Николай Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА 1. Линеаризованные уравнения движения слабо сжимаемой среды

1.1 Линеаризация уравнений движения слабо сжимаемой среды

-1.2 Обобщённая лемма Гронуолла.

1.3 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами.

1.4 Обобщённые решения уравнения переноса.

1.4.1 Постановка задачи Коши. Определение обобщённого решения

1.4.2 Регуляризация уравнения переноса.

1.4.3 Допустимые функции и их свойства.

1.4.4 Перенормировка уравнения переноса.

1.4.5 Аналог энергетического равенства для уравнения переноса

1.4.6 Об уравнении переноса в ограниченной области.

1.4.7 Об уравнении переноса на торе.

1.5 Начально-краевая задача для линеаризованных уравнений движения слабо сжимаемой среды.

1.5.1 Постановка задачи.

1.5.2 Свойства оператора Л.

1.5.3 Определение обобщённого решения.

1.5.4 Существование обобщённого решения.

1.5.5 Единственность обобщённого решения

1.5.6 Дополнительные оценки обобщённых решений.

1.6 Начально-краевая задача для линеаризованных уравнений движения несжимаемой жидкости.

1.7 Динамика слабо сжимаемой среды при стремлении фактора сжимаемости к нулю.

1.7.1 Сходимость поля скорости.

1.7.2 Сходимость поля давления.

1.7.3 Сравнение условий слабой и сильной сходимости.

1.8 О динамике слабо сжимаемой среды на торе.

ГЛАВА 2. Корректность волнового уравнения на не глобально гиперболическом многообразии

2.1 Постановка задачи.

2.2 Скачки на разрезах.

2.3 Классические и обобщённые решения.

2.3.1 Решение уравнения (2.21).

2.3.2 Условия склейки

ГЛАВА 3. Уравнения фильтрации и закон Дарси

3.1 Свойства усреднения по Стеклову.

3.2 Уравнения для микровеличин.

3.3 Замыкание системы для макровеличин.

3.4 Зависимость макровеличин от радиуса шара усреднения.

3.5 Уравнения фильтрации и закон Дарси.

3.5.1 Учёт силы Кориолиса

ГЛАВА 4. Асимптотические свойства градиента решения задачи Неймана для уравнения Лапласа

4.1 Обозначения

4.2 Постановка задачи.

4.3 Дифференциальные свойства решений.

4.4 Доказательства основных теорем.

4.4.1 О дифференциальных свойствах проекторов Лерэ-Гельмгольца

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование корректности и асимптотических свойств некоторых задач математической физики»

Многие математические модели физических явлений включают в себя краевые и начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Решения этих задач определяют значения физических величин, входящих в соответствующую модель. Фундаментальную роль для таких моделей играет: корректность входящих, в них начально-краевых задач (см., например, [1]), т.е. наличие для них теорем существования и единственности решений, а также непрерывной зависимости решений отданных задачи. Изучение этих вопросов позволяет определить понятие решения соответствующей задачи и обосновать возможность использования той или иной модели с математической точки зрения. Оно <также необходимо для того; чтобы понять, . в- каком, смысле можно аппроксимировать решение данной; задачи* и, таким образом; важно при построении и использовании численных методов. (Более того, некоторые- методы? доказательств теорем существования одновременно представляют собой; и~ численные методы нахождения соответствующих per шений;) .

Общая модель физического явления часто зависит от некоторых параметров- которые при определённых условиях достаточно малы. При этом случаю, когда такими параметрами можно пренебречь,, соответствует другая модель рассматриваемого явления, которую мы для краткости будем' называть подмоделью рассматриваемой общей модели; (Термин «подмодель» в несколько ином: смысле использовался Л.В. Овсянниковым,в [2] и других работах.) Подмодели- не всегда являются: непосредственными« частными случаями; общих моделей и нередко создаются независимо от последних. На;практике широко; используются именно подмодели, что обусловлено их сравнительной простотой; При этом замена модели, подмоделью: допустима тогда и только тогда, когда результаты, полученные с помощью них, отличаются незначительно. Если эти две модели описываются начально-краевыми задачами, то данное требование сводится к тому, что решения этих задач должны быть в некотором смысле близки, т.е. решение задачи, соответствующей подмодели, должно быть асимптотическим пределом решений задач, соответствующих общей модели, при стремлении соответствующих параметров к нулю.

Диссертационная работа посвящена исследованию корректности и; асимптотических свойств решений • некоторых задач, возникающих в гидродинамике: и теории поля; Для волнового- уравнения? на не глобально гиперболическом многообразии доказываются-: необходимые и достаточные условия; существования;, ш единственности - усиленно классических решений; задачи Ко-ши. Для начально-краевой задачи для линеаризованных уравнений-:движения слабо сжимаемой сплошной среды доказываются - теоремы существования и единственности обобщённых решений, изучаются априорные оценки, этих'решений, а также исследуются их асимптотические, свойства при стремлении коэффициента, сжимаемости к нулю. Проводится строгий вывод уравнений фильтрации, возникающих в (под)модели течения несжимаемой жидкости в пористой среде. Также исследуется асимптотика решения задачи Неймана для уравнения Лапласа по параметру, от которого зависит граничное условие.

Для математического описания динамики, сплошных сред имеются общая модель сжимаемой среды и (под)модель несжимаемой жидкости, которая используется в случаях, когда сжимаемостью можношренебречь. Модель несжимаемой жидкости является идеализацией1, так как любая реальная жидкость, существующая в природе, является слабо• сжимаемойi В связи с этим возникает задача о нахождении достаточных условий, при* которых решения соответствующих уравнений отличаются незначительно.

• 'Условие несжимаемости (о,— Qo = .const, где q — плотность) не вполне.корректно рассматривать как термодинамическое уравнение состояния, т.к. в этом случае отсутствует связь давления; с температурой, что делает невозможным применение метода термодинамических потенциалов (см., например, [3]). Кроме того, давление в несжимаемой жидкости не имеет термодинамического смысла (т.к. определяется полем скорости с точностью до произвольной аддитивной функции времени) и может быть отрицательным [4]. Таким образом, несжимаемую жидкость следует рассматривать лишь как предел сжимаемой.

Для решения этой задачи прежде всего следует ввести параметр, характеризующий сжимаемость среды {фактор сжимаемости), и сделать это можно разными способами.

С физической точки зрения данный вопрос обсуждался в [5], где для стационарных уравнений Эйлера с использованием уравнения Бернулли была получена оценка: « V

Qo 2 где Ад = д—до, M = |u|/с — число Маха (с и и — скорость звука и вектор скорости среды). Отсюда видно, что плотность g мало отличается от константы до, если и| «С с, О) то есть при малых числах Маха.

Однако, помимо самой плотности уравнения гидродинамики содержат её производные по пространству, малость которых ничем не обеспечена. В нестационарном случае есть ещё и производная плотности по времени. В связи с этим в [5] для нестационарных уравнений Эйлера было получено дополнительное условие применимости модели несжимаемой жидкости, имеющее вид т » -, (**) с где г и L — величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение. Таким образом, в качестве фактора сжимаемости можно использовать величину а — тах(^г, -^г). Однако при выводе условий (*), (**) использовался ряд достаточно грубых оценок, которые, вообще говоря, могут не выполняться. Например, оценка dtg ~ Ар/г не является верной, если плотность содержит высокочастотные колебания малой амплитуды1. Таким образом, условия (*) и (**) существенно

Например, — д^Ь) + £>2(0> гДе Ра(0 — медленно меняющаяся функция времени, а д2{С) — высокочастотные колебания, причем |г?г(01 ^ ~ 01 + т)1зависят от решений уравнений, и, по-видимому, не характеризуют сжимаемость полноценно с математической точки зрения.

Первое математически строгое исследование слабо сжимаемых сред, по-видимому, было проведено в [6]. В этой работе рассматривались уравнения Эйлера для среды с уравнением состояния р — kg7, а. в качестве фактора сжимаемости использовалось число; a = (kyy)~1. Было установлено; что если начальное условие-для поля;скорости;.солеиоидально, то при.a —> 0 поле: скорости сжимаемой; среды» сходится поточечно (как: функция времени) на ; некотором промежутке [ -Т. Т] к соответствующему нолю скорости несжимаемой жидкости по норме пространства Соболева. (Отметим; что при а- -> О скорость звука с =- (dp/dg)1/2 = аГ1/2^7-1)/2 —> оо, если £ « const.)

Подобные результаты были получены в [7] для уравнений Эйлера и уравнений Навье-Сгокса для сжимаемо» среды с уравнением состояния р = Х2Р(д), где Р(д) — некоторая возрастающая функция, А = const. При этом в качестве, фактора сжимаемости* использовалась величина: a = А-2, и при a 0 поле скорости сходится по норме пространства С(0, Т; IJS~' (T1)),. где d G N, с > 0, s Е N определяется гладкостью начального условия, V1 — ¿-мерный тор, Т > 0. Также была установлена сходимость плотности; к константе. (Отметим, что при о; —> 0 скорость звука с = а"1/2 Р'(д) оо, если д « const.)

В работах [8-14] использовался • несколько другой iюдход к определению фактора сжимаемости. Этот подход основан на обезразмеривании и масштабировании уравнений Навье-Стокса таким образом, что число Маха1 становится малым параметром (см., например, [16]). В баротроином случае полученная таким образом система совпадает с уравнениями Навье-Стокса для среды с уравнением состояния р - - Р(д)/е2. При этом роль фактора сжимаемости играмках этого подхода-под числом Маха понимается величина Ма = . ref . (см. [13]), то сеть

VPrcf/i?ref

Ma = Л/у/Еи, где Eu = --число Эйлера (см., например,.[15]).

CrefVref рает число а = £2.

В работах [8,9] были получены аналоги результатов [6,7] для полных (т.е. в случае, когда среда не является баротропной) уравнений Эйлера и Навье-Стокса-Фурье соответственно. При этом рассматривались начальные условия для поля скорости, не являющиеся соленоидальными, а сходимость поля скорости при а —> 0 понималась в смысле 1/2(0, Т; Яв(Е3)), где б € N определяется гладкостью начальных условий, №(К3) — пространство Соболева. Согласно [9], неравномерность такой сходимости связана с акустическими колебаниями вблизи начального момента времени.

Асимптотические свойства глобальных обобщённых решений* уравнений движения сжимаемой среды исследовались в [10-14]. В баротропном случае для уравнений Навье-Стокса в [10] установлено, что независимо от начального условия и° для ноля скорости при а —> 0 имеет место слабая сходимость (строго говоря, подпоследовательности) поля' скорости сжимаемой среды к полю скорости несжимаемой жидкости, начальное значение которого является (в простейшем случае) проекцией Лерэ1 поля и°. Аналогичный результат для полной системы Навье-Стокса-Фурье получен в [11-13].

С физической точки зрения сильная сходимость полей скорости и давления представляют больший интерес. Напомним, что в [8,9] была установлена сильная сходимость поля скорости, но при этом рассматривались лишь локальные сильные решения, т.е. решения, существующие на промежутке времени, величина которого, вообще говоря, зависит от данных задачи (но не зависит от фактора сжимаемости). В [8,9] также было установлено, что плотность сильно сходится к константе, а давление сильно сходится к нулю, а не к давлению несжимаемой жидкости2.

Сильная сходимость полей скорости глобальных слабых решений была см , например, [17]

2Последнее не противоречит естественному предположению о сходимости давления'к давлению несжимаемой жидкости, поскольку в масштабированных уравнениях Навье-Стокса роль давления играет величина р/е2. установлена для искусственной системы уравнений движения вязкой «сжимаемой» среды, используемой при численном решении уравнений несжимаемой жидкости методом искусственной сжимаемости (см., например, [18], III, §8). Также была установлена ^-слабая сходимость градиента давления. Сильная сходимость давления не исследовалась.

Иной подход к определению фактора сжимаемости был предложен в работах [19,20]. Этот подход основан на том, что уравнения движения несжимаемой жидкости могут быть формально получены из уравнений.Навье-Стокса для баротропной среды с уравнением состояния g = F(p), если положить F(-) = F0(-) = д0 > 0. Соответственно, при рассмотрении семейства уравнений состояния g — Fa(p) такого, что при а —> 0

Fa(-) ЗД, возникает задача об исследовании сходимости решений уравнений Навье-Стокса при а —> 0. Например, в работе [20] рассматривались сжимаемые среды с уравнением состояния в = £о + OiR{p), где g — плотность, > 0, р - давление а > 0 — фактор сжимаемости, a R(p) — гладкая функция, ограниченная сверху и снизу положительными числами.

В [20] было получено необходимое условие сильной сходимости классических решений начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой среды при стремлении фактора сжимаемости к нулю. Для начально-краевой задачи в ограниченной области D с начальными условиями u|t=0 = u°, p|t=o = Р° и краевым условием = 0 это необходимое условие имеет вид + (u°j V)g)|i=o = 0, (#) где q — q(x, t) — давление в несжимаемой жидкости. Для полноты изложения укажем также 2 более очевидных необходимых условия: divu° = 0 и

7|г=о = Р°- Условие (#) в общем случае не выполняется хотя бы потому, что давление q определено с точностью до аддитивной функции времени. Кроме того, в несжимаемой жидкости определяется из уравнений, в то время как в сжимаемой среде р\ь=о задаётся как начальное условие. Таким-образом, сильную сходимость скорости и давления, можно ожидать лишь в случае, когда» начально-краевые задачи для уравнений движения сжимаемой среды и несжимаемой,жидкости определённым образом согласованы.

Отметим, что локальная теорема существования, классических решений* уравнений движения вязкого сжимаемого газа доказана в [21-], но влияние фактора сжимаемости,на размер отрезка времени, на котором существует решение, в этой' работе не изучалось. Единственность классических решений« доказана в [22]. В силу отсутствия на данный момент глобальных теорем существования классических решений уравнений сжимаемой^ среды (см., например, [11]) актуально исследование1 необходимых и достаточных условий* сильной сходимости для слабых решений.

В данной работе рассматриваются линеаризованные уравнения' движения слабо сжимаемой,среды. Эти уравнения описывают первую поправку к решению уравнений несжимаемой жидкости, обусловленную сжимаемостью среды. Они значительно проще исходных нелинейных уравнений, что делает возможным более детальное исследование влияния фактора сжимаемости на их решения: Линеаризованные уравнения сжимаемой среды представляют и самостоятельный' интерес (например, в [23] исследовались спектральные свойства оператора, соответствующего стационарным линеаризованным уравнениям сжимаемой среды).

В^ большинстве работ рассматривались уравнения движения сжимаемой среды, линеаризованные вблизи состояния покоя (см. [24,25]). В [25] была получена априорная оценка для сильного обобщённого решения начально-краевой задачи для этих уравнений в ограниченной области И С М3, однако влияние фактора сжимаемости на константы, входящие в эту оценку, не исследовалось. Существование сильного обобщённого решения задачи Коши в М3 для этих уравнений было установлено в: [24]. Вопросы существования и единственности слабых решений в этих работах не рассматривались.

В диссертации устанавливаются достаточные условия существования и единственности слабых решений начально-краевой задачи для общих линеаризованных уравнений;слабо?сжимаемой среды. Исследуется-сходимость.этих решений при)стремлении-фактора сжимаемости-К: нулю;.

Как известно, существует разработанная? теория задачи; Коши для; гиперболических уравнений'на глобально гиперболических многообразиях [26^27]! Ориентируемое по времени? пространство-время; (т.е. пара (М, д), где М — гладкое многообразие, д - лоренцева метрика); называется» глобально> гиперболическим, если М диффеоморфно К1 х где Е есть поверхность, Коши. Данное определение эквивалентно .определению «глобальной гиперболичности : Лере [28,29]. . ■

Гиперболические уравнения • на; не: глобально гиперболических многооб-. разиях изучены значительно меньше, хотя хорошо • известны многочисленные . примеры таких многообразий, которые ; представляются-решениями*уравнений ; гравитационного поля; таких как решенияГеделя, Керра; Готта; и многие другие [29;30]. Эти многообразия содержит замкнутые времени-подобные кривые (машины; времени); и- не является ¡глобально гиперболическими.

Простейшие примеры» -не глобально гиперболических; многообразий? суть пространство §£.хЖ3, снабженное метрикой Минковского, когда временная;переменная пробегает окружность, а также пространство апти-де-Ситтера. Некоторые гиперболические уравнения на не глобально гииерболических многообразиях обсуждаются в физических статьях [31,32].

• В связи со сказанным; выше,, актуальной- задачей? является; исследование волнового уравнения на* многообразии, содержащем замкнутые временипо-добные кривые. В диссертации рассматривается плоскость Минковского с двумя разрезами с определенным образом; склеенными сторонами разрезов плоскость с ручкой). В работе [33] была рассмотрена задача Коши для волнового уравнения на плоскости Минковского с ручкой и было доказано существование решения, вообще говоря, разрывного на характеристиках, выходящих из конических точек.

В данной работе установлены необходимые и достаточные условия на начальные данные, при которых усиленно классическое решение задачи Коши существует и единственно во всей полуплоскости £ ^ 0, за исключением разрезов.

Данная проблематика мотивирована рассмотрением возможности рождения «кротовых нор» (\vormholes) и соответствующих замкнутых времени-подобных кривых при' столкновении частиц высоких энергий [34], см. также [35]. Задачи граничного у правления* для волнового уравнения рассмотрены в [36]. Нестандартные краевые условия для динамических уравнений обсуждаются в [37,38].

При изучении течений жидкостей в пористых средах решение классических уравнений гидродинамики, описывающих эти течения на микроскопическом уровне, часто становится затруднительным (в силу сложной структуры пор, большой разницы масштабов и т.п.). В связи с этим возникает необходимость в выборе модели, описывающей эти течения на макроскопическом уровне. Такие модели, как правило, являются феноменологическими: Наиболее распространенной моделью из этого класса является модель Дарси. Вывод уравнений Дарси из уравнений для микровеличин обсуждался Н.С. Бахвало-вым, Г. П. Панасенко и?многими другими авторами (см., например, [39-41]). Несмотря на то, что макроскопические модели, строятся на основе экстраполяции результатов экспериментов, величины, входящие в эти модели (так называемые макровеличины) часто определяются через микровеличины, соответствующие классическому описанию этих течений в поровом* пространстве. В данной работе в качестве таких макровеличин рассматриваются осреднения по Стеклову продолженных нулём на твёрдый скелет полей скорости и давления. Даётся строгий вывод системы уравнений, которой удовлетворяют эти макровеличины. Предполагается, что на микроскопическом уровне течение описывается стационарной системой Стокса. Для абсолютно однородных сред проводится сравнение полученной системой с моделью Дарси.

Во многих задачах гидродинамики используются ортогональные проекторы на подпространства потенциальных и соленоидальных векторных полей [4]. Эти проекторы, как известно, тесно связаны с задачей Немана для уравнения Лапласа. В данной работе эта задача рассматривается в случае, когда входящее в неё граничное условие зависит от параметра. В предположении о том, что эта зависимость непрерывна по Гёльдеру, исследуется зависимость решения (и его градиента) от данного параметра. Изучение этой зависимости важно, например, для уточнения характера зависимости потенциальной компоненты векторного поля от параметра.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Пусть N е N, G С Rn - область. Пусть 1 р ^ сю, М С R^, к £ N, Т > 0.

В работе используются следующие обозначения: dG — граница G.

3>(G) — множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным в области G носителем. Топология в 0(G) вводится стандартным образом (см. [42], 1.1.51).

9{М) — множество ограничений на М функций ip е 3>(M.N), для которых supp срГ\ М компактно в М.

G) — пространство, сопряжённое к &>{G) (т.е. пространство линейных непрерывных функционалов на 0(G)).

LP(G) — пространство Лебега измеримых функций и: G —> М, для которых конечна норма

I(jG\u{x)\Pdx)1/p, 1^р<оо ess sup |w(x)|, р — оо. xeG

Wk,v(G) — пространство Соболева, состоящее из функций, принадлежащих LP(G) вместе со всеми своими обобщёнными производными (в смысле @'(G)) порядка не выше чем к.

Wq'p(G) - замыкание 9(G) в Wk*{G).

Hk(G) - Wk'2(G). Аналогично, Hq(G) = Wq'2(G).

•,•) — скалярное произведение в ~RN. х) — значение функционала / G X* на элементе х Е X

X — банахово пространство, X* — сопряжённое к нему). u,v)G — скалярное произведение в L2(G). Если и, v £ L2(G)k, то и, v)G = 52i=i Jg dx> a также (u>= v)g•

Ь2(С) — подпространство {и 6 1/2(С) | /Сис1х = 0}. пространство бесконечно дифференцируемых финитных соленоидальных векторных полей, т.е. множество {ие 9[0)н\ Шуи = 0}.

Я(С) - замыкание в Ь2{С)Н.

Рн — ортогональный проектор Ь2(<3)н на Н(С) (проектор

Лерэ-Гельмгольца).

V (С) - замыкание Г {в) в #¿(<2)^. врап(М) — линейная оболочка множества М.

С(0,Т]Х) — множество непрерывных отображений отрезка [0,Т] в линейное топологическое пространство X; если X — банахово пространство, то |М|С(0,т;Х) = тах,6[о,т]

Ц)(О, Т; X) — пространство Лебега измеримых функций и: [О, Т] —)• X, принимающих значение в банаховом пространстве X, для которых конечна норма

Н|£Р(0,Г;Л) = ^ езБвир ||гА(г)||х, р = оо. ге[о,т] к'р(0,Т]Х) — пространство Соболева функций, и: [О, Т] —>■ X, которые принадлежат £р(0, Т; X) вместе со всеми своими обобщёнными производными до порядка к включительно (см. Приложение Б).

Векторнозначные (т.е. принимающие значение в М0', ¿¿ = 2,3,.) функции обозначаются полужирным шрифтом: и, V и т.п. Если 1 ^ р ^ оо, то оо, р= 1, р р' = \

1<р<оо, V ~ 1

1, р — оо.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Гусев, Николай Анатольевич

Основные результаты данной главы опубликованы в работе [69].

4.1 Обозначения

Пусть Г2 с М3 — ограниченная область с границей д£1 £ с1+1+а, Т > 0. Обозначим (0, Т), 5г = <90 х [О, Т] и пусть С1+а(Щ - пространство

Гёльдера с нормой

Н1+а = 1М1

1+а,П тах к*)|+Е Е \дхи(х)\ + Е [ад з=1 \р\ =з хвС1 ЬН а х 1 рН где = эир эир хёй Ах. ж+ДжбП р — мультииндекс, I Е N U {0}, се € [0,1). Под С1+а>т+р(Q) будем понимать пространство с нормой т

Ы1+агт+/3 = = max Н-,0||г+а + ^ max \д}и(х, £)| + [д^и]?, ie[U,ij (a:,t)eQ где [uft = sup sup W(x,t+M)-u(x,t)\^ p мультииндекс? m E N U {0}, Q^G [0,1).

Норму пространства Cl+a (dVt) будем обозначать как ||-||г+а ^ (определение пространства см., например, в [4]). Аналогично под Ск+а'т+Р(Зт) будем понимать пространство с нормой m где max И/МИ te и,j . [x,t)£Ьт

7 = 1

Р - \u(x,t + At) -u(x,t)\ эп = SUP SUP x,t)<EST At: (x,t+At)(=ST •

ИМ 11/Поо.П = maX \f(X)\> WfWoo,Q = a если не оговорено противное, будем считать, что а, /3 G (0,1)

Для удобства обозначим Ц/Ц^п = тах|/(ж)|, Ц/II^q = тах|/(М|. Ниже, хеп (x,t)<zQ

4.2 Постановка задачи

Рассмотрим задачу Неймана для уравнения Лапласа:

Аи = 0, жбП, £ Е [0,71];

4.1) SS Ш и и Р)ц где граничное условие д для нормальной производной ^ зависит от параметра £ [0,Т]: д = д{х^), д Е С1+0е>т+Р(Зт), причём при каждом £ Е [0,Т] § д{х,€) (18 = 0.

ОП

Так как решение задачи Неймана для уравнения Лапласа единственно с точностью до аддитивной константы, решение задачи (4.1) единственно с точностью до произвольной аддитивной функции ¿/(£) и может не быть даже непрерывным по t. Тем не менее, в данной работе будет показано, что существует решение задачи (4.1), дифференциальные свойства по параметру £ которого определяются соответствующими свойствами граничного условия д. Будут получены оценки нормы этого решения и его градиента (по пространственным переменным) в пространствах Гёльдера, введённых выше. Также будет показано, что полученные оценки в определённом смысле неулучшае-мы.

4.3 Дифференциальные свойства решений

Из классической теории потенциала (см. [56], теорема 1 на стр. 208) известны следующие утверждения:

Предложение 4.1. Для ньютонова потенциала <р{х) = где 6 С(Г2), справедлива оценка

П^По < СП/Но

Если дП <е С1+1+а, I = 0,1,.и / £ С1+а(й), то ||УИ1ш+а < С\\Д1+а. Предложение 4.2. При каждом Ь € [0, Т] и а' € (0, а) существует единственное решение и(х^) задачи (4.1), удовлетворяющее условию / и(х:Ь)с1х = 0. п

Для этого решения справедливы оценки

Ы-Мод^СгЫМот^

4-2) где константы С\ и С2 не зависят от д.

Полученную с помощью предложения 4.2 функцию и(сс,£) мы будем далее понимать под решением задачи (4.1). Целью данной работы является исследование дифференциальных свойств по параметру I функции и(х, £) и её градиента Vи(х,Ь). Сформулируем основные результаты.

Теорема 4.1. Пусть дП Е С1+1+а и g Е Cl+a>m+P(ST), причём при t Е [О, Г] /да QdS = 0. Решение задачи (4.1) при любом а' 6 (0, а) удовлетворяет оценке

II и\\1+1+а',тп+Р < 1Ы1 а его градиент Vw для каждого в' £ (0, /?) удовлетворяет оценке

4.3) где константы С\ и не зависят от д.

Оказывается, что при /3' = ¡3 оценка (4.3) не имеет места. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим одну задачу вида (4.1).

Пусть D = {(x,y,z) : z = 0, ж2 + у2 < R2} С dtt Е R > 2. Пусть /г Е C°°(R) — неубывающая функция, равная нулю на (—оо, 0) и равная 1 на (1, -foo). Рассмотрим потенциал простого слоя дП с плотностью p(y,t), равной нулю на dft\D, и заданной на D в полярных координатах (х — г cos у — г sin 92) формулой г, ip, t) = Л (г, ¿) eos y?, (4.4) где w(r, í) = £^/1 (r I In t j) h(R — r).

Теорема 4.2. При каждом t E [0, T] функция V(x, ¿) является решением уравнения Лапласа и Е При этом VF Е Ca^'(Q) для любого

3' Е (0,/?), но W Ca'>P(Q) при а' Е (0, а).

4.4 Доказательства основных теорем

Для доказательств теорем 4.1 и 4.2 нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 4.1. Если и е Ca'ß(Q), где a,ß £ (0,1), то при любых {(xi, ¿i), (х2, ¿2)} £ Q и а £ [0,1] выполняется неравенство

AxAtu\ = \AtAxu\ ^ 2 \\u\\aiß \х2 - хг\аа |h - к\{1~а)(3 где АХи(х, t) = и(х2, t) — u(x\,t) и Atu(x, t) = и(х, t2) — и(х, ti). Доказательство. По условию

Axii{x,t)\ sC \\и\\а^\х2 - хх\а и

Atu(x,t)\ ^ |Н(а/3 \t2 — tif, тогда

AtAxu\<2\\u\\^ß\x2-x1\a, lA.A^ < 2 |M|Q^ |t2 - . Тогда доказываемое неравенство следует из равенства

AtAxu\ = \AtAxu\a\AtAxu\l-a . □

Предложение 4.3 (см. [57] , стр. 221, лемма 2.). Пусть и £ Cll,l2(Q) (где li,l2 £ R \ Z — положительные числа) и г i,r2 £ NU {0} — такие, что p = n/h - r2/l2 > 0. Тогда дрдри £ CPl^{Q), где рг = ph, р2 = pl2, причём справедливо неравенство где константа С не зависит от и.

Заметим, что лемма 4.1 и предложение 4.3 останутся справедливыми, если в их формулировках заменить Q на St, поскольку функции из C1i'12(St) можно считать граничными значениями функций из Cll,l2(Q) на дО. [4].

Доказательство теоремы 4.1 проведём индукцией по т. При т = 0 по предложению 4.2 для каждого I Е [О, Т]

1+1+а',П 1+а,дП ' при любых ¿1, ¿2 € [О, Т] в силу линейности задачи Неймана имеем:

Из полученных оценок следует, что ||п||г+а, ^ < С |Ы|г+а р Зт, С — const. Возьмём а = 1—¡3'/¡3 < 1, тогда д Е Саа,/3 (Зт). В силу линейности задачи Неймана по предложению 4.2 имеем оценку (см. неравенство (4.2) при I = 0):

У<и(-;£2)- У<Л)|Цо ^ \\9Ш-9Ы1)\\аагдп

-™-См-—-.

2 ¿11 |£

В силу леммы 4.1

•, ¿2) - д(; ¿1)= Ы;- д(-Л)Ноо,вп + оо,ЭП тах -1-^

Ы| I 1Ы1о,/3 1*2 - + \Х2-Х1Г С1 (|Ы10,/3 1*2 - к\0-р' + \\9\иМ) < С 1ЫЦ№ поэтому h-hf

Итак, для т = 0 теорема 4.1 доказана. Пусть эта теорема верна для некоторого т и д Е

С'+^+^бт). Тогда в силу леммы 2 дгд Е где

7 = Т+1+в (!■ + &)> 0. Для решения V задачи Неймана т+1+Р дьд дП мы уже можем воспользоваться доказываемой теоремой и получить оценки

1М1о,т+/з < О1 |Ы|/+а,т+/5Дг, < Мо,т+р,зТ' Остаётся заметить, г что £) = 0)+/ г;(х, т)(1т является решением исходной задачи Неймана (4.1). ° □

Доказательство теоремы 4.2. Непосредственно проверяется, что плотность простого слоя ¡л, определённая в (4.4), принадлежит и, следовательно, при любом а £ (0,1). По теореме Ляпунова при £ £ [О, Т] имеем

•,£) £ Са(<9П). В силу гладкости границы области нормальная производдУ/ дп V дУ ная ^ является правильной нормальной производной и удовлетворяет неравенству дУ дп

М) оо,Г2 из которого следует, что удовлетворяет условию Гёльдера с показателем /3 по параметру ¿. Тогда £ Са'Р(Бт). По теореме 4.1 при любом ¡3' £ (0. /5) УУ £ Са>р'(д). Однако,

9У

5а: ап, £=0, у=0 ^ (. /т2 1 '

2тг Я 2 сое Г о . о при £ —0, то есть производная не удовлетворяет условию Гёльдера по £ с показателем (3. □

4.4.1 О дифференциальных свойствах проекторов Лерэ-Гельмгольца

Обозначим Рд = [д. — Рн, где 1(1 - тождественный оператор, а Р# — проектор Лерэ-Гельмгольца. Для полей и £ С1+а(П) поле Рди представляет собой градиент решения ф задачи Неймана

Аф = с11у и, дф дп

4.5) (и,п). дП

Из доказанной выше теоремы 4.1 можно получить следующие утверждения:

Теорема 4.3. Пусть дП £ Сш+а и и £ С1+а'т+0(д), сНуи £ С^1+а-т+/?(д), к ^ 1. Тогда при любых а' £ (0,а) и ¡3' £ (0,/3) Ра{и) £ С1+а'>т+Р'(Я), причем где константа С не зависит от и.

Лемма 4.2. Если / £ С1+а'т+Р($) и дП е С1+1+а, то для ньютонова потенциала <р(х, Ь) = справедлива оценка СИ/11

Доказательство. Доказательсто проведём индукцией по т. Обозначим V — \7</з. При т = 0 из предложения 4.1 следует, что при £ € [О, Г]

1К-,4)11т+в<С,11Л-»011/+в- (4-6)

Из предложения 4.1 и линейности ньютонова потенциала по источнику следует, что при любых £ + Д£ е [О, Т]

1К, I + Д*) - I)||о/|Д^ ^ С|| Д-, I + Д*) - /(-,£)\W\Atf < С\\П0,Р.

Из полученных оценок следует, что ||г>||/+1+а1/з ^ С\\/\\1+а$, то есть утверждение при 771 = 0 доказано. Пусть лемма верна при некотором тп. Докажем что она верна для т+ 1. Пусть / е С'+а,т+1+^(ф). Поскольку ¡п V^^у ¿у < оо, то существует

Ян = Х7 I Я, —

-у\ д1у = У [ <%/(?/,£) |—-—¡¿у.

Из предложения 4.3 следует, что 6 СТ>т+Р((2), где г = 7Гг1+[%^+а) > И \\дьДг,т+р ^ С||/||г+а,ш+1+у0. С учётом доказанной части леммы

1М1н-1+а:,т+/? г,т+/3) следовательно, ||?;||г+1+а,т+1+/з < С\\дь/\\г,т+р < С\\/\\1+а,т+1+р- С учётом неравенства (4.6) получаем, что СИ/11 что требовалось доказать.

Доказательство теоремы 4.3. Будем искать поле V = Рси в виде V = \7у? + 'Чф, где <р(х) = /п ^^-йу — ньютонов потенциал с плотностью сНу и, а ф есть решение задачи Неймана

Аф = О, дф / м / ж-,4 оп дп

Из леммы 4.2 следует, что Тогда и,п) - (п, У)у?|||+а,т+/?,5г < II (и> П) |ш||г+а,т+/3,5т + ^ и в силу теоремы 4.1

Т7ф\\1+а,т+Р ^ С||(и,п) - (П, С учётом того, что

1М11+а,т+р> < \\^^р\\1+а,т+/3' + \\^Ф\\1+а,т+/3' < Ц'У</?|Ь+а,т+/3 + Ф\\1+а,гп+0', остаётся использовать приведённые выше неравенства для норм и \7ф.

Теорема 4.4. Пусть дП е С1+1+а. Тогда при любых а' е (0, а) и ¡3' <Е (0, /3) рс,рз е в

В случае т = О данная теорема приведена без доказательства в [4] на стр. 123, а также в виде леммы 11 на стр. 47.

Доказательство теоремы 4.4. При каждом Ь Е [0,Т] и произвольных О ^ к £ 0<7<1 выполняются неравенства

Рси(-,*)||Л+7<Ск>7|| и(.*)11*+7

При к > 0 такое неравенство можно получить из предложений 4.1 и 4.2, последовательно применённых к задаче (4.5). При к = 0 задачу (4.5) следует понимать в обобщённом смысле: VipVcpdx = / (u, V)ipdx Jci Jn для Vv? G Ж1,2(Г2): fnpdx = 0. Оценку ||V^||7 < С7||и||7 для этой задачи можно получить используя аналогичную оценку для обобщённой задачи Дирихле [58, стр. 200, теоремы 8.33 и 8.34].

Итак, для произвольного у Е (0,1) имеет место оценка

Возьмём 7 = а а и а Е (0,1) так, что fi' = (1 — а)/3. Тогда из последнего неравенства и леммы 4.1 с учётом линейности Pq получаем неравенство

Рви\\о,0> ^ С\П\а,Р

Таким образом, при т — 0 теорема доказана. При т. > 0 теорему можно доказать по индукции с помощью формулы Pqu = /Jf;u|í=o + /о Pg9iV- dt. □

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, выносимые на защиту:

1. Доказана корректность начально-краевой задачи для линеаризованных в окрестности произвольного поля скорости уравнений движения слабо сжимаемой вязкой баротропной жидкости. При стремлении коэффициента сжимаемости к нулю исследована сходимость полей скорости и давления к соответствующим полям для несжимаемой жидкости. Установлено, что:

- в общем случае поле скорости сходится слабо;

- если начальное условие для поля скорости соленоидально, то поле скорости сходится сильно и поле давления сходится слабо;

- если, кроме того, начальное условие для давления совпадает со значением давления в несжимаемой жидкости в начальный момент времени, а последнее удовлетворяет некоторому дополнительному соотношению, то сходимость поля давления является сильной. При этом давление в несжимаемой жидкости определено однозначно.

2. Получен критерий существования и единственности усиленно классического решения волнового уравнения на не глобально гиперболическом многообразии.

3. Дан строгий вывод уравнений, которым удовлетворяют осреднённые по Стеклову поля скорости и давления, описывающие стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости в пористой среде.

4. Установлена непрерывная по Гёльдеру зависимость градиента решения задачи Неймана от параметра, входящего в граничное условие. Найден точный показатель Гёльдера для этой зависимости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гусев, Николай Анатольевич, 2011 год

1. Владимиров B.C. Что такое математическая физика? Препринт, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. М.: МИАН, 2006.

2. Овсянников Л.В. Групповая классификация подмоделей газовой динамики. Тр. МИАН, 223, 21-29, 1998.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1990.

4. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: «Наука», 1970.

5. Лифшиц Е.М. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2006.

6. Ebin D.G. Motion of a slightly compressible fluid. Proc. Nat. Acad. Sci. USA Vol. 72, No. 2, pp. 539-542, 1975.

7. Majda A. Klainerman S. Singular limits of quasilinear hyperbolic systems with large parameters and the incompressible limit of compressible fluids. Comm. Pure Appl. Math., 34:4, 481-524, 1981.

8. Schochet S. Metivier G. The Incompressible Limit of the Non-Isentropic Euler Equations. Arch. Rational Mech. Anal. 158, 61-90, 2001.

9. Alazard T. Low Mach Number Limit of the Full Navier-Stokes Equations. Arch. Rational Mech. Anal. 180, 1-73, 2006.

10. Masmoudi N. Lions P.-L. Incompressible limit for a viscous compressible fluid. J. Math. Pures Appl. 77(6), p. 585-627., 1998.

11. Feireisl E. Dynamics of viscous compressible fluids. Oxford Lectures Ser. Math: Appl. 26, Oxford Univ. Press, Oxford, 2004.

12. Novotny A. Feireisl E. The Low Mach Number Limit for the Full Navier-Stokes-Fourier System. Arch. Rational Mech. Anal. 186, p. 77-107, 2007.

13. Файрайзл Э. Асимптотический анализ полной системы Навье-Стокса-Фурье: от течений сжимаемой к течениям несжимаемой жидкости. УМН, т. 62, вып. 3 (375), май-июнь 2007.

14. Novotny A. Feireisl Е. The Oberbeck-Boussinesq Approximation as a Singular Limit of the Full Navier-Stokes-Fourier System. J. math, fluid mech., 11, p. 274-302, 2009.

15. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб? для вузов. 7-е изд., М.: Дрофа,, 2003.

16. Lions P.-L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Oxford Lectures Ser. Math. Appl. 10, Oxford Univ. Press, Oxford, 1998.

17. Shirikyan A. Navier-stokes and euler equations: Cauchy problem and controllability. Technical report, SISSA, 2008.

18. Temam R. Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis. North Holland Publishing Co., Amsterdam New York - Oxford, 1979.

19. Пухначев В.В. Иерархия моделей в теории конвекции. Записки научных семинаров ПОМИ, Том 288, 2002.

20. Шифрин Э.Г. Условие непрерывной зависимости от сжимаемости нестационарных течений вязких мало сжимаемых жидкостей. ДАН, т. 365, № 2, с. 197-200, 1999.

21. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion. Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ., 13, pp. 193-253, 1977.

22. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion. Archive Rat. Mech. Anal., 3 no. 3, 271-288, 1959.

23. Прибыль M.A. Спектральный анализ линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости. Математический сборник, т. 198, № 10, 2007.

24. Matsuyama Т. Ikehata R., Koboyashi Т. Remark on the L2 Estimates of the Density for the Compressible Navier-Stokes Flow in R3. Nonlinear Analysis, 47, 2001.

25. Zajaczkowski W.M. Mucha P.B. On a Lp-estimate for the linearized compressible Navier-Stokes equations with the Dirichlet boundary conditions. J. Differential Equations, 186, 377-393, 2002.

26. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: «Наука», 1978.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: «Наука», 1971.

28. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: «Наука», 1984.

29. Эллис Дж. Хокинг С. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.

30. Kodama Н. Gibbons G. Repulsons in the myers-perry family. arXiv:0901.1203.

31. Friedman J., Morris M.S., Novikov I.D., Echeverria F., Klinkhammer G., Thorne K.S., Yurtsever U. Cauchy problem in spacetimes with closed timelike curves. Phys. Rev. D42 1915, 1990.

32. Politzer H.D. Path integrals, density matrices, and information flow with closed timelike curves. Phys. Rev. D49 3981, 1994.

33. Ишиватари Т. Арефьева И .Я., Волович И.В. Задача Коши на не глобально гиперболических многообразиях. ТМФ, 157:3, 334-344, 2008.

34. Volovich I.Y. Aref'eva I.Ya. Time Machine at the LHC. Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 05:641-651; arXiv:0710.2696, 2008.

35. Tomaras T.N. Mironov A., Morozov A. If LHC is a Mini-Time-Machines Factory, Can We Notice? arXiv:0710.3395.

36. Моисеев Е.И. Ильин B.A. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны. УМН, 60:6(366), 89-114, 2005.

37. Volovich I.V. Kozlov V.V. Finite Action Klein-Gordon Solutions on Lorentzian Manifolds. Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 3 1349-1358; arXiv.gr-qc/06031112006.

38. Ninomiya M. Nielsen H.B. Future Dependent Initial Conditions from Imaginary Part in Lagrangian. arXiv:hep-ph/0612032.

39. Волков Д.Б. ЖВМиМФ, 22, Ш, с. 112-122., 1982.

40. Волков Д.Б. ЖВМиМФ, 23, №6, с. 1464-1476., 1983.

41. Панасенко Г.П. Бахвалов Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. М., Наука, 1984.

42. Adams R.A. Sobolev spaces. New York, 1975.

43. Evans L.C. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, American Mathematical Society, 1998.

44. Романко B.K. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.

45. DiPerna R. J., Lions P.-L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces. Invent. Math., 98, 511-547, 1989.

46. Акилов Г.П. Канторович Л.В. Функциональный анализ. СПб.: «Невский диалект»; БХВ-Петербург, 2004.

47. Шварц Дж.Т. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. М.: «Мир», 1962.

48. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007.

49. Боговский М.Е. Некоторые вопросы векторного анализа, связанные с операторами div и grad. Труды семинара С.Л. Соболева, Nsl., с. 5-40, 1980.

50. Lorenz J. Hagstrom Т. On the stability of approximate solutions of hyperbolic-parabolic systems and all-time existence of smooth, slightly compressible flows. Indiana Univ. Math. J. 51, c. 1339-1387, 2002.

51. Кудрявцев Л.Д. Остроградского формула. В кн. «Математическая энциклопедия», т.4. Советская энциклопедия, М., Наука, 1984.

52. Пламеневский Б.А. Мазья В.Г. В кн. «Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций». 12, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 96, Изд-во «Наука», 179-186, 1980.

53. Монахов В.Н. Антонцев С.Н., Кажихов А.В. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: «Наука», 1983.

54. Auriault J.-L. Transp. Porous Med, 79:215-223, 2009.

55. Auriault J.-L. Sawicki E., Geindreau C. Studia. Geotechnica et Mechanica, Vol. XXVII, No. 1-2, 2005.

56. Гюнтер H.M. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. М.: Гос. техн.-теорет.изд-во, 1953.

57. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса. Тр. МИАН СССР. Т. 70. С. 213-317, 1964.

58. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: «Наука», 1989.

59. Shakarchi R. Stein Е.М. Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press, 2005.

60. M. Иосида. Функциональный анализ. M.: «Мир», 1967.

61. Diestel J., Uhl J.J. Vector Measures. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, 1977.

62. Gasinski L., Papageorgiou N.S. Nonlinear Analysis. Taylor & Francis Group, LLC, 2005.

63. Shakhmurov V.B. Embeddings and Separable Differential Operators in Spaces of Sobolev-Lions type. Mat. Zametki, 84:6, 907-926, 2008.

64. Публикации автора по теме диссертации

65. Гусев Н.А. Асимптотические свойства решений линеаризованных уравнений движения слабо сжимаемой среды // Труды МФТИ. — 2011. — Том 3, №1.

66. Гусев Н.А. Слабая и сильная сходимость решений линеаризованных уравнений слабосжимаемой жидкости// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. - №1 (22). С. 47-52.уьъ^Г/

67. Гусев H.A. О решениях уравнений типа Обербека Буссинеска для слабо сжимаемых сред // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2008. — 8/1(67).- с. 369-380.

68. Волович И.В., Грошев О.В., Гусев H.A., Курьянович Э. А. О решениях волнового уравнения на неглобально гиперболическом многообразии // Труды математического института им. В.А. Стеклова. — 2009. — т. 265. — с. 1-15.

69. Шифрин Э.Г., Гусев H.A. Уравнения фильтрации и закон Дарси // ДАН.- 2010. том 435, №5. - с. 619-623.

70. Гусев H.A. О зависимости градиента решения задачи Неймана для уравнения Лапласа от параметра // Труды МФТИ. — 2010. — т. 2, №2(6). — с. 67-69.