Исследование краевых задач для дискретных моделей уравнения Больцмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Ильин, Олег Вадимович

• Ильин, Олег Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильин, Олег Вадимович

Введение

1 Изучение устойчивости решений системы Карлемана

1 1 Устойчивость абсолютно максвелловских распределений 10 1 2 Система Карлемана как модель автоколебательной реакции в химической кинетике

1 3 Решение стационарной системы Карлемана 14 1 4 Постановка задачи об устойчивости пространственнонеоднородных решений

1 5 Неустойчивые режимы

2 Численное исследование неустойчивых решений системы Карлемана

2 1 Сценарии перехода к хаосу в динамических системах 21 2 2 Сценарий перехода к хаосу в системе Карлемана

2 3 Показатели Ляпунова

3 Точные решения стационарной четырехскоростной системы Бродуэлла

3 1 О методах построения точных решений четырехскоростной системы Бродуэлла

3 2 Построение решений с помощью усеченного ряда Пенлеве 45 3 3 Автомодельные решения модели Бродуэлла для газа с постоянной плотное1ью 50 3 4 Автомодельные решения модели Бродуэлла для газа с непостоянной плотностью

3 5 Задачи об испарении и конденсации газа для модели Бродуэлла

3 6 Симметрии модели Бродуэлла и инвариантные решения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование краевых задач для дискретных моделей уравнения Больцмана»

Основным объектом изучения кинетической теории газов является система из большого числа частиц (молекул). Такие системы описываются методами статистической физики, то есть с помощью нестационарной функции распределения / в фазовом пространстве скоростей V и координат х. Эволюция функции распределения задается кинетическими уравнениями, которые в случае короткодействия представляются в следующей форме [1-8]: я+ ,7'й<01> где /(/,/) - квадратичный по функции распределения /(£,ж, С) оператор, описывающий парные столкновения. Изучению математических свойств таких уравнений посвящена диссертационная работа

Основным уравнением кинетической теории является уравнение Больцмана: [ (0.2) о1 ах Js^2 Jлз \ и ] где и> е М3, п - единичный вектор, с1п - элемент площади единичной двумерной сферы 52, а о(и,йп/и) сечение столкновения. Считается, что две частицы, сталкивающиеся при скоростях ¿7, -ш, после столкновения приобретают скорости г>', и/, а вектор п указывает направление относительной скорости после столкновения: и' = V1 — ю' = ип, й = V — го, и = |ц),

1 1 у' — - (гТ + ъи + ип), и/ = - (г> + ги — ип).

Уравнение Больцмана является одним из сложнейших уравнений математической физики благодаря нелинейной форме оператора столкновений. За десятки лет исследования уравения найдено всего лишь несколько точных решений |9|-|13|. Даже линеаризованное уравнение (0.2) неудобно для практического рассмотрения из-за многократного интегрирования. Поэтому для решения конкретных физических задач прибегают к различным упрощениям.

Одним из возможных упрощений является замена интегрирования на суммирование по некоторым избранным скоростям. Такое приближение, называющееся методом дискретных скоростей, получило широкое распространение в последние десятилетия [14]-[16]. Считается, что модельный газ состоит из N групп частиц, в каждой из которых частицы обладают одной скоростью = 1. N. Тогда вместо /(^.г, г) получается конечный набор функций распределения /' (£, х). х), где каждая функция /к соответствует группе частиц с определенной скоростью. При столкновении частицы переходят из одной группы в другую. Отметим, что вид взаимодействия не конкретизируется, а определено лишь только то, что частицы обмениваются импульсом и энергией. Система кинетических уравнений, соответствующая данному приближению, имеет вид + = (0.3) (Г2ь.Д2лО; г = 1,., лг, где n

П/1,■••,/") = 5>й(/*/1 - ГРУ (0.4)

Очевидно, что (0.4) есть упрощенная форма интеграла столкновений уравнения Больцмана. Отметим, что сг^ величина пропорциональная вероятности того, что две частицы со скоростями 0.г и после столкновения будут иметь скорости и П/. Согласно закону детального равновесия выполняется равенство сг^ = о-*1. Доказано, что при увеличении числа скоростей решения дискретных моделей сходятся к решениям полного уравнения Больцмана [17].

Простейшей дискретной моделью уравнения Больцмана является система Карлемана [7], которая представляет собой пару нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа: дь ди

Система Карлемана описывает частицы двух групп, а именно, первая группа частиц движется с единичной скоростью в направлении оси х, а вторая группа движется с единичной скоростью в противоположном направлении. При этом взаимодействуют только частицы внутри одной группы, то есть сами с собой, меняя направление движения. С физической точки зрения это является недостатком, однако система (0.5) — (0.6) обладает рядом свойств, которые имеются у уравнения Больцмана (0.2). Например, для псе справедлива Н-теорема. Также (0.5) — (0.6) качественно описывает процессы релаксации и свободного движения |6].

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Ильин, Олег Вадимович

Заключение

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач дискретных моделей уравнения Больцмана. Данные модели представляют собой системы уравнений в частных производных, которые правильно передают многие свойства полного уравнения Больцмана. Исследование дискретных аналогов проще, чем изучение сложного интегро-дифференциалыгое уравнения Больцмана. В работе подробно исследуются две системы: одномерная двухскоростная система Карлемана и четырехскоростная система Бродуэлла на плоскости.

В первой главе рассмотрена краевая задача на отрезке для стационарной модели Карлемана. Пространственно-неоднородное решение задачи строится в явном виде. Показано, что для гранично-начальных задач на отрезке длины не меньшей определенной можно доказать неустойчивость решения в линейном приближении с использованием осцилляционных теорем Штурма.

После обнаружения неустойчивости в линейном приближении система Карлемана изучалась численно. Во второй главе рассмотрено моделирование поведения системы с помощью разностной схемы второго порядка точности при внесении в начальный момент времени малых возмущений, исчезающих на границах. Впервые показано, что для дискретных кинетических моделей обнаруживается переход к хаосу при уменьшении числа Кнудсена через последовательность бифуркаций удвоения периода.

В третьей главе были построены новые классы решений стационарной четырехскоростпой модели Бродуэлла. Решения строились с помощью усеченного ряда Пенлеве и в автомодельном виде. Для всех классов решений были указаны краевые задачи, которым они удовлетворяют. К настоящему моменту неизвестно, возможна ли для системы Бродуэлла динамика аналогичная динамике системы Карлемана. В будущем интерес представляет исследование этих краевых задач на устойчивость, а в случае обнаружения неустойчивости в линейном приближении необходимо дальнейшее изучение численными методами с целью обнаружения перехода к хаосу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильин, Олег Вадимович, 2012 год

1. Больцман Л., Лекции но теории газов. - М.: Гостехиздат, 1956.

2. Коган М.Н., Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.3. "Черчиньяни К., Теория и приложения уравнения Больцмана. М: Мир, 1978.

3. Aristov V.V., Direct methods for solving the Boltzmann equation and study nonequilibrium flows. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.

4. Бобылев А.В., Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1987.

5. Krook Т., Wu Т., Formation of Maxwellian Tails. // Phys. Rev. Lett, 1976, 76, P. 1107-1109.

6. Кгоок Т , Wu Т , Exact solutions of the Boltzmann equation // Phys Fluids, 1977, 20, P ] 589-1595

7. Годунов С К , Султангазнн УМ , О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // УМН, 1971, 26, 3 (159), С 1-51

8. Palczewski A , Schneider J , Existence, stability and convergence of solutions of discrete-velocity models to the Boltzmann equation //J Stat Phys , 1998, Vol 91, 307 326

9. Аристов В В , Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена//ЖВМиМФ 2004, Том 44 6, С 1127-1110

10. Ильин О , Изучение устойчивости плоского течения Куэтта для кинетического модельного уравнения // ЖВМиМФ, 2009, Том 49, 5, С 1-14

11. Ильин О , Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана ' ЖВМиМФ 2007, 47, 12 С 2076-2087

12. Аристов В В Ильин О Изучение устойчивости решений для кинетической модели // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН, 2006

13. Anstov V , Ilyin О , Kinetic model of the spatio-temporal turbulence // Phys Lett A, 2010, 374, P 4381-4384

14. Broadwell T , Study of shear flow by the discrete velocity method //I Fluid Mcch , 1964, 19, P 401-414

15. Bobylev A , Spiga G , On a class of exact two-dimensional stationary solutions for the Broadwell model of the Boltzmann equation //J Phys A Math Gen , 1994, 27, P 7451-7459

16. Ilym О , The analytical solutions of 2D stationary Bioadwell kmetic model // 1 Stat Phys , 2012, 146, P 67-72$

17. Euler N , Steeb W -H , Pamleve Test and Discrete Boltzmann Equations // Aust J Phys , 1989, 42, P 1-10

18. Линь Цзя-цзяо Теория гидродинамической устойчивости М Из-во иностр ли i, 1958

19. Жаботинский А М , Концентрационные автоколебания М Наука, 1974

20. Петровский И Г, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений М Из-во МГУ, 1984

21. Айне Э Л , Обыкновенные дифференциальные уравнения Харьков ДНТВУ, 1939

22. Кузнецов А П Динамический хаос Москва Наука, 1997

23. Ландау Л Д , К проблеме турбулентности , ' ДАН СССР, 1914, Том 44 8 С 339 342

24. Хайрер Э , Ваннер Г, Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи М Мир, 1999

25. Benettin G , Galgani L , Strelcyn J -M , Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys Rev , 1976, A14, P 2338

26. Pomeau Y , Manneville P , Intermittent transition to turbulence m dissipative dynamical systems // Comm Math Phys , 1980, 74 P 189

27. Golse F , On the self-similar solutions of the Bioadwell model for a discrete velocity gas // Comra in Part Diff Eq , 1986, 12, P 315-326

28. Ceicignani C , Illner R , Shinbrot M , A boundary value pioblem for the two dimensional Broadwell model // Coram Math Phys , 1988, 114, P 687-698

29. Bobylev A , Toscam G , Two dimensional half-space problems for the Bioadwell model//Contm Mich rl hermodyn 1996, 8, P 257-274

30. Aristov V , A steady state, supersonic flow solution of the Boltzmann equation // Phys Lett A, 1998, 250, P 354-359

31. Olver P , Vorob'ev E , Nonclassical and conditional symmetries, in CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, vol 3, N H Ibragimov, cd , CRC Press, Boca Raton, F1 , pp 291-328, 1996

32. Olver P , Rosenau P , Group-invariant solutions of differential equations // SIAM J Appl Math , 1987, 47, 263-27855| Clarkson P, Kruskal M , New similarity reductions of the Boussinesq equation // T Math Phvs , 1989, 30, 2201-2213