Исследование некоторых классов интегралов в пространствах C1 и C2 и их приложения к решению краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Савина, Светлана Владимировна

• Савина, Светлана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Савина, Светлана Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ТИПА КОШИ.

§1.1. Об областях аналитичности и других свойствах некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа

Коши.

§1.2. О некоторых применениях обобщенных интегралов типа Коши.

§1.3. Разложение интегралов некоторых классов в обобщенностепенные ряды.

Глава II. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ТЕМЛЯКОВА

БАВРИНА И НЕКОТОРЫЕ ИХ СВОЙСТВА.

§2.1. Интегралы типа Темлякова-Баврина и их основные свойства.

§2.2. Исследование аналитичности интегралов некоторых классов в пространстве С2 и их свойства.

§2.3. О поведении интегралов одного класса на множестве бесконечно удаленных точек пространства С

§2.4. Постановка и решение краевых задач в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых классов интегралов в пространствах C1 и C2 и их приложения к решению краевых задач»

Важную роль в одномерном и многомерном комплексном анализе и их приложениях играют интегральные представления аналитических функций. Интегральные представления аналитических функций одного и многих комплексных переменных исследуются в работах JI.A. Айзенберга, И.И. Баврина, В.И. Боганова, A.B. Латышева, Г.Л. Луканкина и других авторов и имеют различные теоретические и практические приложения, например при решении пространственных краевых задач Римана. В последние десятилетия описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей и математической физики, которые приводятся к краевой задаче Римана.

Начало теории интегральных представлений в нашей стране было положено A.A. Темляковым в 1948 году. Им были установлены два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей, которые известны как интегральные представления Темлякова I и II родов.

Дальнейшему развитию теории интегральных представлений способствовал разработанный И.И. Бавриным [9; 12] операторный метод, с помощью которого был решен ряд важных задач, в том числе получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши и обобщенные интегральные представления для случая п (п> 2) комплексных переменных.

На основе интегрального представления, полученного И.И. Бавриным

13]:

0.1) где и = rz + (l — r)zt

О ' геС, <7 - произвольная выпуклая область пространства С, для которой справедлива интегральная формула Коши, Г — ее граница,/^ - произвольная функция, аналитическая в С и непрерывно дифференцируемая в замыкании Ст, — произвольная фиксированная точка из С, т - вещественный параметр, определенный на отрезке [0;1], у — произвольное действительное число, у > 0, оператор Ьу 2о имеет вид

A.B. Гуляевым в работе [29] был введен в рассмотрение обобщенный интеграл типа Коши: где ср{£) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г = {¿;: |£| = 1},. удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем v(0<v<l) функция.

A.B. Гуляевым [29] было доказано, что исследуемые интегралы обладают рядом свойств, которые существенно отличают их от интегралов типа Коши. Они являются непрерывными на всей комплексной плоскости, аналитическими в области D = {z е С: |z| < 1} и не являются аналитическими, вообще говоря, в области D~ - {z е С:\z\ > 1}. С помощью линейных дифференциальных операторов A.B. Гуляевым [29] установлена связь этих интегралов с интегралом типа Коши, с его плотностью, а также решены некоторые дифференциальные уравнения в частных производных.

Одновременно с A.B. Гуляевым в работе [65] A.B. Нелаевым был введен в рассмотрение интеграл более общей природы ijnz)] = yf(z) + (z-z0)¥^где (р(сf) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г = {%: Щ = 1}, удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем v(0 < v < 1) функция, 5, у — произвольные действительные числа, 5 > 0,у> 1.

В исследовании A.B. Нелаева [65] было доказано, что функции, представимые данным интегралом, являются непрерывными на всей комплексной плоскости, аналитическими в области D = {z е €: |z| < 1} и не являются аналитическими, вообще говоря, в области D~ = {z е С: |z| > 1}. Им выявлен ряд специфических свойств, которыми обладает рассматриваемый интеграл в области D~, в частности, с помощью операторного метода, предложенного А.Т. Хвостовым [75; 76], найдена обобщенная производная интеграла и его разложение в равномерно сходящийся обобщенный степенной ряд.

В работе Х.П. Дзебисова [33] был рассмотрен интеграл вида где (р(^) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г={<%: |£| = 1} функция, а,/3,у — действительные числа, удовлетворяющие условиям 0 <а < ¡3 <\,у>\. При |гг| = 1 внутренний интеграл понимается как особый (сингулярный) в смысле главного значения по Коши. Его существование гарантируется выполнимостью для плотности ср(%) условия Гельдера-Липшица.

Позднее в работах [15; 35; 66] на плотность (р(д) ограничения были усилены, она стала определяться как произвольная, заданная на окружности Г функция, удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем у(0<у<1), а,/3,у - действительные числа, удовлетворяющие условиям 0<а<< 1, ^>0.

0.2)

A.B. Нелаевым [59-61; 64] и его учениками [23; 35; 36; 47] были рассмотрены и другие операторные обобщения интеграла типа Коши. Однако вопрос о свойствах обобщенных операторных интегралов типа Коши оставался не до конца исследованным.

В теории интегральных представлений функций многих комплексных переменных были получены различные аналоги формулы Коши одного комплексного переменного, например, формулы Мартинелли-Бохнера,

A. Вейля и др. [22; 57; 58; 67; 74]. Особое место среди них занимают интегральные представления в выпуклых двоякокруговых областях, полученные в 1954 году отечественным математиком A.A. Темляковым [6873], которые впоследствии были названы интегральными представлениями Темлякова I и II рода [37; 74].

Интегралы типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина изучались JI.A. Айзебергом [1-6], И.И. Бавриным [7-14], Г.Л. Луканкиным [50-56],

B.И. Богановым [16-21], А.Т. Хвостовым [75-77], A.B. Латышевым [48; 49], В.А. Гусаковым [30-32], A.B. Нелаевым [59; 62; 63], С.Ю. Колягиным [39— 46], И.Н. Виноградовой [24-26] и др.

С помощью разработанного И.И. Бавриным [12; 13] операторного метода интегральные представления Темлякова были распространены им на случай п (п> 2) комплексных переменных и получены общие интегральные представления, которые сохранили тесную связь с интегралом Коши одного комплексного переменного.

Л.А. Айзенберг исследовал граничные свойства интегралов типа Темлякова [2; 4; 5] и поведение этих интегралов вне области аналитичности, а также ряд других вопросов. Г.Л. Луканкин [50-54] рассматривал поведение интегралов типа Темлякова I рода в точках остова области D типа А, решил ряд краевых задач типа задач линейного сопряжения, исследовал условия представимости функции вне области аналитичности интегралом типа Темлякова [55; 56]. Работы В.И. Боганова [16-21] посвящены вопросам исследования предельных значений интеграла типа Темлякова I рода в точках окружностей особенностей, им же были получены достаточные условия существования "подвижных" областей аналитичности данного интеграла, а также решены краевые задачи в некотором классе функций. А.Т. Хвостов [75-77] исследовал поведение интегралов типа Темлякова методом линейных дифференциальных операторов, в частности им были получены обобщенные условия Коши-Римана для интегралов типа Темлякова I рода [76].

В.А. Гусаков [30; 32] первым начал исследовать интегралы типа Темлякова-Баврина, образованные на основе одного класса интегральных представлений, входящего в общее интегральное представление Темлякова-Баврина. Им была установлена операторная связь между интегралами типа Темлякова I рода и типа Темлякова-Баврина I рода [31].

A.B. Латышев [48; 49] исследовал поведение интегралов типа Темлякова-Баврина I рода 2 порядка. A.B. Нелаевым [59; 62; 63] изучались интегралы типа Темлякова-Баврина в кратнокруговых областях. С.Ю. Колягиным [39^6] рассматривались интегралы типа Темлякова-Баврина при определенных условиях, накладываемых на ядро. И.Н. Виноградовой [24—26] изучались предельные значения интеграла типа Темлякова-Баврина в точках окружности особенностей и был решен ряд краевых задач в одном классе функций, Х.П. Дзебисовым [33] исследовались пространственные краевые задачи сопряжения для специальных областей пространства С2. Тем не менее, вопрос о рассмотрении обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина оставался неизученным.

В настоящей диссертации впервые рассматриваются некоторые обобщенные интегралы типа Коши и обобщенные интегралы типа Темлякова-Баврина.

Целью диссертационной работы является исследование областей аналитичности и свойств некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа Коши, решение задач, связанных с их применением, исследование областей аналитичности и свойств некоторых обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина, решение краевых задач линейного сопряжения (однородной и неоднородной) в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.

В работе используются методы математического анализа и теории функций, метод линейных дифференциальных операторов.

Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, включающих в себя 7 параграфов и заключения. Список литературы содержит 85 наименований. Общий объем работы 136 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Савина, Светлана Владимировна

Заключение

Целью диссертационной работы являлось исследование обобщенных интегралов типа Коши и обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина, решение задач, связанных с их применением.

Исходя из поставленной цели были получены следующие результаты:

1. В областях неаналитичности для некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа Коши на комплексной плоскости С, получены формулы обобщенной производной, разложение в обобщенные степенные ряды, а также найдено решение задач, связанных с применением обобщенных интегралов типа Коши.

2. Определены области аналитичности обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина в пространстве С2, найдены формулы для представления этих интегралов в областях аналитичности и неаналитичности и формулы дифференциальной связи обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина с интегралом типа Темлякова I рода.

3. Предложена постановка и найдено решение краевых задач линейного сопряжения в пространстве С2 в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.