Исследование отрывных обтеканий тел методом численного решения уравнений Навье-Стокса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Алексюк, Андрей Игоревич

• Алексюк, Андрей Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алексюк, Андрей Игоревич

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Классификация режимов течения

1.2. Модели вихреобразования и гидродинамическая неустойчивость

1.3. Управление течением и гидродинамические эффекты

1.4. Численные методы, применяемые для решения уравнений На-вье-Стокса

1.5. Современные направления и методы исследований отрывного обтекания цилиндрических тел

1.6. Выводы к первой главе

Глава 2. Решение уравнений Навье-Стокса на структурированных сетках

2.1. Уравнения Навье-Стокса в переменных функция тока-завих-ренность

2.2. Типовые задачи

2.3. Разбиение на симметричную и кососимметричную части

2.4. Граничные условия

2.5. Интегральные характеристики

2.6. Метод численного решения

2.7. Метод расчета дальнего следа

2.8. Выводы ко второй главе

Глава 3. Решение уравнений Навье-Стокса на неструктурированных сетках

3.1. Уравнения Навье-Стокса в переменных давление-скорость-температура

3.2. Граничные условия

2

3.3. Слабая форма уравнений

3.4. Метод численного решения

3.5. Адаптация расчетной сетки

3.6. Параллельные вычисления

3.7. Выводы к третьей главе

Глава 4. Тестирование численных алгоритмов

4.1. Сходимость и расчетные сетки

4.2. Сопоставление двух подходов

4.3. Сопоставление с экспериментальными данными и расчетами других авторов

4.4. Эффективность параллельных алгоритмов решения уравнений Навье-Стокса

4.5. Выводы к четвертой главе

Глава 5. Отрывные обтекания неподвижного кругового цилиндра

5.1. Ближний след

5.2. Дальний след

5.3. Интегральные характеристики и число Струхаля

5.4. Выводы к пятой главе

Глава 6. Отрывные обтекания кругового цилиндра в усложненных условиях

6.1. Вращение с постоянной скоростью

6.2. Вращательные колебания

6.3. Поступательные колебания

6.4. Цилиндр вблизи подвижного экрана

6.5. Выводы к шестой главе

Глава 7. Отрывные обтекания эллиптического цилиндра и кры-

лового профиля Чаплыгина

7.1. Обтекание эллиптического цилиндра

7.2. Обтекание крылового профиля Чаплыгина

7.3. Выводы к седьмой главе

Глава 8. Гидродинамическая неустойчивость в процессах развития вихревого следа

8.1. Нелинейное взаимодействие симметричной и кососимметрич-

ной составляющих течения

8.2. Устойчивость осредненных профилей скорости в следе

8.3. Эволюция вихревого следа

8.4. Выводы к восьмой главе

Заключение

Литература

Список публикаций

Цитированная литература

Дополнительная литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование отрывных обтеканий тел методом численного решения уравнений Навье-Стокса»

Введение

Актуальность работы. Актуальность работы обусловлена тем, что течения с образованием отрыва потока от поверхности тела и появляющиеся при этом физические явления, рассматриваемые в диссертации, встречаются во многих практически важных задачах аэрогидродинамики. Такие течения сопровождаются развитием на теле отрывных зон, которые в результате гидродинамической неустойчивости могут срываться в поток, образуя сложные нестационарные вихревые структуры. Возникающие при этом различного рода гидродинамические эффекты, такие как "захват частоты" при взаимодействии собственных и наложенных колебаний, вызывают резкие изменения положений зон отрыва и структуры вихревых систем при достижении определенных значений внешних воздействий. Подобные явления могут оказывать существенное влияние на нестационарные аэродинамические нагрузки, что необходимо учитывать в промышленной аэродинамике, например, при строительстве и эксплуатации наземных и подводных сооружений, газо-нефтепро-водов и др. Актуальными также являются задачи управления поведением нестационарных вихревых структур, возникающих при отрывных течениях, путем внесения в поток внешних воздействий (например, с целью погашения вихревого следа или снижения интенсивности тех или иных гидродинамических эффектов).

Интерес к изучению отрывных течений отражается в многочисленных публикациях по этой теме в мировом научном сообществе.

Для исследования отрывных течений в данной работе применяются методы численного решения полных уравнений Навье-Стокса, что позволяет учитывать целый ряд сложных явлений, характерных для рассматриваемых задач, и при этом опираться на фундаментальные законы аэрогидромеханики. Разработка эффективных масштабируемых параллельных алгоритмов численного решения уравнений Навье-Стокса и методов, позволяющих проводить качественный анализ возникающих явлений, становятся важнейшими

направлениями при исследовании отрывных течений.

Основные цели работы. Основными целями диссертационной работы являются:

1) углубленное изучение механизмов проявления аэрогидродинамических явлений, возникающих при отрывных обтеканиях цилиндрических тел вязким потоком жидкости (газа), таких как зарождение, развитие и затухание дорожки Кармана, появление вторичной вихревой дорожки; исследование влияния на процессы отрыва и перестройки в следе внешних воздействий (вращение тела, вращательные и поступательные колебания, изменение формы, внесение в поток второго тела или экрана); исследование гидродинамической неустойчивости нестационарных саморазвивающихся структур, формирующихся в отрывном потоке; изучение гидродинамических эффектов, обусловленных взаимодействием собственных и вынужденных колебаний;

2) разработка эффективных и надежных алгоритмов решения уравнений Навье-Стокса, описывающих течения вязких жидкостей (газов) для многосвязных областей и методов анализа изучаемых физических явлений, которые в совокупности можно рассматривать как многофункциональный инструмент, позволяющий проводить как фундаментальные, так и практически важные прикладные исследования широкого спектра задач.

Достоверность результатов. Результаты расчетов, представленные в диссертации, получены с помощью обоснованных классических математических моделей и численных процедур, которые тестировались не только в рамках данной диссертации, но и в исследованиях, проводимых другими авторами. Показано хорошее соответствие результатов настоящей работы экспериментальным данным и расчетам других авторов. Проведение расчетов двумя различными специально разработанными численными методами позволило осуществить дополнительный внутренний контроль точности решений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

• На основе численного решения полных уравнений Навье-Стокса проведен детальный анализ процессов перестройки, происходящих в дальнем следе, и на основе теории гидродинамической устойчивости описаны причины, вызывающие эти процессы. Изучено влияние различных способов внешнего воздействия на эти процессы.

• Показано, что наглядное представление течения на основе симметричной и кососимметричной частей для задачи обтекания цилиндра позволяет ввести понятие зоны вихреобразования для нестационарного обтекания, описать механизмы вихреобразования и развитие вихревого следа.

• Установлена связь ранее обнаруженных бифуркаций со свойствами отрывной зоны основного течения.

• Обнаружено, что при фиксированной амплитуде вращательных колебаний, начиная с некоторой частоты в спектре осцилляций коэффициента подъемной силы Су доминирует частота вынужденных колебаний. Показано, что существует диапазон частот вынужденных колебаний (3,85^0 ^ Ря ^ 6, 25£о), при котором картины течения в дальнем следе практически не меняются.

• Разработаны алгоритмы численного решения уравнений Навье-Стокса, записанных для функций давление-скорость-температура и описывающих двумерные течения вязких газов, объединяющие в себе следующие особенности:

— используется противопоточный метод Петрова-Галеркина;

— задачи решаются на неструктурированных сетках, которые автоматически строятся для сложных многосвязных областей и учитывают особенности геометрии расчетной области;

— во время расчета применяется метод адаптации сетки, позволяющий существенно повысить эффективность расчета;

- построены параллельные реализации алгоритмов расчета для суперкомпьютеров "Ломоносов" и "Чебышев";

- заложена возможность учета сжимаемости и расчета тепловых процессов.

• Построена новая реализация метода решения уравнений Навье-Стокса, записанных для функции тока и завихренности, впервые примененного в работе [52], на базе которой разработан и верифицирован экономичный метод расчета дальнего следа путем продолжения решения вниз по потоку.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы

• при разработке и тестировании методов моделирования течений вязкой жидкости (газа), планировании экспериментов, в учебном процессе;

• в области промышленного строительства и эксплуатации сооружений — при расчете ветровых нагрузок для высотных сооружений, при проектировании опор мостов, вышек и других конструкций, при расчете аэродинамических нагрузок на наводные и подводные участки нефтепроводов и газопроводов, в задачах погружения тел цилиндрической формы в воду и многих других подобных задачах (например, для якорных систем, удерживающих плавающие объекты).

Созданные в процессе работы над диссертацией алгоритмы и методы расчета вязких сжимаемых течений для многосвязных областей на основе численного решения полных уравнений Навье-Стокса, а также реализованные методы анализа гидродинамической устойчивости и представления течений могут быть применены ко многим сложным и практически важным задачам аэрогидромеханики, связанным с вязкими отрывными течениями. В частности, для решения таких задач, как проектирование многозвенных профилей с высокими несущими свойствами; исследование гистерезисных явлений, воз-

никающих при отрывных обтеканиях тел вязким сжимаемым потоком; исследование аэродинамических нагрузок для тел и конструкций, попадающих в область ближнего или дальнего следа.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения", МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007 г., 2008 г., 2009 г., 2010 г., 2011 г., 2012 г.

• Конференция-конкурс молодых ученых Института механики МГУ, 2007 г., 2008 г., 2009 г.

• VIII - XII школа-семинар "Модели и методы аэродинамики", г. Евпатория, 2008 г., 2009 г, 2010 г., 2011 г., 2012 г.

• Конференции "У.М.Н.И.К. 2009", МГУ имени М.В.Ломоносова, 2009 г.

• XXI и XXIII, XXIV "Научно-техническая конференция по аэродинамике ЦАГИ, 2010 г., 2012 г., 2013 г.

• Международная конференция по прикладной математике и информатике, посвященная 100-летию со дня рождения академика A.A. Дородницына, ВЦ РАН, 2010 г.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010 г., 2011 г., 2012 г.

Результаты работы докладывалась и обсуждалась на следующих научно-исследовательских семинарах, школах и спецгруппах.

• Семинар кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН Г.Г. Черного, 2010 г., 2011 г.

• Семинар по механике сплошных сред под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, профессора В.П. Карликова, члена-корреспондента РАН О.Э. Мельника, НИИ механики МГУ, 2012 г.

• Спецгруппа "Суперкомпьютерное моделирование: технологии, инструменты и приложения", ВМК и НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011 г.

• Летняя школа "Разработка параллельных приложений для петафлопс-ных вычислительных систем", ВМК и НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011 г.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты работы изложены в 23 научных публикациях [1-23], из которых 5 — статьи, 1 — отчет и 17 — тезисы докладов. Работы [2, 9] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК на момент публикации. Во всех работах автору принадлежит участие в постановке задачи, разработка алгоритмов решения, численное моделирование и анализ результатов. Все положения, выносимые на защиту, получены лично соискателем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 170 страниц, включая 74 рисунка и 6 таблиц. Библиография включает 245 наименований на 28 страницах.

Глава 1 Обзор литературы

При исследовании отрывных обтеканий тел вязкой жидкостью одной из классических задач, которая охватывает широкий круг проблем, возникающих для плохообтекаемых тел, является задача обтекания цилиндра. Поэтому в обзоре, в основном, рассматриваются работы, касающиеся обтекания кругового цилиндра потоком вязкой жидкости.

Теоретические и экспериментальные исследования отрывных обтеканий тел начали интенсивно развиваться в конце 19 - начале 20 века, хотя, по-видимому, первые изображения вихревого следа принадлежат Леонардо Да Винчи и сделаны еще в начале 16 века (его эскизы отрывного обтекания тел довольно хорошо отражают реальную картину происходящего) [111]. Считается, что начало фундаментальных исследований обтекания цилиндра положено в таких работах, как работы Струхаля [117] (1878 г.) и Релея [109] (1879 г.) по изучению эоловых тонов в колеблющихся на ветру струнах, в [117] было введено число Струхаля = где /, с1, V — частота эоловых тонов, диаметр струны и скорость потока; работы Бенара [60] (1908 г.) и Кармана [94-96] (1911-1912 гг.), в которых изучалось периодическое течение за цилиндром с поочередно срывающимися с его поверхности вихрями, в честь этих исследователей вихревая дорожка в следе была названа дорожкой Кармана-Бенара или дорожкой Кармана.

Карман и Рубах в [96] создали теорию бесконечных вихревых цепочек. В рамках теории идеальной жидкости строились приближенные модели вихревого следа, было установлено, что вихревые цепочки всегда неустойчивы. В реальных течениях дорожка Кармана разрушается на конечном расстоянии от тела, последующий процесс развития вихревого следа может сопровождаться перестройками на вторичные вихревые дорожки и хаотизацией (см. Главы 5, 8). Для реальных вязких жидкостей связь между формированием

вихрей и неустойчивостью следа впервые была указана в [43].

Большая экспериментальная работа была проведена Танедой [118, 120, 121], где исследовались обтекания неподвижного цилиндра, цилиндра вблизи экрана, обтекания цилиндра, совершающего вращательные колебания. В этих работах, в частности, были получены новые результаты, касающиеся способов гашения дорожки Кармана с помощью высокочастотных колебаний или внесения подвижного экрана (движение цилиндра вблизи стенки). Эти явления полностью не изучены и к настоящему времени [29, 82, 135].

Изучение отрывных обтеканий тел разделилось на множество направлений, среди которых в последнее время активный интерес исследователей вызывают такие, как изучение гидродинамических эффектов, вызванных внешними воздействиями, и возможности управления различными характеристиками течения, исследование перехода к трехмерности и турбулентности, устойчивости течения в целом и отдельных структур. Более подробный анализ актуальных направлений приведен в разделе 1.5.

1.1. Классификация режимов течения

Из экспериментов известно, что можно выделить несколько интервалов значений параметров течения, при которых его характер качественно отличается [98, 111, 131]. Первая работа, в которой была сделана попытка классифицировать режимы обтекания цилиндра — работа Рошко 1954 года [111], где проводились измерения флуктуаций скорости в следе при числах Рей-нольдса 40 ^ Re ^ 10000. Были выделены режим с ламинарным следом (40 < Re < 150), и режим перехода (150 < Re < 300) к нерегулярному вихревому следу (Re > 300).

Более детальная классификация представлена в работе [131]. При описании режимов автор опирался на зависимость абсолютного значения коэффициента давления Срв в точке 6 = 180° от числа Рейнольдса Re (рис. 1.1). Выделяются следующие режимы:

Рис. 1.1. Зависимость значения коэффициента —Срв в точке в = 180° от числа Re [131] (угол в отсчитывается от лобовой точки цилиндра по часовой стрелке)

1. До точки А. Ламинарный установившийся режим (Re < Re и «

49).

а б

Рис. 1.2. Обтекание кругового цилиндра при Не = 1, 54 (а) и Не = 26 (б), экспериментальные данные [26]

При очень малых числах Рейнольдса Re < Re г « 7 имеет место установившееся обтекание цилиндра без образования застойной зоны, при котором расположение линий тока напоминает картину потенциально-

го обтекания (рис. 1.2 а). При Яе > Де/ в следе образуется пара неподвижных симметричных вихрей (рис. 1.2 б), длина их линейно растет с ростом числа Рейнольдса.

2. А-В. Режим с образованием ламинарной вихревой дорожки в следе (49 < Яе < 140 - 194).

Рис. 1.3. Обтекание кругового цилиндра при Re = 150, экспериментальные данные [131]

В этом диапазоне наблюдается ламинарное периодическое течение, с отрывом от цилиндра вихрей, которые уносятся потоком и образуют упорядоченные структуры в следе — дорожку Кармана (рис. 1.3). Переход к этому режиму связан с неустойчивостью стационарного течения.

3. В-С. Режим перехода к трехмерному следу (190 < Re < 260).

а б

Рис. 1.4. Численные результаты расчетов трехмерного обтекания кругового цилиндра, а — мода А, б — мода В. Данные взяты из работы [131]

Этот режим сопровождается появлением трехмерной неустойчивости

относительно возмущений, периодических вдоль оси цилиндра. Как показано в работе [58], путем решения задачи устойчивости двумерного периодического течения по теории Флоке при Re = 188, 5±1 появляется неустойчивость к 3D возмущениям с длиной волны А = (3,96 ± 0, 02)d — так называемая мода А (рис. 1.4 о). При Re = 259 поток становится неустойчивым к 3D возмущения с длиной волны А = 0,822d (мода В, рис. 1.4 б). В эксперименте мода А появляется при Re = 180 — 194, мода В — Re = 230 — 250. В работе [58] также построена нейтральная кривая обтекания цилиндра, которая характеризует границу области неустойчивости к трехмерным возмущениям.

Число Струхаля St в этом промежутке изменения чисел Re имеет сильный разброс (рис. 1.8).

4. C-D. Увеличение трехмерного шума на малых масштабах.

В этом диапазоне проявление трехмерности на малых масштабах становится более неупорядоченным, происходит уменьшение двумерных турбулентных напряжений и уменьшение коэффициента Срв.

5. D-E. Переходный режим в слое смешения (1000 < Re < 200000).

Слои смешения с двух сторон от цилиндра (рис. 1.5) становятся неустойчивыми, в результате чего в них появляются малые вихри (рис. 1.6). Экспериментальные исследования этого явления проведены в [107], численные — в [115, 124].

Рис. 1.6. Обтекание кругового цилиндра при Яе = 4000. экспериментальные данные [131]

6. Е-Е-С. Режим асимметричного присоединения (или критический переход).

Коэффициент сопротивления резко уменьшается в этом диапазоне (рис. 1.7). Это явление связано с процессом перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. По этой же причине ширина следа уменьшается.

В работе [59] было обнаружено, что в точке Г появляется присоединенный пузырь только на одной половине цилиндра.

7. С-Н. Режим симметричного присоединения (или сверхкритический режим).

Течение симметрично, и в потоке происходят флуктуации с частотой = 0,4.

8. Н-Л. Переходный режим в пограничном слое (или после-критический режим).

Весь поток, включая пограничный слой, становится турбулентным, но не смотря на это, в следе могут быть выделены периодически сходящие с цилиндра вихревые структуры. В [112] получено, что для этого режима « 0,27.

Таким образом, наблюдаемые в экспериментальных работах обтекания

длинных круговых цилиндров являются двумерными стационарными при Яе < 49, двумерными нестационарными (периодическими) при 49 < Яе < 190 и трехмерными нестационарными при Яе > 190. Эти течения испытывают ряд последовательных неустойчивостей с ростом числа Яе. При Яе = 49 происходит двумерная бифуркация Хопфа, которая приводит к возникновению вихревой дорожки Кармана. Далее появляются две трехмерные неустойчивости относительно возмущений, периодических вдоль оси цилиндра: неустойчивость в слое смешения и в пограничном слое.

3.0 2.5 2.0 |и 1.5 1.0 0.5

001040 10+| 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8

Яе

Рис. 1.7. Зависимость среднего значения коэффициента сопротивления от числа Рейнольд-са [115] (сплошная линия — эксперимент)

На рис. 1.7 дано сравнение экспериментальных средних значений коэффициента сопротивления Сх (на графике Сд) с расчетными данными, полученными из численных решений двумерных уравнений Навье-Стокса для ламинарных течений [115]. Эта модель соответствует реальному течению только до чисел Яе « 190, далее начинаются возрастающие различия в коэффициентах сил, так, при Яе ~ 103-Ь-104 расчетные величины превышают экспериментальные почти в два раза. Причина заключается в том, что в реальном потоке под действием гидродинамической неустойчивости развиваются трехмерные движения, что делает эту модель (20 уравнений Навье-Стокса) непригод-

Henderson, 2D calculations (1995) Mesh Ml

Mesh M2 +

Mesh M3 °

Mesh M4 with Smag. model x

Mesh M4 A

A aa a Mesh M5 *

a

A

. M

_l_l_L-iJ_l_J_L-U .1_I _l l I I_ill!

1 I J-1-1-1 1-1-1-1-L_Jl

ной для расчета гидродинамических нагрузок, действующих на достаточно длинный цилиндр в реальном потоке при больших числах Рейнольдса.

Расхождения решений с данными реальных экспериментов при возрастании Re не уменьшают содержательность модели 2D уравнений Навье-Стокса. Двумерные решения этих уравнений вполне адекватно воспроизводят структуру реального потока, включая пограничный слой и отрыв, гидродинамическую неустойчивость и возникновение колебаний, вихреобразование и вихревую дорожку в ближнем и дальнем следе. Кроме того, чисто двумерные течения удается получить экспериментально при исследовании течения пленки [129, 130]. В [129] двумерные обтекания, как стационарные, так и автоколебательные с вихревой дорожкой Кармана при 45 < Re < 560, наблюдались в горизонтальных и вертикальных пленочных потоках. Каждый такой поток представлял текущую мыльную пленку, ограниченную двумя параллельными друг другу направляющими проволоками, и был снабжен системой подачи мыльного раствора в начальном сечении. Размеры лотка: ширина 5 — 10 см при общей длине 2,5 ж, скорость потока 0,8-2 м/сек. Толщина пленки регулировалась количеством подаваемого раствора и составляла 0,1—10 мм. Диаметр обтекаемых цилиндров изменялся в пределах 1,2 — 11 мм. Тщательные измерения показали, что в пленке реализуется плоскопараллельный поток с равномерным по ширине распределением скорости С/^ (в пределах 0, OIUqc) и уровнем турбулентности пульсаций менее OjOOlt/oo. Пленка представляет удобный объект для получения фотографий потоков, обтекающих цилиндр. В [129] основные измерения касались частоты колебаний в дорожке Кармана и установлению зависимости St(Re), а в [130] — коэффициента сопротивления и зависимости Cx(Re).

В работе [111] показано, что при Re > 150 на графике St(Re) появляется разброс экспериментальных данных (рис. 1.8), который связан с трехмерным вихревым движением в следе в условиях эксперимента.

На основании экспериментальных данных Рошко [111] (рис. 1.8) была

Рис. 1.8. Зависимость частоты от числа Яе [111]

построена эмпирическая зависимость числа ££ = ^^ от Яе:

0.212(1 - 21.2/Яе), 50<Яе<150; 0.212(1 - 12.7/Яе), 300<11е<2000.

(1.1)

В работе [75] была предложена еще одна эмпирическая формула, которая охватывает диапазон чисел 47 < Де < 2 • 105:

= +

т

л/Ле '

(1.2)

где значения и т определяются в зависимости от диапазона чисел Де (табл. 1.1).

Таблица 1.1. Значения коэффициентов St* и т для формулы (1.2) в зависимости от диапазона чисел Re

Диапазон чисел Re St* m

47 < Re < 180 0,2684 -1,0356

180 < Re < 230 0,2437 -0, 8607

230 < Re < 240 0,4291 -3,6735

240 < Re < 360 — —

360 < Re < 1300 0,2257 -0,4402

1300 < Re < 5000 0,2040 0, 3364

5000 < Re < 2 • 105 0,1776 2, 2023

1.2. Модели вихреобразования и гидродинамическая неустойчивость

Изменение структуры течения при прохождении через Яе = Кв1 не связано с гидродинамической неустойчивостью, изменяется только топология линий тока и решение не теряет устойчивость вплоть до Яе = Яец. В [63] исследуется топология мгновенных линий тока за круговым цилиндром в ближнем следе при Re та ReJ и после бифуркации, соответствующей Re = Яец. Построена бифуркационная диаграмма, характеризующая структуру ближнего следа и процесс вихреобразования.

Вопрос потери устойчивости при переходе через Яец и появление вихревой дорожки изучался как экспериментально, так и численно. В экспериментальной работе [108] по изучению условий появления вихревой дорожки было показано, что переход через Яец характеризуется суперкритической бифуркацией Хопфа. А в работе [136] этот же результат получен численно, посредством линейного анализа устойчивости. Основной поток в [136] — двумерное стационарное поле течения с зоной отрыва. Решена задача на собственные значения, и вычислено критическое значение числа Рейнольдса, при котором возникает дорожка Кармана.

В процессе формирования вихревой дорожки неустойчивым оказывается двумерное поле течения вблизи цилиндра в целом, в возникновении и раз-

витии автоколебаний существенную роль играет зона отрыва за кормовой частью тела. При нестационарном обтекании зона отрыва может быть выделена путем представления потока в виде суммы симметричной и кососиммет-ричной составляющих, что открывает новую возможность для построения модели вихреобразования [9].

В последнее время множество публикаций касается вопросов перехода к трехмерности [62, 89, 92, 104, 133]. Так, в работе [62] изучался вопрос влияния нарушения симметрии задачи (например, обтекание квадратного цилиндра под углом атаки) на переход к 30; в [104] — влияние вращательных колебаний; в [133] — влияние нагретого цилиндра; в [92] — влияние боковых стенок канала; в [89] рассмотрено обтекание цилиндра конечной длины.

Для исследования устойчивости дальнего аэродинамического следа за телом в [43], в предположении плоскопараллельности течения, был применен метод Релея и показано, что стационарное течение в следе неустойчиво и что наиболее растущие возмущения описываются симметричной составляющей функции тока, при этом кососимметричная составляющая соответствует основному течению. Существует также слабо растущее возмущение, которое имеет такой же тип симметрии, как и основной поток. В [51] способ разделения по свойству симметрии основного течения и возмущений успешно применялся для исследования нелинейного развития гидродинамической неустойчивости ряда плоскопараллельных течений.

Впервые в экспериментальных исследованиях [119] обнаружено, что в дальнем следе за круговым цилиндром и пластиной дорожка Кармана разрушается, и в результате неустойчивости образуется вторичная вихревая дорожка большего масштаба. В [70] это явление экспериментально изучалось для задач обтекания кругового цилиндра (при 70 ^ Яе ^ 2000) и проницаемой пластины (при 3000 ^ Не ^ 9000), а также проведен линейный анализ устойчивости осредненного течения на основе уравнений для невязкой жидкости. Показано, что процессы перестройки вызваны неустойчивостью, и что линейная теория, неучитывающая вязкость, позволяет качественно предсказывать

значения частот в следе. В связи со сложностью организации расчетов дальнего следа работ, посвященных численному исследованию развития вихревого следа за круговым цилиндром, существенно меньше, чем экспериментальных. Автору диссертации известно две работы, в которых была произведена попытка расчета дальнего следа в задаче обтекания кругового цилиндра. В первой работе [90] на основе метода конечных разностей построены решения задачи обтекания кругового цилиндра в стационарном и пульсирующем набегающих потоках в диапазоне чисел 140 ^ Яе ^ 1000, расстояние от оси цилиндра до дальней границы — 800 радиусов. Изучалось предположение о том, что основную роль в перестройке играет процесс слияния вихрей, а не явление гидродинамической неустойчивости. Получено, что эффект слияния вихрей присутствует в случае пульсирующего набегающего потока и не наблюдается при стационарном потоке. Во второй работе [32], посвященной двум программным комплексам УР2/3 и УУЬГОРкш, в качестве тестовой задачи для бессеточного метода вязких вихревых и тепловых доменов приводятся результаты расчета дальнего следа за обтекаемым цилиндром при Яе = 140 и х ^ 225.

1.3. Управление течением и гидродинамические эффекты

К настоящему времени в мировой литературе накоплен обширный материал, касающийся различных способов управления течением, таких как вращение тела с постоянной скоростью [52, 55, 67, 72, 101, 116], вращательные и поступательные колебания [57, 68, 68, 74, 102, 114, 121, 122, 125, 132], непрерывное изменение угла атаки [30, 35], изменение формы тела [30, 97], внесение в поток дополнительного тела или экрана [73, 82, 120, 135], вдув или отсос с поверхности тела [65], нагрев тела [40] и др. Охватить все многообразие способов воздействия и возникающих при этом гидродинамических эффектов (захват частоты, гистерезисные явления, изменение структуры вих-

22

ревой дорожки или ее исчезновение и т.п.) в рамках данной диссертации не представляется возможным, поэтому далее более детально рассматриваются некоторые из перечисленных выше способов воздействия на поток.

1.3.1. Вращение цилиндра с постоянной скоростью

Интерес к аэрогидродинамической задаче обтекания вращающегося круглого цилиндра вызван важными техническими приложениями. Вращение нарушает симметрию потока, а возникающая в этом случае боковая сила Магнуса может существенно изменить траекторию движущегося цилиндра. Вращение влияет также на формирование и развитие автоколебательного режима обтекания. Теоретические исследования этой задачи имеют достаточно содержательную историю.

В [52] был впервые применен метод, связанный с представлением решения уравнений Навье-Стокса в виде суммы кососимметричной и симметричной частей, и построено численное решение с вихревой дорожкой, воспроизводившее как этап развития потока, так и режим установившихся нелинейных колебаний. Экспериментальное исследование с визуализацией полей течения при малых числах Яе,£г проведено в [72]. Полученные картины течений использовались для сопоставления с расчетными полями в [55] и в последующих исследованиях для проверки достоверности теоретических результатов и отработки деталей теоретических моделей и расчетных алгоритмов. В [67] был применен комбинированный алгоритм решения уравнений Навье-Стокса: диффузионно-вихревой метод для точек вблизи поверхности тела и метод вихрей в ячейках для внешней области эффективно невязкого течения. Большие возможности вычислительных устройств позволили провести систематические расчеты при Яе = 1000, 0 < е < 6, выявить некоторые детали вихреобразования и развития вихревой дорожки, вычислить распределение давления и трения, средние значения коэффициентов сопротивления и подъемной силы, числа Струхаля.

В [116] и [101] численно получен новый результат о существовании малого интервала по е, в котором обнаруживается новая мода схода вихрей. В [116] применяется метод конечных объемов на неортогональной сетке, построенной по контуру тела. Получено, что при Re = 200 числа Струхаля для двух мод равны соответственно: St ~ 0,19 при е — 1; St « 0, 03 при е = 4, 5. В работе [101] методом конечных элементов решаются уравнения Навье-Стокса для задачи обтекания вращающегося цилиндра при числе Re = 200 и 0 ^ е < 5. Исследуется влияние вращения цилиндра на след, в частности, найдены две области неустойчивости 0 ^ е ^ 1,9 и 4, 34 < е < 4, 8. Получено, что режимы вихревого следа для двух областей неустойчивости качественно различаются. Во второй области наблюдается односторонняя дорожка. В работе представлены результаты по средним и колебательным составляющим аэродинамических коэффициентов для различных е, и получено, что St снижается с ростом е. В работе также проведен линейный анализ устойчивости стационарных течений вращающегося цилиндра при Re = 200, и построены области неустойчивости потока в зависимости от е. В [33] дополнительно выделяются режимы с появлением отрицательного сопротивления и построены границы этих режимов в широком диапазоне расчетных параметров 50 < Re < 500,0 < е ^ 6.

В [88] на основе уравнений Навье-Стокса для сжимаемой жидкости изучена возможность управления генерацией звука путем вращения цилиндра и вдува-отсоса через его поверхность. Большая вычислительная работа проведена в [66] для изучения вопросов, связанных с обтеканием вращающегося цилиндра на расстоянии h от экрана при Re = 200. Применялся метод LBE (Lattice Boltzmann Equation — решеточное уравнение Больцмана) с настройкой решения на реальное гидродинамическое течение. Подтверждены эффекты затухания вихревой дорожки при возрастании е и уменьшении h, получены зависимости коэффициентов сопротивления и подъемной силы от е, h, обсуждены детали структуры вихревой дорожки.

Как отмечено в [101] одной из важных задач является определение мак-

симального значения подъемной силы, которое может быть получено с помощью вращающегося цилиндра. В 1925 году Прандтлем были проведены эксперименты по измерению силы Магнуса [106] и выдвинута гипотеза об ограниченности коэффициента подъемной силы числом 47т, после чего был проведен ряд численных и экспериментальных исследований, в которых пытались проверить и объяснить это утверждение [67, 101, 126]. В результате численных исследований двумерных обтеканий вращающегося цилиндра в [101] получено, что максимальный предел Прандтля может быть превышен. В работе высказано предположение о том, что при трехмерном обтекании конечного цилиндра эффекты, связанные с условиями на концах цилиндра и его удлинением, ограничивают подъемную силу, возникающую из-за эффекта Магнуса.

1.3.2. Вынужденные колебания цилиндра

На основе экспериментальных данных Вильямсон и Рошко построили классификацию вихревого движения в следе за колеблющимся поперек потока цилиндром [132]. Используя символьные обозначения, они описали вихревые образования в следе за цилиндром (например, 2Б означает, что за один цикл оторвалось два одиночных вихря, 2Р — два парных вихря за цикл, и т.п.) и построили диаграмму режимов течения. Позже в работе [105] были предложены теоретические соображения для пояснения этой диаграммы.

В работе [122] в диапазоне 40 ^ Яе ^ 104 экспериментально исследовалось поведение коэффициентов сопротивления и подъемной силы для цилиндра, совершающего продольные и поперечные колебания, а также получен эффект захвата частоты, заключающийся в том, что в некотором диапазоне частот вынужденных колебаний (в данном случае в окрестности частоты St для неподвижного цилиндра) отношение частоты собственных колебаний к вынужденной частоте остается постоянным.

Вынужденные колебания кругового цилиндра под углом к набегающему

потоку изучались в [74, 102]. В экспериментальной работе [102] рассмотрены колебания под углами 0°, 45°, 60°, 90°, наблюдалось два вихревых режима — симметричный (S) и антисимметричный (А). Для колебаний под уголом 60° показано, что захват частоты происходит как в окрестности частоты вынужденных колебаний, равной частоте собственных колебаний для неподвижного цилиндра, так и в окрестности вдвое большей частоты. В [74] с помощью метода динамических сеток получены детали обтекания цилиндра, совершающего колебания под углом к набегающему потоку при Re = 80.

Эффект захвата частоты также появляется и при вращательных колебаниях цилиндра. В работе [68] при Re = 100 и 1000 получено, что область захвата частоты растет с ростом скорости вращения. В [57] показано, что вне области захвата в ближнем следе существует две частоты: одна равна частоте вынужденных колебаний, а вторая, по мере удаления вынужденной частоты от области захвата, постепенно сходится к частоте собственных колебаний для неподвижного цилиндра. В работе [56] при Re = 106 изучался вопрос захвата частоты при вынужденных колебаниях с частотой равной удвоенной и утроенной частоте собственных колебаний для неподвижного цилиндра. Получено, что захват существует при утроенной частоте, но отсутствует при удвоенной.

В экспериментальном исследовании [125] при Re = 15000 показано, что с помощью вращательных колебаний цилиндра можно добиться значительного снижения сопротивления. В работе [114] в диапазоне 150 ^ Re ^ 15000 численно был подтвержден результат работы [125] о снижении сопротивления.

В экспериментальной работе [123] авторы предположили, что изменения в сопротивлении определяются фазовыми задержками ("phase lag") — разница фаз для срыва вихрей с цилиндра и для синусоидального вращения цилиндра — при этом вопрос о причине изменения этих задержек в зависимости от внешних воздействий остался открытым. Также в работе представлены картины течений для различных значений амплитуды и частоты вращения цилиндра при Re = 150, на которых видно, что вынужденные колебания

могут оказывать существенное влияние на вихревые структуры в следе.

В работе [121] экспериментально получено, что с увеличением частоты колебаний застойная зона за цилиндром уменьшается и при некоторой критической частоте полностью исчезает, происходит стабилизация ближнего следа. Этот результат был повторен численно с помощью метода вязких вихревых доменов в работе [29]. С помощью вращательных колебаний цилиндра можно также затянуть переход к трехмерности. Так, в работе [104] показано, что при Re = 500 и частотах вращения, равных частоте Струхаля и удвоенной частоте Струхаля, удается получить двумерное течение вблизи цилиндра.

1.3.3. Цилиндр вблизи подвижного экрана

При обтекании цилиндра вблизи экрана, движущегося со скоростью набегающего потока, также можно добиться исчезновения вихревой дорожки. В экспериментальной работе [120] при Re = 170 было обнаружено, что вихревая дорожка Кармана преобразуется в дорожку одиночных вихрей. В работе [135] при Re = 100,140,180 на основе метода конечных объемов получены численные решения задачи обтекания цилиндра вблизи подвижного экрана. При Re = 100 получено, что если отношение диаметра цилиндра к расстоянию до экрана 7 < 0,1, течение становится стационарным. Коэффициент подъемной силы по мере приближения к экрану возрастает, а число St возрастает до своего максимума при 7 ~ 0, 5, а затем убывает из-за преобразования вихревой дорожки в дорожку из одиночных вихрей. В работе [82] предложено объяснение механизма разрушения дорожки Кармана на основе анализа осредненных профилей скорости в зазоре между цилиндром и экраном с помощью теории гидродинамической устойчивости (без учета вязкости).

1.4. Численные методы, применяемые для решения уравнений Навье-Стокса

Первые алгоритмы численного решения уравнений механики жидкости и газа появились задолго до применения их на ЭВМ [110]. Велась работа над развитием итерационных методов, изучением вопросов постановки граничных условий и сходимости. На первых вычислительных машинах удавалось получать решения двумерных задач гидродинамики на основе уравнений Эйлера и приближенных уравнений Навье-Стокса, полученных с помощью дополнительных предположений. Приближенное моделирование отрывного обтекания включает этап подгонки, а именно, с подходящей модификацией расчетной схемы с обязательным учетом опорных данных из эксперимента удается добиться согласования расчетных и экспериментальных данных. В [46] такие расчеты основаны на задании завихренности для точек отрыва; в [25] положение точек отрыва определялось расчетом по теории пограничного слоя. Таким способом удается промоделировать значение Сх даже для зоны кризиса сопротивления Яе ~ 3, 5 • 106. Далее в данной главе и в диссертации в целом рассматриваются точные численные решения полных уравнений Навье-Стокса.

Одни из первых результатов по численному решению уравнений Навье-Стокса были приведены в [48], где решалась система, записанная для функции тока и завихренноси в стационарном случае. Методы численного решения уравнений Навье-Стокса, записанных для функции тока и завихренности, развивались и успешно применялись [38, 39, 52]. Одной из возникающих при таком подходе проблем является вопрос постановки граничных условий на завихренность, ответ на который описан в [45] на основе систематизации результатов исследований различных авторов. Впервые в [52] был применен метод расчета автоколебательных нестационарных режимов обтекания цилиндров с разделением поля течения на симметричную и кососимметричную составляющие. Были исследованы обтекания вращающихся круговых цилин-

дров, вычислены коэффициенты сопротивления и подъемной силы, получен колебательный режим в следе при числе Рейнольдса Re = 80. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах [31, 37, 53, 54], где были также исследованы обтекания профилей крыла и цилиндров квадратного сечения. Один из подходов к решению уравнений Навье-Стокса, используемый в данной диссертации, основан на этом методе.

Развитие вычислительной техники — в частности, суперкомпьютерных технологий — позволило перейти к решению полных уравнений Навье-Стокса для задач с числом расчетных узлов более нескольких десятков миллионов. Сейчас реализовано множество коммерческих вычислительных программ (CFX, FLUENT и др.), которые широко применяются и дают качественные прикладные результаты, позволяя существенно сократить расходы на реальный эксперимент. В основном в таких программах используются подходы, основанные на методах конечных разностей и конечного объёма.

Второй подход, применяемый в диссертации, основан на решении уравнений Навье-Стокса с помощью метода конечных элементов. Метод заключается в аппроксимации численного решения линейной комбинацией функций из пространства базисных функций с неизвестными коэффициентами, которые ищутся из условия ортогональности невязки весовым функциям. При этом в классическом методе Галеркина или Бубнова-Галеркина [41] весовые функции выбираются из семейства базисных функций. Если же весовые функции выбираются из другого подпространства функций, то метод называют методом Петрова-Галеркина1.

При решении задач гиперболического типа (например, уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, когда конвективные члены доминируют над вязкими) с помощью традиционного метода Галеркина не учитывается скорость и направление возмущений, поэтому возникают трудности, аналогичные тем, что появляются при использовании центральных

1 Г.И. Петров обобщил метод Галеркина и применил к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости [44].

разностей для конвективных членов в методе конечных разностей [45]. Для конечных разностей решение найдено в применении разностей против потока. Для конечных элементов существует несколько методов, позволяющих решить эту проблему, в частности, метод SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) [64, 83] — метод Петрова-Галеркина, в котором за счет особого выбора весовых функций подавляются нефизические осцилляции. Первая работа по этому методу была опубликована в 1979 году [83], затем он получил развитие в серии статей [78-80, 85-87, 91, 113], в которых получены результаты по сходимости, оценки точности. Схема является консервативной и позволяет использовать аппроксимации скорости и давления, не удовлетворяющие условию LBB (Ladyzenskaja-Babushka-Brezzi, условие Ладыжен-ской-Бабушки-Бреци). Метод был распространен на системы уравнений и нелинейные задачи, в [78] он был применен к уравнениям Навье-Стокса для несжимаемых течений, а в [113] — для уравнений Навье-Стокса, описывающих сжимаемые течения, в [87] дан обзор работ по применению этого метода к течениям вязких газов.

Применение метода конечных элементов для моделирования отрывных течений позволяет использовать неструктурированные сетки. Преимущество таких сеток по сравнению со структурированными заключается в более простой их генерации для задач со сложной геометрией границ расчетной области. Также в неструктурированных сетках можно проводить операции локального добавления и удаления узлов, что дает возможность использования адаптивных сеток с процедурами сгущения или разрежения узлов.

Положение особенностей решения часто заранее неизвестно (например, при расчете следов в задаче обтекания тела потоком вязкой жидкости). Поэтому метод адаптации сетки повышает эффективность счета, более грамотно распределяя узлы сетки, а также исключает человеческий фактор при генерации сетки, связанный с возможным неправильным представлением о том, какие области требуют сгущения узлов сетки. Методам адаптации сеток посвящено множество работ [36, 99].

1.5. Современные направления и методы исследований отрывного обтекания цилиндрических тел

С целью определения современных тенденций в направлениях и методах исследований отрывных обтеканий цилиндрических тел вязкой жидкостью проведен анализ статей, опубликованных в журналах "Journal of Fluid Mechanics" (издательство Cambridge University Press) и "Physics of Fluids" (издательство American Institute of Physics) с 2000 no 2011 год и касающихся обтекания цилиндрических тел. В итоге для дальнейшей обработки было отобрано более 100 статей (список статей приведен в разделе Дополнительная литература).

Для классификации исследований выбраны следующие категории:

• типы задач: обтекание неподвижного цилиндра, цилиндра, совершающего вращательные или поступательные колебания, обтекание цилиндра, совершающего вращение с постоянной скоростью, обтекание цилиндра вблизи экрана (задачи, рассматриваемые в диссертации) и прочее;

• направления исследований: управление потоком и внешние воздействия, исследования устойчивости течений, перехода к трехмерности,

изучение характеристик течения и исследование турбулентных явлений;

• принадлежность работы к экспериментальным или численным исследованиям:

• численные методы: спектральные методы, методы конечных элементов (МКЭ), методы конечных разностей (МКР), методы конечных объемов (МКО), вихревые методы, методы решеточных уравнений Больц-мана;

• учет трехмерности;

• учет сжимаемости;

• диапазон чисел Яе (число Яе определялось по диаметру цилиндра, а в случаях, где цилиндр имел переменное сечение поперек потока, бралось значение диаметра в среднем сечении).

а

б

Турбулентность 1%

2%

цилиндр

6%

Вращательные колебания 9%

Поступательные колебания 9%

Рис. 1.10. Тип задач (а) и направления исследований (б)

Эти категории являются достаточно условными и не отражают полный спектр задач, поэтому анализ не является полностью объективным, но при этом позволяет проследить основные тенденции и приоритеты.

На рис. 1.9 представлены данные о количестве экспериментальных и расчетных работ (в множество расчетных работ здесь и далее входят аналитические работы) но годам.

а б

Больцман

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ГОД

Рис. 1.11. Данные по численным методам, а — процент публикаций на основе расчета трехмерного и двумерного обтеканий, б — распределение публикаций по численным методам

На рис. 1.10 представлены классификации по типам задач и направлениям исследований. Разграничение работ по направлениям проводилось на основе субъективного выделения акцентов, при этом одной и той же работе может соответствовать несколько направлений. Воздействие на поток практически в половине работ осуществляется с помощью вращательных или поступательных колебаний, а также с помощью постоянного вращения цилиндра. К остальным способам воздействия относятся вдув и отсос с поверхности тела, внесение второго тела или ограничивающих стенок в поток, изменение формы цилиндра и пр. Данные, приведенные на рис. 1.10, косвенно подтверждают актуальность исследований, охватываемых в диссертации: ~ 64% по типам задач (рис. 1.10а) и ~ 81% — по направлениям исследований (рис.

1.105).

Расчеты

20

15

0 ш

1 §

X

10

Эксперименты

20

15

10

Re

I от 100000 до 1000000

■ от 10000 до 100000 I от 1000 до 10000

■ от 100 до 1000

■ от 0 до 100

Re

■ от 100000 до 1000000

■ от 10000 до 100000

■ от 1000 до 10000

■ от 100 до 1000

Рис. 1.12. Данные по диапазонам чисел Рейнольдса: количество работ, содержащих результаты при числах Re из заданного диапазона, по годам

Несмотря на сложность реализации, наиболее часто применяются спектральные методы. Они дают высокую точность решения, т.к. дифференциальный оператор аппроксимируется с использованием всех точек расчетной области. В последнее время наблюдается повышение интереса к решению задач в трехмерной постановке (рис. 1.11а), в частности, для изучения явлений перехода двумерных течений к трехмерным и возможностей воздействия на эти переходы. По данным исследований только в 4% работ используются уравнения для сжимаемой жидкости (в задачах, связанных с нагревом цилиндра и акустикой).

В основном численные исследования проводились в диапазоне чисел Рейнольдса 0 < Re < 1000, при этом доля публикаций с числами Re из этого интервала с годами возрастала (рис. 1.12).

1.6. Выводы к первой главе

К настоящему моменту в мировой литературе накоплен обширный материал по задачам, рассматриваемым в диссертации. Приведенный обзор литературы не охватывает все многообразие проблем, достижений и подходов,

касающихся отрывных течений вязкой жидкости, но позволяет судить о высоком научном интересе к задачам, рассматриваемым в диссертации, и позволяет утверждать, что на настоящий момент многие проблемы остаются незатронутыми либо изученными недостаточно подробно. В частности, слабо изучено явление перестройки на вторичную вихревую дорожку и процессы развития вихревого следа в целом. Актуальными являются проблемы, касающиеся исследования внешних воздействий на структуру течения в следе, а также взаимодействия вынужденных и собственных частот в потоке. Кроме того, есть задачи, по которым имеется экспериментальный материал, но которые вызывают серьезные трудности при численном моделировании (например, исследования дальнего следа или обтекания цилиндра, совершающего высокочастотные колебания). В настоящей диссертации предпринята попытка более детально изучить эти вопросы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Алексюк, Андрей Игоревич

8.4. Выводы к восьмой главе

Результаты, полученные в данном разделе, демонстрируют потенциал метода представления течения в виде симметричной и кососимметричной составляющих для анализа ближнего и дальнего следа и процессов его развития, связанных с гидродинамической неустойчивостью.

Подтверждена связь между процессами перестройки в следе и гидродинамической неустойчивостью:

• основную роль в процессах зарождения вихревого следа играет неустойчивость к симметричным возмущениям;

• на выходе из области "тишины" в результате неустойчивости возможно формирование вторичной вихревой дорожки;

• во вторичной вихревой дорожке также наблюдаются перестройки, которые могут приводить к хаотизации следа.

Показана связь переходных процессов в основном течении в зависимости от числа Яе с развитием различных мод гидродинамической неустойчивости (изменения в поведении составляющей течения фн согласуется с появлением моды А и В).

На основе анализа гидродинамической неустойчивости течения и ее влияния на процессы перестройки построена модель эволюции вихревого следа, которая происходит в протяженной области длиной до 1000 характерных ра-меров тела.

Получено, что линейная теория устойчивости, в предположении локальной параллельности течения, не только качественно описывает процессы, происходящие в следе, но и позволяет довольно точно предсказывать значение частоты вторичной вихревой дорожки.

Заключение

Реализованы два подхода численного решения уравнений Навье-Стокса.

I. На основе метода конечных разностей на структурированных сетках для течений вязких жидкостей, изложенного в [52]. С помощью конформных отображений показана возможность расширения круга задач, решаемых этим методом. Предложена модификация метода для расчета дальнего следа, основанная на многократном продолжении решения вниз по потоку.

II. На основе противопоточного метода конечных элементов ОЬБ на неструктурированных адаптивных сетках для течений вязких газов. Метод разработан в ходе исследований дальнего следа, но его возможности выходят за рамки задач, рассматриваемых в диссертации, и, в частности, позволяет исследовать тепловые явления, транс- и сверхзвуковые течения, а также решать задачи обтекания нескольких тел со сложной геометрией. Реализованные численные алгоритмы являются базой для дальнейших исследований отрывных обтеканий тел.

Построены параллельные реализации алгоритмов расчета для суперкомпьютеров "Ломоносов" и "Чебышев".

Численные методы исследованы на сходимость и точность получаемых результатов. Применение двух подходов, имеющих различную математическую основу, позволило проводить внутренний контроль точности решений. Достоверность результатов обоснована сопоставлением с экспериментальными данными и расчетами других авторов на примере задач обтекания цилиндра: неподвижного, вращающегося с постоянной скоростью, совершающего поступательные колебания, вблизи подвижного экрана, обтекания двух цилиндров разных радиусов, а также на примере сверхзвукового обтекания неподвижного цилиндра.

Проведено детальное исследование процессов зарождения и развития вихревого следа при отрывном обтекании цилиндрических тел потоком вязкой жидкости (газа) в диапазоне 0 < Яе ^ 500. Показано, что при дозвуковом (М = 0,1) обтекании можно выделить следующие характерные области вихревого следа: область формирования дорожки, дорожка Кармана, область разрушения дорожки Кармана, область "тишины", область зарождения вторичной вихревой дорожки, вторичная вихревая дорожка, область хаотичного следа. Оценены размеры каждой из этих зон в зависимости от числаЯе. Установлено, что более интенсивная вихревая система вызывает более раннее разрушение дорожки Кармана и более ранний переход на вторичную вихревую дорожку.

Исследованы структура течения в ближнем следе, поведение особых точек на теле (точки отрыва и присоединения) и в потоке (точки, в которых скорость равна нулю) при нестационарном отрывном обтекании. Показано, что длина области возвратного течения практически не меняет своих размеров на периоде и определяет расстояние, на котором исчезают особые точки в потоке. Образование этих точек происходит во время появления рециркуляционной зоны (точка типа центр) и ее отрыва от поверхности (точка типа седло). Установлено, что процесс образования периодично отрывающейся рециркуляционной зоны при Яе > 200 сопровождается образованием дополнительной малой рециркуляционной зоны на поверхности цилиндра, которая сливается с основной.

Представление течения в виде суммы симметричной и кососимметрич-ной составляющих позволило связать задачу обтекания с задачей гидродинамической устойчивости. На основе данных о взаимодействии полей фс и фн на периоде колебаний истолкована динамика зарождения, развития и отрыва вихревых структур в ближнем следе и объяснена связь этих процессов со структурой вихревой дорожки. Установлено, что при нестационарном режиме обтекания в поле фн отчетливо видна отрывная зона "основного течения", которая не наблюдается в суммарном течении ф. С помощью данных о симметричной составляющей течения фс построено истолкование экспериментальных данных [77] о зоне вихреобразования.

Исследовались течения в усложненных условиях, связанных с созданием дополнительных возмущений в потоке. Определено влияние параметров, задающих возмущения потока, на характеристики и структуру течения в широком диапазоне их изменения. Изучены режимы, на которых за счет вариации параметров возмущений можно добиться эффекта исчезновения дорожки Кармана в следе. Рассмотрены следующие способы воздействия на поток.

• Вращение цилиндра с постоянной скоростью. Рассмотрена структура обтекания цилиндра при Яе = 100 и скорости вращения е = 2, 5 из интервала, в котором вихревая дорожка не образуется (2 < е < 4). Получено, что в этом случае формируется только одна рециркуляционная зона, ограниченная особыми точками в потоке и слоем жидкости, примыкающим к цилиндру и вращающимся вместе с ним, при этом точка торможения одновременно является и точкой отрыва. В окрестности этого слоя профили скорости могут иметь два экстремума.

• Вращательные колебания цилиндра. Подробно исследованы взаимодействие вынужденных и собственных частот при вращательных колебаниях цилиндра с частотами 0; 0, 55£о> k•Stо; к-вЬо±0, 25^о (к = 1, 2,., 6). Показано, что при Рд > 35£о в спектре осцилляций Су доминирует частота вынужденных колебаний.

Исследовалось влияние возмущений на вихревой след: получены режимы с несимметричной дорожкой; показано, что при 3, ^ Вя ^ 6, влияние вынужденных колебаний распространяется только на область вихреобразования, а область вихревой дорожки практически не меняется. Численно повторен экспериментальный результат Танеды [121] об исчезновении этой дорожки при высоких частотах вынужденных колебаний.

• Поступательные колебания цилиндра. Рассмотрены продольные колебания цилиндра при Яе = 80, ах = 0, 28 и от 0,0 до 0,4 и поперечные колебания при Яе = 100, ау от 0,0 до 1,6, Ру = и 0,16. Установлено, что при частоте поперечных колебаний равной Sto существует интервал амплитуд ау, в котором значение ДСу вдвое меньше, чем для неподвижного цилиндра. Показано, что положение точек отрыва линейно зависит от ау и может смещаться на большие углы на периоде, так, например, при ау — 0,8 это смещение составляет 70°.

• Цилиндр вблизи подвижного экрана. Исследовано явление возникновения пограничного слоя на экране и его влияние на интегральные характеристики и структуру течения в следе. Показано, что по мере приближения цилиндра к экрану область с положительным коэффициентом давления на поверхности цилиндра смещается в сторону экрана и увеличивает свои размеры. Исследован эффект резкого изменения интегральных характеристик при малых расстояниях 7, связанный с перераспределением давления по поверхности тела и появлением (исчезновением) вихревой дорожки в следе. Возможны три режима течения в следе: дорожка из двух рядов, дорожка из одного ряда, след без образования вихревой дорожки. Обнаружено, что возможны режимы (7 — 0, 2), при которых в ближнем следе вихревой дорожки нет, но она образуется в дальнем следе. Получено, что в результате взаимодействия экрана и вихревой дорожки на нем образуются отрывные области.

Построены численные решения задач обтекания крылового профиля Чаплыгина [28, 50] и эллиптического цилиндра. Показано, что для рассматриваемых тел при относительной толщине до 0,6 и нулевом угле атаки, а также при малых углах атаки их обтекание при Яе = 100 является стационарным. Развитие отрывной зоны как для профиля, так и для эллипса начинается с образования присоединенной рециркуляционной области на поверхности тела. При увеличении относительной толщины при нулевом угле атаки (или увеличении угла атаки для фиксированной толщины) зона локального отрыва увеличивается и происходит срыв этой зоны в поток. Получено, что переход на нестационарный режим сопровождается резким скачком числа которое убывает с ростом угла атаки или толщины обтекаемого тела. Установлено, что при нестационарном обтекании среднее значение сопротивления при одинаковых углах атаки больше у тонкого профиля.

Проведено исследование связи между процессами перестройки в следе и гидродинамической неустойчивостью на основе изучения взаимодействия основного поля скоростей с дополнительным полем и анализа осредненного течения с помощью уравнений Релея и Орра-Зоммерфельда. Обнаружено наличие связи переходных процессов в основном течении в зависимости от числа Яе с развитием различных мод гидродинамической неустойчивости. Предложена модель эволиции вихревого следа. Установлено, что

• формирование вихрей связано с неустойчивостью основного течения (описываемого полем фя) в ближнем следе к симметричным возмущениям

• на выходе из области "тишины" в результате неустойчивости течения в ней могут возникать осцилляции, которые в конечном счете формируют новую вихревую дорожку;

• во вторичной вихревой дорожке могут наблюдаться перестройки, которые приводят к хаотизации следа.

Показано, что линейная теория устойчивости с учетом влияния вязкости, в предположении локальной параллельности течения, не только качественно описывает процессы, происходящие в следе, но и позволяет довольно точно предсказывать значение частоты вторичной вихревой дорожки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алексюк, Андрей Игоревич, 2013 год

Литература

Список публикаций

1. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Влияние формы обтекаемого тела, наличия экрана и внешних воздействий на процессы развития вихревого следа // Материалы XXIV Научно-технической конференции по аэродинамике. ЦАГИ, 28 февраля - 1 марта. 2013. С. 27.

2. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Возникновение, развитие и затухание вихревой дорожки в следе за обтекаемым телом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика 2012. № 3. С. 24-32.

3. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. О процессах перестроек вихревого следа, вызываемых гидродинамической неустойчивостью // Материалы XXIII Научно-технической конференции по аэродинамике. ЦАГИ, 1-2 марта. 2012. С. 16-17.

4. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. О роли гидродинамической неустойчивости в процессах перестройки дальнего следа // Материалы 12-й международной школы-семинара "Модели и методы аэродинамики", Евпатория, 2012 г. М.: МЦНМО. 2012. С. 13-14.

5. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. О роли гидродинамической неустойчивости в процессах перестройки следа за обтекаемым телом // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Изд. Моск. ун-та. 2012. С. 17-18.

6. Алексюк А.И. Гидродинамическая неустойчивость и процессы перестроек вихревого следа // Материалы Международного молодежного научного форума "Ломоносов-2012". 2012. URL: http://lomonosov-msu. ru/ archive/Lomonosov_2012/index.htm.

7. Шкадов В.Я., Алексюк А.И., Шкадова В.П. Возникновение, развитие и затухание вихревых структур в дальнем аэродинамическом следе // Материалы 11-й международной школы-семинара "Модели и методы аэродинамики", Евпатория, 2011 г. М.: МЦНМО. 2011. С. 180-181.

8. Алексюк А.И. Дальний след за телом в вязком потоке // Материалы Международного молодежного научного форума "Ломоносов-2011". 2011. URL: http: //lomonosov-msu. ru/archive/Lomonosov_2011/index. htm.

9. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Гидродинамическая неустойчивость отрывного обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2010. № 5. С. 51-57.

10. Алексюк А.И. Численное моделирование гидродинамических эффектов, возникающих при обтекании тел потоком вязкой жидкости // Материалы Международного молодежного научного форума "Ломоносов-2010". 2010. URL: http: //lomonosov-msu. ru/archive/Lomonosov_2010/index.htm.

11. Шкадов В.Я., Алексюк А.И., Шкадова В.П. Эффекты гидродинамической неустойчивости в следах за обтекаемым телом // Материалы 10-й международной школы-семинара "Модели и методы аэродинамики", Евпатория, 2010 г. М.: МЦНМО. 2010. С. 182-183.

12. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Гидродинамическая неустойчивость и вихреобразование при обтекании кругового цилиндра вязкой жидкостью // Материалы XXI Научно-технической конференции по аэродинамике. ЦАГИ, 25-26 февраля. 2010. С. 16.

13. Шкадов В.Я., Алексюк А.И., Шкадова В.П. Численное решение уравнений Навье-Стокса для задачи обтекания тел вязкой жидкостью // Международная конференция по прикладной математике и информатике, по-

священная 100-летию со дня рождения академика A.A. Дородницына. ВЦ РАН, 7-11 декабря. 2010. С. 160-162.

14. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Взаимодействия собственных и вынужденных колебаний при обтекании цилиндра вязкой жидкостью // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Изд. Моск. ун-та. 2010. С. 21.

15. Алексюк А. И., Кул aro А.Е., Шкадова В. П. Расчет обтекания цилиндра вязкой несжимаемой жидкостью в присутствии экрана, в процессах пищевых производств // Труды ИЭФ. 2009. № 6. С. 5-11.

16. Шкадов В.Я., Шкадова В.П., Алексюк А.И. Отрывное обтекание цилиндра вязкой жидкостью как задача гидродинамической устойчивости // Материалы 9-й международной школы-семинара "Модели и методы аэродинамики", Евпатория, 2009 г. М.: МЦНМО. 2009. С. 172-173.

17. Алексюк А.И. Эффект захвата частоты для цилиндра, совершающего вращательные колебания в потоке вязкой жидкости // Труды конференции-конкурса молодых ученых 8-10 октября 2008г. Изд. Моск. ун-та. 2009. С. 47-53.

18. Шкадова В.П., Алексюк А.И., Шкадов В.Я. Гидродинамическая неустойчивость потока вязкой жидкости и формирование вихревого следа за круговым цилиндром // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Изд. Моск. ун-та. 2009. С. 156-157.

19. Шкадова В.П., Шкадов В.Я., Алексюк А.И. Численное решение уравнений Навье-Стокса для нестационарного отрывного обтекания // Отчет Института механики МГУ. 2008. № 4969. С. 1-95.

20. Алексюк А.И., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Исследование нестационарных отрывных обтеканий цилиндров методом численного решения уравнений Навье-Стокса // Материалы 8-й международной школы-семинара

145

"Модели и методы аэродинамики", Евпатория, 2008 г. М.: МЦНМО. 2008. С. 9-10.

21. Алексюк А.И. Вращающийся цилиндр в потоке вязкой несжимаемой жидкости // Труды конференции-конкурса молодых ученых 10-12 октября 2007г. Изд. Моск. ун-та. 2008. С. 67-75.

22. Алексюк А.И., Шкадова В.П. Влияние внешних воздействий на отрывное обтекание цилиндра вязкой жидкостью // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Изд. Моск. ун-та. 2008. С. 19-20.

23. Алексюк А.И., Шкадова В.П. О структуре вязкого несжимаемого потока вблизи вращающегося кругового цилиндра // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Изд. Моск. ун-та. 2007. С. 21.

Цитированная литература

24. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974.

25. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988.

26. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

27. Воеводин Вл.В., Жуматий С.А., Соболев С.И. и др. Практика суперкомпьютера "Ломоносов". № 7. Открытые системы. — М.: Издательский дом "Открытые системы", 2012.

28. Голубев B.B. Чаплыгин. M.: Институт компьютерных исследований, 2002. С. 180.

29. Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., Дынников Я.А., Малахова Т.В. О стабилизации следа за круговым цилиндром, совершающим высокочастотные вращательные колебания // Доклады Российской Академии наук. 2010. Т. 432, № 1. С. 45-49.

30. Дынникова Г.Я. Вихревые методы исследования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости // Докторская диссертация: 05.13.18. Москва. 2011.

31. Зеленов И.В., Шкадов В.Я. Обтекание профиля крыла потоком вязкой жидкости // Известия АН СССР, МЖГ. 1986. № 4. С. 29-36.

32. Исаев С.А., Гувернюк C.B., Малахова Т.В. Решение уравнений Навье-Стокса и теплопроводности с помощью многоблочных эйлеровых и бессеточных лагранжевых вычислительных технологий, реализованных в отечественных программных комплексах VP2/3 и VVHDFlow //В. сб.: Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Девятой Всероссийской конференции. Казань: Изд-во Отечество. 2012. С. 191-196.

33. Калинин Е.И. Численное исследование периодических и стационарных течений вязкой жидкости // Кандидатская диссертация: 01.02.05. Казань. 2011.

34. Коваленко В.М., Бычкова Н.М., Кисель Г.А., Диковская Н.Д. Обтекание вращающегося и неподвижного цилиндра вблизи плоского экрана. Сообщение 2 // Изв. СО АН СССР. Сер. тех. наук. 1984. № 4. С. 78-88.

35. Колин И.В., Святодух В.К., Трифонова Т.И., Шуховцов Д.В. Гистерезис в аэродинамических характеристиках модели самолета с прямым кры-

лом большого удлинения // Журнал технической физики. 2006. Т. 76, № 4. С. 136-139.

36. Круглякова J1.B., Неледова A.B., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор) // Матем. моделирование. 1998. Т. 10. С. 93-116.

37. Кулаго А.Е., Шкадова В.П., Шкадов В.Я., Зеленов И.В. Неустойчивость и автоколебания потока при обтекании цилиндров квадратного сечения // Труды МЭИ. 2004. Т. 4. С. 172-186.

38. Люлька В.А. Численное решение задачи о вращении цилиндра в потоке вязкой несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. Т. 17. С. 470-480.

39. Люлька В.А., Щенников В.В. Численное решение уравнений Навье-Стокса // В кн. Теоретические работы по гидромеханике. 1970. С. 107-149.

40. Малахова Т.В. Нестационарная гидродинамика и теплообмен колеблющихся тел // Кандидатская диссертация: 01.02.05. Москва. 2012.

41. Михлинч С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

42. Немировский Ю.В., Пятаев С.Ф. Автоматизированная триангуляция многосвязных областей со сгущением и разрежением узлов // Вычислительные технологии. 2000. Т. 5, № 2. С. 82-91.

43. Петров Г.И. Об устойчивости вихревых слоев. Труды ЦАГИ, 304, 1937.

44. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // Прикладная математика и механика. 1940. Т. 4. С. 3-12.

45. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. С. 1-618.

46. Самойлович Г.С. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Машиностроение, 1990.

47. Терехова Н.М. Гидродинамическая устойчивость плоскопараллельной струи // Известия Сибирского отделения Академии наук СССР. 1974. № 3. С. 79-83.

48. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.: Энергия, 1964.

49. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.

50. Чаплыгин С.А., Чаплыгин Ю.С. Новые теоретические профили крыльев и винтов // Техника воздушного флота. 1942. № 3. С. 5-11.

51. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Научные труды НИИ механики МГУ. 1973. № 25. С. 1-196.

52. Шкадова В.П. Вращающийся цилиндр в потоке вязкой несжимаемой жидкости // Известия АН СССР, МЖГ. 1982. № 1. С. 16-21.

53. Шкадова В.П., Зеленов И.В. Плоское обтекание произвольного профиля потоком вязкого несжимаемого газа // Отчет Института механики МГУ. 1984. № 2990. С. 1-108.

54. Шкадова В.П., Хайтметов O.A. Обтекание кругового цилиндра потоком вязкой несжимаемой жидкости при малых и больших числах Рейнольд-са // Отчет Института механики МГУ. 2000. № 4566. С. 1-37.

55. Badr Н.М., Dennis S.C.R. Time-dependent viscous flow past an impulsively

started rotating and translating circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 1985. Vol. 158. P. 447-488.

56. Baek S.-J., Lee S.B., Sung H.J. Response of a circular cylinder wake to superharmonic excitation // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 442. P. 67-88.

57. Baek S.-J., Sung H.J. Quasi-periodicity in the wake of a rotationally oscillating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2000. Vol. 408. P. 275-300.

58. Barkley D., Henderson R.D. Three-dimensional Floque stability analysis of the wake of a circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 1996. Vol. 322. P. 215-241.

59. Bearman P.W. On vortex shedding from a circular cylinder in the critical Reynolds number regime // Journal of Fluid Mechanics. 1969. Vol. 37. P. 577-585.

60. Benard H. Formation de centres de giration a l'arriére d'un obstacle en mouvement // C. R. Acad. Sci. 1908. Vol. 147. P. 839-842.

61. Bentwich K. Semi-bounded slow viscous flow past a cylinder // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1978. Vol. 31. P. 445-459.

62. Blackburn H.M., Sheard G.J. On quasiperiodic and subharmonic Floquet wake instabilities // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22, no. 3. P. 031701.

63. Br0ns M., Jakobsen B., Niss K. et al. Streamline topology in the near wake of a circular cylinder at moderate Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 584. P. 23-43.

64. Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline upwind/Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1982. Vol. 32. P. 199-259.

150

65. Buldakov E.V., Chernyshenko S.I., Ruban A.I. On the uniqueness of steady flow past a rotating cylinder with suction // Journal of Fluid Mechanics. 2000. Vol. 411. P. 213-232.

66. Cheng M., Luo L.-S. Characteristics of two-dimensional flow around a rotating circular cylinder near a plane wall // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19, no. 6. P. 063601.

67. Chew Y.T., Cheng M., Luo S.C. A numerical study of flow past a rotating circular cylinder using a hybrid vortex scheme // Journal of Fluid Mechanics. 1995. Vol. 299. P. 35-71.

68. Choi S., Choi H., Kang S. Characteristics of flow over a rotationally oscillating cylinder at low Reynolds number // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14, no. 8. P. 2767-2777.

69. Chomaz J.-M. Fully nonlinear dynamics of parallel wakes // Journal of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 495. P. 57-75.

70. Cimbala J.M., Nagib H.M., Roshko A. Large structures in the far wakes of two-dimensional bluff bodies // Journal of Fluid Mechanics. 1988. Vol. 190. P. 265-298.

71. Couder Y., Basdevant C. Experimental and numerical study of vortex couples in two-dimensional flows // Journal of Fluid Mechanics. 1986. Vol. 173. P. 225-251.

72. Coutanceau M., Menard C. Influence of rotation on the near-wake development behind an impulsively started circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 1985. Vol. 158. P. 399-446.

73. Dipankar A., Senegupta T.K., Talla S.B. Suppression of vortex shedding behind a circular cylinder by another control cylinder at low Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 573. P. 171-190.

74. Do T.T., Chen L., Tu J.Y. Numerical Simulations of Flows over a Forced Oscillating Cylinder // 16th Australasian Fluid Mechanics Conference (AFMC) / School of Engineering, The University of Queensland. 2007. P. 573-579.

75. Fey U., König M., Eckelmann H. A new Strouhal-Reynolds-number relationship for the circular cylinder in the range 47 < Re < 2 x 105 // Physics of Fluids. 1998. Vol. 10, no. 7. P. 1547-1549.

76. Gerber R.., Bik A.J.C., Smith K.B., Tian X. The Software Optimization Cookbook. High-Performance Recipes for IA-32 Platforms. Intel Press, 2005.

77. Griffin O.M. A note on bluff body vortex formation // Journal of Fluid Mechanics. 1995. Vol. 284. P. 217-224.

78. Hansbo P., Szepessy A. A velocity-pressure streamline diffusion finite element method for the incompressible Navier-Stokes equations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1990. Vol. 84, no. 2. P. 175-192.

79. Hauke G. Simple stabilizing matrices for the computation of compressible flows in primitive variables // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2001. Vol. 190. P. 6881-6893.

80. Hauke G., Hughes T.J.R. A unified approach to compressible and incompressible flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1994. Vol. 113, no. 3-4. P. 389-395.

81. Henderson R.D. Details of the drag curve near the onset of vortex shedding // Physics of Fluids. 1995. Vol. 7, no. 9. P. 2102.

82. Huang W.-X., Sung H.J. Vortex shedding from a circular cylinder near a moving wall // Journal of Fluids and Structures. 2007. Vol. 23, no. 7. P. 1064-1076.

83. Hughes T.J.R., Brooks A. A multidimensional upwind scheme with no cross-wind diffusion // In: T.J.R. Hughes, ed. Finite Element Methods for Convection Dominated Flows. 1979. Vol. 34. P. 19-35.

84. Hughes T.J.R., Franca L.P., Hulbert G.M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: VIII. The Galerkin/least-squares method for advective-diffusive equations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1989. Vol. 73, no. 2. P. 173-189.

85. Hughes T.J.R., Franca L.P., Mallet M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: VI. Convergence analysis of the generalized SUPG formulation for linear time-dependent multidimensional advective-diffusive systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1987. Vol. 63, no. 1. P. 97-112.

86. Hughes T.J.R., Mallet M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: III. The generalized streamline operator for multidimensional advective-diffusive systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1986. Vol. 58, no. 3. P. 305-328.

87. Hughes T.J.R., Scovazzi G., Tezduyar T.E. Stabilized Methods for Compressible Flows // Journal of Scientific Computing. 2010. Vol. 43. P. 343-368.

88. Inoue 0., Mori M., Hatakeyama N. Control of aeolian tones radiated from a circular cylinder in a uniform flow // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 1424-1441.

89. Inoue O., Sakuragi A. Vortex shedding from a circular cylinder of finite length at low Reynolds numbers // Physics of Fluids. 2008. Vol. 20, no. 3. P. 033601.

90. Inoue O., Yamazaki T. Secondary vortex streets in two-dimensional cylinder wakes // Fluid Dynamics Research. 1999. Vol. 25, no. 1. P. 1-18.

91. Johnson C., Nävert U., Pitkäranta J. Finite element methods for linear hyperbolic problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1984. Vol. 45. P. 285-312.

92. Kanaris N., Grigoriadis D., Kassinos S. Three dimensional flow around a circular cylinder confined in a plane channel // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23, no. 6. P. 064106.

93. Karanth D., Rankin G.W., Sridhar K. Computational study of flow past a cylinder with combined in-line and transverse oscillation // Computational Mechanics. 1995. Vol. 16. P. 1-10.

94. Kärmän T. von. Uber den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfarht. 1. Teil // Nacht. Wiss. Ges. Göttingen. Math. Phys. Klasse. 1911. Vol. 13. P. 509-517.

95. Kärmän T. von. Uber den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfarht. 2. Teil // Nacht. Wiss. Ges. Göttingen. Math. Phys. Klasse. 1912. Vol. 13. P. 547-556.

96. Kärmän T. von., Rubach H. L. Uber den Mechanismus des Fliissigkeits- und Luft-widerstands // Physikalische Zeitschrift. 1912. Vol. 13. P. 49-59.

97. Lam K., Lin Y. F. Effects of wavelength and amplitude of a wavy cylinder in cross-flow at low Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2009. Vol. 620. P. 195-220.

98. Lienhard J.H. Synopsis of lift, drag, and vortex frequency data for rigid circular cylinders. Technical Extension Service, Washington State University, 1966.

99. Löhner R. An Adaptive Finite Element Scheme for Transient Problems in CFD // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1987. Vol. 61, no. 3. P. 323-338.

100. Mittal S. Finite element computation of unsteady viscous compressible flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. Vol. 157, no. 1-2. P. 151-175.

101. Mittal S., Kumar B. Flow past a rotating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 476. P. 303-334.

102. Ongoren A., Rockwell D. Flow structure from an oscillating cylinder Part 2. Mode competition in the near wake // Journal of Fluid Mechanics. 1988. Vol. 191. P. 225-245.

103. Park J., Kwon K., Choi H. Numerical solutions of flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 160 // Journal of Mechanical Science and Technology. 1998. Vol. 12. P. 1200-1205.

104. Poncet P. Vanishing of mode B in the wake behind a rotationally oscillating circular cylinder // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14, no. 6. P. 2021-2023.

105. Ponta F.L., Aref H. Vortex synchronization regions in shedding from an oscillating cylinder // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17, no. 1. P. 011703.

106. Prandtl L. The Magnus effect and windpowered ships // Naturwissenschaften. 1925. Vol. 13. P. 93-108.

107. Prasad A., Williamson C.H.K. The instability of the shear layer separating from a bluff body // Journal of Fluid Mechanics. 1997. Vol. 333. P. 375-402.

108. Provansal M., Mathis C., Boyer L. Benard-von Karman instability: transient and forced regimes // Journal of Fluid Mechanics. 1987. Vol. 182. P. 1-22.

109. Rayleigh. Acoustical observations // The London. Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1879. Vol. 7, no. 42. P. 149-162.

110. Richardson L.F. The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. 1910. Vol. 210. P. 307-357.

111. Roshko A. On the development of turbulent wakes from vortex streets. NACA Report, 1191, 1954.

112. Roshko A. Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number // Journal of Fluid Mechanics. 1961. Vol. 10. P. 345-356.

113. Shakib F., Hughes T.J.R., Johan Z. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: X. The compressible Euler and Navier-Stokes equations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1991. Vol. 89, no. 1-3. P. 141-219.

114. Shiels D., Leonard A. Investigation of a drag reduction on a circular cylinder in rotary oscillation // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 431. P. 297-322.

115. Singh S.P., Mittal S. Flow past a cylinder: shear layer instability and drag crisis // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. Vol. 47, no. 1. P. 75-98.

116. Stojkovic D., Schon P., Breuer M., Durst F. On the new vortex shedding mode past a rotating circular cylinder // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 1257-1260.

117. Strouhal V. Uber eine besondere art der tonerregung // Ann. Phys. 1878. Vol. 241, no. 10. P. 216-251.

118. Taneda S. Experimental Investigation of the Wakes behind Cylinders and

Plates at Low Reynolds Numbers //J. Phys. Soc. Jpn. 1956. Vol. 11. P. 302-307.

119. Taneda S. Downstream Development of the Wakes behind Cylinders // Journal of the Physical Society of Japan. 1959. Vol. 14, no. 6. P. 843-848.

120. Taneda S. Experimental Investigation of Vortex Streets // J. Phys. Soc. Jpn. 1964. Vol. 20. P. 1714-1721.

121. Taneda S. Visual observations of the flow past a circular cylinder performing a rotatory oscillation // J. Phys. Soc. Jpn. 1978. Vol. 45, no. 3. P. 1038-1043.

122. Tanida Y., Okajima A., Watanabe Y. Stability of a circular cylinder oscillating in uniform flow or in a wake // Journal of Fluid Mechanics. Vol. 61. P. 769-784.

123. Thiria B., Goujon-Durand S., Wesfreid J.E. The wake of a cylinder performing rotary oscillations // Journal of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 560. P. 123-147.

124. Thompson M.C., Hourigan K. The shear-layer instability of a circular cylinder wake // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17, no. 2. P. 021702.

125. Tokumaru P.T., Dimotakis P.E. Rotary oscillation control of a cylinder wake // Journal of Fluid Mechanics. 1991. Vol. 224. P. 77—90.

126. Tokumaru P.T., Dimotakis P.E. The lift of a cylinder executing rotary motions in a uniform flow // Journal of Fluid Mechanics. 1993. Vol. 255. P. 1-10.

127. Unal M.F., Rockwell D. On vortex formation from a cylinder. Part 1. The initial instability // Journal of Fluid Mechanics. 1988. Vol. 190. P. 491-512.

128. Unal M.F., Rockwell D. On vortex formation from a cylinder. Part 2. Control

by splitter-plate interference // Journal of Fluid Mechanics. 1988. Vol. 190. P. 513-529.

129. Wen C.-Y., Lin C.-Y. Two-dimensional vortex shedding of a circular cylinder // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13, no. 3. P. 557-560.

130. Wen C.-Y., Yeh C.-L., Wang M.-J., Lin C.-Y. On the drag of two-dimensional flow about a circular cylinder // Physics of Fluids. 2004. Vol. 16, no. 10. P. 3828-3831.

131. Williamson C.H.K. Vortex dynamics in the cylinder wake // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1996. Vol. 28. P. 477-539.

132. Williamson C.H.K., Roshko A. Vortex formation in the wake of an oscillating cylinder // Journal of Fluids and Structures. 1988. Vol. 2, no. 4. P. 355 -381.

133. Wu M.-H., Wang A.-B. On the transitional wake behind a heated circular cylinder // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19, no. 8. P. 084102.

134. Wu M.-H., Wen C.-Y., Yen R.-H. et al. Experimental and numerical study of the separation angle for flow around a circular cylinder at low Reynolds number // Journal of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 515. P. 233-260.

135. Yoon H.S., Lee J.B., Chun H.H. A numerical study on the fluid flow and heat transfer around a circular cylinder near a moving wall // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2007. Vol. 50, no. 17-18. P. 3507-3520.

136. Zebib A. Stability of viscous flow past a circular cylinder // Journal of Engineering Mathematics. 1987. Vol. 21. P. 155-165.

Дополнительная литература

В настоящем разделе представлен список публикаций, используемых в пятом пункте обзора, который посвящен современным направлениям и методам исследований отрывных обтеканий цилиндров.

1. Abdessemed N., Sharma A.S., Sherwin S.J., Theofilis V. Transient growth analysis of the flow past a circular cylinder // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21. P. 044103.

2. Akbar Т., Bouchet G., Dusek J. Numerical investigation of the subcritical effects at the onset of three-dimensionality in the circular cylinder wake // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. P. 094103.

3. Akoury R.E., Braza M., Perrin R., Harran G., Hoarau Y. The three-dimensional transition in the flow around a rotating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2008. Vol. 607. P. 1-11.

4. Assi G.R.S., Bearman P.W., Meneghini J.R. On the wake-induced vibration of tandem circular cylinders: the vortex interaction excitation mechanism // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 661. P. 365-401.

5. Baek S.-J., Lee S.B., Sung H.J. Response of a circular cylinder wake to superharmonic excitation // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 442. P. 67-88.

6. Baek S.-J., Sung H.J. Quasi-periodicity in the wake of a rotationally oscillating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2000. Vol. 408. P. 275-300.

7. Behara S., Mittal S. Flow past a circular cylinder at low Reynolds number: Oblique vortex shedding // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22. P. 054102.

8. Behara S., Mittal S. Wake transition in flow past a circular cylinder // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22. P. 114104.

9. Bergmann M., Cordier L., Brancher J.-P. On the generation of a reverse von Karman street for the controlled cylinder wake in the laminar regime // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18. P. 028101.

10. Bergmann M., Cordier L., Brancher J.-P. On the power required to control the circular cylinder wake by rotary oscillations // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18. P. 088103.

11. Blackburn H.M., Lopez J.M. On three-dimensional quasiperiodic Floquet instabilities of two-dimensional bluff body wakes // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. L57.

12. Blackburn H.M., Sheard G.J. On quasiperiodic and subharmonic Floquet wake instabilities // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22. P. 031701.

13. Bouhairie S., Chu V.H. Two-dimensional simulation of unsteady heat transfer from a circular cylinder in crossflow // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 570. P. 177-215.

14. Brons M., Jakobsen B., Niss K., Bisgaard A.V., Voigt L.K. Streamline topology in the near wake of a circular cylinder at moderate Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 584. P. 23-43.

15. Buldakov E.V., Chernyshenko S.I., Ruban A.I. On the uniqueness of steady flow past a rotating cylinder with suction // Journal of Fluid Mechanics. 2000. Vol. 411. P. 213-232.

16. Camarri S., Giannetti F. Effect of confinement on three-dimensional stability in the wake of a circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 642. P. 477-487.

17. Camarri S., Giannetti F. On the inversion of the von Karman street in the wake of a confined square cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 574. P. 169-178.

18. Carberry J., Sheridan J. Wake states of a tethered cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 592. P. 1-21.

19. Carberry J., Sheridan J., Rockwell D. Controlled oscillations of a cylinder: forces and wake modes // Journal of Fluid Mechanics. 2005. Vol. 538. P. 31-69.

20. Cetiner O., Rockwell D. Streamwise oscillations of a cylinder in a steady current. Part 1. Locked-on states of vortex formation and loading // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 427. P. 1-28.

21. Cetiner O., Rockwell D. Streamwise oscillations of a cylinder in a steady current. Part 2. Free-surface effects on vortex formation and loading // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 427. P. 29-59.

22. Cheng M., Luo L.-S. Characteristics of two-dimensional flow around a rotating circular cylinder near a plane wall // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 063601.

23. Choi S., Choi H., Kang S. Characteristics of flow over a rotationally oscillating cylinder at low Reynolds number // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. P. 2767.

24. Chomaz J.-M. Fully nonlinear dynamics of parallel wakes // Journal of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 495. P. 57-75.

25. Dennis S.C.R., Nguyen P., Kocabiyik S. The flow induced by a rotationally oscillating and translating circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2000. Vol. 407. P. 123-144.

26. Dipankar A., Sengupta T.K., Talla S.B. Suppression of vortex shedding behind a circular cylinder by another control cylinder at low Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 573. P. 171-190.

27. Fedorchenko A.I., Travnicek Z., Wang A.-B. On the effective temperature concept in the problem of laminar vortex shedding behind a heated circular cylinder // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 051701.

28. Giannetti F., Camarri S., Luchini P. Structural sensitivity of the secondary instability in the wake of a circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 651. P. 319-337.

29. Giannetti F., Luchini P. Structural sensitivity of the first instability of the cylinder wake // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 581. P. 167-197.

30. Govardhan R., Williamson C.H.K. Modes of vortex formation and frequency response of a freely vibrating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2000. Vol. 420. P. 85-130.

31. Hover F.S., Tvedt H., Triantafyllou M.S. Vortex-induced vibrations of a cylinder with tripping wires // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 448. P. 175-195.

32. Inoue O., Hatakeyama N. Sound generation by a two-dimensional circular cylinder in a uniform flow // Journal of Fluid Mechanics. 2002. Vol. 471. P. 285-314.

33. Inoue O., Sakuragi A. Vortex shedding from a circular cylinder of finite length at low Reynolds numbers // Physics of Fluids. 2008. Vol. 20. P. 033601.

34. Jacono D.L., Leontini J.S., Thompson M.C., Sheridan J. Modification of three-dimensional transition in the wake of a rotationally oscillating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 643. P. 349-362.

35. Jeon D., Gharib M. On the relationship between the vortex formation process and cylinder wake vortex patterns // Journal of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 519. P. 161-181.

36. Kanaris N., Grigoriadis D., Kassinos S. Three-dimensional flow around a circular cylinder confined in a plane channel // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. P. 064106.

37. Kang S. Laminar flow over a steadily rotating circular cylinder under the influence of uniform shear // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18. P. 047106.

38. Khor M., Sheridan J., Thompson M.C., Hourigan K. Global frequency selection in the observed time-mean wakes of circular cylinders // Journal of Fluid Mechanics. 2008. Vol. 601. P. 425-441.

39. Kim B.-H., Williams D.R. Nonlinear coupling of fluctuating drag and lift on cylinders undergoing forced oscillations // Journal of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 559. P. 335-353.

40. Kim J., Choi H. Distributed forcing of flow over a circular cylinder // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17. P. 033103.

41. Kim W., Yoo J.Y., Sung J. Dynamics of vortex lock-on in a perturbed cylinder wake // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18. P. 074103.

42. Ko N.W.M., Law C.W., Lo K.W. Mutual interference on transition of wake of circular cylinder // Physics of Fluids. 2004. Vol. 16. P. 3138.

43. Konstantinidis E., Balabani S., Yianneskis M. Bimodal vortex shedding in a perturbed cylinder wake // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 011701.

44. Konstantinidis E., Balabani S., Yianneskis M. The timing of vortex shedding in a cylinder wake imposed by periodic inflow perturbations // Journal of Fluid Mechanics. 2005. Vol. 543. P. 45-55.

45. Kravchenko A.G., Moin P. Numerical studies of flow over a circular cylinder at ReD = 3900 // Physics of Fluids. 2000. Vol. 12. P. 403-417.

46. Kumar B., Kottaram J.J., Singh A.K., Mittal S. Global stability of flow past a cylinder with centreline symmetry // Journal of Fluid Mechanics. 2009. Vol. 632. P. 273-300.

47. Lam K., Lin Y.F. Effects of wavelength and amplitude of a wavy cylinder in cross-flow at low Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2009. Vol. 620. P. 195-220.

48. Lee S.-J., Lee J.-Y. Temporal evolution of wake behind a rotationally oscillating circular cylinder // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 105104.

49. Leontini J.S., Stewart B.E., Thompson M.C., Hourigan K. Wake state and energy transitions of an oscillating cylinder at low Reynolds number // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18. P. 067101.

50. Leontini J.S., Thompson M.C., Hourigan K. A numerical study of global frequency selection in the time-mean wake of a circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 645. P. 435-446.

51. Leontini J.S., Thompson M.C., Hourigan K. Three-dimensional transition in the wake of a transversely oscillating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 577. P. 79-104.

52. Li Y., Shock R., Zhang R., Chen H. Numerical study of flow past an impulsively started cylinder by the lattice-Boltzmann method // Journal of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 519. P. 273-300.

53. Lu L., Qin J.-M., Teng B., Li Y.-C. Numerical investigations of lift suppression by feedback rotary oscillation of circular cylinder at low Reynolds number // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. P. 033601.

54. Ma X., Karniadakis G.E. A low-dimensional model for simulating three-dimensional cylinder flow // Journal of Fluid Mechanics. 2002. Vol. 458. P. 181-190.

55. Meliga P., Chomaz J.-M. An asymptotic expansion for the vortex-induced vibrations of a circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2011. Vol. 671. P. 137-167.

56. Merlen A., Frankiewicz C. Cylinder rolling on a wall at low Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2011. Vol. 685. P. 461-494.

57. Mittal S. Computation of three-dimensional flows past circular cylinder of low aspect ratio // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13. P. 177-191.

58. Mittal S. Effect of a "slip" splitter plate on vortex shedding from a cylinder // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 817.

59. Mittal S., Kumar B. A stabilized finite element method for global analysis of convective instabilities in nonparallel flows // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 088105.

60. Mittal S., Kumar B. Flow past a rotating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 476. P. 303-334.

61. Nishino T., Roberts G.T., Zhang X. Vortex shedding from a circular cylinder near a moving ground // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 025103.

62. Padrino J.C., Joseph D.D. Numerical study of the steady-state uniform flow past a rotating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 557. P. 191-223.

63. Papaioannou G.V., Yue D.K.P., Triantafyllou M.S., Karniadakis G.E. Three-dimensionality effects in flow around two tandem cylinders // Journal of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 558. P. 387-413.

64. Parnaudeau P., Carlier J., Heitz D., Lamballais E. Experimental and numerical studies of the flow over a circular cylinder at Reynolds number 3900 // Physics of Fluids. 2008. Vol. 20. P. 085101.

65. Perdikaris P.G., Kaiktsis L., Triantafyllou G.S. Chaos in a cylinder wake due to forcing at the Strouhal frequency // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21. P. 101705.

66. Pier B. On the frequency selection of finite-amplitude vortex shedding in the cylinder wake // Journal of Fluid Mechanics. 2002. Vol. 458. P. 407-417.

67. Poncet P. Topological aspects of three-dimensional wakes behind rotary oscillating cylinders // Journal of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 517. P. 27-53.

68. Poncet P. Vanishing of mode B in the wake behind a rotationally oscillating circular cylinder // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. P. 2021.

69. Poncet P., Hildebrand R., Cottet G.-H., Koumoutsakos P. Spatially distributed control for optimal drag reduction of the flow past a circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2008. Vol. 599. P. 111-120.

70. Ponta F.L. Vortex decay in the Karman eddy street // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22. P. 093601.

71. Ponta F.L., Aref H. Vortex synchronization regions in shedding from an oscillating cylinder // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17. P. 011703.

72. Pralits J.O., Brandt L., Giannetti F. Instability and sensitivity of the flow around a rotating circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 650. P. 513-536.

73. Prashant T.K., Mittal S. Vortex-induced vibrations of a circular cylinder at low Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2008. Vol. 594. P. 463-491.

74. Reichl P., Hourigan K., Thompson M.C. Flow past a cylinder close to a free surface // Journal of Fluid Mechanics. 2005. Vol. 533. P. 269-296.

75. Rinoshika A., Zhou Y. Orthogonal wavelet multi-resolution analysis of a turbulent cylinder wake // Journal of Fluid Mechanics. 2005. Vol. 524. P. 229-248.

76. Roushan P., Wu X.L. Universal wake structures of Karman vortex streets in two-dimensional flows // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17. P. 073601.

77. Ryan K., Thompson M.C., Hourigan K. The effect of mass ratio and tether length on the flow around a tethered cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 591. P. 117-144.

78. Ryan K., Thompson M.C., Hourigan K. Three-dimensional transition in the wake of bluff elongated cylinders // Journal of Fluid Mechanics. 2005. Vol. 538. P. 1-29.

79. Ryan K., Thompson M.C., Hourigan K. Variation in the critical mass ratio of a freely oscillating cylinder as a function of Reynolds number // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17. P. 038106.

80. Sen S., Mittal S., Biswas G. Steady separated flow past a circular cylinder at low Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. 2009. Vol. 620. P. 89-119.

81. Sengupta T.K., Singh N., Suman V.K. Dynamical system approach to instability of flow past a circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 656. P. 82-115.

82. Sharma A., Lele S.K. Sound generation due to unsteady motion of a cylinder // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. P. 046102.

83. Sheard G.J., Leweke T., Thompson M.C., Hourigan K. Flow around an impulsively arrested circular cylinder // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 083601.

84. Sheard G.J., Thompson M.C., Hourigan K. A coupled Landau model describing the Strouhal-Reynolds number profile of a three-dimensional circular cylinder wake // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. L68.

85. Sheard G.J., Thompson M.C., Hourigan K. Subharmonic mechanism of the mode C instability // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17. P. 111702.

86. Shiels D., Leonard A. Investigation of a drag reduction on a circular cylinder in rotary oscillation // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 431. P. 297-322.

87. Sobera M.P., Kleijn C.R., Van den Akker H.E.A. Subcritical flow past a circular cylinder surrounded by a porous layer // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18. P. 038106.

88. Stewart B.E., Thompson M.C., Leweke T., Hourigan K. The wake behind a cylinder rolling on a wall at varying rotation rates // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 648. P. 225-256.

89. Stojkovic D., Breuer M., Durst F. Effect of high rotation rates on the laminar flow around a circular cylinder // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. P. 3160.

90. Stojkovic D., Schon P., Breuer M., Durst F. On the new vortex shedding mode past a rotating circular cylinder // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 1257.

91. Tasaka Y., Kon S., Schouveiler L., Gal P.L. Hysteretic mode exchange in the wake of two circular cylinders in tandem // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18. P. 084104.

92. Thiria B., Goujon-Durand S., Wesfreid J.E. The wake of a cylinder performing rotary oscillations // Journal of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 560. P. 123-147.

93. Thompson M.C., Hourigan K. The shear-layer instability of a circular cylinder wake // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17. P. 021702.

94. Ueda Y., Sellier A., Kida T., Nakanishi M. On the low-Reynolds-number flow about two rotating circular cylinders // Journal of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 495. P. 255-281.

95. Vasconcelos G.L., Moura M.N., Schakel A.M.J. Vortex motion around a circular cylinder // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. P. 123601.

96. Verma A., Mittal S. A new unstable mode in the wake of a circular cylinder // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. P. 121701.

97. Wallace J.M. Twenty years of experimental and direct numerical simulation access to the velocity gradient tensor: What have we learned about turbulence? // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21. P. 021301.

98. Wang J., Joseph D.D. Boundary-layer analysis for effects of viscosity of the irrotational flow on the flow induced by a rapidly rotating cylinder in a uniform stream // Journal of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 557. P. 167-190.

99. Wen C.-Y., Lin C.-Y. Two-dimensional vortex shedding of a circular cylinder // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13. P. 557.

100. Wen C.-Y., Yeh C.-L., Wang M.-J., Lin C.-Y. On the drag of two-dimensional flow about a circular cylinder // Physics of Fluids. 2004. Vol. 16. P. 3828.

101. Wu C.-J., Wang L., Wu J.-Z. Suppression of the von Karman vortex street behind a circular cylinder by a travelling wave generated by a flexible surface // Journal of Fluid Mechanics. 2007. Vol. 574. P. 365-391.

102. Wu J., Shu C. Numerical study of flow characteristics behind a stationary circular cylinder with a flapping plate // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. P. 073601.

103. Wu M.-H., Wang A.-B. On the transitional wake behind a heated circular cylinder // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 084102.

104. Wu M.-H., Wen C.-Y., Yen R.-H., Weng M.-C., Wang A.-B. Experimental and numerical study of the separation angle for flow around a circular cylinder at low Reynolds number // Journal of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 515. P. 233-260.

105. Xiong J., Ling G., Zhu K. Numerical estimate of the stability curve for the flow past a rotating cylinder // Physics of Fluids. 2004. Vol. 16. P. 2697.

106. Xu S.J., Zhou Y., Wang M.H. A symmetric binary-vortex street behind a longitudinally oscillating cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 556. P. 27-43.

107. Yildirim I., Rindt C.C.M., Steenhoven A.A. Vortex dynamics in a wire-disturbed cylinder wake // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22. P. 094101.

108. Zhou T., Wang H., Razali S.F.M., Zhou Y., Cheng L. Three-dimensional vorticity measurements in the wake of a yawed circular cylinder // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22. P. 015108.

109. Zovatto L., Pedrizzetti G. Flow about a circular cylinder between parallel walls // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 440. P. 1-25.