Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тинюкова, Татьяна Сергеевна

  • Тинюкова, Татьяна Сергеевна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2013, Ижевск
  • Специальность ВАК РФ01.01.02
  • Количество страниц 119
Тинюкова, Татьяна Сергеевна. Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. Ижевск. 2013. 119 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тинюкова, Татьяна Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1 Разностный оператор Шредингера для квантовых проволок

§ 1. Предварительные сведения

§ 2 . Спектр и резольвента невозмущенного оператора

§ 3 . Квазиуровни слабо возмущенного оператора

§ 4. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного

оператора

§ 5 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного

оператора

§ 6 . Квазиуровни и рассеяние для оператора Н

Глава 2 Разностный оператор Шредингера для квантового волновода

§ 7. Спектральные свойства оператора

§ 8 . Квазиуровни слабо возмущенного оператора

§ 9 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного

оператора

Глава 3 Рассеяние электрона на кристаллическом слое

§ 10 . Вспомогательные конструкции и утверждения

§ 11. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного

оператора

§ 12 . Рассеяние для слабо возмущенного оператора

Список литературы

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей»

Введение

Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств, а также рассеяния, для некоторых разновидностей одночастичного уравнения Шредингера, возникающих в квантовой теории твердого тела. При этом рассматривается конечно-разностное приближение, но можно также считать, что физические модели рассматриваются в приближении сильной связи, поскольку оба приближения, с математической точки зрения, приводят к похожим разностным уравнениям.

Важность математического исследования уравнения Шредингера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20-30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам - основе будущей микроэлектроники (см., например, [2]-[5]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шредингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швинге-ра, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см. [1]).) Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Zd, с1 ^ 1. Между тем, математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.

Отметим некоторые математические работы, близкие по содержанию к теме диссертации.

В статье [6] рассматривается двумерная модель периодического волновода с дискретным неоднородным оператором Лапласа. Доказано суще-

ствование квазиуровней (мод) и решения уравнения Липпмана-Швингера. Обсуждаются, на основе численных расчетов, особенности рассеяния вблизи квазиуровней.

В статье [7] рассмотрен разностный оператор Шредингера на графе, полученный из обычного оператора Шредингера электрона в системе, состоящей из квантовой проволоки и квантовой точки. Изучается существование и поведение в зависимости от малой константы связи собственных значений и резонансов, а также задача рассеяния для малых потенциалов.

Автор работы [8] рассматривает систему, состоящую из конечной цепочки атомов (бильярда), которая присоединена (параллельно или последовательно) к бесконечной цепочке. Исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса в случае слабой связи бильярда с бесконечной цепочкой.

В статье [9] рассматривается семейство дискретных операторов Шредингера //(/с), полученных из двухчастичного оператора, где к - двухчастичный квазиимпульс. При определенных условиях для размерностей 1, 2 доказано, что если нуль является квазиуровнем оператора Н(0), то операторы Н(к) имеют собственное значение левее существенного спектра.

В статье [10] различными способами получены формулы для функции Грина некоторых разновидностей разностного оператора Лапласа.

В [11] показано, что расстояние между собственными значениями дискретного одномерного оператора Шредингера для конечной цепочки с граничными условиями Дирихле или Неймана, отделено от нуля равномерно по длине цепочки (получена явная оценка снизу). В частности у спектров таких операторов нет вырожденных собственных значений.

Статья [12] посвящена описанию существенных спектров, а также оценкам убывания собственных функций на бесконечности разностных

аналогов операторов Шредингера и Дирака.

В статье [13] строится общая теория самосопряженного дискретного оператора Лапласа на графе, при этом основные результаты получены для графов-деревьев определенного вида.

В статье [14] изучается поведение на бесконечности решений одномерного разностного уравнения Шредингера с потенциалом, который в некотором смысле убывает на бесконечности. Кроме того, в статье представлен дискретный аналог метода ВКБ.

Целью работы является исследование собственных значений и резо-нансов, а также изучение задачи рассеяния для разностного уравнения Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре.

Задачи, решаемые в диссертации:

1) изучение общих спектральных свойств разностного уравнения Шредингера с потенциалами определенного вида;

2) исследование существования и поведения квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) для разностного оператора Шредингера в случае малого потенциала;

3) исследование рассеяния, нахождение в определенных случаях простых формул для вероятностей прохождения и отражения.

На защиту выносятся:

1) теоремы существования и единственности квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) разностного оператора Шредингера, отвечающего пересечению квантовых проволок, исследовано асимптотическое поведение квазиуровней;

2) нахождение для данного оператора вероятностей распространения квантовой частицы в возможных направлениях, получение условий полно-

го отражения (прохождения);

3) теоремы существования и единственности квазиуровней двумерного разностного оператора Щредингера, отвечающего квантовому волноводу, исследована асимптотика квазиуровней;

4) найдены вероятности отражения (прохождения) для данного оператора в случае малого потенциала и медленных квантовых частиц;

5) нахождение вероятностей прохождения и отражения для разностного оператора Шредингера в периодической слоистой структуре в случае малого петенциала и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер.

Перейдем к подробному обзору содержания диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав (двенадцати параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений, замечаний и следствий (например, теорема 2.4 — это четвертая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).

Обозначим через Я объединение двух «целочисленных» координатных прямых, то есть

О — (Ж х {0}) и ({0} х Ж),

а через 12(Х), где X С Ъ2 — гильбертово пространство квадратично суммируемых функций на X со скалярным произведением

{<Р,Ф)р(х)= (р{п,т)ф(п,т).

(■п,т)еХ

В первой главе диссертации рассматривается разностный (дискрет-

ный) оператор Шредингера Но, действующий в 12{Q) следующим образом:

(П0ф)(0, 0) = ^(1, 0) + ф(-1, 0) + ф{0,1) + -0(0, -1),

('Н0ф){п, 0) = ф(п +1,0) + ф{п -1,0), п ф 0, (0.1)

{П0ф){0,т) = ф(0,т + 1) + ф{0,т- 1), т ± 0.

Оператор Но является гамильтонианом (оператором энергии) электрона вблизи пересечения двух одномерных квантовых проволок. Подобные структуры часто встречаются в физической литературе (см., например, [2]). Близкие модели исследованы в работах [7, 8]. Уравнение Шредингера рассмотрено для двух различных классов убывающих на бесконечности потенциалов, при этом изучаются спектр и вероятности прохождения квантовой частицы в возможных направлениях движения.

В первом параграфе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые в диссертации.

Резольвенту оператора Но обозначим через 7\L0(A) = (Но — \I)~l (в дальнейшем, следуя [17], для краткости опускаем единичный оператор)

Во втором параграфе найден вид 7£о(А), исследованы существенный и дискретный спектры оператора Но-

Теорема 2.4. Существенный спектр оператора Но совпадает с отрезком [—2, 2].

Введем в рассмотрение оператор Hqi : ¿2(Z) —¥ l2(Z), действующий по правилу

(H0iip)(n) = (р(п - 1) + tp(n +1), n e Z.

Резольвенту оператора Я01 обозначим Rqi(X) = (#01 — А)-1. Ядро резольвенты, вообще говоря, продолженное по параметру Л на соответствующую риманову поверхность М, будем называть функцией Грина оператора Hq\

и обозначать

Х-у/Ж^А 2

\п—т\

Поверхность М получена склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2,2); при этом [—2,2] является существенным спектром оператора Hqi (см. [15]).

В §§3-5 работы рассматривается оператор Шредингера 1~Le = 1-Lq + eV с малым параметром г > 0; здесь V — оператор умножения на вещественную функцию V(n, т) ф 0, удовлетворяющую условиям

|V(n,0)| ^ /Зе~а|п|, |V(0,m)| ^/Зе-а|т|, n,meZ, а,/3>0. (0.2)

В дальнейшем функции, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экспоненциально убывающими. Оператор У.е является гамильтонианом электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок, при этом V описывает влияние примесей.

Уравнение Шредингера для оператора %£ имеет вид

Спектр и существенный спектр оператора А обозначим ст(А) и сгезз(А) соответственно.

Уравнение (0.3), рассматриваемое в классе /2(£), для Л 0 сг{Т-Со) можно записать в виде

("Но + = А ф.

(0.3)

Перейдем к новой неизвестной функции = ^/ГЙ^ и положим

(только для V). Тогда уравнение (0.4) можно переписать в виде

(0.5)

и, продолжая оператор — \J\V\R-o(X)yfV на двулистную риманову поверхность М функции Грина оператора Но (ядра резольвенты TZq(X)) (см. ниже), рассматривать его как оператор в l2(Q) для A G М.

Определение 0.1. (ср. [29]) Число Л, принадлежащее второму (так называемому «нефизическому») листу римановой поверхности М, будем называть резонансом оператора Не, если существует ненулевое решение ip G l2(Q) уравнения (0.5).

Определение 0.2. (ср. [30]) Квазиуровнем оператора Н£ будем называть его собственное значение или резонанс.

В случае, когда Л принадлежит второму листу римановой поверхности М, ненулевые решения ф уравнения (0.4) (соответствующие решению уравнения (0.5) (р G 12{G)), вообще говоря, экспоненциально возрастают.

В третьем параграфе работы найден критерий существования квазиуровня оператора 7ie.

Кроме того, в этом параграфе исследовано наличие квазиуровней в окрестности нуля для оператора Н£.

Для произвольной функции (¿>(n,m), определенной на Q, будем пользоваться обозначениями

/(</>) = ДА, <р) = (Я01(AV) (1) + №i(A)<p) (-1), (0.6)

(pi(n) = </?(n, 0), ip2(m) = (р(0,т),

Теорема 3.5. Оператор 1-L£ для всех достаточно малых е не имеет ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.

В четвертом параграфе доказаны существование и единственность для решения модифицированного уравнения Липпмана-Швингера

' (fi(n, А) = ^/Ще^ - e^\R0l(\)VVm{n,\) +

+ Vlvil-1 _ p^-R0i{X)d{n),n <E Z,

ip2{m, A) = -£y/\V2\Roi{X)y/%(p2{rn, A)+ , /рТТ-Г-2 cos к + ef(VVm) - ef(VV2(p2)f(6)

+ Vlv2|-1 _ -/%(A)ô(m), m <E Z.

(0.7)

при определенной взаимосвязи между А и г; получена асимпотическая формула этого решения.

В следующей теореме рассматривается случай малого потенциала и «медленной» квантовой частицы.

Теорема 4.6. Предположим, что к = Ае1 в случае знака «+» или к — Ае в случае знака «—», где к — —7Г — к, А 0 — вещественная константа. Тогда для достаточно малых £ существует единственное решение tp Е l2(Ç) модифицированного уравнения Липпмана - Швингера (0.7), имеющее вид

<Pi(n, е) = \/|Vi(n)|(±l)n+1(l + п - \п\)Аге + 0(£2), е) = у/Щт)\(±1)т+1 Аге + 0(е2).

В пятом параграфе описана картина рассеяния для оператора 7ïe, выписаны коэффициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические формулы для этих коэффициентов в частном случае.

Обозначим через вероятности прохождения вдоль оси От

вверх и вниз соответственно, через — вероятности прохождения

вдоль оси On вправо и влево соответственно.

Положим

С- = 2Л2 - \а% ]Г(-1У+1(1 + j - |j|)V2(j) +

2

jez

+1Аг Е^ - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + 3 ~ bl)Vi(j),

4

je z

+ - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + j - bDV^j).

JGZ

Теорема 5.8. В условиях теоремы 4.6 для Л достаточно близких к точке 2 справедливы равенства

Р+(А) = = Р2-(А) = + 0(,3), Р1-(Л) = 1 + (А2-2С-)е2 + 0(£3);

г/ для Л достаточно близких к точке —2 равенства

Р+( Л) - Р+(А) = Р2-(Л) = AV + О (г3), р~(Л) = 1 + (Л2 - 2К-)г2 + 0(е3).

В следующей теореме, в отличие от теоремы 5.8, потенциал мал, а к любое.

Теорема 5.9. Пусть А = 2cos£;, к G (—7г, 0) фиксировано. Тогда Р+(А) = (1 + Р)2 + В2 4- О(е), Л" W = Е2 + В2 + О(е), P2±(A) = D2 + B2 + 0(e),

где

Е =

2 + 2 соэ 2 к + вт2 2 к

В

Бт2к(1 + сое 2 к)

1+ cos2A;)2 + 4sin22A;, ~ (1 + соё2к)2 + 4зт2 2к'

2 ят2 2 к

В =

(1 + СОЙ 2^)2 + 4зт22/с'

В §6 получены следующие результаты о квазиуровнях оператора Л = Но + V. Здесь V — это оператор умножения на функцию

V Г Уо(6п^ + <5П)_лг), т = О,

1/(п, 771) — <

I 0, п = О

при некотором натуральном N > 1. Потенциал V имеет ярко выраженный «резонансный» характер.

Теорема 6.10. 1) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений У0 достаточно близких к ±.\/Ы существует единственный квазиуровень А± = 2 сооператора К, причем

1Ч 1

N.

Б сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 с?дд значений Уо достаточно близких к ±—-- существует единственный квазиуровень А± = 2созк± оператора И, причем

(ЛГ — 1)2 ч- 1V и ЛГ-1У V и АГ-1

Кроме того, в этом параграфе доказаны существование и единственность и найден вид решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора % с «налетающей волной», распространяющейся вдоль йх {0}, а также получен следующий результат.

Теорема 6.11. В сколь угодно малой окрестности точки Ао = 0 для всех достаточно малых Уо существует единственное решение А уравнения А) = 0, причем

А = О(У03)-.

Во второй главе исследуется двумерное разностное уравнение Шре-дингера в полосе, что отвечает электрону в квантовом волноводе, также являющееся (более реалистичной) моделью квантовой проволоки (ср. одномерные операторы первой главы). В этой главе изучаются резонансы и собственные значения, возникающие, в случае малых потенциалов, вблизи особенностей невозмущенной функции Грина. Также рассматривается задача рассеяния для данного оператора. Получены простые формулы для прохождения (отражения) вблизи упомянутых выше особенностей.

Положим Г = 2 х {1,..., Ы} С

Введем в рассмотрение оператор На = (Я01 ® 1) + (1 <8> #02), действующий в 12{Г). Оператор Яоь действующий в 12{Т1), определен выше. Оператор Я02 действует в 12({ 1,..., Д^})= С^ и определяется равенствами

(Н02(р) (т) = <р(т— 1) + (р(т +1), га = 2, 1,

(Я02р)(1) = р(2),

Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для т = О, N.

Положим Не — Но + еУ, где е > 0, а У является оператором умножения на вещественную функцию У(п, т) / 0, заданную на Г и удовлетворяющую условию

| У(п,т)\^Ре-а№, п<Е%, те{ 1,..., А^}, (0.8)

причем а > 0.

В седьмом параграфе найден вид функции Грина оператора Но. Положим

. Л пут ¡1, = Л - 2 соб ^ 1, з =

а =

N + 1

Лемма 7.8. Имеет место формула

N . . ,

^ / / / х \ ^г^ 2 • ( ^З771 \ • ('кЗт , ч

и0{п, 7п, п , т , А) = а вт ^ ] вт ^ ) С01 (п - п , ц3),

з=1

где

N

А^У [-2 + 2

7=1

^3

соэ м 1, 2 + 2 соэ 7TN

^ 3

— 2 + 2 соэ —-, 2 + 2 соэ

N + 1

+ 1

N+11

Теорема 7.13. Спектр оператора Но имеет вид

N

а(Но) = и[-2 + 2

7=1

соэ

зп

N + 1

,2 + 2 соб

N +1.

N71 л 7Г

- 2 + 2 сое —-. 2 + 2 сое

N+1'

N + 1

Восьмой параграф посвящен изучению спектральных свойств оператора Н£.

Теорема 8.14. Справедливо равенство

сг езз(Н£) = а(Н0).

Теорема 8.15. Предположим, что для некоторого j G {1,..., N}

(гг'.ш')еГ2

7Г J

Тогда в некоторой окрестности точек = ±2 + 2 cos ^ ^ для всех достаточно малых £ > 0 существует единственный квазиуровень А^ = оператора НЕ, аналитически зависящий от е, для которого справедлива формула

А^) = ±2 + 2сов ^±(J±y + 0{e<).

В девятом параграфе описана картина рассеяния, изучен характер рассеяния вблизи особенностей невозмущенной функции Грина для малых потенциалов. Положим

В окрестности точки Ао рассмотрим уравнение Липпмана - Швингера ф(п, m, А) = фо(п, m, А) — £ Gq(ti — п', га, га/, А) х

(п'.т')еТ

хУ(п»(п>',А), (0.9)

где «налетающая волна» (записанная для переменной kJ(]) имеет вид

фо(п, т, А) = a sin

\N + 1

(0.10)

и удовлетворяет уравнению Яо^о = А^о-Положим

Af(\)

еа

2г sin кп

Е

sm

3 (п',ш')ег Будем предполагать, что

Л ф cos

N +

j e^V(n', m/j Д) (0.11)

eos

7TJ

JTJ'— I, ■ ■ ■ : N.

(0.12)

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тинюкова, Татьяна Сергеевна, 2013 год

Список литературы

1. Büttiker М. Generalizet many-channel conductance formula with application to small rings / M. Büttiker, Y. Imry, R. Landauer, S. Pinhas // Phys. Rev. B. -1985. -Vol. 31, №10. -pp. 6207-6215.

2. Miroshnichenko A. E. Engineering Fano resonances in discrete arrays / A. E. Miroshnichenko, Y. S. Kivshar // Phys. Rev. E. -2005. -Vol. 72, №5. -056611 (7p).

3. Bellissard J. Scattering theory for lattice operators in dimension d ^ 3 / J. Bellissard, H. Schulz-Baldes // Rev. Math. Phys. -2012. -Vol. 24. -1250020 (51p).

4. Karachalios N. I. The number of bound states for a discrete Schrödinger operator on Zn, N ^ 1, lattices / N. I. Karachalios //J. Phys. A: Math. Theor. -2008. -Vol. 41, №45. -455201.

5. Ziletti A. Coherent transport in multi-branch circuits / A. Ziletti, F. Borgonovi, G. L. Celardo, F. M. Izrailev, L. Karlan, V. G. Zelevinsky // Phys. Rev. B. -2012. -Vol. 85, №5. -052201 (5p).

6. Ptitsyna N. A. lattice model for resonance in open periodic wavequides/ N. Ptitsyna, S. P. Shipman // arXiv: 1101.0170vl [math-phj. -2010.

7. Чубурин Ю. П. Об одном дискретном операторе Шредингера на графе / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2010. -Т. 165, №1. -С. 119-133.

8. Арсеньев А. А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовой бильярде в приближении сильной связи / А. А. Арсеньев // Теор. и матем. физика. -2004. -Т. 141, №1. -С. 100-112.

9. Лакаев С. Н. О спектре двухчастичного оператора Шредингера на решетке / С. Н. Лакаев, А. М. Халхужаев // Теор. и матем. физика. -2008. -Т. 155, №2. -С. 287-300.

10. Chung F. Discrete Green's Function / F. Chung, S.-T. Yau // Journal of Combinatorial Theory, Series A. -2000. -Vol.91, №1-2. -pp. 191-214.

11. Rivkind A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model / A. Rivkind, Y. Krivolapov, S. Fishman, A. Soffer // J. Phys. A.: Math. Theor. -2011. -Vol. 44, №30. -305206 (19p).

12. Rabinovich V. S. Essential spectra and exponential estimates of eigenfunctions of lattice operators of quantum mechanics / V. S. Rabinovich, S. Roch //J. Phys. A: Math. Theor. -2009. -Vol. 42, №38. -385207 (21pp).

13. Dutkay D. E. Spectral theory for discrete Laplacians / D. E. Dutkay, P. E. T. Jorgensen // Complex Analysis and Operator Theory. -2010. -Vol.4, №1. -pp. 1-38.

14. Evans M. On the behavior at infinity of solutions to difference equations in Schrodinger form / Evans M., Harrell II // arXiv:1109.4691vl [math.CA], -2011.

15. Рид М. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1977. -360 с.

16. Рид М. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1982. -446 с.

17. Рид М. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1982. -428 с.

18. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом на графе / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. -2009. -Вып. 3. -С. 104-113.

19. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 2. - С. 88-97.

20. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 1. -С. 99-104.

21. Тинюкова Т. С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шредингера для пересекающихся квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 3. -С. 74-84.

22. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета.

Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 4. -С. 8093.

23. Тинюкова Т. С. Рассеяние электрона на кристаллическом слое / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2013. -Т. 176, №176. -С. 444-457.

24. Ашихмина Т. С. О свойствах одного конечно-разностного уравнения на графе / Т. С. Ашихмина // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XX». -Воронеж, 2009. -С. 202.

25. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXI». -Воронеж, 2010. -С. 280.

26. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXIII». -Воронеж, 2012. -С. 212.

27. Березин Ф. А. Уравнение Шредингера / Ф. А. Березин, М. А. Шубин, / М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. -392 с.

28. Baranova L. Y. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrödinger operator with a perturbed periodic potential / L. Y. Baranova, Y. P. Chuburin // J. Phys. A.: Math. Theor. - 2008. -Vol. 41. -435205 (11 P).

29. Альбеверио С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеве-рио, Ф. Гестези, Р. Хёэг-Крон, X. Хольден. -М.: Мир, 1991. -568 с.

30. Гатауллин Т. М. О возмущении квазиуровней оператора Шредингера с комплексным потенциалом / Т. М. Гатауллин, М. В. Карасев // Теор. и матем. физика. -1971. -Т. 9, № 2. -С. 252-263.

31. Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений / Дж. Тейлор. -М.:Мир, 1975. -567 с.

32. Ганнинг Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг. -М.: Мир, 1969. -395 с.

33. Морозова JI. Е. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом / JI. Е. Морозова, Ю. П. Чубурин // Известия Института математики и информатики. -2004. -Вып. 1(29). -С. 85-94.

34. Herczynski Y. On the spectrum of the Schrodinger operator / Y. Herczynski // Bull. Acad. Pol. sci: Ser. sci. math. -1981. -T. 29, №1-2. -C. 73-77.

35. Simon B. Schrodinger operators in the twentieth century / B. Simon // Journal of mathematical physics. -2000. -Vol. 4, №6. -pp. 3523-3555.

36. Чубурин Ю. П. О малых возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1997. -Т. 110, №3. -С. 443-453.

37. Chuburin Yu. P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrodinger operator / Yu. P. Chuburin // Commun. Math. Phys. -2004. -Vol. 249. -pp. 497-510.

38. Чубурин Ю. П. О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1994. -Т. 98, № 1. -С. 38-47.

39. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1971. -512 с.

40. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels I / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. -1958. -Vol. 7. -pp. 1-142.

41. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels II / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. -1958. -Vol. 8. -pp. 1-210.

42. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires / A. Grothendieck. -American Mathematical Society. -1979. -140 c.

43. Шефер X. Топологические векторные пространства / X. Шефер. -М.:Мир, 1971. -360 с.

44. Чубурин Ю. П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1987. -Т. 72, т. -С. 120-131.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.