Когомологии дополнений к наборам координатных подпространств и интегральные представления голоморфных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Элияшев, Юрий Валерьевич

• Элияшев, Юрий Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Элияшев, Юрий Валерьевич

Оглавление

Введение

Основные обозначения

1 Предварительные сведения

1.1 Общие факты из алгебраической топологии

1.2 Известные факты о топологии дополнений

к наборам координатных подпространств

1.3 Когомлогии Чеха, фильтрации и коцепи

1.4 Интегральные представления голоморфных функций

2 Топология конфигураций координатных подпространств

2.1 Когомологии дополнения к набору комплексных координатных подпространств

2.2 Когомологии дополнения к набору вещественных координатных подпространств

3 Фильтрации Ходжа и интегральные представле-

ния голоморфных функций

3.1 Фильтрации Ходжа на когомологиях дополнений

к наборам координатных подпространств

3.2 Интегральные представления голоморфных функций

4 Топология конфигураций плоскостей заданных

простым многоугольником

4.1 Группы гомологий ДЧ(С" \ Zp) и двойственность Александера-Понтрягина

4.2 База группы когомологий Нэ{С77, \ Zp)

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когомологии дополнений к наборам координатных подпространств и интегральные представления голоморфных функций»

Введение

Топология наборов координатных подпространств представляет интерес в различных областях математики: в торической и комбинаторной топологии |5, 7|, в теории торических многообразий, где дополнения к наборам координатных подпространств выступают в роли пространств однородных координат для таких многообразий [16, 17], в теории интегральных представлений голоморфных функций и вычетов в многомерном комплексном анализе, где наборы координатных подпространств выступают в роли сингулярных множеств ядер интегральных представлений [1, 21].

В книге Горески и Макферсона [19] (см. также |8]) был разработан универсальный комбинаторный метод вычисления когомологий для дополнений к произвольным наборам плоскостей, однако этот метод трудно применим для реализации явных конструкций базисных элементов когомологий и часто ведет к довольно громоздким вычислениям. Исследования в области торической топологии, в частности работы Бухштабера и Панова и других авторов [2, 3, 5, б, 7] позволили найти методы вычисления групп когомологий дополнений к координатным, наборам комплексных подпространств, которые в ряде случа.ев проще универсальных методов и позволяют получать некоторую дополнительную информацию. Надо заметить, что топологии дополнении к координатным наборам вещественных подпространств было уделено меньше внимания.

Теория многомерных вычетов, также как и теория интегральных представлений голоморфных функций, основана па некоторых модельных дифференциальных формах и двойственных контурах (циклах) интегрирования [1, 21]. Исторически, первыми были многомерное ядро и интегральное представление Коши, доказанное Пуанкаре в 1887 году, а также ядро и интегральное представление Бохнера-Мартинелли, доказанное в 1938, 1943 годах. Эти интегральные представления явились эталонными, из них впоследствии на основе гомологических и когомологических процедур был построен ряд других интегральных представлений. Цих [23] в 1999 году предложил стратегию построения вычетов для ядер с сингулярностями на наборах координатных плоскостей. Идея заметки [23] получила развитие в более поздних статьях [11] и [21]. Для решения названных выше задач многомерного комплексного анализа важным является изучение топологии дополнений к наборам координатных плоскостей, в частности, изучение групп гомологий и когомологий дополнений к таким наборам.

Задача построения ядер интегральных представлений голоморфных функций также связана с вычислением фильтрации Ходжа на когомо-логиях. Фильтрация Ходжа - это одно из основных понятий теории Ходжа [9, 20]. Для компактных кэлеровых многообразий, в частности, для проективных многообразий теория Ходжа [9, 20] позволяет напрямую связать аналитические свойства пространства, выраженные его когомо-логиями Дольбо, с топологическим свойствами, выраженными когомо-логиями де Ра.ма. Особенную эффективность и завершенность теория Ходжа, получила, для компактных кэлеровых многообразий. Для некомпактных многообразий эта связь устроена сложнее и изучена мало.

Для приложений в комплексном анализе, в частности, в теории мно-

гомерных вычетов, полезной оказывается двойственность Александера-Поитрягииа [1|, [4], [13|. На практике она позволяет заменять в интегралах от замкнутых форм циклы на, гомологичные им циклы, по которым интеграл вычисляется проще. Поэтому явное описание двойственности Александера-Понрягина представляет определённый интерес для аналитических приложений.

Целью работы является: изучение когомологий дополнений к наборам координатных подпространств (как комплексных, так и вещественных), а именно, вычисление кольца когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств, явное описание двойственности Александера-Понтрягина, а. также вычисление фильтрации Ходжа на дополнении к набору комплексных координатных подпространств и построение ядер интегральных представлений голоморфных функций.

В работе используются методы алгебраической топологии, комплексной алгебраической геометрии и многомерного комплексного анализа.

Основные результаты

• Вычислено кольцо когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств в Построен изоморфизм между группой когомологий для дополнения к набору вещественных координатных подпространств и группой когомологий дополнения к комплексифика.ции этого набора (Теоремы 2.3 и 2.4).

• Получена конструктивная реализация двойственности Александера-Понтрягина для дополнений к наборам вещественных и комплексных координатных подпространств (Теоремы 2.2 и 2.5).

• Вычислена фильтрация Ходжа на дополнении к набору комплекс-

ных координатных подпространств (Теорема 3.1).

• Доказана теорема существования интегральных представлений голоморфных функций в поликруге, ядра которых имеют сингулярности на заданном наборе комплексных координатных плоскостей (Теорема 3.2).

• Построен явный базис в группах сингулярных гомологий и когомо-логий де Рама для дополнений к набору комплексных координатных подпространств, заданных многоугольником (Теорема 4.2).

Содержание работы

Первая глава является вспомогательной и содержит различные математические конструкции, факты и теоремы, которые используются в основной части работы. Глава состоит из четырёх разделов. В первом разделе собраны различные факты из алгебраической топологии: описаны конструкция двойного комплекса и различные теоремы, касающиеся их когомологий. дано определение индекса пресечения и коэффициента зацепления, сформулирована теорема двойственности Александера-Понтрягина, описана конструкция умножения в когомологиях клеточного комплекса. Во втором разделе собраны основные факты из торической топологии и топологии дополнений к наборам координатных плоскостей: дано описание набора координатных плоскостей 2 в терминах комбина.-торикм симплициального комплекса /С, определен момент-угол комплекс и алгебра его клеточных коцепей, сформулирована теорема о том, что кольцо когомологий С'1 \ изоморфно кольцу когомологий Як. В третьем разделе собраны факты из комплексной геометрии и дифференциальной топологии: даётся определение двойного комплекса Чеха-де

Рама, фильтрации Ходжа на когомологиях комплексного многообразия и конструкция резольвенты цикла. В четвертом разделе собраны основные известные факты об интегральных представлениях Коши, Бохнера-Мартинелли и др.

Вторая глава посвящена когомологиям дополнений к наборам координатных подпространств в С" и Мп. Сформулируем результаты первого раздела второй главы и необходимые для их формулировки факты из первой главы.

Зафиксируем множество [п] = {1,...,п}. Пусть /С есть симплици-альный комплекс на множестве вершин [тт.], т.е. вершинами симплексов из /С служат элементы из [п]. Пусть дано некоторое подмножество а = {{],... , ц} С [п], будем писать а € /С, если (д — 1)-мерный симплекс натянутый на вершины {¿ь . .. , ?,(у} лежит /С, в случае когда симплекс па вершинах {¿1,... ,г9} не лежит в /С, будем писать о ^ /С. Любой набор комплексных координатных подпространств в С'г может быть задан с помощью подходящего спмплициального комплекса /С на множестве вершин [п]. А именно, рассмотрим конфигурацию плоскостей

где для а = {гь . .. ,гт} С [п\

К = {г е С" : = г||П = 0}.

В нашем исследовании важную роль будет играть следующее понятие.

Определение. Кольцом, Стенли-Райснера (или кольцом граней) спмплициального комплекса 1С па мноэюестве [/¿] называется факторколь-

цо

ЦК ] = Щиъ...,упух^

где Т/с ~ однородный идеал, порожденный мономами ит — П?ет для которых т ^ 1С.

В терминах кольца, Z[/C] Бухштабер и Панов [7] (см. также Теорему 1.5) доказали, что имеет место изоморфизм колец когомологий

где Як, — есть дифференциальная градуированная алгебра

Як: - к{иъ...Л1п]®Ъ{К]и.

Здесь ...

^/г] — внешняя алгебра, — кольцом Стенли-Ра,иснера, 3 — подходящий идеал, (точное определение см. в разделе 1.2).

Мы начинаем раздел 2.1 с того, что строим аналог двойного комплекса Чеха-де Рама для алгебры Як;. В разделе 3.1 этот комплекс связывается с комплексом Чеха,-де Рама для подходящего покрытия С" \ Этот комплекс весьма схож с тем. который использовался в работе Данилова [10, параграф 12] для вычисления когомологий произвольного торического многообразия.

Также в разделе 2.1 строится явная конструкция для двойственности Александера.-Понтрягина в терминах когомологий алгебры Я/с. Разобьем С"' на клетки вида

Ми := {г е С" : 2г € М<0, г е I, = 0, ] е 3, гк еС\Е<0, к I и 3},

сопоставленных парам подмножеств I. 3 С [п], I П 3 = 0.

Обозначим через замыкание Zк; в одноточечной (сферической) компактификацпи 52п = С'г и {оо}. Зададим линейное отображение

р : Ric —> C*(S2n, Zfc), определённое на образующих R^ следующим образом:

<p{ujvj) := ±Ми,

знак ± определяется из комбинаторики / и J, точное определение дано в разделе 2.1.

Теорема 2.2. Отображение dp : HS(R>с) —> Н2П-ь-\{%к) корректно определено и является из ом,орфизмом двойственности Александера-Понтрягина.

Пусть Р С Мш — m-мерный простой многогранник, F-\,. .. , Fn — его гиперграни. Будем использовать обозначения

з e.i jeJ

где ^ KI- полагаем i7^ = Р. Сопоставим многограннику Р симплици-альный комплекс /С(Р), состоящий из всех симплексов / С [п] таких, что F1 ф 0. Справедливо следующее

Предложение 2.1. Имеют место следующие из ом,орфизмы:

Я* (С" \ZK(p)) — 0 H*~W{P,Fv),

VC[n]

H,(C»\ZK{F])= 0 Hs_{vl(P,Fv).

VC [„]

Во втором разделе второй главы рассматриваются когомологии дополнений к вещественным наборам подпространств. Как и в комплексном случае, любой набор вещественных координатных подпространств может быть задан при помощи подходящего симплицпального комплекса /С :

Ук. ■= U ь°>

crg/C

где для а = {гь . . . ,г.,„} С [п]

Ьа = {х е Мп : х{1 = ■■■ = х1т = 0}.

Рассмотрим дифференциальную градуированную алгебру , порождённую как свободный Ж-модуль элементами

а>]Ьи:1, 3 С [тф/П 3 = 0, мы полагаем а.060 = 1. Степень элементов равна

degarbJ = \3\, дифференциал выражается суммой

а умножение определено следующим образом

( если 3 П 3' = 0, /' П 3 = 0

а/0.7 ■ = <

0: если 3 П 3' Ф 0 или ГПЗ ^ 0.

Рассмотрим дифференциальную градуированную подалгебру J¡c алгебры С}', аддитивно порожденную элементами а/6.; такими, что множество 3 не образует симплекса в комплексе /С. Алгебра, Jj(i является идеалом С/. Введем фактора л гебр.у

Я 1С = Я'и К,■

Теорема 2.3. Имеет место изоморфизм, колец когомолоаий

#*(МП\ Ук) =

Определим подгруппу С}кр'м в Ср, как аддитивную группу с образующими а/бл такими, что \1\ = = Я V• Имеет место разложение

% = 0

д-р=в

Группы образуют подкомплекс в комплексе <5д) '■

... А, д-Р-1-? А, д-м д-Р+1.9 ...

Следовательно, когомологии Н*(С}к;) раскладываются в прямую сумму

-Р+Ч=N

где Н~рл,{С}]с) есть когомологии комплекса,

Оказывается, имеется не сохраняющий градуировку и умножение изоморфизм между Н*(11к) и Н*(С>1с), и, соответственно, изоморфизм между Н*(С"' \ Z¡c) и Я~*(МП \ Ук). Зададим линейное отображение /л •' —> по формуле

хде знак ±, определен исходя из комбинаторики /.,/.

Теорема 2.4. Отобраглсение /л устанавливает, изоморфизм между цепными комплексами

■ • ■ д-р-1»' ...,

и

6К-. г>-р-1;2</ ¿я, п-Р,2ц <5 я, о-р+1,2г/ ¿я

• • • > /С ' ' ' '

и как следствие /.а индуцирует изоморфизмы

и

н*ш= 0 н-^шй 0 =

р>0,д>0 р>0.д>0

Для простого т—мерного многогранника Р с множеством гиперграней Г\,.... имеем

Предложение 2.3. Имеет место следующий изоморфизм

УС[п]

Аналогично комплексному случаю мы описываем двойственность Александера-Понтрягина в терминах алгебры (^¡с. Разобьем Мп на клетки вида

С/+У-.У := {.г € М" : х, е Ж>(). г е 1 + • хк € М<0, к € zJ = 0,э е 3],

здесь /+, /", 3 С [я] /+ П /" = /+ П 3 = Г П 3 = 0, /+ и Г и 3 = [га]. Добавляя к данному клеточному разбиению одну 0-мерную клетку {оо}, получаем клеточное разбиение сферы = Ж,г и {оо}.

Определим линейное отображение па образующих следующим образом:

c/Kar&j) := ^ ±G,

/+/-J-

/+D7 /- = [7г]\(/ + и,У)

Будем обозначать дц>{и) — границу </?(и;) в сферической компактифика-ции S'1 = R" и {оо}.

Теорема 2.5. Отображение dtp : Hs(Q/c) Hn-s-i(Y/c), корректно определено и является изоморф'азмом двойственности Александера-Понтрягина.

1 о 1 о

В третьей главе мы вычисляем фильтрацию Ходжа на когомологи-ях дополнения к набору комплексных координатных подпространств и применяем этот результат для построения ядер интегральных представлений голоморфных функций.

В первом разделе этой главы вычисляется фильтрация Ходжа на ко-гомологиях Сп \

Обозначим Ер — пучок С^-дифференциальных форм степени р, — пучок С^-дифференциальных форм бистепени (р, д), О,1' — пучок голоморфных форма степени р.

Определение. Убивающая фгыьтрация па комплексе де Рама {£', с1) вида

р>к

называется фильтрацией Ходэюа.

Фильтрация Ходжа индуцирует фильтрацию ЕкН*(Х,<С) на когомо-логиях де Рама, а именно

Ffctfi'(С" \ С) = 1т(Щ(Ек£'(Сп \ ЗД) Щ(Г(Сп \ ЗД)),

где Щ{£9{Сп \ гК)) и Щ[Рк£'{Сп \ г^)), соответственно, з-тые кого-мологии комплекса, де Рама на Сп \ Z/c и А;-го члена его фильтрации Ходжа,

Возьмём в качестве покрытия Сд \ набор Ы^ = {иа}а€К.-, где

Ыо = сп \ 1){гг = 0}.

г^ст

Рассмотрим двойной голоморфный комплекс Чеха-де Рама, для этого покрытия

(С1(иц:,С1р),с1,6). Определим в нём подкомплекс

состоящий из коциклов ир,(> следующего вида

с1г!

,<гч = Е

1Л=р

/с[п]\(сг0П Па„)

Когомологии Чеха этого подкомплекса обозначим Нч{Ы)с^1{0ГТ). Тогда фильтрация Ходжа вычисляется следующим образом. Теорема 3.1. Имеют место изоморфизмы

р+ц=ь р>к

Комбинируя эти два изоморфизма, получаем,

Также в этом разделе мы объясняем взаимосвязь между двойным комплексом для алгебры В ¡с и двойным комплексом Чеха-де Рама для покрытия Ык.

Во втором разделе третьей главы мы занимаемся применением результатов о фильтрации Ходжа для изучения интегральных представлений голоморфных функций таких, что ядра этих представлений имеют сингулярности на наборах координатных плоскостей Обозначим и единичный поликруг в С" :

и = {г = .... гп) € С" : \г,\ < 1, г = 1,. . . , д}. .

Заметим, что момент-угол комплекс 2^ лежит на границе ди поликруга.

Теорема 3.2. Для, любого нетривиального элемента из ЕпНь(С1 \ 2¡с, С) существуют представитель в виде замкнутой (п. 5 — п)-формы

со и в-мерный цикл Г е С \ ^ с носителем в момент-угол комплексе такие; что для всякой голоморфной в окрестности 13 функции f имеет место интегральное представление

В четвертой главе подробно рассматриваются конфигурации плоскостей, соответствующие многоугольникам. А именно, пусть Р есть п-угольник, тогда ему соответствует набор плоскостей

гР = и = ^ =

в С"'. Для С" \ Zp мы явно вычисляем базисные циклы в гомологиях, двойственные им по Александеру-Понтрягину циклы в гомологиях Z ¡>, а также формы, являющиеся базисом в когомологиях де Рама для (Cn\Zp.

Обозначим .....Рп грани многоугольника Р. Всякому множеству

/ С [п] можно однозначно сопоставить иа.бор граней Р[ = {_)1еГ Рг- Будем говорить, что 3 С I является связной компонентой I, если pJ является связной компонентой Р[. Для любого множества 7 С [п] зафиксируем некоторую его связную компоненту и обозначим ее /у С 7. Обозначим через С/ — множество всех связных компонент 3 С 7. а через Си0 — множество всех связных компонент 3 С I. кроме /о-Рассмотрим (|7| -I- 1)-мерные циклы

Г/ - {\zг\'¿ + Ы2 = 1. \гч\2 = 1, ^ = 1; <7 € 7 \ {г, к $ /},

где г, 7 € 7. Эти циклы лежат в дополнении к Z\-> и они диффеоморфны 53 х (51)'7'"2. Выберем произвольные индексы г Е 7о,7 € 7 из соответствующих связных компонент и обозначим через Г'/ класс гомологий

цикла Г'^ (мы покажем, что он корректно определен, т.е. не зависит от выбора г € /о, j € J).

Зададим следующие формы бистепени (|í|, 1)

~ X] П zsdzqdzj+ Y, П zsdzqdz¡

J ' qeJsel\q q€l\Jb€l\q

= (2тп)т(ПкР+ П l-l2)2

¿£J s £l\.J

(здесь dzj = f\dz,), J С / С [п].

Теорема 4.2. Пусть 3 < s < п — 1. Тогда следующие наборы циклов и форм

{Г/}|./|=А-ыеСу v W}|/|=.s-i../eCíi/0;

образуют двойственные по де Раму базисы, групп Нч(С" \Zp) м //s(С" \ Zp) соответственно, т.е.

I и] = bvl

где ój!j = 1 'при J' = J и Г = 1, в остальных случаях 5f,j — 0.

В теореме 4.1 мы доказываем аналогичное утверждение для базиса группы гомологии Hs{Сп \ Zp) и двойственного ей по Александеру-Понтрягину базиса группы гомологий Н2П-ч-\{Zp)-

Основные обозначения

В диссертации, в случае если это не указывается специально, мы рассматриваем группы когомологий и гомологпй пространства с целыми коэффициентами. В диссертации используются следующие обозначения

• Ъ — кольцо целых чисел.

• К — поле вещественных чисел.

• М<о- К<о, К>о, К>о, ~ подмножество вещественных чисел, соответственно, меньших, меньших или равных, больших или равных, больших нуля.

• С — поле комплексных числе.

• С* — мультипликативная подгруппа поля С, тоже самое, что С\{0}.

• Т — подгруппа в С*; состоящая из \г\ = 1, группу Т можно отождествить с окружностью 51, Т" с п-мерным тором.

• Н*(Х) — приведённые гомологии пространства. Л'.

• х{и. V) — индекс пересечения цепей и и V.

• \к(и, V) — коэффициент зацепления циклов и и V.

• 1п] — {!)■••)п} множество из п элементов.

• |/| — мощность множества I.

• (г,/) — номер элемента г.г б I. в множестве / при естественном упорядочение, т.е. пусть I = {?!.....'¡>1>}-,Ч < •■• < Ц>, тогда

[</. 7'] — перестановка вида

;1 л Л а'1

............ -¡Р+Ч

где з\ < • • ■ < к = 1, 2. 3, иУ = ..., У = (Л,...

^и/^О?.....=

7] — чётность перестановки [</, </'], 1 если [</, 7'] — чётная, —1 если — не чётная.

— |/|— форма вида

с1гт ¿г,, аЬ.,.

— = —Л---Л —

где / = {¿1, . . . , г;с} и ¿1 < • • ■ < г/;;. йг] \1\—форма вида

с1гч Л • • ■ Л с1гч.. где / = {¿1.. . . , и-} и г1 <■■■ < гк.

/С симплициальный комплекс на множестве [п].

(X. И^)^ — /С-степеныо пары (X, Ж), определение 1.1

Z|Q — набор комплексных координатных подпространств заданных комплексом /С. уравнение (12).

Д^-; — момент-угол комплекс, определение 1.2.

х — цепь вида х = {|г,.| < 1 : г <Е а; = 1 : ] е 7. г). — 1 : /с ^ 7 и а}, уравнение (1.3).

/?.д: " дифференциальная биградуированная алгебра, (1.5).

R^ — биградуированная компонента бистепени (—р, 2q) алгебры Rjc-

8д — дифференциал на R/ç.

ujVj — элемент Rjç.

urvj : и,. . . . ulq <g> v3l . .. vJp,

где i = {гх.....?;(/}; ?:<■••< ?;(/, J = {jL,.. .,jv} и in J = 0,1, J Ç

[n], (полагаем — 1), уравнение (1.9).

P — простой m-мерный многогранник в IR'n, F\.... . FVi его гиперграни. Fj = (J3ej F.j, FJ = f|jeJ Fv где J Ç [n], причем F0 = P, a Fî/i = 0, уравнение (1.12).

Yic — набор вещественных координатных подпространств заданных комплексом /С, уравнение (2.6).

ffiLZx- :— ([—1, 1], { — 1} U {1})*" — вещественная часть момент-угол комплекса Z/ç, уравнение (2.7).

8* — пучок Сто°-дифференциальных форм степени s. £р,ч _ пучок С°°-дифференциальных форм бистепени (p,q). i~lp — пучок голоморфных форма, степени р. Utc — покрытие Сл \ U^ = {Uo}at/с, где

Uo = С" \ = 0};

igo

уравнение (3.2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Элияшев, Юрий Валерьевич, 2013 год

Список литературы

[1] Айзенберг Л.А.. Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексеом анализе, Новосибирск, Наука, 1979, Збб с.

[2] Баскаков И.В. Когомологии А'-степеней пространств и комбинаторика симплициальных разбиений // УМН, 20U2, т.57, №5, 147-148.

[3] Баскаков И.В., Бухштабер В.М., Панов Т.Е. Алгебры клеточных коцепей и действия торов // УМН, 2004, т.59, №3, 159-160.

[4J Бурученко H.A., Цих А.К. О гомологическом приведении циклов в дополнении к алгебраической гиперповерхности // Матем. сб., 1995, т. 186, №10, 31-40.

[5] Бухштабер В.М., Панов Т.Е. Действия тора и комбинаторика многогранников // Труды МИ РАН им. В.А. Стеклова, 1999, Т.225, 96-131. №2. С.358-371.

[6] Бухштабер В.A4., Панов Т.Е. Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра // УМН, 2000; т.55, №5, 3-106.

[7] Бухшта.бер В.М., Панов Т.Е. Торические действия в топологии и комбинаторике, М., МЦНМО, 2004, 272 с.

[8] Васильев В А Топология наборов плоскостей и их дополнений // УМН. 2001. т 56. №2, 167-203

[9] Вуазеп К Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия: В 2-х т. Т.1, М . МЦНМО, 2010, 344 с

[10] Данилов В.И. Геометрия торических многообразий // УМН, 1978, т 33, №2, 85-134

[11] Кытманов А А Об аналоге представления Бохнера-Мартинелли в cí-круговых полиэдрах пространства // Изв вузов. Матем., 2005. № 3, 52-58

[12] Фоменко AT. Фукс ДБ Курс гомотопической топологии, М.. Наука, 1989, 494 с

[13] Южаков А П О вычегах функций многих комплексных переменных // Изв. вузов Матем , 1964, № 5, 149-161

[14] Bosio F , Meeisseman L. Real quadncs in C", complex manifolds and convex polytopes // Acia Math 2006. vol 197 , no 1, 53-127

[15] Bott R, Tu LW Difteiential Foims m Algebiaic Topology, Beilm, Spnngei-Veilag, 1982. 350

[16] Cox DA The homogeneous cooidmate img ol tone vanety // J Algebiaic Geometry, 1995, vol 4, 17-50

[17] Cox D A. Recent developments m tone geometiy, Algebiaic geometiy -Santa Ciuz 1995, 389-436 Volume 2. AMS, Piovidence, RI, 1997, 389436.

[18] Gleason A.M. The Cauehy-Weil theorem // J. Math. Mech, 1963, vol. 12, 429-444.

[19] Goresky M., MacPherson R. Stratified Morse Theory, Berlin, SpringerVerlag, 1988.

[20] Griffiths P., Harns J. Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1994, 832.

[21] Shchuplev A.V., Tsikh A.K., Yger A. Residual kernels with singularities on coordinate planes // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2006, Vol. 253, 256-274.

[22] Sorani G. Integral representations of holomorphic functions // Amer. J. Math., 1966, vol. 88, 737-746.

[23] Tsikh A.K. Toriska residyer (Swedish) // Proc. Con I'. "Nordan 3"/ Stockholm, 1999, 16.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах из перечня ВАК

[24] Казанова A.B.. Элияшев Ю.В. О гомологиях наборов комплексных плоскостей коразмерности два // Изв. вузов. Матем., 2009. № 10. 33-39

[25] Элияшев Ю.В. Гомологии и ко гомологии дополнения к некоторым наборам комплексных плоскостей коразмерности два // Сиб. матем. журн., 2011, т.52, №3, 702-712

[26] Eliyashev Yu.V. The Hodge filtration on complements of complex subspa.ce arrangements and integral representations of holomorphic functions // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2013, т.6, №2, 174-185

Тезисы конференций

[27] Элияшев Ю.В. Гомологии дополнения к набору комплексных координатных плоскостей, заданных простым многогранником // Тезисы международной конференции "Аналитические функций многих комплексных переменных", 2009, Красноярск, С. 17.

[28] Элияшев Ю.В. Смешанные структуры Ходжа на дополнениях к наборам координатных подпространств и интегральные представления // Тезисы IV российско-армянского совещания по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам, 2012, Красноярск, С. 85.