Колебания тел с острыми кромками в несжимаемой маловязкой жидкости и некоторые задачи гидродинамики космических аппаратов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Бужинский, Валерий Алексеевич

• Бужинский, Валерий Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бужинский, Валерий Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1 КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ОСТРЫМИ КРОМКАМИ В

НЕСЖИМАЕМОЙ МАЛОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

1.1 Сингулярные решения уравнения Лапласа.

1.2 Энергия вихреобразования за период колебаний пластинки в несжимаемой маловязкой жидкости.

1.3 Гидродинамический аналог формулы Ирвина.

1.4 Определение коэффициентов сопротивления и декрементов колебаний.

1.5 Экспериментальное определение универсальной постоянной.

1.6 Влияние вихревого течения в окрестности острых кромок на присоединенные к пластинкам массы жидкости.

1.7 Применение гидродинамического аналога формулы

Ирвина для получения аналитических решений.

1.8 Аналитические решения методом конформных отображений.

1.9 Аналитические решения методом интеграла типа Коши.

1.10 Некоторые аналитические решения пространственной задачи.

1.11 Общий случай колебаний в жидкости тела с двугранными кромками. щ 2 МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ПЛОСКИХ

ЗАДАЧ О ПОТЕНЦИАЛЕ С НЕЗАМКНУТЫМИ

ГРАНИЧНЫМИ ЛИНИЯМИ.

2.1 Сингулярное граничное интегральное уравнение.

2.2 Постоянные граничные элементы.

2.3 Квадратичные граничные элементы.

2.4 Вычисление интегралов.

2.5 Численные результаты и анализ сходимости.

2.6 Влияние границ на коэффициенты сопротивления и декременты колебаний.

2.6.1 Влияние стенки. Эффект зазора.

2.6.2 Влияние другой пластинки. Эффект затенения. 2.6.3 Влияние свободной поверхности жидкости.

2.6.4 Колебания заполненной жидкостью цилиндрической

• емкости с радиальными ребрами вокруг продольной оси.

2.7 Плоская стационарная задача гидродинамики.

2.7.1 Сингулярное граничное интегральное уравнение.

2.7.2 Метод дискретных вихрей в стационарных задачах гидродинамики.

2.7.3 Некоторые аналитические и численные решения.

3 МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ О ПОТЕНЦИАЛЕ С

НЕЗАМКНУТЫМИ ГРАНИЧНЫМИ 133 ПОВЕРХНОСТЯМИ

3.1 Интегральные представления гармонической функции и щ производных гармонической функции.

3.2 Сингулярное граничное интегральное уравнение.

3.3 Определение предельных значений интегралов.

3.4 Аппроксимация граничных поверхностей.

3.4.1 Основные зависимости.

3.4.2 Плоский четырехугольный элемент поверхности.

3.4.3 Плоский треугольный элемент поверхности.

3.4.4 Квадратичный четырехугольный элемент поверхности.

3.4.5 Квадратичный треугольный элемент поверхности.

3.5 Приведение СГИУ к системе линейных алгебраических уравнений.

3.5.1 Постоянные граничные элементы.

3.5.2 Линейные граничные элементы.

3.6 Результаты расчетов для колебаний пластин прямоугольной формы в маловязкой жидкости. Сравнение с экспериментальными данными.

3.6.1 Постановка задачи.

3.6.2 Некоторые результаты расчетов МГЭ.

3.6.3 Экспериментальное исследование сопротивления прямоугольных пластин.:. .,. .«•

3.7 Влияние воздушной среды при частотных испытаниях

ПСБКА.

3.8 О применении метода граничных элементов к задачам обтекания тел потоком несжимаемой жидкости.

3.8.1 Синтез метода граничных элементов с методом дискретных вихрей.

3.8.2 Сила давления жидкости на тело в потоке с поверхностями тангенциального разрыва.

4 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ, С

ДЕМПФИРУЮЩИМИ ПЕРЕГОРОДКАМИ.

4.1 Уравнения возмущенного движения.

4.2 Вихревое демпфирование колебаний жидкости в резервуарах с перегородками.

4.3 Интегральная формула для коэффициентов интенсивности скоростей.

4.4 Применение метода конечных элементов к решению краевых задач для резервуаров вращения с жидкостью.

4.4.1 Вариационная формулировка задач.

4.4.2 Линейные конечные элементы.

4.4.3 Квадратичные конечные элементы.

4.4.4 Задача на собственные значения для отсеков резервуаров вращения.

4.5 Определение гидродинамических параметров.

4.6 Характеристика программного обеспечения.

4.7 Анализ эффективности применения МКЭ для определения гидродинамических параметров.

4.7.1 Исследование влияния поперечных перегородок на инерционные гидродинамические параметры.

4.7.2 Исследование влияния поперечных перегородок на демпфирование колебаний жидкости.

4.8 Расчет гидродинамических параметров для топливных баков разгонного блока.

4.9 Определение требований к демпфированию колебаний жидкого топлива путем анализа устойчивости движения частотным методом.

4.9.1 Основные уравнения.

4.9.2 Частотный метод Найквиста.

4.9.3 Требования к демпфированию колебаний жидкости в баках РБ "Бриз-КМ" при полете в составе II ступени РН

Рокот".

4.9.4 Анализ структурных свойств III ступени

РН "Протон" с РБ ДМ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания тел с острыми кромками в несжимаемой маловязкой жидкости и некоторые задачи гидродинамики космических аппаратов»

Актуальность темы. Интерес к задаче о колебаниях в жидкости тела с острыми кромками резко возрос в начале второй половины XX века в связи с развитием ракетно-космической техники (РКТ). Жидкое топливо в баках ракет-носителей (РН) может составлять до 90% от их общей массы. Подвижность жидкости существенно влияет на движение РН, разгонных блоков (РБ) и космических аппаратов (КА) и может приводить к потере устойчивости их движения. Практически единственный способ подавления такой динамической неустойчивости состоит в резком увеличении демпфирования колебаний жидкого топлива. С этой целью в топливные баки устанавливают конструктивные элементы типа продольных и поперечных перегородок (пластин), частично перекрывающих продольное или поперечное сечение полости. При колебаниях жидкости на острых кромках этих конструктивных элементов периодически происходит образование и срыв вихрей, за счет чего и обеспечивается высокое демпфирование. Задачи о колебаниях жидкости в баках с демпфирующими перегородками и колебаний пластин, а в общем случае тел с острыми кромками, в несжимаемой маловязкой жидкости тесно связаны.

Выбрать демпфирующие перегородки с минимальным весом, которые обеспечивают устойчивость движения объектов РКТ, не имея общей теории, достаточно сложно: объем материальных затрат и времени на проведение испытаний чрезмерно велик.

Несколько позже возникла задача об учете влияния воздушной среды при наземных частотных испытаниях панелей солнечных батарей (ПСБ) КА. ПСБ КА представляют собой относительно легкие, но крупногабаритные конструкции. Влияние воздушной среды проявляется в появлении дополнительных инерционных и диссипативных сил, которые искажают определение динамических характеристик ПСБ, необходимых для настроек системы управления КА. Возникающие диссипативные силы обусловлены, главным образом, сложным вихревым движением воздуха около кромок ПСБ.

Имеется тенденция к постоянному росту габаритных размеров и уменьшению относительного веса ПСБ КА, поэтому влияние воздуха при проведении их наземных динамических испытаний становится все более существенным. Специальные вакуумные камеры имеют заданные ограниченные размеры, а проведение испытаний в них является весьма дорогостоящим и недостаточно надежным, так как доступ туда персонала во время испытаний исключен.

Определение сил, действующих на движущиеся в жидкости тела, является одной из центральных проблем гидромеханики. В общем случае решение уравнений Навье-Стокса dv 1 (vV)v = — VP + vAv dt p для определения этих сил при больших числах Рейнольдса наталкивается на трудности принципиального характера [27,51]. Поэтому развитие теоретической гидромеханики определялось, прежде всего, созданием приближенных моделей движения жидкостей, отражающих наиболее существенные черты рассматриваемых в них явлений, а также разработкой численных методов их исследования. Настоящая работа посвящена разработке полуэмпирической асимптотической теории вихревого сопротивления тел с острыми кромками при колебаниях в несжимаемой маловязкой жидкости и ее приложению к решению сформулированных выше задач гидродинамики космических аппаратов.

Обзор литературы. Приведем краткий обзор основных работ, связанных с темой исследования, имея в виду, что следование историческому развитию идей в данной области науки и наличие близких аналогов в смежных с нею областях повышает доверие к теории, если даже она и не имеет строгого обоснования на основе более фундаментальных теорий [8].

Одна из наиболее близких к теме исследования задач - это задача о колебаниях в несжимаемой жидкости твердого тела с гладкой граничной поверхностью. Она имеет общее асимптотическое решение [51], которое справедливо, если мала амплитуда колебаний тела и толщина пограничного слоя много меньше характерного размера тела (точнее, радиусов кривизны его поверхности). Первое из допущений необходимо, чтобы пренебречь конвективным ускорением и считать течение жидкости безотрывным, а второе - для пренебрежения кривизной течения жидкости в пограничном слое. Поэтому в первом приближении для любого малого элемента поверхности твердого тела можно использовать точное решение уравнений Навье-Стокса для колебаний плоскости под безграничным слоем жидкости, полученное Стоксом в 1851 году.

Аналогичная внутренняя задача гидродинамики, возникающая при рассмотрении колебаний тела, полость которого полностью заполнена жидкостью, при тех же допущениях также имеет общее асимптотическое решение. При наличии у жидкости в полости свободной поверхности возникают дополнительные особенности. Эта задача имеет важные практические приложения в ракетно-космической технике.

Уравнения движения тела с полостью, частично заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, в начале второй половины XX века получили Моисеев [57], Нариманов [61], Охоцимский [62], а также зарубежные ученые [88]. Эквивалентные уравнения в несколько ином виде предложил Рабинович [65]. Определение коэффициентов полученных обыкновенных дифференциальных уравнений было сведено к решению двух типов краевых задач. Первая из них такая же, как для тела с полостью, полностью заполненной жидкостью. Фундаментальное исследование о движении тела с полостью, содержащей жидкость, было выполнено Жуковским

39] без связи с какими-либо практическими запросами в то время и опубликовано в 1885 году. Вторая краевая задача описывает колебания жидкости в полости неподвижного тела. Некоторые решения этой задачи были известны также еще в XIX веке [50].

Строгое решение задачи о движении тела с полостью, заполненной маловязкой жидкостью, получил Черноусько [86]. В частности, он разработал теорию малых колебаний жидкости, имеющей свободную поверхность, в резервуарах с гладкими стенками путем решения уравнений На-вье-Стокса в виде асимптотических разложений в ряд по степеням вязко

1/9 сти v . Однако демпфирование колебаний жидкости, обусловленное диссипацией энергии в пограничном слое на стенках баков объектов РКТ, оказывается слишком малым. Во многих случаях при таком демпфировании устойчивость движения РН, РБ и КА не обеспечивается. В окрестности острых кромок конструктивных элементов, устанавливаемых для резкого повышения демпфирования, допущения теории пограничного слоя не выполняются.

Течения жидкости около тел с острыми кромками изучаются в теории крыла самолета. Наличие острой кромки - принципиальная особенность крыла. В 1906 году Жуковский [40] установил вихревую природу подъемной силы, а в 1909 году, когда был сформулирован постулат Чаплыгина-Жуковского, стала ясной роль острой кромки. Книга Белоцерков-ского [6] положила начало интенсивному развитию вихревых моделей течений идеальной жидкости. Численные решения задач обтекания тел потоком идеальной жидкости получают методом дискретных вихрей (МДВ). Обоснование МДВ дано Лифановым [7,52]. Применение МДВ для решения задач о колебаниях тела с острыми кромками в жидкости и, в особенности, для решения задач о колебаниях жидкости в баках с демпфирующими перегородками связано с большими трудностями. О полученных этим методом некоторых частных решениях задач о колебаниях пластинок в жидкости будет сказано ниже.

Седов [74] получил асимптотическое решение плоской задачи о колебаниях пластинки, расположенной под малым углом атаки в стационарном на бесконечности потоке жидкости с большой скоростью. Это решение имеет некоторое практическое приложение для анализа процессов при вибрациях крыла самолета. Задача о колебаниях пластинки в покоящейся на бесконечности жидкости такого решения не имеет.

Одно из первых систематических экспериментальных исследований по малым колебаниям различных тел в жидкости, в частности пластин разной формы, выполнили Риман и Крепе [69]. Однако в их работе определялись только коэффициенты присоединенных масс жидкости.

Впервые глубокие экспериментальные исследования по сопротивлению длинной прямоугольной пластинки, расположенной перпендикулярно периодическому потоку жидкости, были проведены Келеганом и Карпен-тером [98] и опубликованы в 1958 году. Сопротивление тонкой пластинки при колебаниях в безграничной жидкости может зависеть только от двух критериев подобия: числа Струхаля или относительной амплитуды колебаний и числа Рейнольдса. Испытания показали, что коэффициент сопротивления практически не зависит от числа Рейнольдса при его изменении в очень широком диапазоне больших значений. Это указывает на то, что значение имеет энергия образующихся за период колебаний вихрей, а не эффекты, связанные с их диффузией и диссипацией в объеме жидкости.

Келеган и Карпентер представили результаты своих исследований в виде зависимости коэффициента сопротивления от безразмерного параметра vT/R , где v - амплитуда скорости, R - ширина пластинки, Т - период колебаний. Иногда в литературе этот параметр, обратный числу Струхаля, называется числом Келегана-Карпентера и обозначается Кс. В проведенных Келеганом и Карпентером испытаниях это число изменялось в диапазоне 2<v77i?<50 . Даже для нижней границы указанного диапазона это соответствует довольно большой амплитуде колебаний, составляющей около 1/3 ширины пластинки.

В том же 1958 году Майлс [100], основываясь на этих экспериментальных данных, аппроксимировал зависимость коэффициента сопротивления пластинки от числа Кс простейшей степенной функцией с показателем -1/2 и применил ее для оценки демпфирования колебаний жидкости в цилиндрическом баке с кольцевой перегородкой. В результате демпфирование оказалось пропорционально амплитуде колебаний жидкости в степени 1/2.

В СССР обширные экспериментальные исследования колебаний пластин в жидкости и колебаний жидкости в баках с демпфирующими перегородками были проведены Микишевым [54,55] и Бенедиктовым [29,30]. В этих исследованиях больше внимания уделялось малым амплитудам колебаний, представляющим практический интерес в связи с задачей о демпфировании колебаний жидкого топлива в баках РН и КА. Путем аппроксимации экспериментальных данных были получены различные частные эмпирические зависимости, рекомендованные для применения в конкретных случаях.

Первое основательное теоретическое исследование по сопротивлению пластинки, совершающей колебания в безграничной жидкости, принадлежит Грахаму [92] и опубликовано им в 1980 году в ведущем журнале по механике жидкости "Journal of Fluid Mechanics". Он рассмотрел плоскую задачу о гармонических колебаниях пластинки по нормали к ее плоскости при малых числах Келегана-Карпентера Кс. Из ряда других эту работу выделяет то, что в ней впервые был сделан правильный общий вывод о характере сопротивления. Применяя соображения подобия, Грахам показал, что при малых амплитудах колебаний показатель степени в зависимости сопротивления от числа Келегана-Карпентера Кс равен -1/3. Позже

Бернардинес, Грахам и Паркер [91] аналогично исследовали осесиммет-ричные задачи о колебаниях тонкого круглого диска и о периодическом течении жидкости через круглое отверстие.

В этих работах не было предложено какой-либо общей теории, а основное внимание уделялось важному аспекту развития численного метода дискретных вихрей для решения указанных конкретных задач. Подробная библиография с анализом численных методов решения широкого класса задач о вихревых движениях жидкости содержится в обзорной статье Сарпкайя [71].

Из сделанного обзора следует, что применение существующих теоретических методов для определения сопротивления даже простых пластин или панелей, совершающих колебания в жидкости, и тем более для исследования колебаний жидкости в баках с демпфирующими перегородками сопряжено с практически непреодолимыми трудностями. Все попытки получить асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса путем разложения в ряд по числам Рейнольдса и Келегана-Карпентера окончились безрезультатно.

Основная идея работы. Общее теоретическое решение проблемы совершенно другим путем было получено автором в 1987 году после знакомства с небольшой книгой Работнова [67] по линейной механике разрушения. В этой книге привлекло внимание то, что, основываясь на соображениях подобия, по значению коэффициента интенсивности напряжений (КИН) оценивался размер зоны пластичности в окрестности вершины трещины, т.е. методы подобия и размерностей соединялись с методом сингулярных решений. Трещина в упругом теле и пластина в идеальной несжимаемой жидкости имеют не только очевидное внешнее сходство. Задачи теории упругости, как и задачи о потенциальном движении жидкости, относятся к эллиптическим краевым задачам. С математической точки зрения решения этих задач имеют одинаковые особенности в окрестности острых кромок областей. Возникла идея перенесения методов теории трещин механики деформируемого твердого тела в область гидродинамики при рассмотрении колебаний пластин в несжимаемой маловязкой жидкости. Эта идея оказалась плодотворной, поэтому кратко остановимся на основных моментах развития и принципах линейной механики разрушения.

Когда в начале XX века на основе новой атомной теории строения вещества была оценена теоретическая прочность различных твердых тел, то она на порядок и более оказалась выше наблюдаемой. В 1920 году Гриффите [93] объяснил столь разительное различие наличием в кристаллических телах микротрещин и предложил свой критерий прочности, связанный с вычислением энергии, идущей на увеличение поверхности этих трещин. Предложенный им подход оказался довольно сложным и в то время не получил дальнейшего развития.

В 1957 году Ирвин [96] ввел в качестве меры сингулярности напряжений на острых кромках трещин коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) и связал с ними силовой критерий прочности. Он показал, что в малой окрестности острой кромки любой трещины напряжения выражаются зависимостями вида a = K/yf2nr /(9), где / - некоторые известные функции полярного угла 9 , г - расстояние до острой кромки, К - коэффициент интенсивности напряжений (трем разным типам деформаций соответствуют коэффициенты Kj,Kjj,Kjjj). Ирвин получил также важные формулы, носящие его имя, которые устанавливают связь КИН с изменением энергии при росте трещин. С этого момента началось интенсивное развитие линейной механики трещин, которая к настоящему времени сформировалась в обширный самостоятельный раздел науки [68,85], имеющий важнейшие практические приложения.

Сингулярные функции и КИН характеризуют напряженное состояние только в малой "дальней" окрестности острой кромки трещины, а в ее ближней окрестности в металлах, например, развивается пластическая зона. Проводя условную физическую аналогию, можно принять, что в задаче гидродинамики о колебаниях пластины в маловязкой жидкости сингулярные функции описывают поле скоростей только в малой "дальней" окрестности острой кромки, а в ее ближней окрестности течение жидкости имеет сложный вихревой характер.

Заимствуя идеи линейной механики разрушения, автор [12,13] предложил новую приближенную модель движения несжимаемой маловязкой жидкости, предназначенную для определения сил сопротивления, действующих на тела с острыми кромками при их чисто колебательном движении в жидкости либо при колебательном движении жидкости относительно тел с острыми кромками. В этой модели область течения жидкости разбивается на следующие подобласти:

• область основного потенциального движения жидкости;

• область малой "дальней" окрестности острой кромки, где течение жидкости описывается главными сингулярными членами решения задачи о потенциальном движении, в котором скорости жидкости на острой кромке обращаются в бесконечность;

• область ближней окрестности острой кромки и существенного вихревого движения жидкости, где происходит образование и периодическое изменение вихревых структур;

• область пограничного слоя.

На основе этой модели полуэмпирическая асимптотическая теория вихревого сопротивления построена автором [12] при следующих допущениях: характерный размер тела много больше, а толщина пограничного слоя много меньше характерного размера области существенного вихревого движения жидкости. Кроме того, в качестве постулата принято естественное при этих допущениях утверждение: энергия вихреобразования полностью определяется потенциальным течением жидкости в малой "дальней" окрестности острых кромок.

Разработанная автором [12,13,17] асимптотическая теория вихревого сопротивления применима при больших числах Рейнольдса и малых числах Келегана-Карпентера. Она основана на введении количественной меры сингулярности скорости жидкости на острой кромке согласно зависимости v = К у / v 2лг / (0) , где Kv - коэффициент интенсивности скоростей (КИС), /(0) - некоторая известная функция полярного угла 0, отсчитываемого от одной стороны кромки к другой по дуге в жидкости, г - расстояние до острой кромки. С привлечением соображений подобия и размерностей показано, что с точностью до универсального постоянного множителя энергия вихреобразования за период колебаний зависит вполне определенным образом только от плотности жидкости, частоты колебаний и значений КИС на контуре острой кромки.

Основной результат теории может быть выражен зависимостью dE/de = Bp<a-2/2Kl'3(£) (0.1) где dEl di - производная энергии вихреобразования за период колебаний по длине острой кромки, т.е. энергия вихреобразования на единицу длины кромки, р - плотность жидкости, ю - частота колебаний, Kv (£) - значение

КИС в точке контура I острой кромки, В - универсальная постоянная, приближенно равная 2. Величина универсальной постоянной была определена по результатам специально проведенных испытаний круглой панели в воздушной среде [12]. В конечном итоге задачи определения сопротивления сведены к вычислению КИС в рамках концепции безотрывного потенциального движения жидкости и вычислению некоторых интегралов по контуру острых кромок. Был получен и гидродинамический аналог формул Ирвина. В ряде случаев применение этой формулы существенно упрощает нахождение КИС.

Для определения сил сопротивления, которые действует на пластину или панель, совершающую колебания в жидкости или воздушной среде, выполняются следующие операции [12,17]:

• решается задача о потенциальном движении жидкости;

• определяются коэффициенты при сингулярных членах потенциального решения, названные коэффициентами интенсивности скоростей (КИС), которые характеризуют течение жидкости в малых "дальних" окрестностях острых кромок;

• вычисляются интегралы по контурам острых кромок, в которых подынтегральные функции зависят от КИС.

Аналогичным образом определяются коэффициенты демпфирования колебаний жидкости в баках с конструктивными элементами, имеющими острые кромки [14,15].

Уравнения Навье-Стокса при этом не используются, и вязкость жидкости в решение никак не входит. Это согласуется с тем, что для тел с острыми кромками сопротивление не зависит от числа Рейнольдса при его изменении в широком диапазоне больших величин. Однако коэффициенты сопротивления и демпфирования зависят от амплитуд колебаний.

Твердое тело может иметь не только острые кромки, но и кромки с отличным от нуля двугранным углом. Примером такого тела может быть, например, куб, двугранные углы всех кромок которого равны к/2. Если тело имеет кромку, двугранный угол которой меньше я, то в потенциальном движении скорость жидкости в вершине кромки обращается в бесконечность, а течение в некоторой ее окрестности при малых амплитудах колебаний описывается сингулярной функцией. Обобщение теории дано и на этот общий случай формы поверхности тела [13]. Однако в полученное конечное решение входит неизвестная функция В(а) , где а - величина двугранного угла. При а = 0, что соответствует острой кромке пластинки, эта функция принимает значение указанной выше универсальной постоянной. Функция В(а) должна быть определена в диапазоне 0 < а < п путем специально поставленных экспериментов. Дальнейшее развитие теории возможно только после накопления новых экспериментальных фактов.

Собственно течение жидкости в малых ближних окрестностях острых кромок, имеющее весьма сложную вихревую структуру, в описанной модели остается неизвестным. Впрочем, такое положение, когда определяются только интегральные характеристики явления, довольно типично даже для фундаментальных научных теорий. Так как используемые эмпирические соображения имеют не частный, а достаточно общий характер, и многочисленные экспериментальные данные подтверждают теорию, то она не хуже и не лучше некоторых других моделей гидромеханики, ценность и полезность которых не вызывает сомнений. Так в теории несущей поверхности [6,103] существование вполне определенной вихревой структуры в потоке жидкости принимается из физических соображений, основанных на наблюдениях, а не получено из уравнений Навье-Стокса. Определенной платой за такой подход является большая размытость границ области применимости.

Коэффициенты интенсивности скоростей (КИС), через которые определяется энергия вихреобразования за период колебаний, являются количественной мерой сингулярности скорости жидкости на острых кромках. Требуется не только решить краевые задачи для уравнения Лапласа, имеющие сингулярные особенности на некоторых линиях, но и достаточно точно вычислить КИС, характеризующие количественно эти особенности. Обычные методы для этого не подходят, поэтому значительная часть работы посвящена методам вычисления КИС. Используются как известные методы, заимствованные из линейной механики разрушения, так и развиваются новые, основанные на полученных автором [16,17] новых сингулярных граничных интегральных уравнениях. Применяются различные аналитические методы и общие численные методы конечных элементов и граничных элементов.

Краткое содержание и предварительная сводка основных результатов. Диссертация состоит из четырех глав (разделов). В первой главе излагается новая асимптотическая теория вихревого сопротивления тел с острыми кромками при малых колебаниях в несжимаемой маловязкой жидкости [12,13]. Рассматриваются различные аналитические методы определения вихревого сопротивления на основе этой теории [17]. Приводятся многочисленные примеры решенных задач, некоторые из которых имеют важное практическое значение. Исследуется также влияние вихревого движения жидкости в окрестности острых кромок на присоединенные массы жидкости [14].

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Бужинский, Валерий Алексеевич

Результаты исследования влияния зазора между перегородкой и стенкой резервуара представлены на рис. 4.11 Они получены для колыдевых перегородок, имеющих постоянную ширину b/R = 0.12, расположенных на глубине h/R = 0.1 от свободной поверхности жидкости. Интерес представляют малые величины зазоров, для которых экспериментально обнаружен эффект увеличения демпфирования по сравнению с перегородками, установленными без зазора. Y

0.25 о

0.20

0.15

А w \ I * \ 1* V г »\ 1 К » \ « \ 1 \ %

Ч " 0

0.1 0.2

Рис. 4.11 К

2.5

2.0

1.5 X

Зависимости КИС ATv0 от величины зазора А в осях Х=А/Ь, 11

Y-KyQ !(R v0) представлены сплошными линиями. Большие значения

КИС соответствуют внешней кромке, расположенной вблизи стенки. При уменьшении зазора КИС на обоих острых кромках возрастают. КИС на внутренней кромке стремится при этом к своему предельному значению для перегородки без зазора, а вычисление КИС на внешней кромке, согласно одному из принятых допущений, имеет смысл проводить до тех пор пока А » VW со , т.е. пока величина зазора много больше толщины по-ф граничного слоя.

Штриховой линией показана зависимость коэффициента К от ширины зазора (A"=A/6), построенная по формуле (2.4) с использованием значений КИС, представленных сплошными линиями. Все линии на рис. 4.11 - это интерполяции по результатам расчетов. Как видно, при А/Ь <0.12 действительно наблюдается повышенное демпфирование. Эти результаты качественно согласуются с экспериментальными данными , полученными для других перегородок. Положение и значение максимума штриховой кривой зависит от вязкости жидкости, которая, как отмечалось выше, ограничивает рост КИС на внешней комке перегородки. Заметим, что при А/Ь = 0.04 зазор меньше 1/200 радиуса резервуара, поэтому предложенный подход позволяет определять нелинейное вихревое демпфирование колебаний жидкости с учетом весьма мелких конструктивных особенностей.

4.8. Расчет гидродинамических параметров для топливных баков разгонного блока

Выше исследовалось влияние поперечных демпфирующих перегородок на отдельные гидродинамические параметры для резервуаров простой формы. Здесь в качестве примера приведем результаты расчетов всей совокупности гидродинамических параметров, выполненных для достаточно сложных топливных баков РБ, конфигурация которых показана на рис. 4.12. Использовалась общая для баков окислителя и горючего система координат, ось Ох которой совпадает с осью симметрии, а начало системы координат расположено в плоскости максимального поперечного сечения блока баков. Принималось, что кольцевые демпфирующие перегородки расположены на уровне h = 640мм в баке горючего и h = 740мм в баке окислителя, считая от сечений, соответствующих нулевым заливкам топлива. Ширина перегородок в баках горючего и окислителя b = 200лш и b = 3\Омм соответственно. Учитывалось, что перегородки установлены относительно стенок с зазором 20мм в баке горючего и с зазором 30мм в баке окислителя. Отметим, что эти зазоры не являются оптимальными в смысле обеспечения максимальной величины демпфирования.

Рис. 4.12 Схема баков РБ "Бриз-КМ"

С использованием программы HDTB определялись следующие безразмерные инвариантные гидродинамические параметры для уровней заливки топлива выше плоскости кольцевых демпфирующих перегородок:

• ^-координата центра масс жидкости в баке - хс = хс / R0 ;

• масса жидкости - т = т / (рЯд ) ;

• присоединенный момент инерции жидкости относительно поперечной оси у или z - J у = J у / (рRq ) ;

• частотные параметры собственных колебаний жидкости - кп =а> nR0 / J, где а п - собственная частота колебаний жидкости по тону п ,/ - кажущееся ускорение;

• массы эквивалентных осцилляторов колебаний жидкости Щ =тп/(pRg) ;

• х - координаты положения масс эквивалентных осцилляторов и приложения гидродинамических сил относительно начала координат -cn=cn/Ro\ р j / j о

• декременты колебаний жидкости - оп= Re Ьп , обусловленные диссипацией энергии на стенках бака, где число Рейнольдса Re = <o„Rq / v , v - кинематическая вязкость жидкости; s

• коэффициенты Кп , характеризующие нелинейное вихревое демпфирование колебаний жидкости, обусловленное вихреобразованием на острых кромках демпфирующих перегородок;

• коэффициенты форм колебаний свободной поверхности жидкости где Хп, \in - параметры присоединенных масс, необходимые для перехода к различным обобщенным координатам колебаний жидкости.

Результаты расчетов представлены в табл. 4.3 - табл. 4.10 в зависимости от уровня заливки топлива h . В качестве характерного линейного размера принят радиус Ro = 1.14 м . Координаты центров масс жидкости в баках хс , точек расположения эквивалентных осцилляторов колебаний жидкости сп и присоединенные моменты инерции жидкости Jy определены относительно начала О общей системы координат (рис. 4.12). Координаты центра масс объема жидкости в баке требуются для пересчета присоединенных моментов инерции жидкости относительно центра масс объекта. В таблицах указаны также положения свободной поверхности жидкости х в той же системе координат. Для всех случаев приводятся гидродинамические параметры для двух первых тонов колебаний. Из представленных результатов следует, что влиянием вторых тонов колебаний в данном случае можно пренебречь. Для основных тонов колебаний зависимости гидродинамических параметров от уровня заливки топлива представлены также на рис. 4.13 - рис. 4.22. В промежутках между расчетными точками значения параметров получены интерполяцией кубическими сплайнами.

Размерные величины определяются по заданным характерному линейному размеру R0 , плотности жидкости р, кажущемуся ускорению j , кинематической вязкости жидкости v . Декременты колебаний жидкости должны вычисляться по формуле

5„ = Re"1/2 5en+K*(s„ /R0)2J3 , (4.45) где sn - максимальная амплитуда волны на свободной поверхности жидкости. Используя зависимости sn/R0 = Anr„/R0=(An/ кп)ап, можно выразить нелинейную часть демпфирования через амплитуду смещения центра масс эквивалентного осциллятора гп или через амплитуду угла отклонения эквивалентного математического маятника ап. Значения коэффициентов 5 j и Kj приведены в табл. 4.4, табл. 4.6 для бака горючего и в табл. 4.8, табл. 4.10 для бака окислителя; число Рейнольдса Re , определенное выше, изменяется по времени полета и зависит от частоты колебаний жидкости, которая при постоянном уровне топлива зависит только от кажущегося ускорения. Теоретические значения линейного демпфирования согласно рекомендациям[55], основанным на экспериментальных данных, увеличены в 1.4 раза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации дано асимптотическое решение одной из классических проблем гидромеханики - проблемы сопротивления тел с острыми кромками или изломами поверхности при малых колебаниях в несжимаемой маловязкой жидкости. Определение сопротивления сведено к вычислению коэффициентов интенсивности скоростей (КИС) жидкости, которые количественно характеризуют сингулярность скорости на острых кромках и кромках излома поверхности твердого тела при потенциальном течении жидкости. Ранее трудоемким методом дискретных вихрей были даны приближенные решения лишь самых простых задач о сопротивлении при колебаниях в жидкости прямой пластинки бесконечного размаха и тонкого круглого диска. На основе предложенной асимптотической теории получены аналитические и численные решения плоских и пространственных задач о сопротивлении целого ряда пластинок при различной форме их колебаний в жидкости. При этом дано теоретическое объяснение наблюдаемым опытным фактам. Разработанные численные методы эффективно реализуемы на персональных компьютерах.

Методы асимптотической теории применены для решения задач гидродинамики космических аппаратов (КА): исследования влияния воздушной среды при наземных частотных испытаниях панелей солнечных батарей (ПСБ) КА; определения гидродинамических параметров топливных баков ракет-носителей (РН), разгонных блоков (РБ) и КА, включая определение линейного и нелинейного демпфирования. Результаты выполненных исследований использовались при экспериментальном определении динамических характеристик ПСБ КА "Купон" и КА "Спектр" разработки НПО им. Лавочкина. Созданный для расчетов гидродинамических параметров программный комплекс HDTB, эксплуатируемый с начала 80-х годов, в последние годы использовался при проектировании РБ "Бриз-КМ", РБ "Бриз-М", КВРБ, РН "Ангара", РБ "Фрегат", КА "Фобос-Грунт" в ГКНПЦ им. Хруничева и НПО им. Лавочкина. Требования к демпфированию колебаний жидкого топлива определялись по результатам исследования устойчивости движения III ступени РН "Протон" с РБ "Бриз-М", с РБ ДМ, с РБ "Фрегат", II ступени РН "Рокот" с РБ "Бриз-КМ" на участках полетах ступеней и участках автономного полета РБ при выведении различных КА.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработана новая полуэмпирическая асимптотическая теория сопротивления тел с острыми кромками и изломами поверхности при малых колебаниях в несжимаемой маловязкой жидкости. Она основывается на новой математической модели движения жидкости около острых кромок тела при малых колебаниях тела в несжимаемой маловязкой жидкости либо при колебаниях жидкости относительно острых кромок тела. В этой модели область течения жидкости разбивается на подобласти:

• основного потенциального движения жидкости;

• малой "дальней" окрестности кромки, где течение жидкости описывается главными сингулярными членами решения задачи о потенциальном движении, в котором скорости жидкости на кромке обращаются в бесконечность;

• ближней окрестности кромки и существенного вихревого движения жидкости, где происходит образование и периодическое изменение вихревых структур;

• пограничного слоя.

По аналогии с коэффициентами интенсивности напряжений (КИН) в линейной механике разрушения вводится коэффициент интенсивности скоростей (КИС) жидкости в качестве количественной меры сингулярности скорости на кромке тела и единственного параметра, определяющего течение жидкости в малой "дальней" окрестности кромки и периодическое изменение вихревых структур в малой ближней окрестности кромки. Получены необходимые условия применимости модели.

Установлена основополагающая зависимость энергии вихреобразо-вания за период колебаний тела в несжимаемой маловязкой жидкости на единицу длины острой кромки от комбинации плотности жидкости, частоты колебаний, КИС и функции от числа Рейнольдса. Показано, что при больших числах Рейнольдса эта функция вырождается в универсальную постоянную, которая определена путем специально поставленного эксперимента. Получены новые формулы для коэффициентов сопротивления тел с острыми кромками. Установлена асимптотическая зависимость изменения присоединенных масс жидкости вследствие вихревого движения жидкости около острых кромок.

Получена формула связи КИС с изменением кинетической энергии жидкости при изменении площади поверхности пластинки в результате малого смещения точек ее граничного контура в касательной плоскости, которая является гидродинамическим аналогом формул Ирвина в линейной механике разрушения. Разработаны аналитические методы вычисления КИС, основанные на применении этой формулы, применении конформных преобразований и интеграла типа Коши. Даны решения пространственных задач о сопротивлении круглой пластины при произвольной форме ее колебаний в жидкости и при колебаниях в жидкости эллиптической пластины как твердого тела вдоль нормали к ее плоскости.

Проведено обобщение зависимостей, полученных для тел с острыми кромками, на общий случай колебаний в несжимаемой маловязкой жидкости тел с изломами поверхности, двугранный угол которых отличен от нуля. Установлен, в частности, характер зависимости сопротивления от величины двугранного угла.

2. Разработаны новые численные методы решения задач о потенциале на основе сингулярных граничных интегральных уравнений и методологии граничных элементов. При этом получены новые сингулярные граничные интегральные уравнения (СГИУ) для плоских и пространственных задач о потенциале с замкнутыми и незамкнутыми границами при общих граничных условиях. Разработаны методы вычисления конечных частей интегралов с сильными особенностями по произвольным гладким линиям и поверхностям, основанные на выделении особенностей и применении специальных квадратурных формул гауссова типа.

Применена методология граничных элементов (МГЭ) для решения полученных СГИУ для плоских и пространственных задач, вычисления КИС и определения вихревого сопротивления. Для уточнения численных решений использованы нелинейное преобразование Шенкса и аналог формулы Ирвина. Впервые получены численные решения ряда плоских и пространственных задач о сопротивлении при колебаниях пластин в жидкости и исследовано влияние различных факторов на это сопротивление. Проведено сопоставление результатов численных расчетов с экспериментальными данными, в частности, дано теоретическое объяснение эффекта увеличения сопротивления при малых зазорах между пластинкой и твердой стенкой, который был обнаружен экспериментально.

Предложен синтез МГЭ и метода дискретных вихрей (МДВ) при решении задач обтекания тел потоком жидкости. Найден инвариантный интеграл для силы давления жидкости на тело, обтекаемое с образованием незамкнутой поверхности тангенциального разрыва, из которого в пределе получаются отдельные выражения для подъемной силы и силы сопротивления.

3. Разработанная асимптотическая теория применена для решения имеющей большое практическое значение задачи о колебаниях несжимаемой маловязкой жидкости в резервуаре, частично заполненном жидкостью, с демпфирующими перегородками, которые частично перекрывают продольное или поперечное сечение его полости. Разработаны методы определения гидродинамических параметров таких резервуаров, включая определение нелинейного вихревого демпфирования колебаний жидкости. Даны новые формулы для декрементов колебаний жидкости. Получено интегральное соотношение, устанавливающее связь КИС с изменением собственных значений краевой задачи о колебаниях жидкости при малом изменении площади поверхности конструктивных элементов с острыми кромками.

На основе метода конечных элементов (МКЭ) создано программное обеспечение для определения гидродинамических параметров топливных баков РН, РБ и КА, включая определение линейного и нелинейного демпфирования. Новое интегральное соотношение применено для вычисления КИС и определения коэффициентов нелинейного демпфирования для резервуаров вращения с поперечными демпфирующими перегородками.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бужинский, Валерий Алексеевич, 2003 год

1. Аминов В.Р. Определение влияния воздушной среды на колебания космической конструкции при наземных испытаниях // Космические исследования. 1999. Т. 37. №5. С. 532-537.

2. Аминов В.Р. К учету влияния воздушной среды на колебания космической конструкции при наземных испытаниях // Космические исследования. 2000. Т. 38. №4. С. 443-448.

3. Аминов В.Р., Балакирев Ю.Г., Бужинский В.А. и др. Отделу динамики ЦНИИ машиностроения 40 лет. // Космонавтика и ракетостроение. №10. 1997. С. 5-19.

4. Бартеньев О.В. Современный Фортран. М.: "Диалог-МИФИ", 1998. 397с.

5. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. 244с.

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. 256с.

7. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. М.: Наука, 1990. 356с.

8. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248с. / Brebbia С.А., Walker S. Boundary Element Techniques in Engineering. Newnes-Butterworths, London, 1980.

9. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524с. / Brebbia С.А., Telles J.C.F., Wrobel L.C. Boundary Element Techniques. Theory and Application in Engineering. Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg- New York-Tokyo. 1984.

10. Бужинский В.А. О колебаниях тонкостенной конструкции с жидкостью при наличии гидродинамического гасителя // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 6. С. 1095-1101.

11. Бужинский В.А. Вихревое сопротивление пластинки при колебаниях в маловязкой жидкости // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 2. С. 233-238.

12. Бужинский В.А. Энергия вихреобразования при колебаниях в жидкости тела с острыми кромками // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313. № 5. С. 10721074.

13. Бужинский В.А. Вихревое демпфирование колебаний жидкости в резервуарах с перегородками // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 235-243.

14. Бужинский В.А. Колебания жидкости в резервуарах, содержащих конструктивные элементы с острыми кромками // Докл. АН. 1998. Т. 363. №1. С. 53-55.

15. Бужинский В.А. Метод граничных элементов для плоских задач о потенциале с незамкнутыми граничными линиями // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39. №7. С. 1169-1179.

16. Бужинский В.А., Мельникова И.М. Определение сопротивления колеблющихся пластин в жидкости // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 264-274.

17. Бужинский В.А., Столбецов В.И. Определение гидродинамических характеристик полости, частично заполненной жидкостью, имеющей внутри маятник // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. № 6. С. 91-100.

18. Бужинский В.А. Применение метода конечных элементов к определению динамических характеристик жидкости в полости твердого тела // Научно-технический сборник. Серия И. ГОНТИ-1. ЦНИИмаш. 1985. Вып. 9. С. 63-68.

19. Бужинский В.А. О зависимости циркуляции жидкости от коэффициента интенсивности ее скоростей на острой кромке // РК техника. Научно-технический сборник. Серия II. ЦНТИ ПОИСК. ГОНТИ-1. 1991. Вып. 1. С. 32-34.

20. Бужинский В.А. Метод расчета затухания колебаний жидкости в полости вращения с поперечными демпфирующими перегородками // РК техника. Научно-технический сборник. Серия И, вып. 1. ЦНИИмаш. 1993. С. 26-31.

21. Бужинский В.А., Динеев В.Г., Ковригин М.И. и др. Независимая экспертиза основа сертификации программно-математического обеспечения изделий ракетно-космической техники // Космонавтика и ракетостроение. №24. 2001. С. 154-162.

22. Бужинский В.А. Обобщенная теорема Жуковского // 3-я международная научно-техническая конференция. Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика. Тезисы докладов. Рязань. 2000. С. 140.

23. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758с.

24. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.310с.

25. Венедиктов Б.Л. Экспериментальное исследование колебаний жидкости в баке с демпфирующими перегородками. Труды ЦАГИ. 1970. Вып. 1221. С. 5-34.

26. Венедиктов Б.Л. Об определении коэффициентов сопротивления и присоединенной массы демпфирующих перегородок в сосудах с жидкостью. Труды ЦАГИ- 1970. Вып. 1221. С. 35-45.

27. Воробьев Н.Ф. Аэродинамика несущих поверхностей в установившемся потоке. Новосибирск: Наука, 1985. 239с.

28. Вычислительные методы в механике разрушения. // Под ред. С. Атлу-ри. М.: Мир, 1990. 391с. / Atluris, N. (Ed.), Computational methods in the mechanics of fracture. In Computational Methods in Mechanics, Vol. 2. North-Holland, Amsterdam, 1986.

29. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.264с.

30. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640с.

31. Докучаев Л.В. О присоединенном моменте инерции жидкости в цилиндре с перегородками, вращающемся около продольной оси // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964. №2. С. 168-171.

32. Докучаев Л.В., Стажков Е.М. Определение гидродинамических характеристик произвольных полостей вращения вариационным методом // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. №3. С. 44-49.

33. Дорожкин Н.Я., Микишев Г.Н., Чурилов Г.А. Исследование колебаний жидкости в полостях с ребрами, расположенными с зазором относительно стенок полости. В сб. МАИ: Проблемы экспериментальной отработки летательных аппаратов. М. 1977. Вып. 408. С. 22-26.

34. Ермаков В.И., Моисеев Г.А., Шершнев В.Г. О возмущенном движении тела, содержащего цилиндрическую полость с ребрами // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №2. С. 52-61.

35. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, заполненные однородной капельной жидкостью. Избранные сочинения. В 2-х томах. Т. 1. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. С. 31-152.

36. Жуковский Н.Е. О присоединенных вихрях. Избранные сочинения. В 2-х томах. Т. 2. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. С. 97-114.

37. Жуковский Н.Е. О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов. Избранные сочинения. В 2-х томах. Т. 2. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. С. 115-135.

38. Жуковский Н.Е. Геометрические исследования о течении Кутта. Избранные сочинения. В 2-х томах. Т. 2. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. С. 136167.

39. Келдыш М.В., Седов Л.И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций // Докл. АН СССР. 1937. XVI, №1. С. 7-10.

40. Колин И.В. Колебания жидкости в цилиндрическом сосуде с кольцевой перегородкой // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1. №4. С. 118-122.

41. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 263с.

42. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. 831с.

43. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. М.: Физматгиз, 1963. 583с.

44. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. Тр. ЦАГИ, 1932, вып. 118, с. 3-56.

45. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736с.

46. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л: Гостехиздат, 1947. 928с.

47. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733с.

48. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО Янус, 1995. 519с.

49. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904с.

50. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 247с.

51. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971. 563с.

52. Михлин С.М. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431с.

53. Моисеев Н.Н. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеальной капельной жидкостью // ДАН СССР. 1951. Т. 85. №4. С. 719-722.

54. Моисеев Н.Н., Петров А.А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М.: ВЦ АН СССР, 1965. 269с.

55. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 439с.

56. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.511с.

57. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью // ПММ. 1956. Т. 20, вып. 1. С. 21-38.

58. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью // ПММ. 1956. Т. 20, вып. 1. С. 3-20.

59. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968. 246с.

60. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. М.: ИЛ, 1951. 576с.

61. Рабинович Б.И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 1.С. 39-50.

62. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1975. 416с.

63. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 79с.

64. Разрушение: В 7-ми томах. / Ред. Г. Либовиц. Т. 2. Математические основы теории разрушения. М.: Мир, 1975. 764с.

65. Риман И.С., Крепе Р.Л. Присоединенные массы тел различной формы // Тр. ЦАГИ. 1947. №635. 45с.

66. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинками. Киев: Наукова Думка, 1988. 619с.

67. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция. // Современное машиностроение. Серия A. (Trans. ASME). 1989. №10.

68. Сборник научных программ на Фортране. Вып. 2. Матричная алгебра и линейная алгебра. М.: Статистика, 1974. 221с.

69. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука,1972. 440с.

70. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980. 448с.

71. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 томах. Т. 2. М.: Наука,1973. 584с.

72. Слезкин Н.А. Динамика вязкой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955.

73. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5 томах. Т. 4. Ч. 2. М.: Наука, 1981. 550с.

74. Соловьев П.В. Fortran для персонального компьютера. М.: Арист, 1991. 223с.

75. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349с.

76. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724с.

77. Троценко В.А. Волновые движения идеальной жидкости в осесиммет-ричных сосудах с кольцевыми ребрами // Математическая физика. Республиканский межведомственный сборник, вып. 4, АН УССР. 1968. С. 191-197.

78. Троценко В.А. О коэффициентах уравнений возмущенного движения тела с цилиндрической полостью, разделенной поперечными ребрами // Прикладная механика. 1969. Т. 5. Вып. 10. С. 50-57.

79. Троценко В.А. О колебаниях жидкости в круговом цилиндре с несплошными радиальными перегородками // Математическая физика. Республиканский межведомственный сборник, вып. 9, АН УССР. 1971. С. 141-147.

80. Фещенко Ф.Л., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Методы расчета присоединенных масс жидкости в подвижных полостях. Киев: Наукова Думка. 1969. 250с.

81. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640с.

82. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 230с.

83. Шетухин В.Л., Шмаков В.П. Об одном приближенном методе решения задачи о собственных колебаниях жидкости в полости вращения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №5. С. 3-8.

84. Abramson H.N. Dynamic behavior of liquid in moving containers with applications to space vehicle technology. NASA SP-106, Washington, D.C., 1966.

85. Brebbia C.A. The Boundary Element Method for Engineers. Pentech Press, London; Halstead Press, New York. 1978.

86. Buzhinskii V.A. Vortex Damping of Sloshing in Tanks with Baffles // J. Appl. Maths Mechs, Vol. 62, No. 2, pp. 217-224, 1998.

87. De Bernardinis В., Graham J.M.R., Parker K.H. Oscillatory flow around disks and orifices // J. Fluid Mech. 1981. V. 102. P. 279-299.

88. Graham J.M.R. The forces on sharp-edged cylinders in oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter numbers // J. Fluid Mech. 1980. V. 97. Pt. 2. P. 331346.

89. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids. Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1920, Ser. A221. P. 163-198.

90. Hammer P.C., Marlowe O.J. and Stroud A.H. Numerical integration over simplexes and cones // Math. Tables Other Aids Comput. 1956, N. 10. P. 130139.

91. Hess J.L. and Smith A.M.O. Calculation of potential flow about arbitrary bodies. Progress in Aeronautical Sciences. Vol. 8, (D. Kuchemann, Ed.), Pergamon, London, 1967.

92. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1957. V. 24. №3. P. 361-364.

93. Jaswon M.A. Integral equation methods in potential theory, I. // Proc. Roy. Soc. Ser. A275, 23-32, 1963.

94. Keulegan G.H. and Carpenter L.H. Forces on cylinders and plates in an oscillating fluid // J. Res. Nat. Bureau of Standards. 1958. V. 60. №5. P. 423440.

95. Kutt H.R. Quadrature formulae for finite part integrals, Report WISK 178. The National Research Institute for Mathematical Sciences. Pretoria, 1975.

96. Miles J.W. Ring damping of free surface oscillations in a circular tank // J. Appl. Mech. 1958. V. 25. №2. P. 274-276.

97. Pina H.L.G., Fernandes J.L.M. and Brebbia C.A. Some numerical integration formulae over triangles and squares with a 1/r singularity // Appl. Math. Modelling 5. 1981. P. 209-211.

98. Symm G.T. Integral equation methods in potential theory, II. // Proc. Roy. Soc. 1963, Ser. A275. P. 33-46.

99. Thwaites B. Incompressible aerodynamics. London: Oxford university press, 1960. 636p.

100. Weaver J. Three-dimensional crack analysis // Intern. J. Solids and Struct. 1977. V. 13. №.4. P. 321-330.