Краевые задачи для систем уравнений с частными производными высокого порядка, порожденных интерацией матричными операторами первого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Муллоева, Мавджигул Сафаровна

  • Муллоева, Мавджигул Сафаровна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2002, Душанбе
  • Специальность ВАК РФ01.01.02
  • Количество страниц 93
Муллоева, Мавджигул Сафаровна. Краевые задачи для систем уравнений с частными производными высокого порядка, порожденных интерацией матричными операторами первого порядка: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. Душанбе. 2002. 93 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Муллоева, Мавджигул Сафаровна

Введение

Глава 1:Трёхморный пол и голоморфный вектор

§1. Общее представление голоморфного вектора в полупространствах

§2. Фундаментальная матрица решений системы

§3. Решение неоднородной системы (0.16)

§4. Общее представление полиголоморфного вектора в полупространствах

§5. Формулы Сохоцкого для полиголоморфпого вектора

§6. Фундаментальная матрица решений системы(0.17)

§7. Решение неоднородной системы (0.18)

§8. Краевая задача в полупространстве для трехмерного полиголоморфного вектора

§9. Задача линейного сопряжения

Глава 2: Система составного типа высшего порядка

§1. Общее решение однородной системы

§2. Решение неоднородной системы

§3. Общее решение однородной системы (2.4)

§4. Решение неоднородной системы (2.5)

§5. Краевые задачи

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для систем уравнений с частными производными высокого порядка, порожденных интерацией матричными операторами первого порядка»

Среди эллиптических систем уравнений с частными производными первого порядка на плоскости особое место занимает система Коши-Римана д и dv

- 7Г = °> ох о у ди dv

Эта система в комплексной форме имеет вид: dw

Ш = ( } г,че д 1/д д\ Z = X + m di=2{di+%)' w = u + tv

Любое обобщенное решение системы (0.2) является аналитической функцией комплексной переменной г. Известно, что аналитические функции имеют многочисленные применения в приложениях, а также при исследовании многочисленных математических проблем, в частности, в задачах дифференциальных уравнений с частными производными.

Одним из важных обобщений системы Коши-Римана на плоскости является система (0.2) с младшими членами: + A(z)w + B(z)w = 0, (0.3) решения которой называют обобщенными аналитическими функциями. Теория этой системы достаточно полно развита в монографии И.Н.Векуа [11], и в работах его учеников и последователей.

Естственно возникает интерес к исследованию уравнения, правая часть которого порождена итерацией оператора d/dz. А.В.Бицадзе [7] показал, что в некоторых областях, задача Дирихле для системы д2 w дг2 которая в вещественной форме имеет вид: 0, (0.4) д2и д2и d2v

Ъх2 ду2 дхду d2v d2v 2 d2'U дхду дх2 ду2

0,

0, (0.5) является некорректной, т.е. однородная задача Дирихле имеет бесчисленное множество решений, в то время, как известно, для системы d2w 1

ШГг-= 4 = <0-6) задача Дирихле однозначно разрешима. Это явление связано с тем, что системы (0.4) и (0.6) принадлежат различным гомотопическим классам. А.Джураев [17] для довольно общих, чем (0.4) и (0.6) систем, указал краевую задачу, являющуюся однозначно разрешимой в достаточно широком классе областей. Так например, для систем (0.4) и (0.6) таковой является задача, когда на гранит1 области задаются условия ди

Rez'ts)u(z) = 0, Re~- = 0. (0.7) oz

Естественным обобщением системы Коши-Римана в трехмерном пространстве является система Мойсила-Теодореско [23]. г)ч I r)n I ~ г) о I , 0, 0, (0.8) = 0, = 0. ди2 дщ дх дщ dt ду dv.] ~dt дщ ду дщ дх ди! ди2 ду д'щ дх ~ ~dt ди\ ди2 д-щ dt ду дх

Система (0.8) относительно v = щ + hi2. и = —щ — гщ в комплексной форме имеет вид |5] ди ^dv dt dz дс ди

Ж э! ' = х + {у- '°-9»

В [7] приведены аналог формулы Коши и получены решения задачи Римана-Гильберта и задачи сопряжения в случае, когда матрица коэффициентов краевых условий является постоянной и имеет специальный вид. Шевченко В.И. в [34] показал фредгольмовость задачи Римана-Гильберта для системы (0.8) заданной в полупространстве, в случае, когда коэффициенты задачи переменные; и удовлетворяют одному достаточному условию. В работе [331 же установил фредгольмовость задачи сопряжения, когда граница гомеоморфна сфере и матрица краевого условия удовлетворяет определенным ограничениям. Е.И.Оболошвили [27] для системы (0.5) со специальными младшими членами рассмотрела задачу по нахождению решения, когда на границе области задаются две его компоненты, а на определенной замкнутой кривой принадлежащей границе задается одно условие на две остальные компоненты решения.

Д.Муртазаев для системы (0.8) в [24| установил аналоги формул Коши и Гильберта в полупространстве, изучил задачи Римана-Гильберта и сопряжения в классе обобщенных функций.

А.Джураев в |17.18] для системы (0.8) установил формулу Гильберта в полупространстве и в шаре, а в [22] вывел формулу для индекса задачи, когда на границе задаются линейные комбинации с постоянными коэффициентами компонентов решений, а также условие типа Римана-Гильберта на определенном сечении границы плоскостью параллельной плоскости А'ОУ. А.И.Янушаускаеом [35] дано представление решения системы (0.8) через две произвольные гармонические функции. В работе А.И.Янушаускаса [36] для системы (0.8) с произвольными младшими членами ставится задача о нахождении решения в случае, когда задаются две компоненты решения на всей границе, а линейная комбинация с переменными коэффициентами двух остальных компонент решения задается на сечении границы области о предел енной и л ос костью.

А. Абдушукуровьш в (3] для системы (0.9). заданной в ограниченной области и в полупространстве, рассмотрена общая задача Римана-Гильберта, для которой нарушается условие Шапиро-Лопатинского. Нарушение состоит в обращении в нуль вектора краевого условия на произвольном множестве нулевой поверхностной меры. Найдены естественные условии, при которых эта задача является нетеровой в случае достаточно произвольной ограниченной области и является фредгольмовой в полупространстве. В случае выполнения условии Шапиро-Лопатинского для задачи Римана-Гильберта в области, являющейся полупространством, выявлены некоторые достаточные признаки безусловной разрешимости этой задачи. В |4] для системы Мойсила-Теодореско, заданной в бесконечном цилиндре, найдена зависимость числа решений одной задачи типа Римана-Гильберта с переменными коэффициентами от этих коэффициентов, а в [1] найдены условия нетеровости общей задачи сопряжения решений системы Мойсила-Теодореско на достаточно произвольной поверхности.

Другой разновидностью систем уравнений с частными производными первого порядка в трехмерном пространстве является система dv\ dvi Ova dt 'дх ду dv2 OVA dv^ dt дх ду dv-i dvi dv2 dt. дх ду

Эг>4 dv2 dvi dt дх ду

0.10)

Комплексная 'запись этой системы имеет вид

0.11)

Характеристическая форма этой системы имеет вид х = |С|2(^-£22-Ч32)

0.12)

Следовательно, система (0.10) является системой составного типа, т.е. она обладает двумя семоПс гнамн вещественных характеристик. В работах А.Джураева |17] и Сафарова Д.Х. [29] рассмотрены система вида (0.10) и ее разновидности.

В [3| для системы (0.11) выведены формулы для решения в полупространстве t > 0, когда на плоскости t = 0 задаются значения трех компонентов.

В [29] построена система составного типа аналогичная системе (0.10), обладающая так же двумя семействами вещественных характеристик.

Естественно, представляет интерес изучение систем уравнений левая часть которых является итерациями операторов порождаемых системой Мойсила-Теодореско (0.9) и системой составного тина (0.11).

Естественным грех мерным обобщением системы А.В.Бицадзе можно считать итерацию оператора М соответствующего системе Мойсила-Теодореско. Отсюда становится очевидным актуальность и значимость исследований систем уравнений с частными производными, которые порождаются итерациями оператора Мойсила-Теодореско.

В [15| и затем в [21] рассматривается система, которая является обобщением системы, порождаемой квадратом оператора М. Находя представления решений этой системы в полупространстве и в шаре, изучаются краевые задачи.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию систем уравнений высшего порядка, левая часть которых представляет собой произвольную итерацию оператора, порожденного системой Мойсила-Теодореско (0.9) и системой составного типа.

Рассматриваемые задачи изучаются в пространстве обобщенных функций Hs [21] по переменной 2 = х + гу. Пространство Hs состоит из совокупности всех обобщенных функций медленного роста S", преобразование Фурье которых являются обычными функциями с нормой

11/115 = (/ in/lPa + IC!2)5^)17 , (0.13) где F{(-)} - преобразование Фурье:

F[(-)] = У a F~ '[(•)] - обратное преобразование Фурье z, С) = -rs + У'!

Работа состоит из двух глав и 14 параграфов.

Первая глава посвящена системе уравнений высшего порядка с частными производными, соответствующая произвольной конечной итерации системы Мойсила-Теодореско (0.9).

Если ввести матричный дифференциальный оператор

И = \ dt 2д:

0.14) dt то однородную систему (0.9) можно записать в виде:

Mw = 0, и>=('"). (0.15)

Наряду с системой (0.15) также рассматривается неоднородная система: h

Mw = f(t,z), f=[fJ- (°-16)

Первым объектом изучения является система

Mnw = 0 (0.17)

Mnw = f{t,z), (0.18) где М" — п я интеграция оператора М :

М" = М(М(М(.))).

Решение (0.17) будем называть полиголоморфным вектором. §1-§3 носит подготовительный характер. Результаты этих параграфов являются в основном известными.

В §1 выводится общее представление решений системы (0.9), принадлежащее классу Hs в пространстве t > 0: v{t'z) = hw+WW * s'{v)' (0Л9) где

1 л

SM = -7ГГ~й * V е Hs>

Z7T Zr знак * - означает свертку.

В §2 построена фундаментальная матрица решений системы (0.15):

I \

G(t.z) = 1

4тг (t2 + \zI2)3/2 t

V ч

0.20)

В §3 получено решение неоднородной системы (0.9): ос w*{t,z) = j G{t-t,z)* f{t,z)dT. (0.21) 0

Если же f{t,z) является обычной функцией, то решение (0.21) записывается в виде:

X) w{t,z) = J J J G(t-T,z - C)/(r,CK^r. (0.22) 0

В §4 получено общее решение u^^t.z) однородной системы (0.17) в полупространстве t > 0{t < 0):

Это решение при любом t принадлежит классу Hs. если только (рк принадлежит #5. В обычных функциях решение (0.23) можно записать так:

1 Г Г t ( <рь = ^ £ Ь / / (f2 I ? — f\2\3/2 С (тл

2irf^k\JJ (t2 + |z-C|2)3/2 v^i(^)

В §5 выводится аналог формулы Сохоцкого для решения (0.17), которое назовем полиголоморфным вектором. Произвольный полиголоморфный вектор в полупространстве t > 0(u:+) и t < ()(«'") можно представить в виде: , 1 у^tk 1 /WzjiS^A ш ('к!^ + i*i2)3/2*± где

1 ^ 1 ~z

SiM = -Т"ГТз Slip) =

Z7T \z\ Z7T \zr

Доказано:

Теорема. Следующие утверждения равносильны: а) (Mk{u:it,z)))i=±Q= ф ; б) ^±5,(^ = 0, ^(г)Т51(у±) = 0; z), tpk{z) = фк(г), t > 0, в) w^(t,z) = 0, при ifik{z) w~(t,z) = 0, при '-Pk(z) В §6 построена фундаментальная матрица решений системы полиголоморфного вектора,

-+{z), фк(г) = ipt(z)> t<0' т.е. решение системы

MnG = ES(t,z), где d(t.z) дольтя-фуикция Дирака, Е -единичная матрица. Эта фундаментальная матрица имеет вид:

G{t,z)

1 tn

4тг (п - 1)! (t2 + И2)3/2

В§7 построено решение неоднородной системы (0.18): оо

1 Г (t - г)" 1

Wn[t"' Z) ~ J (n- 1)! [(г - t)2 + \z - CI2]3/2 ft

V fJ - \ fi s1(f2)

K-Si(h) h ) dr.

Если же обычные функции класса Ь2{Я2) по 2, то найденное частное решение неоднородной системы (0.18) в полупространстве t > 0 будет записано в виде:

1 7 [[{t-т)'1 1 - \ h S^hY

47Г 7 .1.1 (п-1)![(т-г)* + |с о н2 г!2

-Sdfi) h ) d^drjdr. (0.25)

В §8 рассматривается следующая краевая задача.

Задача G. Найти в полупространстве t > 0 решение класса Яд системы (0.17), у до в л ет в оря ющ е е кра евым у сл. о в иям: dJun d3vn

1 dv J dV

0.26) 0 где a j и bj постоя! ты е. |«у| ф |6У|. а Е Hs При вы i юл неп и и следующих условий: Hs, \z\j / fkdt е Hs, J = о, 1, 2,. ., n - 1, получено решение задачи G, которое в случае, когда /ь/г,^ являются обычными функциями, имеет вид: л — 1 п— 1

ДО j=0 k=j

Qk-j dtk~j t2 + \z - C|2]3/2

Kj 1 <№+

47Г

1 ^(^n-l^ + ^.ft.^.^^ ^

R2 t2 + - C|2]3/2 dv d^drj > dr, 0 = / / (C " r2

A' i? = ^ f+!LL-*i a3 J ^ 2тг |г|3 (a,-6jz/|z|3)2 /, Ы > 2тг jzj3 (aj+bjz/lz r/IHV2 * /> j I ^ I J h

M < N

- /Г-1

Vi bj + ia aj

J f(?\ I bjJ^l 2тт |г|3 (bJ+ajZ/[Z|)2 lJ±z f 1 + 1

2тг |г|3 (ftj-ajl/lzl)

C-G

2 * /,

N < Ы

2 nJJ 1С ft2 f2{Cut)d^dr]u a =

Постоянные .4.^ определяются из следующих рекурентных формул:

0.27)

0.28)

0.30)

А]к = - £ АакС]~\ j = 0,1,2,., п - 1, s=k

Аю — A i — . — А, п— 1 ,п—1 1.

0.31)

В §9 рассматривается следующая задача сопряжения. Задача С. Найти решение системы (0.18) wn{t,z) = < w+(t,z), t> 0, w~(t,z), t< 0,

0.32) npwшдлежтце.е классу Я.? и удовлетворяющее условиям: иь > t=+o djw(t, z) dV <Pj(z),

0.33) t=-о г<?е плюс (J-) и минус (-) в последнем означает соответственно предел при t —>■ ±0, Л

А,», Л

0 а

2)

Ъ,

V и ч /

V0 6гу

2) являются постоянными,

Ъ - ) • HS.

0.34)

Предполагается. что

Г -6? ф 0, j = 0, п - 1.

Пусть правая часть системы (0.18) удовлетворяет условиям: СС

5fc

0.35) dkF[jj dtk dr. j = 1,2, к: = 0, n - 1,

0.36) и принадлежит классу L\. Тогда поставленная задача С имеет единственное решение и принадлежит классу #s.

Это решение в случае обычных функций pj, <рпримет вид: iv: к=0

D,

Ск I 11 G{(t + T,z

0 R2

G2(t-T,z-Q^dZdr]dT

-сс №

R2 b[l>(z-Q

-*£"(* - О л(С)

2 + |z - С|2]3/2 d£dr]+

G{t -t,z- С)/(r, С)d£dr)dr о Я2

0.37)

С,

С) а

Ск ~ ( ^,(2) ) , Дс - ( ^(2) )i Ск1 - ~ D

1)

4" i11

Cfc2 — — 2

1)

Tt 1 q t.

Дт = • Да = Cfcl, ЗДД) = ^A,^ — , s = k

Ask определяется из следующих рекурентных формул: s-l

Ask — — ^ Cs^[Alk, i=k причем .4()о = Ла = . . . = Ап— \ а Gi(t,r,z) п~ 1 п- 1)! [{t + t)2 + |z|2]3/2 t + T z — t + r)J у/1-1

G2(t,t,z) = n- 1)! [(t~r)2 + |z|2]3/2 l-r -Л г t — т

G(t.,) 1 1 n - 1)! [t2 + |z|2];V2 Глава 2 посвящена системам составного типа. V

I, ^

V л

Рассматривается система уравнений первого порядка dv\ ~di дщ dt dv-A dv-s дх dv4 дх dvi dv4 ду дщ ду dv2 dt дщ dt дх дгь ду dv, dx ^ ду 0, = 0, = 0, = о, характеристическая форма которой имеет вид:

Следовательно, это система является системой составного типа. Комплексная запись этой системы имеет вид. ди ^dv dt dz - 2— = О dt dz

Эта система в операторном виде записывается следующим образом:

0.41)

Nw = 0, w и

0.42)

Г1 рсдмето.м исследования этой главы является система высшего порядка, состоящая из n-ой итерации оператора N:

Nnw = 0.

0.43) и соответствующая неоднородная система

Nnw = f(t,z), / = h

0.44)

В первом параграфе главы 2 построено общее решение системы (0.43) в полупространстве t > 0 u+(t.z) = Pl(^) +

Lt(ip0) + i J Ь,,('фо)с1т о dt

Lr(Si(v o)) о t

0.45) v+(t,z) = -Pt(Sl{ip0))-i dt d dt

Lt(S^0))+ J Lt(S^0))dr о t

Ь^гШ) ~i f LT(S^))dr о

0.46)

Ltif)

27r[t2 - | "1211/2

В §2 дается решение неоднородной системы (0.44) u(t, z) = - Pt„T * [j\ + S(f\) + iSi(rrnf2))dT

P-^r)*[fi+S(fl)-iS1(Irnf2)}dr+ i r id i J 2 dt о

LT + i J LTdf о

1 f 1 d 2 dt

If i 1- i

LT ~ i / LTo!r

-2iS1(/?e/2)]dr +J J о

M) = - / PtT * [^,(/0 - ^(Д) + 2/m/2 ^ / * ['ЗД) - -iSi((/,) - 2/m/2]dr

1 г ha

4.У bat

1 Hi a

0 l2(9f

Lr + 7 / /T</r

LT — г / LTdr [iSi(/i) + iSiCA) - 2Ref2} } dr+ [iS^fi) + г^СЛ) + 2Яе/г] } dr. (0.47)

В §3 получено общее решение однородной системы (0.43), которое в преобразованиях Фурье имеет вид: и-! л. t w(t, С) = £ + + к=0 или в оригинале имеет вид: к=1)

LA

- (дук dz

- L, U

0.48) tk

Lt к=0 дгрк

1 д

2 at у +

В §4 построено общее решение неоднородной системы высшего порядка (0.44) в полупространстве t > 0, которое имеет вид:

ОС

1 Г (t- г)" u(tz.

4 J (п-1)\

Л,-т|(/ + 5(/,) + 2гЛт(5г1(/т/2)) ir+ t-r) та— Л п-1)!

1 9

Lt-T((Ref2),) + --Lt-T(fl-S(f1)) dr, v(t.z)

1 /■(*n — 1

4 J (n- 1)!

P|tT|{2Re{S1(f1))) - 2PtT(/m/2)] dr.

0.49)

В §5 в полупространстве t > 0 исследуется начально-краевая задача для системы (0.43). Задача D. Найти в полупространстве t > 0 региение w класса системы (0-43), у до в л етв оря ющ е е у сл о в иям:

0.50)

Re dtk dhv W t=о f=0 где ipf{z) G Hs, j = 1, 2: к = 0, n - 1.

Решение поставленной задачи получено в явном виде: п-1 к kj k=U j=0 tk dk~i ]ddtk-j

Р,

Vj i)

0)

I)dt 2

S(^) +Lt dz

0.51)

7г~1 к

М) = £Х> tk Qk-j k]~k\dtk~i

Pt(Im(S(^)) + U ( Re-+ l^f) k=0 j=0 где коэффициенты Aki определяются из следующих рекурентных формул:

Д/со = — (-400Ск + AwClk + . + Ак}0Ск к > 1,

Л„ = ~(АиСк + А2\Ск + . + Ак-\\Ск к > 2,

0.52) де Лоо — Ли — . — Л„i.„i — 1.

Рассматривается задача линейного сопряжения для системы (0.44)

Задача S. Найти решение w(t, z) = < w+it^z), t> 0 w~{t,z), t < 0.

0.53) класса Hs системы (0.43), стремящиеся к нулю при t ос и удовлетворяющие условиям сопря'лсения: где

1т, дкп

1т dtkdz dkv t=+о dtk t= +0 L vPiz), <p™(z) e Hs.

Qk+lu dtkdz dkv W t=~ o. t-~-0

Решение находится в виде: u±(t, z) 1=0 3=1 ■ J• v±(t.z) = -~ n — I n— 1

1=0 j=l lj\dP~l >l< 18

0.54) i,e коэффициенты А,г определяются из следующих рекурентных формул

1,0 = + Cfc+1^10 + • ■ ■ + Cfc+i^fco],

-4/c+i.i = ~[Cl+lAu + Cl+1A21 + . + C^+1Aki],

Ak+i.k — —Cfr+lAkk,

4qo — -4ц — . — A„i ni — 1.

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Муллоева, Мавджигул Сафаровна, 2002 год

1. Абдушукуров А. О задаче линейного сопряжения для голоморфного вектора // Изв. АН.РТ. Отд.-ние физ.-мат. и хим. наук,- 1992,- No 2(2). С.3-6.

2. Абдушукуров А. Интегральное представление решений системы Мойсила-Теодореско с особенностями в младших членах //Дифференц. уравнения,- 1989.- Т.25, №8.- С.1438-1439.

3. Абдушукуров А. О задаче Римана-Гильберта для системы Мойсило-Теодореско и об одном обобщении этой системы //Дифференц. уравнения,- 1992,- Т.28, №5,- С.791-799.

4. Абдушукуров А.Об одной задаче Римана-Гильберта для голоморфного в бесконечном цилиндре вектора //Дифференц. уравнения,- 1997,- Т.ЗЗ, №4, С.1-6.

5. Берхин П.Е. Начальная краевая задача для одной составной системы //Сиб. Мат. Журнал,- 1976. Т. 17. Ж, С. 12-20.

6. Бицадзе А.В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными j j Успехи матем.наук 1948.- Т.З, №6.- С.211-212.

7. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. /М.: Наука, 1966,- 204с.

8. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука- 1981.

9. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. M.-JI.: Гостехиздат. 1948,- 296с.

10. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек /'/' Мат. сб.-1952.-Т.31, №2,- С.217-314.

11. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука 1988.- 242с.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука 1971.- с.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука 1976.

14. Джураев А.Д. Системы уравнений составного типа.- М.: Наука 1972,- 227с.

15. Джураев А.Д. Граничные задачи для системы уравнений первого порядка составного типа // Докл.АН.Тадж.ССР,- 1964.-Т.7, №10,- С.3-7.

16. Джураев А.Д. О некоторых пространственных системах уравнений первого порядка составного типа / 'Комплекс. Анализ и его приложение М.: Наука 1977.- С.217-223.

17. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука 1987.- 415с.

18. Джураев А.Д. О формулах Гильберта для системы Мойсиле- Теодореско //ДАН Тадж.ССР,- 1977,- Т.20, №10. С.1-5.

19. Джураев А.Д. К постановке краевых задач для неклассических систем //ДАН СССР.-1981,- Т.258, .№6. С.1293-1298.

20. Джураев А.Д. О некоторых пространственных системах составного типа //Комплексный анализ и его приложение М.: Наука 1977.- С.217-233.

21. Джураев А.Д. On the Moisil-Theodorescu system//Pitman,Resecerch,Notes in Mathematics Series.-1992.

22. Джураев А.Д. Об одной краевой задаче для системы уравнений Мойсила-Теодереско // ДАН ССР. 1991.-Т.317, е 4.-С.818-822.

23. Moisil Gr.C. Theodoresco N. Fonction holomorphes dan lt espace // Mathematica.- 1931.-Y.5.- P. 142-153.

24. Мур газаев Д.М. К системе уравнений Мойсила- Теодореско// ДАН Тадж. ССР.- 1983.-Т.26. С.482-485.

25. Муртазаев Д.М.Двумерные характеристические сингулярные уравнения в пространстве стве обобщенных функций//ДАН Тадж.ССР.-1980.-Т.23,№9.-С.504-509.

26. Муртазаев Д.М.К теории четырехмерного голоморфного вектора//ДАН Тадж.ССР.-1986.-Т. 29.№2.-С. 643-646.

27. Оболошвили Е.И. Пространственные обобщенные голоморфные векторы //Дифференциальные. уравнения,- 1975.- Т.11ДД. С.838-858.

28. Саидов К.Ш. Корректные постановки граничных задач для многомерных эллиптических и вырожденных систем уравнений в частных производных //Душанбе: Кандидатская диссертация.- 1989.

29. Сафаров Д.Х. Об одном аналоге системы Мойсила-Теодореско // ДАН СССР.- 1984.-Т.277.ДО5. С. 1070-1073.

30. Сафаров Д.Х. Многомерные неклассические системы уравнений с частными производными. Душанбе:Дониш.- 1996.- с.

31. Шевченко В.И. Об одной краевой задаче для вектора голоморфного в полупространстве //ДАН СССР,- 1964,- Т. 154, №2,- С.276-278.

32. Шевченко В.И. О задаче Гильберта для голоморфного вектора //ДАН СССР.-1966.-Т. 169, АД, С. 1285-1288.

33. Шевченко В.И. О задаче Римана- Гильберта для голоморфного вектора //ДАН СССР.-1965.- Т.163. №5. С.1085-1087.

34. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.-М: Наука 1965.

35. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала.Н:Наука. Сиб. отд., 1985.

36. Янушаускас А.И. Метод потенциала в теории эллиптических уравнений // /Вил ьнюс.'Моксл ас, 1990.-260с.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.