Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Елисова, Анна Петровна

• Елисова, Анна Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Елисова, Анна Петровна

Введение

1 Локальные дифференцирования и локальные автоморфизмы алгебр

1.1 Общие свойства и постановка основных задач

1.2 Редукционные теоремы для алгебры R — NT(n, К)

1.3 Редукция для ассоциированной алгебры Ли (п > 4)

1.4 Примеры нетривиальных локальных дифференцирований и автоморфизмов алгебры R.

1.5 Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр R и А(Я), R = А/Т(3, К).

2 Локальные дифференцирования и автоморфизмы алгебр R и A(R) при п — 4 над полем

2.1 Группы Laut R и Loader R, R = NT{4, К).

2.2 Нетривиальные локальные лиевы дифференцирования и автоморфизмы.

2.3 Группы Laut A(R) и Locder A(/?.), R = NT{A, К)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных алгебр»

Изучение автоморфизмов и дифференцирований алгебр и колец имеет очень давнюю историю, [1], [5]-[8], [15], [19], [22] и др. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр стали систематически изучаться с 90-х годов. Напомним, что локальный автоморфизм алгебры А - это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент a £ А как некоторый автоморфизм алгебры Д зависящий, вообще говоря, от а.

Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования; последние, как известно, образуют кольцо Ли, обозначаемое через Der А. Далее, Laut А - совокупность локальных автоморфизмов, a Locder А - совокупность локальных дифференцирований алгебры А.

D. Larson и A. Sourour [20] доказали, что автоморфизмы и антиавтоморфизмы комплексной матричной алгебры М(п, С) исчерпывают ее локальные автоморфизмы. Дифференцирования кольца М(п, К) над коммутативным кольцом К с единицей исчерпывают локальные дифференцирования, [24]. Близки к тривиальным также локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования параболических (в частности, треугольных) подалгебр в М{п.К), [10], [16], [18], [24]. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил R. Crist [11] для подалгебры треугольных матриц в М(3, С) с попарно совпадающими элементами на каждой диагонали.

Проблемы описания локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований исследовались для полупростых Банаховых алгебр, операторных алгебр, супсралгебр и др., [9], [ 11]-[14], [17], [23], [26] - [28].

К классическим нильпотентным алгебрам относится алгебра NT{n, К) нижних нильтреугольных п х п матриц над К, то есть матриц с нулями на главной диагонали и над ней; когда К - поле, ее автоморфизмы еще в 1952 году описали R. Dubish и S. Perlis. Пусть К - произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. В 1983 году в [4] описаны автоморфизмы алгебры R = NT{n: К), а также ассоциированной с ней алгебры Ли А(І?); описание Der R и Der A(R) дано в [21], [25].

Открытыми остаются следующие вопросы.

Проблема (А). Выявить нетривиальные локальные автоморфизмы алгебр R, А(R) и описать Laut R, Laut A(R).

Проблема (Б). Выявить нетривиальные локальные дифференцирования алгебр R, А(R) и описать Boeder R, Locder A(R).

Цель диссертации - исследовать проблемы (А) и (Б).

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 40 наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Елисова, Анна Петровна, 2013 год

1. Автоморфизмы классических групп // Сб. перевод, ин. ст. (ред. Мерзляков Ю. И.) - М.: Мир. 1976. 264 с.

2. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре // СПб.: Лань, 2007.

3. Левчук В. М., Минакова Е.В. Элементарная эквивалентность и изоморфизмы локально-нильпотентных матричных групп и колец // Доклады РАН. 2009. Т.425. № 2. С. 165-168.

4. Левчук В. М. Связи унитреуголыюй группы с некоторыми кольцами. II. Группы автоморфизмов // Сиб. матем. журн. 1983. Т.24. № 4. С.543-557.

5. Мерзляков Ю. И. Линейные группы // В сб. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ. 1978. Т.16. С. 35-89.

6. Bcidar К., Chebotar М. On Lie derivations of Lie ideals of prime algebras // Israel J. Math. 2001. Vol. 123. P. 131-148.

7. Beidar К. I., Martindale III W. S., Mikhalev A. V. Rings with generalized identities // Marcel Dekker, Inc., New York. 1996. 522 p.

8. Bresar M., Chebotar M., Semrl P. On derivations of prime rings // Comm. Algebra. 1999. Vol. 27. № 7. P. 3129-3135.

9. Bresar M., Semrl P. Mappings which preserve idempotents, local automorphisms and local derivations // Canad. J. Math. 1993. Vol. 45. № 3. P. 483-496.

10. Chengjun H., Sheugzhao H. Local automorphisms of nest algebras // Indian J. Pure Appl. Math. 2001. Vol. 32. № 11. P. 1667-1678.

11. Crist R. Local automorphisms // Proc. AMS. 2000. Vol. 128. P. 1409-1414.

12. Crist R. Local derivations on operator algebras //J. Funct. Anal. 1996. Vol. 135. P. 72-92.

13. Fosner A. A note on local automorphisms // Czech. Math. J. 2006. Vol. 56. № 3. P. 981-986.

14. Hadwin D., Li J. Local derivations and local automorphisms // J. Math. Analysis and Appl. 2004. Vol. 290. P. 702-714.

15. Hahn A. J., James D.G., Weisfeiler B. Homomorphisms of algebraic and classical groups: a survey. // Can. Math. Soc. Conf. Proc. 1984. №4. P. 249-296.

16. Han D., Wei S. Local derivations of nest algebras // Proc. AMS. 1995. Vol. 123. № 10. P. 3095-3100.

17. Kadison R. Local derivations // J. Algebra. 1990. Vol. 130. P. 494509.

18. Kim Sang Og, Kim Ju Seon. Local automorphisms and derivations on Mn 11 Proc. AMS. 2004. Vol. 132. № 5. P. 1389-1392.

19. Kuzucuoglu F., Levchuk V. The automorphism group of certain radical matrix rings //J. Algebra. 2001. Vol. 243. P. 473-485.

20. Larson D. R., Sourour A. R. Local Derivations and local automorphisms of B(H) // Proc. Sympos. Pure Math. 1990. Vol. 51. P. 187-194.

21. Levchuk V. M., Radchenko 0. V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings //J. Algebra and Appl. 2010. Vol. 9. № 5. P. 717-724.

22. Martindale III W.; Miers C. Herstein's Lie theory revisited // J. Algebra. 1986. Vol. 98. P. 14-37.

23. Molnar L. Local automorphisms of operator algebras on Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 1867-1874.

24. Nowicki A., Nowosad I. Local derivations of subrings of matrix rings // Acta Mathematica Hungarica. 2004. Vol. 105. № 1-2. P. 145-150.

25. Ou S., Wang D., Yao R. Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring // Linear Alg. Appl. 2007. Vol. 424. P. 378-383.

26. Semrl P. Local automorphisms and derivations on B(H) // Proc. AMS. 1997. Vol. 125. P. 2677-2680.

27. Semrl P. Local automorphisms and derivations of operator algebras // Clas. Mat. Ser. III. 1984. Vol. 19 (39). № 1. P. 135-138.

28. Wang X. Local derivations of a matrix algebra over a commutative ring // J. Math. Research and Exposition. 2011. Vol. 31. № 5. P. 781-790.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

29. Елисова А.П. Локальные автоморфизмы нильпотентных алгебр матриц малых порядков // Известия вузов. Математика. 2013. №2. С. 40-48.

30. Елисова А.П., Зотов И.Н., Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Известия ИГУ, Иркутск. 2011. Т.4. № 1. С. 9-19.

31. Елисова А.П. Локальные дифференцирования и автоморфизмы нильпотентных алгебр матриц малых порядков // Вестник СибГАУ. 2012. т. С. 17-21.

32. Елисова А.ГІ. Локальные автоморфизмы алгебры нильтре-угольных матриц над кольцом // Материалы Всерос. конф. "Алгебра, логика и методика обучения математике" . Красноярск: КГПУ. 2010. С. 37-42.

33. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы нильпотентных матричных алгебр над кольцами // Тезисы докл. Межд. конф. "Алгебра, логика и приложения". Красноярск: СФУ. 2010. С. 35-37.

34. Елисова А. П. Нетривиальные локальные автоморфизмы кольца NT(n, К) нильтреугольных матриц над ассоциативно коммутативными кольцами // Материалы всерос. симпозиума "Абе-левы группы". Бийск: БГПУ. 2010. С. 31-33.

35. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования алгебр нильтреугольных матриц // Тезисы докл. Межд. конф. по теории колец, Новосибирск: ИМ им. С.Л.Соболева СО РАН. 2011. С. 8-10.

36. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы лиевых алгебр нильтреугольных матриц малых размерностей // Тезисы докл. Межд. молодежной школы-конф. "Современные проблемы математики". Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 33-35.

37. Елисова А.П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования нильпотентных алгебр матриц // Тезисы докл. Межд. конф. "Алгебра и линейная оптимизация". Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 65-66.

38. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Материалы VII Всс-сибир. конгресса женщин-математиков, Красноярск: СФУ. 2012. С.59-61.

39. Elisova A. Local automorphisms and derivations of nilpotent matrix algebras // Int. Conf. on algebra, Kyiv, Ukrainian National Academy of Sciences. 2012. P. 46.