Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском периодически гофрированном диэлектрическом волноводе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сагитов, Юрий Хамитович

• Сагитов, Юрий Хамитович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сагитов, Юрий Хамитович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском симметричном диэлектрическом волноводе переменного сечения

§ 1. Моды плоского диэлектрического волновода.

§ 2. Расчёт неопределённых коэффициентов и

§ 3. Решение уравнения Гельмгольца в общем виде.

§ 4. Расчёт коэффициента связи ^оС^0").

§5. Расчёт коэффициента связи (У'СТ1^.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском периодически гофрированном диэлектрическом волноводе»

Актуальность темы. Исследование распространения и рассеяния волн в неоднородных средах уже много лет остаётся актуальной задачей теоретической физики. Важность этой задачи определяется широким практическим применением волновых процессов различной природы для связи, локации, дистанционного мониторинга природных сред, в качестве мощного средства лабораторного исследования, при создании квантовых генераторов - лазеров и т.д. 0

Волны различной природы, как правило, распространяются в естественных и искусственно созданных структурах, имеющих характерные особенности волноводов - радиоволны в атмосфере, световые волны в оптических волокнах и т.д. Волновое поле в волноводах является многомодовым со сложным механизмом обмена энергии между его модами.

Задачи об излучении и отражении света на гофрированном участке волновода исследовались в работах Зленко A.A., Киселева В.А., Прохорова A.M., Спихальского A.A., Сычугова В.А. В частности, авторами получены результаты, относящиеся к одновременному излучению и отражению поверхностной световой волны на гофрированном участке волновода с периодом, удовлетворяющим условию Брэгга в среде: коэффициент отражения (ф близок к единице при условии проведения расчетов для волновода без потерь и без усиления; в реальных волноводах с потерями коэффициент отражения меньше единицы; отношение выведенной из гофрированного участка мощности к мощности, падающей на этом участке, максимально при коэффициенте отражения 0,3 -0,4.

Задача о дифракции направляемой моды на периодически гофрированном участке плоского диэлектрического волновода представляет большой интерес в связи с проблемой создания распределенных брэгговских зеркал. Ей посвящены исследования Алферова Ж.И., Казаринова Р.Ф., Маркузе Д.,

Суриса P.A., Соколовой З.Н., Шевченко В.В., Столярова С.Н. и др.

В работах Мартынова H.H. при помощи метода усреднения решена система уравнений поперечного сечения в частном случае слабого изменения амплитуды мод в пределах одного периода гофрировки. Показано, что амплитуды направляемых мод приближенно удовлетворяют системе уравнений связанных волн.

Математическая модель распространения и дифракции волн в волноводах с учётом начальных и граничных условий представляет, как правило, систему интегральных или интегро-дифференциальных уравнений.

Целостная теория систем уравнений такого типа не создана, а существующие методы решения применимы для частных случаев интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Обычно, при аналитическом решении задач распространения и дифракции волн в волноводах, используются приближённые методы: усреднения; теория возмущения; апроксимации; разложения по малому параметру и т.д., которые при всей своей продуктивности, имеют ряд существенных недостатков: ограниченность применения; не инвариантность в применении -малейшее изменение какого-либо параметра приводит к возобновлению аналитических расчётов с самого начала; вынужденное упрощение механизма обмена энергии между модами; возможность, как правило, только качественного сопоставления теоретических результатов с экспериментальными данными.

Таким образом, актуальной становится задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической модели дифракции электромагнитных волн в оптических волноводах к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, теория и методы решений которых хорошо развиты.

Целью настоящей диссертации является задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической модели дифракции электромагнитных волн в оптическом плоско симметричном однородном волноводе переменного сечения к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. При создании данного метода не должны вводится дополнительные ограничения на физические величины, характеризующие рассматриваемый процесс, чтобы в дальнейшем не сужать область его применения, к примеру, для случаев различных волноводов в многомодовом режиме распространения и дифракции электромагнитных волн.

Научная новизна:

1. Получена математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифферен-циальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

2.Выведена формула двукратной интегральной свёртки.

3.Разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из четырёх уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана.

4.Разработан метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

5.Границы профиля периодически гофрированного ступенчатого волновода были описаны обобщёнными функциями Хевисайда.

6.Для ступенчатого волновода - волновод с таким профилем исследуется впервые - система из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка была сведена в одном случае - горизонтальные участки волновода - к системе из двух обыкновенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка, а в другом - вертикальные участки волновода - к двум не связанным между собой дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.

7.Найдены решения полученных систем уравнений.

8.Решена задача граничных условий данного волновода - непрерывность падающей и отражённой волн в точках перехода от горизонтальных участков волновода к вертикальным.

9.Найдены явные выражения для амплитуд падающей и отражённой волн в независимости от глубины гофрировки для одного периода.

Ю.Получены аналитические выражения для коэффициентов прохождения, отражения и излучения для ступенчатого волновода в независимости от глубины гофрировки и номера брэгговского резонанса.

11.Проведены исследования зависимости отражательных характеристик ступенчатого волновода в зависимости от числа периодов ступенчатого волновода.

12.Исследована спектральная зависимость коэффициента отражения.

Практическая значимость изложенных в диссертации результатов заключается в том, что данный метод применим при исследовании задач дифракции электромагнитных волн на структурах более сложного типа: оптические волокна, оптические среды с переменным показателем преломления и т.д. Основное условие применимости данного метода - математическая модель исследуемого явления должна быть представлена в виде системы интег-ро-дифференциальных уравнений относительно связанных между собой физических величин двух типов: дискретных и непрерывных.

Кроме того, практическую ценность работы составляют результаты, которые могут быть положены в основу дальнейших исследований волновых процессов различной природы.

На защиту выносятся:

1 .Математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

2.Новый метод решения системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений, основанный на применении двукратной интегральной свёртки и, сводящий её к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений.

3.Метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

4.Метод решения системы из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для ступенчатого волновода.

5.Метод решения задачи граничных условий в точках перехода ступенчатого волновода. б.Численный анализ отражательных характеристик ступенчатого волновода при различных глубинах гофрировки и разных номерах брэгговского резонанса, а также спектральная зависимость коэффициента отражения.

Достоверность результатов исследования обеспечивается адекватной реальному процессу дифракции математической моделью, согласием аналитических результатов для случаев ступенчатого волновода с ранее известными формулами для более простых оптических моделей, соответствием численных расчётов с аналогичными ранее опубликованными результатами. р

Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на научном семинаре кафедры математической физики МПГУ (1988; 2000); на научном семинаре кафедры физики Тольяттинского политехнического института (1999); на научном семинаре Средневолжского математического общества (г. Саранск, 2002, 2005), на Всероссийской и Международной научной конференции (г. Тольятти, ТГУ, 2003 г.), на научном семинаре института Физики и химии Мордовского государственного университета (г. Саранск, 2005 г. ).

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сагитов, Юрий Хамитович

Заключение.

В данной работе исследовалось явление дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода. Была получена математическая модель данного явления в виде системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

Затем, были введены обобщённые амплитуды дискретного и непрерывного спектров, которые, хотя не имеют физического содержания, но с помощью которых удалось значительно упростить выражения каждого уравнения из полученной системы интегро-дифференциальных уравнений. В дальнейшем исследовалась система уравнений относительно обобщённых амплитуд.

В данной работе был разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из 4-х уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений. Затем, используя независимость непрерывных мод от дисперсионного параметра р0, система из двух интегро-дифференциальных уравнений была преобразована в систему из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Для ступенчатого волновода система из двух интегро-дифференциальных уравнений свелась в одном случае: для горизонтальных участков к системе двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка, в другом случае: для вертикальных участков волновода к двум независимым друг от друга дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка.

Система двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка были решены. В результате были получены аналитические выражения амплитуд падающей и отражённой волн чётной нулевой моды дискретного спектра, отдельно, для каждого из этих участков волновода.

При рассмотрении условия непрерывности в точках перехода от горизонтальных участков к вертикальным, была получена система линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд падающей и отражённой волн, решение которой позволило получить выражения для коэффициентов отражения и прохождения для одного периода.

Используя условие взаимозависимости периодов для прошедшей волны и, гипотезу о том, что отражение подчиняется распределению Больцмана, а также закон сохранения энергии были получены выражения коэффициентов прохождения, отражения и излучения в зависимости от количества периодов волновода.

Итак, основными результатами представленной работы являются:

1. Выведена формула двукратной интегральной свёртки;

2. Получены выражения, которым должны удовлетворять чётные обобщённые амплитуды непрерывного спектра;

3. Получены соотношения, связывающие чётные обобщённые амплитуды непрерывного спектра с чётными обобщёнными амплитудами нулевого дискретного спектра;

4. Построена теория сведения системы четырех интегро-дифференциаль-■ ных уравнений к системе двух интегро-дифференциальных уравнений;

5. Система из двух интегро-дифференциальных уравнений была преобразована в систему из двух дифференциальных уравнений в частных произ водных первого порядка.

6. Для ступенчатого волновода система из двух интегро-дифференциаль-ных уравнений для горизонтальных участков волновода сведена к системе двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка, а для вертикальных участков волновода к двум независимым друг от друга дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка;

7. Получены решения системы двух обыкновенных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциального уравнения с частными производными первого порядка;

8. Решена задача граничных условий для перехода горизонтальных участков волновода на вертикальные участки;

9. Получены выражения коэффициентов прохождения и отражения для одного периода как независимой оптической системы;

10. Получены выражения коэффициентов прохождения, отражения и излучения для всего волновода;

11. Проведён анализ отражательных характеристик ступенчатых волноводов с различной глубиной гофрировки и с разными номерами брэгговских ре-зонансов;

12. Было проведено исследование влияния растройки брэгговского резонанса на коэффициент отражения.

При разработке в представленной работе теории сведения системы ин-тегро-дифференциальных уравнений, описывающих дифракцию электромагнитных волн на участке плоского волновода переменного сечения в од-номодовом случае, не вводились дополнительные физические ограничения на величины, описывающие данное явление, а использовались только стандартные для данного процесса начальные и граничные условия. Следовательно, данный метод применим при исследовании задач дифракции электромагнитных волн на структурах более сложного типа: оптические волокна, оптические среды с переменным показателем преломления и т.д. Основное условие применимости данного метода, чтобы математическая модель исследуемого явления была представлена в виде системы интеро-дифференциальных уравнений относительно связанных между собой физических величин двух типов: дискретных и непрерывных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сагитов, Юрий Хамитович, 2005 год

1.В., Дмитриев В.Г., Лохов Ю.Н., Малицкий К.Н. Теория дифференциального и интегрального рассеяния лазерного излучения на поверхности диэлектрика с учетом наличия дефектного слоя// Квантовая электроника, 2001. - Т.8, С.740.

2. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984.

3. Ахметшин У.Г., Богатырев В.А., Сенаторов А.К., Сысолятин A.A., Шалыгин М.Г. Новые одномодовые волоконные световоды с изменяющейся по длине плоской спектральной зависимостью хроматической дисперсии// Квантовая электроника, 2003. Т.З, С.265.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. Пособие. М.: Наука, 1987. - 600 с.

5. Баскаков С.И. Возбуждение лучевого волновода // Радиотехника и электроника. 1964. - Т. 9. - № 4. - С. 607.

6. Белов A.B., Дианов Е.М. Волноводные характеристики одномодо-вых микроструктурных волоконных световодов со сложным распределением профиля показателя преломления// Квантовая электроника, 2002. Т.7, С.641.

7. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966.

8. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. ГИТТЛ, 1955.

9. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических волноводов // Вестник МГУ. Серия 3 . Физика, астрономия. - 1995. - № 2. - С. 95 - 98.

10. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Асимптотика электромагнитного поля в окрестности ребра вволноводе // Радиоэлектроника. 2000. - № 4.

11. Бриллюэн Д., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. -М.: ИЛ, 1959.

12. Ваганов Р.Б. Потери на неоднородном участке лучевода и возможность их компенсации // Радиотехника и электроника, 1965. Т. 10.-№ 12.-С. 2146.

13. Вейнберг В.Б., Саттаров Д.К. Оптика световодов. Л.: Машиностроение, 1977.

14. Веселов Г.И., Воронина Г.Г. К расчету открытого диэлектрического волновода прямоугольного сечения / Изв. Вузов. Радиофизика, 1971.-Т. 14.-С. 1891.

15. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы. М.: Советское радио, 1970.

16. Гиндлер И.В. Статистические характеристики широкополосных сигналов в многомодовых диссипативных неоднородных волноводах: Автореф. дис.канд.ф-м. наук. М., 1988. - 13 с.

17. Горшков Б.Г., Кузин А.Ю. Характер волоконно-оптических интерферометров при амплитудной модуляции входного излучения // Радиотехника. 1990, № 2.

18. Давыдова Е.И., Зубанов A.B., Мармалюк A.A., Успенский М.Б., Шишкин В.А. Одномодовые лазеры с гребневидным элементом, сформированные в источнике трансформаторно-связанной плазмы// Квантовая электроника, 2004. Т.9, С.805.

19. Делицын A.JL О проблеме применения метода конечных элементов к задаче вычисления мод диэлектрических волноводов // Вычислительная математика и математическая физика. 1999. - № 2, -С. 315-322.

20. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Излучение плоского диэлектрического волновода // Изв. Вузов, Радиоэлектроника, 1970. -Т. 13.-№9.-С. 973.

21. Дураев В.П., Неделин Е.Т., Недобывайло Т.П., Сумароков М.А., Климов К.И. Полупроводниковые лазеры с волоконной брэгговской решеткой и узким спектром генерации на длинах волн 1530 — 1560 нм// Квантовая электроника, 2001. Т.8, С.529.

22. Зленко A.A., Кисилев В.А., Прохоров A.M., Спихальский A.A., Сычугов В.А. Излучение и отражение света на гофрированном участке волновода // Квантовая электроника, 1975. Т. 2, № 11. - С. 2433-2439.

23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Перевод с нем. С.В.Фомина. М.: Наука, 1976. - 576 с.

24. Казаринов Р.Ф., Сурис P.A. Физика и техника полупроводников. М., 1972, №6.

25. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд. АН СССР, 1961.

26. Кобозев И.К. Интерференционная структура поля в волноводах и ее изменчивость под влиянием возмущений: Автореф. дис. канд. ф-м. наук. М., 1992.- 16 с.

27. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: учеб. для студентов физико-математических и инженерно-физических спец. вузов. В 3-х т. М., 1988.

28. Кузнецова Т.И., Лебедев B.C. Пространственное распределение световых полей в коническом кремниевом волноводе// Квантовая электроника, 2004. Т.4, С.361.

29. Кузнецова Т.И., Лебедев B.C. Структура световых волн в волноводе, сужающемся до субволновых поперечных размеров// Квантовая электроника, 2002. Т.8, С.727.

30. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., 1973.

31. Леухин А.Н. Алгебраическое решение задачи синтеза кодовых последовательностей// Квантовая электроника, 2005. Т.8, С.688.

32. Лукьянов В.Н., Семенов А.Т., Шелков Н.В., Якубович С.Д. Лазеры с распределенной обратной связью (обзор) //Квантовая электроника. Т.2. - 1975. - № 11. - С. 2373 - 2398.

33. Маненков А.Б. Возбуждение открытых однородных волноводов / Известия вузов. Радиофизика. 1970. - Т. 13., № 5. - С. 739.

34. МаркузеД. Оптические волноводы. М.: Наука, 1978.

35. Мартынов H.H. Решение уравнений поперечного сечения в случае плоского диэлектрического волновода с периодически гофрированной границей // Радиотехника и электроника.- Т. 25. М., 1980, №9.

36. Мидвингер Дж. Э. Волоконные световоды для передачи информации. М.: Радио и связь, 1983.

37. Морозов Г.В., Маев Р.Г., Дрейк Г.В. Метод многократных отражений для электромагнитных волн в слоистых диэлектрических структурах// Квантовая электроника, 2001. Т.9, С.767.

38. Насиева И.О., Федорук М.П. Волоконно-оптические линии связи с распределенным рамановским усилением. Численное моделирование// Квантовая электроника, 2003. Т. 10, С.908.

39. Петраш Г.Г. О моделировании лазера на парах меди с добавками водорода// Квантовая электроника, 2005. Т.6, С.576.

40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции -М.: Наука, 1981. 800 с.

41. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции М.: Наука, 1983. - 752 с.

42. Сагитов Ю.Х. Решение уравнения излучения при дифракции на плоском переменного сечения волноводе / Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, физики и информатики: Сб. науч. тр. Тольятти, ТГУ, 2003. С. 95-105.

43. Сагитов Ю.Х. Об одном методе вычисления несобственных интегралов /Там же. С. 105-113.

44. Сагитов Ю.Х. Формула двойной интегральной свертки / Динамика систем и управление. Межвуз. сб. науч. тр. Отв. ред. В.Н. Щен-ников. Саранск. Изд-во Мордов. ун-та, 2003. - С. 50-54.

45. Сагитов Ю.Х. Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском периодически гофрированном волноводе. -Саранск: СВМО, 2005. Препринт №88. 24 с.

46. Снайдер А., Лав Д. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987.

47. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волно-водное распространение оптического излучения. М.: Мир, 1989.

48. Унгер Х.Т. Планарные и волоконные оптические волноводы. -М.: Мир, 1980.

49. Усиевич Б.А., Нурлигареев Д.Х., Сычугов В.А., Голант K.M. Ограниченная однородная система туннельно-связанных волноводов и брэгговская дифракция света в ней// Квантовая электроника, 2005. -Т.6, С.554.

50. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. A.M. Прохоров. Ред. Кол. Д.М. Алексеев, A.M. Бонч-Бруевич, A.C. Боровик -Романов и др. М.: Сов. Энциклопедия, 1983. - 928 с.

51. Шамрай A.B., Козлов A.C., Ильичев И.В., Петров М.П. Новый метод управления формой спектральных характеристик брэгговских решеток в электрооптических материалах// Квантовая электроника, 2005. -Т.8, С.734.

52. Шевченко В.В. Плавные переходы на импедансах. М.: Наука, 1968.

53. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. М.: Наука, 1969.

54. Шевченко В.В. О разложении полей открытых волноводов по собственным и несобственным волнам // Изв. Вузов. Радиофизика, 1971.-Т. 14.-№8.-С. 1242.

55. Шорохова Е.А., Яшнов В.А. Влияние неоднородности среды в плоском волноводе на импульсное излучение тонкой электрической антенны// Радиоэлектроника. 2000. - № 12.

56. Marcuse D. Theory of dielectric optical waveguides. Acad Press, N.Y. - London, 1974.