Математические модели и методы оптимального размещения мобильных и стационарных объектов с учетом внешних воздействий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Сотников, Сергей Викторович

• Сотников, Сергей Викторович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сотников, Сергей Викторович

Введение.

Глава 1. Постановка задачи оптимизации размещения.

1.1. Классификация задач оптимального размещения.

1.2. Постановка задачи детерминированного размещения объектов.

1.3. Постановка задачи стохастического размещения объектов.

1.4. Методика решения задач оптимального размещения объектов.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Математические модели и методы оптимального размещения различных видов объектов.

2.1. Размещение точки базирования мобильного средства обслуживания

2.2. Размещение мобильных средств мониторинга окружающей среды региона.

2.3. Размещение пунктов управления огнем артиллерийского дивизиона

2.4. Размещение электрорадиоэлементов на печатных платах с учетом ударных инерционных нагрузок.

2.5. Стохастическое размещение стреляющего орудия.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Сингулярный метод штрафных функций для решения задач оптимального размещения.

3.1. Расчетная схема метода.

3.2. Устойчивость модифицированного метода штрафных функций.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Примеры решения задач оптимального размещения объектов.

4.1. Оптимальное размещение мобильного средства обслуживания населенных пунктов региона.

4.2. Оптимальное размещение мобильных средств мониторинга.

4.3. Оптимальное размещение пунктов управления огнем артдивизиона

4.4. Оптимальное размещение электрорадиоэлементов на круглых печатных платах приемного модуля радиоэлектронной системы.

4.5. Оптимальное стохастическое маневрирование стреляющего орудия

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы оптимального размещения мобильных и стационарных объектов с учетом внешних воздействий»

Актуальность темы. Функционирование сложных территориально-распределенных систем подразумевает решение задач оптимального размещения входящих в них мобильных и стационарных объектов. Примерами таких задач являются задачи размещения средств технического обслуживания и ремонта изделий авиационной техники в полевых условиях эксплуатации, средств мониторинга различных параметров окружающей среды, нефтегазодобывающий предприятий, пунктов управления АСУ артиллерии тактического звена, электрорадиоэлементов на печатных платах, станций скорой помощи, пожарных депо, телефонных станций, пунктов переработки сельскохозяйственной продукции и др.

Вопросы моделирования и решения различных задач оптимального размещения мобильных и стационарных объектов рассматривались в работах Винке Ф., Галиева Ш.И., Дрезнера 3., Канторовича Е.Г., Кристофидеса Н., Моудера Дж., Раенко Н.В., Саттарова А.З., Уайта Д.А., Френсиса P.JI., Фернандеса Д., Франка Ф.М., Элмаграби С. и других отечественных и зарубежных ученых.

Анализ существующих работ позволил выделить такие их основные особенности, как большое разнообразие используемых моделей, часто применяемых к решению однотипных задач, отсутствие общих подходов к решению многокритериальных задач оптимального размещения, отсутствие общих методов и алгоритмов решения задач оптимального размещения с учетом случайных факторов и наличия ограничений.

Таким образом, актуальной является задача разработки общих подходов к решению задач оптимального размещения мобильных и стационарных объектов различной природы с учетом внешних воздействий.

Целью работы является разработка математических моделей и методов оптимального размещения и решение с их использованием практических задач, учитывающих различные ограничения на размещение рассматриваемых объектов.

Задачи исследования:

1. Анализ проблемы оптимального размещения объектов, обзор существующих математических моделей и методов.

2. Постановка задачи детерминированного и стохастического оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий.

3. Применение разработанных математических моделей для решения практических задач оптимального размещения объектов различной природы.

4. Модификация метода штрафных функций для решения задачи оптимального размещения объектов.

5. Разработка методики решения задач оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий.

Методы исследования. При решении сформулированных задач в работе используются модели и методы нелинейного программирования, дискретной оптимизации, теории графов, теории вероятностей, векторной оптимизации, теории обыкновенных регулярно-возмущенных и сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений, элементы матричного анализа.

Научная новизна:

1. На основе обобщения существующих подходов и постановок разнообразных практических задач предложена классификация задач оптимального размещения объектов.

2. На основе разработанных математических моделей размещения предложены оригинальные модели решения оптимального размещения различных видов объектов, с учетом действующих на них внешних воздействий.

3. Предложен и обоснован сингулярный метод решения задачи оптимального размещения объектов с учетом ограничений.

4. Предложен алгоритм решения задач оптимального размещения большой размерности с использованием средств распределенной обработки информации.

5. На основе проведенных исследований и разработок предложена методика решения задач оптимального размещения с учетом внешних воздействий.

Достоверность результатов обеспечивается корректным применением математического аппарата и результатами решения практических задач, подтвержденными актами об использовании и внедрении.

Практическая ценность работы. Рассмотренные в диссертации задачи сформулированы исходя из практических потребностей в оптимальном размещении различных видов объектов. Решение этих задач осуществлялось в рамках выполнения совместных НИР по договорам о научно-техническом сотрудничестве между КГТУ им. А.Н. Туполева и Федеральным научно-производственным центром по радиоэлектронным системам и информационным технологиям (ФНПЦ "Радиоэлектроника"), а также Казанским филиалом Военного артиллерийского университета (шифр «Краснополь»). Часть задач выполнялась в составе НИР "Фундаментальные и прикладные вопросы информационных технологий, моделирования и управления. Этап 2001 г. Математическое моделирование и информатика оптимальных решений в технологиях и управлении" в рамках выполнения договора-подряда № 05-5.2.3/ 2001 (ФП) с Академией Наук Республики Татарстан.

Предложенная в работе методика позволяет снизить затраты времени на постановку, формализацию и алгоритмизацию реальных задач, учитывающих всевозможные воздействия на объекты размещения. Для решения задачи оптимального размещения большой размерности предлагается в целях экономии времени решать их в распределенной вычислительной среде.

Реализация результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы, в том числе их программная реализация были использованы и внедрены в ФНПЦ "Радиоэлектроника" и Казанском филиале Военного артиллерийского университета. Отдельные результаты работы были также использованы в учебном процессе кафедры Прикладной математики и информатики КГТУ им. А.Н.Туполева.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на VII Всероссийских Туполевских чтениях студентов "Актуальные проблемы авиастроения" (г. Казань, 1997), III Республиканской научной конференции "Актуальные экологические проблемы РТ" (г. Казань, 1997), Всероссийской студенческой научной конференции "Королёвские чтения" (г. Самара, 1997), I Всероссийской научной конференции молодых учёных и аспирантов "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (г. Таганрог, 1998), Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" (г. Рязань, 1999), Международной молодёжной научной конференции "XXVI Гагаринские чтения" (г. Москва, 2000), II Всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2000), Второй Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2000), LV Научной сессии РНТОРЭС им. А.С. Попова (г. Москва, 2000), IV Международной научно-практической конференции "Системный анализ в проектировании и управлении" (г. Санкт-Петербург, 2000), "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (г. Таганрог, 2000), Международной молодёжной научной конференции "XXVII Гагаринские чтения" (г. Москва, 2001), Юбилейной научно-технической конференции "Автоматика и электронное приборостроение" (г. Казань, 2001), Третьей Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2001), III Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (г. Казань, 2001), Республиканской научно-практической конференции "Интеллектуальные системы и информационные технологии" (г. Казань, 2001), Международной молодежной научно-технической конференции "Интеллектуальные системы управления и обработки информации" (г. Уфа, 2001),. Первом Республиканском Форуме молодых ученых и специалистов (г. Казань, 2001), VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Казань, 2002).

Публикации, структура диссертации. Основное содержание диссертации отражено в 23 печатных работах, в том числе в 3 научных статьях. Материалы диссертации вошли также в 6 отчётов по НИР, в которых автор принимал участие как исполнитель НИР. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Работа содержит 134 страницы основного текста, 29

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сотников, Сергей Викторович

Выводы по главе 4

1. Приведенные в данной главе численные примеры и выполненные вычислительные эксперименты с использованием близких к реальным исходных данных показывают достоверность разработанных в главе 2 оригинальных математических моделей.

2. Приведенные в главе результаты решения этих задач, общие математические модели которых были предложены в главе 1, указывают на адекватность этих моделей при решении на их основе практических задач.

3. Для сокращения времени решения сложных задач оптимального размещения была разработана программно-аппаратная распределенная вычислительная среда на базе локальной сети ПЭВМ. Вычислительные эксперименты с изменением числа используемых ПЭВМ позволили получить сокращение времени решения задачи оптимального размещения пунктов управления огнем артдивизиона с учетом реальной карты местности более чем в 3 раза.

4. Разработанное в главе 3 условие устойчивости решения задачи оптимального размещения на базе предложенного сингулярного метода штрафных функций было апробировано при решении задачи стохастического размещения стреляющего орудия при равномерном законе распределения его координат. Полученные частные результаты подтверждают теоретические результаты, представленные в разделе 3.2.

Заключение

В данной диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Сформулирована проблема оптимального размещения объектов с учетом действующих на них внешних воздействий. На основе анализа практических задач и обобщения существующих подходов предложена классификация задач оптимального размещения, учитывающая такие признаки, как количество и вид критериев оптимальности, учет случайных факторов, наличие ограничений на область размещения, количество размещаемых объектов, определяющей роли групп объектов и т.д.

2. Построены общие математические модели задач детерминированного и стохастического оптимального размещения. Указаны методы решения на их основе различных практических задач оптимального размещения.

3. Предложены направления для формализации других видов задач оптимального размещения, представленных в разработанной классификации.

4. Разработаны математические модели решения практических задач, включающих в себя задачи размещения точки базирования МС обслуживания, размещения МС мониторинга окружающей среды региона, размещения пунктов управления огнем артиллерийского дивизиона, размещения электрорадиоэлементов на печатных платах с учетом ударных инерционных нагрузок, стохастического размещения СО. Была сформулирована задача стохастического размещения средства обслуживания объектов со случайными координатами. Данная задача с помощью метода линеаризации была сведена к задаче детерминированного размещения. Показывается, что построенные математические модели полностью соответствуют общим математическим моделям детерминированного и стохастического размещения объектов.

5. Разработан сингулярный метод решения задач оптимального размещения, сводящийся к интегрированию системы сингулярно-регулярных дифференциальных уравнений. Проведено исследование предлагаемого метода и доказано условие, обеспечивающее устойчивость процесса получения искомого решения. Применение данного метода, который является модификацией метода штрафных функций, позволяет ликвидировать неопределенность с выбором начального приближения и штрафных коэффициентов, существующую в классических методах.

6. Задачи размещения МС были решены для 44 населенных пунктов Республики Татарстан. Парето оптимальные решения были получены с использованием необходимого условия экстремумам свертки критериев.

7. С помощью разработанного метода решены задачи оптимального размещения пунктов управления огнем артдивизиона, электрорадиоэлементов на печатных платах, стохастического маневрирования стреляющего орудия. Анализ результатов показал, что скорость решения задачи увеличивается в 3-10 раз в зависимости от трудоемкости задачи.

8. Для решения сложных задач оптимального размещения предложено использовать распределенную вычислительную систему, построенную на базе локальной вычислительной сети. Разработана управляющая программа, обеспечивающая реализацию алгоритма на различных персональных ЭВМ сети. Приведенные вычислительные эксперименты с изменением числа используемых ПЭВМ позволили получить сокращение времени решения задачи оптимального размещения пунктов управления огнем артдивизиона с учетом реальной карты местности более чем в 3 раза.

9. Разработанное в главе 3 условие устойчивости решения задачи оптимального размещения на базе предложенного сингулярного метода штрафных функций было апробировано при решении задачи стохастического размещения стреляющего орудия при равномерном законе распределения координат. Полученные частные результаты совпадают с теоретическими результатами, представленными в разделе 3.2 диссертации.

По результатам выполненных работ получен акт об использовании от ГУЛ ФНПЦ «Радиоэлектроника», акт внедрения от Казанского филиала военного артиллерийского университета (ныне КВАКУ) и акт внедрения в учебный процесс КГТУ им. А.Н. Туполева.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сотников, Сергей Викторович, 2005 год

1. Техническая эксплуатация летательных аппаратов // Под ред. Пугачева А.С. - М.: Транспорт, 1978.

2. Алексеенко А.Я., Адерихин Н.В. Эксплуатация радиотехнических систем. М.: Воениздат, 1980.

3. Смирнов Н.Н., Ицкович А.А. Обслуживание и ремонт авиационной техники по состоянию. -М.: Транспорт, 1987.

4. Давыдов П.С., Иванов П.А. Эксплуатация авиационного радиоэлектронного оборудования: Справочник. -М.: Транспорт, 1990.

5. Plastria F. Static competitive facility location: An overview of optimization approaches // European Journal of Operational Research 129 (2001), P. 461470.

6. Zhao P., Batta R. Analysis of centroid aggregation for the Euclidean distance p-median problem // European Journal of Operational Research 113 (1999), P. 147-168.

7. Fernandez J., Fernandez P., Pelegrin B. A continuous location model for siting a non-noxious undesirable facility within a geographical region // European Journal of Operational Research 121 (2000), P. 259-274.

8. Chew E. P., Tang L. C. Travel time analysis for general item location assignment in a rectangular warehouse // European Journal of Operational Research 112 (1999), P. 582-597.

9. Сотников C.B. Основные направления системного анализа принятия решений по оптимальному размещению объектов // Тез. докл. Межд. научно-практич. конф. "Системный анализ в проектировании и управлении" / СПб: НЕСТОР, 2000, С. 218-219.

10. Исследование операций. Под ред. Моудера Дж., ЭлмаграбиС. М.: Мир, 1981,677 с.

11. Francis R.L., White J.A., Facilities Layout and Location: an Analytical Approach. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1974.

12. Drezner Z., Guyse J. Application of decision analysis techniques to the Weber facility location problem // European Journal of Operational Research 116 (1999), P. 69-79.

13. Zhang J., Liu Z., Ma Z. Some reverse location problems // European Journal of Operational Research 124 (2000), P. 77-88.

14. Ohsawa Y. A geometrical solution for quadratic bicriteria location models // European Journal of Operational Research 114 (1999), P. 380-388.

15. Lee S.-D. On solving unreliable planar location problems // European Journal of Operational Research 28 (2001), P. 329-344.

16. Sviridenko M.I. Worst-case analysis of the greedy algorithm for a generalization of the maximum p-facility location problem // European Journal of Operational Research 26 (2000), P. 193-197.

17. Schilling D.A., Rosing K.E., Revelle C.S. Network distance characteristic that affect computational effort in p-median location problems // European Journal of Operational Research 127 (2000), P. 525-536.

18. Ogryczak W. Inequality measures and equitable approaches to location problems // European Journal of Operational Research 122 (2000), P. 374391.

19. Tragantalerngsak S., Holt J., Ronnqvist M. An exact method for the two-echelon, single-source, capacitated facility location problem // European Journal of Operational Research 123 (2000), P. 473-489.

20. Кристофидес H. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

21. Kacprryk J., Stanczak W. A discrete approximation of the Weber problem with Euclidean distance // Zastozow mat, 1984, 18, №2, P. 257-270.

22. Watson-Gandy C.D.T. The multi-facility min-max Weber problem // European Journal of Operational Research, 1984, 18, №1, P. 44-50.

23. Das Pali, Chakrabarty N.R. Minimax location foran arbitrary shaped contrained region using the rectilinear norm // Asia Pacif. Oper. Res., 1994, 11, №2, P. 202-216.

24. Iri Masao, Murota Karuo, Ohya Takao, A fast Voronoi diagram algorithm with application to geographical optimization problems // Lect. Notes Contr and Inf. Sci, 1984, 59, P. 273-278.

25. Weawer Jerry R., Church Richard L. A comparison of solution procedures for covering location problems // «Model, and Simul. Vol. 14: Proc. 14th Annu. Pittsburgh Conf., 21-22 Apr., 1983. Pt. 4», Research Triangle Park, N.C., 1983, P. 1417-1422.

26. Mehre Abraham, Sinuany-Stern Zilla, Stulman Allam, A single facility location problem with a weighted maximin-minmax rectilinear distance // Comput. and Oper. Res., 1985, 12, №1, P. 51-60.

27. Vincke Ph. Problems de localisation multicriteries // Cah. Cent. Etud. Rech.Oper, 1983, 25, № 3-4, P. 333-338.

28. Megiddo Nimrod, The weighted euclidean 1-center problem // Math/ Oper. Res., 1983, 8, № 4, P. 498-504.

29. Раенко H.B., Стохастическая задача оптимального размещения // Методы решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. 3 Симпозиум. Доклады и сообщения., Таллин, 1984, С. 157-158.

30. Канторович Е.Г., Исследование модели размещения обслуживания в городской системе // Динамические неоднородные системы. Материалы семинара., Москва, 1983, С. 164-173.

31. Галиев Ш.И., Саттаров А.З., Оптимизация мест размещения станций скорой помощи с использованием непрерывных моделей // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, Казань, 1996, №4, С. 39-44.

32. Araujo Е.О., Franca P.M., Soares S., Tavares H.M.F., Optimal location of telephone exchanges // «Large Scale Syst.: Thery and Appl., 1983, Proc. IFAC/IFORS Symp., Warsaw, 11-15 July, 1983», Oxford e.a., 1984, P. 689694.

33. Abdel-Malek Layek L., Optimum positioning of moving service facility // Comput. and Oper. Res., 1985, 12, №5, P. 437-444.

34. Drezner Z., Berman O. A note on the location of an obnoxious facility on a network // European Journal of Operational Research 120 (2000), P. 215217.

35. Min H., Melachrinoudis E. The dynamic relocation and phase-out of a hybrid, two-echelon plant/warehousing facility: A multiple objective approach // European Journal of Operational Research 123 (2000), P. 1-15.

36. Galvao R.D., Espejo L.G.A., Boffey B. A comparison of Lagrangean and surrogate relaxations for the maximal covering location problem, European Journal of Operational Research 124 (2000), P. 377-389.

37. Averbakh I., Berman O. Algorithms for the robust 1-center problem on a tree // European Journal of Operational Research 123 (2000), P. 292-302.

38. Rahman S.-U., Smith D.K. Use of location-allocation models in health service development planning in developing nations // European Journal of Operational Research 123 (2000), P. 437-452.

39. Ebery J. Solving large single allocation p-hub problems with two or three hubs // European Journal of Operational Research 128 (2001), P. 447-458.

40. Antunes A., Peeters D. On solving complex multi-period location models using simulated annealing // European Journal of Operational Research 130 (2001), P. 190-201.

41. Ebery J., Krishnamoorthy M., Ernst A., Boland N. The capacitated multiple allocation hub location problem: Formulations and algorithms // European Journal of Operational Research 120 (2000), P. 614-631.

42. Munoz-Perez J., Saameno-Rodriguez J.J. Location of an undesirable facility in a polygonal region with forbidden zones // European Journal of Operational Research 114 (1999), P. 372-379.

43. Николаев A.A., Сотников C.B. Задача оптимального размещения мобильных средств обслуживания РЭА // Тез. докл. VII Всеросс. Туполевских чтений студентов "Актуальные проблемы авиастроения" / Казань: изд-во КГТУ, 1996, С. 151.

44. Сотников С.В. Математические модели и методы оптимального размещения мобильных средств технического обслуживания и ремонта изделий // Тез. докл. III Республ. научной конф. молодых ученых и специалистов / Казань: Отечество, 2001, Книга 3, С. 26-27.

45. Сотников С.В. Оптимизация размещения объектов с учетом запрещенных областей // Тез. докл. Межд. молодёжной научной конф. "XXVI Гагаринские чтения" / Москва, 2000, Т. 1, С. 306.

46. Сотников С.В. Информационная технология оптимального вероятностного размещения объектов // Тез. докл. Второй Всеросс. научно-технич. конф. "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве". Часть 1. / Нижний Новгород, 2000, С. 29.

47. Сотников С.В. Задачи оптимального размещения в АСУ тактического звена // Тез. докл. III Всеросс. научной конф. молодых учёных и аспирантов "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" / Таганрог, 2000, С. 90-92.

48. Сотников С.В. Автоматизация принятия решений в стохастических задачах оптимального размещения // Тез. докл. Юбилейной научно-технической конференции "Автоматика и электронное приборостроение" / Казань: Экоцентр, 2001, С. 104-106.

49. Маслов О.В. Комбинированный алгоритм размещения элементов на печатной плате с использованием многокритериальной оптимизации // Управляющие системы и машины. 1990, №3, С.43-48.

50. Методика оптимального размещения электрорадиоэлементов на круглых платах ПМ: Тех. отчет по договору ПМИ-С5-3 // Руководитель

51. B.C. Моисеев; К.В. Бормотов, Д.А. Горбунов, С.В. Сотников. Казань, КГТУ(КАИ), 1999, 19 с.

52. Описание и инструкции по эксплуатации комплекса программ «УДАР» для расчета на прочность изделия «ПМ» при действии больших инерционных нагрузок: Тех. отчет по договору ПМИ-С5-6 // Руководитель B.C. Моисеев; К.В. Бормотов, Д.А. Горбунов,

53. C.В. Сотников. Казань, КГТУ(КАИ), 1999, 19 с.

54. Оценка прочности платы детекторной секции при различных вариантах закрепления внутри АВТ: Тех. отчет по договору ПМИ-С5-7 // Руководитель B.C. Моисеев; Н.В. Костромина, С.В. Сотников. -Казань, КГТУ(КАИ), 1999, 66 с.

55. Сотников С.В. Информационная технология оптимального размещения объектов // Тез. докл. II Всеросс. научно-технич. конф. "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве". Часть VII. / Нижний Новгород: изд-во НГТУ, 2000, С. 28.

56. Сотников С.В. Общая информационная технология решения задач оптимального размещения // Тез. докл. Третьей Всеросс. научнотехнич. конф. "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве". / Нижний Новгород, 2001, С. 25.

57. Balakrishman J., Cheng С.Н. Genetic search and the dynamic layout problem // Comput. and Oper. Res., 2000, 12, №5, P. 587-593.

58. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высш. школа, 1989, 367 с.

59. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982,256 с.

60. Моисеев B.C., Сотников С.В. Оптимизация стохастического размещения объектов — Казань // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2002, № 3, С. 23-29.

61. Моисеев B.C., Сотников С.В. Общая математическая модель задачи оптимального размещения объектов. — Казань // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2000, № 3, С. 31-35.

62. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности. М.: Наука, 1969, 400 с.

63. Ананьев С.Н., Лифанов Ю.С., Хорев П.Ф. Системы обнаружения движущихся объектов по их собственным физическим излучениям // Зарубежная радиоэлектроника, 1998, №10, С. 55-69.

64. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1969, 576 с.

65. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969,424 с.

66. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982, 624 с.

67. Моисеев B.C., Валеев В.Ф. Основные задачи комплексной автоматизации технического обслуживания и ремонта изделий в полевых условиях эксплуатации // Изв. вузов. Авиационная техника, 1997,. №1, С. 67-73.

68. Зайдуллин С.С., Николаев А.А., Сотников С.В. Основные задачи автоматизации контроля сосредоточенных и распределённых параметров системы объектов в полевых условиях // Тез. докл. Всеросс. студ. научной конф. «Королёвские чтения» / Самара, 1997, С. 29.

69. Барзилович Е.Ю. Модели технического обслуживания сложных систем. -М.: Высшая школа, 1982, 231 с.

70. Вентцель Е.С., Овчаров Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Физматгиз, 1988

71. Рудюк Г. Связь артиллерийского дивизиона // Военный вестник , 1994, №1, С. 53-58

72. Боевой устав артиллерии сухопутных войск, ч. II. М.: Воениздат, 1990,368 с.

73. Боевой устав сухопутных войск, ч. II, М.: Воениздат, 1990, 463с.

74. Руководство по боевой работе огневых подразделений артиллерии. -М.: Воениздат, 1987, 175 с.

75. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975,534 с

76. Моисеев B.C., Горбунов Д.А. Метод малого параметра для решения задач анализа и синтеза проектных решений на базе неявно заданных функциональных зависимостей // Изв.вузов, Авиационная техника, 1998, №4, С.3-10

77. Преснухин В.В. Конструирование электронно-вычислительной аппаратуры. М., Высшая школа, 1980, 519с.

78. Тарг И.А. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1983, 520 с.

79. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966, 664 с.

80. Моисеев B.C., Сотников С.В. Разработка и исследование сингулярного метода штрафных функций для решения задач нелинейного программирования //Деп. в ВИНИТИ, № 1729-В2002, 40 с.

81. Сотников С.В. Применение модифицированного метода малого параметра к задачам оптимального размещения // Тез. докл. Межд. молодёжной научно-технич. конф. "Интеллектуальные системы управления и обработки информации" / Уфа: изд-во УГАТУ, 2001, С. 191.

82. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. М.: Наука, 1989, 464 с.

83. Сотников С.В. Математические модели и методы решения задач оптимального размещения объектов // Тез. докл. Республ. научно-практич. "Интеллектуальные системы и информационные технологии" / Казань: Отечество, 2001, С. 88.

84. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986, 288 с.

85. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980, 520 с.

86. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. М.: Наука, 1991, 248 с.

87. Бахвалов Н.С. Численные методы, т.1 -М.: Наука, 1975, 631 с.

88. Сотников С.В. Сингулярный метод штрафных функций для решения задач оптимального размещения // Тез. докл. Межд. молодёжной научной конф. "XXVII Гагаринские чтения" / Москва, 2001, Т. 2, С. 54.

89. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра //Мат сб. Изд. АН СССР, 1948, т.22 (64):2, №2, С.193-204

90. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985, 232 с.

91. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

92. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973, 226 с.

93. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984,320 с.

94. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1971, 600 с.

95. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных //Мат сб. Изд. АН СССР, 1952, т.31 (73), №3, С.575-586

96. Горбунов Д.А., Комиссарова Е.М., Моисеев B.C. Численный метод решения задач параметрического нелинейного программирования //Деп. в ВИНИТИ, №50-В2004