Математические модели системы "паразит-хозяин" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Герасимов, Андрей Николаевич

• Герасимов, Андрей Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Герасимов, Андрей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность исследования.

2. Научная новизна.

3. Цель настоящей работы.

4. Задачи настоящей работы.

Глава 1.Современное состояние исследований системы «паразитхозяин» методами имитационного математического моделирования

1.1 Эпидемиология инфекционных болезней - основание для построения моделей «паразит-хозяин».

1.2 Модели других медико-биологических систем, близких к системе «паразит-хозяин».

1.2.1 Модели инфекционного процесса.

1.2.2 Модели динамики численности популяций.

1.2.3 Модели математической генетики.

1.3 Модели системы «паразит-хозяин».

1.3.1 История вопроса.

1.3.2 Классификация моделей.

Глава 2. Общие подходы к имитационному моделированию эпидемического процесса.

2.1 Область применимости имитационных математических моделей и исходные предположения.

2.2 Определение достоверности различия заболеваемости.

2.3 Классификация моделей эпидемического процесса антропонозных инфекций по состояниям и переходам.

Глава 3.Детерминированные модели.

3.1 Простейшие гомогенные модели для бесконечной популяции в стационарных условиях.

3.2 Стационарные решения в гетерогенной популяции.

3.3 Влияние разных видов гетерогенности популяции хозяина на динамику заболеваемости.

3.4 Применение к количественному определению заразности.

3.5 Динамика в периодических условия.

3.6 Изменение динамики заболеваемости в периодических условиях от амплитуды колебаний активности механизма передачи. Результаты численного анализа.

3.7 Изменение динамики заболеваемости в периодических условиях от амплитуды колебаний активности механизма передачи. Аналитические результаты.

3.8 Применение к анализу фактической заболеваемости.

3.9 Модель гетерогенной не полностью изолированной популяции

3.10 Существование периодических решений в гетерогенной 140 модели

3.11 Устойчивость и единственность периодических решений в гетерогенной модели.

3.12 Численные результаты и обсуждение.

Глава 4. Стохастическая модель.

4.1 Модель SIoo. Случай конечного количества инфицированных и бесконечно большого числа восприимчивых.

4.2 Случай среднего значения контактного числа, равного единице. Характерное время обнуления количества инфицированных.

4.3 Динамика распределения количества инфицированных при R< и внешнем притоке.

4.4 Случай R<1. Форма предельного распределения и доверительные границы к показателям заболеваемости при 175 постоянных условиях.

4.5 Случай R<1. Расчет достоверности различий годовых показателей заболеваемости.

4.6 Расчет достоверности различий заболеваемости с учетом того, что не все случаи инфицирования регистрируются.

4.7 Использование полученных распределений для анализа годовой заболеваемости "заносными инфекциями" на примере 195 малярии и брюшного тифа.

4.8 Использование доверительных границ для частично регистрируемых инфекций.

4.9 Определение скорости изменения заболеваемости по помесячным данным и ее доверительных границ.

4.10 Прогнозирование заболеваемости заносной инфекцией: схема анализа.

4.11 Прогнозирование заболеваемости заносной инфекцией: анализ изменения коллективного иммунного статуса.

4.12 Случай отсутствия иммунитета в конечной популяции -модель SIN. Уравнения динамики. Предельное распределение в стационарных условиях.

4.13 Распределение количества инфицированных в периодических условиях.

4.14 Анализ динамики заболеваемости венерическими болезнями

4.15 Вывод уравнения динамики плотности распределения для стохастической модели SIR.

4.16 Большая популяция - динамика малых случайных флюктуаций.

4.17 Предельное распределение малых случайных флюктуаций в периодических условиях.

4.18 Определение инфекционного характера заболеваемости по ее размахам.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели системы "паразит-хозяин"»

Имитационное математическое моделирование - мощный метод исследования, который в последние годы все шире внедряется в медико-биологические исследования. Его особая важность для эпидемиологии инфекционных заболеваний связана с ограниченностью возможности проведения прямого экспериментального исследования, а также необходимостью анализа ситуации и прогнозирования в постоянно меняющихся условиях.

Борьба с инфекционными заболеваниями - одна из наиболее важных задач современного здравоохранения. Несмотря на постоянно расширяющийся спектр средств контроля и управления инфекционными болезнями, в том числе за счет разработки новых вакцин, инфекционные и паразитарные заболевания удерживают первое место среди причин смертности в мире, опережая заболевания сердечно-сосудистой системы и новообразования. При этом появляются новые опасные заболевания, такие, как ВИЧ-инфекция. Ряд известных инфекционных заболеваний возвращаются в новом, более грозном обличии.

Для анализа заболеваемости, направленного на поиск групп, времен и мест риска, факторов риска, разработки противоэпидемических мероприятий и анализа их качества и эффективности используется ретроспективный эпидемиологический анализ. Это - статистическая обработка данных о показателях заболеваемости и иных связанных с ней показателей и параметров. Поэтому такие актуальные задачи, как прогнозирование результатов новых противоэпидемических мероприятий в условиях быстрых беспрецедентных изменений социально-экономических и экологических условий жизни, находятся вне пределов применимости статистического анализа.

Так, для современной России характерны следующие особенности:

1. Резкое и существенное изменение социально-экономических условий жизни, приведшее к существенному изменению условий передачи и распространения ряда инфекционных болезней.

2. Изменение демографической структуры, значительное снижение рождаемости и снижение удельной доли младших возрастов.

3. Появление новых средств вакцинопрофилактики и изменение схем ее применения.

4. Изменение возрастной структуры заболеваемости инфекциями, для которых во второй половине двадцатого века была начата массовая вакцинопрофилактика. В период до начала применения вакцинопрофилактики против данной болезни к старшему школьному возрасту у большинства жителей был выработан естественный иммунитет против так называемых детских инфекций, так как практически все в той или иной форме этими болезнями уже переболевали. Проведение вакцинации части детей не только уменьшает общую заболеваемость, но и сдвигает ее на старшие возраста, в которых болезнь проходит в более тяжелой форме.

5. Ограниченность финансирования медицины вообще и профилактической медицины в особенности. В этих условиях особенно важно уметь точно определять экономическую эффективность планируемых противоэпидемических мероприятий.

Поэтому крайне желательно иметь возможность достаточно точно оценивать последствия, в том числе и долгосрочные, от проведения тех или иных противоэпидемических мероприятий в меняющихся условиях, для чего возможностей стандартного ретроспективного эпидемиологического анализа недостаточно.

Использование же методов математического моделирования имеет ряд преимуществ. Во-первых, анализ не ограничивается манипуляцией с показателями заболеваемости. Анализируются такие величины, как индекс контагиозности (среднее количество лиц к которым попадает возбудитель выделенный одним инфицированным, так, что это вызывает инфицирование восприимчивых), величина сезонного колебания активности механизма передачи, величина коллективного иммунного статуса и т. д. Эти показатели позволяют более прямым образом выйти на факторы риска. Во-вторых, использование математических моделей позволяет предсказывать результативность ранее не проводившихся мероприятий в беспрецедентно меняющихся условиях. В-третьих, использование этих методов для анализа позволяет получить теоретические результаты о системе «паразит-хозяин». Так, в данной работе были получены результаты, объясняющие, почему среди антропонозные инфекции с длительностью заболевания менее недели и напряженным пожизненным иммунитетом не могут в течении длительного времени постоянно циркулировать в популяциях.

2. Научная новизна

Простые имитационные модели системы «паразит-хозяин» были разработаны и проанализированы в середине двадцатого века, однако полученные в их рамках результаты оказались далекими от фактически наблюдаемых закономерностей эпидемического процесса.

В ходе накопления фактических данных, использования новых инструментальных методов и развития теории эпидемического процесса была создана необходимая научная база для построения реалистичных имитационных моделей. В значительной степени прогресс в области математического моделирования эпидемического процесса связан с проблемой распространения ВИЧ. В ходе таких исследований были построены достаточно реалистичные модели, учитывающие выраженную структуру групп риска ля ВИЧ-инфекции. Однако до настоящего момента большинство исследователей или стараются построить и проанализировать модель, описывающую эпидемический процесс конкретной инфекции в конкретных условиях, или исследуют общие закономерности достаточно простых моделей системы «паразит-хозяин». При этом из работ по исследованию моделей других систем взаимодействующих популяций известно, что некоторые, казалось бы, второстепенные модификации модели могут приводить к качественному изменению поведения модельной динамической системы.

В настоящей работе исследуется поведение системы «паразит-хозяин» в весьма общей постановке, которая ранее не рассматривалась. Во-первых, популяция хозяина предполагается состоящей из индивидов разного индивидуального риска инфицирования и разной заразности, во-вторых, популяция не обязательно полностью изолирована, и возможно инфицирование от внешнего источника (например, временно приезжающих членов других популяций), в третьих, и активность инфицирования внутри популяции, и активность инфицирования от внешних источников - не постоянна, а периодическая с периодом в один год.

Было доказано, что для стационарных условий рассматриваемая система «паразит-хозяин» имеет единственное стационарное экспоненциально устойчивое решение, являющееся глобальным аттрактором. Для достаточно малых колебаний то же справедливо и для периодических решений, однако получено, что при увеличении амплитуды колебаний периодическое решение с периодом, равным периоду колебаний констант, может потерять устойчивость и породить бифуркацию удвоения цикла. Кроме этого, могут существовать и дополнительные решения, например, с периодом, в три раза большим периода колебаний.

Кроме этого была рассмотрена стохастическая система «паразит-хозяин», учитывающая конечность популяции, с учетом возможной периодичности условий и внешнего притока. Для нее получены аналитические результаты и оценки параметров для получающихся распределений по заболеваемости и количеству инфицированных. При этом получено, что рассматриваемая система обладает выраженными случайными флюктуациями даже при очень больших размерах популяции. Более того, получено, что для достаточно быстрых инфекций даже многомиллионные популяции недостаточны, чтобы препятствовать разрушению системы вследствие флюктуации на ноль.

Это резко отличается от ситуации, обычной для задач исследования динамики, в которых даже для групп в несколько десятков особей случайные эффекты малосущественны.

На основании полученных результатов и моделей был предложен еще один метод анализа фактических данных о заболеваемости, позволяющий определить, являются ли отдельные случаи заболевания независимыми или нет, то есть не носит ли заболеваемость некоторых особенностей, характерных для инфекционной заболеваемости.

Для анализа коротких временных рядов обычно используют автокорреляционную функцию и другие аналогичные методы, но в данном случае ее применение осложняется тем, что случайные флюктуации инфекционной заболеваемости имеют разные направления связи на разных промежутках. На коротких промежутках эта связь положительна, так как увеличение заболеваемости в данный момент времени увеличивает ожидаемое количество тех, кто от них заразится. Однако на больших промежутках эта связь отрицательна, так как увеличение заболеваемости вызывает уменьшение доли восприимчивых, что влечет дальнейшее снижение уровня заболеваемости.

Использование ряда других методов, таких, как расчет старшего показателя Ляпунова, оценка эффективной размерности системы, показателя Херста и пр., затрудняется небольшой длиной имеющихся рядов. Поэтому была предложена «упрощенная» версия анализа подобных показателей, основанная на анализе изменения размахов при группировке.

3. Цель настоящей работы

Разработка и анализ набора математических моделей эпидемического процесса, расширяющих возможности ретроспективного эпидемиологического анализа.

4. Задачи настоящей работы

1. Разработка терминов и понятий, необходимых для построения математических моделей «паразит-хозяин» применительно к инфекционным болезням человека. Классификация моделей по исходным предположениям, их приложение к реальным задачам.

2. Построение и анализ модели «паразит-хозяин» для антропонозного заболевания в бесконечной популяции с учетом гетерогенности популяции хозяина по индивидуальному риску инфицирования и заразности, периодических изменений активности механизма передачи и не полной изолированности популяции.

3. Построение и анализ модели эпидемического процесса для заболеваний с контактным числом не более единицы в конечной популяции.

4. Построение и анализ модели эпидемического процесса антропонозного заболевания без выраженного постинфекционного иммунитета в конечной популяции с учетом сезонных изменений активности механизма передачи.

5. Построение и анализ модели эпидемического процесса антропонозного заболевания с иммунитетом в конечной популяции с учетом сезонных изменений активности механизма передачи.

6. Разработка методов анализа данных о заболеваемости на предмет выявления эпидемиологических особенностей, характерных для инфекционных заболеваний.

Основные результаты работы были доложены на заседании кафедры эпидемиологии ММА им. И.М. Сеченова от 15 декабря 2008 года.

Работа изложена на 266 страницах текста, состоит из введения, 4 глав, выводов, списка литературы из 252 источников (отечественных - 47, зарубежных - 205). Диссертация иллюстрирована 50 рисунками и 18 таблицами.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Герасимов, Андрей Николаевич

Выводы

1. Определены термины и понятия, необходимые для построения ряда математических моделей системы «паразит-хозяин».

2. Для модели системы «паразит-хозяин» в бесконечной системе, гетерогенной по индивидуальному риску инфицирования и заразности членов популяции хозяина и внешним притоком, доказано существование периодического решения в периодических решениях и то, что для достаточно малых колебаний это решение единственно, экспоненциально устойчиво и является глобальным аттрактором. Выведен критерий устойчивости периодического решения, найдено, что для достаточно больших периодических колебаний условий могут появляться дополнительные решения.

3. Для случая конечного количества инфицированных в бесконечно большой популяции в периодически изменяющихся условиях, что соответствует контактному числу со средним по периоду, равному единице для замкнутой популяции, или среднему контактному числу менее единицы при внешнем притоке инфицированных, получены уравнения динамики распределений и моментов. Для первого случая получена вероятность элиминации процесса, получены оценки характерного времени сосуществования разных клональных линий. Для второго случая получено существование предельных распределений, исследована их форма и моменты. На основании этого проанализировано, как определять достоверность различия заболеваемости в случае заболевания с контактным числом менее единицы и заносами возбудителя из внешних источников.

4. Построена и проанализирована модель системы «паразит-хозяин» в конечной популяции для инфекции без специфического постинфекционного иммунитета. Исследована применимость этой модели для анализа эпидемического процесса в малых обновляемых закрытых коллективах.

5. Построена модель конечной системы «паразит-хозяин» с внешним притоком в периодических условиях. Выведены уравнения динамики, получено предельное распределение для малых случайных флюктуаций и выведены критерии того, что они остаются малыми. Получены значения доверительных границ к заболеваемости.

6. Предложен новый метод анализа фактических данных о заболеваемости на пример проверки гипотезы о независимости отдельных случаев заболевания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование системы «паразит-хозяин» представляет интерес как с точки зрения математики, так как ее динамику описывает достаточно сложная нелинейная распределенная система, так и с точки зрения эпидемиологии, так как методы имитационного математического моделирования могут помочь пониманию закономерностей эпидемического процесса инфекционных заболеваний и прогнозировать эффективность противоэпидемических мероприятий.

В работе построен и проанализирован ряд моделей, значительно более сложных, чем в большинстве современных работ по этой теме, и учитывающих специфику реального эпидемического процесса. Получены аналитические и численные результаты относительно качественного и количественного поведения исследуемой системы, таких, как экспоненциальная устойчивость стационарного решения и то, что оно является глобальным аттрактором. Для системы в периодически меняющихся условиях получена потеря устойчивости и бифуркация основного решения, а также возникновение дополнительных решений. Для моделей системы конечной численности получены оценки параметров и времени до обнуления

На основании полученных закономерностей предложен ряд методик, расширяющих анализы традиционного ретроспективного эпидемиологического анализа.

Практическая значимость

На основе полученных результатов о закономерности динамики системы «паразит-хозяин» предложен ряд новых методов ретроспективного эпидемиологического анализа.

Полученные результаты имеют также интерес для развития математических методов анализа медико-биологических систем.

Некоторые результаты, полученные в ходе подготовки данной работы, используются в преподавании спецкурса «Математическое моделирование в экологии и медицине», который автор в течение более чем десяти лет ведет в МИФИ (технический университет).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Герасимов, Андрей Николаевич, 2009 год

1. Беляков В.Д., Герасимов А.Н., Кравцов Ю.В. Структура популяций возбудителей и механизмы развития эпидемического процесса // ЖМЭИ. 1993. № 1,6с.

2. Беляков В.Д., Герасимов А.Н., Кравцов Ю.В. Состояние и перспективы математического моделирования в эпидемиологии // ЖМЭИ. 1990. № 6, С.109-113

3. Беляков В.Д., Кравцов Ю.В., Герасимов А.Н. Математическая модель эпидемического процесса антропонозной инфекции при стабильных и однородных факторах // ЖМЭИ. 1991. № 3, С. 29-32

4. Боев Б. , Георгиев П., Ранчов Г., Романова И. Математическая модель прогнозирования заболевания СПИДом среди гетеросексуального населения Болгарии // Журн. Эпидемиол., микробиол. и инфекц. бол. (Болгария). 1992. №4. С. 36-45.

5. Брико Н. И., Отвагин С. А., Герасимов А.Н. Математическое моделирование с целью прогнозирования заболеваемости корью // Эпидемиология и инфекционные болезни. 2006. № 2. С. 15-19

6. Ганусов В. В., Брильков А. В., Печуркин Н. С. Популяционная динамика бактериальных плазмид // Матем. моделирование. 2001. Т. 13. № 1. С. 7798.

7. Герасимов А.Н. Математическое моделирование в биологии и медицине. Методические указания. М., МИФИ, 1998. 40С.

8. Герасимов А.Н. Математическое моделирование сезонности и многолетней цикличности // Сб. работ Бакинского медицинского института. Баку. 1990. Зс.

9. Герасимов А.Н. Медицинская статистика (учебное пособие) // М., Медицинское информационное агентство, 2007

10. Герасимов А.Н. О результатах математического моделирования эпидемического процесса с точки зрения эпидемиологии // Сб. работ Бакинского медицинского института. Баку. 1990. Зс.

11. Герасимов А.Н. О синхронности многолетней динамики заболеваемости // Вестник РАМН, 2004. № 7. С. 53-55

12. Герасимов А.Н., Разжевайкин В.Н. Устойчивость стационарных решений в модели распространения эпидемии, структурированной по восприимчивости // Труды Института системного анализа РАН. 2006. Т. 25. № 1. С. 276-284

13. Герасимов А.Н., Архипенко Ал.Ю. Влияние изменений в демографической структуре населения на заболеваемость антропонозными инфекциями // Вестник РАМН. 2001. № 1. С. 44-46

14. Герасимов А.Н., Бражников А.Ю. Имитационное математическое моделирование динамики инфекционной заболеваемости конечной популяции // Научная сессия МИФИ-98. М., МИФИ, 1998. С. 18-22

15. Герасимов А.Н., Шпитонков М.И. Заболеваемость гриппом и ее связь со смертностью населения // Труды Института системного анализа РАН.2007. Т. 31. № 1.С. 372-378

16. Демидова O.A., Разжевайкин В.Н. Моделирование эпидемического процесса в популяции, структурированной по факторам риска. // Матем. моделирование. 1977. Т. 9. № 9. С. 27-42

17. Ефремова С.С. Исследование устойчивости равновесного возрастного распределения в случае плотностно-зависимых рождаемости и смертности // Моделирование динамики популяций. Межвузовский сборник научных трудов. Горький, 1989. С. 17-25

18. Захарьянцева О.В., Крутько В.Н., Черкасский Б.Л. Система имитационных моделей эпидемического процесса на основе социально-экологической концепции // ЖМЭИ. 1994. № 3. С. 44-49 Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М. Мир. 1972

19. Клементьев A.A., Ступин А.Б. Математическая модель распространения одного вида инфекционного заболевания. // Математические модели в иммунологии и медицине. М., Мир. 1986. С. 237-242

20. Логофет Д. О. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной стадийной и возрастной структурами // Матем. моделирование. 2002. Т. 14. № 12. С. 11-22.

21. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии: лекции о моделях. М., Мир. 1983

22. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М., Наука, 3-е изд., 1991.

23. Мельниченко О. А. , Романюха А. А. Модель эпидемиологии туберкулеза. Анализ данных и оценка параметров // Матем. моделирование. 2008. Т. 20. № 8. С. 107-128.

24. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М., Высшая школа. 1995

25. Перминов В. Д. , Саранча Д. А. Об одном подходе к решению задач популяционной экологии // Матем. моделирование. 2003. Т. 15. № 11. С. 121-128.

26. Перминов В. Д. ,Корнилина М. А. Индивидуум-ориентированная модель распространения эпидемии в городских условиях // Матем. моделирование. 2007. Т. 19. № 5. С. 116-127.

27. Покровский В.И. Инфекционные болезни и эпидемиология. М., Гэотар, Медицина. 2002

28. Полибин Р.В., Миндлина А.Я., Мачуленко H.H. Герасимов А.Н. Эпидемиологическая эффективность и экономическая целесообразность иммунопрофилактики гепатита А // Эпидемиология и инфекционные болезни 2009. Том 1. С. 14-18

29. Разжевайкин В.Н. О финитной устойчивости для уравнения неоднородной диффузии с нелинейным источником (к моделированию пространственной динамики популяции) // Моделирование динамикипопуляций. Межвузовский сборник научных трудов. Горький, 1989. С. 70-83

30. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Том 1. М., Мир. 1982

31. Ряпис Л.А., Вострова Е.И., Герасимов А.Н. и др. Изменчивость популяции "Pseudomonas aerudinosa" в фазе паразитизма на "Tetrachimena pyriformis" // ЖМЭИ. 1993. N 5, С. 32-35

32. Татанов Ж.С. О математическом моделировании и ЭВМ в эпидемиологии. // Вопросы инфекционной патологии, Алма-Ата, 1990. С. 70-73

33. Фаворова Л.А., Шатров И.И. О рациональных основах сотрудничества эпидемиологов и математиков // ЖМЭИ. 1977. №10. С. 24-29

34. Agiza H.N., Ahmed Е. On modeling epidemics Including latency, incubation and variable susceptibility // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1998. Vol. 253. № 1-4. P. 347-352.

35. Ahmed E., Hegazi A.S., Elgazzar A.S. An epidemic model on small-world networks and ring vaccination // International Journal of Modern Physics C. 2002. Vol. 13. P. 189-198.

36. Aiello O.E., Haas Y.J., daSilva M.A.A., Caliri A. Solution of deterministic-stochastic epidemic models by dynamical Monte Carlo method // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2000. Vol. 282. № 3-4. P. 546-558.

37. Andersson H, Britton T. Stochastic epidemics in dynamic populations: quasi-stationarity and extinction // Journal of Mathematical Biology. 2000. Vol. 41. № 6. P. 559-580.

38. Anderson R.M., May R.M. Infectious disease of humans and control. Oxford University Press. Oxford . 1991.

39. Anderson R.M., May R.M. Regulation and stability of host-parasite population interactions // J. Anim. Ecol. 1978. Vol. 47. P. 219-247.

40. Aparicio J.P., Capurro A.F., Castillo-Chaves C. Markers of Disease Evolution: The Case of Tuberculosis // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 215. № 2. P. 227-237.

41. Arrigoni F., Pugliese A. Limits of a multi-patch SIS epidemic model // Journal of Mathematical Biology. 2002. Vol. 45. № 5. P. 419-440.

42. Bailey N.T.J. Introduction to the modeling of venereal disease // J. Math. Biol. 1979. Vol. 8. P. 301-322.

43. Bailey N.T.J. A simple stochastic epidemic // Biometrika . 1950. Vol. 37. P. 139-202.

44. Ball F.G., Lyne O.D. Optimal vaccination policies for stochasric epidemics among a population of households // Math. Biosci. 2002. Vol. 177-178. P. 333354.

45. Ball F.G., Mollison D., Scalia-Tomba G. Epidemics in populations with two levels of mixing // Ann. Appl. Prob. 1997. Vol. 7. P. 46-89.

46. Ball F.G. Stochastic and deterministic models for SIS epidemics among a population partitioned into households // Math. Biosc. 1999. Vol. 156. P. 4167.

47. Ball F.G., O'Neill P.D. The distribution of general final state random variables for stochastic epidemic models // J. Appl. Prob. 1999. Vol. 36. P. 473-491.

48. Barbour A.D., Heesterbeek J.A.P., Luchsinger C.J. Thresholds and initial growth rates in a model of parasitic infection // Ann. of Appl. Prob. 1996. Vol. 6. №4. P. 1045-1074.

49. Beretta E., Solimano F., Takeuchi Y. Negative criteria for the existence of periodic solutions in a class of delay-differential equations // Nonlinear Analysis. 2002. Vol. 50. № 7. P. 941-966.

50. Beretta E., Takeuchi Y. Global stability of an SIR epidemic model with time delays // J. Math. Biol. 1995. Vol. 33. P. 250-260.

51. Beretta E., Hara T., Ma W., Takeuchi Y. Global asymptotic stability of an SIR epidemic model with distributed time delay // Nonlinear Analysis. 2001. Vol. 47. №6. P. 4107-4115.

52. Beretta E., Takeuchi Y. Convergence results in SIR epidemic models with varying population sizes // Nonlinear Analysis. 1997. Vol. 28. № 12. P. 19091921.

53. Bernstein C., Auger P., Poggiale J.-C. Predator migration decisions, the ideal free distribution and prey-predator dynamics // Am.Nat. 1998. Vol. 153. P. 267-281.

54. Billings L., Spears W.M., Schwartz I.B. A unified prediction of computer virus spread in connected networks // Physics Letters A. 2002. Vol. 297. № 3-4. P. 261-266.

55. Bolker B.M., Grenfell B.T. Space, persistence and dynamics of measles epidemics // Phil. Trans. R. Soc. Lond. B. 1995. Vol. 349. P. 309-320.

56. Boots M. A general host-pathogen model with free-living infective stages and differing rates of uptake of the infective stages by infected and susceptible hosts // Population Ecology. 1999. Vol. 41. № 2. P. 189-194.

57. Boots M., Haraguchi Y. The evolution of costly resistance in host-parasite systems // Am. Nat. 1999. Vol. 153. P. 359-370.

58. Boots M., Sasaki A. Small worlds and the evolution of virulence ¡Infection occurs locally and at a distance // Proc.R.Soc. Lond.B. 1999. Vol. 266. P. 1933-1938.

59. Busenberg S., Iannelli M., Thieme H. Global behavior of an age-structured epidemic model // SIAM J. Math. Anal. 1991. Vol. 22. № 4. P. 1065-1080.

60. Caley P., Ramsey D. Estimating disease transmission in wildlife, with emphasis on leptospirosis and bovine tuberculosis in possums, and effects of fertility control // Journal of Applied Ecology. 2001. Vol. 38. № 6. P. 13621370.

61. Castillo-Chavez C., Huang W., Jia L. Competitive exclusion in gonorrhea models and other sexually transmitted disease // SIAM J. Appl. Math. 1996. Vol. 56. № 2. P. 494-508.

62. Castillo-Chavez C., Hethcote H.W., Andreasen V., Levin S.A., Liu W.M. Epidemiological models with age structure, proportionate mixing and cross-immunity // J. Math. Biol. 1989. Vol. 27. P. 233-258.

63. Cha Y., Iannelli M., Milner E. Existence and unigueness of epidemic states for the age-structured SIR epidemic model // Mathematical Biosciences. 1998. Vol. 150. P. 177-190.

64. Charles S., Morand S., Chasse J.L., Auger P. Host Patch Selection Induced by Parasitism: Basic Reproduction Ratio R0 and Optimal Virulence // Theoretical Population Biology. 2002. Vol. 62. № 2. P. 97-109.

65. Chattopadhyay J., Arino O. A predator-prey model with disease in the prey // Nonlinear Analysis. 1999. Vol. 36. P. 747-766.

66. Chattopadhyay J., Sarkar R.R., Ghosal G. Removal of infected prey prevent limit cycle oscillations in an infected prey-predator system-a mathematical study // Ecological Modelling. 2002. Vol. 156. 2-3. P. 113-121.

67. Chattopadhyay J., Pal S. Viral infection on phytoplankton-zooplankton system-a mathematical model // Ecological Modelling. 2002. Vol. 151. № 1. P. 15-28.

68. Chattopadhyay J., Mukhopadhyay A., Roy P.K. Effect of viral infection on the generalized Gause model of predator-prey system // Journal of Biological Systems. 2003. Vol. 11. № 1. P. 19-26.

69. Chick S.E., Koopman J.S., Soorapanth S., Brown M.E. Infection transmission system models for microbial risk assessment // The Science of the Total Environment. 2001. Vol. 274. № 1-3. P. 197-207.

70. Chick S.E., Adams A., Koopman J.S. Analysis and simulation of a stochastic, discrete-individual model of STD transmission with partnership concurrency // Math Biosci. 2000. Vol. 166. № 1. P. 45-68.

71. Clancy D. Optimal intervention for epidemic models with general infection and removal rate functions // Journal of Mathematical Biology. 1999. Vol. 39. № 4. P. 309-331.

72. Clancy D., O'Neill P.D., Pollett P.K. Approximations for the Long-Term Behavior of an Open-Population Epidemic Model // Methodology and Computing in Applied Probability. 2001. Vol. 3. № 1. P. 75-95.

73. Commenges D. Multi-state Models in Epidemiology // Lifetime Data Analysis. 1999. Vol. 5. № 4. P. 315-327.

74. Cooke K.L., van den Driessche P. Analysis of an SEIRS epidemic model with two delays // Journal of Mathematical Biology. 1996. Vol. 35. № 2. P. 240260.

75. Davies C.M., Webster J.P., Woolhouse M.E.J. Trade-offs in the evolution of virulence in an indirectly transmitted macroparasite // Proc. R. Soc. Lond. B . 2001. Vol. 268. P. 251-257.

76. Dawes J.H.P., Gog J.R. The onset of oscillatory dynamics in models of multiple disease strains // Journal of Mathematical Biology. 2002. Vol. 45. № 6. P. 471-510.

77. Day N.E., Angelis D.D., Gilks W.R. Bayesian conditional-independence modeling of the AIDS epidemic in England and Wales // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1999. Vol. 133. № 1-4. p. 145-151.

78. Day T. The Evolution of Virulence in Vector-Borne and Directly Transmitted Parasites // Theoretical Population Biology. 2002. Vol. 62. № 2. P. 199-213.

79. Day T. Parasite transmission modes and the evolution of virulence // Evolution .2001. Vol. 55. P. 2389-2400.

80. Derrick W.R., van den Driessche P. A disease transmission model in a non-constant population // J. Math. Biol. 1993. Vol. 31. P. 495-512.

81. Deuffic-Burban S., Poynard T., Valleron A.-J Quantification of fibrosis progression in patients with chronic hepatitis C using a Markov model // Journal of Viral Hepatitis. 2002. Vol. 9. № 2. P. 114-122.

82. Diekmann O. Limiting behaviour in an epidemic model // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1997. Vol. 5. № 1. P. 459-470.

83. Diekmann O., Heestbeek J.A.P. Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases. Wiley. Chichester. 2000.

84. Duncan C.J., Duncan S.R., Scott S. Oscillatory dynamics of small-pox and the impact of vaccination // Journal of Theoretical Biology. 1996. Vol. 183. P. 447-454.

85. Duncan C.J., Duncan S.R., Scott S. Modelling the dynamics of scarlet fever epidemics in the 19th century // European Journal of Epidemiology. 2000. Vol. 16. №7. P. 619-626.

86. Earn D.J.D., Rohani P., Bolker B.M., Grenfell B.T. A simple model for complex dynamical transitions in epidemics // Science . 2000. Vol. 287. P. 667-670.

87. Earn D.J.D., Rohani P., Grenfell B.T. Persistence, chaos and synchrony in ecology and epidemiology // R. Soc. London B . 1998. Vol. 265. P. 7-10.

88. Ebert D., Weisser W.W. Optimal killing for obligate killers:The evolution oflife histories and virulence in semelparous parasites // Proc.R.Soc.Lond B. 1997. Vol. 264. P. 985-991.

89. El-Doma M. Analysis of an age-dependent SIS epidemic model with vertical transmission and proportionate mixing assumption // Mathematical and Computer Modelling. 1999. Vol. 29. P. 31-43.

90. El-Gohary A., Bukhari F.A. Optimal stabilization of steady-states of the genital herpes epidemic during infinite and finite time intervals // Applied Mathematics and Computation. 2003. Vol. 137. № 1. p. 33-47.

91. Etienne R.S., Nagelkerke C.J. Non-equilibria in Small Metapopulations: Comparing the Deterministic Levins Model with its Stochastic Counterpart // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 219. № 4. P. 463-478.

92. Feng Z., Velasco-Hernandez J.X. Competitive exclusion in a vector-host model for the dengue fever // Journal of Mathematical Biology. 1997. Vol. 35. № 5. P. 523-544.

93. Fierro R. Large-sample analysis for a stochastic epidemic model and its parameter estimators // Journal of Mathematical Biology. 1996. Vol. 34. № 8. P. 843-856.

94. Filipe J.A.N. Hybrid closure-approximation to epidemic models // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1999. Vol. 266. № 1-4. P. 238-241.

95. Fitzgibbon W.E., Parrott M.E., Webb G.F. Diffusion epidemic models with incubation and crissross dynamics // Mathematical Biosciences. 1995. Vol. 128. P. 131-155.

96. Frydman H. Semi-parametric estimation in a three-state duration-dependent Markov model from interval-censored observations with application to AIDS // Biometrics. 1995. Vol. 51. P. 502-511.

97. Gandon S., Jansen V.A.A., van Baalen M. . Host life-history and the evolution of parasite virulence // Evolution .2001. Vol. 55. P. 1056-1062.

98. Gao L.Q., Mena-Lorca J., Hethcote H.W. Four SEI endemic models with periodicity and separatrices // Math. Biosci. 1995. Vol. 128. P. 157-184.

99. Garuz R., Torrea J.L., Arnal J.M., Forcen T., Trinxet C., Anton F., Antonanzas F. Vaccination against hepatitis B virus in Spain: a cost-effectiveness analysis //Vaccine. 1997. Vol. 15. № 15. P. 1652-1660.

100. Gentleman R.C., Lawless J.F., Lindsey J.C., Yan P. Multi-state Markov models for analysing incomplete disease history data with illustrations for HIV disease//Stat Med. 1994. Vol. 13. P. 805-821.

101. Ghosh A.K., Chattopadhyay J., Tapaswi P.K. Immunity boosted by low level of exposure to infection in an SIRS model // Ecological Modelling. 1996. Vol. 87. № 1-3. P. 227-233.

102. Gibson G.J., Renshaw E. Likelihood estimation for stochastic compartmental models using Markov chain methods // Statistics and Computing. 2001. Vol. 11. №4. P. 347-358.

103. Gibson G.J., Gilligan C., Kleczkowski A. Predicting variability in biological control of a plant-pathogen system using stochastic models // Proc. Roy. Soc. B . 1999. Vol. 266. P. 1743-1753.

104. Gibson G.J. Markov chain Monte Carlo methods for fitting spatio-temporal stochastic models in plant epidemiology // Appl. Stat. . 1998. Vol. 46. P. 215233.

105. Gielen J.L.W. A stochastic model for epidemics based on the renewal equation // Journal of Biological Systems. 2000. Vol. 8. № 1. P. 1-20.

106. Gilchrist M.A., Sasaki A. Modeling Host-Parasite Coevolution: A Nested Approach Based on Mechanistic Models // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 218. № 3. P. 289-308.

107. Glendinning P., Perry L.P. Melnikov analysis of chaos in a simple epidemiological model // Journal of Mathematical Biology. 1997. Vol. 35. № 3. P. 359-373.

108. Gravenor M.B., English M., Kwiatkowski D., Lloyd A.L., Kremsner P.G., Marsh K. A Model for Estimating Total Parasite Load in Falciparum Malaria Patients // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 217. № 2. P. 137-148.

109. Gravenor M. B., van Hensbroek B., Kwiatkowski D. Estimating sequestered parasite population dynamics in cerebral malaria // Proc. Natl Acad. Sci. . 1998. Vol. 95. P. 7620-7624.

110. Greenhalgd D., Das R. Modeling epidemics with variable contact rates // Theor. Popul. Biol. 1995. Vol. 47. P. 129-179.

111. Griffiths J., Lowrie D., Williams J. An age-structured model for the AIDS epidemic // European Journal of Operational Research. 2000. Vol. 124. № 1. P. 1-14.

112. Grimm V., Railsback S. F. Individual-based Modeling and Ecology. Princeton University Press, Princeton and Oxford. 2005.

113. Gubbins S., Gilligan C.A. Persistence of host-parasite interactions in a disturbed environment//J. Theor. Biol. 1997. Vol. 188. P. 241-258.

114. Gumel A.B., Twizell E.H., Yu P. Numerical and bifurcation analyses for a population model of HIV chemotherapy // Mathematics and Computers in Simulation. 2000. Vol. 54. № 1-3. P. 169-181.

115. Gumel A.B., Shivakumar P.N., Sahai B.M. A mathematical model for the dynamics of HIV-1 during the typical course of infection // Nonlinear Analysis. 2001. Vol. 47. № 3. P. 1773-1783.

116. Gupta S., Anderson R.M., May R.M. Mathematical models and the design of public health policy: HIV and anti-viral therapy // SIAM Rev. 1993. Vol. 35. № l.P. 1-16.

117. Hadeler K.P., Freedman H.I. Predator-prey population with parasite infection // J. Math. Biol. 1989. Vol. 27. P. 609-631.

118. Hadeler K.P., Dietz K. Population dynamics of killing parasites which reproduce in the host // J. Math. Biol. 1984. Vol. 21. P. 45-46.

119. Hainzl J. Multiparameter bifurcation of a predator-prey system // SIAM J. Math. Anal. 1992. Vol. 23. P. 150-180.

120. Hamaya Y. On the asymptotic behavior of a diffusive epidemic model (AIDS) //Nonlinear Analysis. 1999. Vol. 36. № 6. P. 685-595.

121. Hastings A., Harrison S., McCann K. Unexpected spatial patterns in an insect outbreak match a predator diffusion model // Proc. R. Soc. Lond. B . 1997. Vol. 264. P. 1837-1840.

122. Heesterbeek J.A.P., Dietz K. The concept of R0 in epidemic theory // Stat. Neerland. 1996. Vol. 50. P. 89-110.

123. Helali N., Rezig B. Fractal growth by local sensitive epidemic model (LSEM) simulating the internal feeding systems (IFS) // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2001. Vol. 292. № 1-4. P. 26-42.

124. Herbert J., Isham V. Stochastic host-parasite interaction models // Journal of Mathematical Biology. 2000. Vol. 40. № 4. P. 343-371.

125. Hernandez-Suarez C.M. A Markov Chain Approach to Calculate R0 in Stochastic Epidemic Models // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 215. № l.P. 83-93.

126. Hethcote H.W., van den Driessche P. An SIS epidemic model with variable population size and a delay // J. Math. Biol. 1995. Vol. 34. P. 177-194.

127. Hochberg M.E., Michalakis Y., de Meeus G17T. Parasitism as a constraint on the rate of life-history evolution // Journal of Evolutionary Biology. 1992. Vol. 5. № 3. P. 491-504.

128. Hoshen M.B., Heinrich R., Stein W. D., Ginsburg H. Mathematical modelling of the within-host dynamics of Plasmodium falciparum // Parasitology . 2000. Vol. 121. P. 227-235.

129. Huang W., Cooke K.L., Castillo-Chavez C. Stability and bifurcation for a multiple-group model for the dynamics of HIV/AIDS transmission // SIAM Journal of Applied Math. 1992. Vol. 52. P. 835-854.

130. Hyman J.M., Li J. Disease transmission models with biased partnership selection // Applied Numerical Mathematics. 1997. Vol. 24. № 2-3. P. 379392.

131. Hyman J.M., Li J. Behavior changes in SIS STD models with selective mixing // SIAM J. Appl. Math. 1997. Vol. 57. P. 1082-1094.

132. Iannelli M., Kim M.-Y., Park E.-J. Splitting methods for the numerical approximation of some models of age-structured population dynamics and epidemiology // Applied Mathematics and Computation. 1997. Vol. 87. № 1. P. 69-93.

133. Iannelli M., Milner F., Pugliese A. Analytical and numerical results for the age-structured S-I-S epidemic model with mixed inter-intracohort transmission // SIAM J. Math. Anal. 1992. Vol. 23. № 3. P. 662-688.

134. Iannelli M., Kim M.-Y., Park E.J. Asymptotic behavior for an SIS epidemic model and its approximation // Nonlinear Analysis. 1997. Vol. 35. P. 797-814.

135. Jansen H., Twizell E.H. An unconditionally convergent discretization of the SEIR model // Mathematics and Computers in Simulation. 2002. Vol. 58. № 2. P. 147-158.

136. Jeger M.J. Asymptotic behaviour and threshold criteria in model plant disease epidemics. // Plant Pathol. 1986. Vol. 35. P. 355-361.

137. Kamo M., Sasaki A. The effect of cross-immunity and seasonal forcing in a multi-strain epidemic model // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2002. Vol. 165. №3-4. P. 228-241.

138. Kean J.M., Barlow N.D. Simple models for the impact of rabbit calicivirus disease (RCD) on Australasian rabbits // Ecological Modelling. 1998. Vol. 109. №3.P. 225-241.

139. Keeling M.J., Rohani P., Grenfell B.T. Seasonally forced disease dynamics explored as switching between attractors // Physica D . 2001. Vol. 148. № . P. 317-335.

140. Keeling M.J., Grenfell B.T. Individual-based perspectives on R0 // J.Theor.Biol. 2000. Vol. 203. P. 51-61.

141. Kermack W.O., McKendrick A.G. A contribution to the mathematical theory of epidemics //Proc. Royal Soc. London Ser. A. 1927. Vol. 115. P. 700-721.

142. Kleczkowski A., Grenfell B.T. Mean-field-type equations for spread of epidemics: the 'small world' model // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1999. Vol. 274. № 1-2. P. 355-360.

143. Koella J.C., Doebeli M. Population dynamics and the evolution of virulence in epidemiological models with discrete host generations // J. Theor. Biol. 1999. Vol. 198. P. 461-475.

144. Kubo M., Langlais M. Periodic solutions for a population dynamics problem with age dependence and spatial structure // J. Math. Biol. 1991. Vol. 29. P. 363-378.

145. Kuznetsov Yu.A., Piccardi C. Bifurcation analysis of periodic SEIR and SIR epidemic models // J. Math. Biol. 1994. Vol. 32. P. 109-121.

146. R. Lampe, J. Dunyak, C. Martin Analysis of the influence of social structure on a measles epidemic // Applied Mathematics and Computation. 1998. Vol. 92. № 2/3. P. 283-296.

147. Lefevre C., Utev S. Branching Approximation for the Collective Epidemic Model // Methodology and Computing in Applied Probability. 1999. Vol. 1. № 2. P. 211-228.

148. Lenski R.E., May R.M. The evolution of virulence in parasites and pathogens: reconciliation between two competing hypotheses // J. Theor. Biol. 1994. Vol. 169. P. 253-265.

149. Leung B., Grenfell B.T. A spatial stochastic model simulating a scabies epidemic and coyote population dynamics // Ecological Modelling. 2003. Vol. 166. № 1-2. P. 41-52.

150. Leung B., Forbes M.R. The evolution of virulence: a stochastic simulation model examining parasitism at individual and population levels // Evol. Ecol. . 1998. Vol. 12. P. 165-177.

151. Li M.Y., Smith H.L., Wang L. Global dynamics of a SEIR epidemic model with vertical transmission // SIAM J. Appl. Math. 2002. Vol. 62. P. 58-69.

152. Li X.-Z., Gupur G., Zhu G.-T. Threshold and Stability Results for an Age-Structured SEIR Epidemic Model // Computers & Mathematics with Applications. 2001. Vol. 42. № 6-7. P. 883-907.

153. Lipsitch M., Nowak M.A. The evolution of virulence in sexually transmitted HIV/AIDS // Journal of Theoretical Biology .1995. Vol. 174. P. 427-440.

154. Liu W., Levin S.A., Iwasa Y. Influence of nonlinear incidence rates upon the behaviour of SIRS epidemiological models // Journal of Mathematical Biology. 1986. Vol. 23. № 2. P. 187-204.

155. Lively C.M., Howard R.S. Selection by parasites for clonal diversity and mixed mating // Proc. R. Soc. London B. 1994. Vol. 35. № 1. P. 21-36.

156. Lizana M., Rivero J. Multiparametric bifurcation for a model in epidemiology. // J. Math. Biol. 1994. Vol. 346. P. 271-280.

157. Lloyd A.L. Destabilization of epidemic models with the inclusion of more realistic distributions of infectious periods // Proc. R. Soc. London B. 2001. Vol. 268. P. 985-883.

158. Longini I. M., Halloran M.E., Nizam A., Yang Y. Containing pandemic influenza with antiviral agents // American Journal of Epidemiology. 2004. Vol. 159. P. 623-633.

159. Lopez L.F., Coutinho F.A.B. On the uniqueness of the positive solution of an integral equation which appears in epidemiological models // Journal of Mathematical Biology. 2000. Vol. 40. № 3. P. 199-228.

160. Lord C.C., Woolhouse M.E.J., Mellor P.S. Simulation studies of vaccination strategies in African horse sickness // Vaccine. 1997. Vol. 15. № 5. P. 519-524.

161. Luchsinger C.J. Approximating the long-term behaviour of a model for parasitic infection // Journal of Mathematical Biology. 2001. Vol. 42. № 6. P. 555-581.

162. Luchsinger C.J. Stochastic models of a parasitic infection, exhibiting three basic reproduction ratios // Journal of Mathematical Biology. 2001. Vol. 42. № 6. P. 532-554.

163. Mackinnon M.J., Read A.F. Genetic relationships between parasite virulence and transmission in the rodent malaria Plasmodium chabaudi // Evolution. 1999. Vol. 53. № 2. P. 689-703.

164. Martin C.F., Allen L.J.S., Stamp M. Urn Model Simulations of a Sexually Transmitted Disease Epidemic // Applied Mathematics and Computation. 1995. Vol. 71. № 2-3. P. 179-199.

165. Martinet-Edelist C. Dynamical Behaviour of Viral Cycle and Identification of Steady States // Acta Biotheoretica. 1999. Vol. 47. № 3/4. P. 267-280.

166. Mckendrick A. Applications of mathematics to medical problems. // Proc. Edinburg Math. Soc. 1926. Vol. 44. P. 98-130.

167. Mena-Lorca J., Hethcote H.W. Dynamic models of infectious diseases as regulators of population sizes // J. Math. Biol. 1992. Vol. 30. P. 693-716.

168. Mendez V., Fort J. Dynamical evolution of discrete epidemic models // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2000. Vol. 284. № 1-4. p. 309317.

169. Michalski J., Poggiale J.-C., Arditi R., Auger P.M. Macroscopic dynamics effects of migrations in patchy-predator prey systems // J.Theor.Biol. 1997. Vol. 185. P. 459-474.

170. Mi-Young K. Existence of Steady State Solutions to an Epidemic Model with Screening and Their Asymptotic Stability // Applied Mathematics and Computation. 1996. Vol. 74. № 1. P. 37-58.

171. Moghadas S.M. Two core group models for sexual transmission of disease // Ecological Modelling. 2002. Vol. 148. № 1. P. 15-26.

172. Moghadas S.M., Gumel A.B. Global stability of a two-stage epidemic model with generalized non-linear incidence // Mathematics and Computers in Simulation. 2002. Vol. 60. № 1-2. P. 107-118.

173. Moghadas S.M. Two core group models for sexual transmission of disease // Ecol. Modelling. 2002. Vol. 148. № 1. p. 15-26.

174. Moreno Y., Vazquez A. Disease spreading in structured scale-free networks // The European Physical Journal B. 2003. Vol. 31. № 2. P. 265-271.

175. Muller J., Schonfisch B., Kirkilionis M. Ring vaccination // Journal of Mathematical Biology. 2000. Vol. 41. № 2. P. 143-171.

176. Muller J. Scaling Methods and Approximative Equations for Homogeneous Reaction-Diffusion Systems and Applications to Epidemics // Journal of Nonlinear Science. 1999. Vol. 9. № 2. P. 149-168.

177. Murray A.G., O'Callaghan M., Jones B. A model of transmission of a viral epidemic among schools within a shoal of pilchards // Ecological Modelling. 2001. Vol. 144. № 2-3. P. 245-259.

178. O'Callaghan M., Murray A.G. A tractable deterministic model with realistic latent period for an epidemic in a linear habitat // Journal of Mathematical Biology. 2002. Vol. 44. № 3. P. 227-251.

179. O'Neill P.D. Perfect simulation for Reed-Frost epidemic models // Statistics and Computing. 2003. Vol. 13. № 1. P. 37-44.

180. O'Neill P.D., Balding D.J., Becker N.G., Eerola M., Mollison D. Analyses of infectious disease data from household out-breaks by Markov Chain Monte Carlo methods // Appl. Stat. 2000. Vol. 49. P. 517-542.

181. O'Neill P.D., Becker N.G. Bayesian inference for partially observed stochastic epidemics //J. Roy. Stat. Soc. A. 1999. Vol. 162. P. 121-129.

182. Oxman L., Smolkowski K., Noell J. Mathematical modelling of epidemic syphilis transmission // Sex. Transm. Dis. 1996. Vol. 23. № 1. P. 30-39.

183. Park A.W., Gubbins S., Gilligan C.A. Extinction times for closed epidemics: the effects of host spatial structure // Ecology Letters. 2002. Vol. 5. P. 747-755.

184. Park E.-J., Kim M.-Y. Characteristic finite element methods for diffusion epidemic models with age-structured populations // Applied Mathematics and Computation. 1998. Vol. 97. № 1. P. 55-70.

185. Park E.-J., Kim M.-Y., Iannelli M. Asymptotic behavior for an SIS epidemic model and its approximation // Nonlinear Analysis. 1999. Vol. 35. № 7. P. 797-814.

186. Pierre P. Invasion and persistence of plant parasites in a spatially structured host population // Oikos. 2001. Vol. 94. № 1. P. 162-174.

187. Pound G.E., Doncaster C.P., Cox S.J. HIV Coreceptor Usage and Drug Treatment // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 217. № 4. P. 535-545.

188. Pound G.E., Doncaster C.P., Cox S.J. A Lotka-Volterra Model of Coexistence between a Sexual Population and Multiple Asexual Clones // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 215. № 1. P. 535-545.

189. Pourabbas E., d'Onofrio A., Rafanelli M. A method to estimate the incidence of communicable diseases under seasonal fluctuations with application to cholera // Applied Mathematics and Computation. 2001. Vol. 118. № 2-3. P. 161-174.

190. Restif O., Hochberg M.E., Koella J.C. Virulence and age at reproduction: new insights into host-parasite coevolution // Journal of Evolutionary Biology. 2001. Vol. 14. № 6. P. 967-979.

191. Rhodes C.J., Anderson R.M. Dynamics in a lattice epidemic model // Physics Letters A. 1996. Vol. 210. № 3. P. 183-188.

192. Ridler-Rowe C.J. On a stochastic model of an epidemic // J.Appl. Prob. 1967. Vol. 4. P. 19-33.

193. Rinaldo B.S. Prey-predator and host-parasite spatial stochastic model // Ann. Appl. Probab. 1997. Vol. 7. № 1. P. 37865.

194. Rinaldo B.S. A complete convergence theorem for an epidemic model // J. Appl. Probab. 1996. Vol. 33. P. 741-748.

195. Roberts M.G., Kao R.R. Quarantine-Based Disease Control in Domesticated Animal Herds // Applied Mathematics Letters. 1998. Vol. 11. № 4. P. 115-120.

196. Roberts M.G., Jowett J. An SEI model with density dependent demographics and epidemiology // IMA J. Math. Appl. Med. Biol. 1996. Vol. 13. P. 245-257.

197. Rossi V., Racca P., Giosue S., Pancaldi D., Alberti I. A simulation model for the development of brown rust epidemics in winter wheat // European Journal of Plant Pathology. 1997. Vol. 103. № 5. P. 453-465.

198. Rousseau G., Giorgini B., Livi R., Chate H. Dynamical phases in a cellular automaton model for epidemic propagation // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1997. Vol. 103. № 1-4. P. 554-563.

199. Saha A.K., Roberts M.G. The Asymptotic Behaviour of a Logistic Epidemic Model with Stochastic Disease Transmission // Applied Mathematics Letters. 1999. Vol. 12. № l.P. 37-41.

200. Sander L.M., Warren C.P., Sokolov I.M. Epidemics, disorder, and percolation // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2003. Vol. 325. № 12. P. 1-8.

201. Sarno Z.A.D., Forlani G. Seasonal dynamics in the abundance of Micromonus pusilla (Prasinophyceae) and its viruses in the Gulf of Naples (Mediterranean Sea) // J. Plankton. Res. 1999. Vol. 21. № . P. 2143-2159.

202. Sasaki A. Host parasite coevolution in a multi-locus gene-for-gene system // Proc. R. Soc. London B . 2000. Vol. 267. № . P. 2183-2188.

203. Sattenspiel L., Dietz K. A structured epidemic model incoporarting geographic mobility among regions // Mathematical Biosciences . 1995. Vol. 128. № . P. 71-91.

204. Scherm H. On the velocity of epidemic waves in model plant disease epidemics //Ecological Modelling. 1996. Vol. 87. 1-3. P. 217-222.

205. Schinazi R. On an interacting particle system modeling an epidemic // Journal of Mathematical Biology. 1996. Vol. 34. № 8. P. 915-925.

206. Schofield P. Spatially Explicit Models of Turelli-Hoffmann Wolbachia Invasive Wave Fronts // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 215. № 1. P. 121-131.

207. Schulgen G., Schumacher M. Estimation of Prolongation of Hospital Stay Attributable to Nosocomial Infections: New Approaches Based on Multistate Models // Lifetime Data Analysis. 1996. Vol. 2. № 3. p. 219-240.

208. Schwartz I.B., Smith H.L. Infinite subharmonic bifurcation in an SEIR epidemic model // J. Math. Biol. 1983. Vol. 18. P. 233-253.

209. Simwa R.O., Pokhariyal G.P. A dynamical model for stage-specific HIV incidences with application to sub-Saharan Africa // Applied Mathematics and Computation. 2003. Vol. 146. № 1. P. 93-104.

210. Sirakoulis G.C., Karafyllidis I., Thanailakis A. A cellular automaton model for the effects of population movement and vaccination on epidemic propagation // Ecological Modelling. 2000. Vol. 133. № 3. P. 209-223.

211. Smith G.C., Cheeseman C.L. A mathematical model for the control of diseases in wildlife populations: culling, vaccination and fertility control // Ecological Modelling. 2002. Vol. 150. № 1-2. P. 43-53.

212. Smith H.L. Subharmonic bifurcation in a S-I-R epidemic model // J. Math. Biol. 1983. Vol. 17. P. 163-177.

213. Smith R.H., Mead R. Age structure and stability in models of prey-predator systems // Theor. Pop. Biol. 1974. Vol. 6. P. 308-322.

214. Snow L.C., Michael E. Transmission dynamics of lymphatic filariasis: density-dependence in the uptake of Wuchereria bancrofti microfilariae by vector mosquitoes // Medical & Veterinary Entomology. 2002. Vol. 16. № 4. P. 409423.

215. Strain M.C., Richman D.D., Wong J.K., Levine H. Spatiotemporal Dynamics of HIV Propagation // Journal of Theoretical Biology. 2002. Vol. 218. № 1. P. 85-96.

216. Suttle C., Charm A., Cottrell M. Infection of phytoplankton by viruses and reduction of primary productivity // Nature . 1990. Vol. 347. № . P. 467-469.

217. Takeuchi Y., Ma W., Beretta E. Global asymptotic properties of a delay SIR epidemic model with finite incubation times // Nonlinear Analysis. 2000. Vol. 42. №6. P. 931-947.

218. Tan Z.-J., Long C., Zou X.-W., Zhang W., Jin Z.-Z. Epidemic spreading in percolation worlds // Physics Letters A. 2002. Vol. 300. № 2-3. P. 317-323.

219. Tapaswi P.K., Chattopadhyay J. Global stability results of a "susceptible-infective-immune-susceptible" (SIRS) epidemic model // Ecological Modelling. 1996. Vol. 87. № 1-3. P. 223-226.

220. Vandewalle N., Ausloos M. Exact solution of the dynamic epidemic model on the Bethe lattice // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1996. Vol. 230. № 1-2. P. 1-10.

221. Vendite L.L., Ghini R. A mathematical model for fungal population growth and the fungicide persistance problem // Journal of Biological Systems. 1999. Vol. 7. № 2. P. 239-249.

222. Vlad M.O., Schonfisch B., Lacoursiere C. Statistical-mechanical analogies for space-dependent epidemics // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1996. Vol. 229. № 3-4. P. 365-401.

223. Wang W. Global behavior of an SEIRS epidemic model with time delays // Applied Mathematics Letters. 2002. Vol. 15. № 4. P. 423-428.

224. White A., Watt A.D., Hails R.S., Hartley S.E. Patterns of spread in insect-pathogen systems: the importance of pathogen dispersal // Oikos. 2000. Vol. 89. № l.P. 137-147.

225. Xiao Y., Chen L. An SIS Epidemic Model with Stage Structure and a Delay // Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series. 2002. Vol. 18. № 4. P. 607-618.

226. Yang H.M., Silveira A.S.B. The loss of immunity in directly transmitted infections modelling: Effects on the epidemiological parameters // B. Math. Biol. 1998. Vol. 60. № 2. P. 355-372.

227. Yang H.M. Modeling directly transmitted infections in a routinely vaccinated population the force of infection described by a Volterra integral equation // Applied Mathematics and Computation. 2001. Vol. 122. № 1. P. 27-58.

228. Yang H.M. Directly transmitted infections modeling considering an age-structured contact rate // Mathematical and Computer Modelling. 1999. Vol. 29. № . P. 39-48.

229. Zhang X.-S., Chen L.S. The periodic solution of a class of epidemic models. // Comput. Math. Appl. 1999. Vol. 38. P. 61-71.

230. Zhang X.-S., Holt J., Colvin J. Synergism between plant viruses: a mathematical analysis of the epidemiological implications // Plant Pathology. 2001. Vol. 50. № 6. P. 732-746.