Математическое моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с тензорным коэффициентом электропроводности на базе векторного метода конечных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Орловская, Надежда Викторовна

• Орловская, Надежда Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Орловская, Надежда Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В СРЕДАХ С АНИЗОТРОПНЫМИ СВОЙСТВАМИ

1.1. Явление анизотропии в различных средах '■ ' I I

1.2. Модели анизотропных сред и методы решения задач геоэлектрики в таких средах

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В АНИЗОТРОПНЫХ

СРЕДАХ

2.1. Дифференциальные формы в.электромагнетизме

2.1.1. Уравнения Максвелла

2.1.2. Дифференциальные формы

2.1.3. Уравнения Максвелла в дифференциальных формах

2.1.4. Дискретные дифференциальные формы

2.2. Математическая модель для расчета электрического поля в среде с тензорным коэффициентом электропроводности.

2.2.1. Переход к уравнениям второго порядка в анизотропных средах

2.2.2. Условия на границе раздела изотропных сред

2.2.3. Условия на границе раздела анизотропных сред

Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

3.1. Функциональные пространства и вариационные постановки.

3.2. Векторные конечные элементы на параллелепипедах

3.3. Дискретные аналоги вариационных постановок

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕНЗОРА ПРОИЗВОЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Тензор I типа.

4.3. Тензор II типа.

4.4. Тензор III типа.

4.5. Влияние тензорного коэффициента электропроводности на спектральные свойства конечноэле-ментной матрицы.

Глава 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

5.1. Структура программного комплекса.

5.2. Верификация программного комплекса.

5.3. Моделирование электрического поля в анизотропной среде.

5.4. Моделирование электрического поля в слоистой анизотропной среде.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с тензорным коэффициентом электропроводности на базе векторного метода конечных элементов»

Объект исследования - математические модели электромагнитных полей в средах с тензорными коэффициентами параметров среды и способы описания анизотропии среды. Предметом исследования являются вычислительные схемы для таких моделей, реализованные на базе векторного метода конечных элементов, а также математическая модель тензора электропроводности, соответствующего произвольно ориентированной тонкослоистой среде.

Актуальность исследования. Известно, что только электропроводность тонкослоистой среды с горизонтальными или вертикальными границами описывается диагональным тензором. На сегодняшний день нет общепринятого способа построения тензора электропроводности для тонкослоистой среды с произвольной ориентацией слоев. Решение задачи моделирования трехмерного электромагнитного поля в анизотропных средах требует создания новой эффективной вычислительной схемы и ее реализации в виде комплекса программ (инструментария). Известные методы решения задач геоэлектрики, такие как преобразование Фурье, представление поля через тороидальный и полоидальный скаляры, метод на основе матриц распространения, ориентированы на решение задач только с точечным источником поля в анизотропных средах, или на узкий класс моделируемых сред (диагональный тензор электропроводности). Использование такого современного метода математического моделирования, как векторный метод конечных элементов, позволит моделировать поле в средах с электропроводностью в виде плотного тензора второго ранга для задач с различными типами источников. Исследование способов задания коэффициента электропроводности произвольно ориентированной тонкослоистой среды и построение новой вычислительной схемы на базе векторного метода конечных элементов, учитывающей такие факторы как: электропроводность в виде тензора второго ранга, геометрически конечные размеры источника или распределенный источник поля, являются актуальными задачами не только для геофизики, но и для математической физики, вычислительной математики.

Цель работы - построение и реализация вычислительных схем для численного моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого различными типами источников, учитывающих тензорный характер электропроводности произвольно ориентированной тонкослоистой среды на базе векторного метода конечных элементов.

Основные задачи исследования.

• Разработать вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования электромагнитного поля в анизотропной среде для прямых задач геоэлектрики с распределенным и индукционным источниками;

• Исследовать особенности учета условий, накладываемых на компоненты поля на контактных границах анизотропных сред;

Фактический материал и методы исследования. Теоретической основой решения поставленной задачи является система уравнений Максвелла. Основной метод исследования - математическое моделирование векторным методом конечных элементов. Для теоретических исследований влияния тензорных коэффициентов и обоснования условий на контактных границах применялся аппарат дифференциальных форм, дискретным аналогом которого является векторный метод конечных элементов. При исследовании способов определения тензоров электропроводности использовались методы преобразования координат при переходе из одной координатной системы в другую, а также анализ спектральных характеристик матриц и тензоров. Для верификации программного комплекса, реализующего предложенную вычислительную схему, проведена серия расчетов на последовательностях вложенных сеток для задач с известным аналитическим решением и физических модельных задачах с последующим анализом сходимости полученных решений. Для проведения численного эксперимента в анизотропной среде использовались синтетические данные характеристик электропроводности тонкослоистой среды в продольном и поперечном направлениях, а также синтетические данные характеристик источников (зависимость тока от времени, форма и интенсивность ТЕ-волны).

Защищаемые научные результаты:

• Алгоритм моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей в средах с анизотропными коэффициентами электропроводности на базе векторного метода конечных элементов;

• Доказано, что предложенные вычислительные схемы позволяют автоматически учитывать условия непрерывности тангенциальных компонент электрического поля и нормальных компонент тока аЁ на границе раздела двух анизотропных сред с различными характеристиками анизотропии;

Научная новизна. Личный вклад.

• На базе векторного метода конечных элементов для учета тензорного характера электропроводности разработаны новые вычислительные схемы для расчетов трехмерных нестационарных электромагнитных полей в анизотропных средах;

• Доказано автоматическое выполнение условия слабой дивергенции при использовании векторного метода конечных элементов в качестве метода моделирования, что гарантирует выполнение условий на контактных границах. Доказательство выполнено с использованием аппарата дифференциальных форм для системы уравнений Максвелла и волнового уравнения второго порядка относительно электрического поля.

Значимость работы. Разработка инструментария для математического моделирования электромагнитного поля в анизотропной среде с учетом особенностей тензорного представления электропроводности имеет существенное значение для интерпретации данных геофизических измерений, усовершенствования и разработки новых приборов. Разработанная вычислительная схема эффективно учитывает особенности электропроводности тонкослоистой среды произвольной ориентации при моделировании электромагнитного поля от распределенных и локальных источников. Реализованный программный комплекс может быть использован при решении прямых задач моделирования в геофизике, в качестве инструмента для интерпретации геофизических данных и при проектировании аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались:

• V международная школа молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды", (Томск, 2006)

• Third International Workshop on Reliable Methods of Mathematical Modeling , (Санкт-Петербург, 2007)

• Конференция молодых ученых, аспирантов, студентов "Тро-фимуковские чтения-2007", (Новосибирск, 2007)

• VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, (Новосибирск, 2007)

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано б печатных работ [9, 10, 11, 12, 13, 61], из них в ведущих научных рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией - 2 [12, 13].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованной литературы (84 наименования). Работа изложена на 156 страницах, включая 37 рисунков и 12 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Орловская, Надежда Викторовна

Выводы. Проведено тестирование разработанного программного комплекса, реализующего решение задачи моделирования электромагнитных полей в анизотропных средах векторным методом конечных элементов. Выполненная верификация комплекса на классе задач с аналитическим решением и классе модельных задач в изотропной среде показала высокую эффективность и достаточную точность при моделировании электромагнитных полей в средах с неоднородными физическими свойствами, а также подтвердила теоретические оценки интерполяционных свойств. Результаты ряда вычислительных экспериментов, выполненных в анизотропной среде, выявили влияние анизотропии электропроводности на все компоненты электрического поля, возрастание компоненты поля Ez в среде с плотным тензором электропроводности. Реализованный программный комплекс может быть использован в качестве средства разработки теоретических обоснований распространения электромагнитного поля в анизотропных проводящих средах, и одним из средств проектирования аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложены и реализованы вычислительные схемы для моделирования трехмерных электромагнитных полей в анизотропных средах на базе векторного метода конечных элементов. Использование таких вычислительных схем позволило расширить класс решаемых задач за счет моделирования трехмерного электромагнитного поля в естественных переменных от различных типов источников с учетом анизотропных свойств произвольно ориентированной тонкослоистой среды, как плотного тензора второго ранга. Сформулированы две вариационные формулировки для волнового уравнения второго порядка относительно электрического поля в произвольно ориентированной тонкослоистой среде для локального источника поля (петля конечных геометрических размеров) и распределенного источника в виде падающей ТЕ-волны.

Выполнение условия слабой дивергенции при проведении численных расчетов гарантирует корректность моделирования поведения поля на контактных границах. С использованием аппарата дифференциальных форм доказано, что условие слабой дивер

I i , L генции выполняется автоматически как для системы уравнений Максвелла, так и для волнового уравнения второго порядка относительно электрического поля при использовании векторного метода конечных элементов в качестве метода моделирования. Построены дискретные аналоги вариационных формулировок с ис-1 пользованием векторных конечных элементов Неделека I типа 1 порядка на параллелепипеидальных сетках.

-т -wr{

Разработанные вычислительные схемы позволяют моделировать электрическое поле в анизотропных средах, где электропроводность задана тензором второго ранга (матрица 3x3). Для транс-версально изотропных или тонкослоистых сред электропроводность есть диагональный тензор. На примере задачи определения компонент тензора тонкослоистой среды произвольной ориентации относительно дневной поверхности показано, что тензор электропроводности в глобальной системе координат (связана с геометрией области, источника) должен обладать свойством поло» * I ' жительной определенности. На основе анализа собственных значений тензоров и спектральных свойств конечноэлементной матрицы показано, что тензорное преобразование координат при переходе из локальной системы координат (связана с изотропными слоями тонкослоистой среды) в глобальную систему координат позволяет сохранить положительную определенность тензора при любой ориентации слоев.

Разработанные вычислительные схемы были реализованы в виде комплекса программ на языке С. Программный комплекс был верифицирован на ряде модельных задач: с известным аналитическим решением, а также физических модельных задачах в изотропных средах с различными физическими параметрами. Результаты вычислительных экспериментов на последовательности ч • »• . \ ► V I вложенных сеток подтвердили теоретические оценки интерполяции на задачах с аналитическим решением, и показали корректность моделирования электромагнитного поля в изотропной среде.

В результате вычислительных экспериментов в анизотропных средах была показала нефизичность получаемого решения при использовании в уравнениях Максвелла тензоров, не обладающих свойством положительной определенности. Итерационный процесс решения задачи для некоторых значений угла 9, характеризующего степень наклона слоев тонкослоистой среды относительно дневной поверхности (90° для тензора I типа и 60°, 90° для тензора II типа) расходится. Для модели с тензором, корректно описывающим проводящие свойства анизотропной среды, выполнена последовательность расчетов на вложенных сетках. Результаты расчетов показывают сходимость и устойчивость итерационных алгоритмов. Результаты моделирования электромагнитного поля в анизотропных средах показали существенное влияние тензорного коэффициента электропроводности на электрическое поле: появление компоненты поля Ez и изменение картины поля г ) t в плоскости параллельной дневной поверхности по сравнению с изотропной средой. Появление компоненты Ей в средах с изотропными свойствами характерно для случая присутствия в области локально расположенного объекта. Компонента поля Ег наиболее

С, , 1 , . 1 чувствительна к изменению анизотропных характеристик среды.

Для вычисления наведенной ЭДС в проведенных расчетах были использованы следующие измерительные контуры: контур 1, расположенный в плоскости х — у соосный с генераторной петлей; контур 2, расположенный в плоскости х — z, контур 3, расположенный в плоскости у — z. Центры контуров 2 и 3 располагались в одной точке на оси генераторной петли. Максимальная чувствительность ЭДС к изменениям характера анизотропии наблюдались в контурах 2 и 3. Контур 1 слабо реагирует на изменения анизотропных свойств среды. Для определения глубинности геофизических зондирований необходимо вычислить корень квадратный от коэффициента электропроводности, что невозможно сделать в случае анизотропной среды. На основе анализа зависимостей наведенной ЭДС, полученных для различных мощностей анизотропного пласта в двухслойной модели среды, была вычисленная скалярная величина "эффективной" электропроводности для оценивания глубинности зондирования в анизотропных средах. По результатам вычислений "эффективной" электропроводности для произвольно ориентированной тонкослоистой среды было вы1 явлено пиковое значение угла Q, при котором наблюдается максимальное значение величины "эффективной" электропроводности. Реализованный программный комплекс в дальнейшем может быть использован для получения теоретических обоснований взаимодействия электромагнитного поля с анизотропными проводящими средами, и одним из средств проектирования аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород. л') г Ч »

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Орловская, Надежда Викторовна, 2008 год

1. Баландин М.Ю., Шурина Э. П. Методы решения СЛАУ большой размерности. — Новосибирск: НГТУ, 2000. — 70 с.

2. Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Векторный метод конечных элементов: Учеб. пособие.— Новосибирск: НГТУ, 2001.— 69 с.

3. Бердичевский М. Н., Дмитриев В. И. Магнитотеллурическое зондирование горизонтально-однородных сред. — М.: Недра, 1992. — 249 с.

4. Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973. — 343 с.

5. Жданов М. С. Электроразведка. — М.: Недра, 1986. — 316 с.

6. Кауфман JI. А. Введение в теорию геофизических методов. — М.: Недра, 1997. — 516 с.

7. Королев В. А. Мониторинг геологической среды. — М.: МГУ, 1995.— 272 с.н

8. Орловская Н. В. Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах // Физика окружающей среды: Материалы V Международной Школы молодых ученых и специалистов. — Томск: 27 июня- 2 июля, 2006. — С. 98-101.

9. Орловская Н. В. Математическое моделирование электромагнитного поля в средах с выраженной анизотропией // Труды конференции "Трофимуковские чтения -2007". — Новосибирск: 8 -12 октября, 2007. — С. 261-263.

10. Орловская Н. В., Шурина Э. П., Эпов М. И. Моделирование электромагнитных полей в среде с анизотропной электропроводностью // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, № 3. — С. 99-116.

11. Орловская Н. В., Шурина Э. П., Эпов М. И. Тензорный коэффициент электропроводности в геофизических приложениях // Вычислительные технологии. — 2008. — Т. 13, № 1. — С. 93-106.

12. ПотехинА. И. Излучение и распространение электромагнитных волн в анизотропной среде. — М.: Наука, 1971. — 41 с.

13. Рояк М. Э., Соловейчик Ю. Г., Шурина Э. П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики: Учеб.пособие. — Новосибирск: НГТУ, 1998. — 120 с.

14. Смайт В. Электростатика и электродинамика. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. — 606 с.

15. Спичак В. В. Магнитотеллурические поля в трехмерных моделях геоэлектрики. — М.: Научный мир, 1999. — 204 с.

16. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. — 349 с.

17. Стрэттон Д. А. Теория электромагнетизма. — М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1948. — 541 с.

18. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980. — 512 с.

19. Филиппович Ю. В. Новая концепция тектонического строения фундамента и осадочного чехла Западно-Сибирской плиты // Геология нефти и газа. — 2001. — № 5. — С. 51-62.

20. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики.— Д.: ОНТИ. Главная редакция общетехнической литературы, !957. — 996 с.

21. Шпильман В. И., Мясникова Г. П., Трусов JI. JI. Перерывы при формировании неокомских клиноформ в Западной Сибири // Теология нефти и газа. — 1993. — № 6. — С. 3-13.

22. Archie G. The electrical resistivity log as an aid in determing some reservoir characteristics // Trans. AIME. — 1942. — Vol. 4, no. 1. — Pp. 1-30.

23. Arnold D. N., Falk R. S.,Winther R. Differential complexes and stability of finite element methods. I. The De Rham complex. — University of Minnesota: Institute for mathematics and its applications, 2005. — 24 pp.

24. Aruliah D. A. Fast Solvers for Time-Harmonic Maxwell's Equations in 3D: Ph.D. thesis / The University of Britishil. ui л .

25. Columbia. — 2001. —August. — 160 pp.

26. Baldornir D„ Hammond P. Global geometry of electromagnetic systems // IEE PROCEEDINGS-A,. — 1993. — Vol. 140, no. 2. — Pp. 142-150.

27. Beck R., Hiptmair R. Multilevel solution of the time-harmonic Maxwell's equations based on edge elements // Int. J. Numer. Meth.Engng. — Vol. 45. — Pp. 901-920.

28. Bhattacharya P. K., Patra H. P. Direct current geoelectrical sounding // Elsevier Pub I. Co. — 1968. — 135 pp.

29. Bossauit A. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism //IEEE PROCEEDINGS. — 1988. — Vol. 135, no. 8. — Pp. 493-500.

30. Crampin S. Effective anisotropic elastic cpnstants for wave propagation through cracked solids // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. — 1984. — Vol. 76. — Pp. 135-145.. , i. I p

31. Crampin S., Chesnokov E. M., Hipkin R. G. Seismic anisotropy -the state of the art II // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. — 1984. — Vol. 76. — Pp. 1-16.

32. Deschamps G. A. Electromagnetics and differential forms // Proceedings of the IEEE. — 1981. — Vol. 69, no. 6. — Pp. 676696.

33. Differential forms basis functions for better conditioned integral equations / B. Fasenfest, D. White, M. Stowell et al. // IEEE AP-S International Symposium.— Washington, DC, United States: July 3, 2005 July 8, 2005. — Pp. 1-6.

34. Discrete differential forms: A novel methodology for robust computational electromagnetics: UCRL-ID-151522 / P. Castillo, J. Koning, R. Rieben et al.: Lawrence Livermore National Laboratory, January 17, 2003. — 61 pp.

35. Edge element computations of eddy currents in laminated materials / Y. Liu, A. Bonderson, R. Bergstrom et al. // IEEE Transactions on magnetics. — 2003. — Vol. 39, no. 3. — Pp. 17581765.

36. Euerett M. E„ Constable S. electric dipole fields over an anisotropic seafloor: theory and application to the structure of 40 myr Pacific Ocean Lithosphere // Geophysical Journal International. — 1999. — Vol. 136. — Pp. 41-56.

37. Fournet G. Electromagnetic quantities in 3-space and the dual Hodge operator // IEE Proc.-Sci. Meus. Technol. — 2002. — Vol. 149, no. 3. — Pp. 138-146.

38. Fournet G. Electromagnetic quantities in 4-0 space and the dual Hodge operator // IEE Puoc.-Sci. Mecis. Technol.— 2002. — Vol. 149, no. 4. — Pp. 158-164.

39. Fujii I., Schultz A. The 3D electromagnetic response of the earth to ring current and auroral oval excitation // Geophys. J. Int. — 2002. — Vol. 151. — Pp. 689-709.

40. Gedney S., Navsariwala U. An unconditionally stable finite element time-domain solution of the vector wave equation // IEEE Microiuaue and Guided Waue Lett. — 1995. — Vol. 5, no. 10. — Pp.332-334.

41. Geophysical Subsurface Imaging and Interface Identification / D. Day, P. Bochev, K. Pendley et al. — Sandia National Laborah S'i(tories, 2005. — 72 pp.

42. Gradinaru V., Himptmair R. Multigrid for discrete forms on sparse grids //Computing. — no. 71. — Pp. 17-42.

43. He В., Teixeira F. L. Differential forms, Galerkin duality, and sparse inverse approximations in finite element solutions of Maxwell equations // IEEE Transactions on antennas and propagations. — 2007. — Vol. 55, no. 5. — Pp. 1359-1368.

44. Hiptmair R. Finite elements in computational electromag-netism //Acta Numerica. — 2002. — Pp. 237-339.

45. Hiptmair R. From E to edge elements // The Academician. — 2003. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 23-31.

46. Huber C., Krumpholz M., Russer P. Dispersion in anisotropic media modeled by three-dimensional TLM // IEEE TRANSACTIONS ON MICROWAVE THEORY AND TECHNIQUES. — 1995. — Vol. 43, no. 8. — Pp. 1923-1934.

47. Kong J. A. Electromagnetic fields due to dipole antennas over stratified anisotropic media // GEOPHYSICS.— 1972.— Vol. 37, no. 6. — Pp. 985-996.

48. Kriegshauser В., Fanini O., Yи L. Advanced inversion techniques for multicomponent induction data // Presented at the1. V • ' i I70th Ann. Mtg. — Soc. Expl. Geophys.: 2000.

49. Loseth L., Ursin B. Electromagnetic fields in planarly layered anisotropic media // Geophys.J.Int.— 2007.— Vol. 170.— Pp. 44-80.

50. Maillet R. The fundamental equations of electrical prospecting//Geophysics. — 1947. — Vol. 12. — Pp. 529-556.

51. Ma Z., Croskey C., Hale L. The electrodynamic responses of theatmosphere and ionosphere to the lightning discharge // J our. I ( inal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physiscs. — 1998. — Vol. 60. — Pp. 885-861.

52. Moss C. D., Teixeira F. L., Kong J. A. Analysis and compensation of numerical dispersion in the FDTD method for layered, anisotropic media // IEEE TRANSACTIONS ON ANTENNAS

53. AND PROPAGATION. — 2002. — Vol. 50, no. 9. — Pp. 11741184.

54. Nedelec J.-C. Mixed finite elements in M3 // Numer. Math,. — 1980. — Vol. 35, no. 3. — Pp. 315-341.

55. Nedelec J.-C. A new family of mixed finite elements in R3 // Numer. Math. — 1986. — Vol. 50, no. 1. — Pp. 57-81.

56. Parasnis D. Principles of applied geophysics. — 3rd edition. — Chapman and Hall, 1986. — 402 pp.

57. Pek J., Santos F. A. Magnetotelluric inversion for anisotropic conductivities in layered media // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 2006. — Vol. 158. — Pp. 139-158.

58. Pirson S. J. Effect of anisotropy on apparent resistivity curves //AAPG Bull. — 1935. — Vol. 19. — Pp. 37-57.

59. Ren Z., Ida N. High order differential form-based elements for the computation of electromagnetic fields // IEEE Transactions of magnetics.— 2000.— Vol. 36, no. 4.— Pp. 14721478.

60. Rieben R. N. A Novel High Order Time Domain Vector Finite El1 V i'i ) , .vement Method for the Simulation of Electromagnetic Devices: Ph.D. thesis / UNIVERSITY OF CALIFORNI. — 2004. — July. — 183 pp.

61. Rodrigue G., White D. A. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hex-ahedral grids // SIAM J, Sci, Comput.— 2001.— Vol. 23, no. 3. — Pp. 683-706.

62. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. — 2000. — 447 pp.

63. Santos J. E., Sheen D. On the existence and uniqueness of solutions to Maxwell's equations in bounded domains with application to magnetotellurics // Mathematical Models and Methods in Applied Science. — 2000. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 615-628.

64. Sayers С. M., Ebrom D. A. Seismic traveltime analysis for az-imuthally anisotropic media: Theory and experiment // GEOPHYSICS. — 1997. — Vol. 62. — Pp. 1570-1582.

65. Schoberl J. Commuting quasi-interpolation operators for mixed finite elements // Mathematics Subject Classification. — 1991. — Vol. 65, no. 30. — Pp. 1-10.

66. Slichter L. The interpretation of resistivity prospecting method for horizontal structures // Physics.— 1933.— Vol. 4.— Pp. 307-322.

67. Surface based differential forms / J. Pingenot, C. Yang, V. Jandhyala et al. // Surface Based Differential Forms. — Honolulu, HI, United States: April 3, 2005 April 7, 2005. — Pp. 1-7.

68. Tonti E. On the mathematical structure of a large class of physical theories //Rend.Acc.Lincei. — 1972. — no. 52. — Pp. 48' ' • • t p)v>C

69. Tonti E. La Structtura Formale delle Teorie Fisiche. — Milano: CLUP, 1976. — Pp. 163-257.

70. Wang Т., Fang S. 3-d electromagnetic anisotropy modeling using finite differences // GEOPHYSICS. — 2001. — Vol. 66, no. 5. — Pp. 1386-1398.

71. Warnick K., Arnold D., Selfridge R. Differential forms in electromagnetic field theory // Proceedings of IEEE Antenna Propagation Symposium. — 1996. — Pp. 237-339.

72. Webb J. P. Edge elements and what they can do for you // IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS.— 1993.— Vol. 29, no. 2. — Pp. 1460-1465.

73. Yakhno V., Yakhno Т., Kasap M. A novel approach for modeling and simulation of electromagnetic waves in anisotropic dielectrics // International Journal of Solids and Structures. — 2006. — Vol. 43, no. 20. — Pp. 6261-6276.

74. Yin С. MMT forward modeling for a layered earth with arbitrary anisotropy // GEOPHYSICS.— 2006.— Vol. 71, no. 3. — Pp. G115-G128.• . i J Ь

75. Yin С., Maurer H.-M. Electromagnetic induction in a layered earth with arbitrary anisotropy // GEOPHYSICS. — 2001. — Vol. 66, no. 5. — Pp. 1405-1416.

76. Yin C., Weidelt P. Geoelectrical fields in a layered earth with arbitrary anisotropy//GEOPHYSICS.— 1999.— Vol.64, no. 2. — Pp. 426-434.

77. Zhang J., Verschuurz D. J. Elastic wave propagation in heterogeneous anisotropic media using the lumped finite-elementmethod // GEOPHYSICS.— 2002.— Vol. 67, no. 2.— Pp. 625-638.

78. Zhu J., Dormanz J. Two-dimensional, three-component wave propagation in a transversely isotropic medium with arbitrary-orientation-finite-element modeling // GEOPHYSICS.— 2000. — Vol. 65, no. 6. — Pp. 934-942.