Методика использования задач графического содержания в обучении началам математического анализа в школе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Сатьянов, Павел Григорьевич

• Сатьянов, Павел Григорьевич
• кандидат педагогических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Сатьянов, Павел Григорьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Научно-методические основы использования задач графического содержания в процессе обучения началам математического анализа.

§ I. Геометрические аналогии в становлении математического анализа и его преподавания

§.:;2. Методические возможности использования геометрического языка при обучении началам математического анализа.

§ 3. Психолого-педагогические основания методики использования задач графического содержания при обучении началам математического анализа

ГЛАВА 2. Задачи графического содержания как одно из средств обучения началам математического анализа в школе

§ I.-Типология задач графического содержания по курсу алгебры и начал анализа.

§ 2. Методические рекомендации по использованию конкретных типов задач графического содержания в обучении началам математического анализа

Задачи на построение графических изображений . 60 Задачи качественного анализа графических изображений.

Задачи аналитического считывания графической информации

§ 3. Прикладные возможности использования задач графического содержания в обучении началам математического анализа.

§ 4. Методика использования задач, связанных с геометрическим смыслом производной, при изучении темы "Производная и её применения"

Педагогический эксперимент

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика использования задач графического содержания в обучении началам математического анализа в школе»

В настоящее время, в ответ на ряд решений и постановлений партийных, правительственных и компетентных научных органов /3,4, 5,105/ осуществляется дальнейшая переработка программы курса математики для средней школы, проводится большая работа по написанию новых и экспериментальной проверке имеющихся пробных учебников. В связи с этим особую роль приобретает разработка таких методических концепций преподавания элементов математического анализа и методических средств, которые бы способствовали существенному повышению качества знаний учащихся по этому разделу курса математики.

Одним из основных недостатков принятой методики изложения начал математического анализа в средней школе является излишний формализм и абстрактность курса, недостаточное привлечение геометрических и физических аналогий как средства раскрытия содержательного смысла понятий и фактов математического анализа /28,86,99,104,108/. Именно на пути повышения наглядности обучения, широкого и планомерного привлечения геометрической интуиции учащихся как средства осознания основных положений анализа и надежной опоры в применении их на практике, открываются наиболее перспективные возможности совершенствования преподавания начал математического анализа в средней школе. Это. неоднократно отмечалось многими учеными, математиками и методистами /54,36,63,92, 135,143/.

Если язык символов и формул позволяет компактно выражать объекты и утверждения математического анализа, то язык геометрических образов, рисунков, чертежей является основным средством, позволяющим осознавать, "чувствовать", "видеть" понятия и факты анализа, закреплять и "оживлять" их в памяти. Чем крепче понятие анализа связывается в сознании учащегося с соответствующим геометрическим образом, тем прочнее и осознаннее усваивается это понятие, тем увереннее оперирует с ним учащийся при решении задач. "Если формулы и подстановки некоторыми из изучающих легко запоминаются, то так же скоро они исчезают бесследно из памяти, но раз усвоенные геометрические образы, рисующие картину рассматриваемого явления, надолго западают в голову и живут в воображении изучающего" - отмечал великий русский ученый Н.Е.Жуковский /51, с.185/. Это подтверждается и современными психолого-педагогическими исследованиями /57,146,115,156/.

Однако, несмотря на понимание большой роли геометрического языка, геометрической наглядности в обучении математическому анализу, проблеме использования графических моделей в преподавании алгебры и начал анализа в средней школе не уделяется должного внимания в научно-методической литературе. Нам не известны монографии, посвященные данной проблеме. Тем не менее вопросы методики использования геометрического языка при обучении началам математического анализа обсуждаются и исследуются в ряде статей и других методических работ /18,19,36,54,77,94,106,133/, а также затрагиваются в той или иной мере в некоторых диссертациях /32, 43,50,73,76,120,135,142/. Но в этих исследованиях рассматриваются либо частные методики изучения отдельных вопросов курса или решения определенных классов задач с помощью графических моделей, либо же анализируются общие проблемы использования аналогий и знаковых моделей в обучении математике, а графические модели объектов математического анализа обсуждаются лишь в качестве иллюстраций общих положений. Так, в кандидатских диссертациях А.Л.Жохова /50/, Г.М.Морозова /89/, В.А.Стукалова /120/ исследуются возможности и методические особенности применения аналогий и моделирования в обучении математике. Диссертация Т.И.Кузнецовой "Геометрические модели функциональных зависимостей в обучении математике в школе" /73/ посвящена главным образом использованию номограмм, а графики функций - основное средство наглядности в курсе алгебры и начал анализа, - рассматриваются лишь как частный случай.

Отправляясь от изучения общей проблемы повышения эффективности использования геометрического языка в обучении алгебре и началам математического анализа и выявив малую ее разработанность, мы обратили внимание на ту ее часть, которая представляет, на наш взгляд, первостепенную важность для обучения и которая может быть в значительной мере решена оперативно, в рамках ныне действующей методики изложения курса, без изменения принятого учебника /II/, а именно на выявление возможностей и путей более широкого и полного использования в обучении задач, связанных с использованием графических моделей объектов математического анализа, как средства повышения качества знаний школьников по этой дисциплине. Такие задачи, предполагающие построение или анализ графических моделей, мы будем называть в дальнейшем задачами графического .содержания.

При этом отправным для нас было положение о необходимости активного, использования геометрического языка при изучении начал математического анализа в школе, предусматривающее не простое увеличение числа иллюстраций и геометрических объяснений понятий и фактов анализа, а требующее широкого и целенаправленного применения в практике обучения соответствующих задач графического содержания. Только в процессе активного оперирования с графическими моделями при выполнении соответствующих упражнений учащиеся могут приобрести умения, необходимые для уверенного и осознанного обращения к геометрическим аналогам понятий и фактов математического анализа как к средству их (понятий) понимания и надежной опоре при решении задач.

Сформулированное положение основывается на деятельностном подходе к процессам мышления и обучения, развитом в трудах советских психологов Л.С.Выготского, С.Л.Рубинштейна, А.Н.Леонтьева, П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной /31,33,80,114,123/ и других.

Первостепенная важность обращения именно к использованию задач, требующих оперирования с графическими моделями при изучении начал математического анализа, объясняется также известными положениями о роли задач в обучении вообще и в обучении математике в частности, нашедшими свое выражение в работах Ю.М.Колягина /66/, Л.М.Фридмана /131/, Д.Пойа /101/ и ряда других ученых.

А именно, мы исходили из того, что присвоение математических знаний учащимися может быть осуществлено лишь в процессе активной умственной деятельности учащихся, которая проявляется в обучении как деятельность по решению определенных задач (в достаточно широком понимании этого слова). Цели обучения только тогда могут быть поставлены вполне конкретно, когда они определяются набором тех задач, которые должны уметь решать учащиеся. Контроль достижения целей обучения и определение уровней усвоения могут быть осуществлены опять-таки через задачи. Поэтому вопросы наиболее эффективной, рациональной организации системы используемых задач - постановка задач-целей (обучения), выбор задач-средств (обучения) и задач, контролирующих уровень усвоения изучаемого материала, - представляют решающее значение в методике преподавания математики.

Изучение нами учебной и методической литературы, а также опыта преподавания начал математического анализа в средней школе показало, что задачи графического содержания используются в обучении далеко не в достаточной степени, не входят органически в систему всех задач курса, используются лишь эпизодически и односторонне. Набор типов задач графического содержания, применяемых в практике обучения и рассматриваемых в методических исследованиях весьма ограничен и неполон, вследствие чего используются далеко не все методические возможности таких задач, а уровень "графических" знаний, степень развития "графического мышления" учащихся оказываются довольно низкими,о чем свидетельствуют, например, результаты вступительных экзаменов в вузы и данные различного рода контрольных проверок, проводимых в школах.

Имеется ряд диссертаций, посвященных методике использования задач, связанных с графическими моделями, в обучении различным разделам курса математики, среди которых отметим работы /26,29, 142/. Однако в этих работах исследуются в основном отдельные методические приемы использования традиционно применяемых в обучении типов задач графического содержания, разрабатываются средства более точного построения графиков функций - например, система лекал в /142/ и формы организации лабораторно-графических работ. Проблема же общего методического исследования возможностей использования задач графического содержания в обучении началам математического анализа, как действенного средства повышения качества знаний учащихся ни в одной из известных нам работ не ставится и не решается.

Итак, необходимость более эффективного использования задач графического содержания с целью повышения качества обучения началам математического анализа в школе, усиления доступности курса и преодоления формализма в знаниях учащихся и недостаточная разработанность методики применения таких задач, обусловили актуальность выбора темы диссертации, определения предмета исследования и постановки проблемы.

Предметом настоящего исследования являются задачи графического содержания, т.е. задачи, требующие оперирования графическими моделями объектов математического анализа, рассматриваемые как одно из средств обучения началам математического анализа в школе.

Проблема данного исследования заключается в выявлении методических возможностей задач графического содержания по повышению качества обучения началам математического анализа в школе и в раскрытии особенностей методики, обеспечивающей реализацию этих возможностей в практике преподавания.

В решении поставленной проблемы мы руководствовались гипотезой: формирование у учащихся умений оперировать графическими моделями при решении задач и изучении вопросов теории обеспечит повышение прочности и осознанности усвоения основных понятий, фактов и методов математического анализа, будет способствовать усилению межпредметных связей и развитию прикладных навыков.

Сформулированная гипотеза исходит из следующих предпосылок: Язык графиков, будучи важным средством представления и анализа различных явлений окружающей действительности, обладает богатыми возможностями по формированию политехнических знаний и прикладных умений у учащихся. Однако реализация этих возможностей в обучении началам математического анализа в соответствии с общими принципами политехнической и прикладной направленности курса математики, раскрытыми в работах Б.В.Гнеденко, В.М.Монахова, С.И.Шварц-бурда, В.В.Фирсова /39,88,130,137/ и ряда других ученых, осуществляется в действующей практике обучения далеко не в достаточной мере, как это показывает изучение основного текста и упражнений действующих учебников и методических руководств. Пути же эффективной реализации этих возможностей кроются прежде всего в использовании системы соответствующих задач графического содержания, которые в настоящее время практически отсутствуют в практике обучения и не разработаны методически.

Сложившаяся традиция преподавания начал математического анализа такова, что основное внимание уделяется развитию технических, вычислительных навыков. На выработку подобных навыков и ориентировано большинство используемых в обучении упражнений. Однако, как подчеркивается в усовершенствованной программе по математике для средней школы, "При изучении элементов математического анализа в школе следует вццелять в первую очередь не технический и не формальный, а содержательный аспект изучения, имея в виду прежде всего понимание учащимися геометрического и физического смысла таких понятий, как производная и интеграл." /99, с.II/. Но если формирование технических навыков в достаточной степени обеспечивается имеющимися в учебнике /II/ и принятыми в практике преподавания упражнениями, то качественное усвоение теоретического материала курса, в значительно меньшей мере подкрепляется соответствующими методическими средствами. В этом отношении именно задачи графического содержания позволяют на доступном учащимся уровне оперировать с понятиями и фактами математического анализа и формировать осознанное усвоение теоретического материала,что объясняется прежде всего наглядностью геометрического языка и возможностью материализации посредством него умственных действий учащихся с теоретическими объектами анализа.

Обеспечение органичной и систематической пропедевтики основных понятий математического анализа в курсе алгебры восьмилетней школы, формирование у учащихся их интуитивного понимания, играет существенную роль в успешности обучения началам математического анализа в 9-10 классах. Отметим, что не оперативная сторона курса начал анализа, а именно его понятийный аппарат вызывает наибольшие затруднения у школьников. При этом наиболее естественным и перспективным средством формирования интуитивных представлений о понятиях математического анализа является именно геометрический язык, язык графических изображений. Это неоднократно отмечалось многими математиками и методистами /35,71,94,106/. Однако, хотя действующий курс алгебры /9,10,83/ и содержит значительное число графических упражнений, тем не менее эти упражнения не направлены в должной мере на пропедевтику понятий математического анализа. Заметим по этому поводу, что даже такое, необходимое для А описания свойств графиков функций, изучаемых в 6-8 классах /У-Х , У= 1/Зс"1, У=Х3 и т.д./, понятие, как касательная к кривой не используется в курсе алгебры восьмилетней школы. Как в самом курсе,так и в упражнениях отсутствует понятие о скорости изменения линейной функции и ее геометрическом смысле, что затрудняет раскрытие содержания и геометрического смысла понятия производной в 9 классе. Таким образом, этап чувственного познания, подготавливающий переход "от живого созерцания к абстрактному мышлению."/2,с.152/ оказывается недостаточно организованным в практике обучения началам анализа и для его эффективной организации важна разработка задач графического содержания, направленных на осуществление действенной пропедевтики понятий анализа уже в восьмилетней школе.

В своем решении проблемы раскрытия методических возможностей задач графического содержания в обучении началам математического анализа и выявления путей их практической реализации мы исходили из следующего положения:

Число задач, используемых в обучении, велико, и изучение всего многообразия задач (и, в частности, задач графического содержания) предполагает прежде всего создание достаточно полной типологии задач, классификации их по различным критериям, отражающим те или иные методические особенности задач.

Указанные выше предпосылки и определили постановку основных задач исследования:

1. Провести теоретический анализ методических предпосылок необходимости активного использования задач графического содержания в обучении началам математического анализа;

2. Разработать типологию задач графического содержания по курсу алгебры и начал анализа.

3. Исследовать методические особенности задач графического содержания основных типов и разработать рекомендации по их применению в обучении началам математического анализа.

4. Разработать методику использования задач графического содержания в обучении теме "Производная и ее применения".

Решение поставленных задач потребовало привлечения различных методов исследования, в число которых входили:

- изучение и анализ психолого-педагогической, методической, учебной и математической литературы;

- теоретическое исследование проблемы;

- критический анализ и обобщение опыта практического обучения ;

- педагогический эксперимент.

Научная новизна исследования состоит в том, что в диссертации впервые разработана достаточно полная типология задач графического содержания по курсу алгебры и начал анализа ; раскрыты особенности методики эффективного применения задач основных типов, выделенных в исследовании ; разработана методика использования задач графического содержания в обучении теме "производная и ее применения".

Практическая значимость исследования определяется тем, что его результаты: типология задач графического содержания по курсу алгебры и начал анализа и методические рекомендации по их применению могут быть учтены:

- авторами учебников и составителями сборников задач по алгебре и началам математического анализа;

- учителями средних школ в практике преподавания начал математического анализа;

- преподавателями вузов (и в особенности педагогических институтов) ведущими практические занятия по математическому анализу со студентами и слушателями подготовительных отделений.

Существенным в плане практической значимости исследования является то, что его результаты позволяют легко обозревать разнообразные типы задач графического содержания, оценивать их методические возможности и осуществлять выбор тех задач, которые в наибольшей мере способствуют достижению поставленных учебных целей. Важным является и то, что в диссертации раскрывается технология составления задач графического содержания каждого из выделенных типов, позволяющая легко строить подобные задачи самостоятельно каждому методисту и учителю.

На защиту выносятся:

I. Теоретический анализ методических предпосылок, обусловливающих необходимость активного, использования задач графического содержания в обучении началам математического анализа.

2. Типология задач графического содержания по курсу алгебры и начал математического анализа, построенная на основе учета языковых форм представления исходных данных и результата задачи.

3. Методика использования задач графического содержания в обучении теме "Производная и ее применения".

Основные результаты исследования отражены в 8 публикациях /148,149,150,152,153,154,155/, выполненных без соавторства.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Сатьянов, Павел Григорьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенное исследование позволило нам решить поставленную проблему и частные задачи. Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

Дан методический анализ теоретических предпосылок, обусловливающих необходимость активного использования задач графического содержания в обучении началам математического анализа в школе в целях усиления доступности теоретической части курса, преодоления формализма в знаниях, формирования важных политехнических и прикладных умений, развития геометрической интуиции учащихся в математическом анализе.

Разработана типология задач графического содержания по курсу алгебры и начал анализа как основа методики их применения в обучении. Исследованы методические возможности и характерные особенности задач графического содержания каждого из основных типов и даны конкретные методические рекомендации по применению отдельных типов задач графического содержания в обучении началам математического анализа в школе.

Разработана и апробирована экспериментально методика использования задач графического содержания при обучении теме "Производная и её применения", предусматривающая активное и систематическое оперирование геометрической интерпретацией производной - центрального понятия всего курса начал математического анализа в процессе решения соответствующих задач. На примере обучения этой теме показана практическая реализуемость основных методических положений диссертации и подтверждена гипотеза исследования, предполагающая возможность повышения качества обучения началам математического анализа в школе за счет систематического включения в учебный процесс соответствующих задач графического содержания.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

Необходимо повысить внимание учителей и методистов к использованию задач графического содержания в обучении началам математического анализа, поскольку такие задачи предоставляют значительные возможности для повышения качества знаний учащихся, способствуют усилению доступности теоретического материала курса, являются действенным средством преодоления формализма в знаниях, позволяют формировать важные в прикладном и политехническом отношении умения по оперированию с графическими моделями функциональных зависимостей.

Необходимо использовать в обучении все основные, выделенные в исследовании, типы задач графического содержания с тем, чтобы формировать у учащихся соответствующие виды деятельности по оперированию наглядными моделями, умения выполнять перевод с одного из языков выражения математических объектов на другой.

В практике обучения началам математического анализа следует уделять больше внимания качественным задачам на построение и анализ графических моделей реальных процессов. Подобные задачи позволяют эффективно реализовывать в обучении как межпредметные цели, способствуя осуществлению органичных связей курса математики с курсами физики, химии и другими дисциплинами, так и внут-рипредметные цели пропедевтики и формирования основных понятий математического анализа. Решение таких задач способствует также развитию у учащихся навыков математического моделирования явлений окружающей действительности.

Следует шире использовать в обучении устные вопросы, требующие качественного анализа графических изображений, задачи на построение графиков функций, обладающих заданными (словесно или аналитически) свойствами, а также задачи, предполагающие мысленное обращение к графическим образам в процессе решения. Решение таких задач способствует повышению осознанности знаний теоретических понятий и фактов математического анализа и развитию геометрической интуиции учащихся в анализе.

При изучении темы "Производная и её применения" существенно обеспечить формирование у всех учащихся базовых умений по оперированию геометрической интерпретацией производной, выделенных в диссертации. Эти умения дают возможность учащимся активно и действенно обращаться к наглядным моделям при рассмотрении теоретических вопросов, что обеспечивает их (вопросов теории) осознанное и прочное усвоение, уверенное и безошибочное применение при решении задач.

Для того, чтобы задачи графического содержания органично вписывались в систему всех задач курса алгебры и начал анализа, и не требовали существенных затрат учебного времени, следует использовать их главным образом в качестве дополнительных вопросов к "традиционным" заданиям, как это было показано в § 4 диссертации. Такой подход позволяет осуществить "непрерывное" включение задач графического содержания в процесс обучения началам математического анализа, что является необходимым условием их эффективного использования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Сатьянов, Павел Григорьевич, 1984 год

1. 'Энгельс Ф. Диалектика природы. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2 -е изд., т. 20, с. 339 - 625.

2. Ленин В.И. Философские тетради. Полн.собр.соч.,т.29.

3. Материалы ХХУ1 съезда КПСС. М.: Политиздат,1981.-264с.

4. Материалы Пленума Центрального Комитета КПСС 14-15 июня 1983 года. М.: Политиздат, 1983. - 80 с.

5. Проект ЦК КПСС "Основные направления реформы общеобразовательной и профессиональной школы". Правда, 1984, 4 января.

6. О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду: Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 22 декабря 1977 г.,

7. IIII. В кн.: Справочник партийного работника. Вып. 18. - М.: Политиздат, 1978, с. 251 - 261.

8. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Пер. с франц. М.: Советское радио, 1970. - 252 с.

9. Алгебра: Учебник для 7 -го класса средней школы / Мака-рычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., %равин К.С. и др. М.: Просвещение, 1981. - 238 с.

10. Алгебра: Учебное пособие для 8 -го класса средней школы / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Монахов В.М. и др. М.: Просвещение, 1982. 254 с.

11. Алгебра и нашла анализа: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы (Колмогоров А.Н., Абрамов A.M., Вейц Б.Е. и др. М.: Просвещение, 1980. - 335 с.

12. Алгебра 6-8: Пробные учебники для 6-8 классов средней школы (Алимов Ш.А., Ильин В.А., Колягин Ю.М. и др. М.: Просвещение, 1981. - 544 с.

13. Александрова Н.В. Математические термины: Справочник. М.: Высшая школа, 1978. 190 с.

14. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1976. - 96 с.

15. Березин В.Н. Методические функции наглядности в обучении математике, Автореф. дис. . канд.пед.наук. М., 1975.- 29 с.

16. Берс Л. Математический анализ, т.1: Пер. с англ. М.: Шсшая школа, 1975. - 519 с.

17. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСШСР, 1959. - 347 с.

18. Болтянский В.Г. Как развивать графическое мышление. -Математика в школе, 1978. № 3, с.13-23.

19. Болтянский В.Г. Координатная прямая как средство наглядности. Математика в школе, 1978, № I, с.13-18.

20. Болтянский В.Г. Формула наглядности изоморфизм плюс простота. - Советская педагогика, 1970, № 5,с. 46-60.

21. Ботвинников А.Д., Ломов Б.Ф. Научные основес формирования графических знаний, умений и навыков школьников. М.: Педагогика, 1979. - 225 с.

22. Боумен У. Графическое представление информации: Пер. с англ. М.: Мир., 1971. - 225 с.

23. Брунер Дж. Психология познания: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1977. - 412 с,

24. Быстрый И.М. Конструирование уравнений по графикам функций. Квант, 1975, № 8, с.54-57.

25. Василевский А.Б. Устные упражнения по алгебре и началам анализа. Минск: Народна Асвета, 1981. - 72 с.

26. Ветров Б.Н. Графическая работа как одно из средств обучения в старших классах средней школы: Автореф. дис. . канд. пед.наук. М., 1955. 16 с.

27. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., (Смышляев В.К. Алгебра и начала анализа 9-10: Пробный учебник для IX-X классов средней школы. М.: Просвещение, 1981. - 384 с.

28. Владимиров B.C., Понтрягин JI.C., Тихонов А.Н. О школьном математическом образовании. Математика в школе, 1979, № 3, с.12 - 14.

29. Выгодский М.Я. О принципах преподавания анализа бесконечно малых вовтузах. Естествознание и марксизм, 1930, №№ 2-3.

30. Волгина В.Ф. Графовые модели в методике преподавания математики: Автореф. дис. . канд.пед.наук, М., 1977. 24 с.

31. Выготский Л.С. Развитие высших психических функций. -М.: Изд-во АПН РЖР, I960. 500 с.

32. Галкин Е.В. Начала математического анализа в курсе средней школы: Автореф. дис. . канд.пед.наук. М., 1972. 19 с.

33. Гальперин П.Я. Основные результаты исследований по проблеме формирования умственных действий. М.: Изд-во МГУ, 1965.

34. Гамезо М.В. Знаки и знаковое моделирование S познавательной деятельности: Автореф. дис. . докт.психол.наук. М., 1977. 37 с.

35. Глаголев Н.А. Проблема включения в программу средней школы элементов высшей математики. Советская педагогика, 1944,

36. Глаголева Е.Г. Особенности преподавания алгебры и начал анализа в общеобразовательной школе. в кн.: Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе. М.: Просвещение, 1980, с.8-28.

37. Глаголева Е.Г., Никольская И.Л. Шормирование материалистического мировоззрения на уроках алгебры и начал анализа. -В кн.: Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе. М.: Просвещение, 1980, с.29-52.

38. Глейзер Ш. История математики в средней школе. М.: Просвещение, 1970. - 461 с.

39. Гнеденко Б.В. Политехнические аспекты преподавания математики в средней школе. Математика в школе, 1974, № 6, с.18- 24.

40. Гончаров В.Л. Вычислительные и графические упражнения с функциональным содержанием в старших классах средней школы.

41. М. Л.: Изд-во АПН РСФСР, 1948. - 256 с.

42. Гурова Л. Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж, 1976.-327 с .

43. Гурский И.П. Функции и построение графиков. М.: Просвещение, 1968. - 215 с.

44. Гусев В.А. Возможности более раннего введения понятия производной в средней школе: Автореф. дис. . канд.пед.наук. М., 1970. 16 с.

45. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972. - 423 с.

46. Декарт. Р. Геометрия. С приложением избранных работ

47. П.Ферма и переписки Декарта (Пер., прим. и статья А.П.Юшкевича.- М. Л.: ГОНГИ. - 296 с.

48. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Наука, 1970. - 640 с.

49. Дьеднне Ж. Основы современного анализа: Пер. с франц. М.: Мир, 1964. - 430 с.

50. Егерев В.К., Радунский В.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. М.: Высшая школа, 1970. - 150 с.

51. Ефремов А.В. Алгебра и элементарные функции IX-X классы: Оборник упражнений для машинного программированного контроля. М.: Просвещение, 1972. - 94 с.

52. Жохов A.JI. Методика систематического применения аналогии при формировании математических понятий и умений решать задачи у учащихся средней школы: Афтореф. дис. . канд.пед.наук. М., 1979. 20 с.

53. Жуковский Н.Е. 0 значении геометрического истолкованияв теоретической механике. Полн.собр.соч., t.IX. М. - Л.: ГОНГИ, 1937. - 510 с.

54. Задания по алгебре и началам анализа для 9 класса. Учебно-методическое пособие (Баум И.В., Брызгалов К.Н., Касаткин В.Н. и др. Киев: Радянська школа, 1981. - 80 с.

55. Зайчиков Ю.В. Графики движения. Квант, 1970, № б, с.39-45.

56. Земляков А.Н. Наглядность при введении основных понятий математического анализа. В кн.: Вопросы преподавания алгебрыи начал анализа в средней школе. М.: Просвещение, 1980, с.147-164.

57. История математики. T.I. (Под ред. А.П.КИпкевича. М.: Наука, 1970. - 351 с.

58. История математики. Т. 2. / Под ред. А.П.КЬпкевича . -М.: Наука, 1970. 300 с.

59. Кабанова Меллер Е.Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 376 с.

60. Кабанова-Меллер Е.Н. Роль образа в решении задач, Вопросы психологии, 1970, № 5, с.39-47.

61. Казанский В.П. Система подготовки учителя математики к осуществлению принципа наглядности в обучении математике: Авто-реф.дис. . канд.пед.наук. М., 1972. 18 с.

62. Каптерев П.Ф. Избранные педагогические сочинения /Под ред. А.М.Арсеньева. М.: Педагогика, 1982. - 704 с.

63. Качество знаний учащихся и пути его совершенствования / Под ред. М.Н.Скаткина и В.В.Краевского. М.: Педагогика, 1978. - 208 с.

64. Клайн М. Логика против педагогики. В сб.: проблемы преподавания математики в вузах. Вып. 3. М.: Высшая школа, 19^, с. 43-63.

65. Клейн ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М. Л.: ГОНГИ, 1933. - 444 с.

66. Колмогоров А.Н. Диалектико-материалистическое воспитание в школьных курсах математики и физики. Квант, 1980, № 4.,с.15-18;

67. Колмогоров А.Н. 0 профессии математика. М.: Изд-во МГУ, 1959. - 46 с.

68. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I.: математические задачи как средство обучения и развития учащихся. -М.: Просвещение, 1977. НО с.

69. Коменский Я.А. Великая дидактика. М., 1893. - 326 с.

70. Коренцова М.М. Ки&атико-геометрическая модель анализа в "Трактате о флюксиях" К.Маклорена. Историко-математичес-кие исследования, ta. ХХП, М.: Наука, 1977, с.9-33.

71. Кронрод Л.С. Несколько замечаний о преподавании анализа школьникам. В кн.: Обучение в математических школах.

72. М.: Просвещение, 1965, с.13-19.

73. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1969. - 431 с.

74. Крылов А.Н. Собр.трудов, т.1, часть 2. Л., 1951. -571 с.

75. Крылов А.Н. Собр.трудов, т.УП. Л., 1936. - 610 с.

76. Кузнецова Т.И. Геометрические модели функциональной зависимости в обучении математике в средней школе: Автореф. дис. . канд.пед.наук. М., 1976. 24 с.

77. Кузнецова Л.В. Элементы преобразований графиков функций в восьмилетней школе. В кн.: Из опыта преподавания математики в школе. М.: Просвещение, 1978, с.168-175.

78. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1: Пер.с нем. М.: Наука, 1967. - 704 с.

79. Кусый Ю.А. Методы и приемы применения моделирования в процессе усвоения учащимися новых знаний / на материале предметов естественно-математического циклов IX-X классов: Автореф. дис. . канд.пед.наук. Киев, 1978.- 17 с.

80. Кучеров В.Е. Воспитательная роль наглядности в процессе обучения математике. Математика в школе, 1980. № I, с.18-21.

81. Лебединцев К.Ф. Введение в современную методику математики. Киев.: Госиздат Украины, 1925. - 94 с.те. Лейбниц Г.В. Избранные отрывки из математических сочинений: Пер. А.П.Юпкевича. Успехи математических наук, 1948, т.III, вып.1. - 180 с.

82. Леонтьев А.Н. Деятельность, сознание, личность. М.: Политиздат,1975. - 304 с.

83. Лопиталь Г.Ф. Анализ бесконечно малых: Пер. с франц. / ред. и вступ. статья А.П.Юнкевича. М. - Л.: 0НТИ, 1835. - 431с.

84. Лоренц Г., Шереметевский В. Элементы высшей математики. Основания аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений и их приложения к естествознанию, т.2. -М.: Госиздат, 1926. 528 с.

85. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К. С. Алгебра: Учебник для б класса средней школы. М.: Просвещение, 1979. -208 с.

86. Макарычев Ю.Н., Кузнецова Л.В. Понятие функции в школьном курсе алгебры. В кн.: Преподавание алгебры в 6-8 классах. М.: Просвещение, 1980, с.63-76.

87. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика /Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

88. Методическое письмо. О преподавании математики в общеобразовательных школах в 1981/82 учебном году. Математика вшколе, 1981, № 2,с. 12-19. t

89. Милорадова Н.Г. Проблема наглядности в истории педагогики (до 1917 года). В кн.: Проблемы управления учебно-воспитель-ным процессом /Йод ред. Н.Ф.Талызиной. М.: Изд-во МГУ, 1977,с.212-222.

90. Монахов В.М. Реализация принципа политехнизма при обучении в восьмилетней школе. В кн.: Преподавание алгебры в 68 классах. М.: Просвещение, 1980, с.46-62.

91. Морозов Г.М. Проблема формирования умений, связанных с применением математики: Автореф. дис. . канд.пед.наук. М., 1978- 22 с.

92. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1967. - 640 с.

93. Мышкис А.Д., Солоноуц Б.0. 0.программе и стиле преподавания математики во втузах. В сб.: Проблемы преподавания математики в вузах. Вып. 3. М.: Высшая школа, 1973, с.3-12.

94. На путях обновления школьного курса математики / Сост. А.И.Маркушевич, Г.Г.Маелова, Р.С.Черкасов. М.: Просвещение, 1976. - 303 с.

95. Недзельская Р.И. Формирование умения решать задачи методом кооринат. В кн.: Проблемы управления учебно-воспитательным процессом /Под ред.Н.Ф.Талызиной. - М.: Изд-во МГУ, 1977,с.142-158.

96. Никитин Н.Н. Съезды преподавателей математики в России. Известия АПН РЖР, вып.У1, 1946. - НО с.

97. Никольский С.М. Элементы математического анализа. М,: Наука, 1981 - 160 с.

98. Ньютон И. Математические работы /Пер., вводная статья и комментарий Д.Д. Мордухай Болтовского. - М. - Л.: ОНТИ, 1937,452 с.

99. О программе по математике для средней общеобразовательной школы на 1982/83 учебный год. Математика в школе, 1982,1. I, с.6-24.

100. Ованесов Н.Г. Основные понятия математического анализа и методика их изучения в средней школе и педагогическом институте: Автореф. дис. . канд.пед.наук. Астрахань, 1969 24 с.

101. От Министерства просвещения СССР. Математика в школе, 1981, № 4, с.7-15.

102. Песталоцци И.Г. Избранные педагогические сочинения / Под ред.В.Н.Оголетова. М.: Педагогика, 1981. T.I - 336 е.; Т. 2 - 416 с.

103. Пойа Д. Математическое открытие: Пер. с англ. М.: Наука, 1976. - 448 с.

104. Пономарев Я.А. Психология творчества. М.: Наука, 1976. - 303 с.

105. Понтрягин Л.С. Математический анализ для школьников.- М.: Наука, 1980. 88 с.

106. Понтрягин Л.С. О математике и качестве её преподавания. Коммунист, 1980, № 14, с.99-112.

107. После выступления "Коммуниста". Коммунист, 1980, № 18, с.119-121.

108. Попруженко М.Г. Материалы по методике анализа бесконечно малых. Спб., 1912. - 91 с*

109. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. М.: Учпедгиз, 1963. 200 с.

110. Почта журнала: июль-декабрь 1981 года. Коммунист, 1982, № 2, с.124-126.

111. Пункаре А. Ценность науки: Пер. с франц. М.: Творческая мысль, 1906. - 384 с.

112. НО. Разумовский В.Г. Развитие творческих способностей учащихся в процессе обучения физике. М.: Просвещение, 1975,- 272 с.

113. Резников Л.И. Графический метод в преподавании физики. М.: Учпедгиз, I960. - 347 с.

114. Ретюнский В.И. Межпредметные связи в обучении как одно из дидактических условий формирования понятий ( на материале преподавания математики в IX-X классах и физики): Автореф. дис. . канд.пед.наук. М., 1978. 15 с.

115. Р^дин У. Основы математического анализа. М.: Мир., 1966.- 319 с.

116. Рубинштейн Л.С. О мышлении и путях его исследования.- М.: Изд-во АПН РСФСР, 1958 НО с.

117. Салмина Н.Г. Ейды и функции материализации в обучении.- M.S Изд-во МГУ, 1981. 134 с.

118. Сборник задач по алгебре для 6-8 классов / Колягин Ю.М., Леонтьева М.Р., Макарычев Ю.Н. и др. М.: Просвещение, 1975. - 208 с.

119. Сборник задач по алгебре и началам анализа для 9-10 классов / Ивлев Б.М., Земляков А.Н. и др. М. : Просвещение, 1978. - 272 с.

120. Сборник конкурсных задач по математике /Под ред. М.И. Сканави. М.: Высшая школа, 1977. - 541 с.

121. Суворова С.Б. Организация материала в учебниках алгебры У1-УШ классов. В кн.: Преподавание алгебры в 6-8 классах / С ост. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. - М.: Просвещение, 1980, с.5-45.

122. Талызина Н.Ф. Теоретические основы программированного обучения. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 133 с.

123. Талызина Управление процессом усвоения знаний. -М.: Изд-во №У, 1975. 343 с.

124. Танатар И.Я. Геометрические преобразования графиков функций. М.: Учпедгиз, 1961. - 167с.

125. Терегулов Ф.Ш. Принцип наглядности и материализация деятельности в процессе обучения: Автореф. дис. . канд.пед. наук. М., 1979. 18 с.

126. Тесленко Н.Ф. Формирование диалектико-материалистичес-кого мировоззрения школьников в процессе обучения математике.- М.: Просвещение, 197Э. 136 с.

127. Томилин Н.А. Роль графического метода при обучении математике. Спб., 1910. - 41 с.

128. Третьякова И.А. Развитие математики бесконечных процессов и вопросы её преподавания в педагогическом институте и средней школе: Автореф.дис. . канд.пед.наук. М.; 1975, -23 с.

129. Фридман Л.М. Дидактические основы применения задач в обучении: Автореф. дис. . докт.пед.наук. М., 1974. 54 с.

130. Хин чин А.Я. Педагогические статьи. M.t Изд-во АПН НЯСР, 1963. - 204 с.

131. Хинриче П. Размышления преподавателя прикладной математики. В сб.; Проблемы преподавания математики в вузах. Вып.

132. М.: Высшая школа, 1976, с, 78 -35.

133. Хрестоматия по истории математики. Ч. II: Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А.П.Шкевича. М.: Просвещение, 1977. - 211 с.

134. Чернявский М.Д. Методика формирования основных понятий математического анализа в средней школе: Автореф. дис. . канд. пед.наук. М., 1976. 16 с.

135. Шварц Л. Анализ: Пер. с франц. T.I. М.: Мир, 1972.- 824 с.

136. Шварцбурд С.И. О политехнической направленности среднего математического образования. Советская педагогика, 19^, № 3, с. 42-47.

137. Шехтер H.C. Психологические проблемы узнавания. -М.: Просвещение, 1967. 220 с.

138. Шмид К. руководство по графическим изображениям: Пер. с англ. М.: Госстатиздат, I960. - 264 с.

139. Эрдниев П.М. Преподавание математики в средней школе. М.: Просвещение, 1978. - 304 с.

140. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых: Пер. с лат., т. I-II. М.: Физматгиз, 1961. T.I - 315 е., т.II - 391с.

141. Юртаева Г.Т. Лабораторно-графические работы в курсах "Алгебра" и "Алгебра и начала анализа" средней школы: Автореф. дис. . канд.пед.наук. М., 1974. 15 с.

142. Юртаева Г.Т. Лабораторно-графические работы по алгебре и началам анализа. М.: Просвещение, 1978. - 80 с.

143. Юшкевич А.П. 0 развитии понятия функции. Историко-математические исследования. Вып. ХУЛ. - М.: Наука, 1966,с.123-149.

144. Юшкевич А.П. Концепции исчисления бесконечно малых Ньютона и Лейбница. Историко-математические исследования. Efcin. ХХШ. - М.: Наука, 1978, с.И-31.щ

145. Якиманская И.С. Образное мышление и его место в обучении. Советская педагогика, 1968, № 12, с.62-71.

146. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. М.: Педагогика, 1980. - 240 с.

147. Сатьянов П.Г. Математическое моделирование в курсе анализа. в сб.: Научные труды. Шп. 136. - М.: МЛТИ, 1981, с.I16-120.

148. С&тьянов П.Г. Графические задачи в курсе начал анализа. В сб.: Научные труды. Вып.136. - М.: МШ, 1981, с.188-192.

149. Сатьянов П.Г. Геометрические аналогии и решение задач анализа. В сб.: Научные труды. Вып. 145. - М.: МЛТИ, 1982,с. 209 213.

150. Сатьянов П.Г. Построение графических изображений (задания для учащихся 9-10 классов) . М.: НИИ СиМО АПН СССР, 1982.- 25 с.

151. Сатьянов П.Г. Задачи,связанные с геометрическим смыслом производной. Математика в школе, 1982, № 3, с. 26-31.

152. Сатьянов П.Г. Анализ: графических изображений (задания для учащихся 9-10 классов).- М.: НИИ СиМО АПН СССР, 1982. 24 с.

153. Сатьянов П.Г. Формулы и графики. Квант, 1982, № II, с. 46 - 50.

154. Сатьянов П.Г. Конструирование уравнений по графикам функциональных зависимостей. В сб.: Научные труды. Вып. 151,-М.: МЛТИ, 1983, с. 54-57.

155. ЬгпкеЬт R. Visual Winking. М К J 1969.

156. Bioom 2). Taxonomy of Educational objectives. HcindMih^tJ%S,

157. FouiaczeL. Ps^choCogicaE tests of mathematical dSilcty.-fozum. of education^ vroli9Z6, № Ш.

158. HatfiemdtUdt Education. Ы iy <f. Begte. Chicago., 1970.160. pLa&ijwsky В. Demonstidtion; decision, and complementation.proiCems and tAei? generation. Jnt. J. MdtA. Eduev Sei and Лекпо£у vot. U, 1980; №6.

159. Mathematics at d glance, ft compendium.-Leipzig,, IQTS.

160. Radford a, Burton £ Thinking: its natuie and development. -London, i974.

161. Shuni K. Padagogiscie Psuchologoe des matm&tischen Den-kene. HeideiSezg^ 1Q6Z.

162. Задачи на построение графических изображений. 164 Задачи качественного анализа графических изображений. 165

163. У У) ;. \ X \о X.->- \ / к0 --> -—^ X 0 к у 0 Рис. 14а Ч^ х \ / х

164. У i У к ^ У <£.-К ■ У --V—>0 Л2 0 Рис, 1.6 х ^ л? Ч

165. УК ' /ГЛ У / ! / 3 1 ■ ^ \ .

166. Рис i / 0 .2 Рис 1\ X . 3 0 а) * ^ Rac. 4 A <?х1. Рис.5Я-га)Z

167. Рис. 7 0 1 д? 0 72 Рис. 8 / 0 я? у Рис. 9Аа 0 Я? Ric.9,63\а)