Методы спуска для негладких равновесных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Пинягина, Ольга Владиславовна

• Пинягина, Ольга Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пинягина, Ольга Владиславовна

Введение

1 Равновесные задачи и вариационные неравенства. Общие сведения

1.1 Равновесные задачи, свойства монотонности, существование и единственность решения.

1.2 Вариационные неравенства и их свойства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы спуска для негладких равновесных задач»

В настоящее время математические модели и методы все шире применяются в разнообразных областях человеческой деятельности. Стремясь формулировать и решать все более сложные задачи, исследователи приходят к необходимости разработки все более общих моделей и, как следствие, все более мощных и эффективных методов решения возникающих задач.

В частности, к такому типу общих моделей можно отнести равновесные модели, которые выражаются в виде равновесных задач и вариационных неравенств и позволяют единым образом формулировать и исследовать разнообразные сложные проблемы, возникающие в математической физике, экономике, исследовании операций и других областях.

Вследствие того, что равновесные задачи ставились и изучались параллельно в разных областях науки, разработаны разные формулировки принципов равновесия, теория и методы решения равновесных задач развивались независимо в разных направлениях, в частности, во многих отраслях физики, в теории ценового равновесия, в математических моделях конфликтных ситуаций.

Формулировка равновесной задачи, которую сейчас считают классической, впервые была приведена в работе Х.Никайдо и К.Исоды (см. [45, 84]). Кроме вышеуказанных авторов, значительный вклад в общую теорию равновесных задач внесли работы Фань Цзы [71, 72], Ж.-П.Обена [48], Е.Блюма и В.Эттли [65, 66], Л. Ниренберга [46].

Равновесные задачи и вариационные неравенства тесно связаны с другими общими задачами нелинейного анализа, такими, как, например, задачи оптимизации, дополнительности, поиска неподвижной точки. Поэтому создание методов решения равновесных задач позволяет также вырабатывать общие подходы к построению методов для различных сложных задач нелинейного анализа. По этой причине теория и методы решения равновесных задач и вариационных неравенств довольно интенсивно развиваются.

Для решения равновесных задач различных классов к настоящему времени предложено значительное число методов. Наиболее разработанными являются методы поиска седловых точек (строго) выпукло - вогнутой функции и методы решения вариационных неравенств с однозначным (строго) монотонным отображением. Методы такого типа предлагались К. Эрроу, JI. Гурвицем, X. Удзавой, В.Ф. Демьяновым, Е.Г. Голь-штейном, Ю.Г. Евтушенко, А.С. Антипиным, Г.М. Корпелевич, В.В. Васиным, И.В. Конновым, А.В. Лапиным, Е.А. Нурминским и П.И. Вер-ченко, Й.-Ш. Пангом и другими (см. [1, 2, 7, 13, 18, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 34, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 62, 73, 87] и др.). Методы решения игровых, в том числе минимаксных, и общих равновесных задач предлагались Дж. фон Нейманом, Н.Н. Воробьевым, Ю.Б. Гермейером, С.И. Зуховиц-ким, Р.А. Поляком, М.Е. Примаком, В.А. Волконским и В.З. Беленьким, В.П. Булатовым, Ю.Г. Евтушенко и В.Г. Жаданом, В.В. Федоровым, А.С. Антипиным, Ш.И. Галиевым, Ю.М. Ермольевым, С.П. Урясьевым и другими (см. [3, 4, 5,10,14,15,17,16, 26, 27, 29, 30, 44, 54, 55, 56, 57, 61] и др.).

В то же время, несмотря на большое число методов, предложенных для решения равновесных задач и вариационных неравенств, в этой области остается значительное число проблем. Одной из главных среди них является проблема построения с одной стороны, простых в вычислительном отношении, а с другой стороны, конструктивных методов, пригодных как для гладких, так и для негладких равновесных задач и вариационных неравенств, как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах.

Как известно, один из наиболее распространенных подходов к решению вариационных неравенств состоит в сведении их к соответствующей оптимизационной задаче с помощью так называемых интервальных (или оценочных) функций, (напр., [54, 55, 56, 57, 85, 86]). Хотя эти функции, как правило, являются невыпуклыми, они позволяют преодолеть многие трудности как в теории, так и при построении методов решения вариационных неравенств. При этом для сходимости обычно требуются дополнительные условия типа сильной монотонности. К тому же обычные интервальные функции не годятся для решения негладких задач в бесконечномерных пространствах.

Интересный класс интервальных функций — D-интервальные функции — был предложен Дж. Пенгом в [88] для обычных вариационных неравенств. Дж. Пенг показал, что D-интервальные функции позволяют преобразовать вариационное неравенство в задачу безусловной дифференцируемой оптимизации без локальных минимумов, если отображение в вариационном неравенстве является сильно монотонным и дифференцируемым. И.В. Коннов [34] распространил этот подход на смешанные вариационные неравенства, включающие негладкие выпуклые функции, и показал, что сами D-интервальные функции для негладких смешанных вариационных неравенств являются гладкими, затем И.В. Коннов и С. Кум [74] расширили этот подход на случай гильбертовых пространств.

С другой стороны, для решения монотонных вариационных неравенств широко используются регуляризирующие приемы (см. например, [74]), основанные на аппроксимациях Тихонова-Браудера [9, 60, 67, 68]. При этом для решения исходной монотонной задачи строится последовательность регуляризированных задач, обладающих усиленными свойствами монотонности, таким образом, что последовательность решений регуляризированных задач сходится в решению исходной задачи.

В данной работе комбинирование этих двух технологий — интервальных функций и регуляризации — позволило построить методы для решения негладких равновесных задач и смешанных вариационных неравенств в общем монотонном случае. Кроме этого, показано, что требования к регуляризирующей функции могут быть ослаблены — достаточно, чтобы она была не сильно, а только равномерно монотонной.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. В первой главе приводятся известные из литературы общие сведения о вариационных неравенствах и равновесных задачах, необходимые для использования в последующих главах — разнообразные свойства монотонности, теоремы о существовании и единственности решений вариационных неравенств и равновесных задач, примеры приложений.

Во второй главе рассматривается аппарат интервальных функций применительно к негладким равновесным задачам. В первом разделе исследуются свойства обычных интервальных функций, на основе которых во втором разделе строится метод спуска для негладкой равновесной задачи в конечномерном пространстве. Для построения итерационной последовательности по этому методу не требуется вычисления производных, хотя сходимость метода существенно на них опирается. В третьем разделе рассматриваются свойства одного класса интервальных функций, а именно D-интервальных функций, на базе которых в четвертом разделе построен сильно сходящийся метод спуска для той же негладкой равновесной задачи в гильбертовом пространстве. D-интервальные функции позволяют в бесконечномерном пространстве преодолеть трудности, связанные с негладкостью исходных задач.

Третья глава посвящена монотонным равновесным задачам и вариационным неравенствам. Для их решения применяется аппарат регуляризации Тихонова-Браудера, при котором исходная монотонная задача заменяется на последовательность задач с усиленными свойствами монотонности, последовательность решений которых сходится к решению исходной задачи. Построены двухуровневые методы решения монотонных задач. В первом разделе рассматривается равновесная задача в конечномерном пространстве, во втором — в гильбертовом пространстве, третий раздел посвящен рассмотрению смешанного вариационного неравенства в конечномерном пространстве, причем для построения возмущенных задач применяется равномерно монотонная регуляризирующая функция.

Четвертая глава посвящена численному исследованию методов, изложенных во 2 и 3 главах. В первом разделе четвертой главы рассмотрены тестовые примеры, иллюстрирующие поведение методов на практике. Во втором разделе рассмотрен пример приложения вариационных неравенств к задаче потокового равновесия, приведены результаты численных экспериментов решения этой задачи.

Для теорем, лемм, предложений, следствий, задач и формул в работе применяется двойная нумерация, где первое число означает номер главы, а второе — порядковый номер утверждения в рамках данной главы.

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах: [31], [36]—[38], [50]—[53], [75]-[77]. Результаты докладывались на семинарах кафедры экономической кибернетики, на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (2002-2005); на Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения-2003", г.Екатеринбург, 24-28 февраля 2003 г., на "18 Международном симпозиуме по математическому программированию", г. Копенгаген, Дания, 18-22 августа 2003 г., на Пятом и Шестом Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения", г. Казань, 17-21 сентября 2004 г. и 30 сентября-2 октября 2005 г.

Автор искренне признательна научному руководителю профессору Игорю Васильевичу Коннову за внимание к работе, полезные замечания и обсуждения и за сотрудничество в целом.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Пинягина, Ольга Владиславовна

Заключение

Таким образом, в данной работе комбинирование двух технологий — интервальных функций и регуляризации — позволило построить методы для решения негладких равновесных задач и смешанных вариационных неравенств в общем монотонном случае. При этом ослаблены требования на регуляризирующую функцию — достаточно, чтобы она была не сильно, а равномерно монотонной. Полученные результаты можно обобщить следующим образом.

1. На основе интервальных функций построен метод спуска без вычисления производных для решения негладких равновесных задач в конечномерном пространстве, доказана его сходимость при сильной монотонности задачи.

2. На базе D-интервальных функций построен и обоснован сильно сходящийся метод спуска без вычисления производных для негладких сильно монотонных равновесных задач в гильбертовом пространстве.

3. Для решения негладких монотонных равновесных задач в конечномерном пространстве построен двухуровневый метод, основанный на решении регуляризированных задач методом спуска по интервальной функции с заданным порядком точности приближения, доказана его сходимость.

4. Для решения негладких монотонных равновесных задач в гильбертовом пространстве построен двухуровневый метод, основанный на решении регуляризированных задач методом спуска по D-интервальной функции с заданным порядком точности приближения, доказана его сильная сходимость.

5. Для решения монотонных смешанных вариационных неравенств в конечномерном пространстве на основе комбинированного метода регуляризации и спуска по интервальной функции построен двухуровневый метод, доказана его сходимость. В этом методе для построения возмущенных задач используется широкий класс равномерно монотонных ре-гуляризирующих функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пинягина, Ольга Владиславовна, 2006 год

1. Антипин, А.С. Об одном методе отыскания седловой точки модифицированной функции Лагранжа Текст] / А.С. Антипин // Экон. и мат. методы. - 1977. - Т.13, №3. - С.560-565.

2. Антипин, А.С. Градиентные и проксимальные управляемые процессы Текст] / А.С. Антипин // Вопр. кибернетики. — М.,1992. — Вып. 178. С.32-67.

3. Антипин, А.С. О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений Текст] / А.С. Антипин // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1995. Т.35, №5. - С.688-704.

4. Антипин, А.С. Итеративные методы прогнозного типа для вычисления неподвижных точек экстремальных отображений Текст] / А.С. Антипин // Изв. вузов. Математика. 1995. - №11. - С.17-27.

5. Антипин, А. С. Вычисление неподвижных точек экстремальных отображений при помощи методов градиентного типа Текст] / А.С. Антипин //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1997. — Т.37, №1. — С.42-53.

6. Бадриев, И.В., Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах Текст]: учеб. пособие / И.Б. Бадриев, О.А. Задворнов. — Казань: Казанский государственный университет, 2003. — 132 с.

7. Бадриев, И.Б., Методы двойственности в прикладных задачах: Общая теория Текст]: учеб. пособие / И.Б. Бадриев, М.М. Карчевский.

8. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. — 146 с.

9. Байокки, К. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей Текст]: пер. с англ. / К. Байокки, А. Капело. — М.: Наука, 1988. — 448 с.

10. Бакушинский, А.Б. Итерационные методы решения некорректных задач Текст] / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. — М.: Наука, 1989. 128 с.

11. Беленький, В.З. Итеративные методы в теории игр и программировании Текст] / В.З. Беленький, В.А. Волконский, С.А. Иванков и др. М.: Наука, 1974. - 240 с.

12. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач Текст]: учеб. пособие / Ф.П. Васильев. — М.: Наука, 1981. — 400 с.

13. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач Текст] : учеб. пособие для вузов / Ф.П. Васильев. — М.: Наука, 1988. 522 с.

14. Васин, В.В., Некорректные задачи с априорной информацией Текст] / В.В. Васин, A.JI. Агеев. — Екатеринбург: Наука, 1993. — 263 с.

15. Воробьев, Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры Текст] / Н.Н. Воробьев. М.: Наука, 1984. - 496 с.

16. Галиев, Ш.И. Направления убывания для минимаксиминных задач Текст] / Ш.И. Галиев //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1994. Т.34, №3. С.323-343.

17. Галиев, Ш.И. Нахождение приближенных решений минимаксных задач Текст] / Ш.И. Галиев //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1997.- Т.37, №12. С.1439-1448.

18. Гермейер, Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами Текст] / Ю.Б. Гермейер. М.: Наука, 1976. - 327 с.

19. Голыптейн, Е.Г. Обобщенный градиентный метод отыскания седло-вых точек Текст] / Е.Г. Голыптейн // Экон. и мат.методы. — 1972. Т.8, №4. - С.569-579.

20. Голыптейн, Е.Г. Метод уровней, его обобщения и приложения Текст] / Е.Г. Голыптейн, А.С. Немировский, Ю.Е. Нестеров // Экон. и мат. методы. 1995. - Т.31, №3. - С.164-180.

21. Демьянов, В.Ф. Численные методы разыскания седловых точек Текст] / В.Ф. Демьянов, А.Б. Певный // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1972. - Т. 12, №5. - С.1099-1127.

22. Демьянов, В.Ф. Приближенные методы решения экстремальных задач Текст] /В.Ф. Демьянов, A.M. Рубинов. — JL: Ленингр. ун-т, 1968. 180 с.

23. Демьянов, В.Ф. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление Текст] /В.Ф. Демьянов, A.M. Рубинов. — М.: Наука, 1990. 432 с.

24. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике Текст] : пер. с франц. / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. М.: Наука, 1980. - 384 с.

25. Евтушенко, Ю.Г. Итеративные методы решения минимаксных задач Текст] / Ю.Г. Евтушенко //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1974. — Т. 14, №5. С.1138-1149.

26. Евтушенко, Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации Текст] / Ю.Г. Евтушенко. — М.: Наука, 1982. 432 с.

27. Евтушенко, Ю.Г. Численные методы решения некоторых задач исследования операций Текст] / Ю.Г. Евтушенко, В. Г. Жадан //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1973. - Т.13, №3. - С.583-598.

28. Ермольев, Ю.М. О поиске равновесий по Нэшу в играх многих лиц Текст] / Ю.М. Ермольев, С.П. Урясьев // Кибернетика. — 1982. — №3. С.85-88.

29. Зангвилл, У. Нелинейное программирование. Единый подход Текст] : пер. с англ. / У. Зангвилл. — М.: Советское радио, 1973. — 312 с.

30. Зуховицкий, С.И. О вогнутой игре п лиц и одной модели производства Текст] / С.И. Зуховицкий, Р.А. Поляк, М.Е. Примак // Докл. АН СССР. 1970. - Т.191, М. - С.1220-1223.

31. Зуховицкий, С.И. Вогнутые игры многих лиц Текст] / С.И. Зуховицкий, Р.А. Поляк, М.Е. Примак // Экон. и мат.методы. — 1971. — Т.7, №6. С.888-900.

32. Киндерлерер, Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения Текст] : пер. с англ. / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. — М.: Мир, 1983. 256 с.

33. Коннов, И.В. Методы решения конечномерных вариационных неравенств. Курс лекций Текст] / И.В. Коннов. — Казань: Изд-во ДАС, 1998. 101 с.

34. Коннов, И.В. Об одном классе D-интервальных функций для смешанных вариационных неравенств Текст] / И.В. Коннов // Изв.вузов. Математика. — 1999. — №12. — С.60-64.

35. Коннов, И.В. Об одном классе моделей экономического равновесия Текст] / И.В. Коннов // Экон. и мат. методы. — 2004. Т.40, №3. - С.103-109.

36. Коннов, И.В. Метод спуска по интервальной функции для негладких задач равновесия Текст] / И.В. Коннов, О.В. Пинягина // Изв.вузов. Математика. 2003. - №12. - С.71-77.

37. Корпелевич, Г.М. Экстраградиентный метод для отыскания седло-вых точек и других задач Текст] / Г.М. Корпелевич // Экон. и мат.методы. 1976. - Т.12, №4. - С.747-756.

38. Корпелевич, Г.М. Экстраполяционные градиентные методы и их связь с модифицированными функциями Лагранжа Текст] / Г.М. Корпелевич // Экон. и мат.методы. — 1983. — Т.19, №4. — С.694-703.

39. Лапин, А.В. Введение в теорию вариационных неравенств Текст] / А.В. Лапин. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1981. — 125 с.

40. Лапин, А.В. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств Текст] / А.В. Лапин. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. — 96 с.

41. Лапин, А.В. Методы релаксации для некоторых классов вариационных неравенств в Rn Текст] / А.В. Лапин // Сб. "Числ. анализ и мат. моделирование", М.: ОВМ АН СССР. 1989. - С.127-143.

42. Нейман, Дж. Теория игр и экономическое поведение Текст] : пер. с англ. / Дж. Нейман, О. Моргенштерн. — М.:Наука,1970. — 707 с.

43. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика Текст] : пер. с англ. / X. Никайдо. М.: Мир, 1972. - 520 с.

44. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу Текст] : пер. с англ. / Л. Ниренберг. М.: Мир, 1977. - 232 с.

45. Нурминский, Е.А. О сходимости алгоритмов поиска седловых точек Текст] / Е.А. Нурминский, П.Е. Верченко // Кибернетика. — 1977. -т. С.112-116.

46. Обен, Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения Текст] : пер. с франц. / Ж.-П. Обен. М.: Мир, 1988. - 264 с.

47. Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения Текст] : пер. с англ. / П. Панагиотопулос. — М.: Мир, 1989. — 494 с.

48. Пинягина, О.В. Метод спуска по интервальной функции для негладких монотонных задач равновесия Текст] / О.В. Пинягина // Вычислительные методы и программирование. 2004. - Т.5. - С.154-160.

49. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию Текст] / Б.Т. Поляк. — М.: Наука, 1983. 384 с.

50. Примак, М.Е. Об одном вычислительном процессе отыскания точек равновесия Текст] / М.Е. Примак // Кибернетика. — 1973. — №1. — С.91-96.

51. Примак, М.Е. К вопросу об отыскании решения модели производства обмена Текст] / М.Е. Примак // Экон. и мат.методы. — 1979. - Т.15, №3. - С.559-571.

52. Примак, М.Е. Алгоритм отыскания решения линейной модели чистого обмена и линейной модели Эрроу-Дебре Текст] /М.Е. Примак // Кибернетика. 1984. - №5. - С.76-81.

53. Пшеничный, Б.Н. Необходимые условия экстремума Текст] / Б.Н. Пшеничный. М: Наука, 1969. - 152 с.

54. Сеа, Ж. Оптимизация Текст] / Ж. Сеа. М.: Мир, 1973. - 244 с.

55. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст] : учеб. пособие для вузов / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. — М.: Наука, 1979.- 285 с.

56. Федоров, В.В. Численные методы максимина Текст] / В.В. Федоров.- М.: Наука, 1979. 280 с.

57. Эрроу, К. Дж., Исследования по линейному и нелинейному программированию Текст]: пер. с англ. / К.Дж. Эрроу, JI. Гурвиц, X. Удза-ва. М.: ИЛ, 1962. - 335 с.

58. Auslender, A. Optimisation: Methodes Numeriques Текст] / A. Auslender. — Paris: Masson, 1976. — 178 p.

59. Bertsekas, D. Projection methods for variational inequalities with application to the traffic assignment problem Текст] / D. Bertsekas, E. Gafni // Math. Progr. Study. Amsterdam. - 1982. - V.17. -P.139-159.

60. Blum, E. Variational principles for equilibrium problems Текст] / E. Blum, W. Oettli // Parametric Optimization and Related Topics III/ Edited by J. Guddat, H.Th. Jongen, B. Kummer, and F. Nozicka.- Frankfurt am Main: Peter Lang, 1993. P.79-88.

61. Blum, E. From optimization and variational inequalities to equilibrium problems Текст] / E. Blum, W. Oettli // The Mathem. Student. -1994. V.63, №1. — P. 123-145.

62. Browder, F.E. Nonlinear monotone operators and convex sets in Banach spaces Текст] / F.E. Browder // Bull, of the Amer. Math. Soc. — 1965.- V.71, №5. P.780-785.

63. Browder, F.E. Existence and approximation of solutions of nonlinear Variational inequalities Текст] / F.E. Browder // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1966. - V.56. - P.1080-1086.

64. Chadli, 0. Descent method for equilibrium problems in a Banach space Текст] / О. Chadli, I.V. Konnov, J.C. Yao // Сотр. Mathem. Appl. -2004. V.48. - P.609-616.

65. Cojocaru, M.-C. Projected Dynamical Systems, Evolutionary Variational Inequality, Applications, and a Computational Procedure Текст] / M.-C. Cojocaru, P. Daniele, A. Nagurney //J. Optim. Theory Appl. 2005.-V.127, №3.-P.l-15.

66. Fan, K. A generalization of Tychonoff's fixed-point theorem Текст] / К. Fan // Math. Annalen. 1961. - V.142, №3. - P.305-310.

67. Fan, K. A minimax inequality and applications Текст] / К. Fan // Inequalities III / Edited by O. Shisha. — New York: Academic Press, 1972. P.103-113.

68. Konnov, I.V. Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities Текст] / I.V. Konnov. — Berlin: Springer-Verlag, 2001. — 181 p.

69. Konnov, I.V. Descent methods for mixed variational inequalities in a Hilbert space Текст] / I.V. Konnov, S. Kum // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2001. - V.47. - P.561-572.

70. Konnov, I.V. D-gap functions for a class of equilibrium problems in Banach spaces Текст] / I.V. Konnov, O.V. Pinyagina // Computational Methods in Applied Mathematics. 2003. - V.3, №2. - P.274-286.

71. Konnov, I.V. D-gap functions and descent methods for a class of monotone equilibrium problems Электронный ресурс] / I.V. Konnov, O.V. Pinyagina // Lobachevskii Journal of Mathematics (http://ljm.ksu.ru). 2003. - V.13. - P.57-65.

72. Larsson, Т., Ergodic, primal convergence in dual subgradient schemes for convex programming Текст] / Т. Larsson, M. Patriksson, A.-B. Stromberg // Math. Programming. 1999. - V.86. - P.283-312.

73. Lescarret, C. Cas d'Addition des Applications Monotones Maximale dans un Espace de Hilbert Текст] / С. Lescarret // Comptes Rendues Hebdomadaires des Seances de l'Academie des Sciences. — 1965. — V.261. P.1160-1163.

74. Lions, J.-L. Variational inequalities Текст] / J.-L. Lions, G. Stampacchia // Comm. Pure. Appl. Math. 1967. - V.20, N3. - P.493-519.

75. Nagurney, A. Network Economics: A Variational Inequality Approach Текст] / A. Nagurney. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1999. 444 p.

76. Nash, J. Non-cooperative games Текст] / J. Nash // Ann. of Mathematics. 1951. - V.54, №2. - P.286-295.

77. Nikaido, H. Note on noncooperative convex games Текст] / H. Nikaido, K. Isoda // Pacific J. Mathematics. 1955. - V.5, №1. - P.807-815.

78. Patriksson, M. Merit functions and descent algorithms for a class of variational inequality problems Текст] / M. Patriksson // Optimization.- 1997. V.41, M. - P.37-55.

79. Patriksson, M. Nonlinear Programming and Variational Inequality Problems: a unified approach Текст] / M. Patriksson. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1999. — 334 p.

80. Pang, J.-S. Iterative methods for variational and complementarity problems Текст] / J.-S. Pang, D. Chan // Math. Programming. — 1982,- V.24, №3. P.284-313.

81. Peng, J.-M. Equivalence of variational inequality problems to unconstrained minimization Текст] / J.-M. Peng / / Math. Programming. 1997. - V.78. - P. 347-355.

82. Rosen, J.B. Existence and uniqueness of equilibrium points for concave n-person games Текст] / J.B. Rosen // Econometrica. — 1965. — V.33, №3. P.520-534.

83. Yamashita, N. Unconstrained optimization formulations of variational inequality problems Текст] / N. Yamashita, K. Taji, M. Fukushima // J. Optim. Theory and Appl. 1997. - Y.92. - P.439-456.