Методы усреднения задач диффузии и конвекции примесей в пороупругих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Зимин, Решат Нариманович

  • Зимин, Решат Нариманович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2013, Белгород
  • Специальность ВАК РФ01.01.02
  • Количество страниц 138
Зимин, Решат Нариманович. Методы усреднения задач диффузии и конвекции примесей в пороупругих средах: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. Белгород. 2013. 138 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зимин, Решат Нариманович

Оглавление

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

Глава 2. Математические модели диффузии и конвекции примесей в абсолютно твердом скелете

2.1 Постановка задачи и основные результаты

2.2 Доказательство Теоремы 2.1

2.3 Доказательство Теоремы 2.2

2.4 Доказательство Теоремы 2.3

2.5 Доказательство Теоремы 2.4

Глава 3. Математические модели диффузии - конвекции

в пороупругой среде

3.1 Постановка задачи

3.2 Основные результаты

3.3 Доказательство Теоремы 3.1

3.4 Доказательство Теоремы 3.2

3.5 Доказательство Теоремы 3.3

3.6 Доказательство Теоремы 3.4

Литература

Ч

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы усреднения задач диффузии и конвекции примесей в пороупругих средах»

Введение

Настоящая диссертация посвящена получению методами усреднения новых математических моделей, описывающих процессы диффузии и конвекции примесей в пороупругой среде. Такая среда состоит из твердого скелета, перфорированного порами, и жидкости в порах. В работе был получен набор математических моделей, учитывающих характеристики не только жидкости, несущей примеси, но и твердого скелета, а также влияние примеси на реологические свойства жидкости (зависимость вязкости или плотности жидкости от концентрации примеси).

Уравнения пороупругости, полученные К. фон Терцаги ([73]) и М. Био ([16], [17], [18]) долгое время являлись общепринятыми и служили основой для решения практических задач пороупругости. Эти уравнения учитывают перемещение не только жидкости в порах, но и твердого скелета. Предлагаемые К. фон Терцаги и М. Био модели называют феноменологическими: в них постулируются свойства смеси твердой и жидкой компонент. Позже, ряд авторов (Р. Барридж и Дж. Келлер [28], Э. Санчес-Паленсия [71], Т. Леви [55], [58]) предложили вывод уравнений пороупругости на основе основных законов механики сплошных сред и методов усреднения. Это было вполне естественно, сначала, описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью теории усреднения (усредненные уравнения).

Согласно [71], различные задачи механики сильно неоднородных сред и композитных материалов приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Требуется построить модель среды, ло-

кальные свойства которой резко меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического ее описания к макроскопическому, т.е. рассматривать усредненные характеристики такой среды. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к дифференциальным уравнениям с резко изменяющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости и гидродинамике, в теории гетерогенных сред и композитных материалов, теории фильтрации и других задачах физики и механики. Непосредственное численное решение таких задач, как правило, затруднительно даже на современных ЭВМ. Поэтому возникает вопрос о построении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые называются усредненными. Часто такие дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты. Усредненные уравнения позволяют определить с большой точностью эффективные характеристики первоначальной среды. Это условие обеспечивается основным требованием, которому должны удовлетворять усредненные уравнения - близость решений соответствующих краевых задач для исходных и усредненных уравнений. Математическое описание сильно неоднородных сред часто основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (например, периодической, квазипериодической, случайной однородной и др.) Если масштаб неоднородности среды имеет порядок е, то среда описывается дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых в зависимости от характера микроструктуры среды является периодическими, квазипериодическими, реализацией однородного случайного поля и др. Требуется определить поведение при £ —» 0 ре-

шений краевой задачи для дифференциальных уравнений такого рода с быстро осциллирующими коэффициентами и построить усредненное уравнение, которому удовлетворяет предельная функция.

Для объяснения этого метода, рассмотрим ограниченную область С Я3, перфорированную порами. Поровое пространство (жидкая часть) Q,f заполнено вязкой жидкостью, а твердый скелет = у предполагается упругим телом. Совместное движение в описывается системой уравнений [106]

^(ру) + V • (ру <8> V - ХР/ + (1 - Х)Р5) = (0.0.1)

+ = 0, (0.0.2) которая содержит динамические уравнения Стокса для жидкости

¿V „ т _ йр „

в поровом пространстве Q,f при £ > 0, динамические уравнения Ламе для твердой компоненты

Р1Е = у ' + ^ + " ^ =

в при £ > 0 и условие непрерывности нормальных напряжений

(Р5 - Р/) • п = 0

на общей границе «поровое пространство - твердый скелет» Г(£), где п - единичный вектор нормали к Г(£). Здесь V • и - дивергенция вектора и, матрица а® Ъ действует на произвольный вектор с по следующему правилу

(а 0 6) • с = а(Ъ • с),

для любых векторов а, 6, х характеристическая функция порового пространства Q,f,¥fи¥s тензора напряжений в жидкой и твердой частях со-

ответственно, V - скорость среды, р - плотность среды, .Р - заданный вектор распределенных массовых сил. Все уравнения понимаются в смысле теории распределения (как соответствующие интегральные тождества).

Приведенная выше задача является сильно нелинейной и содержит еще одну неизвестную величину - общую границу «поровое пространство - твердый скелет». Главным постулатом здесь является то, что твердая и жидкая компоненты не смешиваются. Таким образом, неизвестная (свободная) граница Г(£) является поверхностью контактного разрыва [106], которая определяется из задачи Коши для характеристической функции х порового пространства Г2/:

во всей области при t > 0.

Очевидно, что математическая модель (0.0.1) - (0.0.3) трудна для непосредственного численного решения, так как функция х меняет свое значения с 0 на 1 на масштабе в несколько микрон. Для построения модели, описывающей наш процесс, мы используем схему, предложенную в [28], [71], и после линеаризуем исходную систему.

Для линеаризации модели аппроксимируем характеристическую функцию х порового пространства Qf ее значением в начальный момент времени

(0.0.3)

X - Хо(х)

и свободную границу ее начальным положением Го-Далее предположим, что

дт

в жидкои части,

(1р „ 9 др „ ди>

с1р _о др _ дт

&г г 8 дь г дг

в твердом скелете, где pf и р3 постоянные средние плотности жидкости в порах и твердого скелета соответственно, с/ и с3 - скорость звука в жидкости и в твердом скелете соответственно, и, что

Р/ = рЩх, у) + (г/ (V • у) - р) I, (0.0.4)

РЛ = ЛО(ж,го)-р! (0.0.5)

Здесь Ш>(х,и) - симметричная часть Чи, I - единичный тензор, ги - вектор перемещения среды, р - динамическая вязкость, р - объемная вязкость и Л - постоянная упругости Ламэ.

Для того чтобы применить хорошо известный результат теории усреднения - метод двухмасштабной сходимости ([68]), мы должны рассматривать поровое пространство Qf специального вида.

Предположение 1. Пусть х(у) ~ 1-периодическая по переменной у функция такая, что х{у) = 1, У £ У/ С У, х{у) = 0, у е У3 = У\У/, где У - единичный куб Я3.

1) Множество У} является открытым и 7 = <9У/ П дУ8 - липшецева поверхность.

2) Пусть Уу есть периодическое повторение в Я3 элементарной ячейки £ У/. Уявляется СВЯЗНЫМ множеством с липшецевой границей ЗУр которая является периодическим повторением границы £7.

3) С Я3 - ограниченное множество с липшецевой границей 5 = дО, и Щ = ПпУ^ - поровое пространство, Щ = - твердый скелет, и Го = Ге = дЩ П дЩ - общая граница «твердое тело - поровое пространство».

Пусть £(ж) характеристическая функция области Q. х£(х) = С(х)х(х/£)

- характеристическая функция порового пространства Щ.

В безразмерных переменных

х w t „ F

х —, w —, i F —

L L т д

линеаризованная динамическая система примет вид

d2w

aTge— = V- Р +g£F, (0.0.6)

Quo

Р = хе Щх, —) + (1 - х>а B(z, ад) + (а, (V • v) - р) I, (0.0.7)

p + a£pS7-w = 0, (0.0.8)

где L - характерный размер физической области , г - характерное время физического процесса ид- ускорение свободного падения. В (0.0.6) - (0.0.8) £ = 1/L - безразмерный размер пор, _ L _ 2¡I _ 2А

ат О) 7 П' 7 П'

дт2 ^ тЬдри Lgp°

_ _ Qf _ Qs

а"~тЬдр^ apJ~Lgcf

«р = aP,fX£ + ®pAl ~ Xе), Qe = Qf Xе + Qs (1 - Xе),

где I - средний размер nop, Qf и qs - безразмерные плотности жидкости и твердого скелета соответственно, соотнесенные к плотности воды р°.

Различные частные случаи линеаризации системы (0.0.1) - (0.0.3) рассматривались многими авторами: Дж. Бьюкенен - Р. Гильберт - Ж. Лин [26, 36], М. Бакингем [27], Р. Барридж - Дж. Келлер [28], Т. Клопиу

- Ж. Ферри - Р. Гилберт - А. Микелич - JT. Паоли [30, 35, 67], Т. Jle-ви [55], Г. Нгуетсенг [69], Ж. Санчес-Хьюберт [70], Э. Санчес-Паленсия [71]. Систематическое изучение описанной задачи можно найти в работе А. М. Мейрманова [93]. В ней, в зависимости от значения безразмерного

параметра ат, система (0.0.6) - (0.0.8), как линеаризация (0.0.1), описывает различные типы физических процессов:

- для очень медленных по времени процессов, таких как фильтрация жидкости, ат ~ 0;

- для быстропротекающих процессов (коротких по времени), таких как акустика или гидравлический удар, ат ~ 1, или ат ~ оо.

Теоретически система (0.0.6) - (0.0.8) с соответствующими начальными и граничными условиями, одна из наиболее адекватных математических моделей, описывающих движение вязкой жидкости в перфорированном порами упругом скелете. Мы предполагаем, что все безразмерные параметры ат, а- являются переменными функциями, зависящими от малого параметра г, и находим все предельные режимы системы (0.0.6) - (0.0.8) при е —)■ 0. Понятно, что все предельные режимы будут зависеть от параметров ат, ад,---) или точнее, от их предельных значений при £ = 0.

Чтобы различать физические процессы и различные типы сплошных сред, рассмотрим следующие предельные значения безразмерных параметров

lim ar(e) = r0, lim а» (е) = НтаА(е) = Л0,

е\0 е\0 е\0

lim а£(е) = 40, lima£(e) = cs,o> lim = ¡Ii, lim — = Ai.

е\0 £г £\0 £г

Для процессов фильтрации tq = 0 и вместо системы уравнений (0.0.6) мы рассмотрим следующую систему

V- P + ££F = 0. (0.0.9)

Система (0.0.7) - (0.0.9) описывает медленное движение сжимаемой вязкой жидкости в порах. Из реальных экспериментов известно, что, как

правило, для такого движения скорость жидкости составляет около 6 -12 метров в год.

В классической механике пытаются максимально упростить уравнения, используя при этом всевозможные упрощающие предположения. В частности, таким упрощающим предположением является несжимаемость среды. Известно, что мерой несжимаемости среды является скорость звука в ней. Несжимаемая среда имеет бесконечную скорость звука. В частности, для очень медленных по времени физических процессов поведение акустических волн не так важно и мы можем предполагать, что многие реальные жидкости несжимаемы. С другой стороны, согласно экспериментальным данным, скорость звука в твердом скелете в два - три раза больше, чем скорость звука в жидкости. Но в силу первого предположения имеем, что и упругий скелет является так же несжимаемым, и в конечном итоге получаем

С/,о = ОО, о = оо.

Таким образом, фильтрация несжимаемой жидкости в упругом твердом скелете описывается следующей системой

дии

V • (х£ ^ В(х, + (1 - Х>Л Щх, IV)-р I) + д£Г = 0, (0.0.10)

= (0.0.11)

Самым простейшим случаем является движение вязкой жидкости в абсолютно твердом скелете. Соответствующим упрощением системы (0.0.7) - (0.0.9) для случая сжимаемой жидкости, является система

^ + = (0.0.12)

V • (а„В(х,у) -р!) -\-efF = 0 (0.0.13)

для скорости у(х, £) и давления жидкости р(х, £) в области П/ при Ь > 0.

Движение несжимаемой вязкой жидкости в абсолютно твердом скелете описывается уравнением (0.0.13) и уравнением неразрывности

У-г> = 0. (0.0.14)

Заметим, что все упрощенные модели строго выводятся из системы уравнений (0.0.6) - (0.0.8) как асимптотические пределы при а>\ —У оо или ар,/ оо.

Теперь, после всех упрощений, мы можем перейти к пределу при £->0и получить желаемые усредненные модели. Но, в первую очередь, мы должны решить какие модели мы хотим получить. Все зависит от предельных значений то, ¡¿о, Ао и т. д., которые принимают безразмерные параметры.

Таким образом, у нас есть набор приближенных моделей, от простых до весьма сложных. Выбор той или иной модели зависит только от наших практических потребностей.

Основная идея состоит в том, чтобы найти наиболее адекватные и правильные математические модели на микроскопическом уровне для каждого из рассмотренных физических процессов, которые базируются на основных принципах механики сплошных сред, и выполнить предельный переход от микроскопического уровня к макроскопическому. Выбор модели на микроскопическом уровне должен основываться на определении теоретических малых параметров и безразмерных критериев, описывающих процесс (медленный или быстропротекающий, сжимаемая или несжимаемая среда и т.д).

Подчеркнем, что все наши результаты основаны на методе двухмас-штабной сходимости Нгуетсенга [59]. Очень часто в задачах для уравнений с частными производными необходим предельный переход при е 0

в интеграле

Iе = u£(x)v£(x)ip(x)dx. (0.0.15)

при этом последовательности {и£} и {г>е} сходятся только слабо в Z^^)-В частности, даже при специальном виде последовательности и£(х) = и{х/е) (усреднение периодических структур) приходилось использовать достаточно сложные математические конструкции.

Г. Нгуетсенг предложил НОВЫЙ ВИД СХОДИМОСТИ В 1/2(0), двухмас-штабная сходимость, где все функции вида и£(х) — и(х, х/е) образуют класс пробных функций, и перенес решение об определении предела произведения двух последовательностей в совершенно другую плоскость, где и нашел точный ответ.

Общие вопросы теории усреднения дифференциальных операторов рассматриваются в монографиях многих исследователей: В.В. Жико-ва, С.М. Козлова, O.A. Олейник [43], O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна, A.C. Шамаева [107], В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [92], А. Бенсусана, Ж. - Л. Лионса, Д. Папаниколау [14], Ж. - Л. Лионса[49], Э. Санчес-Паленсии [71], Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко [77], А.Л. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева [108] и других авторов.

Проблема описания диффузии и конвекции вредных примесей в подземных массивах является важной государственной задачей и ее решение требует наличия как можно более точных математических моделей.

Если рассматривать только диффузию, то такие модели достаточно хорошо и полно изучены и уже описаны в монографиях ([43], [71]). Поэтому мы не приводим соответствующую литературу, ее можно найти в указанных книгах.

Очень интересной с физической и математической точек зрения является задача о совместном определении распределения концентрации

примеси при ее диффузии и конвекции, и поля скоростей несущей жидкости. Такая задача возникает, если определение поля скоростей зависит от содержания примеси в жидкости. Соответствующие модели динамики вязкой жидкости известны [106], [111] и для них либо коэффициент вязкости зависит от концентрации примесей, либо концентрация примесей линейным образом входит в массовую силу (объемное расширение), либо и то и другое. Возможно также появление концентрации в уравнении неразрывности. Все зависит от способа упрощения (линеаризации) исходных нелинейных уравнений. До последнего времени какие-либо результаты по моделям совместного определения распределения концентрации примеси и поля скоростей несущей жидкости отсутствовали. Только в последнее время появились работы Св.А. Гриценко [78] - [80], в которых, в уравнениях динамики жидкости в абсолютно твердом пористом грунте, вязкость жидкости зависит от концентрации примеси. Модели в которых поле скоростей несущей жидкости зависит от концентрации примеси и от динамики упругого скелета грунта все еще не были изучены.

Диффузия-конвекция в пористой среде Пей3 описывается конвективным уравнением диффузии в жидкой части Qf области Q (поровом пространстве)

дс

— + vVc = DAc, (0.0.16)

ot

для концентрации примеси c(x,t). Здесь D - коэффициент диффузии и v - скорость жидкости.

Если мы рассмотрим более общий случай движения сплошной среды, который является обобщенным движением с разрывом, то граничное условие на поверхности разрыва Г^ = dQ,s П <9П/ (общая граница «поровое пространство - твердый скелет») в момент времени t > 0 имеет

вид

с ((V • п) - 14) = В (V с • п). (0.0.17)

В (0.0.17) п - единичный вектор нормали к Г^ Уп - скорость перемещения поверхности Гі в направлении нормали п.

В общем случае поле скоростей определяется из математической модели (0.0.1) - (0.0.3), которая является задачей со свободной границей. В частности, одно из граничных условий на свободной поверхности контактного разрыва имеет вид

V ■ п = Уп, (0.0.18) и в этом случае граничное условие (0.0.17) преобразуется в

Ус-п = 0. (0.0.19)

Как мы отмечали выше, математическая модель (0.0.1) - (0.0.3) очень трудна и не подходит для дальнейшего усреднения. Наиболее подходящей является динамическая система

V • IV = 0, (0.0.20) + = (0.0.21)

дии

Р = + (1 - Хо)а\Щх, ио)-рI, (0.0.22)

+ = (0.0.23)

где

Бт

аю = = аДс), д = Хо(0/ + ¿с) + (1 -

а динамика зависит от концентрации примесей с(ж,£).

Первым уровнем аппроксимации этой системы является математическая модель конвекции-диффузии в абсолютно твердом скелете, состоящей из системы фильтрации Дарси с переменной вязкостью и

плотностью, связанной с усредненным конвективным уравнением диффузии.

Вторым уровнем аппроксимации системы (0.0.20) - (0.0.23) является математическая модель конвекции-диффузии в пороупругой среде, состоящая из системы пороупругости Био - Терцаги с переменной вязкостью и плотностью, связанной с соответствующим усредненным конвективным уравнением диффузии.

Наконец, третьим уровнем аппроксимации системы (0.0.20) - (0.0.23) является математическая модель конвекции-диффузии в вязкоупру-гой среде, состоящая из системы вязкоупругой фильтрации с переменной вязкостью и плотностью, связанной с соответствующим усредненным конвективным уравнением диффузии. Каждый уровень приближения имеет соответствующее усредненное конвективное уравнение диффузии и вид этого уравнения определяется асимптотическим поведением скорости и концентрации.

Для вывода вышеупомянутых моделей на макроскопическом уровне мы должны

1) доказать существование слабого решения {ги£, с£} задачи (0.0.20) - (0.0.23) на микроскопическом уровне для фиксированного е > 0,

и

2) провести усреднение при £ —0.

Дифференциальные уравнения замыкаются граничными условиями на общей (фиксированной) границе Г. Граничные условия для динамических уравнений приводились ранее. Для конвективного уравнения диффузии возможны два случая граничных условий: 1) пусть Уп = 0, тогда из граничного условия (0.0.17) следует

г\

(апЧс-с-£) • го = 0; (0.0.24)

2) это выбор граничного условия (0.0.19).

Так для одного и того же процесса у нас имеются две различные модели - это математические модели (0.0.19) - (0.0.23) и (0.0.20) - (0.0.24). Различия обусловлены тем, что приближения граничных условий для концентрации примесей не совсем точны.

Наиболее простой математической моделью является модель конвекции-диффузии в абсолютно твердом скелете. Понятно, что схожую математическую модель мы получим, если в качестве основной модели на микроскопическом уровне рассмотрим систему Стокса с переменной вязкостью только в области Щ, связанной с конвективным уравнением диффузии (0.0.23).

Заметим, что для движения несжимаемой жидкости в абсолютно твердом скелете есть ограничения на геометрию твердого скелета: мы можем доказать корректность усреднения, только для случая несвязного твердого скелета (Л. Тартар, приложение в [71]). Во избежание этих ограничений, рассматривают систему Стокса для слабосжимаемой жидкости

V • (ам(с)Ю)(£, у) + V • V -р)Е) + р/Г = 0, х е П}, < > 0, (0.0.25)

^ + аР|/ V • г; = 0, хеЩ, Ь> 0, (0.0.26)

где - объемная безразмерная вязкость и - безразмерная скорость звука в жидкости.

Для случая абсолютно твердого скелета IV = V = 0 в твердой части и граничное условие (0.0.19) совпадает с условием (0.0.24). То есть обе модели идентичны.

Усреднение уравнения (0.0.16) с заданным полем скоростей было проделано в [7, 8, 14, 20, 21, 23, 24, 25, 38, 39, 43, 60, 64].

Актуальность темы. Диссертация посвящена методам усреднения

математических моделей диффузии-конвекции примесей в жидкости, движущейся в пороупругой среде. Задача о движении жидкости в пористой среде рассматривалась многими авторами, в числе ключевых отметим работы М. Био, К. фон Терцаги, Р. Барриджа и Дж. Келлера, Э. Санчес-Паленсии, Т. Леви, A.M. Мейрманова, A.JI. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева, Дж. Бьюкенена, Ж. Лина, М. Бакингема, Т. Клопиу, Ж. Ферри, Р. Гилберта, А. Микелича, Л. Паоли, Т. Леви, Г. Нгуетсенга, Ж. Санчес-Хьюберта. Попытки учесть упругие свойства твердого скелета при диффузии и конвекции примесей в пористой среде ранее не предпринимались. Между тем такие процессы возникают в практических приложениях, таких как фильтрация примесей из подземных захоронений или фильтрация примесей из водоемов в грунт, засоление почв и т.п. Данная тематика включена в:

пункт 6 - рациональное природопользование - перечня Приоритетных направлений науки РФ;

пункт 8 - технологии атомной энергетики, ядерного топливного цикла, безопасного обращения с радиоактивными отходами и отработавшим ядерным топливом,

пункт 34 - технологии экологически безопасной разработки месторождений и добычи полезных ископаемых - перечня Критических Технологий РФ.

Все это показывает, что задачи, рассматриваемые в диссертации, весьма актуальны.

Цель работы.

1. Исследование разрешимости начально-краевых задач, моделирующих процесс диффузии и конвекции примесей в пороупругой среде на микроскопическом уровне.

2. Строгий вывод макроскопических математических моделей диффузии и конвекции примесей в пороупругих средах с помощью методов теории усреднения.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1) исследование разрешимости начально-краевых задач, описывающих процесс диффузии-конвекции примесей в пороупругой среде на микроскопическом уровне;

2) строгое усреднение математических моделей диффузии и конвекции примесей, описывающих физический процесс на микроскопическом уровне.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории нелинейных начально-краевых задач, в теории усреднения дифференциальных уравнений, а также при математическом моделировании процессов фильтрации жидкостей в пористых средах.

Методы исследования. Основными методами исследования являются классические и современные методы дифференциальных уравнений в частных производных и математической физики, комплексного и функционального анализа. В частности, для построения приближенных решений дифференциальных уравнений использовались метод Галерки-на и теорема Шаудера о неподвижной точке, для доказательства сходимости приближенных решений дифференциальных уравнений к точному решению - метод априорных оценок, методы компактности (как известные в литературе, так и доказанные автором диссертации в соавторстве с научным руководителем). При выводе усредненных уравнений использовался метод двухмасштабной сходимости Г. Нгуетсенга и Г. Аллэира.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [64, 65, 66, 88, 101, 102, 103, 104]. Публикации [88, 101, 102, 103, 104] выполнены в изданиях из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. Статьи [64, 65, 66, 101, 102, 103, 104] выполнены совместно с научным руководителем А. М. Мейрмановым. В совместных с А. М. Мейрмановым статьях научному руководителю принадлежат постановка задач и выбор методик исследования, а соискателю - реализация указанных методик.

Наиболее значимые результаты диссертации докладывались на VIII школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», которая проводилась в рамках Российско-Болгарского симпозиума (Нальчик-Хабез, 2010); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2010); на международной конференции, посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2011), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010) и на международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (Белгород, 2011).

Краткое содержание диссертации Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята автономная нумерация параграфов и формул. Теоремы и леммы нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая - на номер теоремы (леммы) внутри параграфа.

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Зимин, Решат Нариманович

Основные результаты Главы 3 сформулированы в виде следующих теорем.

Теорема 3.1 Пусть жєП

Тогда модель М2 имеет хотя бы одно обобщенное решение и для него справедливы оценки: \сє (х,ї)\2

0 ^ с£(х,г) < 1, х Є Щ, Ь > 0, (0.0.65) тах / (\ги£(х,ї)\2+ іиє(х,ї)\2)(1х+ о Пусть тах ¿)| = І*1 < оо.

Тогда модель Мз имеет хотя бы одно обобщенное решение и для него справедливы оценки: тах

0<і<Т Jn т [ (\у£(х,г)\2 + \^у£{х,1)\2 + \р£(х,г)\2)<1х(И ^ с0^2, (о.о.бэ) тах/ \с£\2с1х + Во [ ( IV с£^х(И < С0^2, (0.0.70) о<^

Теорема 3.3 Пусть выполнены условия Теоремы 3.1. Тогда:

1) последовательности {ги£}; {Угс£}; {Vе}, {Уг;£}; {р£}, {с£} и {Ус£} сходятся слабо в 1/2(^т) к функциям уо, Уни, V = Кщ(дии/дЬ), Уг; = \7(Ецфги/дЬ)), р, с и Чс соответственно;

2) предельные функции являются решением усредненной системы уравнений в области 0,т, состоящей из уравнения неразрывности

7-1Л) = 0, (0.0.71) усредненного уравнения баланса

V • Р + т(д1 + 5с)Е = 0, (0.0.72) где о гг

Р = + : 0(гс,^)+аТ2 : Ю>(ж, ги) + / Ч13(г - т) : уз{х, т))йт, от J о и усредненного конвективного уравнения диффузии

Г\ т££ + в(с)у . Ус = V • (Д,В(с) Ус), (0.0.73) от дополненных граничными ю(х,г) =0, (0.0.74)

0.0.75) на внешней границе Б = д£1 при і > 0, начальными условиями и)(х, 0) = 0,

0.0.76) (0.0.77) с(х, 0) = 771 Со (ж) в области и условием нормировки р (х, і)(їх = О,

0.0.78) где в (0.0.74) - (0.0.78) п - единичный вектор внешней нормали к границе 5, постоянные тензора 4-го порядка О^і, УІ2 и тензор 4-го порядка О^з(£) определяются по формулам (3.5.15), тензор - симметричный и положительно определенный, симметричная и положительно определен

Система (0.0.71) - (0.0.73) с соответствующими начальными и граничными условиями является математической моделью ОСРЕМЦ конвекции-диффузии в несжимаемой жидкости в пороупругой среде.

Теорема 3.4 Пусть выполнены условия Теоремы 3.2. Тогда:

1) последовательности {и}£}, {Угие}; {Vе}, {У?;£}; {р£}, с£ и Ус£ сходятся слабо в Ь2(£1т) к функциям IV, Уги, V = Ещ(дт/д£), Уг> = Ч(Ещ(дъи/дЬ)), р, с и Ус соответственно;

2) предельные функции являются решением усредненной системы уравнений в области Пт, состоящей из уравнения неразрывности ная постоянная матрица определяется по формуле (3.5.18).

V • IV = 0

0.0.79) усредненного уравнения баланса

0.0.80) где диз [ь и усредненного конвективного уравнения диффузии V • (Д)В(с)Ус) - V • (^(с)В^) . (0.0.81)

Система уравнений (0.0.79) - (0.0.81) замыкается начальными и граничными условиями (0.0.74) - (0.0.77), и условием нормировки (0.0.78). Тензора 4~го порядка ЭДх, ^з(^) и симметричная и положительно определенная постоянная матрица В(с) определяются как и в предыдущей теореме.

Если область симметрична относительно поворотов на угол ж/2 вокруг главных осей декартовой системы координат, то тогда матрица В^ приводима к диагональному виду.

Система (0.0.79) - (0.0.81) с соответствующими начальными и граничными условиями является математической моделью ОСРЕМ2 конвекции-диффузии в несжимаемой жидкости в пороупругой среде.

Более того, согласно Теореме 3.4, усредненное конвективное уравнение диффузии (0.0.81) можно записать в виде дс т— + АУ Шс)) • V = АУ • (Д3Ус), (0.0.82) оЬ дополненное соответственными граничными и начальными условиями. Тогда система (0.0.79) - (0.0.81) примет вид

V • Р + т(0/ + 6с)Г = 0, (0.0.83)

V • ги = 0, (0.0.84) дс т— + АУс • V = АУ • (Д}Ус) (0.0.85) ся

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зимин, Решат Нариманович, 2013 год

Литература

[1] Acerbi E., Chiado Piat V., Dal Maso G., Percivale D. An extension theorem from connected sets and homogenization in general periodic domains// Nonlinear Anal. - 1992. - V. 18(1992). - pp. 481-496.

[2] Adachi J.I., Detournay E., Peirce A. P. Analysis of the classical pseudo-3D model for hydraulic fracture with equilibrium height growth across stress barriers// Int. J. of Rock Mechanics and Mining Sciencesio - 2010.

- V. 47(2010). - pp. 625-63.

[3] Adams R. E. Sobolev spaces. - New York: Academic Press, 1975.

[4] Allaire G. Homogenization of the Stokes flow in a connected porous medium// Asymptotic Analysis. - 1989. - V. 2(1989). - pp. 203-222.

[5] Allaire G. Homogenization and two-scale convergence// SIAM J. Math. Anal. - 1992. - V. 23(1992). - pp. 1482-1518.

[6] Allaire G and Briane M. Multisale convergence and reiterated homogenization// Proceed, of Royal Soc. Edinburgh. - 1996. - V. 126A(1996). - pp. 297-342.

[7] Allaire G and Capdeboscq Y. Homogenization of a spectral problem in neutronic multigroup diffusion// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.

- 2000. - № 187(2000). - pp. 91-117.

[8] Amaziane B., Goncharenko M. and Pankratov L. Homogenization of a convection-diffusion equation in perforated domains with a weak adsorption// Z. angew. Math. Phys. - 2007. - № 58(2007). - pp. 592611.

[9] Amaziane B., Antontsev S., Pankratov L. and Piatnitski A. Homogenization of immiscible compressible two - phase flow in porous media: application to gas migration in a nuclear waste repository// SIAM J. of Multiscale Model. Simul. - 2010. - V. 8. - №5(2010). - pp. 2023-2047.

[10] Antontsev S., Meirmanov A., Yurinsky V. A Free Boundary Problem for Stokes Equations: Classical Solutions// Interfaces and Free Boundaries. - 2000. V. 2(2000). - pp. 413-424.

[11] Aubin J. P. Un th'eore'me de compacit'e// C. R. Acad. Sc. - 1963. -256(1963). - pp. 5042- 5044.

[12] Bakhvalov N. S., Panasenko G. Homogenization: Averaging Processes in Periodic. - New York: Media, Spinger, 1989.

[13] Barenblatt G.I., Zheltov Iu. P. and Kochina I. N Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissures rocks// J. Appl. Math. Mech. - 1960. - V. 24(1960). - pp. 1286-1303.

[14] Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. - Amsterdam: North Holland, 1978.

[15] Biot M. General theory of three dimensional consolidation// Journal of Applied Physics. - 1941. - V. 12(1941). - pp. 155-164.

[16] Biot M. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid// Journal of Applied Physics. - 1955. - V. 26(1955). - pp.182-185.

[17] Biot M. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range// Journal of the Acoustical Society of America. - 1955. - V. 28(1955). - pp. 168-178.

[18] Biot M. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher frequency range// Journal of the Acoustical Society of America. - 1955. - V. 28(1955). - pp. 179-191.

[19] Biot M., Willis D. The elastic coefcients of the theory of consolidation// Journal of Applied Mechanics. - 1957. - V. 24(1957). - pp. 594-601.

[20] Bourgeat A., Gipouloux 0., Marusic-Paloka E. Mathematical Modelling and Numerical Simulation of a Non-Newtonian Viscous Flow through a Thin Filter// SIAM J. Appl. Math. - 2001. - V. 62. - № 2(2001). - pp. 597-626.

[21] Bourgeat A., Gipouloux O., Marusic-Paloka E. Filtration law for polymer flow through porous media// Multiscale model, simul. - 2003. - V. 1. - № 3(2003). - pp. 132-157.

[22] Bourgeat A., Gipouloux O., Marusic-Paloka E., Mathematical Modelling of an array of underground waste containers.// C.R.Mecanique. - 2002. - № 330(2002). - pp. 371-376.

[23] Bourgeat A., Jurak M. and Piatnitski A. L. Averaging a transport equation with small diffusion and oscillating velocity// Math. Meth. Appl. Sci. - 2003. - V. 26(2003). - pp. 95-117.

[24] Bourgeat A., Marusic-Paloka E. A homogenized model of an underground waste repository including a disturbed zone// Multiscale model, simul. - 2005. V. 3. - № 4(2005). - pp. 918-939.

[25] Bourgeat A., Pankratov L. and Panfilov M. Study of the double porosity model versus the fissures thikness// Asymptotic Analysis. - 2004. - V. 38(2004). - pp. 129-141.

[26] Buchanan J.L., Gilbert R.P. Transition loss in the farfield for an ocean with a Biot sediment over an elastic substrate// ZAMM. - 1997. - V. 77(1997). - pp. 121-135.

[27] Buckingham M.J. Seismic wave propagation in rocks and marine sediments: a new theoretical approach// A. Alippi, G.B. Cannelli, (Eds.), Underwater Acoustics. - 1998. - Vol. I, CNR-IDAC. - pp. 299-300.

[28] Burridge R., Keller J. B. Poroelasticity equations derived from microstructure// J. Acoust. Soc. Am. - 1981. - V. 70. - № 4(1981). -pp. 1140- 1146.

[29] Chen Z. Homogenization and simulation for compositional flow in naturally fractured reservoirs// Math. Anal. App. - 2007. - V. 326(2007). - pp. 31-75.

[30] Clopeau Th., Ferrin J. L., Gilbert R. P., Mikelic A. Homogenizing the acoustic properties of the seabed: Part II// Mathematical and Computer Modelling. - 2001. - V. 33(2001). - pp. 821-841.

[31] Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics// Math. Pures et Appl. - 1985. - V. 64(1985). - pp. 31-75.

[32] Conca C., J. I Diaz, Lihan A., Timofte C., Homogenization in chemical reactive flows// Electronic Journal of Differential Equations. - 2004. -V. 40(2004). - pp. 1-22.

[33] Coussy 0. Poromechanics.- Chichester: John Wiley and Sons, 2004.

[34] De Giorgy E., Spagnolo S. Sulla convergenza delli integrali dell energia per operatori elliptici del secondo ordine//Boll. Unione Mat. Ital. - 1973.

- V.8. - pp. 391-411.

[35] Ferrin J. L., Mikelic A. Homogenizing the acoustic properties of a porous matrix containing an incompressible inviscid fluids// Math. Meth. Appl. Sei. - 2003. - V. 26(2003). - pp. 831-859.

[36] Gilbert R.P., Lin J. Z. Acoustic waves in shallow inhomogeneous oceans with a poro-elastic seabed// ZAMM. 1997. - V. 79(4). - pp. 1-12.

[37] Horgan C. O. Korn's inequalities and their applications in continuum mechanics// SIAM Rev. - 1995. - V. 37. - № 4(1995). - pp. 491-511.

[38] Hornung U. Homogenization and porous media. - New York: SpringerVerlag, 1997.

[39] Hornung U., Jäger W. Diffusion, convection, absorbtion and reaction of chemicals in porous media// J. Differential Equations. - 1991. - V. 92. -№ 2 (1991). - pp. 199-225.

[40] Jäger W., Mikelic A. On the flow conditions at the boundary between a porous medium and an impervious solid// Progress in PDE: the Metz surveys 3, eds. M. Chipot, J. Saint Jean Paulin et I. Shafrir, Pitman reseach Notes in Mathematics, Longman Scintiflc and Technical. - 1994.

- № 314. - pp. 145-161.

[41] Jäger W., Mikelic A. On the boundary conditions at the contact interface between a porous medium and a free fluid// Ann. Sc. norm. Super. Pisa, CI, Sci.-Ser. - 1996. - IV. - V. XXIII(1996). - pp. 403-465.

[42] Jikov V. V. Asymptotic behaviour and stabilizations of solutions of a second order parabolic equation with lower order terms// Trans.Moscow Math. Soc. - 1984. - V. 2(1984). - pp. 69-99.

[43] Jikov V. V., Kozlov S. M., and Oleinik 0. A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals. - New York: SpringerVerlag, 1994.

[44] Kazemi H. Pressure transient analysis of naturally fractured reservoirs with uniform fracture distribution// Soc. Petroleum Engrs. J. - 1969. -V. 9(1969). - pp. 451-462.

[45] Kirk W. A., Sims B. Handbook of Metric Fixed Point Theory. - London: Kluwer Academic, 2001.

[46] Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. - Dover Publications, 1999.

[47] Lions J.L. Quelques methodes de resolution des problèmes aux limites non lineaires Dunod// Paris: Gauthier-Villars, 1969.

[48] Lions J.L. Asymptotic Expansions in Perforated Media with a Periodic Structure//The Rocky Mountain Journ. of Math. - 1980. - V. 10. - № 1. - pp. 125-144.

[49] Lions J.L. Some methods in the Mathematical Analysis of Systems and Theire Control. - Beijing, China: Science Press: New York: Cordon and Breach, 1981.

[50] Ladyzhenskaya O.A. The mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow. - New York: Gordon and Breach, 1969.

[51] Ladyzhenskaya O.A. The Boundary-Value Problems of Mathematical Physics. - New York: Springer, 1985.

[52] Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., and Uraltseva N. N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type. - Rhode Island: Providence, 1968.

[53] Landau L. D. and Lifschitz E. M. Fluid Mechanics: Course of Theoretical Physics. V. 6. - Oxford: Butterworth - Heinemann, 1995.

[54] Landau L. D. and Lifschitz E. M. Theory of Elasticity: Course of Theoretical Physics. V. 7. - Oxford: Butterworth - Heinemann, 1995.

[55] Levy T. Acoustic phenomena in elastic porous media// Mech. Res. Comm. - 1977. V. 4(4). - pp. 253-257.

[56] Levy T. Fluids in porous media and suspensions, in Homogenization Techniques for Composite Media// Lecture Notes In Physics. Springer, Berlin. - 1987. - V. 272. - pp. 64-119.

[57] Levy T. Propagation waves in a fluid-saturated porous elastic solid// Zntemat. J. Engrg. Sci. - 1979. - V. 17(1979). - pp. 1005-1014.

[58] Levy T., Sanchez - Palencia E. Equations and interface conditions for acoustic phenomena in porous media// Jour. Math. Anal. Applications. - 1977. - V. 61(1977). - pp. 813-834.

[59] Lukkassen, D., Nguetseng, G., Wall P. Two-scale convergence// Int. J. Pure and Appl. Math. - 2002. - V. 2. - № 1(2002). - pp. 35-86.

[60] Marusic-Paloka E., Piatnitski A. Homogenization of a nonlinear convection-diffusion equation with rapidly oscilating coefficients and

strong convection.. J. London Math. Soc. - 2005. - V. 72. - № 2(2005). -pp. 371-409.

[61] Meirmanov A. Homogenized models for filtration and for acoustic wave propagation in thermo-elastic porous media// Euro. Jnl. of Applied Mathematics. - 2008. - V. 19(2008). - pp. 259-284.

[62] Meirmanov A. Darcy's law for a compressible thermofluid// Asymptotic Analysis. - 2008. - V. 58. - № 4(2008)ю - pp. 191-209.

[63] Meirmanov A.M., Derivation of equations of seismic and acoustic wave propagation and equations of filtration via homogenization of periodic structures// Journal of Mathematical Sciences. - 2009. - V. 163. - № 2(2009). - pp. 111-172.

[64] Meirmanov A.M., Zimin R., Some compactness result for periodic structures and its application to the homogenization of a diffusion-convection equation// Electronic Journal of Differential Equations. -2011. - V. 2011. - № 115. - pp. 1-11.

[65] Meirmanov A., Zimin R., Mathematical models of a diffusion -convection in porous media// Electronic Journal of Differential Equations. - 2012. - V. 2012. - № 105. - pp. 1-16.

[66] Meirmanov A. M., Zimin R.N. Homogenization of diffusion - convection equation in poroelastic media// Тезисы докладов Междунар. конф., поев. 110-ой годовщине со дня рожд. И. Г. Петровского. - М.: Изд-во МГУ. - 2011. - стр. 77-78.

[67] Mikelic A., Paoli L. Homogenization of the inviscid incompressible fluid flow trough a 2D porous medium// Proceedings of the AMS. 1999. - V. 17(1999). - pp. 2019-2028.

[68] Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization// SIAM J. Math. Anal. - 1989. - V. 20(1989). - pp. 608-623.

[69] Nguetseng G. Asymptotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics// SIAM J. Math. Anal. - 1990. - V. 21(1990). - pp. 13941414.

[70] Sanchez-Hubert J. Asymptotic study of the macroscopic behavior of a solid-liquid mixture// Math. Methods Appl. Sei. - 1980. - V. 2(1980). -pp. 1-18.

[71] Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory// Lecture Notes in Physics. Springer, Berlin. - 1980. - V. 129.

[72] Tartar L. Cours Peccot. - Paris: ColPege de France, 1977.

[73] Terzaghi K. Die Berechnung der Durchlassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannungsercheinungen// Sitzung berichte. Akademie der Wissenschaften, Wien Mathematiesch-Naturwissenschaftliche Klasse. - 1923. - V. 132. - № IIa(1923). - pp. 104-124.

[74] Terzaghi K., Braselton R., Mesri G. Soil Mechanics in Engineering Practice. - Wiley: IEEE, 1996.

[75] Tolstoy I. (ed.) Acoustics, Elasticity, and Thermodynamics of Porous Media. Twenty-one Papers by M.A. Biot. - New York: Acoustical Society of America, 1992.

[76] Бахвалов H.C. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 221. - № 3. - стр. 516-519

[77] Бахвалов Н.С. Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов, М.: Наука, 1984.

[78] Гриценко С.А. О диффузии и медленной конвекции примеси в сла-босжимаемой вязкой жидкости// Известия Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Т. 9. - вып. 2. -стр. 19-24.

[79] Гриценко CA. О задаче нелинейной диффузии в слабосжимаемой вязкой жидкости// Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию отв. ред. С.Б. Климентов, Е.С. Каменецкий— Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А. - 2009. - стр. 31-42.

[80] Гриценко С.А. Усреднение в задачах нелинейной диффузии// Сибирские электронные математические известия. - 2010. - Т. 7. - стр. 52-64.

[81] Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости// Матем. сб. - 1996. - Т. 187. - № 8. - стр. 3-40.

[82] Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмас-штабной сходимости, // Матем. сб. - 2000. - Т. 191. - № 7. - стр. 31-72.

[83] Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах//Изв. РАН, Серия матем. - 2002. - Т.66. - № 2. - стр. 81-148.

[84] Жиков В. В. Об оценках типа Нэша-Аронсона для уравнения диффузии с несимметрической матрицей и их приложении к усреднению// Матем. сб. - 2006. - Т. 197. - № 12. - стр. 65-94.

[85] Жиков B.B. О спектральном методе в теории усреднения// Тр. МИ-АН. - 2005. - Т.250. - стр. 95-104.

[86] Жиков В. В. Диффузия в несжимаемом случайном потоке// Функц. анализ и его прил. - 1997. - Т.31. - № 3. - стр. 10-22.

[87] Жиков В.В. Замечания к проблеме остаточной диффузии// УМН. - 1989. - Т.44. - № 6(270). - стр. 155-156.

[88] Зимин Р.Н., О продолжении функций, заданных на периодических множествах// Научные ведомости БелГУ, серия Математика. Физика. - 2010. - № 17(88). - выпуск 20,- стр. 65-72.

[89] Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973.

[90] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир, 1972.

[91] Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложенияю - М.: Мир, 1971.

[92] Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Наукова думка, 1974.

[93] Мейрманов A.M. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмоакустики в упругих пористых средах// Сибирский математический журнал. - 2007. - Т.48. - № 3. - стр. 645667.

[94] Мейрманов A.M. Закон Дарси в неизотермических пористых средах// Сибирские Электронные Математические Известия. - 2007. -Т.4. - стр. 141-154.

[95] Мейрманов A.M. Уравнения неизотермической фильтрации быстро-протекающих процессов в упругих пористых средах// Прикладная математика и техническая физика. - 2008. - Т.49. № 4. - стр. 113-129.

[96] Мейрманов A.M. Определение акустических и фильтрационных характеристик термоупругих пористых сред: уравнения термо-пороупругости Био// Математический сборник. -2008. - Т.199. - № 3. - стр. 202-225.

[97] Мейрманов A.M. Неизотермическая фильтрация и сейсмоакусти-ка в пористых грунтах: уравнения термовязкоупругости и уравнения Ламэ// Труды Математического Института им. В.А.Стеклова. - 2008. - Т.261. - стр. 210-219.

[98] Мейрманов A.M. Вывод уравнений сейсмоакустики и уравнений фильтрации в упругих пористых средах через усреднение периодических структур// Труды семинара им. И.Г. Петровского, МГУ. -2008. - вып. 27. - стр. 178-238.

[99] Мейрманов A.M. Применение многомасштабной сходимости для описания фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах// Научные ведомости БелГУ, Серия Математика. Физика. - 2008. - № 13(53). - выпуск 15. - стр. 73-78.

[100] Мейрманов A.M. О некоторых принципах моделирования задач фильтрации жидкости со свободными границами// Научные ведомости БелГУ, Серия Математика, Физика. - 2008. - № 13(53). выпуск 15. - стр. 58-72.

[101] Мейрманов A.M., Зимин Р.Н., Об одном принципе компактности для периодических структур// Научные ведомости БелГУ, серия Математика. Физика. - 2011. - № 5(100). - выпуск 22. - стр. 47-53.

[102] Мейрманов A.M., Зимин Р.Н., Гальцев О.В., Гальцева O.A., О разрешимости задачи диффузии - конвекции в пороупругой среде на микроскопическом уровне// Научные ведомости БелГУ, серия Математика. Физика. - 2012. - № 11(130). - выпуск 27. - стр. 38-47.

[103] Мейрманов A.M., Зимин Р.Н., Гальцев О.В., Гальцева O.A. Корректная разрешимость задачи о нелинейной диффузии в несжимаемой пороупругой среде на микроскопическом уровне// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2012. - № 5(124). выпуск 26.

- стр. 116-128.

[104] Мейрманов A.M., Зимин Р.Н., Гальцев О.В., Гальцева O.A. Математические модели диффузии в пороупругих средах// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2012. - № 17(136). выпуск 28. - стр. 77-90.

[105] Михайлов В.П., Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.:Наука, 1976. 391 с.

[106] Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред, часть I, II.

- Новосибирск: Новосибирский Государственный Университет, 1976.

[107] Олейник O.A., Иосифъян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: изд-во МГУ, 1990.

[108] Пятницкий A.JI., Чечкин ГА., Шамаев A.C. Усреднение. Методы и приложения. - Новосибирск: Тамара Рожковская, Белая серия в математике и физике; Т.З, 2007.

[109] Рисс Ф., Секефальви-Надь В., Лекции по функциональному анализу. - М.:Мир, 1979.

[110] Треногин В.А., Функциональный анализ. - М.:Наука, 1980.

[111] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.