Методы восстановления неравномерно дискретизованных сигналов и их применение в системах радиомониторинга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Курахтенков, Леонид Владимирович

• Курахтенков, Леонид Владимирович
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Курахтенков, Леонид Владимирович

Введение

Глава 1. Анализ подходов к восстановлению неравномерно дискретизованных сигналов

1.1 Частные случаи распределения временных отсчетов

1.1.1 Случайное смещение конечного числа отсчетов

1.1.2 Внесение задержки и сдвиг последующих отсчетов на постоянное время

1.1.3 Периодическое повторение групп неравномерно распределенных моментов отсчетов

1.2 Анализ методов быстрого преобразования Фурье на неравномерных по времени и частоте сетках

1.2.1 Вычисление преобразования Фурье в случае неравномерности сетки по времени или по частоте

1.2.2 Вычисление преобразования Фурье в случае неравномерности сетки как во временной так и в частотной областях

1.3 Выводы по главе 1

Глава 2. Разработка алгоритмов восстановления неравномерно дискретизованных сигналов

2.1 Аналитическая постановка задачи

2.2 Интерполяция тригонометрическим многочленом

2.3 Разработка метода восстановления неравномерно дискретизованного сигнала с помощью прямого решения системы линейных уравнений

2.3.1 Моделирование

2.4 Разработка итерационного метода фильтрации

2.4.1 Оценка среднеквадратического отклонения решения, полученного итеративным методом фильтрации

2.4.2 Построение итерационного алгоритма аппроксимации

2.4.3 Сходимость разработанного итеративного метода

2.4.4 Оценка количества арифметических действий итеративного метода

2.4.5 Моделирование решения итеративным методом

2.5 Разработка метода аппроксимации функции тригонометрическим многочленом на основе быстрых вычислений над Тёплицевыми матрицами

2.5.1 Оптимизация алгоритма аппроксимации

2.5.2 Моделирование решения методом вычисления над тёплицевыми матрицами

2.6 Выводы по главе 2

Глава 3. Применение алгоритмов восстановления неравномерно дискретизованных сигналов для борьбы со сосредоточенными помехами

3.1 Разработка приёмника прямого цифрового преобразования

3.2 Алгоритмы фильтрации широкополосных сигналов

3.3 Выводы по главе 3

Глава 4. Проведение экспериментальных измерений

4.1 СПО технического анализа сигналов «Спектр-2»

4.2 Восстановление суммы нескольких гармоник

4.3 Восстановление сигнала 8ТАКАО-4285

4.4 Восстановление частотно-модулированного сигнала и оценка ошибок при

передаче

4.5 Выводы по главе 4

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы восстановления неравномерно дискретизованных сигналов и их применение в системах радиомониторинга»

Введение

Актуальность темы. Основной тенденцией развития современной

радиоприемной аппаратуры является повсеместное использование

широкополосных цифровых радиоприемных устройств. Это обусловлено

значительным развитием элементной базы, внедрением методов цифровой обработки сигналов и активным применением фазированных антенных

решеток (ФАР) в системах радиомониторинга и радиосвязи. При этом

значительно возрастают требования к динамическим характеристикам

радиоприемных устройств, поскольку принимаемый групповой сигнал имеет

значительный пик-фактор, то есть необходимо одновременно принимать

слабые и мощные радиосигналы, присутствующие в широкой полосе приема.

Основная фильтрация принимаемого группового радиосигнала

осуществляется в цифровом модуле обработки радиоприемного устройства.

Поэтому необходимо обеспечить максимальную линейность аналоговой

части радиотракта, включая аналого-цифровой преобразователь (АЦП), до

модулей цифровой фильтрации.

Несмотря на развитие цифровой техники, современные АЦП имеют ограниченное число разрядов при приеме широкополосных сигналов с

полосой несколько десятков мегагерц (например, 16 разрядов при тактовой

частоте до 300 МГц). Однако, такого уровня разрядности в большинстве

случаев (например, при работе в ионосферном канале, или при работе в

системах мобильной радиосвязи не достаточно). Поскольку при наличии в принимаемой полосе мощного сигнала даже от одного источника может

возникнуть перегрузка АЦП, в результате чего полностью искажается весь

групповой сигнал и дальнейшая расфильтровка уже ничем не поможет.

Применение аналоговых узкополосных преселекторов практически

невозможно, поскольку в современных системах радиомониторинга,

особенно при использовании ФАР, необходимо принимать сразу все

радиосигналы в широком диапазоне работы радиосистем.

Таким образом, возникает важная актуальная и практически значимая задача повысить динамические характеристики широкополосных цифровых радиоприемных устройств, за счет специальной цифровой обработки группового радиосигнала.

В основном благодаря работам академика В.А. Котельникова сегодня активно применяются цифровые методы и алгоритмы обработки радиосигналов. При этом в основном используются цифровое представление радиосигнала в виде равномерных потоков отсчетов, формируемых АЦП. Для решения поставленной задачи в диссертации предлагается применять неравномерную по времени дискретизацию радиосигналов, получающуюся в результате отбрасывания тех равномерно распределенных отсчетов группового сигнала, при которых было превышение разрядности АЦП. За счет повышения частоты дискретизации и специальной цифровой обработки обеспечивается восстановление группового сигнала.

Теорией и практикой цифровой обработки сигналов с неравномерной дискретизацией занимались известные отечественные и зарубежные специалисты Котельников В.А., Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М., Горелов Г.В., S. Kunis, D. Potts, Т. Knopp, J. Yen, A. Dutt, V. Rokhlin, G. Steidl и другие.

Между тем, в известных работах не рассматривалась и не решалась задача восстановления группового радиосигнала при превышении уровня ограничения разрядности АЦП.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методов и алгоритмов повышения динамических характеристик широкополосных радиоприемных устройств, за счет использования неравномерной частотной дискретизации и специальной цифровой обработки радиосигналов на выходе АЦП.

Для достижения поставленной цели в диссертации должны быть решены следующие задачи:

1). Разработка методов аппроксимации действительной функции по набору имеющихся ее значений (отсчетов) для некоторых значений аргумента (неравномерно дискретизованных моментов времени), позволяющие восстановить групповой радиосигнал, в точках превышения им разрядности АЦП.

2). Разработка вычислительных алгоритмов, реализующих разработанные методы восстановления группового радиосигнала в промежутках времени превышения разрядности АЦП.

3). Оптимизация разработанных вычислительных алгоритмов для возможности их реализации в современных цифровых модулях

радиоприемной аппаратуры (программируемых логических

интегральных схемах (ПЛИС) и цифровых сигнальных

микропроцессорах).

4). Оценка условий применения и эффективности разработанных методов и алгоритмов.

Объектом диссертационного исследования являются цифровые широкополосные радиоприемные устройства в системах радиомониторинга, в которых требуется повысить динамические характеристики для последующей цифровой обработки принятого группового сигнала.

Предмет исследования; повышение динамических характеристик широкополосных радиоприемных устройств, за счет использования неравномерной дискретизации и специальной цифровой обработки радиосигналов на выходе АЦП.

Методы исследования. При решении поставленных задач исследования использовались положения теории математического и функционального анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории электрической связи и статистической радиотехники, теории схемотехники, методы вычислительного эксперимента.

Научная новизна работы:

1) разработаны новые методы восстановления значений сигнала по его

неравномерно распределенным временным отсчетам (метод прямого

решения системы линейных уравнений, итеративный метод последовательной фильтрации и восстановления пропущенных

отсчетов, универсальный метод, основанный на быстрых вычислениях

над тёплицевыми матрицами);

2) для каждого из указанных методов разработан соответствующий вычислительный алгоритм;

3) предложены функциональные схемы цифрового модуля приемника прямого цифрового преобразования, реализующего разработанные алгоритмы вычислений. В результате такой предварительной обработки обеспечивается восстановление значений группового сигнала и последующая сложная цифровая обработка отдельных сигналов;

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Разработанные методы, с использованием неравномерной дискретизации и специальной цифровой обработки (метод прямого решения системы линейных уравнений, или метод итеративной последовательной фильтрации, или метод восстановления пропущенных отсчетов, основанный на быстрых вычислениях над тёплицевыми матрицами) позволяют повысить динамический диапазон широкополосных цифровых радиоприемных устройств при ограниченной разрядности АЦП.

2) Предложенные методы восстановления мгновенных значений сигнала по его неравномерно распределенным временным отсчетам позволяют построить эффективные вычислительные алгоритмы, реализуемые современными средствами микроэлектроники в виде функциональных цифровых блоков широкополосных радиоприёмных устройств.

3) Применение неравномерной дискретизации и технологии восстановления группового сигнала в качестве предварительной обработки данных в системах радиомониторинга обеспечивает возможность последующей сложной цифровой обработки, ранее невозможной, например, демодуляции отдельных радиосигналов в полосе частот принимаемых широкополосным радиоприемником.

Обоснованность и достоверность результатов, выводов и рекомендаций, полученных в диссертации, обеспечены корректностью применения используемых математических методов и совпадением результатов, полученных путем аналитических расчетов, численного моделирования и натурного эксперимента.

Практическая значимость работы. Полученные в работе научные результаты позволяют предложить технические решения для создания широкополосных цифровых радиоприемников, устойчивых к воздействию мощных узкополосных помех при ограниченной разрядности АЦП.

Внедрение результатов работы.

Полученные в диссертационной работе результаты внедрены в

рамках НИР «Папоротник» и ОКР «Москвичка-ТУС». Внедрение результатов работы подтверждено соответствующим актом.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: 4-я, 5-я и 6-я отраслевые научные конференции «Технологии информационного общества», МТУ СИ г. Москва, 2010, 2011 и 2012 г.г.

Публикация результатов. Основные результаты исследования опубликованы в 4 статьях в журналах из списка ВАК Министерства образования и науки РФ, материалах 3 отраслевых научных конференций и 2 отчетах о НИОКР в МТУСИ. Новизна предложенных в диссертации технических решений подтверждена одним патентом на полезную модель и одним патентом на изобретение.

Личный вклад автора. Все выносимые на защиту научные результаты

получены соискателем лично. По результатам исследований и разработок, представленных в диссертационной работе, опубликованы 11 печатных работ, в том числе 4 статьи из журналов, рекомендованных списком ВАК. Автор принимал непосредственное участие в планировании и проведении работы, обработке и обсуждении полученных результатов, подготовке публикаций. Лично автором выполнялась разработка методики повышения динамического диапазона радиоприемных устройства, разработка методов восстановления неравномерно дискретизованных сигналов, разработка эффективных вычислительных алгоритмов, реализующих разработанные методы, функциональные схемы цифрового модуля приемника прямого цифрового преобразования, реализующего разработанные алгоритмы вычислений, моделирование и постановку эксперимента. Поименно сотрудники, работавшие совместно с автором по научным направлениям, имеющим отношение к теме диссертации, представлены в качестве соавторов публикаций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и шести приложений. Работа изложена на 112 страницах, содержит 52 рисунков, список использованных источников литературы из 83 наименований.

В главе 1 был проведен анализ существующих подходов к восстановлению нерегулярно дискретизованного сигнала.

Рассмотрены известные частные случаи неравномерной дискретизации:

1. случайное смещение конечного числа последовательных равномерно распределенных отсчетов;

2. возникновение случайной задержки в некоторый момент времени (с последующим смещением на постоянную величину всех дальнейших отсчетов);

3. конечный интервал из нескольких неравномерно распределенных отсчетов, повторяющийся периодически.

Показана их неприменимость к решению поставленной задачи.

В главе также систематизированы результаты известных математических методов прямого и обратного преобразования Фурье на неравномерной сетке, как по времени, так и по частоте. Попытки их применения к решению данной задачи показали, что эти методы чувствительны к начальной точности значений отсчетов, а так же к точности установки ширины исследуемой полосы. Результаты, подтверждающие неприменимость этих методов, приведены в главе 4.

Таким образом, возникает необходимость разработки новых методов восстановления сигнала по неравномерно дискретизованным отсчетам, учитывающих некоторые особенности восстанавливаемого группового сигнала, а именно:

1) характер распределения неравномерно дискретизованных отсчетов (их распределение получено из равномерного, но имеет пропуски различной длины);

2) информацию о факте перегрузки в пропущенном отсчете (про каждый пропущенный отсчет известно, что он больше максимально допустимого входного значения на АЦП);

3) неточность входных данных (к сумме отдельных сигналов добавляются помехи и сторонний шум).

В главе 2 дано описание трёх методов восстановления непринятых отсчетов сигнала, предложенных в данной диссертационной работе.

Первый метод является прямым решением системы линейных уравнений (возможно переопределенной). Он наименее устойчив, требует больших вычислительных ресурсов, как по объему памяти, так и по количеству производимых вычислительных действий.

Второй метод представляет собой последовательную фильтрацию частот, находящихся вне восстанавливаемой полосы, которые возникли из-за некорректно принятых отсчетов. После фильтрации корректно принятые отсчеты переопределяются заново. После этого фильтрация повторяется. Показано уменьшение среднеквадратической ошибки на каждой итерации в

непрерывном случае и доказана сходимость к единственному решению для дискретного случая. Приведена точная оценка вычислительной сложности порядка 0((20. +1) • +1)), где Ф - ширина спектра.

Третий метод основан на вычислениях с тёплицевыми матрицами. Показано, что его решение дает приближение исходного сигнала в смысле наименьших квадратов. Описанный алгоритм гарантированно сходится за конечное число шагов. Предложены способы существенной оптимизации алгоритма. Дана точная оценка количества вычислительных действий порядка О((2£2 +1) • 1о§(20 +1)), где Ф - ширина спектра.

Для всех трех методов произведено моделирование в системе МАТЬАВ, рассмотрены возможность и точность восстановления сигналов в зависимости от количества корректно принятых отсчетов, ширины восстанавливаемой полосы, количества итераций метода. Приведено сравнение времени выполнения алгоритмов при разных начальных условиях.

В главе 3 приведены сведения о разработанном макете цифрового модуля. Данный макет цифрового модуля предназначен для приёма в диапазоне 0,0 - 40,0 МГц сигналов с полосами от 1,0 кГц до 100,0 кГц. Одновременно возможен приём до трёх каналов. Принятые каналы мультиплексируются и передаются по шине передачи данных на устройство цифровой обработки узкополосных каналов и/или на устройство регистрации/записи (в частности на персональный компьютер).

Приведен алгоритм фильтрации группового сигнала после восстановления. Алгоритм фильтрации заключается в формировании пачек для БПФ с частичным перекрытием, для минимизации краевого эффекта, усреднением полученных спектральных отсчетов, и обнулением участков, по амплитуде превышающих среднее значение спектральной плотности сигнала. Следующим этапом осуществляется обратный переход во временную область с использованием ОБПФ. Показана его эффективность и применимость для решения поставленной задачи.

В главе 4 приведены результаты экспериментальных измерений. Измерения производились в СПО обработки сигналов «Спектр-2», обеспечивающей возможность быстрой реализации программных версий устройств цифровой обработки. Использование такой среды позволяет, не меняя в целом аппаратурного парка, быстро производить модернизацию комплексов за счет смены соответствующего программного обеспечения в ПЭВМ.

Экспериментальные измерения показали непригодность известных методов неравномерного преобразования Фурье, для решения поставленной задачи.

Экспериментальные измерения показали достаточную точность

алгоритмов восстановления неравномерно дискретизованных сигналов. При

восстановлении частотно-модулированных сигналов, средняя относительная

битовая ошибка в канале без применения восстановителя составляет доли

процентов, в то время как с применением восстановителя, она меньше (по

крайней мере на четыре порядка). Применение аттенюатора перед АЦП для снижения усиления аналогового тракта и исключения перегрузки АТЩ

приводит к еще большему увеличению битовых ошибок, чем было

изначально.

В частности, сигналы стандарта 8ТАМАО-4285 после восстановления удаётся демодулировать при таком уровне помех в канале, при котором раньше это было невозможно, в том числе с использованием аттенюатора.

В заключении сформулированы основные результаты работы и рекомендации по их использованию. Обозначены возможные направления дальнейших исследований.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Курахтенков, Леонид Владимирович

Основные результаты диссертации:

1. Был проведен анализ подходов к восстановлению нерегулярно дискретизованного сигнала.

Рассмотрены частные случаи неравномерной дискретизации и показана их неприменимость в решении современных задач.

Кроме того, показаны известные методы прямого и обратного преобразования Фурье на неравномерной сетке.

2. Отмечено, что особенности поставленной задачи, а именно превышение сигналом в пропущенных точках динамического уровня АЦП, позволяет более эффективно получать начальное приближение сигнала. В частности, можно воспользоваться интерполяцией сплайнами.

3. Детальное рассмотрение алгоритмов восстановления сигналов по неравномерным отсчётам привело к необходимости исследования принципов построения алгоритмов быстрого преобразования Фурье на неравномерных по времени и частоте сетках.

4. В работе предложены три новых метода восстановления непринятых отсчетов сигнала.

Первый метод является прямым решением системы линейных уравнений (возможно переопределенной). Он неустойчив, требует больших вычислительных ресурсов, как по объему памяти, так и по количеству производимых вычислительных действий.

Второй метод представляет собой последовательную фильтрацию частот, находящихся вне восстанавливаемой полосы, которые возникли из-за некорректно принятых отсчетов. После фильтрации корректно принятые отсчеты переопределяются заново. После этого фильтрация повторяется. Показано уменьшение среднеквадратической ошибки на каждой итерации в непрерывном случае и доказана сходимость к единственному решению для дискретного случая. Приведена оценка вычислительной сложности.

Третий метод основан на вычислениях с Тёплицевыми матрицами. Показано, что его решение дает приближение исходного сигнала в смысле наименьших квадратов. Показано, что описанный алгоритм гарантированно сходится за конечное число шагов. Показаны способы существенной оптимизации алгоритма. Дана точная оценка количества вычислительных действий.

5. Для всех трех методов разработаны вычислительные алгоритмы. Путём моделирования в системе МАТЬАВ, оценена точность восстановления сигналов в зависимости от количества корректно принятых отсчетов, ширины восстанавливаемой полосы, количества итераций метода. Приведено сравнение времени выполнения алгоритмов при разных начальных условиях. Показана необходимость более глубокого исследования зависимости точности решения и скорости сходимости методов от характера распределения неравномерно дискретизованных отсчетов.

6. Предложен алгоритм фильтрации группового сигнала после восстановления. Алгоритм фильтрации заключается в формировании пачек для БПФ с частичным перекрытием, для минимизации краевого эффекта, усреднением полученных спектральных отсчетов, и обнулением участков, по амплитуде превышающих среднее значение спектральной плотности сигнала. Следующим этапом осуществляется обратный переход во временную область с использованием ОБПФ.

7. С целью оценки вычислительной сложности при практической реализации сигнала, был разработан макет цифрового модуля. Эскиз предназначен для приёма в диапазоне 0,0 - 40,0 МГц сигналов с полосами от 1,0 кГц до 100,0 кГц. Одновременно возможен приём до трёх каналов. Принятые каналы мультиплексируются и передаются по шине 8НВШ на устройство цифровой обработки узкополосных каналов и/или на устройство регистрации/записи (в частности на персональный компьютер).

8. Приведены результаты экспериментальных измерений. Измерения производились в СПО обработки сигналов «Спектр-2», обеспечивающей возможность быстрой реализации программных версий устройств цифровой обработки по демодуляции, обработке кодовых конструкций радиосигналов со сложным частотно-фазовым созвездием, с адаптивно-изменяемой структурой. Использование такой среды позволяет, не меняя в целом аппаратурного парка, быстро производить модернизацию комплексов за счет смены соответствующего программного обеспечения в ПЭВМ.

9. Экспериментальные измерения показали непригодность известных методов неравномерного преобразования Фурье для решения поставленной задачи.

10. Экспериментальные измерения показали достаточную точность алгоритмов восстановления неравномерно дискретизованных сигналов. При восстановлении частотно-модулированных сигналов, средняя относительная битовая ошибка в канале без применения восстановителя составляет доли процентов, в то время как с применением восстановителя, она меньше, по крайней мере на 4 порядка. Применение аттенюатора перед АЦП для снижения усиления аналогового тракта и исключения перегрузки АЦП приводит к еще большему увеличению битовых ошибок, чем было изначально.

В частности после восстановления возможно осуществление демодуляции сигналов стандарта 8ТАКАС-4285 при тех же, и при более худших условиях в канале, при которых раньше это было невозможно, в том числе с использованием аттенюатора.

Таким образом, задачи, поставленные в диссертации, решены, цель проведения диссертационного исследования достигнута.

Заключение

На основе проведенных исследований в настоящей диссертационной работе можно сделать следующие выводы.

Решена научно-техническая задача, которая заключается в разработке методов и алгоритмов повышения динамических характеристик широкополосных радиоприемных устройств, за счет использования неравномерной частотной дискретизации и специальной цифровой обработки радиосигналов на выходе АЦП.

Цель диссертационной работы достигнута.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Курахтенков, Леонид Владимирович, 2013 год

Список использованных источников.

[1] Аджемов, С.С. Задача интерполяции сигнала с нерегулярной дискретизацией /Э.Ю. Романов, JI.B. Курахтенков //T-comm -Телекоммуникации и транспорт. -М.:ИД Медиа Паблишер, 2009.-№4-С. 20-22.

[2] Алексеев, В.Г. Ядра типа Джексона и Джексона-Валле-Пуссена и их вероятностные применения/В .Г. Алексеев// ТВП, 41:1,С. 170-177 -1996

[3] Ануфриев, И.Е. MATLAB 7 /А.Б. Смирнов, E.H. Смирнова. СПб: БХВ-Петербург, 2005 - 1104с.

[4]Булатов, В.Н. Спектральный анализ цифровых сигналов с неравномерной дискретизацией /Д.А. Даминов, Е.С. Тимонов //Оренбург: Вестник ОГУ, 2006. - №6, Т.2 - С. 185-190.

[5] Горелов, Г.В. Нерегулярная дискретизация сигналов /Г.В. Горелов -М.: Радио и связь, 1982, 254с.

[6]Грачев, A.B. К восстановлению пропусков в экспериментальных данных /A.B. Грачев// Вестник ННГУ им. Лобачевского. Серия Радиофизика. - 2004. - №2. - С. 15-23.

[7] Жанкевич, O.A. Новые методы интерполяции сигнала с нерегулярной дискретизацией и их применение /Л.В. Курахтенков, A.A. Кучумов//Т-сошш - Телекоммуникации и транспорт. -М.:ИД Медиа Паблишер, 2010.-№11.-С. 46-48.

[8] Колмогоров, А.Н. К логическим основам теории информации и теории вероятностей /А.Н. Колмогоров. - Проблемы, передачи информации., 5:3, 1969-С. 3-7.

[9] Колмогоров, А.Н. Теория информации и теория алгоритмов /А.Н. Колмогоров. - Наука, 1987 - 150с.

[10] Котельников, В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи /В.А. Котельников — Всесоюзный

энергетический комитет. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933.

[11] Курахтенков, JT.B. Особенности применения методов интерполяции сигнала с нерегулярной дискретизацией /Л.В. Курахтенков// T-comm - Телекоммуникации и транспорт. -М.:ИД Медиа Паблишер, 2011.-№11.-С. 48-50.

[12] Курахтенков, Л.В. Сходимость итерационного метода восстановления неравномерно дискретизованного сигнала /Л.В. Курахтекнов// T-comm - Телекоммуникации и транспорт. -М.:ИД Медиа Паблишер, 2012.-№19.-С. 93-97.

[13] Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной /И.П. Натанасон - М.: Наука. 1974. 480 с.

[14] Прохоров, С.А. Прикладной анализ неэквидистантных временных рядов /С.А. Прохоров - Уральск: СГАУ, 2001: - 329 с.

[15] Самарский, A.A. Численные методы решения обратных задач математической физики /П.Н. Вабищевич. 3-е изд. - Москва : ЛКИ, 2009. - 480с.

[16] Тихонов, А.Н Об устойчивости обратных задач /А.Н. Тихонов - ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 4. С. 195-198.

[17] Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации /А.Н. Тихонов - ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501504.

[18] Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач /А.Н. Тихонов - ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

[19] Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач /Арсенин В.Я. М.: Наука. 1979. 288 с.

[20] Харкевич, A.A. Избранные труды в 3-х томах /A.A. Харкевич - М.: Наука, 1973. 1492 с.

[21] Харкевич, A.A. Спектры и анализ / A.A. Харкевич - 4-е изд. М.: Гос. изд-во физико-мат. лит-ры, 1962. - 251с.

[22] Хургин, Я. И. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и ее применений в физике и технике /В.П. Яковлев

— ТИИЭР, 1977, т. 65, № 7, с. 16—45.

[23] Шеннон, К. Работы по теории информации и кибернетике /К. Шеннон

— М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — 830 с.

[24] Anderson, С. Rapid computation of the discrete Fourier transform/ C. Anderson, M.D. Dahleh// SIAM J. Sei. Comput 17, 913-019 - 1996.

[25] Andersson, F. The fast Gauss transform with complex parameters/ F. Andersson, G. Beylkin// J. Comput. Physics, 203:274 - 286, 2005.

[26] Bass, R. F. Random sampling of multivariate trigonometric polynomials/ R. F. Bass, K. Gr'ochenig// SIAM J. Math. Anal., 36:773 -795, 2004.

[27] Bjorck, A. Numerical Methods for Least Squares Problems /А. Bjork// SIAM, Philadelphia - 1996.

[28] Beatson, R.K. A short course on fast multipole methods/ R. K. Beatson, L. Greengard// In M. Ainsworth, J. Levesley, W. A. Light, and M. Marietta, editors, Wavelets, Multilevel Methods and Elliptic PDEs. Clarendon Press, 1997.

[29] Beatty, P.J. Rapid gridding reconstruction with a

minimal oversampling ratio/ P. J. Beatty, D. G. Nishimura, J. M. Pauly // IEEE Trans. Med. Imag., 24:799 - 808 - 2005.

[30] Beylkin, G. On the fast Fourier transform of functions with singularities //G. Beylkin //Appl. Comput. Harmon. Anal., 2:363 - 381, -1995.

[31] Borel, E. Mémoire sur les séries divergentes /Е. Borel //Ann. École Norm. Sup. (3) 16, 9-131 - 1899.

[32] Borel E. Sur Vinterpolation /Е. Borel //C. R. Acad. Sei. Paris 124,673676- 1897.

[33] Borel, E. Sur la recherche des singularités d * une fonction définie par un développement de Taylor/E.Borel // C. R. Acad. Sei. Paris 127,10011003- 1898.

[34] Bungartz, H. J. Sparse grids/ H. J. Bungartz, M. Griebel// Acta Numer., 13:147-269-2004.

[35] Candes, E. J. Fast discrete curvelet transforms/ E. J. Candes, L. Demanet, D. L. Donoho, L. Ying// SIAM Multiscale Model. Simul., 3:861 -899 - 2006.

[36] Daubechies, I. An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint/1. Daubechies, M. Défrisé, C. D. Mol// Comm. Pure Appl. Math., 57:1413 - 1457.-2004.

[37] Driscoll, J. R. Computing Fourier transforms and convolutions on the 2-sphere/ J. R. Driscoll, D. Healy// Adv. in Appl. Math., 15(2):202 - 250 -1994.

[38] Driscoll, J. R. Fast discrete polynomial transforms with applications to data analysis for distance transitive graphs /J. R. Driscoll, D. Healy, D. Rockmore //SIAM J. Comput., 26:1066- 1099 - 1996.

[39] Duijndam, J. W. Nonuniform fast Fourier transform/ J. W. Duijndam, M. A. Schonewille// Geophysics, 64:539 - 551 - 1999.

[40] Dutt, A. Fast Fourier transforms for nonequispaced data/ A. Dutt, V. Rokhlin// SIAM J. Sei. Stat. Comput., 14:1368 - 1393 - 1993.

[41] Dutt, A. Fast Fourier transforms for nonequispaced data II/ A. Dutt, V. Rokhlin// Appl. Comput. Harmon. Anal., 2:85 - 100 - 1995.

[42] Eggers, H. Field inhomogeneity correction based on gridding reconstruction/ H. Eggers, T. Knopp, D. Potts// Preprint 06-10, TU-Chemnitz - 2006.

[43] Elbel, B. Fast Fourier transform for nonequispaced data/ B. Elbel, G. Steidl// In C. K. Chui, L. L. Schumaker, editors, Approximation Theory IX, Nashville, Vanderbilt University Press - 1998.

[44] Feichtinger, H.G. Efficient numerical methods in nonuniform sampling theory/ H. G. Feichtinger,K. Gr'ochenig, and T. Strohmer//Numer. Math., 69:423-440.- 1995.

[45] Fenn, M. Fast evaluation of trigonometric polynomials from hyperbolic crosses/ M. Fenn, S. Kunis, and D. Potts// Numer. Algorithms, 41:339 - 352. - 2006.

[46] Farokh, A. Marvasti Nonuniform sampling: theory and practice/ Farokh A. Marvasti - Kluwer Academic, New York - 2001.

[47] Fenn, M. Fast summation based on fast trigonometric transforms at nonequispaced nodes/ M. Fenn, D. Potts// Numer. Linear Algebra Appl., 12:161 - 169, 2005.

[48] Fenn, M. Fast NFFT based summation of radial functions/ M. Fenn, G. Steidl// Sampling Theory in Signal and Image Processing, 3:1 - 28. - 2004.

[49] Fessler, J. A. Nonuniform fast Fourier transforms using min-max interpolation/ J. A. Fessler, B. P. Sutton// IEEE Trans. Signal Process., 51:560-574.-2003.

[50] Fourmont, K. Non equispaced fast Fourier transforms with applications to tomography/ K. Fourmont// J. Fourier Anal. Appl., 9:431 - 450. - 2003.

[51] Greengard, L. Accelerating the nonuniform fast Fourier transform/ L. Greengard, J.-Y. Lee// SIAM Rev, 46:443 - 454. - 2004.

[52] Grochenig, K. Reconstruction algorithms in irregular sampling/ K. Grochenig// Math. Comput, 59:181 - 194. - 1992.

[53] Jackson, J. I. Selection of a convolution function for Fourier inversion using gridding/ J. I. Jackson, C. H. Meyer, D. G. Nishimura, A. Macovski// IEEE Trans. Med. Imag, 10:473-478. - 1991.

[54] J. Keiner, S. Kunis, D. Potts. Fast summation of Radial Functions on the Sphere. Computing, 78(1): 1-15, 2006.

[55] Knopp, T. Fast iterative reconstruction for MRI from nonuniform k space data/ T. Knopp, S. Kunis, D. Potts// revised Preprint A-05-10, University Loubeck- 2005.

[56] Kolmogorov, A. N. On the Shannon theory of information transmission in the case of continuous signals/ A.N. Kolmogorov// IRE Trans. Inform. Theory IT-2,102-108 - 1956.

[57] Kunis, S. Stability results for scattered data interpolation by trigonometric polynomials/ S. Kunis and D. Potts// revised Preprint A-04-12, University Loubeck - 2004.

[58] Kunis, S. Time and memory requirements of the nonequispaced FFT/ S. Kunis and D. Potts// Preprint 06-01, TU-Chemnitz - 2006.

[59] Kunis, S. Fast Gauss transform with complex parameters using NFFTs/ S. Kunis, D. Potts, and G. Steidl// J. Numer. Math., to appear.

[60] Lee, J.Y. The type 3 nonuniform FFT and its applications/ J.-Y. Lee and L. Greengard// J. Comput. Physics, 206:1 - 5. - 2005.

[61] Ma, J. Combined complex ridgelet shrinkage and total variation minimization/ J. Ma, M. Fenn// SIAM J. Sci. Comput., 28:984-1000. -2006.

[62] Nguyen, N. The regular Fourier matrices and nonuniform fast Fourier transforms/ N. Nguyen, Q. H. Liu// SIAM J. Sci. Comput., 21:283 - 293. -1999.

[63] Nieslony, A. Approximate factorizations of Fourier matrices with nonequispaced knots/ A. Nieslony, G. Steidl// Linear Algebra Appl., 266:337-351.-2003.

[64] Pelt, J. Fast computation of trigonometric sums with applications to frequency analysis of astronomical data/ J. Pelt. D. Maoz, A. Sternberg, E. Leibowitz// Astronomical Time Series, pages 179 - 182, Kluwer - 1997.

[65] Poisson, S.D. Mémoire sur la manière d'exprimer les fonctions, par des séries de quantités périodiques, et sur r usage de cette transformation dans la résolution de differ ens problèmes/ S.D. Poisson// J. Ecole Roy. Polytechnique 11, 417-489 - 1820.

[66] Pooplau, G. Calculation of 3d space-charge fields of bunches of charged particles by fast summation/ G. Pooplau, D. Potts, and U. van Rienen// In

Proceedings of SCEE 2004 (5th International Workshop on Scientific Computing in Electrical Engineering - 2005.

[67] Potts, D. Fast algorithms for discrete polynomial transforms on arbitrary grids/ D. Potts// Linear Algebra Appl., 366:353 - 370, 2003.

[68] Potts, D. New Fourier reconstruction algorithms for computerized tomography/ D. Potts, G. Steidl. A. Aldroubi, A. Laine, M. Unser// Proceedings of SPIE: Wavelet Applications in Signal and Image Processing VIII, volume 4119, pages 13 - 23. - 2000.

[69] Potts, D. A new linogram algorithm for computerized tomography/ D. Potts, G. Steidl// IMA J. Numer. Anal., 21:769 - 782. - 2001.

[70] Potts, D. Fourier reconstruction of functions from their nonstandard sampled Radon transform/ D. Potts, G. Steidl// J. Fourier Anal. Appl., 8:513 -533.-2002.

[71] Potts, D. Fast summation at nonequispaced knots by NFFTs/ D. Potts, G. Steidl// SI AM J. Sei. Comput., 24:2013 - 2037. - 2003.

[72] Potts, D. Fast convolution with radial kernels at nonequispaced knots/ D. Potts, G. Steidl, A. Nieslony// Numer. Math., 98:329 - 351. - 2004.

[73] Potts, D. Fast algorithms for discrete polynomial transforms/ D. Potts, G. Steidl, M. Tasche// Math. Comput., 67(224): 1577 - 1590. - 1998.

[74] Ramos, G. U. Error analysis of the fast Fourier transform/ G. U. Ramos// Math. Comp. 25, 757-768. - 1971.

[75] Shannon, C. E. Communication in the presence of noise / C. E. Shannon// Proc. Institute of Radio Engineers. Vol. 37. No. 1. P. 10—21. Jan. 1949.

[76] Sprengel, F. A class of function spaces and interpolation on sparse grids/ F. Sprengel// Numer. Funct. Anal. Optim., 21:273 - 293, 2000.

[77] Steidl, G. A note on fast Fourier transforms for nonequispaced grids/ G. Steidl// Adv. Comput. Math., 9:337 - 353. - 1998.

[78] Tian, B. Nonuniform fast cosine transform ancrChebyshev PSTD algorithm/ B. Tian, Q. H. Liu// J. Electromagnet. Waves Appl, 14:797 - 798. - 2000.

[79] Ware, A.F. Fast approximate Fourier transforms for irregularly spaced data/ A. F. Ware// SLAM Rev., 40:838 - 856. - 1998.

[80] Wendland, H. Scattered Data Approximation/ H. Wendland// Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge - 2005.

[81] Yen, J.L. On Nonuniform Sampling of Bandwidth-Limited Signals/ Yen J.L.// IRE Trans. On Circuit Theory, CT-3:251-257. - December 1957.

[82] Yen, J.L.On the Synthesis of Line Sources and Infinite Strip Sources/ Yen J.L.// IRE Trans. Antennas and Propagation, 40-46. - January 1957.

[83] Zenger, C. Sparse grids. In Parallel algorithms for partial differential equations/ C. Zenger// vol. 31 of Notes Numer. Fluid Mech., pages 241-251. Vieweg, Braunschweig - 1991.