Метрические и метризуемые отображения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Нгуен Тхи Хонг Ван

• Нгуен Тхи Хонг Ван
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нгуен Тхи Хонг Ван

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Полнота метрических отображений

§1. Характеризация полноты для метрических отображений

§2. Пополнения метрических отображений

§3. Послойно полные расширения метрических отображений

§4. Теорема Лаврентьева для метрических отображений

2 Послойные варианты теорем о неподвижных точках и точках совпадения

§5. Послойный вариант теоремы Фоменко

§6. Первые два послойных аналога теоремы Арутюнова

§7. Ещё один послойный аналог теоремы Арутюнова

Литература

Список обозначений

N+ расширенное множество всех натуральных чисел, т.е. {0} U N.

множество всех неотрицательных действительных чисел, первый несчётный ординал. W{ш) топологическое пространство ординальных чисел, не превос-

ходящих ординального числа ш. [ждг] носитель последовательности.

N(x) семейство всех окрестностей точки х.

X х Y топологическое произведение пространств X и Y.

cl К замыкание множества К.

cl 21 множество замыканий всех множеств семейства 21.

diam К диаметр множества К.

dßК послойное замыкание множества К С. X для отображения

cf пополнение метрического отображения /.

с// послойное пополнение метрического отображения /.

/|а ограничение отображения / на подмножество А.

corzf коограничение отображение /: X —У на множество Z С Y,

такое, что fX С Z.

cor /, cor(f) коограничение отображения /.

сог(/\а) коограничение ограничения отображения / на А с x.

f д тар-морфизм отображения / в отображение д.

Оех, 0(х, е) ег-окрестность точки х.

В£х, В(х)е) е-замкнутый шар с центром х.

0(х, 0?(х,е) /-послойная ^-окрестность точки х.

В{х, В^(ж, е) /-послойный замкнутый £-шар с центром х.

е-окрестность сечения В(з,е) замкнутый £-шар для непрерывного сечения й непрерывного

отображения.

£(/) множество всех непрерывных сечений отображения /.

Р5(/) множество всех совершенных сечений отображения /.

Ап п-кратная композиция отображения А.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метрические и метризуемые отображения»

Введение

Как известно, главными объектами исследования в общей топологии являются понятия топологического пространства и непрерывного отображения. Однако, на топологическое пространство можно смотреть как на простейший случай непрерывного отображения, так как пространство можно отождествить с его отображением в одноточечное пространство. Это наблюдение сразу же приводит к задаче распространения понятий и утверждений, касающихся пространств, на отображения, что и объясняет возникновение нового раздела общей топологии, называемого общей топологией непрерывных отображений или послойной общей топологией.

Отметим, что идея распространения понятий и результатов, касающихся пространств, на непрерывные отображения возникла достаточно давно. Например, в 1947 г. И.А. Вайнштейн предложил называть совершенные отображения компактными (см. [3]), а в 1953 г. Г.Т. Уайберн рассмотрел ком-пактификации отображений (см. [20]). Однако общего подхода к указанному распространению выработано не было. Систематическое построение послойной общей топологии было начато Б.А. Пасынковым в 1984 г. (см. [5]) и Джеймсом в 1989 г. (см. [16]). В частности в статье [5] вводятся тихоновские отображения; для отображений строятся аналоги тихоновских кубов; для тихоновских отображений (обобщенным методом Тихонова) строятся: тихоновские бикомпактификации того же веса, что и отображения (аналог теоремы А.Н. Тихонова); максимальные тихоновские бикомпактификации (аналог бикомпактификаций Стоуна-Чеха); бикомпактификации, являющиеся аналогом одноточечных бикомпактификаций П.С. Александрова. Вводятся и изучаются также понятия локально бикомпактного, полного по Чеху, параком-пактиого, предметризуемого и т.д. отображения.

Одним из важнейших классов исследуемых в общей топологии пространств является класс метрических (и метризуемых) пространств. Рассмотрение этого класса пространств приводит к следующей важной специализации общей задачи, сформулированной в первом абзаце введения: найти в классе непрерывных отображений такой аналог метрических (и метризуемых) пространств, который охватывал бы достаточно широкий класс отображений и на который можно было бы распространить основные утверждения, касающиеся метрических (и метризуемых) пространств. В 1999 г. понятия метрики на множестве и метрического (метризуемого) пространства были распространены на отображения множеств в пространства в статье Б.А. Пасынкова [4]. Отметим, что понятия (псевдо)метрики и послойно полной метрики на непрерывном отображении были определены в статье студентки Б.А. Пасынкова H.H. Порожнеты в 1986 г. (см. [7]). Отметим еще, что в статье Д. Бухаджера, Т. Мивы и Б.А. Пасынкова [12] был рассмотрен класс отображений метризуемого типа, но в ней нет понятий метрики на отображениях и метрического (метризуемого) отображения.

Основные цели диссертации таковы: во-первых, (в главе 1) продолжить начатое в [4] и [19] изучение полноты и пополнений метрических отображений и, во-вторых, (в главе 2) распространить на метрические отображения теоремы Т.Н. Фоменко ([8], [10]) о неподвижных точках поточечно сжимающих отображений метрических пространств в себя и A.B. Арутюнова [2] о точках совпадения пары отображений одного метрического пространства в другое.

Под пространством в диссертации понимается топологическое пространство, под непрерывным отображением - непрерывное отображение пространств.

Для системы 21 подмножеств пространства X считаем cl 21 = {clA: А Е 21}. Для точки х £ X через N(x) будем обозначать семейство всех ее окрестностей. Для отображения множеств /: X —> Y коограничением отображения f на множество Z С Y, содержащее образ fX, называется такое отображение corzf: X —> Z, что corzf (х) = f(x) для всех х Е X. Если Z = fX, то вместо corzf пишется cor f.

Фиксируем пространство У с топологией т.

определение 0.1. ([4]) Для отображения / множества X в пространство

(У, т) псевдометрика р на X называется метрикой на /, если ее ограничение на каждый слой f~ly, у Е Y, является метрикой на этом слое. Топологией т(р, /) (порожденной метрикой р на f) называется топология на X с пред-базой TpU/_1T. Пара (/, р), состоящая из отображения / и метрики р на нем, называется метрическим отображением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2. ([4]) Непрерывное отображение /: (Х,тх) —>• У называется метризуемым, если на / существует метризующая его метрика р, т.е. т(р, /) = тх.

Диссертация состоит из двух глав. Глава 1 посвящена изучению полноты и пополнений метрических отображений, определенных Б.А. Пасынковым в [4].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.3. ([4]) Метрика р на отображении f:X—>Y называется полной, если

(*) для любой точки у € Y и любого фильтра ^вХ, содержащего, во-первых, элементы сколь угодно малого диаметра и, во-вторых, систему /-1АТ(у), пересечение f~ly П непусто (замыкания берутся в топологии т(р, /)). Отметим, что пересечение f~ly П Р) cl $ не более чем одноточечно. Метрическое отображение (/, р) называется полным, если метрика р на / полна.

Непрерывное отображение /: X —» Y называется полно метризуемым, если на / существует метризующая его полная метрика.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.1. Если для у eY фильтр $ в X содержит систему f~1N(y), то у £ cl fA для всех А

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.4. ([4]) Для метрических отображений (/, р): X F и (g,d): Z —> У отображение р: X —> Z называется (плотной) изометрией f в д, если (рХ плотно в (Z, r(d, д)),) f = pop и d{p,x, /ix') = р(х, х') для любых х, х' G X. Если, дополнительно, рХ = Z, то р будет называться изометрией f па д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.5. ([4]) Полное метрическое отображение д называется пополнением метрического отображения /, если фиксирована плотная изомет-рия / в д. (Как обычно, при помощи этой изометрии мы будем отождествлять / с соответствующим подотображением отображения д.)

ТЕОРЕМА 0.1. ([4]) Любое метрическое отображение /: X —>• У обладает пополнением и для любых двух его пополнений существует тождественная на X изометрия каждого из них на другое.

Б.А. Пасынков определил полноту метрических отображений с помощью фильтров (как это делается в случае равномерных пространств) и доказал существование пополнений метрических отображений при помощи теоремы о существовании пополнений метрических пространств. Так как, обычно, полнота метрических пространств определяется при помощи фундаментальных последовательностей точек, то возникают вопросы: во-первых, можно ли определить полноту метрических отображений более простым (без фильтров) и близким к стандартному для пространств способом; и, во-вторых, можно ли доказать существование пополнений метрических отображений, не опираясь на соответствующее утверждение для пространств. Ответ на первый вопрос получен в §1 первой главы. Оказывается, что для метрического отображения его полнота равносильна сходимости ?/-фундаметнальных последовательностей множеств (см. следующее определение).

Определение 1.1. Пусть дано метрическое отображение (/, р): X —»• У.

1. Последовательность {жп}пе^ точек пространства X называется у-фунда-ментальной для у £ У, если она фундаментальна относительно псевдометрики р и последовательность точек {fxn}n^ сходится к точке у.

2. Убывающая последовательность А1 Э А2 Э ... подмножеств пространства X называется у-фундаментальной для у € У, если у £ с1 /Ап для всех п £ N и (ИатАп —> 0 при п —> оо.

ТЕОРЕМА 1.1. Для метрического отображения (/, р): X —> У следующие утверждения эквивалентны: г) метрика р на / полна;

И) для любой точки у € У и любой у-фундаментальной последовательного

сти множеств выполняется соотношение f~ly П р) cl Ап ф 0;

п=1

Ш) для любой точки у 6 У и любой у-фундаментальной последовательности замкнутых множеств {-Fn}neN выполняется соотношение П

ос 71=1

Если в теореме 1.1 пространство У имеет счетную тесноту, то полнота / равносильна сходимости ^/-фундаментальных последовательностей счетных множеств (см. следствие 1.1).

Следующая теорема проясняет, когда полнота метрического отображения может быть определена стандартным способом.

ТЕОРЕМА 1.2. Метрическое отображение (/, р) пространства X в ха-усдорфово пространство У, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, полно тогда и только тогда, когда для всех у € У любая у-фундаментальная последовательность точек сходится.

В конце §1 рассматривается послойная полнота метрических отображений (Метрическое отображение (f,p): X —> У называется послойно полным, если ограничение метрики р на каждый слой f~ly, у Е У, полно). Нетрудно заметить, что полные метрические отображения послойно полны, но обратное утверждение неверно (приведен контрпример). Все же иногда послойная полнота эквивалентна полноте метрического отображения.

ТЕОРЕМА 1.3. Замкнутое метрическое отображение полно тогда и только тогда, когда оно послойно полно.

Основным результатом §2 является описание метода построения пополнения произвольного метрического отображения, близкого к стандартному. Этот метод исползует фундаментальные последовательности множеств. Он позволяет доказать существование пополнения метрического отображения без привличения теоремы о существовании пополнений метрических пространств. В случае, когда метрическое отображение идет в хаусдорфово пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, то, в силу теоремы 1.2, пополнение метрического отображения можно получить стандартным ме-

тодом, т.е. при помощи фундаментальных последовательностей точек. В конце этого параграфа на метрические отображения распространяется рассмотренный в [11] способ получения пополнения метрического пространства при помощи ограниченных непрерывных функций.

В §3 рассматриваются послойно полные расширения метрического отображения. Показывается, что их у метрического отображения может быть бесконечно много.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Послойно полное метрическое отображение (д, с1): Z —У У называется послойно полным расширением метрического отображения (/, р): X —> У, если фиксирована плотная изометрия ¡л отображения / в д. Как обычно, при помощи изометрии /л мы будем отождествлять / с соответствующим подотображением отображения д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Послойно полное расширение (д,с1): Z —» У метрического отображения (/, р): X У называется послойным пополнением отображения /, если отображение / послойно плотно в д, т.е. для каждого у Е У" слой всюду плотен в д~1у.

Послойное пополнение метрического отображения / обозначается символом с^/.

Следствие 1.3. Для каждого метрического отображения / существует единственное (с точностью до тождественной на / изометрии) послойное пополнение.

Через ТС£{/) обозначим множество всех послойно полных расширений метрического отображения /. На ТС£^) определим частичный порядок ^ следующим образом: для д,1г 6 ТС£(/) считаем д ^ к, если существует плотная изометрия отображения д в /г, тождественная на X (при этом, будем считать д подотображением отображения И). Некоторые элементы множества 7ГС£(/) могут быть несравнимыми, но верна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.6. Пополнение с/ и послойное пополнение с// метрического отображения / являются соответственно наибольшим и наименьшим элементами семейства 7ГС£(/).

Дополнительную информацию дает СЛЕДСТВИЕ 1.5 Для замкнутого метрического отображения все его послойно полные расширения совпадают с его пополнением и послойным пополнением (т.е. семейство TC£(f) содержит только один элемент).

Перейдем к §4.

Для непрерывных отображений /: X —> Z я g:Y —> Z непрерывное отображение (р: X —У Y называется тар-морфизмом отображения f в отображение g, если f — g о (р. Если, дополнительно, (р есть гомеоморфизм (топологическое вложение), то (р называется тар-гомеоморфизмом f на g (топологическим вложением feg).

Для тар-морфизма ср отображения / в отображение g используется символ </?:/-» д.

Следующая теорема является распространением на случай метрических отображений известной теоремы Лаврентьева о продолжении на С^-оболочки гомеоморфизма подпространства одного метрического пространства на подпространство другого метрического пространства.

ТЕОРЕМА 1.10. Пусть f:X—}Zug\Y—¥Z- полно метризуемые отображения и пусть А всюду плотно в X и С всюду плотно в Y. Тогда любой тар-гомеоморфизм tp: А С отображения /Ц на д\с продолжается до некоторого тар-гомеоморфизма Ф:_£?—>■ D отображения f \в на отображение g\j), где В и D - G^-множества в X uY соответственно.

Глава 2 состоит из трех параграфов 5-7. Она посвящена получению послойных аналогов теорем о неподвижных точках и точках совпадения отображений между метрическими пространствами.

В §5 рассматривается теорема Т.Н. Фоменко (теорема 8, стр. 136 из [8] и теорема 8 из [10]) о неподвижных точках поточечно сжимающих отображений метрического пространства в себя.

Напомним, что для непрерывного отображения f: X ^ Z а) непрерывное отображение s: Z —X называется непрерывным сечением отображения f, если f о s — idz', b) для R С X ретракция г: X R называется

f-послойной, если / о г = f. В дальнейшем под непрерывным сечением отображения / будем понимать любое такое подпространство s пространства X, для которого f\s- гомеоморфизм на Z.

Фиксируем метрическое отображение "на" (f,p):X—>Z. Через S(f) обозначим множество всех непрерывных сечений отображения /. Для любых двух сечений s, s' £ S(f) положим

d(s, s') — siip{p(x, x'): x e s, x' € s', fx = fx'}.

Соотношение d(s,s') < +00 является отношением эквивалентности на S(f). Классы эквивалентности, определяемые этим отношением, будем называть метрическими частями множества S(f). Очевидно, d является метрикой на каждой метрической части множества S(f).

Следующая теорема и вытекающее из нее следствие дополняют и обобщают упомянутую теорему Фоменко.

Теорема 2.1. Если отображение f послойно полно, а тар-морфизм А: f —»■ / для некоторого числа ß, 0 ^ ß < 1, и любой точки х G X удовлетворяет условию (поточечного сжатия)

р(Ах,А2х) ^ ß -р{х,Ах), (2.2)

то для множества R = {х £ X : Ах = х] (всех неподвижных точек А) существует такое отображение г : X —У R, что г|д = idR, / о г = f,

r(x) = lim Апх и р(х, г(х)) ^ ^Х' ^^ (и поэтому R П f~lz ф 0 для любой

та—»■ оо 1 — ß

точки z € Z). Если, дополнительно, (1) для любой точки z 6 Z существуют окрестность Oz и число C(z), такие, что р(х,Ах) ^ C{z) для всех х 6 f~xOz, то отображение г непрерывно и является f-послойной ретракцией. Если еще (2) f обладает непрерывным сечением s, то в R лежит непрерывное сечение s' отображения f, для которого

(2-3)

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Если для полного метрического пространства X и для непрерывного отображения А пространства X в себя существует число ß,

О ^ ß < 1, такое, что для любой точки х Е X выполняется соотношение р(Ах,А2х) ^ р(х, Ах), то для множества R всех неподвижных точек отображения А существует такое отображение г: X R, что г\ц — id,R,

r(x) = lim Ап{х) и р(х,г(х)) ^ —-—!—х Е X. Если, дополнительно, су-

п—>00 1 — р

ществует число С > 0, такое, что р(х,Ах) ^ С для всех х Е X (например, diam X < +оо), то отображение г непрерывно и является ретракцией.

Отметим, что послойный вариант теоремы о неподвижных точках сжимающих отображений метрического пространства сначала был получен ученицей Б.А. Пасынкова Н. Порожнетой ([7]) для открытых метрических отображений и затем был распространен Б.А. Пасынковым ([25]) на случай факторных метрических отображений.

Теорема 2.1 может рассматриваться как частичное обобщение теоремы Порожиеты-Пасынкова.

Следующие параграфы 6 и 7 инициированы теоремой Арутюнова о точках совпадения двух отображений одного метрического пространства в другое (Теорема 1 из [2]). В этих параграфах получаются послойные аналоги теоремы Арутюнова. Получение этих аналогов основывается на разработанном Т.Н. Фоменко методе (а, /3)-поиековых функционалов. Напомним данное ей определение (а, /3)-поискового функционала. Фиксируем метрическое пространство (Х,р).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.6. ([8], [9]) Функционал (р: X ->• R+ называется (a,ß)-поисковым, су, ß Е R, 0 < ß < а, если

(*) для любой точки х Е X существует точка х' = х'(х) Е X, такая, что

р(х, z') < — и ф') ^ Р-ф). (0.1)

а а

С помощью принципа каскадного поиска нулей (а, /3)-поисковых функционалов Т.Н. Фоменко получила ряд результатов о существовании и аппроксимации точек совпадений, общих прообразов замкнутого подпространства, общих корней, общих неподвижных точек для конечных наборов однозначных и многозначных отображений метрических пространств.

В 2012 г. Б.А. Пасынков ввел понятие почти точно (а, ß)-поискового функционала (см. [25]), обобщающего понятие (а, /3)-поискового функциона-

ла. Почти точно (а, /3)-поисковые функционалы позвовили распространить (с некоторыми потерями) теоремы Арутюнова со случая метрических пространств на случай метрических отображений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.7. ([25]) Функционал X —> R+ называется почти точно (о:, ß)-поисковым для чисел а, ß € M, 0 < ß < а, если (**) для любой точки х € X и любого числа Ö > 0 можно найти точку х' = х'(х, £) 6 X, такую, что

х') ^ ^ + S и ф') < Ё.ф) + s. а а

Для функционала <р(х) положим ïp(x) = min(<p(a;), 1), ж £ X ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.8. (Б.А. Пасынков, [25]) Для почти точно (ск, /3)-поискового

оо

функционала ip: X —> R+, числа е > 0, сходящегося ряда Е = ^ сг^ с неот-

Jfe=l

е(<* ~ ß)

рицательными членами и суммой а > и и числа 7 = - последова-

а

тельность точек хо = ж, х\,..., хк, ■ ■ ■ пространства X называется (</?, Е, ж, е)-порожденной, если

(ак) р(хк-1,хк) < V(xk-i) + 1 / fr\ _ 7<7jb^(a;jfc_i),

о; О; \CÜ /

ß iß\k -(bk) ip(xk) < -<p{xk-i) + - • 7<w(z*-i)>

a \a J

k<E N.

ТЕОРЕМА 0.2. (Б.А. Пасынков, [25]) Если функционал (р: X —> R+ является почти точно (а, ß)-поисковым, то для любого сходящегося ряда

оо

Е = ]Г] ак с неотрицательными членами и суммой а > 0, для любого числа k=1

е > 0 и любой точки х £ X

(0) существует хотя бы одна Е, х, е)-порожденная последовательность;

(1) любая ((/?, Е, х, е)-порожденная последовательность xq = х, xi,..., xk,... является фундаментальной и для нее:

(2) <р(хк) —У 0 при к оо;

(3) если существует ее предел г(х), то

р(хк, г(х)) < ß\ " + £) , к 6 N+1 и р{х, г(х)) < ^ + е; (0.2)

(4) если х Е ip ^О), то предел г{х) из пункта (3) существует и г(х) = х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.9. (Б.А. Пасынков, [25]) Почти точно (а,/3)-поисковый

функционал (р: X -»• К..), называется

эффективным, если для любой точки х Е X, любого е > 0 и любого

00

сходящегося ряда S = ^ а к с неотрицательными членами и суммой сг > О

к=1

(Щ существует сходящаяся ((/?, Е, а;, е)-порожденная последовательность к Е N+, для предела г (си) которой выполнено соотношение ср(г(х)) = 0;

вполне эффективным, если он эффективен и для любой точки х Е X,

оо

любого £ > 0 и любого сходящегося ряда Е = Y1 ак с неотрицательными

к=1

членами и суммой а > О

любая ((р, Е, ж, ^-порожденная последовательность Хк, к Е N+, сходится и для ее предела г(х) выполняется соотношение (р(г(х)) — 0.

В §6 и §7 для метрических отображений получены аналоги и обобщение теоремы 1 A.B. Арутюнова ([2]) о точках совпадения двух отображений (одно из которых накрывающее, а другое липшицевское) одного метрического пространства в другое.

Фиксируем, кроме метрического отображения f:X—>Z, еще метрическое отображение g : Y —>• Z.

Мар-морфизмом Ф: / —» д называется послойно а-накрывающим (соответственно, ß-Липшицевским), если а-накрывающим (соответственно, ß-липшицевским) в смысле статьи [2] является коограничение на g_1z ограничения z Е Z.

Фиксируем какой-нибудь тар-морфизм Ф: / —> д. Для любого s Е S(f) образ = Ф(й) есть элемент множества S(g). Таким образом, определено отображение Ф*: S(f) —> S(g), ставящее в соответствие любому сечению s Е S(f) сечение Е S(g).

Для метрической части S множества S(f) и метрической части Т множества S(g) положим 5фт = S П (Ф*)~1Т.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Если тар-морфизм Ф: / —> д является ß-Липшицев ским, ß > 0, то для любой метрической части S множества S(f) существует метрическая часть Т множества S{g), такая, что Ф*(5') С Т.

Следующая теорема является первым послойным аналогом теоремы Арутюнова.

Теорема 2.2. Пусть даны метрические отображения /: X —>• 2 и д: У —» 2 на 0-мерный паракомпакт 2 и отображение / открыто и послойно полно. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф: / —> д и (3-липшицевкий тар-морфизм Ф:/-$д,0<(3< а. Если метрическая часть £ множества £(/) и метрическая часть Т множества 8{д) таковы, что Ф(5) С Т и ф 0, то функционал ^(б) = с£(Ф(5), Ф(й)) на является почти точно (а, /3)-поисковым и вполне эффективным и для любого е > 0 и любого б £ 5фт существует сечение £ = е) £ Зут, такое, что

= (2.6)

Следствие 2.4. Пусть даны метрические отображения /: X —ь 2 и д: У —»• ^ на 0-мерный паракомпакт 2 и отображение / открыто и послойно полно. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф: / —>■ д и /3-липшицевкий тар-морфизм Ф: / —> д, 0 < (3 < а. Если для в £ £(/) выполнено условие с?(Ф(§),Ф(в)) < +оо; то для любого е > 0 существует сечение £ = £ £(/), такое, что верны соотношения (2.6).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Для отображений /, д и для положительных функций

тар-морфизм Ф: / —У д назовем послойно а-накрывающим, если для любой точки г £ 2 коограничение на д~1г ограничения Ф на является а(^)-накрывающим;

тар-морфизм Ф: / —> д назовем послойно (3-липшицевским, если для любых х £ 2 к х^х' £

р(Фх,Фх') < /3(г)р(х,х'). СЛЕДСТВИЕ 2.6. Пусть /: X —>• 2 и д\У 2 - метрические отобра-

эн^&'ншь и/с1

О-мерный паракомпакт 2 и отображение / открыто и послойно полно. Если еще даны послойно а-накрывающий для непрерывной на 2 функции а тар-морфизм Ф д и послойно /З-липшицевский для непрерывной

на X функции /3 тар-морфизм Ф: / —> д, 0 < /3(г) < а(г), г € Z, то для любого сечения в Е ¿>(/) существует сечение £ = € £(/), для которого

Напомним, что совершенным сечением непрерывного отображения /: X -2 называется подпространство Рв пространства X, такое, что f(Ps) = Z и отображение /|ря совершенно.

Множество всех совершенных сечений метрического отображения /: X — ^ обозначим через Р5(/). Для Рз и Рй' из Р5'(/) положим

/¿(РЙ,р5') = 8ир{/1г(/-^пРэ,пр5')■. хе г},

где 1г2 - метрика Хаусдорфа на множестве всех компактных подмножеств слоя

Следующая теорема является вторым послойным аналогом теоремы Арутюнова.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть (/, р): X —» Z и (д,а): У —>• Z - метрические отображения на паракомпакт Z и отображение / открыто и послойно полно. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф: / д и (3-липшицевский тар-морфизм Ф: / д, 0 < (3 < а. Если для совершенного сечения Рв отображения / выполнено неравенство /¿(Ф(Рв), Ф(Рй)) < +оо; то для любого £ > 0 существует совершенное сечение Р£ отображения /, такое, что

Для третьего послойного аналога теоремы Арутюнова, формулируемого далее, нам требуются некоторые определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Для метрического отображения (/, р): X —> Z отображение д множества X в (соответственно, на) метрическое пространство (Р, рл) назовем изометрией (/,/?) е Р (соответственно, на Р), если

ря{дх, дх') = р(х, х'), х, х' е X.

В [4] показано, что для любого метрического отображения (/, р): X —> Z существует изометрия тгр: X —У Х/р отображения (/, р) на метрическое пространство X/р ("склеивающая" такие точки х, х' (Е X, для которых р(х, х') — 0).

Так как метрическое пространство изометрически вкладывается в банаховы пространства, то для любого метрического отображения существует изометрия в банахово пространство.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Для банахова пространства В и изометрии q метрического отображения (/, р): X —» 2 в В будем называть / послойно выпуклым, если все множества (/(/_12:), выпуклы в В.

Теорема 2.4. Пусть даны метрические отображения (/, р): X Z и g^.У—!>■Zнa паракомпакт Z. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф: / —>■ д, /3-Липшицев ский тар-морфизм Ф:/—>д,0</3< а, и изометрия д отображения (/, р) в банахово пространство В, такая, что отображение (Ф, р): X —»• У является послойно (В, д)-выпуклым. Если метрическая часть 5 множества £(■/) и метрическая часть Т множества 3(д) таковы, что Ф(5) С Т и ф 0, то функционал <£>(я) = ¿¿(Ф(в), Ф(б)) на т является почти точно (су, /3)-поисковым и вполне эффективным и для любого е > 0 и любого в € ¿>фт существует £ = е) Е такое,

что верны соотношения (2.6).

Следствие 2.9. Пусть даны метрические отображения /: X —>• Z и д: У Z на 0-мерный паракомпакт Z и отображение / открыто и послойно полно. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф: / —> д и /З-липшицевкий тар-морфизм Ф: / —>• д, 0 < /3 < а. Если для э £ ¿>(/) выполнено условие с?(Ф(5), Ф(й)) < +оо, то для любого е > 0 существует ^ = ег) £ ¿>(/), такое, что верно (2.6).

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Бориса Алексеевича Пасынкова за помощь в выборе темы исследования, внимательное руководство в процессе работы над диссертации и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нгуен Тхи Хонг Ван, 2013 год

Литература

[1] Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерностей. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерностей — М.: Наука, 1973, 576с.

[2] Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки// Доклады Академии наук. - 2007. Т. 416, №, с.151-155.

[3] Вайнштейн И. А. О замкнутых отображениях метрических пространств// Докл.АН СССР, - 1947 - Т.57 - №4 - с. 319-321.

[4] Пасынков Б. А. О метрических отображениях. // Вестник Московского Университета. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. №3, с. 29-32.

[5] Пасынков Б. А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // Отображения и функторы. М., 1984. с. 72-102.

[6] Пасынков Б. А. Частичные топологические произведения. Труды Моск. мат. о-ва 13 (1965), с. 136-376.

[7] Порожнета Н. Н. Послойный вариант принципа сжимающих отображений. // Геометрия погруженных многообразий. Межвузовский сборник научных трудов. М.: МГПИ им. В. И. Ленина, 1986, с. 76-82.

[8] Фоменко Т. Н. Топологические методы в теории неподвижных точек и совпадений (диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук). Москва (2010)

[9] Fomenko Т. N. Cascade search principle and its applications to the coincidence problems of n one-valued or multi-valued mappings.// Topology and Its Applications, vol. 157, no. 4, pp. 760-773, 2010.

[10] Фоменко Т. H. О приближении к точкам совпадения и общим неподвижным точкам набора отображений метрических пространств.// Математические Заметки, том 86, №.1, Июль 2009, с.110-125.

[И] Энгелькинг Р. Общая топология.// М. "Мир", 1986, 752 с.

[12] Buhagiar D., Miwa Т., Pasynkov В. A., On metrizable type (МТ-) maps and spaces// Topology and its applications, 96 (1999), 31-51.

[13] Cammaroto F., Pasynkov B. A., On some metrization theorems for continuous mappings/'/ Q&A in General Topology, Vol.20 (2002), 13-32.

[14] Bludova I. V. On abcolutely bounded trivially metrizable mappings. // Q&A in General Topology, Vol. 18 (2000), p.249-254.

[15] Bludova I. V. On the Niemytzki-Tychonoff theorem for maps. // Q&A in General Topology, Vol. 19 (2001), p.213-218.

[16] James I. M. Fibrewise topology. Cambrige Univ. Press, Cambrige, 1989.

[17] Michael E. Continuous selections I. Ann. of Math. 63 (1956), 361-382.

[18] Michael E. Continuous selections II. Ann. of Math. 64 (1956), 562-580.

[19] Nordo G., Pasynkov B. A., On trivially metrizable mappings// Q&A in General Topology, 18 (2000), 117-119.

[20] Whyburn G. T. A unified space for mappings, Trans. Amer. Math. Soc. 74 (1953), no. 2, 344-350.

Основное содержание диссертации отражают следующие опубликованные работы автора

[21] Нгуен Тхи Хонг Ван. О полноте и пополнениях метрических отображений / МПГУ - М., 2011. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 31.03.2011 № 157-В2011.

[22] Нгуен Тхи Хонг Ван. О полноте и пополнениях метрических отображений II/ МПГУ - М., 2011. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 17.11.2011 № 495-В2011.

[23] Нгуен Тхи Хонг Ван. О полноте и пополнениях метрических отображений III/ МПГУ - М., 2012. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 07.06.2012 № 267-В2012.

[24] Нгуен Тхи Хонг Ban. Теорема Лаврентьева для отображений/ МПГУ -М, 2012. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 07.06.2012 № 268-В2012.

[25] Нгуен Тхи Хонг Ван, Пасынков Б.А. О непрерывных сечениях метрических отображений/ МПГУ - М., 2012. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 26.11.2012 № 435-В2012.

[26] Nguyen Thi Hong Van, Pasynkov В.A. Metric and metrizable mappings (статья принята к опубликованию в журнал Topology and its Applications).

[27] Нгуен Тхи Хонг Ван, Пасынков Б.А. Послойные варианты теорем Банаха и Арутюнова/ Тезисы докладов 4-й Международной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева, 25-27 марта, 2013г.