Моделирование конвективных процессов с факторами, характерными для мантии Земли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.22, кандидат физико-математических наук Михин, Константин Владимирович

• Михин, Константин Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михин, Константин Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ В НЕДРАХ ЗЕМЛИ: ОБЗОР ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

1.1. Тепловая конвекция в несжимаемой жидкости.

1.2. Конвекция с объемным тепловыделением.

1.3. Хаотизация конвективных течений.

1.4. Конвекция при сильной зависимости вязкости от температуры.

1.5. Конвекция с другими факторами характерными для мантий.

1.5.1. Зависимость вязкости от давления

1.5.2. Конвекция в неньютоновской жидкости.

1.6. Выводы.

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ С ОБЪЕМНЫМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ С ПОМОЩЬЮ СВЧ ИЗЛУЧЕНИЯ

2.1. Методы моделирования конвекции с объемным тепловыделением.

2.2. Использование электромагнитного излучения СВЧ диапазона для моделирования конвекции с объемным тепловыделением.

2.2.1. Установка.

2.2.2. Тепловыделение.

2.2.3. Динамическое взаимодействие излучения и жидкости.

2.3. Техника эксперимента.

2.3.1. Температурный режим эксперимента.

2.3.2. Рабочая жидкость.

2.4. Использование мелкодисперсной примеси для визуализации течений.

2.5. Выводы.

3. КОНВЕКЦИЯ С ВНУТРЕННИМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ И ВНЕШНИМ ПОДОГРЕВОМ

3.1. Параметры течений, полученных в экспериментах.

3.2. Распределение скорости жидкости.

3.3. Распределение температуры.

3.4. Зависимость конвективных течений от времени.

3.5. Соотношение Ыи(Яа).

3.6. Моделирование конвекции с континентальными плитами.

3.7. Выводы.

4. ГРАНУЛИРОВАННАЯ СРЕДА С ВНУТРЕННИМИ НЕОДНОРОДНОСТЯ-МИ.

4.1. Модели движения гранулированных сред.

4.1.1. Модели на основе кинетической теории газа.

4.1.2. Кинематическое описание.

4.1.3. Неоднородности в гранулированном веществе.

4.1.4. Механизмы формирования неоднородностей.

4.2. Пространственно-временные характеристики неоднородностей.

4.3. Гидродинамическое описание гранулированного вещества с неоднородно-стями.

4.4. Определение напряжений, создаваемых неоднородностями.

4.5. Выводы.

5. ДВИЖЕНИЕ ГРАНУЛИРОВАННОЙ СРЕДЫ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

5.1. Уравнения крупномасштабных движений среды.

5.1.1. Усреднение уравнений движения.

5.1.2. Определение вариаций.

5.2. Состояние гранулированной среды при квазистационарных внешних условиях.

5.2.1. Равновесное значение псевдотемпературы.

5.2.2. Влияние неоднородностей на состояние равновесия среды.

5.3. Течение флюидизированной гранулированной среды с неоднородностями упаковки.

5.3.1. Характер поведения среды при вариациях упаковки.

5.3.2. Определение крупномасштабных напряжений.

5.3.3. Изменения вязкости и давления, вызванные неоднородностями.

5.3.4. Спектральные характеристики вариаций давления, создаваемые неоднородностями упаковки.

5.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование конвективных процессов с факторами, характерными для мантии Земли»

Конвективный перенос массы, импульса и энергии в недрах Земли осложняется большим количеством факторов действующих одновременно: зависимостью параметров от температуры и давления, сложными реологическими свойствами вещества и рядом других. Получил распространение подход, в котором эти факторы рассматриваются по отдельности, что позволяет сначала выделить наиболее важные черты, а затем синтезировать общую картину.

В одной из наиболее эффективных моделей твердую оболочку Земли рассматривают как вязкую жидкость, находящуюся в процессе тепловой конвекции, вызванной объемным тепловыделением за счет распада радиоактивных элементов (и, ТЬ, К). Движение жидкости с хорошей точностью описывается гидродинамическими уравнениями, которые достаточно просто разрешаются средствами современной вычислительной техники. Поэтому, к настоящему времени в области численного моделирования мантийных течений достигнуты значительные успехи. С другой стороны, экспериментальное моделирование подобных течений затруднительно. Это связано с тем, что мантийное вещество характеризуется сильной зависимостью вязкости от температуры и большим числом Прандтля. До настоящего момента не удавалось получить объемное тепловыделение в модельных средах с подобными свойствами. В данной работе предлагается новый метод моделирования таких течений, основанный на использовании электромагнитного излучения СВЧ диапазона. Предлагаемый метод может представлять интерес и для моделирования процессов в некоторых технических системах. К одной из наиболее важных задач можно отнести моделирование тяжелых аварий на АЭС, сопровождающихся образованием расплава ядерного топлива (Пономарев-Степной, 1992).

Другой существенной особенностью мантии и коры является неоднородность их структуры. Она проявляется на разных масштабных уровнях: блочное строение коры, возможность химических неоднородностей в мантии, приводящих к седиментационной конвекции, поликристаллическая структура многих веществ, неоднородности упаковки молекул в жидкостях и аморфных веществах и т.д.

Рассмотрение подобных явлений сталкивается с большими трудностями, поскольку для неоднородных сред отсутствуют математические модели, позволяющие описать их движение с необходимой точностью. В предлагаемой работе рассмотрена одна из моделей неоднородных сред - гранулированное вещество. К сожалению, даже для этого, относительно простого случая, не удалось получить уравнения движения, обеспечивающие столь же точное описание, как гидродинамические уравнения для жидкостей. Предсказания поведения гранулированных сред, полученные методами успешными для газов и конденсированных сред, оказались гораздо менее точными и универсальными. Причины этих трудностей в настоящее время остаются не ясными.

Представляется разумным следующий подход: выделить факторы, отличающие эти среды от жидкостей и исследовать их возможное влияние на конвекцию. Ряд авторов (Ширко 1985, Мета 1993) указывает на то, что в гранулированных средах должны существовать выделенные группы "среднего" числа гранул (от 5-6 до нескольких десятков), вызванных неоднородностями упаковки и некоторыми другими причинами. В данной работе теоретически рассмотрено влияние подобных групп гранул (неоднородностей) на крупномасштабные (конвективные) движения среды.

Целями защищаемой работы является:

1. Разработка нового метода экспериментального моделирования конвекции с объемным тепловыделением, основанном на использовании СВЧ излучения.

2. Исследование пространственного распределения и временной зависимости скорости течения и температуры среды при конвекции с параметрами подобия, соответствующими мантии Земли. Получение закономерностей теплообмена в подобных течениях.

3. Построение модели среды, позволяющей связать пространственно-временные характеристики мелкомасштабных неоднородностей с ее крупномасштабными свойствами. Рассмотрение с помощью модели влияния неоднородностей упаковки на крупномасштабные движения гранулированной среды.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Методика экспериментального моделирования свободной тепловой конвекции с объемным тепловыделением с помощью электромагнитного излучения СВЧ диапазона. Она позволяет изучать конвективные течения с интенсивным конвективным переносом тепла, при малом переносе импульса, характерные для твердотельной ползучести в геофизических системах.

2. Подтверждение качественных представлений (квазистационарность и наличие изотермического ядра) и количественных соотношений для теплопотока (Ш-Яа) и средней скорости, используемых в моделях тепловой эволюции геофизических систем. Показано, что для жидкости с вязкостью, зависящей от температуры, средние теплопоток и скорость хорошо описываются соотношениями для жидкости с вязкостью, равной вязкости изотермического ядра.

Показано, что при конвекции с объемным тепловыделением в жидкости с сильной зависимостью вязкости от температуры возможно формирование быстрых и узких восходящих течений. Это является существенным отличием от конвекции с объемным тепловыделением в жидкостях с постоянной вязкостью, где восходящие токи шире и медленнее нисходящих. Результаты показывают, что осуществление широких восходящих течений в мантии, с которыми часто связывают распределения топографии и теплопотока в зонах спрединга, требует выполнения дополнительных условий, кроме наличия объемного тепловыделения.

3. Модель среды с неоднородностями нескольких типов, в частности неодно-родностями упаковки. С ее помощью показано, что крупномасштабное (конвективное) движение вещества с внутренними неоднородностями описывается в рамках приближения сплошной среды. Влияние неоднородностей приводит к возникновению дополнительных напряжений и изменению средней энергии мелкомасштабных движений гранул.

Показано, что во флюидизированном гранулированном веществе добавочные напряжения, порождаемые неоднородностями упаковки, сводятся к увеличению эффективной вязкости и давления среды. Величина поправок определяется, в основном, характерным размером неоднородности, плотностью среды и амплитудой вариации координационного числа гранул. Для плотной случайной упаковки поправки составили порядка нескольких процентов.

Научная новизна результатов.

1. Впервые разработана и использована методика использования СВЧ-излуче-ния для моделирования конвекции с объемным тепловыделением. 8

2. Впервые с использованием разработанной оригинальной методики объемного нагрева экспериментально промоделированы динамические свойства конвективной ячейки среды с параметрами подобия, предполагаемыми для мантии Земли.

3. Впервые получена система уравнений гидродинамического типа, описывающая движение гранулированной среды с внутренними неоднородностями.

Практическая и научная ценность результатов.

1. Разработанные экспериментальные методы могут найти применение при моделировании процессов в мантиях Земли и других планет. На их основе возможно выявление физических механизмов геофизических явлений.

2. Возможность моделирования гидродинамических течений с объемным тепловыделением представляет интерес для решения ряда задач, связанных с переработкой, транспортировкой и захоронением радиоактивных материалов.

3. Предложенный подход к описанию гранулированных веществ мог бы послужить дополнением к существующим кинетическим и феноменологическим методам, а также указывают на возможное новое направление экспериментов и численного моделирования гранулированного вещества.

Заключение диссертации по теме «Геофизика», Михин, Константин Владимирович

5.4. Выводы.

1. Показано, что крупномасштабное (конвективное) движение гранулированного вещества с внутренними неоднородностями описывается в рамках приближения сплошной среды. Влияние неоднородностей приводит к возникновению дополнительных напряжений и изменению средней энергии мелкомасштабных движений гранул.

2. В рассмотренном в работе случае, флюидизированном гранулированном веществе с неоднородностями упаковки, добавочные напряжения сводятся к увеличению эффективной вязкости и давления среды. Основной вклад создается за счет неоднородностей, у которых выполняется условие резонанса между частотой распада и частотой упругих волн в среде. Величина поправок определяется, главным образом, плотностью среды, средним размером неоднородностей и амплитудой вариации координационного числа гранул. Для среды с расположением гранул, соответствующим плотной случайной упаковке, при объемной доле гранул, соответствующей большинству экспериментальных работ, поправки составят от нескольких десятых до нескольких процентов. Оценки показывают, что в определенных условиях возможен более заметный эффект. В частности, увеличение значения поправок примерно на порядок следует ожидать в средах с упаковкой частиц переходной между аморфной и кристаллической.

3. Показано, что при крупномасштабных (конвективных) движениях среды наличие неоднородностей упаковки приводит к появлению флуктуаций давления с частотами близкими к частоте, при которой происходит резонанс между распадом неоднородностей и упругими колебаниями в среде. Резонансная частота имеет величину промежуточную между скоростью относительной деформаций вещества и частотой соударения отдельных гранул.

Заключение.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработана методика экспериментального моделирования конвективных течений с объемным тепловыделением с помощью электромагнитного излучения СВЧ диапазона. Применение СВЧ позволяет получать объемное тепловыделение в жидких диэлектриках с сильной зависимостью вязкости от температуры, применение которых позволяет более реалистично моделировать свойства ряда геофизических сред. В частности, позволяет получать течения с интенсивным конвективным переносом тепла и малым конвективным переносом импульса, что характерно для движений в мантиях планет.

2. Полученные в экспериментах результаты подтверждают качественные представления (квазистационарность и наличие изотермического ядра) и количественные соотношения для теплопотока (Ыи-Яа) и средней скорости, используемые в моделях тепловой эволюции геофизических систем. Результаты показывают, что для жидкости с вязкостью, зависящей от температуры, средние теплопоток и скорость хорошо описываются соотношениями для жидкости с вязкостью, равной вязкости изотермического ядра.

3. Показано, что при конвекции с объемным тепловыделением в жидкости с сильной зависимостью вязкости от температуры возможно формирование быстрых и узких восходящих течений. Это является существенным отличием от конвекции с объемным тепловыделением в жидкостях с постоянной вязкостью, где восходящие токи шире и медленнее нисходящих. Результаты показывают, что осуществление широких восходящих течений в мантии, с которыми часто связывают распределения топографии и теплопотока в зонах спрединга, требует выполнения дополнительных условий, кроме наличия объемного тепловыделения.

4. Рассмотрены процессы перестройки конвективных течений с объемным тепловыделением под теплоизолирующей пластиной, имитирующей континентальную плиту. Основным следствием теплоэкранировки является переход к течению с восходящим током под пластиной, в согласии с результатами других авторов, исследовавших аналогичную ситуацию без объемного тепловыделения.

5. Предложена модель среды с внутренними неоднородностями нескольких

106 типов. С ее помощью показано, что крупномасштабное (конвективное) движение гранулированного вещества с неоднородностями описывается в рамках приближения сплошной среды. Влияние внутренних неоднородностей приводит к возникновению дополнительных напряжений и изменению средней энергии мелкомасштабных движений гранул.

6. В рассмотренном в работе случае, флюидизированном гранулированном веществе с неоднородностями упаковки, добавочные напряжения сводятся к увеличению эффективной вязкости и давления среды. Основной вклад создается, за счет неоднородностей, у которых выполняется условие резонанса между частотой распада и частотой упругих волн в среде. Величина поправок определяется, главным образом, плотностью среды, средним размером неоднородностей и амплитудой вариации координационного числа. Для среды с расположением гранул, соответствующим плотной случайной упаковке, поправки составят от нескольких десятых до нескольких процентов. Оценки показывают, что в определенных условиях, возможен более заметный эффект.

Содержание работы докладывалось на конференции молодых ученых, посвященной 50-летию МФТИ, а также на семинарах в ИДГ РАН и Мехмате МГУ.

Сообщение было направлено на ежегодную конференцию LPSI 1998 (Хьюстон).

Основные положения работы изложены в следующих статьях.

Михин К.В. Возникновение конвекции в жидкости с объемным тепловыделением и вязкостью зависящей от температуры. //В сб. "Динамические процессы в геосферах: геофизика сильных возмущений", под ред. Ю.И. Зецера, С. 122127, М. Наука, 1998.

Зецер Ю.И., Овсянников Г.А., Михин К.В., Экспериментальное моделирование конвективных течений с объемными источниками энерговыделения с помощью СВЧ излучения. // В сб. "Динамические процессы в геосферах: геофизика сильных возмущений", под ред. Ю.И. Зецера, С. 162-169, М. Наука, 1996.

Адушкин В.В., Зецер Ю.И., Михин К.В., Овсянников Г.А. Экспериментальное моделирование конвективного движения вещества в глубинных областях Земли при наличии объемных источников энерговыделения. // ДАН РАН т. 360(1998), №3, С. 390-393.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михин, Константин Владимирович, 1999 год

1. Витязев A.B. Неизотермическая неустойчивость процесса гравитационной дифференциации в недрах Земли. Коми Филиал ИФЗ АН СССР, Сыктывкар-Москва, 1974

2. Гарифуллин Ф.А. Возникновение конвекции и теплообмен в плоских слоях неньютоновской жидкости. Казань, 1994.

3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М. Наука, 1972.

4. Голицын Г.С. Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. Л. Гидрометеоиздат, 1980.

5. Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г. Глубинная геодинамика. Новосибирск, изд-во. СО РАН, 1994.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М. Наука 1992.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. М. Наука, 1995

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 2. М. Наука, 1975.

9. Лыков А.В. Конвекция и тепловые волны, М. 1974.

10. Мясников В.П., Фадеев В.Е. Модели эволюции планет земной группы. Итоги науки и техники, серия "Физика Земли", т.5, ВИНИТИ, М, 1980.

11. Пономарев Степной Н.Н. (ред.) Физические модели тяжелых аварий на АЭС. М., Наука, 1992.

12. Родионов В.Н., Сизов И.А., Цветков В.М. Основы геомеханики. М. Недра 1986.

13. Соу С. Гидродинамика многофазных систем. М. Мир 1971. 536 С.

14. Хиппель А.Р. Диэлектрики и их применение. М. Госэнергоиздат, 1959, 336С.

15. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М. ИЛ 1960.

16. Таблицы физических величин. Под ред. И. К. Кикоина, М. Атомиздат, 1976.

17. Физические величины. Под ред. И.С. Григорьева и Е. 3. Мейлихова, М. Энерго-атомиздат, 1991.

18. Установка "Зеркало", отчет. Часть 1, состав установки. Спецсектор ИФЗ АН СССР, 1983.

19. Берналл Д., Кинг С. Экспериментальное моделирование простых жидкостей. // В сб. "Физика простых жидкостей", под ред. Г. Темперли, Д. Роулинсона, Дж. Рашбрука, С. 116- 135, М. Мир, 1971.

20. Бобров А.М., Трубицын В.П. // Физика Земли, № 4 (1984), С. 13-21.

21. Дрешер А., де Йонг Ж. Проверка механической модели течения гранулированного материала методами фотоупругости. //В сб. "Определяющие законы механики грунтов", под ред. В.Н. Николаевского, С. 144-165, М. Мир, 1975.

22. Житников Ю.В., Зецер Ю.И. Исследование нагрева конденсированных сред при объемных источниках энерговыделения. // ДАН РАН, т. 324(1992), № 5. С. 977 -981.

23. Зецер Ю.И., Ланцбург Е.Я. Разрушение гетерогенных диэлектрических сред интенсивным микроволновым излучением. // ДАН РАН, т. 324(1992), № 5, С. 1011-1014.

24. Зецер Ю.И., Ратников Е.В., Гуськов Ю.А. О возможности экспериментального исследования процесса дифференциации планетного вещества. // В сб. Происхождение солнечной системы, С.112 -114, М., 1993.

25. Зимин В.Д, Кетов А.И., Конвективные колебания в подогреваемой снизу кубической полости. // Ученые записки ПГУ, № 327(1975), С. 3-12.

26. Кочарян Г.Г., Федоров А.Е. Об особенностях механики сейсмического процесса в блочной геофизической среде. // ДАН СССР, 1990,т. 315, № 6, С. 1345-1349.

27. Кочарян Г.Г., Кулюкин A.M., Родионов В.Н., Федоров А.Е. Модельное исследование процесса обрушения выработки в трещиноватом горном массиве при динамическом воздействии. // ФТПРПИ (1991), № 4, С. 16-23

28. Кулаки Ф. А., Негл М. Е. Естественная конвекция в горизонтальном слое жидкости с распределенными по объему источниками тепла. // Теплопередача, 1974, №2

29. Кулаки Ф.А., Эмара A.A. Численное исследование тепловой конвекции в слое тепловыделяющей жидкости. // Теплопередача, 1980, том 102, № 3, С. 159167.

30. Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Надкритические движения в кубической полости. // ГидродинамикаХ (1977), С. 15-25, из-во. ПГУ.

31. Неддерман Р., Тюзюн У.(а) Кинематическая модель течения гранулированных материалов. // В сб. "Механика гранулированных сред. Теория быстрых движений", под. ред. И.В. Ширко, С. 171-191, М. Мир, 1985.

32. Овчинников А. П., Конвективная устойчивость жидкости в кубической полости. //ПМТФ,№3 (1967), С.118-120.

33. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах. // ФТПРПИ (1974), № 3, С. 37-43.

34. Ромашов А.Н., Цыганков С.С. Развитие разрывного нарушения в сыпучей среде. // Физика Земли 1986, № 3, С. 77-80.

35. Турунтаев С.Б., Кулюкин A.M., Герасимова Т.И., Дубиня М.Г. Динамика локализации сдвиговой деформации в песке. // Доклады РАН, т. 354 (1997), №1, С. 105-108.

36. Трубицын В.П., Бобров A.M., Кубышкин В.В. Влияние континентальной литосферы на структуру мантийной тепловой конвекции. // Физика Земли, 1993а, №5, С. 3-11.

37. Трубицын В.П., Белавин Ю.С., Рыков В.В. Тепловое и механическое взаимодействие мантии с континентальной литосферой. // Физика Земли, 19936, № 11, С.3-15.

38. Трубицын В.П., Бобров A.M. Времена перестроек структуры мантийных течений под континентами. // Физика Земли, 1995, № 7, С. 5-13.

39. Трубицын В.П. Роль плавающих континентов в глобальной тектонике Земли. // Физика Земли, 1998, № 1, С. 3-10.

40. Фарук Б. Турбулентная тепловая конвекция в замкнутой полости с внутренним тепловыделением. // Теплопередача 1988, № 4, Р. 105-112.

41. Berg van den А.Р., Yuen D.A., van Keken P.E. Rheological transition in mantle convection with a composite temperature dependent, non-Newtonian and Newtonian rheology. // Earth Planet. Sci. Lett. V.129 (1995), P. 249-260.

42. Boon-Long P. Lester T.W., Faw R.E. Convective heat transfer in a internal heated horizontal fluid layer with unequal boundary temperature. // I.J. Heat Mass Transfer V.22 (1979), P. 437-445.

43. Bridgwater J. Mixing and segregation mechanism in particle flow. // В сборнике "Granular matter. An interdisciplinary approach.", ed. by A.Mehta, 161-193, N.Y. P. 1994.

44. Busse F.H., Frick H. Square-pattern convection in fluids with strongly temperature-dependent viscosity. // J. Fluid Mech. Y.150 (1985), P. 451-465.

45. Campbell C.S., Brennen C.E. Computer simulation of granular shear flows. // J. Fluid Mech. V.151 (1985), P. 167-188.

46. Campbell C.S., Gong A. The stress tensor in two-dimensional granular shear flow. // J. Fluid Mech. V.164 (1986), P. 107-125.

47. Carrigan C.R. Convection in internally heated, high Prandtl number fluid: a laboratory study. // Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn. V.32 (1985), P. 1-21.

48. Castaing B., Gunaratne G., Heslot F., Kadanoff L., Libchaber A., Tomae S., Wu X.Z., Zaleski S., Zanetti G. Scaling of hard thermal turbulence in Rayleig -Benard convection. // J. Fluid Mech. V.204 (1989), P. 1-30.

49. Chen Y.M., Pearlsten A. J. Onset of convection in variable viscosity fluids assessment of approximate viscosity -temperature relations. // Phys. Fluids V.31 (1988), P. 1380.

50. Cheung F. B. Boundary layer behavior in transient turbulent thermal convection flow. // Transaction of the ASME Heat Transfer V.102 (1980), P. 373-375 .

51. Christensen U. Convection with pressure- and temperature- dependent non-Newtonian rheology. // Geophys. J.R. Astr. Soc. V.77 (1984 a), P. 343-384.

52. Christensen U. Heat transport by variable viscosity convection and implication for the Earth thermal evolution. // Phys. Earth Planet. Inter. V.35 (1984 6), P. 264-282.

53. Christensen U. Heat transport by variable viscosity convection II: pressure influence, non-Newtonian rheology and decaying heat sources. // Phys. Earth Planet. Inter. V.37 (1985), P. 183-205.

54. Christensen U., Harder H. 3D convection with variable viscosity. //Geophys. J. Int. V.104 (1991), P. 213-226.

55. Cooke M.H., Bridgwater J. Interparticle percolation : a statistical mechanical interpretation. // Ind. Eng. Chem. Fund V.18 (1979), P. 25-27.

56. Cowin S.C. Kinematic waves in vertical sand columns. // B c6. "Mechanics of granular materials: new models and constitutive relations", ed. by J.T. Jenkins and M. Satake, P. 347- 356, Elsevier, 1983.

57. Davies G. F., Richards M. A. Mantle convection. // J. Geology V.100 (1992), P. 151206.

58. Edwards S.F., Mounfield C.C. A theoretical model for the stress distribution in granular matter. Part 1-3. // Physica A V. 226 (1996), P. 1-33

59. Fisman R.S., Hill E.F., Storsved T.K., Bierwagen G.P. Density fluctuation in hard -sphere systems. // J. Appl. Phys. V.79 (1996), P. 729-735.

60. Grossman E.L., Zhou T., Ben-Nain E. Toward granular hydrodynamic in two dimensions. // Phys. Rev. E V.55 (1997), P. 4200 -4206.

61. Guillou L., Jaupart C. On the effect of continents on mantle convection. // J. Geophys. Res. V.100 B (1995), P. 24217-24238.

62. Gurnis M., Davies G. The effect of depth-dependent viscosity on convecting mixing in the mantle and the possible survival of primitive mantle. // Geophys. Res. Lett. V.13 (1986), P. 541-544.

63. Haff P.K. Grain flow as a fluid mechanical phenomenon. // J. Fluid Mech. V.134 (1983), P. 401-430.

64. Hansen U., Yuen D.A., Kroening S.E., Transition to hard turbulence in the thermal convection at infinite Prandtl number. // Phys. Fluids V.2 (1990) P. 2157-2163

65. Hansen U., Yuen D.A., Malevsky A.V. Comparison of steady-state and strongly chaotic thermal convection at high Rayleigh number. // Phys. Rev. A Y.46 (1992), P. 4742-4752.

66. Holzbecher M., Steiff A., Laminar and turbulent free convection in vertical cylinder with internal heat generation. // I.J. Heat Mass Transfer. V.38 (1995), 2893- 2903.

67. Jenkins D.R. Rolls versus squares in thermal convection of fluids with temperature-dependent viscosity. // J. Fluid Mech. Y.178 (1987), P. 491-506.

68. Jenkins J.T., Savage S.B. A theory for the rapid flow of identical, smooth, nearly elastic, spherical particles. // J. Fluid Mech. V.130 (1983), P. 187-202.

69. Jenkins J.T., Richman M.W. Grad's 13 moment system for a dense gas of inelastic spheres. // Arch. Rat. Mech. Anal. V.87 (1985), P. 355-377.

70. Jenkins J.T., Richman M.W. Boundary conditions for plane flows of smooth nearly elastic, circular disks. // J. Fluid Mech. V.171 (1986), P. 53-69.

71. Jenkins J.T., Mancini F. Balance laws and constitutive relations for plane flows of a dense, binary Mixture of smooth, nearly elastic, circular, disks. // J. Appl. Mech. V.54 (1987), P. 27-34.

72. Johnson P.C., Jackson R. Frictional collisional constitute relation for granular materials, with application to plane shearing. // J. Fluid Mech. V.176 (1987), P. 67-93.

73. Johnson P.C., Nott P., Jackson R. Frictional collisional equation of motion for particulate flows and their application to chutes. // J. Fluid Mech. V.210 (1990), P. 501-535.

74. Keken van P.E., Yuen D.A., van den Berg A.P. Implications for Mantle Dynamics from the High Melting Temperature of Perovskite. // Science V.264 (1994), P. 1437-1439.

75. Keyhani M., Kulacki F.A. Experiments of transient thermal convection with internal heating. Large time results. // Transaction of the ASME Heat Transfer V.105 (1983), P.261-266.

76. Kikychi Y., Kawasaki Т., Shoyama T. Thermal convection in a horizontal fluid layer heated internally and from below. // I.J. Heat Mass Transfer V.25 (1982), P. 363370.

77. Kim D.M., Viskanata R. Study of the effects of wall conductance on natural convection in differently oriented square cavities. // J. Fluid Mech. V.144 (1984), P. 153176.

78. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature. Part 1. Theory. // J. Fluid Mech. V.33 (1968), P. 445.

79. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part 1-2. // J. Fluid Mech. V.42 (1970), P.295-320.

80. Kulacki F. A., Emara A .A. Steady and transient thermal convection in a fluid layer with uniform volumetric energy sources . // J. Fluid Mech. V.83 (1977), P. 375 -395.

81. Mehta A. Relaxational dynamics, avalanches and disoder in real sandpile. // В сборнике "Granular matter. An interdisciplinary approach.", P. 2-33, ed. by A.Mehta, N.Y. 1994.

82. Miller В., Hern C.O., Behringer R.P. Stress fluctuations for continuously sheared granular matter. //Phys. Rev. Lett. V.77 (1996), P. 3110-3113.

83. Morris S., Canright D. A boundary-layer analysis of Benard convection in a fluid of strongly temperature-dependent viscosity. // Phys. Earth Planet. Inter. V.36 (1984), P. 355-373.

84. Nowak E.R., Knight J.B., Ben-Haim E., Jaeger H.M., Nagel S.R. Density fluctuation in vibrated granular materials. // Phys. Rev. E V.57 (1998), P. 1971-1982.

85. Ogawa M., Shubert G., Zebib A., Numerical simulation of three dimensional thermal convection in a fluid with strongly temperature-dependent viscosity. // J. Fluid Mech. V.233 (1991), P. 299-328.

86. Pouliquen O., Nicolas M., Weidman P.D. Crystallization of non-Brownian Spheres under Horizontal Shaking. // Phys. Rev. Lett. V.79 (1997), P. 3640-3643.

87. Richter F.M., Nataf H.C., Daly S.F. Heat transfer and horizontally averaged temperature of convection with large viscosity variations. // J. Fluid Mech. V.129 (1983), P. 173-192.

88. Roberts P. H. Convection in horizontal layers with internal heat generation. Theory. // J. Fluid Mech. V.30 (1967), P. 33-49.

89. Savage S.B., Sayed M. Stresses developed by dry cohesionless granular material in an annular shear cell. // J. Fluid Mech. V.142 (1984), P. 391-430.

90. Savage S.B., Lun C.K.K. Particle size segregation in inclined chute flow of dry cohesionless granular solids. // J. Fluid Mech. V.189 (1988), P. 311-335.

91. Shape H.N., Peltier W.R. A thermal history model for the Earth with parameterized convection. // Geophys. J.R. Astr. Soc. V.59 (1979), P. 171-203.

92. Shwidersky E. W., Shwab H. J. Convection experiments with electrolytically heated fluid layers. // J. Fluid Mech. V.48 (1971), P. 703-719.

93. Shwidersky E.W. Current dependence of convection in electrolytically heated fluid layers. // Phys. Fluids V.15 (1972), P. 1189-1196.

94. Smith W., Hammitt F.G., Natural convection in rectangular cavity with internal heat generation. //Nuclear science and engeneering V.25 (1966), P. 328-342.

95. Sparrow E.M, Goldstein R.J., Jonsson V.K. Thermal instability in a horizontal fluid layer : effect of boundary conditions and non-liner temperature profile. // J. Fluid Mech. V.18 (1964), P. 513- 528.

96. Stengel K.C., Oliver D.S., Booker J.R., Onset of convection in a varible-viscosity fluid. //J. Fluid Mech. V.120 (1982), P. 411-431.

97. Solomatov V.S. Scaling of temperature- and stress dependent viscosity convection. // Phys. Fluids V.7 (1995), P.266.

98. Tackley P.J. Effect of strongly temperature dependent viscosity on time-dependent, three-dimensional models of mantle convection. // Geophys. Res. Lett. V.20 (1993), P. 2187-2190.

99. Travis B., Weinstein S., Olson P. Three-dimensional convection with internal heat generation. // Geophys. Res. Lett. V.17 (1990), P. 243-246.

100. Travis B., Olson P. Convection with internal heat sourses and thermal turbulence in the Earth's mantle. // Geophys. J. Intern. V.l 18 (1994), P. 1-19

101. Tveitereid M., Palm E. Convection due internal heat sources. // J. Fluid Mech. V.76 (1976), P. 481-499.

102. Vincent A.P., Yuen D.A., Thermal attractor in chaotic convection with high -Prandtl number fluids. // Phys. Rev. A V.8 (1988)a, P.328-334.

103. Vincent A.P., Yuen D.A. The onset of plume dynamics in spectral space. // Phys. Fluids V. 31 (1988)6, P. 225-228.

104. Weinstein S.A., Olson P. Planforms in thermal convection with internal heat sources at large Rayleigh and Prandtl numbers. // Geophys. Res. Lett. V.17 (1990), P. 239242.

105. Weinstein S.A., Christensen U. Convection planforms in a fluid with temperature dependent viscosity beneath a stress-free upper boundary. // Geophys. Res. Lett. V.18 (1991), P.2035-2038.

106. White D.B. The planforms and onset of convection with a temperature-dependent viscosity. // J. Fluid Mech. 191 (1988), P.247-286.

107. Yuen D.A., Hansen U., Zhao W., Vinsent A.P., Malevsky A.V. Hard turbulent thermal convection and Thermal evolution of the Mantle. // J. Geophys. Res. E V.98 (1993), P. 5355-5373.

108. Zetzer J.I., Vityazev A.V. Experiment "Tsarev" and differentiation of chondritic bodies. Small bodies in the Solar System and their interactions with the Planets. Proceedings. Mariehamn, Finland. 1994.

109. Список обозначений, наиболее часто повторяющихся в тексте.1. Греческий алфавит

110. Ъ -мера контраста вязкости в объеме жидкости Ь = Уверх /униз

111. Ср- удельная теплоемкость жидкостискорость звука с -"изотермическая скорость звука"дртс1 размер частички примеси или гранулы.-напряженность электрического поляе коэффициент восстановления гранулы при ударе§ ? £ / ускорение свободногопадения

112. Н мощность тепловыделения на единицу объема

113. Ь -характерный размер системы, обычно высота слоя. Н мощность тепловыделения на единицу объемаразмер неоднородности среды, кластерат масса частицы примеси или гранулы

114. Ыи —число Нуссельта Ре- число Пельтье Рг число Прандтля р-давление О, - теплопотокд удельный поток тепловой илипсевдотепловой энергии

115. К длина корреляции флуктуацийпараметра 2, средняя длинанеоднородности.1. Яа число Рэлея

116. Яакри -критические значения числа Рэлея

117. Лап- тепловое число Рэлея.

118. V скорость среды до усреднения движения неоднородностей-скорость гранулы 2 параметр неоднородностей