Модифицированный метод граничных элементов для задач гиперболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Контеев, Алексей Александрович

• Контеев, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Контеев, Алексей Александрович

Введение.

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи

Глава 2. МГЭ для одномерного случая

2.1. Колебания закрепленной струны

2.2. Колебания закрепленной струны с подвижной границей.

2.3. Колебания бесконечной струны.

2.3.1. Классическое решение задачи.

2.3.2. Решение задачи методом граничных элементов.

2.4. Колебания ограниченной струны с демпфирующими элементами.

2.5. Выводы.

Глава 3. МГЭ и ММГЭ для двумерного случая

3.1. Фундаментальное решение.

3.2. Модификация МГЭ для двумерного случая.

3.3. Постоянная аппроксимация на отрезке.

3.4. Оценка сходимости.

3.5. Линейная по времени аппроксимация на отрезке.

3.6. Линейная по координате аппроксимация на отрезке.

3.6.1. Узловые точки на краях базового элемента.

3.6.2. Узловые точки внутри базового элемента.

3.7. Аналитическое вычисление функций влияния

3.8. Колебания вантового моста.^

3.9. Описание программного комплекса.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модифицированный метод граничных элементов для задач гиперболического типа»

Актуальность темы диссертации. Подавляющему большинству практических задач, возникающих в инженерном деле и прикладных науках, присуща нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения приходится искать численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком (по сравнению с масштабами задачи) подразделении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конечно-разностных методах [30,32,34,36], либо путём разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры, как в методах конечных элементов [25,26,31,33,74,93]. В настоящее время такие методы достигли достаточно высокого развития и популярности. Но главным недостатком данных методов, несомненно, остается громоздкость вычислений при решении реальных задач.

С другой стороны, для решения практических задач математической физики, как правило, используются приближенные методы расчета, основанные на технологии последовательного счета. В последнее время наблюдается прогресс в распараллеливании программ для решения таких задач; однако, они по-прежнему основываются на алгоритмах, разработанных для последовательного счета: методе конечных разностей, методе конечных элементов, вариационных методах и т.д. Получаем второй существенный недостаток вышеописанных методов: невозможность абсолютного распараллеливания. Разработка алгоритмов, в которых изначально была бы заложена идеология распараллеливания, может существенно сократить время решения реальных задач.

Настоящая работа посвящена альтернативному методу, методу граничных элементов (МГЭ), который, наряду с вышеперечисленными методами, является наиболее распространенным и, на наш взгляд, наиболее адаптивен к высокому уровню распараллеливания. Данный метод в равной степени универсален и основан на изучении не самих дифференциальных уравнений, описывающих конкретную задачу, а соответствующих этой задаче граничных интегральных уравнений. Одна из самых замечательных особенностей МГЭ состоит в том, что при его реализации дискретизации подлежат лишь границы изучаемых областей. Это естественно ведёт к существенному уменьшению числа дискретных элементов по сравнению с методами, требующими внутренней дискретизации всего рассматриваемого тела. Следовательно, для того, чтобы найти окончательное решение этим методом, нужно решить систему алгебраических уравнений более низкого порядка, чем при использовании других методов.

Помимо тех достоинств решения задач, которые уже были упомянуты, следующим резервом для роста быстродействия может быть увеличение аналитической части предварительных расчетов в рассматриваемой задаче. В результате, получаем ещё одно очень важное достоинство рассматриваемого метода: при решении задач гиперболического типа перемещения определяются в виде аналитических функций, что является безусловным достоинством при дальнейшем расчете деформаций и напряжений, т.к. дифференцирование для получения этих функций также проводится аналитически.

Предлагаемый численно-аналитический метод, основанный на методе граничных элементов, сочетает в себе все эти качества и представляется эффективным средством решения некоторых задач гиперболического типа.

Цель работы. Целью данной работы является построение численно-аналитических алгоритмов решения задач гиперболического типа модифицированным методом граничных элементов (ММГЭ); проведение качественного анализа по ускорению и усовершенствованию расчёта задач рассматриваемым методом в сравнении с другими методами решения задач гиперболического типа.

Направление исследований.

• Поиск решения одномерных и двумерных задач гиперболического типа модифицированным методом граничных элементов в виде аналитических функций, допускающих аналитическое дифференцирование.

• Усовершенствование МГЭ путем введения численного блока "граничный элемент - точка влияния".

• Проведение предварительных аналитических вычислений необходимых интегралов от функций влияния.

• Сравнение решения задач гиперболического типа с аналитическими решениями.

Научная новизна.

1. В одномерном случае получены аналитические решения, как функции влияния границ. Показана универсальность подхода к решению одномерных задач с различными типами граничных условий и внешних воздействий.

2. В двумерном случае получены аналитические формулы вычисления всех интегралов от функций влияния по произвольно ориентированному отрезку и любой точки наблюдения;

3. Получена оценка сходимости метода;

4. Разработан программный комплекс на языке позволяющий находить решение задачи гиперболического типа модифицированным МГЭ.

Практическая значимость работы. Полученные алгоритмы позволяют считать задачу гиперболического типа, во-первых, со значительным увеличением скорости счета по сравнению с широко используемыми в настояг щее время численными методами (например, методом конечных элементов (МКЭ), методом конечных разностей и т.п.); во-вторых, с использованием только аналитических операций. Полученные аналитические формулы справедливы для одно или двумерной задач любой геометрии и механических свойств материала. Алгоритм оценки точности решения позволяет оценивать ошибки при расчете. Проведена оценка численной сходимости метода на тестовых примерах. Заложенное на уровне алгоритма полное распараллеливание вычислений (включая решения системы алгебраических уравнений) существенно сокращает время решения задач, что показано на различных примерах.

Методы исследований, достоверность и обоснованность результатов. В работе использованы эмпирические и теоретические методы исследования. Проведен сравнительный анализ полученных результатов на известных простых примерах и примерах задач с особенностями с аналитическими решениями. Проведено исследование численной сходимости рассматриваемого метода. Также была оценена адекватность использования данного метода на многопроцессорных компьютерах.

На защиту выносятся: численно-аналитические алгоритмы решения одномерных и двумерных задач гиперболического типа; модификация метода граничных элементов; алгоритм оценки точности решения; программный комплекс на языке С^; качественный и количественный анализ использования полученного модифицированного метода.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 102 названий. Объём диссер

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Контеев, Алексей Александрович

Основные результаты, полученные при выполнении данной диссертации, состоят в следующем:

1. Модифицированный метод граничных элементов является универсальным т.е. применим в равной степени для решения задач с различными видами граничных и начальных условий. При этом решение выражается через функции, характеризующие начальные условия и условия на границе.

2. Получено точное решение для задачи о колебании провода с демпферной системой закрепления. Вычислены напряжения, возникающие в проводе, в том числе в местах жесткого крепления и крепления демпферной системы. Реализованная методика позволяет оценивать характеристики демпферной системы.

3. В отличие от классического МГЭ в ММГЭ интегрирование проведено аналитически, причем не по каждому элементу границы, а по единожды выбранному базовому элементу, помещенному в начало координат. Благодаря этому интегрирование по элементам границы сводится к подстановке координат точки в компактные формулы, выраженные через элементарные функции. Разовые аналитические вычисления интегралов от функций влияния с последующей независимой подстановкой координат точек влияния на первом и третьем этапах решения позволило для конкретных задач сократить время счета на несколько порядков без потери точности.

4. Реализован алгоритм оценки точности решения задачи модифицированным методом граничных элементов, вычисляющий погрешность параллельно с решением основной задачи.

5. Разработан программный комплекс на языке в виде библиотеки классов реализующих алгоритмы ММГЭ, описанные в диссертации и графическая оболочка для визуализации полученных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Контеев, Алексей Александрович, 2010 год

1. Алейников, С. M. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований Текст. / С.М. Алейников. - М.: Издательство <АСВ>, 2000. - 754 с.

2. Арсенин, В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции Текст. / В.Я. Арсенин. — М.: Наука, 1966. — 366 с.

3. Афанасьев, К.Е. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах. Учебное пособие Текст. / К.Е. Афанасьев, C.B. Стуколов. — Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. — 208 с.

4. Афанасьев, К.Е. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами Текст. / К.Е. Афанасьев, Т.Н. Самойлова // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1995. — Вып. 7 — №11. С. 19-37.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2001.

6. Бенерджи, П. Методы граничных элементов Текст.: Пер. с англ. / Р. Баттерфилд. М.: Мир, 1984. - 494 с.

7. Бердичевский, B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды Текст. / B.JI. Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 с.

8. Бочкарев, А.О. О применении метода граничных элементов к геометрически нелинейным задачам теории упругости Текст. / А.О. Бочкарев // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. - 1996. - Вып. 3 - С. 62-64.

9. Бреббия, К. Методы граничных элементов Текст.: Пер. с англ. / Ж. Теллес, JI. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.

10. Бреббия, К. Применение метода граничных элементов в технике Текст. / К. Бреббия, С. Уокер. М.: Мир, 1982. - 248 с.

11. Броек, Д. Основы механики разрушения Текст. / Д. Броек. — Перев. с англ. — М.: Высшая школа, 1980. — 36 с.

12. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности Текст. / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

13. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики Текст. / B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1967. — 436 с.

14. Воеводин, В.В. Параллельные вычисления Текст. / В.В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

15. Воеводин, В.В. Некоторые машинные аспекты распараллеливания вычислений Текст. / В.В. Воеводин. Препринт. ОВМ АН СССР. - Москва, 1981. - 22 с.

16. Грибов, А.П. Решение задачи изгиба пластины на упругом основании методом граничных интегральных уравнений Текст. / А.П. Грибов, Н.И. Куканов // Вестник УлГТУ. 2001. - №3. - С. 60-71.

17. Грибов, А.П. Расчет гибких упруго-пластических оболочек прямым методом граничных элементов Текст. / А.П. Грибов, В.Г. Малахов // Вестник УлГТУ 2001. - т. - С. 71-76.

18. Громадка, П. Т. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах Текст. / П.Т. Громадка, Ч. Лей. -М.: Мир, 1990. 303 с.

19. Жернаков, B.C. Метод граничных элементов в задачах для бесконечных областей Текст. / B.C. Жернаков, Х.Ш. Газизов // Известия вузов. Машиностроение. 1991. - № 10-12. - С. 3-7.

20. Жернаков, B.C. Метод граничных элементов в задачах термоупругости Текст. / B.C. Жернаков, Х.Ш. Газизов // Известия вузов. Машиностроение, 1991. N 1-3. - С.7-9

21. Зарубин, В. С. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций Текст. / B.C. Зарубин. — М.: Машиностроение, 1985. — 292 с.

22. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике Текст. / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. - 542 с.

23. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация Текст. / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1987. - 318 с.

24. Корн, Г. Справочник по математике. Определения, теоремы, формулы Текст. / Г. Корн, Т. Корн. СПб.: Издательство <Лань>, 2003. - 832 с.

25. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела Текст. / С. Крауч, А. Старфилд А. М.: Мир, 1987. - 328 с.

26. Купрадзе, В.Д. Методы потенциала в теории упругости Текст. / В.Д. Купрадзе. — М.: Физматгиз, 1962. — 462 с.

27. Михлин, С.Г. Численная реализация вариационных методов Текст. / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1966. - 432 с.

28. Морозов, Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения Текст. / Е.М. Морозов, Г.П. Никишков. М.: Наука, 1980. - 256 с.

29. Науменко, В.В. Исследование концентрации упругопластических напряжений в бесконечной плоскости с разрезом методом граничных элементов в непрямой формулировке Текст. / В.В. Науменко, Е.А. Стрельникова // Журнал <Проблемы машиностроения>, 1999. — Т. 2.

30. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред Текст. / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

31. Ортега, Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем Текст. / Дж. Ортега. — М.: Мир, 1991. — 367 с.

32. Перлин, П. И. Об одном применении расходящихся интегралов в задачах теории потенциала и теории упругости Текст. / П.И. Перлин // ПММ, 1993. Т. 57, Вып. 4. - С. 144-146.

33. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности Текст. / Б.Е. Победря. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 343с.

34. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики Текст. / А.Д. Полянин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

35. Резников, Ю.Н. Возможности и проблемы применения метода граничных элементов в расчетах процессов объемной штамповки Текст. / Ю.Н. Резников // Вестник ДГТУ. Сер. Проблемы производства машин. Ростов н/Д, 2000. - С.92 - 97.

36. Резников, Ю.Н. О применении метода граничных элементов о математическом моделировании нестационарных в математическом моделировании нестационарных процессов деформации Текст. / Ю.Н. Резников, A.B. Вовченко // Металлы. 2002. - №6. - С.49-54.

37. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике Текст. / К. Ректорис. М.: Мир, 1983. - 712 с.

38. Саратори, М. Вычислительная механика разрушения Текст. / Перев. с японск. под ред. Е.М. Морозова. / М. Саратори, Т. Миеси, X. Мацусита. М.: Мир, 1986. - 334 с.

39. Соколкин, Ю.В. Приложение метода граничных элементов к экспериментальному исследованию развития усталостных трещин Текст. /Ю.В. Соколкин, A.A. Чекалкин, Е.М. Якушина // Математ. моделир. систем и проц., 1997. N5. - С.115-120.

40. Сызранцев, В.Н., Сызранцева К.В. Расчет напряженно-деформированного состояния деталей методами конечных и граничных элементов Текст. / В.Н. Сызранцев, К.В. Сызранцева. — Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2000. — 111с.

41. Тараканов, В.И. Граничные вариационные уравнения в краевых задачах теории упругости Текст. / В.И. Тараканов. — Изд-во Томск, ун-та, 1982.- 141 с.

42. Тереш,енко, В.Я. К вопросу обоснования вариационных формулировок метода граничных элементов Текст. / В.Я. Терещенко // ПММ, 1991. — Том 55, № 2. С. 309-316.

43. Трубицын, A.A. Вычисление сингулярных интегралов при решении задачи Дирихле методом граничных элементов Текст. / A.A. Трубицын // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1995.- Т. 35. Ш. - С. 532-542.

44. Угодников, А.Г. Метод граничных элементов в механике деформируемого твёрдого тела Текст. / А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский. — Изд. Казанского университета, 1986. — 296 с.

45. Федотов В.П., Контеев A.A. К решению уравнений гиперболического типа методом граничных элементов // Вестник Самарского государственного технического университета, серия "физико-математические науки", 2008 №1(16) С.72-78.

46. Федотов В.П., Контеев A.A. Модифицированный метод граничных элементов для задач о колебаниях плоских мембран // Труды института математики и механики УрО РАН, 2009 том 15 №2, С.211-222.

47. Федотов В.П., Контеев A.A. Применение методов граничных элементов для решения уравнений гиперболического типа // тезисы докладов секции 3 международной молодежной научной конференции "XXXIV гага-ринские чтения", Москва, 1-5 апреля, 2008 С. 57-58

48. Федотов В.П., Контеев A.A. Применение модифицированного метода граничных элементов для решения волнового уравнения // "Труды шестой

49. Всероссийской научной конференции с международным участием "математическое моделирование и краевые задачи"Ч.З: Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Самара: СамГТУ, 2009 С. 227-230.

50. Федотов В.П., Контеев A.A. Модифицированный метод граничных, элементов для скалярного волнового уравнения. // тезисы докладов XXIX Российской школы, посвященной 85-летию со дня рождения академика

51. B.П. Макеева, Миасс 23—25 июня 2009 С. 110.

52. Федотов В. П., Спевак Л. Ф. Решение связных диффузионно-деформационных задач на основе алгоритмов параллельного действия. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. 191 с.

53. Федотов В. П., Спевак Л. Ф., Трухин В.Б. и др. Исследование сходимости численно-аналитического метода решения задач упругости, теплопроводности и диффузии // Вестник Сам.ГТУ, Сер. Физ.-мат. науки, 2004. Вып. 30. С. 24-32.

54. Федотов В. П., Спевак Л.Ф., Привалова В.В., Трухин В.Б. Решение задач деформирования с использованием параллельных алгоритмов // Механика неоднородных материалов и разрушение. Екатеринбург, 2004.

55. C. 113 -118. (Вестн. УГТУ-УПИ, № 22 (52).)

56. Федотов В.П., СпевакЛ.Ф. К аналитическому вычислению интегралов в численно-аналитическом методе решения задач математической физики // Вестн. Сам.ГТУ. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. Вып. 43. С. 92—99.

57. Федотов В.П., СпевакЛ.Ф. Аналитическое интегрирование функций влияния для решения задач упругости и теории потенциала методом граничных элементов // Математ. моделирование, 2007. Т. 19, № 2. С. 87—104.

58. Численное моделирование упругой задачи на многопроцессорных вычислительных системах Текст. / B.JI. Гасилов, Т.Д. Думшева, Е.С. Зенкова, В.П. Федотов // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. 2002. - № 6. - С. 104-124.

59. Численно-аналитический алгоритм для решения задач упругости, теплопроводности, диффузии Текст. / Т.Д. Думшева, Е.С. Зенкова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак, В.В. Привалова // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. — 2003. — № 7. С. 70-86.

60. Яненко, Н.Н. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах математической физики Текст. / Н.Н. Яненко // Параллельное программирование и высокопроизводительные системы. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1980. Ч. 1. - С. 135-144.

61. Aliabadi, M.H. Applications in Solids and Structures Текст. / M.H. Aliabadi // The Boundary Element Method. 2002. - Vol. 2. - 598 p.

62. ВгеЪЫа, С.A. Fundamentals of Finite Eléments Techniques for Structural Engineers Текст. / С.A. Brebbia, J.J. Connor. — Butterworths, London, 1973.

63. ВгеЪЫа, С.A. Finite Elements Techniques for Fluid Flow Текст. / C.A. Brebbia, J.J. Connor. Butterworths, London, 1976.

64. Cartwright, D.J. Underlying Principles of the Boundary Element Method Текст. / D. J. Cartwrigh. Witt Press. - Bucknell University USA. - 2001. - 296p.

65. Chen W Dual boundary integral equations for helmholtz equation at a corner using contour approach around singularity/ Journal of Marine Science and Technology, Vol. 9, No. 1, pp. 53-63 (2001)

66. Chen W., Tanaka M. Dual reciprocity BEM applied to transient elastodynamic problems with differential quadrature method in time "Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190 (2001) P. 2331-2347

67. Deakin A.S., Rasmussen H. Nonrefecting boundary condition for the Helmholtz equation. Comput. Math. Appl. 41 (3-4), pp. 307-318, 2001

68. Ergin A.A., Shanker В., Michielssen E. Fast Evaluation of Three-Dimensional Transient Wave Fields Using Diagonal Translation Operators. J. Comput. Phys. 146 (1), pp. 157-180, 1998

69. V. P. Fedotov and A. A. Konteev Modified boundary element method for problems on oscillations of flat membranes // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2009, Volume 267, Supplement 1, Pages 78-89.

70. Fedotov V.P., Spevak L.F., Dumsheva T.D. et al. Numerical analytical method for solving problems of elasticity and heat conductivity // XXXII

71. Summer School -Conference <Advanced Problems in Mechanics>. Book of abstracts. St. Petersburg, 2004. P. 43—44.

72. Fedotov V.P., Spevak L.F., Privalova V. V. A Numerical-Analytical Technique for solving problems of Mathematical physics // XXXIII Summer School-Conference <Advanced Problems in Mechanics>. Book of abstracts. St. Petersburg, 2005. P. 41-42.

73. Fedotov V.P., Konteev A.A. The Boundary element method as applied to calculating plane membrane vibrations // сборник материалов X Международной конференции 15-19 марта 2010. Снежинск 15-19 марта 2010 С. 309.

74. Greminger М.А. Deformable Object Tracking Using the Boundary Element Method Текст. / М.А. Greminger, B.J. Nelson // 2003 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR '03).- Vol. 1 P. 289.

75. Ingham, D.B. The Boundary Element Method for Solving Текст. / D.B. Ingham, Y. Yuan. — Topics in Engineering. —Witt Press. — Vol. 19 — 1994.- 160p.

76. Kim, J. Discrete wavenumber boundary element method for 3D scattering problems Текст. / J. Kim, A. Papageogiou // J. Eng. Mech. ASCE, 119. - 1993. - P. 603-624

77. S. Kirkup Solution of Helmholtz Equation in the Exterior Domain by Elementary Boundary Integral Methods // ISBN 0 953 4031 06 2007

78. W.J.Mansur, A. Warszawski Axisymmetric acoustics modeling by TimeDomain Boundary Element Techniques Текст. / Recent Advanced in Boundary Element Method //by Editors G.D. Manolis, D. Polyzos // Springer 2009)

79. Pian T. H.H. Basis of finite element method for solid continua Текст. / T.H.H. Pian, P. Tong // Int. J. Numerical Method Engng. 1, 1969. P. 3-28.

80. Pozrikidis, С A Practical Guide to Boundary-Element Methods with the software library BEMLIB Текст. / С. Pozdrikis. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. - 440 p.

81. Qin, Q.H. The Trefftz Finite and Boundary Element Method Текст. / Q. H. Qin. Witt Press. - Tianjin University, P.r. China. - 2000. - 296p.

82. Rashed, Y.F. Boundary Element Formulations for Thick Plates. Текст. / Y.F. Rashed. Topics in Engineering. — Witt Press. — Vol 35 — 1999. — 176p.

83. Sladek, V. Singular Integrals in Boundary Element Methods Текст. / V. Sladek, J. Sladek. — Witpress. — Advances in Boundary Elements, 1998. — Vol. 3 448p.

84. L.C. Wrobel, C.A. Brebbia The dual reciprocity boundary element formulation for nonlinear di?usion problems, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 65 1987 P. 147-164.

85. Wrobel, L.C. The boundary elements method for steady-state and transient heat conduction Текст. / L.C. Wrobel, C.A. Brebbia //In Numerical Method in Thermal Problems. — Pineridge Press, Swansea, Wales, 1979.

86. Wrobel, L.C. A formulation of the boundary elements method for axisymmetric transient heat conduction Текст. / L.C. Wrobel, C.A. Brebbia // Int. J. Heat Mass Transfer 24, 1981. P. 843-850.

87. Wu, J.C. Fundamental solutions and Boundary element methods Текст. / J.С. Wu. Atlanta: Computational Mechanics Publications. — Atlanta, 1987.

88. Wu, J.C. Fundamental solution and numerical methods for flow problems Текст. / J.C. Wu // International Journal for numerical methods in fluids.- Atlanta, 1984. vol. 4.