Некоторые теоретико-числовые методы приближенных вычислений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ребров, Евгений Димитриевич

• Ребров, Евгений Димитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ребров, Евгений Димитриевич

Оглавление

Введение

1 Численное интегрирование с правилом остановки

1.1 Равномерное распределение взвешенных узлов и приближенное интегрирование

1.2 Алгоритмы приближенного интегрирования с правилом остановки

1.3 Оператор взвешенных сеточных средних

1.4 Случайные величины и многомерные квадратурные формулы

1.5 Разбиение Н. М. Коробова

1.6 Обобщенные равномерные сетки

1.7 Обобщенные неравномерные сетки

1.8 Параллелепипедальные сетки

1.9 Оценки мультипликативной дискретной дисперсии для разных алгоритмов вычисления параллелепипедальных сеток

2 Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками

2.1 Введение

2.2 Вспомогательные леммы

2.3 Решётки и гиперболическая дзета-функция решёток

2.4 Алгебраические решётки

2.5 Обобщенная гиперболическая дзета-функция алгебраической решётки

2.6 Класс функций Е°{С)

Г

2.7 Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций Ef(C)

2.8 Алгебраические сетки

2.9 Параметризация модифицированных алгебраических сеток биквадратичного поля Q (\/2 + \/з)

3 Программная реализация алгоритма численного интегрирования с правилом остановки

3.1 Алгоритм Н. М. Коробова вычисления оптимальных коэффициентов

3.2 Алгоритм JL П. Добровольской вычисления оптимальных коэффициентов по составному модулю

3.3 Алгоритм интегрирования с правилом остановки

3.4 Программы численного интегрирования для концентрических алгоритмов с алгебраическими сетками

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые теоретико-числовые методы приближенных вычислений»

Введение

В 1956 году по инициативе Н. Н. Ченцова в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР был организован научно-исследовательский семинар по разработке новых многомерных квадратурных формул. Этим семинаром руководили профессор, доктор физико-математических наук Н. М. Коробов и его молодые коллеги Н. С. Бахвалов и Н. Н. Ченцов.

В 1957 году вышла первая работа Н. М. Коробова [37], с которой и ведется отсчет истории создания теоретико-числового метода в приближенном анализе. В этой работе был предложен первый класс теоретико-числовых сеток — неравномерные сетки вида (1.106) (см. стр. 59).

В 1959 году в работах [38], [39] Н. М. Коробов ввёл другой очень важный класс теоретико-числовых сеток — параллелепипедальные сетки М(а; АГ) вида

"'-({тг}--{£}) (* = о.1.-."-ч. (Ч

где (о^, А^) = 1 = 1,..., в) и ах,... ,а8 — специально выбранные оптимальные коэффициенты по модулю N.

Достаточно быстро сформировались четыре основных направления приближенного анализа, где эффективными оказались методы теории чисел. Это — вычисление интегралов от периодических функций многих переменных, интерполирование периодических функций многих переменных, численное решение интегральных уравнений Фредгольма II рода и численное решение уравнений с частными производными. Анализ показывает, что из перечисленных четырех направлений исследований основным является первое. И от успехов в этом направлении зависит продвижение и в остальных трех, хотя там и возникает своя специфика [61].

Исходя из указанного обстоятельства, в данной диссертации усилия сосредоточены исключительно на проблеме численного интегрирования периодических функций многих переменных.

Задача приближенного вычисления определенного интеграла относится к числу классических проблем вычислительной математики. Решение этой задачи существенно зависит от класса функций, на котором она рассматривается.

В своей кандидатской диссертации [50] К. К. Фролов выделял следующие основные постановки задачи:

1. построение квадратурных формул, оптимальных для заданного класса функций F;

2. построение асимптотически оптимальных квадратурных формул;

3. квадратурные формулы, имеющие точный порядок погрешности;

4. квадратурные формулы, порядок погрешности которых отличается от точного на множитель вида ln7 N (N — число узлов в квадратурной формуле).

Если взять 2ls класс всех периодических функций f(x) с периодом 1 по каждой переменной, у которой её ряд Фурье

1 1 s

/(£) = Y, c(m)e2wi{™'s), С(т) = (...( f(x)e~27!i^dx, (rn,x) = ¿marnez* { { j=l

абсолютно сходится, то он оказывается слишком обширным для оценки погрешности приближенного интегрирования, так как ряд Фурье может сходиться как угодно медленно. Пространство 2ts относительно нормы

11Ж)1к = £ №й)|<оо

является сепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству h — всех абсолютно суммируемых комплексно-значных последовательностей (см. [31]).

Для дальнейшего мы будем рассматривать более узкий класс Es = U Е£.

а>1

Банаховы пространства быстросходящихся рядов Фурье Е^ определяются ниже (см. стр. 5).

В работе [19] отмечалось следующее обстоятельство: классические оценки погрешности численного интегрирования содержат норму функции, которая неизвестна, и получается парадоксальная ситуация — надо вычислить значение нулевого коэффициента Фурье, а оценка погрешности дается через величину нормы, которая содержит информацию о всех коэффициентах Фурье. А поэтому необходимы правила остановки, сформулированные в терминах величины, которая при росте числа точек стремится к нулю, и, следовательно, по её малости можно судить о скорости сходимости процесса.

В 1957 - 1960 годах ([37] — [39]) при создании теоретико-числового метода в приближенном анализе Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Е£(С) (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье. Через Е£(С) обозначается множество функций из Ef с нормой, не превосходящей С, то есть шар в банаховом пространстве Ef радиуса С с центром в нуле.

Банахово пространство Ef состоит из функций f(xi,...,xs), имеющих по каждой из переменных х\,...,х3 период, равный единице, и для которых их ряды Фурье

оо

/(хь ...,х8)= •''' ma)e™<m*Xl+~+m'*J (2)

mi,...1ms=-оо

удовлетворяют условиям1

sup |C(wi,... ,me)|(mi.. .ms)a = ||/(f)||Ef < oo. (3)

me Z3

Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как

wrnwi^ ii/(f)ik(i+2C(«)r,

а поэтому для любого а > 1 они представляют непрерывные функции. Здесь и далее, как обычно, — дзета-функция Римана.

Относительно нормы пространство Ef является несепарабельным

банаховым пространством изоморфным пространству /— всех ограниченных комплексно-значных последовательностей (см. [31]).

13десь и далее для вещественных тп полагаем ш = тах(1, |т|). Таким образом, величину Ш можно назвать усеченной нормой числа тп, что согласуется с понятием усеченной нормы вектора, о которой речь пойдет дальше.

Рассмотрим понятие усеченной нормы вектора, которой называется величина д(ж) =х\-...-Ха. Усеченной норменной поверхностью с параметром t ^ 1 называется множество = = 1,хф б}, которое является границей

гиперболического креста К3(Ь), заданного соотношениями К8(Ь) = {а%(ж) < £}. Для натурального Ь на усеченной норменной поверхности имеется т*(£) целых ненулевых точек, где 2

= £'1 (4)

— число представлений натурального числа £ в виде Ь = т,\ •... • гп3.

Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы функции ||/(ж)||да. Справедливо равенство

\\f(x)\\E? =max |C(0)|,sup ie • max |C(m)|

V 1 \ m€N(t)

Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f(x) из Ef(C) по модулю ограничена величиной С • (1 + 2((a))s, при этом данная оценка достижима на функции

оо „ ./(f) = У 7--- е2жг(т,х)

т=—оо

в точке х — 0.

Очевидно, что Ef(C) с Е%(С) при a ^ /3. Для любой периодической функции f(x) € Ef(C) с Е%(С) справедливо неравенство для норм

\\№\\ЕЪ > \\№\\Е!-

Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов вида

/(ж) = С(б)+ J2 C{m)e2^'s\

meJV(l)

Рассмотрим квадратурную формулу с весами 11 N

... f{x1,...,xs)dx1...dxs = —^pkf[^1(k),...^s(k)]-RN[f}. (5)

J lc—1

О О

23десь и далее Y^' означает суммирование по системам (mi,...,ms) ф (0,..., 0).

Здесь через обозначена погрешность, получающаяся при замене интегра-

ла

1 1

J.. ! }'(хъ...,х8)йх1

(1х„

о о

средним взвешенным значением функции /(хь..., х8), вычисленным в точках

Мк = Ык),...,Ш) (* = 1...М).

Совокупность М точек М^ называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины = р(Мь) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса веществен-нозначные.

Здесь необходимо сделать одно важное замечание. Вообще говоря, все узлы сетки М не обязаны быть различны (см. например работы [30], [35], [36], [46], посвященные сеткам Смоляка) и среди них могут быть повторяющиеся. В этом случае можно наряду с сеткой М — последовательностью узлов рассмотреть сетку М* — множество узлов, то есть

M^ = {£ = Mj\l^j^N}, \м*\ ^ |М| = И, р(х) = ^ £

У- х=М]

и квадратурная формула перепишется в виде 1 1

... }{хъ...,х3)йх1..^х3 =—— ^ р(х)/(х) - Я\М*\[Я (6)

0 0 1 ^м-

Даже в случае, когда все узлы различные, полезно различать сетку последовательность и сетку множество, так как одной сетке множеству из N различных точек соответствует ЛИ различных сеток последовательностей. Сделав это замечание, мы как правило будем отождествлять сетки множество и сетки последовательности, делая различия только там, где это необходимо.

Так, например, одна и та же параллелепипедальная сетка множество М(а; И) соответствует ^{Щ различным параллелепипедальным сеткам последовательностям М(Ь • где Ь — любое натуральное число из наименьшей приведенной системы вычетов по модулю N и — функция Эйлера.

Для произвольных целых тп\,.. .,та суммы б'м.Д^х,..тв), определённые равенством

N

5м>1,- ■ = (7)

к=1

называются тригонометрическими суммами сетки с весами.

Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весами

■ -,та) = —8м^(т±,..., т8).

N

Положим р(М) — тогда для всех нормированных тригонометриче-

з=1

ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

< ^Р(М). (8)

Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки и писать 5"м(т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки

В работе [19] дано следующее определение, обобщающее определение из работы [33].

Определение 1. Дзета-функцией сетки М с весами р и параметром р ^ 1 называется функция £(а,р\М, р), заданная в правой полуплоскости а = а + И

(<т > 1) рядом Дирихле

?(а,р|м,д= ¿' ^ = (9)

м (т1...т3)а к '

т.1,...,т3=—оо 4 ' п=1

где

5Г(р1М,?,п)= £ 18*м/т)Г. (10)

теТУ(п)

Непосредственно из определения следует неравенство

С(ра,р\М,р) ^(р(а,1\М,р) (а > 1). (11)

Если все веса равны 1, то будем говорить просто дзета-функция сетки М с параметром р и писать £(а,р\М) .

Справедливы следующие две обобщенные теоремы Коробова о погрешности квадратурных формул (см. [19]).

Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции /(х) сходится абсолютно, С(гп) — ее коэффициенты Фурье и Бм^т) ~ тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство

Зд/] = с(0) ( ^БМА0) - + I С{т)8м,р{т) =

N 7 ) N

с

= С(б) (5^6) - 1) + С(т)Гм/т)

7П1,...,т3=—оо оо

(12)

Ш1 ,...,тв = — оо

и при N—>00 погрешность Ядг[/] будет стремиться к нулю тогда, и только тогда, когда взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном э-мерном кубе.

Теорема 2. Если /(жь ... ,х3) £ Е°(С), то для погрешности квадратурной формулы справедлива оценка

|ад/]| < с

- 1

+ дг

\Зм,р{гп)\

= С

ТП\. .,77г5 —— оо

+С-((а,1\М,р),

(тг... тп8)а

(13)

где сумма бд^Дт) определена равенством (7). На классе Е"(С) эту оценку нельзя улучшить.

Другими словами теорему 2 можно сформулировать так: Для нормы ||Длг[/]||.е« линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле (5) справедливо равенство

№

« Л £?

д^(0) - 1

оо

N ^ (т1...т3)а

т1,...,т.в=—оо 4 '

(14)

Модифицированной сеткой М(/3) называют сетку, состоящую из модифицированных узлов

мк0) = аш + м, • • •, {Ш + &}) (* = 1...ЛГ).

Линейный функционал погрешности приближенного интегрирования периодической функции /(х) из класса по квадратурной формуле с весами р и

модифицированной сеткой М(/3) обозначается через ЯМ(0) р[/(^)]> а ег0 норма

— через

Д

Е?

В этих обозначениях утверждение (13) применительно к модифицированным сеткам формулируется так:

для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Епо квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М(/3) выполняется равенство

Я

М{р),р

Е?

N

5м,р(0) - 1

1

+ Л7 £

¡ЗУДГП!, . . . ,Ш5)|

N ' [тщ... те,)а

т,1,...,та=—оо х '

(15)

Это равенство утверждает, что для всех модифицированных сеток М(/3) норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Е£, является инвариантом, который определяется исходной сеткой М и не зависит от вектора модификации.

В работе [19] дано простое объяснение этого факта через понятие граничной функции класса, которое впервые встречается в работе Н. М. Коробова [42], а более подробно в его монографии [43] (см. также [4]).

Функции /(£) с единичной нормой, для которых абсолютная погрешность приближенного интегрирования равна норме линейного функционала погрешности, следуя Коробову, называют граничными функциями класса ЕЛегко видеть, что граничной функцией класса Е® для сетки М с весами р будет функция с коэффициентами Фурье3

Со (те)

О

|5'м,р(те)|да(те)

БмЛ0) ~ 1 |5м,р(0) - 1|

при Бм,р{гп) = 0, при БмА™) ф 0, т ф 0,

при вмА®) ф1,т = 0, при БмА®) = 1, те = 0.

(16)

3 Здесь 8м,р(гп) означает комплексное сопряжение.

Граничная функция класса сеткой определена неоднозначно, если при некоторых значениях т\, ..., т8 тригонометрическая сумма Бм^п) = 0.

Пусть /(х) — граничная функция класса Е" для сетки М, тогда д(х) = = ¡{х — ¡3) — граничная функция класса Е" для модифицированной сетки М0). Так как из

/(£) = £ С0(т)е2^\ д(х) = /(£ - 0) = Е С^тУ™^,

11 11 С\(т) = С0(7п)е-2т^\ С0 (б) = ¡{х)с1х = J...J д(х)с1х = С\(б)

0 0 0 0

следует \\/{х)\\Е? = НяОЮНяу,

N к=1

и

/1 \ 1 °° Д*[/] = Соф) (^мАб) - 1] + ^ Со(т)5м,р(^) =

' т1,...,т3=—оо

/1 \ 1 °° = (м^т/о) Е' с^ммА*) = (17)

^ ' т. т .— —

7711 — 0О

то, действительно, это так.

Так как граничная функция класса зависит от вектора модификации сетки, то приближенное интегрирование одной и той же функции по модифицированным сеткам для разных векторов модификации приводит к появлению дополнительной информации о приближенном значении искомого интеграла. Такая ситуация естественно возникает при использовании произведения сеток, если соответствующим образом организовать суммирование в квадратурной формуле, как будет видно из дальнейшего.

Вопросы численного интегрирования с правилом остановки рассмотрены в работе [19]. Следуя этой работе дадим частное определение мультипликативной дискретной дисперсии для случая произведения двух параллелепипедальных сеток с равными весами.4

4 Подробному рассмотрению понятия произведения двух сеток посвящена работа [21].

Определение 2. Если параллелепипедалъная сетка М является произведением двух параллелепипедалъных сеток 5

то мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с сеткой М и равными весами периодической функции f{x) из пространства Ef будем называть величину D*Ml.M2[f{x)], заданную равенством

Из определения видно, что, вообще говоря, (х)\ Ф {х)\.

В качестве правила остановки будем брать величину мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования, так как при \М\ ->■ оо будем иметь (х)} 0.

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию теоретико-числовых алгоритмов численного интегрирования периодических функций многих переменных. Рассматривается актуальная задача получения оценок мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования.

Исследование теоретико-числовых алгоритмов численного интегрирования, интерполирования, решения уравнений с частными производными и линейных интегральных уравнений на классах периодических функций - это современная отрасль теоретико-числового метода в приближенном анализе, ей посвящены многочисленные современные работы известных ученых, таких как, Н. М. Коробов [37] - [43], Н. Н. Ченцов [15], Н. С. Бахвалов [2], [3], В. А. Быковский [6] - [10], С. М. Воронин [12] - [14], Э. Главка [52], Хуа Ло Кен, Вань Юань [53] и многих других.

Однако, оценкам мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования было посвящено относительно мало работ и здесь остается ряд нерешенных задач.

5Для любого гёК8 полагаем {г} = ({^х},..., {гя}) е [0; 1)".

М = Мг ■ м2 = {{х + у} \х е ми у е М2},

2 2

Основной целью работы является создание и развитие аппарата, позволяющего получать оценки мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования, величина которой является основой правил остановки алгоритмов интегрирования.

Первая цель данной работы — алгоритм численного интегрирования с правилом остановки для периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с парралелепипедальными сетками и его программная реализация в системе МаЙ1сас115. Алгоритм будет строится для системы сеток, являющейся концентрической совокупностью параллелепипедальных подсеток параллелепипедальной сетки 5, вычисленной по алгоритму Л. П. Добровольской [5].

Вторая цель данной работы — алгоритм численного интегрирования с правилом остановки для периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с алгебраическими сетками и его программная реализация в системе МаЛсасПб.

Как показано в работах А. С. Герцога (см. [17], [18]) при реализации алгоритмов интегрирования с алгебраическими сетками возникает нетривиальная проблема точной параметризации алгебраической сетки. В случае системы алгебраических сеток это проблема усложняется, так как необходимо найти точную параметризацию для модифицированных алгебраических сеток. Поэтому третью целью данной работы будет алгоритм и его программная реализация точной параметризации модифицированных алгебраических сеток.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка.

Научная новизна. В диссертационной работе получены теоретические результаты, относящиеся к оценкам мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования. Предложены алгоритмы с правилом остановки, позволяющие учитывать промежуточные результаты, соответствующие приближённому значению интеграла, рассчитанные по подсеткам.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

• новые оценки мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования для параллелепипедальных сеток с опти-

мальными коэффициентами, рассчитанными по алгоритму JI. П. Добровольской;

• новые оценки мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования для алгебраических сеток;

• точная параметризация для модифицированных алгебраических сеток.

Все выносимые на защиту результаты являются новыми и получены самостоятельно.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретический характер и будут полезны для развития как теоретико-числового метода в приближенном анализе, так и в практике разработки эффективных реализаций алгоритмов численного интегрирования функций многих переменных.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на:

научно-исследовательском семинаре "Теоретико-числовые методы в приближенном анализе" профессора H. М. Добровольского в ТГПУ им. JI. Н. Толстого в г. Туле;

Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" г. Тула, 2008 г. [36];

VII Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы" г. Тула, 2010 г. [57];

Международной научно-практической конференции "Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии, посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина" г. Тула, 2011 г. [58];

X Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" г. Волгоград, 2012 г. [60];

Международной конференции "Computer Algebra and Information Technology" г. Одесса, Украина , 2012 г. [59].

Диссертация подготовлена в рамках выполнения проектов РФФИ: гранты № 08-01-00790_а, №11-01-00571а.

В первой главе (стр. 20 — 79) даются, следуя работе [19], основы теории численного интегрирования с правилом остановки. Многие формулировки теорем и определений уточнены и даны в более общей ситуации. Доказаны следующие новые основные результаты. Два варианта обобщенного интегрального критерия Г. Вейля: Теорема 3. (стр. 21) Для бесконечной возрастающей последовательности натуральных N3 с lim N3 = оо последовательность сеток с положительными

весами из А/^ взвешенных узлов образует равномерно распределен-

ную в единичном в-мерном кубе последовательность взвешенных узлов тогда, и только тогда, когда для любой ограниченной, интегрируемой по Риману периодической с периодом 1 по каждой переменной функции /(х) справедливо равенство

Теорема 4. (стр. 25) Для бесконечной возрастающей последовательности натуральных N3 с lim N3 = оо последовательность сеток с ограниченными весами (M(j), p(j)) из N3 взвешенных узлов образует равномерно распределенную в единичном s-мерном кубе последовательность взвешенных узлов тогда, и только тогда, когда для любой непрерывной или кусочно-постоянной периодической с периодом 1 по каждой переменной функции f(x) справедливо равенство

Первая обобщенная теорема Н. М. Коробова:

Теорема 5. (стр. 27) Пусть ряд Фурье функции fix) сходится абсолютно, С(т) — ее коэффициенты Фурье и SM,p(?n) — тригонометрические суммы

Содержание работы и основные результаты

З-ЮО

сетки с весами, тогда справедливо равенство

/1 \ 1 00

RN[f] = С(б) (^SmJO) - 1W - C(rh)SMA™) =

^ ' mi,...,ms=—oo

оо

= С(б) (5^(0) - l) + Е' C(m)S^(m).

Ш1,...,тл=-оо

веса положительные или ограниченные, то при N —>• оо погрешность Rn[/] будет стремиться к нулю тогда, и только тогда, когда взвешенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном s-мерном кубе.

Оценки мультипликативной дискретной дисперсии погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с различными типами сеток:

Теорема 9. (стр. 58) Для D*M j[/(x)] — мультипликативной дискретной дисперсии погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с равномерной сеткой Ms(Nk) произвольной функции fix) 6 Еf справедлива оценка

Теорема 11. (стр. 64) Для D*M ^ — мультипликативной дис-

кретной дисперсии погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с обобщенной неравномерной сеткой Ms((pi,... ,Pk)) произвольной функции f(x) G Е" справедлива оценка

Вм.«И.....= ° (дЬ) ■

Теорема 17. (стр. 78) Если величины oi,... ,as заданы формулами (1.154), (1.155), (1.157), то они являются оптимальными коэффициентами по модулю N индекса s и для мультипликативной дискретной дисперсии D*M[f(x)\ параллелепипедальной сетки М = ... ,as) справедливы оценки

о < о*м\т\ = и/111* (п^)'

где

Ni=pk, N2=PkPk-i, ■ •• ,Nfc-i =Рк • ■■■ -P2, N = Nf¡ = Pk - ■ ■ • • Pi-

Во второй главе (стр. 80 — 125) исследуется новый класс квадратурных формул — квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками. Доказаны следующие новые основные результаты.

ТЕОРЕМА 19. (стр. 103) Если Ov{y = l,...,s) — действительные корни неприводимого многочлена

S-1

Paip) = £ <Ь,Х" + XS v=0

с целыми коэффициентами, матрица Т = Т(а) и а — действительное число больше единицы, то для обобщенной гиперболической дзета-функции сдвинутой решетки £# (qQA(T) + Qm ■ Т|а) справедлива оценка:

Ся (qQA(T) + Qrn ■ Т\а) ^

< (V(s + i) ^^-i)log2Q+5log2(A2(T)) + 2--1

i+/ * )+, -г:;: * vfi+«°>v-4 1

(а-1 )qsa J (а - l)A(r)«-1 V чКт)) \ Яа J ) Qsa'

где А2(Г) = max (1 + |6„| + ... + I©*"1!) > 5.

Теорема 20. (стр. 107) Пусть параллелепипед П8(Т) содержит куб Ks и г G Is. Тогда погрешность квадратурной формулы 1 1

[■■■f f(x)dx = (det(qA(T)))-1 £ psf(x) - д*'(9(л(г)),*)[/]

0 о xeM>(q(\(T)),z)

на классе функций Е^(С) (1 < а ^ г) с весовой функцией р(х) порядка г с константой В удовлетворяет оценке

RN'(q(A(T)),z)[Es(C)]= sup |#N'(9(A(T)),i?)[/]| ^

feEf(C)

^ С ■ В ■ (2 (1 + ((a)) + (1 + 2С(а)) 2а)5 Ся(дЛ(Т)|а).

ТЕОРЕМА 21. (стр. 114) Пусть Qv (и = 1,..., s) — действительные корни неприводимого многочлена

s-1 и=0

с целыми коэффициентами. Пусть матрица Т = Т(а) задана соотношением (2.4-2), матрица Ti — равенством (2.4-3) и 1 < а < г. Тогда для правила остановки Д концентрического алгоритма приближенного интегрирования порядка г ^ 2 по квадратурным формулам 1 1

[■ ■ ■[ f(x)dx = (det(Q,A(T(a))))-1 ^ Pi/(f) - Д^(0,л(г(а)))[/] о о гем'(<г,л(т(а)))

на классе функций Е"(С) (1 < а ^ г) с весовой функцией р{х) порядка г с константой В справедлива оценка

AN,{Q3{A{T)))[Ef(C)]= sup |Длг'(<г,(л(г)))[/]| ^

/ев? (С)

^ С2 ■ В21 det Т\ ■ (2 (1 + СИ) + (1 + 2С(а)) 2afs •

s-l

qSj as /„ , -, ч SQr(s — 1) log2 Qj-I

Qj-i \ V « -1

6- • (s + 1) —^-+ sl0g2(A2(T)) + 2

1+ 1 U fi + ^L-Vfi + ÇÇg)

s-l^ 2

= 0

'qP^^Qj-i Qjs-i

Кроме этого в последнем разделе второй главы предложено решение проблемы точной параметризации модифицированной алгебраической сетки биквад-ратичного поля (\/2 + л/3).

Третья глава (стр. 126 — 135) посвящена программной реализации алгоритмов численного интегрирования с правилом остановки для параллелепипедаль-ных и алгебраических сеток.

Во-первых, в этой главе дается простая программа вычисления оптимальных коэффициентов для простого модуля по координатному алгоритму Коробова. Далее дается обоснование этого алгоритма для случая произвольного составного модуля.

Во-вторых, приводится программная реализация алгоритма Добровольской вычисления оптимальных коэффициентов по модулю, равному произведению различных простых чисел. Оптимальные скоростные характеристики данный алгоритм достигает на специальных последовательностях простых чисел, которые существуют любой длины в силу постулата Бертрана.

В-третьих, дается программная реализация концентрического мультипликативного алгоритма численного интегрирования с помощью параллелепипедаль-ных сеток, вычисленных по алгоритму Добровольской.

Наконец, в последнем разделе третьей главы предлагается программная реализация концентрического мультипликативного алгоритма численного интегрирования с алгебраическими сетками биквадратичного поля (¡2 (-\/2 + \/3)- Выбор конкретного биквадратичного поля обусловлен тем обстоятельством, что в предыдущей главе удалось решить именно для этого поля проблему точной параметризации точек сетки.

В заключение выражаю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, постоянное внимание и полезные обсуждения.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Ребров, Евгений Димитриевич

Заключение

Подводя итог обсуждения проблемы выработки правил остановки в алгоритмах численного интегрирования, дополним следующие соображения из работы [29].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ребров, Евгений Димитриевич, 2013 год

Литература

[1] Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

[2] Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 3-18.

[3] Бахвалов Н. С., Коробов Н. М., Ченцов Н. Н., Применение теоретико-числовых сеток к задачам приближенного анализа // Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. JL: Наука, 1964. Т. II. С. 580 — 587.

[4] Бочарова JI. П. О граничных функциях некоторых классов // Наукоемкое образование. Традиции. Иновации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО "ТИНО" , 2006. С. 198 - 202.

[5] Бочарова JI. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Че-бышевский сборник. Т. 8. Вып. 1(21). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JI. Н. Толстого, 2007. С. 4 - 109.

[6] Быковский В. А. О правильном порядке погрешности оптимальных куба-турных формул в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток. Владивосток: ВЦ, 1985. (Препринт.)

[7] Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов. Хабаровск, 1995. С. 1-13. (Препринт.)

[8] Быковский В. А. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках // Математический сборник, 136(178), 4(8), 1988. С. 451 - 467.

[9] Быковский В. А. Оценки отклонений оптимальных сеток в Ьр-норме и теория квадратурных формул. // Analysis Mathematica, 22(1996), pp. 81 — 97.

[10] Быковский В. А.Теоретико-числовые решетки в эвклидовых пространствах и их приложения. Дис....док. физ.-мат. наук. Хабаровск. ИПМ ДВО АН СССР, 1990.

[11] Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

[12] Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. N 5. С. 189-194.

[13] Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. N 4.

[14] Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Мат. заметки. 1989. Т. 46. N 2. С. 34-41.

[15] Гельфанд И. М. Применение метода случайных испытаний (метода Монте-Карло) для решения кинетического уравнения / И. М. Гельфанд, С. М. Фейнберг, А. С. Фролов, Н. Н. Ченцов // Тр. II Международной конференции по мирному использованию атомной энергии (Женева, 1958, Доклад 2141), - М.: Атомиздат, 1959. - Т. 2. - С. 628-633.

[16] Герцог А. С. Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу Фролова с использованием алгебраических сеток биквадратичного поля Дирихле Q(\/2 + \/3) // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып. 3. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. — С. 22-30.

[17] Герцог А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №23(188). — Вып. 5. — Белгород: Изд-во БелГУ, 2011. - С. 41-53.

[18] Герцог А. С. ПОИВС ТМК: Биквадратичные поля и квадратурные формулы // Материалы международной научно-практической конференции " Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии", посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Че-бышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вон-совского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2011. - С. 242-247.

[19] Добровольская Л. П., Добровольский H. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. Т. 9. Вып. 1(25). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2008. С. 185 - 223.

[20] Добровольский M. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 - 90.

[21] Добровольский M. Н., Добровольский H. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. Т. 3. Вып. 2(4). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2002. С. 43 - 59.

[22] Добровольский H. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток / H. М. Добровольский — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — №6089-84.

[23] Добровольский H. М. Гиперболическая дзета функция решёток / H. М. Добровольский - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - №6090-84.

[24] Добровольский H. М. О квадратурных формулах на классах Ef(c) и Щ(с) / H. М. Добровольский - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - №6091-84.

[25] Добровольский H. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дис. ... канд. физ.-мат. наук / H. М. Добровольский. — Тула, 1984.

[26] Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: Ав-тореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Н. М. Добровольский. — Москва, 1985.

[27] Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения / Н. М. Добровольский // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесо-юз. конф. — Тбилиси, 1985. — С. 67-70.

[28] Добровольский Н. М. Многомерные теоретико - числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.

[29] Добровольский Н. М., Бочарова Л. П. Пятьдесят лет теоретико-числовому методу в приближенном анализе // Наукоемкое образование. Традиции. Иновации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула: АНОВО "ТИНО", 2006. С. 189 - 198.

[30] Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Яфаева Р. Р. О сетках С. А. Смоляка // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. С. 18-20.

[31] Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Известия ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. С. 56-67.

[32] Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100-113.

[33] Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7. Вып. 1. Тула, 2001. С. 82-86.

[34] Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решетки в гиперболическом кресте при малых значениях параметра // Всерос. научн. конф.

"Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. С. 29-30

[35] Добровольский Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебы-шевский сборник. Т. 8. Вып. 1(21). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2007. С. 110 - 152.

[36] Добровольский Н. Н., Ребров Е. Д. Квадратичное отклонение двумерных сеток Смоляка // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" . Тула: "Гриф и К" 2008. С. 51 - 52.

[37] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. N 6. С. 1062 - 1065.

[38] Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 19 — 25.

[39] Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, N 6. С. 1207 - 1210.

[40] Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. N 5. С. 1009-1012.

[41] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

[42] Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.

[43] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

[44] Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995.

[45] Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979.

[46] Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР Т. 148, №5, С. 1042 - 1045 (1963).

[47] Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. N 4. С. 818-821.

[48] Фролов К. К. О связи квадратурных формул и подрешёток решётки целых векторов // ДАН СССР. 232. 1977. N 1. С. 40-43.

[49] Фролов К. К. Оценка сверху дискрепанса в метрике Ьр, 2 ^ р < оо // ДАН СССР. 252. 1980. N 4. С. 805-807.

[50] Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1971.

[51] Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций// Ж. вычисл. матем. и матем. физики №2, №3 1963 С. 370-376.

[52] Hlawka Е. Zur angenäherten Berechnung mehrfacher Integrale // Monatshefte fur Math. 66, 2 1962 P. 140-151.

[53] Hua Loo Keng, Wang Yuan Applications of Number Theory to Numerical Analysis, - Springer-Verlag Berlin, 1981.

[54] Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. 'Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984).

[55] Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. Т. 10. Вып. 1(29). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JL Н. Толстого, 2009. С. 65-77.

[56] Герцог А. С., Ребров Е. Д., Триколич Е. В. О методе К. К. Фролова в теории квадратурных формул // Чебышевский сборник. Т. 10. Вып. 2(30). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JI. Н. Толстого, 2009. С. 10-54.

[57] Огородничук H. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом остановки // Материалы VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JI. Н. Толстого, 2010. С. 153 — 158.

[58] Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом остановки // Международной научно-практической конференции "Многомасштабное моделирование структур и нанотехно-логии, посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летйю со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина" Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2011. С. 254 - 258.

[59] Nikolay M. Dobrovolskiy, Larisa P. Dobrovolskaya, Nikolay N. Dobrovolskiy, Nadegda K. Ogorodnichuk, and Evgenii D. Rebrov Algorithms fot computing optimal coefficients // Book of abstracts of the International scientific conference "Computer Algebra and Information Technology", Odessa, August 20-26, 2012. p. 22 - 24.

[60] Добровольская Л. П., Добровольский H. M., Добровольский H. H., Огородничук H. К., Ребров E. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" Ученые записки Орловского государственного университета. - Волгоград: Изд-во ВГСПУ "Перемена" , 2012. № 6. Часть 2. С. 90 -98.

[61] Ребров Е. Д., Селиванов С. В. О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма II рода // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып. 2. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. - С. 83 - 92.

[62] Ребров Е. Д. Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками // Чебышевский сборник. Т. 13. Вып. 3(43). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. С. 53 — 90.