Некоторые вопросы стабилизации сингулярно возмущенных систем управления с неполной информацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Кабакова, Елена Валентиновна

• Кабакова, Елена Валентиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кабакова, Елена Валентиновна

Введение.

1. Сингулярные возмущения в системах дифференциальных уравнений.

1.1. Постановка задачи и основные свойства сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений.

1.2. Теорема Тихонова для сингулярно возмущенных систем управления

1.3. Асимптотические разложения решений.

2. Сингулярные возмущения в системах управления.

2.1. Аналитическое конструирование регуляторов в сингулярно возмущенных системах управления.

2.2. Асимптотические разложения оптимальных решений.

2.3. Линейно-квадратичная задача управления с неполной информацией.

2.4. Оптимальная в среднем стабилизация сингулярно возмущенных систем управления с неполной информацией.

3. Примеры сингулярно возмущенных систем управления.

3.1. Сингулярно возмущенная задача для системы второго порядка: управление по медленным модам.

3.2. Сингулярно возмущенная задача для системы второго порядка: управление по быстрым модам.

3.3. Сингулярно возмущенная задача для системы четвертого порядка

3.4. Сингулярно возмущенная задача для системы пятого порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы стабилизации сингулярно возмущенных систем управления с неполной информацией»

В широком классе случаев исследование различных реальных процессов приводит к анализу математических моделей, описываемых системами дифференциальных уравнений, которые содержат малые возмущения. Учет этих малых факторов при составлении математических моделей приводит к появлению членов с малыми параметрами, которые характеризуют малость таких возмущений. Следовательно, возникает проблема исследования зависимости решений дифференциальных уравнений от малых параметров. Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений представляет обширную и достаточно разработанную область ма-темаической науки. Различные аспекты этой теории являлись предметом исследования многих авторов. Изложение основных вопросов теории можно найти в работах Тихонова А.Н. [38,39,40], Красовско-го H.H. [21], Ломова С.А. [28] и других авторов.

Наиболее распространенными методами исследования свойств решений сингулярно возмущенных систем являются асимптотические методы, основы применения которых для класса таких систем были разработаны в трудах Тихонова А.Н., Васильевой А.Б., Кутузова В.Ф. [4,5] и других специалистов.

Асимптотические методы, при помощи которых исследуются вопросы зависимости решений систем управления от малых параметров при старших производных, также являются одними из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем управления.

Асимптотическое решение задач оптимального управления линейными системами с квадратичным критерием качества может быть получено путем решения краевой задачи, вытекающей из необходимых условий оптимальности. Принцип максимума Понтрягина в начальной задаче является необходимым и достаточным условием оптимальности и асимптотическое решение краевой задачи приводит к асимптотическому решению начальной задачи. Асимптотическое решение для нестационарных систем, полученное при помощи решения краевой задачи, было рассмотрено Якелем P.A. и Ко-котовичем П.В. в [51], где были введены условия управляемости и наблюдаемости в пограничном слое. Эти результаты и результаты, представленные этими же авторами в [52] и О'Мелли Р.И. в [55] базировались на решении сингулярно возмущенного дифференциального уравнения Риккати.

Достаточное большое число исследований посвящено асимптотическому разложению решения задач аналитического конструирования регуляторов. Наряду с условиями управляемости и наблюдаемости в погранслое, здесь накладываются условия управляемости и наблюдаемости на соответствующие матрицы в вырожденной задаче. Это обеспечивает разрешимость соответствующего матричного алгебраического уравнения Риккати, и асимптотическое разложение положительно определенного решения этого уравнения определяется в виде сходящегося ряда по целым степеням малого параметра.

В работе [61] Саннути П. рассматривал управляемость квазилинейных сингулярно возмущенных систем размерности (n+m). -Вместе с условиями управляемости в вырожденной задаче размерности п и условиями управляемости в пограничном слое для присоединенной системы размерности га, им предполагается также управляемость линейного приближения вдоль любой допустимой пары.

В работах Портера Б. и Схентона А.Т. [57,58,59] рассматривается условия стабилизируемости стационарных систем управления для различных частных случаев.

Решение задач стабилизации систем управления представляет значительные трудности, обусловленные высоким порядком системы, поэтому наряду с изучением различных свойств сингулярно возмущенных систем представляют интерес условия, при которых эти свойства обладают декомпозицией, которая позволяет получать утверждения о наличии свойств для исходных систем высокого порядка по факту наличия свойств для некоторых систем меньшего порядка.

Вопрос о возможности исследования систем высокого порядка при помощи систем более низкого порядка являлся предметом исследования многих математиков. Известные методы решения таких задач рассматривались в работах [43],[44],[47]. КокотовичемП.В. и Хаддадом А.Х. в [49] было доказано, что редуцированное уравнение может быть получено из редуцированной модели, а также то, что асимптотическое разложение позволяет строить субоптимальные управления высокой точности по функционалу для задачи большой размерности при помощи решения задач меньшей размерности.

При исследовании вопросов аналитического конструирования регуляторов и стабилизации реальных систем управления возникают проблемы, связанные с недостатком информации о координатах состояния. Неполнота информации о фазовых координатах объекта приводит к сужению класса задач, для которых проблема оптимальной стабилизации разрешима. Работами, исследующими системы управления с неполной обратной связью, являются работы Красов-ского H.H. [23], Мышкова С.К. [30]-[32], Мэрриэма К. [29], Пропоя А.И., Цыпкина Ю.З. [35] и других.

В [29],[35] предлагается фазовые координаты, недоступные измерению, вычислять на объекте или использовать оценку вектора состояния, полученную на основе замера компонент этого вектора, при помощи некоторой дополнительной линейной системы. В работах [30,31] Мышкова С.К. рассматривается проблема оптимальной в среднем стабилизации, где показатель качества усредняется на некотором множестве начальных состояний управляемой системы, при этом не теряется возможное (существующее при достаточно жестких ограниченичх) решение, оптимальное для любого начального состояния объекта.

Данная работа посвящена решению задач, направленных на развитие математических методов стабилизации сингулярно возмущенных систем управления. Особое внимание уделено проблеме оптимальной стабилизации систем управления большой размерности с недостатком информации о координатах состояния.

Дефицит информации о фазовых координатах состояния объекта усугубляет условия разрешимости задачи стабилизации для сингулярно возмущенных систем управления, при этом возникает естественная потребность раздельного управления по быстрым и медленным модам.

Метод, предлагаемый в данной работе, можно использовать для решения различных вопросов, возникающих при моделировании реальных процессов. Разработанный теоретический аппарат значительно упрощает исследование систем управления большой размерности в условиях недостатка информации. Возможность применения методов, зарекомендовавших себя в стандартных задачах аналитического конструирования регуляторов, позволяет успешно и вполне обоснованно применять полученные результаты в реальных задачах управления.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению вопросов исследования сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, существования и единственности их решений, асимптотике и методам решения таких систем.

В пункте 1.1 даны определения и основные свойства сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений.

В пункте 1.2 обсуждаются основополагающие результаты Тихонова А.Н., приводится теорема о предельном переходе и комментарий, посвященный возможностям ее использования в линейных и нелинейных задачах.

В пункте 1.3 рассмотрены методы асимптотического разложения решений сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, а также аспекты влияния эффекта погранслоя на устойчивость сингулярно возмущенных систем.

Вторая глава является основной теоретической частью диссертации. Она посвящена рассмотрению задачи оптимальной в среднем стабилизации сингулярно возмущенной системы управления с неполной информацией о координатах состояния. Решение задачи оптимальной в среднем стабилизации для систем управления, описывающих разнотемповые движения, путем выделения доминирующей подсистемы сводится к решению задачи оптимальной стабилизации с полной информацией для систем меньшей размерности.

В пункте 2.1 рассматриваются условия существования оптимальных управлений и условия стабилизации систем управления с полной информацией с1х = Рх + С^и, х(0) = х0. где х еяп, и е яг.

Качество управления оценивается при помощи функционала оо

J(u) = У (х*Ах + и*Си)сИ, о где А Е ДПХП,С Е ДГХГ,А > О, С > 0. Для существования оптимального управления иа — М0х необходимо и достаточно, чтобы алгебраическое уравнение Риккати в<2С-1<3*в -&Р-Р0-А= 0 имело единственное, вещественное, непрерывное, ограниченное решение в виде симметричной матрицы в > 0 порядка п х п и такое, что управление с оптимальным значением матричного коэффициента усиления М = обеспечивало бы экспоненциальную устойчивость нулевого решения замкнутой системы управления

В пункте 2.2 рассматривается сингулярно возмущенная линейная стационарная система х\ РцХ1 + РцХ2 + 31(0) =Ж10, йх 2 "21® 1 + "22^2 + х2{0) = ж20,

2 = #1^1 + н2х2у где XI Е Вп\х2 Е ЯП2,п 1 +п2 = щи Е Кг.

Качество управления оценивается при помощи такого же функционала 3{и) с матрицей А = Н*Н, где Н = {Н^Н^.

В получаемой при этом линейно-квадратичной задаче с полной информацией для существования оптимального управления иа —

М0х необходимо и достаточно, чтобы алгебраическое уравнение Рик-кати дс-1^*© -ер-ре- н*н = о имело единственное, вещественное, непрерывное, ограниченное решение в виде симметричной матрицы 0 > 0 порядка п х п и такое, что управление с оптимальным значением матричного коэффициента усиления М = —С~1(2*е обеспечивало бы экспоненциальную устойчивость нулевого решения замкнутой системы управления. Оптимальное значение функционала выражается через матрицу © следующим образом

30 = 1/2жд©жо.

Рассмотрен метод разделения исходной системы на две системы меньшей размерности - "медленную", имеющую вид

1хв Р8х + аЬ Н8х8 + БдЩ, ®в(0) = Жю и "быструю"

1х 4 Р;Х! + д/и/, гГ = Н2Х2, £/(0) = Ж 20-Я2(О).

В пункте 2.3 рассматриваются условия существования оптимального в среднем управления и условия оптимальной в среднем стабилизации сингулярно возмущенных систем с неполной информацией.

Лх = Рх + (Зи, ж(0) = х0. сИ

Качество управления оценивается при помощи функционала с»

1(и) = Jр(х0)<Лх01(х*Ах + и*Си)сИ, п о где р(жо)-вещественная непрерывная функция (вес), такая, что существует матрица

X = I р(х0)х0^1^х0'> X > О, о

Для существования оптимального в среднем управления и = Мг необходимо и достаточно, чтобы алгебраические уравнения р + дм#) + (р + дмя)*е + а + (мну сын = о, (р + дмя)ь + ь(р + (2мну + х = о. имели решения в виде симметричных матриц @ > 0 и Ь > 0 соответственно и таких, что управление с матричным коэффициентом усиления М = —с~1с}*@ьн*(ньн*)~1 обеспечивает экспоненциальную устойчивость нулевого решения замкнутой системы управления и,х = (Р + ЯМН)х. Через матрицы 0 и X функционал выражается следующим образом г*) = ¿г[0Х].

В пункте 2.4 исследуется случай управления по медленным (доминирующим) координатам с квадратичным критерием качества, усредненным по множеству начальных состояний объекта. Получаемое при этом оптимальное управление и соответсвующее значение критерия качества сравниваются с решением линейно-квадратичной задачи стабилизации для редуцированной системы. Показано, что главные члены асимптотических представлений для решения алгебраического уравнения Риккати, матричного коэффициента усиления регулятора и оптимального значения функционала совпадают с точными значениями аналогичных величин для редуцированной задачи.

Для медленной системы = Р8х8 + С}аи„ жД0)=жю, рассматривается задача оптимальной стабилизации с функционалом вида

00

38{и) = I(х*А8ха -Ь х3В3и3 + и*В*ха + и*8С3и3)(1Ь, о где

Аз = Лп - А12Р221Р21 - {А12Р^Р21у + {Р£РпУА22РЁР2и В3 = -А12Р221<52 + (^¿г1 ) * , с.

Для существования оптимального управления и = М3х3 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическое уравнение Риккати

0 .дас^*я@а = е3(Рлд3с;1в:)+(р3^3с;1в:уе3+А8+в8с;1в: имело решение в виде вещественной симметричной матрицы 0 > 0 и такой, что управление с матричным коэффициентом усиления М3 = —С-1 (<5*0 -+■ В*) обеспечивало бы экспоненциальную устойчивость нулевого решения замкнутой системы управления и, X (Ра + Я8М3Н)х.

Функция Ляпунова для замкнутой системы берется в виде V = х*03х3, где - решение уравнения Ляпунова в3(р3+д3м$н)+(р8+д8м8н)*&3+ввм3+м:в:+А3+м;с3м3 = о с матрицей Ms = -С;1^©« + В*).

Достаточные условия существования допустимых управлений вида и = Мхi при т = п\ < п (в общем случае - это разрешимость соответствующих неравенств Гурвица) формулируются в следующей лемме:

Лемма. Если пара (PS,QS) полностью управляема, а матрица Р22 - гурвицева, то допустимые управления вида и = Мх\ существуют при всех fi Е (О, Д), где Д > 0 - фиксировано.

Так как рассматривается управление по медленным модам, то матрица Н берется в виде Н — (Н\ 0) = (Е; 0). Решение уравнений 0 ищется в виде ( ©И « / ©g ц<д\2 /-¿©22 / i=l \/¿©12 /"©22 / где коэффициенты определяются стандартным образом после подстановки этого выражения для © в уравнения условий оптимальности и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях /г. В итоге: вп(Р, + QSM) + (Ps + Q,M)*Qn + BSM + + Л5 + M*CSM = 0.

Таким образом, для главной части решения ©(/¿) @ц = ©s, если Мос — Ms. Это означает, что iiM = ©s + O0u), где 0(/х)-матричный ряд по степеням начинающийся с члена порядка ¡j}.

После подстановки значений матриц 9, L и вектора Н в выражение для Мос и приравнивания выражений при одинаковых степенях ¡i получено:

M0C = -C;1(Q:&u + B:).

Таким образом, для главной части матрицы коэффициентов оптимального в среднем управления Мос = М8У это означает, что

Мос = М8 + 0(/х), где 0(//)-матричный ряд по степеням /л, начинающийся с члена порядка /А

Также устанавлено, что для главной части оптимального значения критерия качества справедливо выражение где О (/¿)-скалярный ряд по степеням /¿, начинающийся со слагаемого первого порядка.

При существовании решения редуцированной задачи справедлива теорема.

Теорема. Между решением оптимальной в среднем задачи и решением редуцированной задачи имеют место соотношения

011 = 03 + 00),

Мос = М8+0(/1), где О (/а)-ряды по степеням /л.

Таким образом, методом малого параметра получены главные члены в асимптотических разложениях для решения уравнения Рик-кати, коэффициента усиления регулятора и критерия качества. Этот прием конструктивен для стабилизации систем большой размерности.

Третья глава работы посвящена рассмотрению содержательных задач, являющимися типичными примерами, в которых проявляются специфические особенности сингулярно возмущенных систем управления. Здесь осуществлено применение полученных выше теоретических результатов.

В пунктах 3.1 и 3.2 рассматрена линейно-квадратичная задача для системы второго порядка и исследованы возможности построения оптимального в среднем управления раздельно по медленным и быстрым движениям. В обоих случаях полученно решение в конечном виде при произвольных значениях параметров системы и функционала. При этом, в случае управления только по медленным модам для матрицы коэффициента усиления регулятора получено где 0(/л2)-матричный ряд по степеням /л, начинающийся с члена порядка /х2. В случае управления только по быстрым модам для матрицы коэффициента усиления регулятора получено ч

Мос = М8 + 0(у), где 0(^)-матричный ряд по степеням /¿, начинающийся с члена порядка /А

В пунктах 3.3 и 3.4 рассматрены линейно-квадратичные задачи для систем четвертого и пятого порядка и исследованы возможности построения оптимального в среднем управления по медленным движениям. Для этих систем исследованы свойства получаемых решений и замкнутых систем управления.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Обоснован выбор метода малого параметра для решения задачи стабилизации сингулярно возмущенных систем управления с неполной информацией о координатах состояния.

2. Предложен метод построения стабилизирующего управления для систем с неполной информацией о координатах состояния с критерием качества, усредненным по множиству начальных состояний объекта, который особенно эффективен для систем большой размерности.

3. Проанализирована возможность построения оптимального в среднем управления для систем второго, четвертого, пятого порядка и исследованы свойства получаемых решений и замкнутых систем управления.

Список литературы содержит перечень работ, использованных при написании диссертации, а также монографии и обзоры, в которых можно найти подробные списки работ, касающихся обсуждаемых вопросов.

Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XII Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (г. Екатеринбург, февраль 2003г.), XXX научной конференции "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 1999г.), XXXIII научной конференции "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2002г.), а также на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления. По теме диссертации автором опубликовано 3 печатные работы.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Кабакова, Елена Валентиновна

Заключение.

В работе исследован круг вопросов стабилизации сингулярно возмущенных систем управления и получены результаты, представляющие теоретический интерес и применимые на практике.

1. Обоснован выбор малого параметра для решения задач стабилизации сингулярно возмущенных систем управления большой размерности с неполной информацией о координатах состояния. При условиях дефицита информации о фазовых координатах объекта учтена и использована потребность раздельного управления по быстрым и медленным модам.

2. Предложен метод построения стабилизирующего управления по медленным (доминирующим) координатам с квадратичным критерием качества, усредненным по множеству начальных состояний объекта. Получаемое при этом оптимальное управление и соответствующее значение критерия качества сравниваются с решением линейно-квадратичной задачи стабилизации для редуцированной системы. Показано, что главные члены асимптотических представлений для решения алгебраического уравнения Риккати, матричного коэффициента усиления регулятора и оптимального значения функционала совпадают с точными значениями аналогичных величин для редуцированной задачи. Возможность вычисления главных членов асимптотических представлений методами, зарекомендовавшими себя в стандартной задаче аналитического конструирования регуляторов, позволяет применять полученные результаты в реальных задачах управления.

3. Разработанный метод использован для построения оптимального в среднем управления для систем второго, четвертого и пятого порядка, при этом, для систем второго порядка - с произвольными значениями параметров системы и функционала. Для систем четвертого и пятого порядка построено оптимальное в среднем управление по медленным движениям. Исследованы условия устойчивости замкнутых систем управления.

4. Исследована качественная картина поведения решений при уменьшении (увеличении) значений малого параметра в реальных системах управления. Результаты представлены в графическом и табличном виде.

Основные теоретические результаты сформулированы в виде математических утверждений. При расчете использован пакет прикладных программ Maple, который позволил произвести вычисления с высокой точностью и позволил реализовать графическое представление полученных результатов.

Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в работах [17]-[19].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кабакова, Елена Валентиновна, 2003 год

1. Белокопытов C.B., Дмитриев М.Г. Прямой метод решения задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями.// Техническая кибернетика. 1985. N3. С. 147-152.

2. Борзое В.И. Задачи о разделении движений в динамике полета. // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела. 1981. N5. С.3-12.

3. Вазов В., Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968. 464с.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущиний. М., Наука, 1993. 207с.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., Наука, 1973. 272с.

6. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. //М-, ВИНИТИ. 1982. Т.20. С.3-77.

7. Викторов Б.В. Особенности поведения систем управления резко отличными темпами составляющих движения. // Изв. АН СССР, Техн. кибернетика. 1967. N5. С. 190-195.

8. Войтенко С.С., Смирнов Е.Я. Теория оптимальной стабилизации. Л., ЛГУ, 1973. 117с.

9. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., Наука, 1979. 335с.

10. Воротников В.И. Об оптимальной стабилизации движения относительно части переменных. // Прикладная математика и механика. 1990. Том 54. Вып. 5. С.726-735.

11. Габасов P.C., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М., Наука, 1973. 256с.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1966. 576с.

13. Гичев Т.Р. Сингулярные возмущения в одном классе задач оптимального управления с интегральным выпуклым критерием // Прикладная математика и механика. 1984. Том 48, вып.6. С.898-902.

14. Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления с квадратичным функционалом // Докл. АН СССР. 1975. N5. С.997-1000.

15. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., Наука, 1975. 496с.

16. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л., Судостроение, 1966. 352с.

17. Кабакова Е.В. Оптимальная стабилизация сингулярно возмущенных систем управления с неполной информацией // Труды XXX научной конференции "Процессы управления и устойчивость". СПб, 1999. С.72-76.

18. Кабакова Е.В., Мышков С.К. Стабилизация сингулярно возмущенных систем управления с неполной информацией // Вестник СПбГУ. 2003. N2. С.47-55.

19. Кабакова Е.В., Мышков С.К. Сингулярно возмущенная задача управления с неполной информацией // Тез. докл. XII Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения". Екатеринбург, 2003г. С. 128.

20. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М., Мир, 1977. 650с.

21. Климушев А.И., Красовский Н.Н. Равномерная асимтоти-ческая стабилизация систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных.// Прикладная математика и механика. 1961. Том 25, Вып.4. С. 680-690.

22. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений. Дополн. к кн. Малкина И.Г. "Теория устойчивости движения". М., Наука, 1966. С.475-514.

23. Красовский H.H. О стабилизации неустойчивых состояний движений дополнительными силами при неполной обратной связи. // Прикладная математика и механика. 1963. Том 27, вып.4. С.641-664.

24. Красовский НИ. Теория управления движением. Линейные системы. М., Наука, 1968. 475с.

25. Крейн С.Г., Курина Г.А. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления. //В сб. "Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением". М., Наука, 1981,С.170-178.

26. Курина Г.А. Асимптотическое решение одной классической сингулярно возмущенной задачи оптимального управления. // Докл. АН СССР. 1977. N3. С.532-535.

27. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М., Наука, 1981. 256с.

28. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., Наука, 1981. 398с.

29. Мэрриэм К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. М., Мир, 1967. 213с.

30. Мышков С.К. Линейные управляемые системы с неполной информацией о координатах состояния // Негладкие задачи теории оптимизации, под ред. В.Ф.Демьянова. Л., изд-во ЛГУ. 1982. С.248 -272.

31. Мышков С.К. Оптимальная в среднем стабилизация линейных управляемых систем // Вестник ЛГУ. 1971. No 7. С.90 -97.

32. Мышков C.K. Оптимальное демпфирование собственных колебаний механических систем // Вестник ЛГУ. 1969. No 13. С.113 -123.

33. Овсеевич А.И., ФигуринаТ.Ю. Асимптотическое поведение областей достижимости сингулярно возмущенных линейных автономных управляемых систем. // Прикладная математика и механика. 1998. Том 62, Вып.6. С.977-983.

34. Понтрягин Л.С., Болтнянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969. 384с.

35. Пропой А.И., Цыпкин Я.З. О синтезе оптимальных в среднем автоматических систем // Докл. АН СССР. 1967. N6. С.1242-1245.

36. Соболев В.А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 1991. N5. С.53-62.

37. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М., Наука, 1986. 325с.

38. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра// Мат. сб. 1948. Том 22(64). No 2. С.193-204.

39. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры// Мат. сб. 1950. Том 27(69). No 2. С.147-156.

40. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Мат. сб. 1952. Том 31(73). No 3. С.575-586.

41. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимальногоуправления. М., Наука, 1978. 488с.

42. Федоров С.М. Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления. М., Машиностроение, 1970. 416с.

43. Aoki М. Control of Large-Scale Dynamic Systems By Aggregation // IEEE Trans. Automat. Contr. 1968. Vol.13, N3. P. 246-253.

44. Chow J.H., Kokotovic P.V. A Decomposition of Near-Optimum Regulators for Systems with Slow and Fast Modes// IEEE Trans. Automat. Contr. 1976. Vol.21, N5. P. 701-705.

45. Chow J.H., Kokotovic P.V. Near-Optimal Feedback Stabilization of a Class of Nonlinear Singularly Perturber Systems // SIAM J. Control and Optimiz. 1978. Vol.16, N5. P. 756-770.

46. Chow J.H., Kokotovic P. V. Two-Time Scale Feedback Design of a Class of Nonlinear Systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1978. Vol.23, N3. P. 438-443.

47. Davison E.J. A Method for Simplifying Linear Dynamic Systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1966. Vol.11, N1. P. 93-101.

48. Haddad A.H., Kokotovic P. V. Controllability and Time-Optimal Control of Systems with Slow and Fast Models// IEEE Trans. Automat. Contr. 1975. Vol.20, N1. P. 111-113.

49. Haddad A.H., Kokotovic P.V. Note on Singular Perturbation of Linear State Regulators // IEEE Trans. Automat. Contr. 1971. Vol.16, N3. P. 279-281.

50. Kokotovic P. V., Sannuti P. Singular Perturbation Method for Reducing the Model Order in Optimal Conrol Design // IEEE Trans. Automat. Contr. 1968. Vol.13, N4. P. 377-384.

51. Kokotovic P. V., Yackel R.A. Singular Perturbation of Linear Regulators: Basic Theorems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1972. Vol.17, N1. P. 29-37.

52. Kokotovic P. V., Yackel R.A. A Boundary Layer Method for the Matrix Riccati Equation //IEEE Trans. Automat. Contr. 1973. Vol.18, N1. P. 17-24.

53. Kucera V. A Contribution to Matrix Quadratic Equations // IEEE Trans. Automat. Contr. 1972. Vol.17, N3. P. 344-347.

54. Lennartson B. Multirate Sampled-Data of Two-Time Scale Systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1989. Vol.34, N6. P. 642644.

55. O'Malley R.E. Singular Perturbation of the Time Invariant Linear State Regulator Problem //J. Diff. Equations. 1972. Vol.12, P. 117-128.

56. O'Malley R.E. The Singularly Perturber Linear State Regulator Problem // SIAM J. Control. 1972. Vol.10, P. 399-413.

57. Porter B. Singular Perturbation Methods in the Design of Stabilizing Feedback Controllers for Multivariadle Linear Systems // Int. J. Control. 1974. Vol.20, N4. P. 689-692.

58. Porter B.,Shenton A.T. Singular Perturbation Methods of asymptotic Eigenvalue Asssignment in Multivariadle Linear Systems // Int. J. Systems Sei. 1975. Vol.6, N1. P. 33-37.

59. Porter B.,Shenton A.T. Singular Perturbation Analysis of the Transfer Matrices of a Class of Multivariadle Linear Systems // Int. J. Control. 1975. Vol.21, N4. P. 655-660.

60. Sannuti P. Asymptotic Series Solution of Singularly Perturbed Optimal Control Problems // Automática. 1974. Vol.10, N2. P. 183194.

61. Sannuti P. On the Controllability of Singularly Perturbed Systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1977. Vol.22, N4. P. 622-624.

62. Sannuti P., Kokotovic P. V. Near-Optimum Design of Linear

63. Systems By a Singular Perturbation Method // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol.14, N1. P. 15-22.

64. Wilde R.R., Kokotovic P.V. Optimal Open- and Closed-Loop Control Singularly Perturbet Linear Systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1973. Vol.18, N6. P. 616-626.

65. Womble M.E., Potter J.E., Speyer J.L. Approximations to Riccati Equations Having Slow and Fast Modes// IEEE Trans. Automat. Contr. 1976. Vol.21, N6. P. 847-851.