Нелинейный анализ и синтез систем фазовой автоподстройки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Юлдашев, Ренат Владимирович

• Юлдашев, Ренат Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юлдашев, Ренат Владимирович

Оглавление

Введение

1 Системы ФАП

1.1 Нелинейный анализ и синтез классических систем ФАП

1.1.1 Основные предположения

1.1.2 Основной результат

1.1.3 Характеристики фазового детектора ФАП

1.2 Нелинейный анализ и синтез систем ФАП с квадратором

1.2.1 Асимптотически эквивалентная схема для ФАП с квадратором

1.2.2 Характеристики фазового детектора ФАП

1.3 Нелинейный анализ и синтез двухфазных систем ФАП

1.4 Вывод уравнений системы

1.4.1 Предположения

1.5 Метод усреднения

1.5.1 Теорема H.H. Боголюбова

1.5.2 Применение теоремы H.H. Боголюбова к схемам ФАП

2 Моделирование

2.1 Описание программной модели

2.2 Результаты моделирования

Выводы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейный анализ и синтез систем фазовой автоподстройки»

Введение

Схемы фазовой автоподстройки (ФАП) были изобретены в начале двадцатого века [1,2] и широко применялись в радио и телевидении (демодуляция и восстановление несущей, синхронизация и синтез частот). В настоящее время существуют различные модификации схем ФАП (аналоговые, аналогово-цифровые, цифровые, программные), предназначенные для работы с различными типами сигналов (синусоидальный, импульсный и т.д.). После реализации в виде отдельного чипа, ФАП получили широкое распространение в современном телекоммуникационном оборудовании [3-16], распределенных компьютерных архитектурах [3,17-19]. Системы ФАП также применяются в различных механических устройствах, в локации и навигационных системах.

Для изучения устойчивости требуемых рабочих режимов, оценок областей притяжения этих режимов и оценок времени переходного процесса при проектировании инженерами в основном применяются [20] численные и аналитические методы анализа математических моделей ФАП. Здесь необходимо отметить, что описание принципов работы ФАП содержит рассмотрение работы нелинейного элемента (фазового детектора, ФД). Несмотря на это, как было отмечено известным экспертом по ФАП Д. Абрамовичем на пленарном докладе American Control Conference 2002 [20], основным направлением в современной литературе, посвященной анализу устойчивости и синтезу ФАП, является применение методов линейного анализа,

эмпирических правил и моделирования [21-23,23,24,24-29]. Однако, хорошо известно, что применение методов линейного анализа к нелинейным системам без строгого математического обоснования может приводить к неверным результатам [30,31].

Для проведения качественного анализа работы ФАП используют переход от неавтономной модели ФАП на уровне электронной реализации к автономной динамической модели ФАП на уровне частотно-фазовых соотношений [3,20]. Здесь для построения адекватной нелинейной математической модели ФАП в частотно-фазовом пространстве необходимо: 1) определять характеристику фазового детектора, которая зависит от конкретной реализации ФД и типов рассматриваемых сигналов; 2) обосновывать корректность перехода от модели на уровне электронной реализации к модели в частотно-фазовом пространстве. Характеристика для синусоидальных и импульсных сигналов хорошо известна инженерам (см. например [3,20,32-35]). Однако, для ряда приложений необходимо рассматривать несинусоидальные (Рис. 0.1 - Рис. 0.3) сигналы [9,13].

1

3.5 О

Э.5 -1

0 2 4 6 8 10 12 14

Рис. 0.1: "Треугольный " сигнал

1

3.5 О 3.5 -1

1

3.5 О 3.5 -1

Рис. 0.3: Импульсный сигнал

В работе на примере системы ФАП с фазовым детектором реализованным в виде перемножителя и системы ФАП с квадратором обсуждаются общие принципы вычисления характеристики фазового детектора и обоснования перехода к частотно-фазовым соотношениям, основанные на строгом математическом анализе высокочастотных колебаний [36-48] и методе усреднения Крылова-Боголюбова [49,50].

Численное моделирование ФАП может быть проведено для модели на уровне электронной реализации (в пространстве сигналов/времени) или частотно-фазовом пространстве. Полное моделирование ФАП в пространстве сигналов/времени является, как правило, очень трудоемким и про-

О 2 4 6 8 10 12 14

Рис. 0.2: Сигнал "Зуб пилы"

1-1 1 -Г

' I _I ' I _' '

0 2 4 6 8 10 12 14

водится редко из-за нелинейностей фазовых детекторов и высоких частот рассматриваемых сигналов. Согласно Д. Абрамовичу [51,52] "Обычно, шаг моделирования, который должен быть достаточно малым, чтобы отчетливо наблюдать динамику фазового детектора, делает трудным наблюдение за динамикой всей системы." Существует другой подход, позволяющий моделировать ФАП в частотно-фазовом пространстве, который использует только большой шаг дискретизации, тем самым уменьшая время моделирования. Однако, моделирование в частотно-фазовом пространстве требует построения соответствующих моделей ФАП и строгого обоснования перехода к ним. Так, в 1961 году Н. Губарь [53] аналитически показала возможность существования скрытых колебаний [31,54,55] в двухмерной модели ФАП: в рассмотренной системе с вычислительной точки зрения все траектории стремятся к состояниям равновесия, но в действительности область притяжения состояний равновесия является ограниченной (Рис. 0.4).

Также сложные бифуркационные эффекты, изучение которых требует развития и применения специальных аналитических и численных ме-

тодов [45,54,56-62], могут наблюдаться даже в простейших дискретных одномерных моделях ФАП.

В последнее время системы ФАП стали широко применяться в системах цифровой обработки сигналов и многопроцессорных (многоядерных, Рис. 0.5) системах [43,45,63,64]. Например, в процессорах DSP 56000 и DSP 56 К (Motorola) [65]. Системы ФАП показали свою высокую эффективность как генераторы тактовых импульсов и как устройства для коррекции расфазировки [63-65].

Рис. 0.5: Схема материнской платы с чипом ФАП

Основным требованием к системам ФАП применяемых для цифровых сигнальных процессоров (Digital signal processor, DSP) является полное устранение расфазировки. В [66] рассмотрен эталонный генератор(ЭГ)

передающий импульсы по шине на процессоры Пк (Рис. 0.6).

ЭГ _ -►

Г > Г у *

П1 П2 ПЗ

Рис. 0.6: Эталонный генератор передает импульс по шине к процессорам П1, П2, ПЗ.

При исполнении параллельных программ на многопроцессорной (многоядерной системе) системе, процессоры должны выполнить определенную последовательность операциий одновременно. Выполнение этих операций должно быть начато в момент поступления импульсов ЭГ на процессоры. Так как длины путей, которые пробегает импульс от ЭГ до каждого из процессоров различаются, они не смогут начать вычисления синхронно. Этот феномен называется сдвигом фазы или "расфазировка". Ликвидация сдвига фазы является одной из важнейших проблем в параллельных вычислениях и параллельной обработке информации.

Существует несколько подходов к решению проблемы устранения сдвига фаз. Одним из решений является применение специальных топологий соединения процессоров "Н^гее", Рис. 0.7. При такой топологии, длины путей, по которым проходит импульс от ЭГ до каждого из процессоров одинаковы.

Рис. 0.7: Соединение процессоров по топологии "Н-^ее"

Однако, в этом случае сдвиг фаз не ликвидируется полностью из-за гетерогенности проводников [66]. Кроме того, для большого числа процессоров топология проводников становится очень сложной, что ведет к техническим трудностям при их реализации.

Другим решение проблемы сдвига фаз (на программном уровне) стало изобретению протоколов асинхронной связи, которые корректируют рас-фазировку с помощью введения задержек [66]. Другими словами, использование таких протоколов позволяет избегать искажения результатов вычислений откладывая обработку информации во время работы алгоритма. Недостатком такого подхода является падение производительности выпол-

нения параллельных алгоритмов.

Кроме проблемы сдвига фаз, существует еще одна важная проблема. Увеличение количества процессоров в системе приводит к увеличению мощности эталонного генератора импульсов. Но ЭГ высокой мощности приводят к существенным электромагнитным помехам.

Примерно 20 лет назад был предложен новый метод для устранения сдвига фаз и уменьшения мощности ЭГ. Он заключается во введении специальной распределенной системы генераторов, управляемых ФАП, Рис. 0.8.

Рис. 0.8: Эталонный генератор передает импульс по шине к процессорам ПІ, П2, ПЗ используя системы ФАП

Приемуществом этого метода, по сравнению с протоколами связи, является отсутствие искусственных задержек в работе параллельных программ. Этот подход так же позволяет значительно уменьшить мощность генераторов.

Далее следуя [37,38,45,67-69,69-75], на примере классической системы ФАП и ФАП с квадратором [21-24,76,77], рассмотрены основные принципы вычисления характеристики фазового детектора для различных

классов сигналов, основанные на строгом математическом анализе высокочастотных колебаний.

1. Системы ФАП

1.1. Нелинейный анализ и синтез классических систем ФАП

Рассмотрим блок-схему классической схемы ФАП [22,78-80] на уровне электронной реализации, Рис. 1.1.

Рис. 1.1: Блок-схема классической системы ФАП на уровне электронной реализации

Схема состоит из следующих блоков [21,32,33,63,81-86]: перемножитель, фильтр низких частот (ФНЧ) и управляемый подстраиваемый генератор (ПГ). Сигналы с подстраиваемого и эталонного генераторов поступают на перемножитель (®) — нелинейный элемент, выход которого, проходя через фильтр низких частот, формирует управляющий сигнал подстраиваемого генератора. Работа ФАП заключается в автоматической подстройке фазы (частоты) сигнала управляемого генератора к фазе (частоте) сигнала эталонного генератора (ЭГ) [64,67,87-92].

Рассмотрим прохождение произведения высокочастотных колебаний через линейный фильтр (Рис. 1.2). Здесь и /2(#2(£)) — высо-

кочастотные колебания (сигналы эталонного и подстраиваемого генера-

ФНЧ

т

ї2(02(Ф

Рис. 1.2: Перемножитель и фильтр

торов соответственно), д{£) — выход фильтра. Функции /1,2(в) являются 27г-периодическими кусочно-дифференцируемыми. 01(£),(92(£) — монотонно возрастающие функции, производные (частоты) которых удовлетворя-

ют неравенствам

0р(г) > штіп » 1, р = 1, 2,

(1.1)

где шт1П — некоторое положительное число. Отметим, что в современных устройствах частоты генераторов могут достигать десятков гигагерц. Рассмотрим блок-схему, изображенную на Рис. 1.3.

в'(О

Рис. 1.3: Фазовый детектор и фильтр

Здесь ФД — нелинейный блок с выходом — #2(і)), а характе-

ристики и начальные данные фильтров на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 совпадают.

Определение. Схемы на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 называются асимптотически эквивалентными, если на достаточно большом фиксированном ин-

тервале времени [О, Т] выполнено

С(і)-д(і) = 0(6), 6 = 6(штіп), те [О,Т],

(1.2)

где 6(штЫ) -> О, при шт1п оо.

Рассмотрение асимптотически эквивалентных схем позволяет переходить от анализа моделей ФАП на уровне электронной реализации к анализу моделей ФАП в частотно-фазовом пространстве (Рис. 1.4)

эг

ФНЧ

пг

Е(0

эг т) ФД

<р(Є<(0-&(0)

ФНЧ

т

пг

0(1)

/ \ С(і) -

, , ,

10 о 1

9 10

Рис. 1.4: Асимптотическая эквивалентность моделей ФАП на уровне электронной реализации и в частотно-фазовом пространстве.

Эквивалентность схем на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 была показана А. Ви-терби [32] без строгого математического обоснования для синусоидальных сигналов. В работах Г.А. Леонова и С.М. Селеджи [43] приведены строгие условия высокочастотности и доказана асимптотическая эквивалентность схем на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 для сигналов вида зіп(0) и sign(sin(0)).

В данной работе была поставлена задача вычисления характеристики фазового детектора, так чтобы схемы на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 были асимптотически эквиваленты.

1.1.1. Основные предположения

р 00

fP(0) = ^ + £ cos(¿61) + Щ sin(¿0)) ,

z г=1

7Г

(1.3)

If

аР{ = — / /р(х) cos(z:r)Gte, тг J

-7Г 7Г

= I J fP(x) sm(ix)dx, i e N.

—7Г

Соотношение между входом и выходом фильтра имеет вид

t

ф(г) = aoW + J l{t - тШт)с1т, (1.4)

о

где ao(t) — экспоненциально затухающая функция, линейно зависящая от начального состояния фильтра в момент t = 0, 7(t) — импульсная переходная функция линейного фильтра. Далее будем предполагать, что 7(t) — дифференцируемая функция с ограниченной производной. Тогда, согласно (1.4) функция g{t) имеет вид

t

g(t) = a0(t) + J7(i - r)fl{e\T))f2{e\r))dT. (1.5)

0

Будем предполагать, что разность частот равномерно ограничена на рассматриваемом промежутке времени

\в\т)-в2{т)\ < Аш, Vr G [О,Т], (1.6)

где Acj — некоторая константа.

Разобьем промежуток [О, Т] на небольшие интервалы длиной 5

(1.7)

\в?(т)-вЩ\ < ДП,р=1,2, |*-т| < 6, Ут,* Є [0,Т],

(1.8)

где константа ДГ2 не зависит от £ и г. Из соотношений (1.8) и (1.7) следует, что на малых интервалах времени функция 0Р(£) является "почти констан-

«-»55

той .

Из ограниченности производной 7(2) следует существование константы С, такой что

1.1.2. Основной результат

Докажем теорема, показывающаю асимптотическую эквивалентность систем на Рис. 1.2 и Рис. 1.3.

Ь(т) - <у(і)\ < С6,

|£ - т| < 5, Ут,і Є [0,Т].

(1.9)

Теорема 1.

Если выполнены условия (1.1), (1.3), (1.6) - (1.9), то система на Рис. 1.2 асимптотически эквивалентна системе на Рис. 1.3, где

№ =

оо

(KV + Ь]ЬЪ cos (18) + (a}bf - Ь}а}) sin(W)J. Доказательство.

Пусть t Є [О, Т]. Рассмотрим разность g(t) - G(t) =

(1.10)

ъ

/7(i - ') [/Ч^))/2^)) - 4>{e\s) - «'(«))

(is.

(1.11)

Пусть m Є N U {0} такое, что t Є [m<5, (т +1)<5]. Согласно (1.7)

Т п

m < — + 1. д

(1.12)

Из условия непрерывности следует, что функция 7(£) ограничена на [0, Т], кроме того функции Р{0),/2(0) и (р(9) ограничены на К. Тогда верны

следующие оценки

(m+l)S

J 1(t-s)fl(61(s))f(92(s))ds = 0(6)., t

(m+l)5

J j(t - s)ip(e2(s) - 6l(s))ds = 0(5). t

Отсюда следует, что (1.11) можно представить в виде

g(t) - G(t) =

m р

£ J 1 (t-s) }\e\s))j\e\s))

(1.13)

fc=0

(1.14)

[fcc5,(A;+l)<5]

ds + 0(6).

Далее покажем, что на каждом из промежутков [кб, (к 4- 1)5] соответствующие интегралы равны 0(52), что с учетом (1.12) влечет утверждение теоремы.

Из условий (1.9) следует, что на каждом из промежутков [кб, (к + 1)5] справедливо соотношение

7(í - s) = 7 (t - кб) + 0(6), t> s, se [кб, (к + 1)0]. (1.15)

Причем данное соотношение выполнено равномерно по í и 0(5) здесь не зависит от к. Тогда, используя (1.14), (1.15) и ограниченностью функций f1(9)J2(e),(f(0), получим

g(t) - G(t) =

т „

= $>(« - ks) J [/Ч^))/2(02(*)Ь (U6) k=o [fcj,(jb+i)¿]

- v(e2(s) - e\s)) ds + 0(5).

Обозначим

0¡(s) = 6p(k5) + ép(k5)(s - k5), p = 1,2. (1.17)

Тогда, из условия (1.8) при s G [кб, (к + 1)5] имеем

П^ВД + ОД- (1.18)

Из (1.6) и ограниченности производной ip(9) на R имеем

J \v(e\s) - в^з)) - v(el(s) - 9l(s))\ds = 0(62). {119)

[kS,(k+l)S\

По условию f1(d),f2(6) — кусочно-дифференцируемые функции на R. Если f1(0),f2(9) к тому же непрерывны на Ш, то для f1($1(s))f2(e2(s)) вы-

полнено

/

[к6,(к+Щ

(1.20)

= J fieKs^fieKs^ds + OiS2).

[k5,(k+l)8]

Лемма 1 и лемма 2, доказанные ниже, дают ту же оценку для случая, когда у и f2(9) есть хотя бы одна точка разрыва. Тогда, используя (1.20) и (1.19), равенство (1.16) можно переписать следующим образом

g(t) - G(t) =

т „

Х> (t~kS) J ^(el(e))f(el(S))

к=0 [ks,(k+1;

-<p(0l(s)-OUs))

m

ds + 0(5) =

k=0

(1.21)

/ [(| + Е1а<со8 ИМ) +з1п И(«)))

[кб,(к+1)б\

/ 2 00 \ (| + Есо8 («))+$Им))

- Ц>(в1(8) - в\(8)) ¿8 + 0(6) .

Согласно Лемме 1 можно выбрать достаточно малые интервалы, вне которых функции /Р(0Р(£)) и /р(#^(£)) непрерывны. По признаку Жордана о равномерной сходимости рядов Фурье [93], на каждом из промежутков, который не содержит точек разрыва, ряды Фурье функций /1{9), 12(0) сходятся равномерно. Тогда существует такое число М = М(5) > 0, что вне достаточно малых окрестностей точек разрывов функций fp(вp(t)) и сУмма первых М членов ряда приближает исходную функцию с

точностью 0(5). Следовательно, используя равенство (1.21) и ограниченность Р(9) и Р{9) на К, имеем

т

д{і) - = - кб)

к=О

М

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Юлдашев, Ренат Владимирович

Выводы

В работе рассмотрены системы фазовой автоподстройки(ФАП): классическая система ФАП с фазовым детектором в виде перемножителя, система ФАП с квадратором, двухфазные системы ФАП и описан принцип их работы. Выведены адекватные нелинейные математические модели в пространстве времени/сигналов и модели в частотно-фазовом пространстве. Обоснован переход между моделями ФАП в пространстве времени/сигналов и модели в частотно-фазовом пространстве. При построении математических моделей была определена характеристика фазового детектора для различных классов сигналов. Полученные теоритические результаты позволили значительно уменьшить время моделирования рассматриваемых систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юлдашев, Ренат Владимирович, 2013 год

Литература

H. Bellescize. La réception synchrone. L'onde Électrique, 11:230-340, 1932.

K. Wendt and G. Fredentall. Automatic frequency and phase control of synchronization in TV receivers. Proc. IRE, 31(1): 1-15, 1943.

Ronald E. Best. Phase-Lock Loops: Design, Simulation and Application. McGraw-Hill, 2007.

Almudena Suarez, Elena Fernandez, Franco Ramirez, and Sergio Sancho. Stability and bifurcation analysis of self-oscillating quasi-periodic regimes. IEEE transactions on microwave theory and techniques, 60(3):528—541, 2012.

Orla Feely. Nonlinear dynamics of discrete-time circuits: A survey. International Journal of Circuit Theory and Applications, (35):515—531, 2007.

Orla Feely, Paul F. Curran, and Chuang Bi. Dynamics of chargepump phase-locked loops. International Journal of Circuit Theory and Applications, 2012.

I. B. Djordjevic, M. C. Stefanovic, S. S. Ilic, and G. T. Djordjevic. An example of a hybrid system: Coherent optical system with Costas loop

in receiver-system for transmission in baseband. J. Lightwave Technol., 16(2):177, Feb 1998.

I. B. Djordjevic and M. C. Stefanovic. Performance of optical heterodyne psk systems with Costas loop in multichannel environment for nonlinear second-order PLL model. J. Lightwave Technol., 17(12):2470, Dec 1999.

C. Fiocchi, F. Maloberti, and G. Torelli. A sigma-delta based PLL for non-sinusoidal waveforms. In ISCAS' 92, IEEE International Symposium on, volume 6, 1992.

M.V. Yuldashev. Computation of phase detector characteristics of multiplier phase detector for two impulse signals. In SPISOK-2011, pages 389-390, 2011.

Tetsuya Miyazaki, Shiro Ryu, Yoshinori Namihira, and Hiroharu Wakabayashi. Optical costas loop experiment using a novel optical 90 hybrid module and a semiconductor-laser-amplifier external phase adjuster. In Optical Fiber Communication, page WH6. Optical Society of America, 1991.

P. S. Cho. Optical phase-locked loop performance in homodyne detection using pulsed and cw lo. In Optical Amplifiers and Their Applications/Coherent Optical Technologies and Applications, page JWB24. Optical Society of America, 2006.

F. Harmuth Henning. Nonsinusoidal Waves for Radar and Radio Communication. Academic Pr, first edition, 1981.

[14] Yu Wang and Walter R. Leeb. A 90 optical fiber hybrid for optimal signal power utilization. Appl. Opt., 26(19) :4181-4184, Oct 1987.

[15] L. Wang and T. Emura. Servomechanism using traction drive. JSME International Journal Series C, 44(1):171—179, 2001.

[16] P. Fines and A.H. Aghvami. Fully digital m-ary psk and m-ary qam demodulators for land mobile satellite communications. IEEE Electronics and Communication Engineering Journal, 3(6):291—298, 1991.

[17] F.M. Gardner, L Erup, and R.A. Harris. Interpolation in digital modems - part II: Implementation and performance. IEEE Electronics and Communication Engineering Journal, 41(6):998-1008, 1993.

[18] L.W. Couch. Digital and Analog Communication Systems. Pearson/Prentice Hall, 7th edition, 2007.

[19] Wayne Tomasi. Electronic communications systems: fundamentals through advanced. Pearson/Prentice Hall, 4th edition, 2001.

[20] D. Abramovitch. Phase-locked loops: A control centric tutorial. In Proceedings of the American Control Conference, volume 1, pages 1-15, 2002.

[21] W.F. Egan. Frequency Synthesis by Phase Lock. 2000.

[22] E.B. Ronald. Phase-Lock Loops: Design, Simulation and Application. 2003.

[23] V.F. Kroupa. Phase Lock Loops and Frequency Synthesis. John Wiley & Sons, 2003.

B. Razavi. Phase-Locking in High-Performance Systems: From Devices to Architectures. 2003.

L. Wang and T. Emura. A high-precision positioning servo-controller using non-sinusoidal two-phase type PLL. In UK Mechatronics Forum International Conference, pages 103-108. Elsevier Science Ltd, 1998.

F.M. Gardner. Interpolation in digital modems - part I: Fundamentals. IEEE Electronics and Communication Engineering Journal, 41(3):501-507, 1993.

Paul Young. Electronic communication techniques. Pearson/Prentice Hall, 4th edition, 2004.

W. Margaris. Theory of the Non-Linear Analog Phase Locked Loop. Springer Verlag, New Jersey, 2004.

Keliu Shu and Edgar Sanchez-Sinencio. CMOS PLL synthesizers: analysis and design. Springer, 2005.

G. A. Leonov and N. V. Kuznetsov. Time-varying linearization and the Perron effects. International Journal of Bifurcation and Chaos, 17(4):1079-1107, 2007.

G. A. Leonov, V. O. Bragin, and N. V. Kuznetsov. Algorithm for constructing counterexamples to the Kalman problem. Doklady Mathematics, 82(l):540-542, 2010.

A. Viterbi. Principles of coherent communications. McGraw-Hill, New York, 1966.

[33] V.V. Shakhgil'dyan and A. A. Lyakhovkin. Sistemy fazovoi avtopodstroiki chastoty (Phase Locked Systems). Svyaz', Moscow [in Russian], 1972.

[34] W. Lindsey. Synchronization systems in communication and control. Prentice-Hall, New Jersey, 1972.

[35] W.C Lindsey and M.K. Simon. Telecommunication Systems Engineering. Prentice Hall, NJ, 1973.

[36] G. A. Leonov. Computation of phase detector characteristics in phase-locked loops for clock synchronization. Doklady Mathematics, 78(1) :643-645, 2008.

[37] G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, M. V. Yuldahsev, and R. V. Yuldashev. Analytical method for computation of phase-detector characteristic. IEEE Transactions on Circuits and Systems - II: Express Briefs, 59(10) :633-647, 2012.

[38] G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, M. V. Yuldahsev, and R. V. Yuldashev. Computation of phase detector characteristics in synchronization systems. Doklady Mathematics, 84(l):586-590, 2011.

[39] N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, M. V. Yuldashev, and R. V. Yuldashev. Nonlinear analysis of Costas loop circuit. ICINCO 2012 - Proceedings of the 9th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, 1:557-560, 2012.

[40] N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, M. V. Yuldashev, and R. V. Yuldashev. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and

PLL design. In ISS CS 2011 - International Symposium on Signals, Circuits and, Systems, Proceedings, pages 7-10, 2011.

N. V. Kuznetsov, P. Neittaanmäki, G. A. Leonov, S. M. Seledzhi, M. V. Yuldashev, and R. V. Yuldashev. High-frequency analysis of phase-locked loop and phase detector characteristic computation. ICINCO 2011 - Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, 1:272-278, 2011.

Г. А. Леонов. Фазовая синхронизация. Теория и приложения. Автоматика и телемеханика, (10):47—55, 2006.

Г. А. Леонов and С. М. Селеджи. Синтез блок-схемы и анализ устойчивости астатической системы фазовой автоподстройки для цифровых сигнальных процессоров. Автоматика и телемеханика, (3):11— 19, 2005.

G. A. Leonov and S. М. Seledzhi. Design of phase-locked loops for digital signal processors. International Journal of Innovative Computing, 1(4):1-11, 2005.

G. A. Leonov and S. M. Seledghi. Stability and bifurcations of phase-locked loops for digital signal processors. International journal of bifurcation and chaos, 15(4):1347—1360, 2005.

G. A. Leonov, V. Reitmann, and V. B. Smirnova. Nonlocal Methods for Pendulum-like Feedback Systems. Teubner Verlagsgesselschaft, StuttgartLeipzig, 1992.

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, P. Neittaanmaki, S. M. Seledzhi, M. V. Yuldashev, and R. V. Yuldashev. Nonlinear analysis of phase-locked loop. IFAC Proceedings Volumes (IFAC- Papers Online), 4(l):34-38, 2010.

G. A. Leonov, S. M. Seledzhi, N. V. Kuznetsov, and P. Neittaanmaki. Asymptotic analysis of phase control system for clocks in multiprocessor arrays. ICINCO 2010 - Proceedings of the 7th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, 3:99-102, 2010.

H. M. Крылов and H. H. Боголюбов. Новые методы нелинейной механики. Гостехтеориздат, M.-JI., 1934.

Y.A. Mitropolsky and N.N. Bogolubov. Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. Gordon and Breach, New York, 1961.

D. Abramovitch. Efficient and flexible simulation of phase locked loops, part I: simulator design. In American Control Conference, pages 46724677, Seattle, WA, 2008.

D. Abramovitch. Efficient and flexible simulation of phase locked loops, part II: post processing and a design example. In American Control Conference, pages 4678-4683, Seattle, WA, 2008.

N. A. Gubar'. Investigation of a piecewise linear dynamical system with three parameters. J. Appl. Math. Mech., 25(6): 1011-1023, 1961.

G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, and V. I. Vagaitsev. Localization of hidden Chua's attractors. Physics Letters A, 375(23):2230-2233, 2011.

Г. А. Леонов. Эффективные методы поиска периодических колеба-

ний в динамических системах. Прикладная математика и механика, 74(1):37—73, 2010.

G.A. Leonov and N.V. Kuznetsov. Hidden oscillations in dynamical systems, from hidden oscillation in 16th hilbert, aizerman and kalman problems to hidden chaotic attractor in chua circuits. In Chaos-Fractals Theories and Applications (IWCFTA), 2012 Fifth International Workshop on, pages XV-XVII, 2013.

G. V. Leonov G. A., Kuznetsov. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractors in Chua circuits. International Journal of Bifurcation and Chaos, 23(1), 2013. art. no. 1330002.

N.V. Leonov G.A., Kuznetsov. Hidden oscillations in dynamical systems: 16 Hilbert's problem, Aizerman's and Kalman's conjectures, hidden attractors in Chua's circuits. Journal of Mathematical Sciences, page [in print], 2013.

N. Kuznetsov, O. Kuznetsova, G. Leonov, and V. Vagaitsev. Informatics in Control, Automation and Robotics, Lecture Notes in Electrical Engineering, Volume 174, Part 4> chapter Analytical-numerical localization of hidden attractor in electrical Chua's circuit, pages 149-158. Springer, 2013.

G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, and V. I. Vagaitsev. Hidden attractor in smooth Chua systems. Physica D: Nonlinear Phenomena, 241 (18): 14821486, 2012.

V. 0. Bragin, V. I. Vagaitsev, N. V. Kuznetsov, and G. A. Leonov. Algorithms for finding hidden oscillations in nonlinear systems. The Aizerman and Kalman conjectures and Chua's circuits. Journal of Computer and Systems Sciences International, 50(4):511-543, 2011.

G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, 0. A. Kuznetsova, S. M. Seledzhi, and V. I. Vagaitsev. Hidden oscillations in dynamical systems. Transaction on Systems and Control, 6(2):54-67, 2011.

P. Lapsley, J. Bier, A. Shoham, and E. A. Lee. DSP Processor Fundamentals: Arhetecture and Features. IEE Press, New York, 1997.

S. W. Smith. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing, San Diego, California, 1999.

R. I. Simpson. Digital Signal Processing Using The Motorola DSP Family. Prentice Hall, New York, 1944.

S. Y. Kung. VLSI Array Processors. Prentice Hall, New-York, 1988.

G.A. Leonov. Computation of phase detector characteristics in phase-locked loops for clock synchronization. Doklady Mathematics, 78(1):643-645, 2008.

G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, M. V. Yuldashev, and R. V. Yuldashev. Differential equations of Costas loop. Doklady Mathematics, 86 (2): 723728, 2012.

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, P. Neittaanmàki, S.M. Seledzhi, M. V. Yuldashev, and R. V. Yuldashev. Simulation of phase-locked loops in

phase-frequency domain. In International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, pages 351-356 (art. no. 6459692), 2012.

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, and S. M. Seledzhi. Phase synchronization and control of clock generators. In 7th Seminar of Finnish-Russian University Cooperation in Telecommunications (FRUCT) Program, pages 76-82, 2010.

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, P. Neittaanmaki, S. M. Seledzhi, M. V. Yuldashev, and R. V. Yuldashev. Nonlinear analysis of phase-locked loop. In Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology, 2010.

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, S. M. Seledzhi, and P. Neittaanmaki. Analysis and design of computer architecture circuits with controllable delay line. ICINCO 2009 - 6th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, Proceedings, 3 SPSMC:221-224, 2009.

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, and S. M. Seledzhi. Nonlinear analysis of the Costas loop and phase-locked loop with squarer. In Proceedings of the IASTED International Conference on Signal and Image Processing, SIP 2009, pages 1-7, 2009.

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, and S. S. Seledzhi. Phase locked loops design and analysis. In ICINCO 2008 - 5th International Conference on

Informatics in Control, Automation and Robotics, Proceedings, volume SPSMC, pages 114-118, 2008.

[75] H. В. Кузнецов, Г. А. Леонов, С. M. Селеджи, М. В. Юлдашев, and Р. В. Юлдашев. Способ для определения рабочих параметров фазовой автоподстройки частоты генератора и устройство для его реализации, October 2011.

[76] Ali Bouaricha. Hybrid time and frequency solution for PLL sub-block simulation, November 209.

[77] D.W. Boensel. Tunable notch filter, November 1967.

[78] Vadim Manassewitsch. Frequency synthesizers: theory and design. Wiley, 2005.

[79] Scott Wainner and Robert Richmond. The book of overclocking: tweak your PC to unleash its power. William Pollock, 2003.

[80] William Buchanan and Austin Wilson. Advanced PC architecture. Addison-Wesley, 2001.

[81] A. Suarez and R. Quere. Stability Analysis of Nonlinear Microwave Circuits. Artech House, New Jersey, 2003.

[82] Steven A. Tretter. Communication System Design Using DSP Algorithms with Laboratory Experiments for the TMS320C6713TM DSK. Springer, 2007.

[83] F.M. Gardner. Phase-lock techniques. John Wiley, New York, 1966.

T. Emura. A study of a servomechanism for nc machines using 90 degrees phase difference method. Prog. Rep. of JSPE, pages 419-421, 1982.

Jacek Kudrewicz and Stefan Wasowicz. Equations of Phase-Locked Loops: Dynamics on the Circle, Torus and Cylinder, volume 59 of A. World Scientific, 2007.

Dean Benarjee. PLL Perforfmance, Simulation, and Design. Dog Ear Publishing, 4th edition, 2006.

A. Demir, A. Mehrotra, and J. Roychowdhury. Phase noise in oscillators: a unifying theory and numerical methods for characterization. IEEE Transactions on Circuits and Systems I, 47:655-674, 2000.

T. Banerjee and B.C. Sarkar. Chaos and bifurcation in a third-order digital phase-locked loop. International Journal of Electronics and Communications, (62):86-91, 2008.

X. Lai, Y. Wan, and J. Roychowdhury. Fast pll simulation using nonlinear vco macromodels for accurate prediction of jitter and cycle-slipping due to loop non-idealities and supply noise. Proceedings of the 2005 Asia and South Pacific Design Automation Conference, pages 459-464, 2005.

Ronald D. Stephens. Phase-Locked Loops for Wireless Communications: Digital, Analog and Optical Implementations. Springer, 2001.

T. Xanthopoulos, D.W. Bailey, A.K. Gangwar, M.K. Gowan, A.K. Jain, and B.K. Prewitt. The design and analysis of the clock distribution network for a 1.2 GHz Alpha microprocessor. In Solid-State Circuits

Conference, 2001. Digest of Technical Papers. ISSCC. 2001 IEEE International, pages 402-403, 2001.

N. Bindal, T. Kelly, N. Velastegui, and K.L. Wong. Scalable sub-lOps skew global clock distribution for a 90nm multi-GHz IA microprocessor. In Solid-State Circuits Conference, 2003. Digest of Technical Papers. ISSCC. 2003 IEEE International, volume 1, pages 346-498, 2003.

Г. M. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том 3. ФИЗМАТГИЗ, 1962.

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов, М. В. Юлдашев, and Р. В. Юлда-шев. Нелинейные модели схемы Костаса. Доклады Академии Наук, 446(2):149-154, 2012.

N. V. Kuznetsov, О. A. Kuznetsova, G. A. Leonov, and V. I. Vagaytsev. Hidden attractor in Chua's circuits. ICINCO 2011 - Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, 1:279-283, 2011.

S.R. Bullock. Transceiver and System Design for Digital Communications. SciTech Publishing, second edition, 2000.

John Erik Hershey, Mark Lewis Grabb, and II Kenneth Brakeley Welles. Use of wideband DTV overlay signals for brevity signaling and public safety, December 2002.

Dhanvant H. Goradia, Fred W. Phillips, and Gregory Schluge. Spread spectrum squaring loop with invalid phase measurement rejection, patent, 1990.

[99] E.D. Kaplan and C.J. Hegarty. Understanding GPS: Principles and Applications. Artech House, 2006.

[100] G. A. Leonov. Phase-locked loops, theory and application. Automation and Remote Control, 10:47-55, 2006.

[101] Jacek Kudrewicz and Stefan Wasowicz. Equations of phase-locked loop. Dynamics on circle, torus and cylinder, volume 59 of A. World Scientific, 2007.

[102] N.M. Krylov and N.N. Bogolubov. Introduction to Nonlinear Mechanics. Princeton University Press, Princeton, 1947.