О некоторых классах расширений эрмитовых операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Роткевич, Эмилия

• Роткевич, Эмилия
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Роткевич, Эмилия

Введение.

Глава I» Правильные расширения эрмитовых операторов.

§ I. Правильные расширения и их свойства.

§ 2. Аналог формул фон Неймана.

§ 3. Спектр и его классификация.

Глава П. Правильные расширения полуограниченных эрмито вых операторов с сохранением грани.

§ I. Самосопряженные расширения полуограниченных симметрических операторов с сохранением^ грани.

§ 2. Самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани.

§ 3. Правильные расширения полуограниченных эрмитовых операторов "с сохранением грани".

§ 4. Аккретивные расширения неотрицательных эрмитовых операторов.

Глава Ш. Расширения с сохранением нормы и аккретивные расширения эрмитовых операторов.

§ I. Правильные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы.

§ 2. Нормальные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы.

§ 3. Нормальные аккретивные расширения эрмитовых операторов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых классах расширений эрмитовых операторов»

Настоящая работа посвящена изучению аккретивных расширений неотрицательных замкнутых эрмитовых (вообще говоря, неплотно заданных) операторов, а также изучению нормальных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы.

Известное предложение Дж.фон Неймана о самосопряженных расширениях полуограниченных симметрических (плотно заданных) операторов с сохранением грани послужило толчком к большой серии работ в этом направлении. В частности, как известно, предложение Неймана различными методами (представляющими и самостоятельный интерес) было обосновано М.Стоуном [29] , К.Фридрих-сом [31] , Л.Фрейденталем [30] , М.Г.Крейном [8] , У.Килпи [32] и Р.Филлипсом [33] . Таким образом, рассматриваемая проблема была решена полностью и в положительном смысле. А именно, бьшо показано, что для произвольного полуограниченного симметрического оператора Н , который действует в гильбертовом пространстве , в этом же пространстве существует самосопряженное расширение с той же гранью, что и у оператора Н

В дальнейшем указанная задача рассматривалась при некоторых дополнительных ограничениях. Так, например, в работе 14] М.Л.Горбочук и В.А.Михайлец получили описание всех полуограниченных снизу самосопряженных расширений симметрического оператора L0 , расширение по Фридрихсу которого имеет дискретный спектр.

В случае же полуограниченных неплотно заданных эрмитовых операторов, как показали Т.Андо и К.Нишио Г2Т] , аналогичная задача уже не всегда разрешима. А именно, справедлива следующая

ТЕОРЕМА (Т.Андо, К.Нишио). Замкнутый положительный эрмитов оператор Н допускает самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда он положительно замкнут (positively closable ).

При этом оператор Н называется положительно замкнутым,если из того, что

Несколько позже, независимо и другими методами вопрос о самосопряженных расширениях полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением нормы изучался в ряде работ А.В.Штрауса [23-26]. В частности, как показано в работе [26] , имеет место следую -щая

ТЕОРЕМА. (А.В.Штраус). Для того, чтобы эрмитов оператор А обладал ограниченным снизу самосопряженным рас -ширением с сохранением нижней грани, необходимо и достаточно, чтобы операторнозначная функция Л—* АЛ в промежутке ]-оо } m [ мажорировалась полуограниченным снизу самосопряженным оператором. В этом случае А^, - наименьший элемент в множестве всех таких расширений.

При этом в предыдущей теореме m - нижняя грань оператора А , а оператор Ад (Л< т) определяется на ^D(A^) = СЕХА)+ Tlx ( - дефектное пространство оператора А ) равенством

AA(f + g) = Aj +Лд д е Щл ) . (I)

Одна из последних работ в этом направлении принадлежит Код-дингтону и Сноо [28] . В этой работе результаты М.Г.Крейна о существовании двух "крайних" положительных самосопряженных расширений у положительного плотно заданного симметрического .операследует, что h=0 . тора обобщаются не только на случай эрмитовых (неплотно заданных) операторов, но также и на случай положительных линейных отношений. При этом указанные "крайние" расширения необязательно являются операторами (могут быть и линейными отношениями).

В 1959 году Р. Фи л лип с [33] несколько усилил предложение Дж. Неймана и показал, что всякий плотно заданный аккретивный one -ратор Т ( 51е(Тх,х)^0 ) допускает максимальное аккретив -ное расширение. Такая постановка вопроса оказалась продуктивной как в теоретическом плане (изучение различных классов аккретив-ных расширений неотрицательных эрмитовых операторов), так и в практическом (в связи с исследованиями, например, пассивных систем [3] , [17] ). В связи с этим Э.Р.Цекановский [20] изучал вопрос о существовании максимальных несамосопряженных расшире -ний положительного плотно заданного оператора А . Полученные при этом критерии оказались тесно связанными с поведением "жесткого" и "мягкого" расширений (в терминологии М.Г.Крейна).

В процессе обоснования предложения Дж.Неймана М.Г.Крейн [8] вопрос о существовании самосопряженных расширений полуограниченного симметрического оператора Н с сохранением грани свел к вопросу о существовании самосопряженных расширений эрмитова сжатия S с сохранением нормы. В связи с этим возникла самостоятельная задача: изучение самосопряженных и несамосопряженных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы. Так, например, Э.Р.Цекановский [20] рассматривал вопрос о существовании несамосопряженных сжатий, являющихся расширениями эрмитовых сжатий. Необходимость изучения таких расширений объясняется их тесной связью с аккретивными расширениями неотрицательных эрмитовых операторов.

Упоминавшиеся ранее различные расширения эрмитовых операторов являются правильными расширениями в смысле работы А.В.Кужеля [10]. Отметим, что, как показали А.В.Кужель и Л.И.Г^денко [15, 16], для правильных расширений эрмитовых операторов имеет место аналог формул Дж.Неймана, который существенно используется в дальнейшем.

Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению правильных расширений эрмитовых шераторов: выяснению условий существования правильных аккретивных (и, в частности, неотрицательных самосопряженных) расширений неотрицательных эрмитовых операторов; описанию широкого класса неотрицательных эрмитовых операторов, для которых аккретивные расширения с плотной областью определения (в том числе и неотрицательные самосопряженные расширения) не существуют; обобщению результатов М.Г.Крейна о самосопряженных расширениях эрмитовых сжатий с сохранением нормы на случай правильных нормальных расширений эрмитовых сжатий; описанию как аккретивных расширений, так и нормальных расширений с сохранением нормы соответствующих классов эрмитовых операторов; выяснению условий, при которых не существует несамосопряженных нормальных расширений (с сохранением нормы) эрмитовых сжатий, а также несамосопряженных нормальных аккретивных расширений неотрицательных эрмитовых операторов.

Остановимся подробнее на содержании работы.

В главе I, которая в основном носит вспомогательный харак -тер, рассматриваются общие свойства правильных расширений эрмитовых операторов. При этом в § I вводится понятие правильного расширения эрмитова оператора. А именно, в соответствии с работой [Ю] оператор Т называется правильным расширением эрмитова оператора А , если А с Т0 , где това часть оператора Т , а

V {fe©mi(Tf,gWf,Tg) (Vge^fT))} область эрмитовости оператора Т . Множество всех правильных расширений эрмитова оператора А в дальнейшем обозначаются через .

Здесь же вводится понятие правильного расширения изометрического оператора и устанавливаются некоторые предложения, кото -рые используются в дальнейшем.

В § 2 формулируется и обосновывается используемая в дальнейшем следующая

ТЕОРЕМА 2.1. (А.В.Кужель, Л.И.^уденко). Пусть В ^ 9(A) , Л €= Gp(B) и ЗтЛ + 0 . Тогда произвольный вектор f из Ш) представим в виде f = <р+ дЛ+ , (2) где ср е^СА) , дд^-Э(Ф) , а ф - некоторый линейный оператор, действующий из Т1Л в 71^ и такой, что ^ &р(Ф) • При этом оператор В действует по формуле

В(сР + дЛ+Фдд)= Аср +Л9л+Лфдд , (3) и, кроме того, многообразия линейно независимы.

В § 3 приведена классификация спектра линейных операторов, рассмотрены некоторые предложения, связанные с введенной классификацией, а также устанавливаются общие свойства спектра правильных расширений эрмитовых операторов (относящиеся, в основ -ном, к тому случаю, когда заданный эрмитов оператор А имеет конечные дефектные числа).

Во второй главе рассматриваются правильные (в частности, самосопряженные) расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани. Так в первых двух параграфах рассматриваются самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых (как плотно заданных, так и неплотно заданных) операторов.

Пусть ТТ (И) - поле регулярности эрмитова оператора Н , ий- ортопроектор в на 5)(Н) . Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть Н - замкнутый полуограниченный эрмитов оператор и с - его нижняя грань. Если при этом с «= ТТ(Н) и с ё6р(ШЛ , то оператор Н допускает полуограниченное самосопряженное расширение с сохранением грани.

Здесь же (§ 2) рассмотрены частные случаи, когда самосопряженное расширение с сохранением грани заведомо существует или заведомо не существует. Так, например, если = ^ и Н - замкнутый линейный неотрицательный эрмитов оператор, действующий из \ в Э? , причем то самосопряженные неотрицательные расширения оператора Н не существуют. В то же время для любого £ > 0 существует полуограниченное снизу самосопряженное расширение А оператора Н с нижней гранью С = - £

В § 3 рассматриваются правильные расширения А полуограниченного снизу эрмитова оператора И (с нижней гранью С ), удовлетворяющие условию fte(Af,f) s c(f,f) (Vfe<DM). (4)

В частности, если оператор А самосопряженный, то неравенство (4) перепишется в виде (Af}f) и , таким образом, мы приходим к задаче о самосопряженных расширениях с сохранением грани.

Если же Н - неотрицательный эрмитов оператор, то неравенство (4) перепишется в виде StcCAfj-p ^ О и, следовательно, в этом случае приходим к задаче об аккретивных расширениях неотрицательных эрмитовых операторов.

Пусть GL - ортопроектор в ^ на 5ХЮ и Ле£р((1Н) . В таком случае линеалы и Т1Л линейно независимы лемма 2.1). Рассмотрим оператор, определяемый на 55(H) + равенством

A(q? + g)= Hcp+Kg (ср ефОП, gе Щл) } (5) где

К. : % - некоторый ограниченный оператор.

Оказывается, что оператор А является правильным расширением оператора Н тогда и только тогда, когда оператор К представим в виде

Kg = Лд + Sg ( g£ Лл) ) (6) где оператор

Пусть m - нижняя грань оператора Н . Тогда при С ^ m и фиксированном Л оператор А , определяемый равенствами (5) и (6), удовлетворяет неравенству (4), если п ^ (т~ос)(а.-с)- fbZ . ~

IISII ^ -FnT^c-L (а-йеЛ^-ЭтА) .

Если же в (6) оператор S фиксированный, то оператор А удовлетворяет неравенству (4) для всех Л из круга радиуса

R ~ 1 I ГПгС ) ~ (m-c)llSll с центром в точке (, 0 )

- 10

В последнем параграфе рассматриваются аккретивные расширения неотрицательных эрмитовых операторов. G использованием теоремы 2.1 (гл. I) устанавливается следующая

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть Н>0 . Оператор А из 9(H) является аккретивным тогда и только тогда, когда:

1) оператор ~Ф - диссипативный;

2) для любого ф и любого

1«1-ф)д.1)ср)|г^.2(Н1р>«р)Ы-Фд1,д1) .

В частности, если Н - неотрицательный эрмитов оператор, действующий в гильбертовом пространстве где , то оператор Ае fp(H) является аккретивным тогда и только тогда, когда оператор ~ Ф - диссипативный.

Итак, в рассматриваемом случае аккретивные (и, в частности, самосопряженные) расширения оператора Н существуют.

Если же ^ = © ^ ^ иН - замкнутый линейный оператор, действующий из ^ в » причем ©(H) — ^ ,

Н) + {0} ,то произвольный аккретивный оператор А из не может быть плотно определенным

Ш) с Цент.

В частности, мы снова приходим к утверждению, о котором уже шла речь: в рассматриваемом случае не существуют неотрицательные самосопряженные расширения оператора Н

В первом параграфе Ш главы рассматриваются правильные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы и связь таких расширений с аккретивными расширениями неотрицательных эрмитовых операторов. Так справедливы следующие утверждения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3. Пусть аккретивный оператор А является правильным расширением неотрицательного оператора Н . Тогда оператор Т , определяемый равенством

Т= (I-AMI+A)"1 (^TWI+AVSXA^ (7) является правильным расширением с сохранением нормы эрмитова оператора S , который определяется равенством s-a-ш+нг (a)(5)»(1+нхэ(нп. (в)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Пусть Т - правильное расширение оператора S (IISN1) с сохранением нормы и . Тогда оператор А , определяемый равенством

-А

А-П-ТХ1 + ТГ (<0(А)-(1+"ПФ(Т)) О) является правильным аккретивным расширением оператора Н = (I-S)(I+Sfd.

ТЕОРЕМА 1.7. Оператор Т является правильным расширением с сохранением нормы эрмитова сжатия S тогда и только тогда, когда оператор Ф аккретивный и для любых ср ^ ©(S) и gLe Hi ka+$)gL)cp)U Olcpll2-IScpI2) Же(Фд^ g-L).

При этом в теореме 1.7 оператор Ф определяется теоремой 2.1 (гл. I), а - дефектное подпространство оператора S .

Здесь же теорема 1.7 применяется для описания расширений в некоторых частных случаях.

В § 2 рассматриваются нормальные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы. Множество всех правильных нормальных расти 12 рений Т эрмитова сжатия 5 и таких, что Т= R + iK, R = К= JmT ) , ИТ II = 1151! , обозначим через В частности, - совокупность всех самосопряженных расширений оператора S с сохранением нормы (именно такие расширения и изучались М.Г.Крейном). Оказывается, что при условии s) v ws^ = ъ несамосопряженных правильных нормальных расширений оператора 5 не существует (т.е. fP(S j Ю = 0 - теорема 2,1). Однако при переходе от аккретивных расширений к расширениям с сохранением нормы равенство ©(S'JVJR.CS') — не всегда выполняется и, следовательно, возникает необходимость исследовать расширения оператора S в общем случае.

Пусть Т'= R'+ IK, - некоторый фиксированный оператор

12- 2. из Так как

R + К « I , то можем рассмотреть оператор В = (1~ К ) ,а также операторы

B+=B+R' , В= В- R' , (Ю) которые являются неотрицательными. Обозначим через 0.1 и Q^ ортопроекторы соответственно на подпространства

SeffiEOXS)), <5 © (1ВГ 3XS)) , и рассмотрим операторы с помощью которых определим самосопряженные операторы

R4 = R.'-C4 . R2= R'+C;, . (И)

Имеют место следующие предложения.

- 13

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть нормальный оператор T-H + UC является правильным расширением эрмитова сжатия 5 с сохранением нормы. Тогда

Rd ^ R * Ra . (12)

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть Т- R+lK. нормальный оператор и такой, что оператор R удовлетворяет условию (12). Тогда

Те S>(S-,K,).

Оказывается, что операторы Rd и R2 , определяемые равенствами (II), не зависят от выбора оператора Т'= R'+lK в 94 S; К) (следствие 2.7), причем операторы Т1= R^lK, и Тг= R2+lK, также являются правильными нормальными расшире -ниями оператора S с сохранением нормы (и, таким образом,, lTd Jel с 9(5] К) - теорема 2.6).

Пусть T=R+iFCe5>(S*7K) ,а оператор В+ определяется аналогично предыдущему:

В+= B + R (В = (1-К2)4).

Рассмотрим В+ - скалярное произведение и В+ - норму, определяемые равенствами

На примере показано, что определенное так В+ -скалярное произведение может оказаться вырожденным. В связи с этим выясняются условия, при которых

Diet В+ = Ю S .

ТЕОРЕМА 2.8. Пусть i ё 6р(Т*Т) . Тогда ХесВ+={0} .

ТЕОРЕМА 2.9. Пусть Т= R.+ 1К. е 54S К) и -leffp(R) . Тогда Xez В+* 10}

Следующая теорема является обобщением известного предложения М.Г.Крейна на случай правильных расширений эрмитовых сжатий.

ТЕОРЕМА 2.11. Пусть Т = R + 1К ^ JPCSjM и

В+ = {0} . Тогда для того, чтобы оператор R совпадал с нижней гранью Rd в (12), необходимо и достаточно, чтобы линеал 5) был всюду плотным в по В+ -норме.

В последнем параграфе рассматриваются нормальные аккретивные расширения эрмитовых операторов. При этом неограниченный оператор А называется нормальным, если в некоторой точке д е (1\) резольвента этого оператора является нормальным оператором.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть Н - замкнутый неотрицательный симметрический (плотно заданный) оператор. Тогда произвольное макси -мальное правильное аккретивное расширение А оператора Н является самосопряженным оператором.

В случае же неплотно заданных неотрицательных эрмитовых операторов могут существовать и несамосопряженные аккретивные расширения. С другой стороны, возможны случаи, когда плотно заданные аккретивные расширения эрмитова оператора Н вообще не существуют (о чем уже шла речь).

Пусть оператор S определяется равенством (8). Обозначим через ff^ (S) множество нормальных расширений Т эрмитова сжатия S с сохранением нормы. Предположим, что нормальные операторы J = R4+"lK и Тм = R£+lK (операторы R4 и R2 определяются равенствами (II)) принадлежат множеству Тогда операторы

Ам= (I-у«+Т/\ Ам= (I-TJd+TJ1, являются нормальными аккретивными расширениями оператора Н . Следуя соответствующей терминологии в случае самосопряженных расширений симметрического оператора Н операторы А^ и Ам будем называть соответственно жестким и мягким расширением оператора Н

Определим на ©(H) , где п - неотрицательный эрмитов оператор, Н - скалярное произведение и Н -норму равенствами: f,g)H- (f,g) + (Hf,g) ( If,9} с ®(Н)) , llfll„ = ШЖ ■

Линеал с метрикой, порождаемой И -нормой, является предгильбертовым пространством. Пополняя (в случае необходимости) обычным способом это пространство и повторяя известные построения Фридрихса, получим гильбертово пространство ^о » которое будем обозначать через и такое, что <D(H)c ■$„<= ^с $ (V®[H]), где

- замыкание линеала в исходной метрике. При этом линеал ©(И) всюду плотен в (как в Н -метрике, так и в исходной метрике) и замыкание линеала 2)(Н) в Н -метрике совпадает с .

Пусть оператор S связан с Н равенством (8) и оператор Тогда оператор А , определяемый равенством (9), является аккретивным расширением оператора Н .

Рассмотрим операторы В+ и В , определяемые равенствами (10). Предполагаем, что Jtet- В+ = {0} (кроме рассмот -реиных ранее условий устанавливаются еще следующие достаточные условия для выполнения указанного равенства: I) линеалы 71(H) линейно независимы; 2) оператор п - симметрический) .

Рассмотрим (неотрицательный симметрический) оператор

Х = В В4- • Предполагаем, кроме того, что IIК 11^ 1 . Тогz z да оператор В= (I- К. ) непрерывно обратим и, следовательно, можем рассмотреть оператор В (I +Х) , который является неотрицательным симметрическим оператором. По аналогии с В+ -метрикой и Н -метрикой рассматриваются X -скалярное произведение и X-норма: f,g)x=(B*1(I + X)f)q) Uf,gl

Шх= ШЖ ■

Определенное так X -скалярное произведение является невырожденным. При этом если рассматриваются самосопряженные расширения операторов Н и S , то К= 0 , В-1 , Т= R, и, следовательно , Х= (1-Т)(1+Т) = А . Но тогда f,g)x = (f,g> + (Af,g) = (f,g)A , т.е. мы приходим к А -метрике, которая в свое время рассматривалась М.Г.Крейном.

Пусть, как и прежде, Н - замкнутый неотрицательный оператор. Обозначим через множество всех нормальных аккретивных расширений А оператора Н и таких, что оператор

- 17

Т , определяемый равенством (7), представим в виде Т = R+lK, .В частности, (HjO) - множество всех самосопряженных расширений оператора Н . Пусть тм= fviK , A^-d-vd+v"1,

X>t= (B-Ri)(B + RJ1 (В=(1-Кг)М.

Следующая теорема также является обобщением известного предложения М.Г.Крейна на случай нормальных аккретивных расширений неотрицательных эрмитовых операторов.

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть fPd'(H;K)+ ф . Тогда в множестве существует единственный оператор /Л , для которого Этим оператором является оператор А^ (жесткое расширение оператора Н ) и для него ф (Х^ ) =

-<ЭШ] .

В данной работе внутри глав принята сквозная нумерация теорем, предложений, лемм, примеров и формул с помощью пары чисел, в которой первое число указывает номер параграфа, а второе ~ номер соответствующего утвервдения в этом параграфе. При ссылках на утверждения предыдущих глав номер той главы, в которой находится соответствующее утверждение, указывается в скобках.

Настоящая работа выполнена в Симферопольском государственном университете имени М.В.Фрунзе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12-14, 18, 19] и докладывались на семинарах по функциональному анализу Симферопольского госуниверситета (руководитель -проф. А.В.Кужель) и Ульяновского госпединститута (руководитель -проф. А.В.Штраус).

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЕ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Характеристика спектра правильных расширений эрмитовых операторов (гл. I).

2. Самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани (гл. П).

3. Правильные расширения А ограниченного снизу оператора Н (с нижней гранью с ), удовлетворяющие условию

5fe(Af,f) > c(f,f) (Vf«<D(A"0. (гл. П)

4. Критерий существования правильных аккретивных расширений неотрицательных эрмитовых операторов (гл. П).

5. Критерий существования правильных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы (гл. Ш).

6. Описание нормальных расширений эрмитовых сжатий с сохране -нием нормы (гл. Ш).

7. Свойства нормальных аккретивных расширений неотрицательных эрмитовых операторов (гл. Ш).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.В.Кужелю за постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Роткевич, Эмилия, 1984 год

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1966. - 543 с.

2. Бирман М.Ш. К теории самосопряженных расширений положительно определенных операторов. Мат.сб., 1956,т.38(80):4, с. 431-450.

3. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. - 318 с.

4. Горбачук М.Л., Михайлец В.А. Полуограниченные самосопряженные расширения симметрических операторов. Докл. АН СССР, 1976, 226, № 4, с. 765-767.

5. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: И.Л., 1954. - 488 с.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир, 1978. - 395 с.

7. Колманович В.Ю. Некоторые свойства самосопряженных расширений эрмитовых операторов. Рукопись деп. в ВИНИТИ3192-83. Деп. от 9.06.83. 9 с.

8. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. I. Мат.сб., 1947, т. 20(63), с. 431-495.

9. Крейн М.Г., Овчаренко М.Е. О GL-функциях и SC -резольвен -тах неплотно заданных эрмитовых сжатий. Сиб.мат.ж., 1977, ХУШ, № 5, с. I032-1056.

10. Кужель А.В. Правильные расширения эрмитовых операторов. -Докл. АН GCGP, 1980, 251, № I, с. 30-33.

11. Кужель А.В. Классификация спектра в алгебрах. Докл. АН УССР, 1983, сер. А, № 10, с. 11-14.

12. Кужель А.В., Роткевич Э.С. Аккретивные расширения неотрицательных эрмитовых операторов. Функц.анализ. Линейные операторы. Ульяновск, 1983, с. 94-99.

13. Кужель А#В., Роткевич 3.G. Нормальные расширения эрмитовых операторов с сохранением нормы. Функц.анализ. Линейные операторы. Ульяновск, 1983, с. 100-107.

14. Кужель А.В., Роткевич Э. Общие свойства спектра правильных расширений эрмитовых операторов. Динам.системы, 1984, вып. 3, с. 90-94.

15. Кужель А.В., ГУденко Л.И. Описание правильных расширений эрмитовых операторов. Функц.анализ и его прилож., 1982, 16, № I, с. 74-75.

16. Кужель А.В., Руденко Л,И. Правильные расширения эрмитовыхи изометрических операторов. Укр.матем.ж., 1981, 33, № 6, с. 810-814.

17. Лившиц M.G. Операторы, колебания, волны (открытые системы). М.: Наука, 1966. - 298 с.

18. Роткевич Э. Самосопряженные и правильные расширения полуограниченных симметрических операторов с сохранением нижней грани. Discussiones Math., 1983, t. VI, 167-172.

19. Роткевич Э.С. Условие существования правильных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы. Функц.анализ. Спектральная теория. Ульяновск, 1984, с.89-94.

20. Цекановский Э.Р, Несамосопряженные аккретивные расширения положительных операторов и теоремы Фридрихса-Крейна-Филлип-са. Функц.анализ, 1980, т.14, вып.2, с.87-88.

21. Цекановский Э.Р. Обобщенные расширения несимметрических операторов. -Матем.сб., 1965, т.68(110) :4, с.527-548.

22. Арлинский Ю.М., Цекановский Э.Р. Обобщенные резольвентыквазисамосопряженных сжимающих расширений эрмитова сжатия.-Укр.матем.ж., 1983, т.35, № 5, с.601«603.

23. Штраус А.В. О расширениях полуограниченных операторов. « Докл. АН GGGP, 1973 , 211, № 3, с. 543-546.

24. Штраус А.В. Об одном семействе расширений полуограниченного оператора. Функц.анализ. Ульяновск, 1976, вып.6, с.155-«164.

25. Штраус А.В. О расширениях ограниченного симметрического оператора с сохранением грани. Функц.анализ. Ульяновск, 1976, вып.6, с. 165-173.

26. Штраус А.В. К теории расширений полуограниченного оператора. Функц.анализ. Ульяновск, 1977, вш. 9, с. 167-173.

27. Ando 2)*» Nishio К. Positive self ad joint extensions of positive symmetric operators. lohoku Math.I., 1970» 22,m 1, p. 65-75.

28. Coddington E.A., Snoo H.V. Positive selfadjoint extensions of positive symmetrie subspaces. Math. I., 1978, 159» Ш 3» p. 203-214.

29. Stone M. Linear Transformations in Hilbert Spaces. -Math. Soc. Coll. Piibl., 1932, V. 15.

30. Freundental H. tfber die Fridrichsche Fortsetzung halbbe-schrarikter Operatoren. Akad. van Wetenschappen te Amsterdam, 1936, XXXIX, N2 7*

31. Fridrichs K. Spektraltheorie nalbbeschraankter Operatoren und Anwendung auf die Spektralz erlegung von Differential-operatoren.- Math. Ann., 1934, V., Ю9, p. 465-48?.

32. Дапфорд Н., Шварц Дж.Г. Линейные операторы. Спектральная теория, т.2. М.: Мир, 1966; - 1063 с.