Оптимальное граничное управление теплопереносом. Гиперболическая модель тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Чурашева, Надежда Георгиевна

• Чурашева, Надежда Георгиевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чурашева, Надежда Георгиевна

Оглавление

Введение

Глава I. Предварительные сведения

§1.1. Схема обобщенного метода Лагранжа

§ 1.2. Матрицы Римана первого и второго рода. Случай постоянных коэффициентов

§1.3. Гиперболическая модель теплопроводности. Случай анизотропного материала

§ 1.4. Матрицы Римана одномерной гиперболической системы (1.15)

Глава II. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале

§2.1. Постановка задачи. Схема построения решения

§ 2.2. Задача граничного управления

§ 2.3. Выбор оптимального граничного управления

Глава III. Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном и трехмерном материале

§ 3.1. Матрицы Римана семейства систем Ьюи = 0. Случай двумерного анизотропного материла

§ 3.2. Постановка двумерной задачи управления. Схема решения. Случай анизотропного материла

§ 3 .3. Построение класса Ж допустимых граничных управлений

§ 3.4. Выбор оптимального граничного управления

§ 3.5. Случай трехмерного материала

Заключение

Литература

87

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное граничное управление теплопереносом. Гиперболическая модель»

Введение

В последние десятилетия интенсивно развивается возникшая на стыке теории дифференциальных уравнений и теории управления проблематика, связанная с разработкой и анализом математических моделей управления волновыми процессами, описываемыми краевыми задачами для гиперболических уравнений.

Первые результаты такого типа для частных ситуаций были получены в 60-е и 70-е годы прошлого века в работах А.Г. Бутковского и ряда других авторов (см. книги [6] и [7] и ссылки в них).

Систематическое построение теории управления волновыми процессами на базе теории гиперболических уравнений началась в работах Ж.-Л. Лионса [36, 37, 81-83]. В частности, в работах [81-83] построен метод решения задачи точной управляемости для гиперболического уравнения второго порядка сведением к задаче точной наблюдаемости для сопряженного уравнения, получивший название НЦМ-метод, получивший свое развитие в исследованиях многих ученых, в том числе у В. Коморника и О.Ю. Эма-нуилова [76-80]. В работах [76, 78] предложен подход к решению задачи точный управляемости на основе теорем о распространении особенностей; в [76, 78] для решения этой задачи использован аппарат априорных оценок карлемановского типа. В работе Д.Татару [84] этот аппарат применен для решения задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением.

Важный вклад в эту проблематику внесла вышедшая в 1995 году работа Ф.П. Васильева [9]. Предложенная в этой работе концепция теории двойственности для линейных систем управления позволила уточнить схему НиМ-метода, представить в виде, позволяющем применять этот ме-

тод для решения широкого класса задач управления системами с распределенными параметрами.

В последние годы продолжаются интенсивные исследования по математическим моделям граничного управления волновыми процессами.

В работах М.М. Потапова [46-51] и A.A. Дряженкова [52] построен приближенный метод решения взаимодвойственных задач управления и наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами с граничными управлениями различных типов.

Большой цикл В.А. Ильина, Е.И. Моисеева и их учеников посвящен граничному управлению колебаниями струн и стержней [4, 21-30, 38, 4045]. В каждом случае рассматривается задача поиска режима на концах, обеспечивающего переход за заданное время от начального вектора

(и, u'j) к заданному; строится зависящее от функциональных параметров

семейство граничных уравнений; из построенных управлений выбирается методом Лагранжа оптимальное - реализующее минимум функционала, имеющего смысл граничной энергии систем или Lp-нормы управления. Во всех случаях построено явное представление оптимального граничного управления. К этому циклу примыкают работы А.И. Егорова и JI.H. Знаменской [14-16].

В работе A.B. Аргучинцева и В.П. Поплевко [3] рассматривается задача оптимального управления (граничного и стартового) полулинейной гиперболической системой первого порядка, получено необходимое условие оптимальности вариационного типа.

Одна из актуальных задач теории управления - разработка методов граничного управления процессами теплопроводности и диффузии. Большое внимание этой проблематике в рамках параболической теории тепло-

проводности уделено в книгах [13, 37, 8]; см. также статьи [2, 11, 12, 35] и ссылки в них.

В последние десятилетия получила свое развитие гиперболическая (волновая) теория теплопроводности, она устраняет неограниченность скорости теплопереноса в классической теории и описывает быстропро-текающие процессы [39, 57, 75, 34, 35, 5, 32]. Вышедший в последние годы цикл работ О.Г. Жуковой и Р.К. Романовского [17-20, 56] посвящен разработке математических моделей граничного управления теплоперено-сом в рамках этой теории. Рассматриваются краевые задачи для гиперболической системы уравнений теплопроводности, моделирующие теплопе-ренос в однородном изотропном материале - одномерном, двумерном и трехмерном. Ставится задача поиска температурного режима на границе тела, обеспечивающего заданное распределение температуры тела в заданный момент времени. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений. Подход состоит в сведении задачи гра-

1

ничного управления решениями смешанной задачи к задаче стартового управления решениями вспомогательной задачи Коши и использовании развитого ранее в работах Р.К. Романовского [53, 54] (см. также книгу [55]) аппарата матриц - функций Римана первого и второго рода, позволяющего строить явное представление решения задачи Коши для подклассов гиперболических систем.

Представляет теоретический и практический интерес продолжения этих исследований по двум направлениям.

I. Перенос указанных результатов по граничному управлению теп-лопереносом на случай анизотропного материала.

II. Выбор оптимального граничного управления, минимизирующего заданный функционал потерь.

Цель работы: решение задач граничного управления и оптимального граничного управления, поставленных в пунктах I и II.

Актуальность темы диссертационной работы вытекает из вышесказанного.

Работа включает в себя введение, три главы, заключение и список литературы.

Во введении дается обзор литературы, аннотация результатов, обоснование актуальности темы диссертации.

1. В первая главе вводятся основные понятия и теоремы, на которые опирается дальнейшее изложение.

В §1.1 приведена схема обобщенного метода Лагранжа из книги [1,

глЗ].

В §1.2 изложены систематически используемые в работе сведения из [53, 54] о матрицах Римана первого и второго рода одномерной гиперболической системы.

В §1.3 приведена гиперболическая модель теплопроводности для случая анизотропного материала.

§1.4 содержит используемые в главе 2 сведения из работы [18] о матрицах Римана одномерной гиперболической системы теплопроводности.

Приведенная в §1.3 гиперболическая система уравнений теплопроводности имеет вид

дТ А' Г\

с р--1- шу ¿7 = 0,

д I

• (0-1) т-У- + К&га(1Т + д = 0.

Здесь Т(х,1), д(х,?) - температура и вектор плотности теплового потока в точке х в момент времени /, с, р - удельная теплоемкость и плотность, г - период релаксации, К - тензор теплопроводности - симметрическая положительно определенная матрица второго или третьего порядка:

Уравнения системы - закон сохранения энергии и релаксационное соотношение первого порядка. Скорость распространения теплового импульса

2. В главах 2-3 рассматриваются поставленные выше задачи управления теплопереносом соответственно в стержне, анизотропной пластинке звездной формы, анизотропном пространственном теле звездной формы. Теплоперенос моделируется смешанной задачей для системы (0.1) соответствующей размерности (в случае стержня К = к > 0 - скаляр). Строится в каждом случае с использованием аппарата матриц Римана из [53, 54] класс допустимых граничных условий - обеспечивающих заданное распределение температуры тела в заданный момент времени, - затем из этого класса выбирается методом Лагранжа оптимальное граничное управление - минимизирующее заданный квадратичный функцонал потерь. Подход состоит в сведении задачи граничного управления решениями смешанной задачи к задаче стартового управления решениями вспомогательной задачи Коши для системы (0.1). При этом процедура построения класса допустимых управлений в двумерном и трехмерном случаях существенно отличается от примененной в указанных выше работах

К = КТ, К> 0.

по направлению любого орта йв!" или Ж конечна и дается формулой

(0.2)

[20, 56].

3. В главе 2 рассматривается задача одностороннего граничного управления теплопереносом в конечном стержне длины /. Смешанная задача, моделирующая теплоперенос, имеет в векторно-матричной записи вид

Ьи =

\

— + А— + В дг

и = 0, (*,Ое[0,/]х[0,оо),

(0.3)

4=0 =

> о.

(0.4)

Здесь

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Чурашева, Надежда Георгиевна

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59-74], из них статьи [67-70] - в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК.

Результаты докладывались на конференции «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (два доклада, Омск, апрель 2011 г.), на 1У-ой Международной конференции МПМО-2011 «Математика, ее приложения и математическое образование» (Улан-Удэ, июнь 2011 г.), на X международной Четаевской конференции (Казань, июнь 2012 г.), на конференции «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (Омск, апрель 2012 г.), на VII Междунар. науч.-техн. конф. «Динамика систем, механизмов, машин» (два доклада, Омск, ноябрь 2012 г.).

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Решена задача оптимального одностороннего граничного управления теплопереносом в стержне с квадратичным функционалом потерь.

2. Вычислены матрицы Римана первого и второго рода семейств гиперболических систем, ассоциированных с двумерной и трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности в общем случае анизотропного материала.

3. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений теплопереносом в анизотропной пластинке и в анизотропном пространственном теле звездной формы.

4. Решена в каждом из этих случаев задача выбора оптимального граничного управления с квадратичным функционалом потерь. В качестве следствия получены решения задачи оптимального граничного управления теплопереносом в изотропном двумерном и трехмерном материале.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чурашева, Надежда Георгиевна, 2013 год

Литература

[1] Алексеев, В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С В. Фомин // М.: Наука, 1979. 430 с

[2] Алексеев, Г. В. Двухпараметрические экстремальные задачи граничного управления для стационарных уравнении тепловой конвекции / Г. В. Алексеев, Д. А. Терешко //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1645-166

[3] Аргучинцев, А.В Вариационное условие оптимальности в задаче управления начально-краевыми условиями полулинейных гиперболических систем / A.B. Аргучинцев, В.П. Поплевко // Автоматика и телемеханика. -2008. - № 4. - С. 17-28.

[4] Блошанская, J1. И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце и смещением на втором конце за произвольный достаточно большой промежуток времени для задачи колебания струны / JI. И. Блошанская , И. Н. Смирнов // Дифференциальные уравнения. -2009. - Т. 45, № 6. - С. 860-870.

[5] Бураханов, Б.М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики / Б.М. Бураханов, E.H. Лютикова, С.А. Медин. - М., 2002. - 28с. - (Препринт /ОИВТРАН; № 2-462).

[6] Бутковский, А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. - М.: Наука, 1965. -476 с.

[7] Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. - М.: Наука, 1975. - 568 с.

[8] Васильев, Ф.П. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления / Ф.П. Васильев, A 3. Ишмухаметов, М.М. Потапов. - М.: Изд-во Московского университета, 1989. - 142 с.

[9] Васильев, Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения / Ф.П. Васильев // Дифференциальные уравнения. - 1995. -Т.31, № 11. -С. 1893-1900.

[10] Воробьева, Е В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьева, Р.К. Романовский // Сибирский математический журнал. - 2000. - Т. 41, № 3. - С. 531-540.

[11]Гасанов, К.К. Управление с минимальной энергией в процессах, описываемых уравнением теплопроводности с неклассическими краевыми условиями / К.К. Гасанов, А.Н. Гасанова // Естественные и технические науки. - 2010. № 2. - С. 38-41.

[12] Дождиков, В.И. Оптимизация управления процессом теплопроводности в твердом теле / В.И. Дождиков, C.B. Порядин, К.В. Дождиков // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2009. - Т. 14, № 4. - С. 704-705.

[13] Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А.И. Егоров. - М.: Наука, 1978. - 464 с.

[14] Егоров, А.И. Об управляемости колебаний системы связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами / А.И. Егоров, JI.H. Знаменская // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 6. - С. 1002-1018.

[15] Егоров, А.И. Об управляемости упругих колебаний последовательно соединенных объектов с распределенными параметрами / А.И. Егоров, J1.H. Знаменская // Труды института математики и механики УрО РАН.-2011.-Т. 17, № 1.-С. 85-92.

[16] Егоров, А.И. Об управляемости упругих колебаний системы последовательно соединенных объектов с распределенными параметрами со свободными границами / А.И. Егоров, Л.Н. Знаменская // Труды МФТИ. - 2012. -№ 4-16. - С. 62-68.

[17] Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференциальные уравнения. - 2007 - Т. 43, № 5 - С. 650654.

[18] Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. - 2007 - Т 10, № 4(32).- С. 32-40.

[19] Жукова, О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 1. - С. 82-88.

[20] Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45, № 12. - С. 650-654.

[21] Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е.И. Моисеев // ДАН. -2004. -Т.399, № 6. - С. 727-731.

[22] Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // ДАН. - 2005. - Т.400, № 1. - С. 16-20.

[23] Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // ДАН. - 2005. - Т.400, № 5.-С. 585-591.

[24] Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин // ДАН. - 2005. - Т.400, №6.-С. 731-735.

[25] Ильин, В.А. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени Т управления упругими граничными силами на двух концах струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // ДАН. - 2007. - Т. 417, № 4. - С. 456-463.

[26] Ильин, В.А. Оптимизация граничного управления смещением или упругой силой на одном конце струны за произвольное достаточно большое время / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 3. - С. 7-16.

[27] Ильин, В.А. Граничное управление смещением на одном конце струны при наличии нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 11. - С. 1487-1498.

[28] Ильин, В.А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны при наличии модельного нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 586-596.

[29] Ильин, В.А. Аналитический вид оптимальных граничных управлений продольными колебаниями стержня, состоящего из двух участков,

имеющих разные плотности и упругости, но одинаковые импедансы / В.А. Ильин, П.В. Луференко // ДАН. - 2009. - Т. 428, № 1. - С. 12-15.

[30] Ильин, В.А. Оптимизация производимого смещением граничного управления колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных участков / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 7. - С. 978-986.

[31]Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. - М.: Высш. школа, 1985. - 480 с.

[32] Кирсанов, Ю.А. Некоторые проблемы явления теплопроводности / Ю.А.Кирсанов // Изв. РАН, Сер. Энергетика. - 2005. - № 6. - С. 51-58.

[33] Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.: Физматлит, 2012. - 572 с.

[34]Корнеев, С.А. Гиперболические уравнения теплопроводности / С.А. Корнеев // Изв. РАН. Сер. Энергетика. - 2001. - № 4. - С. 117-125.

[35]Лелёвкина, Л.Г. Оптимальное управление процессом теплопроводности / Л.Г. Лелёвкина, С.Н.Скляр, О.С. Хлыбов // Автоматика и телемеханика. - 2008.-№ 4. - С. 119-133.

[36] Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. - М.: Мир, 1972.-414 с.

[37] Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. - М.: Физматлит, 1987. - 368 с.

[38] Луференко, П.В. Аналитический вид оптимальных граничных управлений продольными колебаниями стержня, состоящего из нескольких участков, имеющих разные плотности и упругости, но одинаковые

импедансы / П.В. Луференко // Дифференциальные уравнения. -2011. -Т. 47, № 3. - С. 422-432.

[39] Лыков, A.B. Теория теплопроводности / A.B. Лыков. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

[40] Моисеев, Е.И. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием нечетности первого рода / Е.И. Моисеев, A.A. Холомеева // Дифференциальные уравнения. -2010.-Т. 46, № 11.-С. 1623-1630.

[41] Моисеев, Е.И. Оптимальное граничное управление силой на одном конце струны при заданном режиме силы на другом конце / Е.И. Моисеев, A.A. Холомеева // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 10. - С. 1492-1497.

[42] Моисеев, Е.И. О нелинейной зависимости оптимального граничного управления от начальных и финальных данных / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. -2011. - Т. 47, № 11. - С. 1653-1657.

[43] Моисеев, Е.И. Об оптимизации граничного управления колебаниями струны на одном ее конце при наличии заданного режима на другом конце/ Е.И. Моисеев, A.A. Холомеева//ДАН. - 2012. - Т. 445, № 1. -С. 13-16.

[44] Никитин, A.A. Оптимальное граничное управление колебаниями струны, производимое силой при упругом закреплении / A.A. Никитин // Дифференциальные уравнения. -2010. - Т. 46, № 12. - С. 1773-1782.

[45] Попов, А.Ю. Минимизация интеграла от модуля второй производной граничного управления колебаниями струны с закрепленным концом / А. Ю. Попов // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 2. - С. 127137.

[46] Потапов, М.М. Приближенное решение задач дирихле-управления для волнового уравнения в классах Соболева и двойственных к ним задач наблюдения / М.М. Потапов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 12. - С. 2191-2208.

[47] Потапов, М.М. Разностная аппроксимация задач дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями III рода / М.М. Потапов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47, № 8. - С. 1323-1339.

[48] Потапов, М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами / М.М. Потапов // ДАН. - 2007. - Т. 414, № 6. - С. 738-742.

[49] Потапов, М.М. Об уточнении порогового момента в задачах с двусторонними управлениями и наблюдениями для волнового уравнения / М.М. Потапов // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2007. - Т. 8, № 1. - С. 147-153.

[50] Потапов, М.М. Оценки нормальных решений в задачах с нерегулярными зонными управлениями для волнового уравнения / М.М. Потапов // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45, № 10. - С. 14731479.

[51] Потапов, М.М. Оценки нормальных решений задач с зонными управлениями из ¿2 Д^ волнового уравнения. / М.М. Потапов // Дифференциальные уравнения. -2010. - Т. 46, № 7. - С. 931-941.

[52] Потапов, М.М. Оптимизация порогового момента в неравенстве наблюдаемости для волнового уравнения с краевым условием упругого закрепления / М. М. Потапов, А. А. Дряженков // Труды МИАН. -2012.-Т. 277.-С. 215-229

[53] Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Доклады АН СССР. - 1982. - Т. 267, № 3. - С. 577-580.

[54] Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Математический сборник. - 1985. - Т. 127, № 4. - С. 494-501.

[55] Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем / Р.К. Романовский, Е В. Воробьева, Е.Н. Стратилатова. - Новосибирск: Наука, 2007. - 172 с.

[56] Романовский, Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Сиб. журн. индустр. матем. - 2008 - Т 11, № 3(35).-С.119-125.

[57] Соболев, С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса / С Л. Соболев // Успехи физ. наук. - 1997. - Т. 167, № 10. - С. 10951106.

[58] Тихонов, А Н. Уравнения математической физики / А Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1999. - 736 с.

[59] Чурашева, Н.Г. Матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности. Случай анизотропного тела / Н.Г. Чурашева // Омский научный вестник. - 2009. - № 3. - С. 29 - 33.

[60] Чурашева, Н.Г. Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель / Н.Г. Чурашева // Омский научный вестник. - 2010. - № 3. - С. 14-18.

[61] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление. Гиперболическая модель граничного управления теплопереносом в анизотропной пластике / Н.Г. Чурашева // Прикладная математика и фундамен-

тальная информатика: Сборник научных трудов под редакцией А. В. Зыкиной. - Омск: Изд-во ОмГТУ. - 2011. - С. 46-50.

[62] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление процессом распространения тепла в одномерном материале. Гиперболическая модель / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // Депонир в ВИНИТИ 28.02.11. № 96 В-2011.

[63] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности. Одномерный случай / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // Современные проблемы науки и техники: сборник научнаучных трудов. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011- С. 108-112.

[64] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление одномерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // Прикладная математика и фундаментальная информатика: Сборник научных трудов под редакцией А. В. Зыкиной. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. - С. 32^2.

[65] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в однородном стержне. Гиперболическая модель / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // Математика, ее приложения и математическое образование: Материалы 1У-ой международной конференции МПМО-2011. -Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2011. - С. 82-87.

[66] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом. Гиперболическая модель / Р.К. Романовский, Н.Г. Чурашева // Аналитическая механика, устойчивость и управление: Труды X международной Четаевской конференции. Секция 3. Управление. - Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2012. - Т. 3, Ч. 2. - С. 313-318.

[67] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // ДАН. - 2012. - Т. 446, № 2. - С. 138-141.

[68] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале. Гиперболическая модель / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 9. -С. 1256-1264.

[69] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в изотропном теле / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // Докдады АН ВШ РФ. - 2012. - Т. 19, № 2. С. 54-60.

[70] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале. Гиперболическая модель / Н.Г. Чурашева // Вестник Омского университета. - 2012. №2. - С. 63-66.

[71] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление переносом тепла в изотропном теле / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // Динамика систем, механизмов, машин: материалы VII международной научно-технической конференции. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2012. Кн. III. - С. 107-111.

[72] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в анизотропной пластинке / Н.Г. Чурашева // Прикладная математика и фундаментальная информатика: Сборник научных трудов под редакцией А. В. Зыкиной. - Омск: Изд-во ОмГТУ. - 2012. - С. 37-41.

[73] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель / Н.Г. Чурашева // Динамика систем, механизмов, машин: материалы VII международной научно-технической конференции. Книга III. - Омск: Изд-во ОмГТУ. 2012. С. 122-126.

[74] Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в трехмерном материале. Гиперболическая модель / Н.Г. Чурашева, Р.К. Романовский // Дифференциальные уравнения, (в печати).

[75] Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход / А.Г. Шашков, В. А. Бубнов, С.Ю. Яновский. - Минск: Наука и техника, 1993. - 279 с.

[76] Эмануилов, О.Ю. Точная управляемость гиперболическими уравнениями. Ч. 1 / О.Ю. Эмануилов// Автоматика. - 1990. - № 3 . - С. 10-13.

[77] Эмануилов, О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями /О.Ю. Эмануилов // Сибирский математический журнал. -2000. - Т. 41, № 4,- С. 944-959.

[78] Bardos, С. Sharp sufficient conditions for the observaton, control and stabilization of wave equation from the boundary / C. Bardos, G. Lebeau, J. Rauch // SIAM J. Control Optim. - 1992. - V. 30, № 5. - P. 1024-1065.

[79] Komornik, V. Exact controllability and stabilization / V. Komornik // Lecture Notes in Control and Inform. - 1990. - V. 148. - P. 149-192.

[80] Lasiecka, I. Exact controllability for second-order hyperbolic equations with variable coefficient-principal part and first-order terms /1. Lasiecka, R. Triggiani, P.F. Yao // Nonlinear anal, theory, methods and applications. -1997. -V.30, № 1. - P. 111-122.

[81] Lions, J.-L. Controllabilite exacte des systemes distribues / J.-L. Lions // Acad. Sci. Ser I. Math. - 1986. - № 302. - P. 471-475.

[82] Lions, J.-L. Controllabilite exacte, stabilization et perturbation des systemes distribues / J.-L. Lions. -V. 1: Controllabilite exacte. Paris: Masson, 1988.

[83] Lions, J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems / J.-L. Lions // SIAM Rev. - 1988. - V. 30, № 1. - P. 1-68.

[84]Tataru, D. Boundary controllability of conservative PDEs / D. Tataru // Appl. Math. Optim. - 1995. - V. 31. - P. 257-295.