Оптимизация схем выведения космического аппарата на высокие рабочие орбиты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат технических наук Мин Тейн

• Мин Тейн
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мин Тейн

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОВИТКОВОГО ПЕРЕЛЕТА КА С ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ НА НЕКОМПЛАНАРНУЮ КРУГОВУЮ ОРБИТУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ.

ВВЕДЕНИЕ.

1.1 Математическая формулировка задачи.

1.2 Оптимизация многовиткового перелета КА с двигателем малой тяги между произвольными орбитами. методический подход.

1.3 модельная задача.

1.3.1 Ограничения по постановке задачи оптимизации перелета.

1.3.2 Сужение (ограничения) рассматриваемого класса законов управления движением КА с малой тягой:.

1.3.3 Идеи метода и схема нахождения^оптимальиогоуправления модельной задачи.

1.3.4 Упрощение уравнений движения КА, которые используются в модельной задаче.

1.3.5 Формулировка модельной задачи оптимального управления. Оптимальное управление

1.3.6 Синтез закона оптимального управления модельной задачи.

1.4 полная модель движения ка с малой тягой (модель, в которой осреднение уравнений движения не производится).

1.4.1 Анализ траектории КА с малой тягой при оптимальном управлении в полной модели движения.

1.4.2 Связь сопряженных переменных для двух рассматриваемых систем фазовых переменных

1.4.3 Алгоритм решения задачи оптимального управления для полной модели движения КА с малой тягой.

1.5 анализ численных результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация схем выведения космического аппарата на высокие рабочие орбиты»

2.1 Уравнения движения.49

2.2 Оптимальное управление.52

2.3 Краевая задача.54

2.4 Решение краевой задачи.55

2.4.1 Метод продолжения по параметру.56

2.4.2 Гибридный метод, объединяющий метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона.59

2.5 Численные результаты для задачи оптимального быстродействия при выведении на ГСО .65

2.6 Анализ закона управления ориентацией тяги вдоль траектории выведения КА на ГСО 70

2.6.1 Анализ закона управления углом тангажа космического аппарата.72

2.6.2 Анализ закона управления углом рыскания космического аппарата.74

2.7 Анализ численных результатов для задачи с фиксированным временем перелета.76

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.82

3 АНАЛИЗ ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧАЮЩИХСЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ.83

3.1 Перелет с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту.83

3.2 перелет между некомпланарными круговыми орбитами.85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.91

4 ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТА КА С КОМБИНИРОВАННОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКОЙ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ.92

ВВЕДЕНИЕ.92

4.1 Критерии оптимизации.95

4.2 Используемые допущения по схеме перелета и по значениям некоторых элементов промежуточной орбиты.95

4.3 Выбор оптимальной промежуточной орбиты.97

4.4 Анализ перелета с базовой орбиты на промежуточную орбиту с химическим разгонным блоком.104

4.5 Оптимизация характеристик промежуточной орбиты.106

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.107

5. ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМЫ ВЫВЕДЕНИЯ КА С КОМБИНИРОВАННОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКОЙ НА ГЕОСТАЦИОНАРНУЮ ОРБИТУ.108

ВВЕДЕНИЕ.108

5.1 Анализ схемы выведения КА с использованием космической транспортной системы «Рокот/Бриз».108

5.1.1 Характеристики космической транспортной системы «Рокот/Бриз».108

5.1.2 Характеристики электроракетпой двигательной установки.109

5.2 анализ схемы выведения ка с использованием космической транспортной системы «Союз/Фрегат».115

5.2.1 Выведение космической платформы «Space bus 3000».116

5.2.2 Выведение космической платформы Euro Star 2000.123

5.2.3 Выведение космической платформы «Star 2».124

5.2.4 Выведение космической платформы «Space bus 1000».124

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.125

ВЫВОДЫ.127

ЛИТЕРАТУРА.129

ПРИЛОЖЕНИЕ.135

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы работы♦ В работе рассматриваются вопросы, связанные с оптимизацией схем выведения космических аппаратов (КА) имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки (двигательные установки большой и малой тяги) на высокие рабочие орбиты. Электроракетные двигательные установки, имея высокий удельный импульс, находят все большее применение в практике космических полетов. Их использование позволяет повышать эффективность транспортных космических систем, обеспечивать решение транспортных проблем на базе более легких ракет-носителей или увеличивать полезную нагрузку КА. Настоящую работу, как работу, способствующую внедрению новых технологий (перспективных двигателей) и направленную на повышение эффективности космических транспортных операций, следует считать актуальной.

В диссертации анализируется широкий спектр вопросов, касающихся оптимизации движения КА под влиянием малой тяги. Большое внимание уделяется методам оптимизации траекторий КА с малой тягой. При этом основные усилия были направлены на регуляризацию процесса решения краевых задач оптимального управления. Применение принципа максимума Л.С.Понтрягина позволяет свести оптимизационную задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой и составляет основную трудность при использовании непрямых методов. Трудности решения таких краевых задач носят принципиальный характер, связанный с вопросами существования, единственности и ветвления решений. Методические сложности связаны с вычислительной неустойчивостью и с ограниченностью области сходимости численных методов решения. Традиционно для решения задач оптимизации траекторий

КА с двигательными установками малой тяги используются различные модификации метода Ньютона. Основной трудностью при использовании этого класса методов является определение начального приближения, достаточно близкого к оптимальному решению. Практически до сих пор не разработано достаточно универсальных алгоритмов определения начальных значений этих параметров для обеспечения сходимости методов типа Ньютона.

Таким образом, тема диссертационной работы, посвященная оптимизации схем выведения на высокие рабочие орбиты космических аппаратов (КА), имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки, является актуальной как и для практики решения транспортных космических проблем, так и для развития теории одного из разделов механики космического полета.

Целью диссертационной работы является разработка совершенных методов оптимизации схем выведения космических аппаратов на высокие рабочие орбиты, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки (двигательные установки большой и малой тяги) для повышения эффективности выполнения транспортных космических операций. Такие методы должны позволить находить схемы полета КА, требующие минимальные затраты на их реализации. Их использование должно позволить или увеличить массу КА, выводимого на рабочую орбиту (и поэтому увеличить потребительские свойства выведенного аппарата) или уменьшить масштабность транспортной системы (что дает возможность использовать более легкие и поэтому дешевые ракеты-носители).

Для достижения сформулированной цели в работе решаются следующие задачи:

• Продолжается разработка регулярных численных методов оптимизации межорбитальных траекторий, включая: оптимизацию траекторий выведения с околоземной орбиты на высокую рабочую орбиту. разработку программного обеспечения, реализующего численные методы оптимизации.

• Разрабатываются приближенные методы оптимизации траектории КА рассматриваемого класса такие простые, чтобы их было достаточно просто внедрить в инженерную практику космических конструкторских бюро.

• Исследуются возможности использования электроракетных двигателей для реализации актуальных космических проектов на базе существующих и перспективных космических систем.

Методы проведения исследования. В данной диссертационной работе использованы следующие подходы и методы решения задачи:

• Основным подходом при оптимизации траекторий космического аппарата с электроракетной двигательной установкой, а также траекторий космических аппаратов с комбинированной двигательной установкой считается подход принципа максимума Л.С. Понтрягина.

• Для решения задачи оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов КА с электроракетной двигательной установкой используются принцип максимума, метод продолжения по параметру, модифицированный метод Ньютона и гибридный метод, который объединяет метод Левенберга - Марквардта и модифицированный метод Ньютона.

Научная новизна полученных результатов. В рамках данной работы впервые получены следующие научные результаты:

• Разработаны практически регулярные численные методы оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов при выведении на высокую рабочую орбиту КА с электроракетными двигателями.

• Разработано программное обеспечение, реализующее численные методы оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов КА с электроракетными двигателями.

• Проанализирован вопрос о существовании двух типов экстремалей при перелете между круговыми некомпланарными орбитами и о критическом наклонении, при котором появляется второй тип экстремали. Несмотря на существующие публикации, эту проблему до настоящего времени нельзя считать решенной. В настоящей работе было получено подтверждение правильности оценки величины этого' критического наклонения для полета с низкой околоземной орбиты на орбиту, радиус которой равен геостационарной орбите.

• Исследована возможность использования электроракетных двигателей для реализации нескольких космических проектов на базе существующих и перспективных космических систем. Результаты исследования показывают существенное увеличение массовой эффективности выполнения транспортных операций при использовании таких двигателей в комбинации с традиционными химическими двигателями.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами, опубликованными другими авторами, в том числе российскими, американскими и западноевропейскими (прежде всего, французскими) исследователями.

Практическая значимость. Практическая значимость работы состоит в следующем:

• Разработано программно-алгоритмитическое обеспечение оптимизации траектории КА, имеющих в своем составе двигательные установки большой и малой тяги.

• Разработан программный комплекс, автоматизирующий решение задач оптимизации траекторий КА с малой тягой.

• Получено решение задачи оптимизации траектории перелета КА с малой тягой на ГСО на базе ракетно-космического комплекса «Союз-Фрегат» и а так же на базе ракетно-космического комплекса «Рокот-Бриз».

Апробаиия работы. Методы и результаты оптимизации схем выведения КА на высокие рабочие орбиты, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки обсуждались:

• на международной конференции «The 3 rd CSA-IAA Conference on Advanced Space Systems and Applications» (октябрь 2008);

• на XLIV Научных чтениях, посвященные памяти К.Э. Циолковского (сентябрь 2009);

• на XXXIV Академических чтениях по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва (январь 2010);

• на двух научных конференциях для студентов и аспирантов Аэрокосмического факультета МАИ (в 2008 и 2009 годах).

Личный вклад и публикации. Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором. Основные результаты опубликованы в 3 научных работах.

Основные научные положения. выносимые на защиту.

• Метод оптимизации траектории многовиткового перелёта КА с малой тягой с промежуточной эллиптической орбиты на высокие рабочие круговые орбиты.

• Результаты решения задачи оптимизации траектории перелёта КА с малой тягой с промежуточной орбиты на геостационарную орбиту:

С использованием модельной задачи для получения полуаналитического решения.

С использованием метода продолжения по параметру.

С использованием гибридного метода, который объединяет метод Левенберга - Марквардта и модифицированный метод Ньютона.

• Алгоритм моделирования и оптимизации траектории многовиткового перелёта с малой тягой в центральном ньютоновском гравитационном поле.

• Результаты анализа двух типов экстремалей при многовитковом перелете между круговыми некомпланарными орбитами и определение критического наклонения, при котором появляется экстремаль второго типа.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников. Основный текст содержит 135 страниц, включая 3 таблиц и 76 рисунок. Список литературы состоит из 57 наименований.

Заключение диссертации по теме «Динамика, баллистика, дистанционное управление движением летательных аппаратов», Мин Тейн

выводы

В настоящей работе анализировались межорбитальные перелеты в окрестности одного гравитирующего тела (Земли) и описаны полученные результаты оптимизации этих перелетов. Основными результатами можно считать следующие результаты:

• Метод оптимизации траектории многовиткового перелета КА с двигательной установкой малой тяги с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту за минимальное время. Основная идея разработанного метода введение некоторой модельной задачи, для которой задача многовиткового перелета с двигателем малой тяги всегда имеет решение и оно единственное.

• Проанализирована возможность и эффективность метода оптимизации траекторий межорбитального перелета КА с двигательными установками малой тяги при использовании идеи метода продолжения по параметру.

• Предложена и проанализирована возможность использования гибридного метода, объединяющего метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона для оптимизации многовитковой траектории перелета КА с малой тягой. Представлены результаты анализа оптимальной траектории выведения КА с ЭРДУ на ГСО, оптимального управления движением КА при этом выведении.

• Проведено сравнение полученных с использованием разработанных методов результатов оптимизации межорбитальных перелетов с результатами, опубликованными другими авторами. Такое сравнение подтвердило достоверность получаемых результатов и эффективность предлагаемых методов.

Исследована задача оптимизации траектории выведения космического аппарата с комбинированной двигательной установкой между некомпланарными круговыми орбитами.

Проанализированы различные схемы выведения КА на геостационарную орбиту при использовании двух космических транспортных систем «Союз/Фрегат» и «Рокот/Бриз» и электроракетной двигательной установки. Представлены характеристики траектории перелета не только для задачи оптимального быстродействия, но и для задачи фиксированного времени перелета.

Проведен анализ свойств оптимальных траекторий, типов законов оптимального управления движением КА на перелетных траекториях. В частности, проанализирован вопрос о существовании двух типов экстремалей при перелете между круговыми некомпланарными орбитами и о критическом наклонении, при котором появляется второй тип экстремали. Получено подтверждение правильности оценки величины этого критического наклонения для полета с низкой околоземной орбиты на орбиту, радиус которой равен геостационарной орбите.

Разработаны математические модели, алгоритмы и программные средства для оптимизации выполнения космических маневров с низкой околоземной орбиты на высокие рабочие орбиты, в частности, на геостационарную орбиту.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализированы различные схемы выведения КА на геостационарную орбиту при использовании двух космических транспортных систем «Союз/Фрегат» и «Рокот/Бриз» и электроракетной двигательной установкой на базе стационарных плазменных двигателей. Представлены характеристики траектории перелета не только для задачи оптимального быстродействия, но и для задачи с фиксированным временем перелета. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

• При использовании космической транспортной системы «Рокот/Бриз» с электроракетной двигательной установкой можно вывести на ГСО КА с массой 375.7 кг при времени выведения 337.8 суток.

• При использовании космической транспортной системы «Союз/Фрегат» с электроракетной двигательной установкой типа СПД-140 проанализирована возможность выведения четырех космических geostationary transfer trajectory in XY plane платформ: «Space bus 3000», «Euro Star 2000», «Star2», и «Space bus 1000».

1. При выведении космической платформы «Space bus 3000» минимальное время выведения оказалось равным 62.464 суток. При этом масса выведенного на ГСО КА равна 1767.44 кг. При увеличении времени перелета до 70 суток можно увеличить массу выводимого на ГСО КА до 1802.24 кг. То есть можно довольно сильно (на 34.8 кг) увеличивать массу выводимой платформы.

2. При выведении космической платформы «Euro Star 2000» минимальное время выведения оказалось равным 67.795 суток. При этом масса выведенного на ГСО КА равна 1385.3 кг. При увеличении времени перелета до 80 суток можно увеличить массу выводимого на ГСО КА до 1408.5 кг.

3. При выведении космической платформы «Star2» минимальное время выведения оказалось равным 43.38 суток. При этом масса выведенного на ГСО КА равна 1093.3 кг.

4. При выведении космической платформы «Space bus 1000» минимальное время выведения оказалось равным 21.47 суток. При этом масса выведенного на ГСО КА равна 678.9 кг.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мин Тейн, 2010 год

1. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука, 1986.

2. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977.

3. Аттетков А. В., Галкин С. В., Методы оптимизации. Издательство «МГТУ им. Н. Э. Баумана» , 2003.

4. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984.

5. Дубошин Г.Н. (ред.). Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.

6. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука,1975.

7. Жулин С. С., Метод продолжения решения по параметру и его приложение к задачам оптимального управления. Вычислительные методы и программирование, том.8, 2007.

8. Константинов М.С. Методы математического программирования в проектировании летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1975.

9. Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Механика космического полета. М., Машиностроение, 1989.

10. Ю.Константинов М.С., Мин Тхейн., Метод оптимизации траектории выведения КА с электроракетной двигательной установкой на ГСО. Вестник МАИ. Т. 16. №.5, 2009.

11. Петухов В.Г. Оптимизация многовитковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами. Космические исследования, том 42, №42, с. 1-20, 2004.

12. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983

13. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

14. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. М.: Машиностроение, 1987.

15. Салмин В.В., Лазарев Ю. Н., Методы оптимального управления и численные методы в задачах технических систем. Издательство «СГАУ САМАРА», 2007.

16. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные Методы. Под редакцией А.

17. И. Кибзуна. «Физматлит» , 2006.

18. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. Издательство «Эдиториал УРСС», 1999.

19. A1-Baali М. and Fletcher R.: Variation methods for non-linear least-squares. J. Opl. Res. Soc. 36, No.5 pp 405-421, 1985.

20. Allgower E., Georg K.: Numerical continuation method. An introduction. Springer-Verlag, 1990.

21. Azizov A. G., Korshunova N.A, On an analytical solution of the optimum trajectory problem in a gravitational field. Celestial mechanics 39, p. 297-306, 1986.

22. Battin Richard H., An Introduction to Mathematics and Methods of Astrodynamics, Revised Edition. AIAA Education Series, 1999.

23. Bernard Bonnard, Jean-Baptiste Caillau, Romain Dujol, Averaging and optimal control of elliptic Keplerian orbits with low propulsion. Science Direct, Systems & Control Letters 55, p 755 760, 2006.

24. Brouke R. A. and Cefola P. J. "On the Equinoctial Orbital Elements", Celestial Mechanics, Vol. 5, pp. 303-310,1972.

25. Caillau J. B., Gergaud J. and Noailles J., (TfMin): short reference manual. Technical report Technical Report RT/APO/Ol/3, CNES, France.

26. Caillau J.B., Gerguad J., Noailles J., 3D Geosynchronous Transfer of a Satellite: Continuation on the Thrust, journal of optimization theory and applications. Vol.118, No:3, pp.541-565, September 2003.

27. Chobotov V.A. Orbital Mechanics, Third Edition. AIAA Education series, 2002.

28. Edelbaum T. N., Sackett Lester L., Optimal low-thrust geocentric transfer. AIAA 10th electric propulsion conference, 1973.

29. Edelbaum T. N., Sackett Lester L., Solar electric geocentric transfer with altitude constraints: analysis. Final technical report of NASA contract NAS 318886, 1975.

30. Falck Robert and Gefert Leon, A method of efficient inclination changes for low-thrust spacecraft. NASA/TM—2002-211871, AIAA-2002-4895, 2002.

31. Fernandes Da. Silva, A note on solution of coast arcs problem. Acta Astronáutica Vol. 45, No. 1, pp. 53-57, 1999.

32. Fernandes Da. Silva, Solution of coast-arcs problem using sundman transformation. Acta Astronáutica Vol. 50, No. 1, pp. 1-11, 2002.

33. Fourcade J., Geffroy S., Epenoy R. An Averaging optimal control tool for low thrust optimum time transfer. (http://logiciels.cnes.fr/MIPELEC/en/logiciel.htm)

34. Gaylor David E., Low-Thrust circle to circle orbit transfer. May 14, 2002.

35. Geffroy Sophie, Epenoy Richard, Optimal low thrust transfers with constraints generalization of averaging techniques. Acta Astronáutica Vol. 41, No.3, p 133-149, 1997.

36. Gergaud J. and Martinon P., Using switching detection and variational equations for shooting method. ENSEEIHT-IRIT, UMR CNRS 5505. John Wiley & Sons, Ltd, 2006.

37. Haberkorn T., Gergaud J. and Martinon P., Low Thrust Minimum-fuel orbital transfer: an homotopic approach. Technical report «Contract No 02/CNES/0257/00-DPI 500» CNES, France.

38. Haberkorn T., Gergaud J. and Noailles J., MflVIax(v0 & vl): Method explanation manual 1. Technical report RT/APO/04/03 (January 2004).

39. Jaan Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with MATLAB, Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York, 2005.

40. Kechichian Jean A., "Equinoctial Orbit Elements: Application to Optimal Transfer Problems", AIAA 90-2976, AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Portland, OR, 20-22 August 1990.

41. Kechichian Jean A., Minimum fuel time fixed rendezvous using constant low thrust. Advances in astronautical science, vol.82, ISSN 00653438, 1995.

42. Kechichian Jean A., Optimal low thrust rendezvous using equinoctial orbital elements. Acta Astronáutica Vol. 38, No. 1, pp. 1-14, 1996.

43. Kiforenko Boris. M., Pasechnik Zoya V., Kyrychenko Svitlana B., Vasiliev Igor Yu., Minimum time transfers of a low-thrust rocket in strong gravity fields. Acta Astronáutica 52 P 601 611, 2003.

44. Konstantinov M.S. and Petukhov V.G., Easy engineering techniques of optimal electric propulsion trajectory estimation. LAC.06, C4.4.06.

45. Konstantinov M.S. Optimization of low thrust transfer between no coplanar elliptic orbits. Paper IAF-97-A.6.06, Turin, Italy, October 1997.

46. Konstantinov M.S. Optimization of Low Thrust transfer from elliptical orbit into noncoplanar circular orbit. Proceedings of 2nd International Symposium on Low-Thrust Trajectories LOTUS-2, Toulouse, France, 2002.

47. Konstantinov M.S., Fedotov G.G. , Petukhov V.G., et al. Electric Propulsion Mission to GEO Using Soyuz/Fregat Launch Vehicle. 52nd International Astronautical Congress. IAF-01-V.3.02, Toulouse, France, October 1-5, 2001.

48. Konstantinov M.S., Popov G.A., Fedotov G.G., Estimation of possibility of using of stationary plasma thrusters M100.M200 for insert into working earth orbits. Space Technology, Vol. 19, Nos. 5-6, pp. 273-284, 1999.

49. Madsen K., Nielsen H.B., Tingleff O. Methods for non-linear least square problems, 2nd Edition, April 2004.

50. Marec, J.P. Optimal Space Trajectories. Amsterdam: Elsevier Scientific Publishing Co., 1979.

51. Matogawa Yasunori, Optimum low thrust transfer to geosynchronous orbit. Acta Astronáutica Vol. 10, No. 7, pp. 467-478, 1963.

52. Petukhov V.G. Low-Thrust Trajectory Optimization. Presentation at the seminar on Space Flight Mechanics, Control, and Information Science of Space Research Institute (IKI), Moscow, June 14, 2000. (http://arc.iki.rssi.ru/seminar/200006/QLTTE2.ppt)

53. Petukhov V.G. Spacecraft insertion into high working orbits using light class launcher and electric propulsion. 17th International symposium on space flight dynamics. Moscow, Russia, June 16, 2003.

54. Werner. C. Rheinboldt, Methods for solving systems of nonlinear equations, second edition, SIAM, 1998.

55. Eurockot user's guide. Issue 4, Rev 0, November 2004.