Построение фазовых динамических моделей звездных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Башаков, Андрей Александрович

• Башаков, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Башаков, Андрей Александрович

1 Введение

2 Обзор

2.1 О фазовых моделях звездных систем.

2.2 Оригинальный метод Шварцшильда.

2.3 Методы, оперирующие частицами.

2.4 Итерационный метод Родионова и Сотниковой

2.5 Моделирование гравитационного потенциала звездной системы

3 Метод

3.1 Основные идеи метода Шварцшильда.

3.2 Основные шаги построения модели.

3.3 Разделение пространства модели на ячейки.

3.4 Построение библиотеки орбит.

3.5 Вычисление весов орбит

3.5.1 Симплекс—метод.

3.5.2 Итерационный М2М алгоритм.

3.6 Тестирование построенных моделей.

3.6.1 Переход к дискретной модели N тел.

3.6.2 Численное решение задачи N тел.

3.7 Зависимость результатов от используемой библиотеки орбит

4 Исследуемые потенциалы

4.1 Потенциал Галактики в модели Кутузова—Осипкова.Т~~5Г~

4.2 Сферический потенциал Пламмера.

4.3 Потенциал Галактики в модели Флинна и др.

5 Результаты

5.1 Построение модели в потенциале Галактики Кутузова—Осипкова

5.2 Модель со сферическим потенциалом Пламмера

5.3 Построение модели в потенциале Флинна и др.

5.3.1 Применение кинематических параметров.

5.3.2 Обсуждение

5.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение фазовых динамических моделей звездных систем»

Проблемы строения, формирования и эволюции нашей и других галактик являются одними из самых актуальных в современной звездной астрономии. Одним из способов, позволяющим добиться понимания динамических процессов, происходящих в галактиках, является построение фазовых моделей звездных систем и численное моделирование системы частиц в рамках задачи N тел. Распределение пространственной плотности получаемых систем должно соответствовать наблюдательным данным или в общем случае наперед заданному закону, при этом обычно рассматриваются модели, близкие к равновесию. Одним из способов построения фазовых моделей является метод, предложенный в 1979 году Мартином Шварцшильдом. Метод относится к численным, и на ранних этапах использовался не очень широко из-за отсутствия достаточных вычислительных мощностей. Однако с развитием компьютеров эта проблема отошла на второй план, а возможность хорошо аппроксимировать заданное распределение плотности и некоторые другие параметры делают метод Шварцшильда привлекательным для решения задач по построению фазовых моделей звездных систем.

Методы численного моделирования и исследования системы частиц в рамках задачи N тел также важны. Часто используют термин "численный эксперимент", когда подразумевается численное моделирование и прослеживание эволюции системы гравитирующих N тел. В настоящей работе эти методы применяются для тестирования и исследования построенных модифицированным методом Шварцшильда моделей, так как при численном построении всегда имеются некоторые отклонения параметров в получающемся распределении плотности и соответственно от заданного гравитационного потенциала. Эти отклонения, в свою очередь, могут привести к еще большему перераспределению плотности и уходу от заданного потенциала. Поэтому найденную модель необходимо проверить, насколько она получилась равновесной и устойчивой и сохраняет свои параметры.

В данной работе решаются вопросы реализации метода Шварцшильда на современном уровне и его модификации для расширения области применения. Разработаны и реализованы алгоритмы перехода от моделей из набора фазовых траекторий к дискретным моделям точечных масс для использования методов задачи N тел. Также дается описание построенных с помощью созданного программного комплекса фазовых моделей звездных систем.

Дели работы

В данной работе были поставлены следующие цели.

• Модификация метода Шварцшильда для построения фазовых моделей звездных систем.

• Разработка и создание программного комплекса для построения фазовых моделей звездных систем с применением алгоритмов модифицированного метода Шварцшильда.

• Разработка метода перехода от моделей из набора фазовых траекторий к дискретным моделям точечных масс и получения начальных данных для моделирования задачи N тел.

• Апробация разработанных алгоритмов и программ на модельной задаче построения фазовой модели со сферическим потенциалом Пламмера [22].

• Построение фазовых моделей звездных систем на основе двухкомпонент-ного потенциала Кутузова-Осипкова [9, 10] и трехкомпонентного потенциала Флинна и др [29] для Галактики.

• Проверка полученных моделей на равновесность и устойчивость.

Научная новизна

В данной работе впервые применен метод Шварцшильда [49] с новым алгоритмом вычисления весов орбит, основанным на made-to-measure (М2М) алгоритме [1, 8]. Данная модификация позволяет учитывать кинематические характеристики при построении моделей. Добавлена возможность применения ячеек с переменными размерами и разной геометрической формы. С использованием модифицированного метода Шварцшильда были построены фазовые модели на основе потенциала Флинна и др. [29] для Галактики.

Разработан алгоритм дискретизации, позволяющий получать дискретные системы N тел (материальных частиц) из моделей, основанных на фазовых траекториях. Алгоритм используется для исследования построенных моделей на равновесность и устойчивость.

Впервые этим методом построены фазовые модели осесимметричных звездных систем на основе потенциалов Кутузова-Осипкова [6] и Флинна и др. [2] для Галактики. Исследована их равновесность и устойчивость. Показано, что разработанный метод пригоден для решения поставленных задач.

Научная и практическая значимость работы

В результате проделанной работы разработан и апробирован новый комплекс алгоритмов и программ, предназначенных для построения фазовых моделей звездных систем по заданному потенциалу. Данный комплекс основан на синтезе метода Шварцшильда [49] и М2М алгоритма [1, 8]. Новый модифицированный метод Шварцшильда позволяет строить фазовые модели звездных систем по заданному потенциалу и/или распределению плотности. Преимущества нового метода заключаются в возможности построения фазовых моделей на основе только распределения вещества без дополнительных предположений о наличии интегралов движения. С введением улучшенного метода расчета весов появилась возможность построения моделей с учетом заданных параметров скоростей. Результатом работы метода является модель в виде набора фазовых траекторий и в виде набора фазовых координат точечных масс, которые могут быть использованы как входные данные для численного решения задачи N тел.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ и лаборатории небесной механики и звездной динамики Математико—механического факультета СПбГУ, 2006-2009 гг.; на общегородском семинаре по звездной динамике им. К.Ф. Огородникова 2006-2009 гг.; на Всероссийской конференции "Звездные системы" к 100-летию П.П.Паренаго, Москва, 24-26 мая 2006 г.; на конференции "ВАК-2007", Казань, 17-22 сентября 2007 г.; на международной конференции "Dynamics of galaxies", Пулково, 2007 г.; на семинаре обсерватории Университета г. Турку, Финляндия, 2008 г.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Объем работы - 95 страниц текста, включая 27 рисунков, 3 таблицы и список литературы, содержащий 56 наименования.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Башаков, Андрей Александрович

5.4 Выводы

80

60

40

20 0 0 5

10

15

20

25

30

Рис. 5.25: Профили дисперсий скоростей в момент t ~ 6 млрд. лет; по осям отложены расстояние от центра (кпк) и дисперсии (км/с).

Суммируя полученные результаты, мы можем сделать следующие выводы.

• Разработанная реализация метода Шварцшильда позволяет строить фазовые модели из набора непрерывных траекторий по заданному потенциалу, а затем дискретные-модели в виде системы точечных масс. Пространственное распределение плотности можно воспроизвести с высокой точностью. Для получения нужных кинематических характеристик следует применять специальные дополнительные условия и соответственно модифицировать алгоритмы. Показана эффективность для решения этих вопросов включения кинематических параметров в задачу вычисления весов.

• Примененный для потенциала Флинна и др. [29] новый способ вычисления весов, основанный на М2М алгоритме [52, 28], обладает существенными преимуществами перед использовавшимся ранее симплекс—методом: более пологая зависимость времени счета от количества орбит и ячеек, сглаженное распределение весов на выходе алгоритма, возможность учета кинематических параметров в процессе вычисления весов.

Применение ячеек с более сложной формой и переменными размерами по пространству, занимаемому моделью, показало свою эффективность, позволяя повысить разрешение в необходимых частях модели без увеличения общего количества ячеек.

Кинематика получающихся моделей имеет широкий диапазон, не всегда естественна и не во всех случаях соответствует принятым моделям и наблюдательным данным. Если включить анализ получаемых распределений дисперсий скоростей по R и z как дополнительный этап в построении моделей для выявления и отбрасывания "неудачных" моделей, то оставшиеся модели дают спектр вариантов, и часть из них укладывается с некоторой погрешностью в принятые сейчас модели для нашей Галактики.

Тестирование построенных моделей показывает, что найденные модели не являются полностью устойчивыми, что, в первую очередь, связано с уровнем достигаемой точности аппроксимации при дискретном разбиении объема, занимаемого моделью, на ячейки и с ограничением числа ячеек для приемлемых времен вычислений. Построенные модели после короткого интервала времени стабилизировались и в дальнейшем практически не менялись, сохраняя характеристики, близкие к начальным.

Глава 6

Заключение

Одним из результатов диссертационной работы является комплекс программ, предназначенный для построения фазовых моделей звездных систем. Комплекс является программной реализацией модифицированного метода Шварцшильда [49].

В процессе разработки оригинальный метод Шварцшильда был подвергнут существенной модификации как для удобства использования, так и для расширения функциональности. В частности, было реализовано несколько различных алгоритмов разбиения исследуемого объема пространства для получения лучшего пространственного разрешения без увеличения общего количества частиц. Были опробованы различные подходы для сохранения набранной по орбитам статистики. Разработаны и добавлены программные блоки для тестирования построенных моделей.

Для расширения функциональности и ускорения работы был применен новый алгоритм вычисления весов орбит, заимствованный из М2М алгоритма [52, 28]. Кроме возможности увеличения количества орбит и ячеек новый алгоритм позволяет ввести в систему уравнения, описывающие кинематические характеристики модели.

Применение модифицированного метода Шварцшильда позволило устранить определенные недостатки моделей, возникавшие ранее. В частности, избежать низких значений средней тангенциальной скорости на плоском участке (150-180 км/с в районе радиуса 8-10 кпк) и чрезмерной "перегретости" моделей (дисперсия скоростей порядка 80 км/с в окрестности Солнца).

В связи с необходимостью проверки построенных моделей на равновесность и устойчивость была поставлена задача представления построенных фазовых моделей в виде системы точечных масс с начальными данными для задачи N тел. Фазовая модель, получаемая в результате работы метода Шварцшильда, представляет из себя набор орбит с различными весами, в то время как для исследования эволюции методами задачи N тел модель должна быть представлена в виде набора материальных точек с определенными фазовыми координатами.

Для решения поставленной задачи был разработан и реализован алгоритм дискретизации модели, под которой подразумевается переход к представлению ее системой точечных масс. Основная идея алгоритма состоит в представлении орбиты отдельными частицами, расположенными вдоль траектории через равные промежутки времени, причем количество частиц пропорционально весу орбиты. Проверка показала надежную работу алгоритма. Сравнение характеристик непрерывных и дискретных моделей дало хорошее согласие. В число сравниваемых характеристик входили распределение пространственной плотности, профили скоростей и дисперсий скоростей.

С помощью созданного комплекса программ для модифицированного метода Шварцшильда были построены тестовая модель на основе сферического потенциала Пламмера [22] и модели на основе потенциалов Кутузова-Осипкова [9, 10] и Флинна и др. [29] для Галактики.

На примере построения фазовой модели для сферического потенциала Пламмера были проверены использовавшиеся подходы и оттестированы применявшиеся алгоритмы. Были получены оптимальные значения настраиваемых параметров. Построенная модель для потенциала Пламмера соответствует комплексу необходимых критериев, что подтверждает работоспособность разработанного метода. В частности, распределение плотности соответствует теоретическому, профили кинематических характеристик также соответствуют стандартным для большей (по массе) части модели, заметные расхождения имеют место лишь в периферийной области вблизи границы модели, где плотность становится очень низкой и содержится не более 5% массы.

Проверка модели на устойчивость проводилась по разработанному алгоритму и соответствующим программным блоком тестирования: сначала модель была представлена в виде набора точечных масс, и затем ее эволюция была исследована методами задачи N тел. Признаки эволюции оказались незначительными, модель сохранила свои основные характеристики на протяжении исследованных 20 времен пересечения. На основании тестирования можно сделать вывод, что построенная модель в соответствии с теорией для сфер Пламмера проявила свойства равновесности и устойчивости.

Для построения фазовых моделей осесимметричных сплюснутых звездных систем были взяты потенциалы Кутузова-Осипкова [9, 10] и Флинна и др. [29] для нашей Галактики.

Потенциал Кутузова-Осипкова представляет двухкомпонентную систему, состоящую из сферического компонента, моделирующего ядро и балдж, и эллипсоидального сплюснутого компонента, моделирующего дисковую подсистему и гало. Потенциал сочетает в себе относительную простоту используемых выражений и формул с хорошей аппроксимацией распределения вещества и кривой вращения. Построенная на основе потенциала фазовая модель хорошо воспроизводит заданное распределение пространственной плотности. Однако получившиеся кинематические характеристики оказались далеки от ожидаемых. Так кривая вращения на плоском участке дает заниженное значение скорости (примерно 180 км/с), а для дисперсии скоростей получилась завышенная величина, приблизительно равная 80 км/с. Причиной, по которой модель получается столь "перегретой", вероятно, является способ выбора начальных данных для создания библиотеки орбит, при котором все траектории запускаются в сопутствующей плоскости вертикально вверх. При этом получается недостаток прилегающих к экваториальной плоскости траекторий с малыми амплитудами колебаний по z и избыток траекторий с большими ^-скоростями. По отношению к методу построение такой "перегретой" модели ничем не отличается от получения более холодных моделей. На этом этапе разработки метода учет кинематических характеристик при вычислении весов траекторий еще не был реализован. Само же построение фазовой модели можно считать успешным.

Однако, если рассматривать задачу построения моделей для нашей Галактики, то получившиеся результаты построения фазовой модели на основе потенциала Кутузова-Осипкова не могли быть признаны полностью удовлетворительными. Кинематические характеристики построенных моделей существенно отличались от параметров, найденных из наблюдений для Галактики. Причина различий могла быть как в потенциале, для которого могло не существовать подходящей фазовой модели с нужными кинематическими характеристиками, так и в используемом для построения методе.

В качестве тестирования всех шагов разработанного метода было решено построить модели на основе подробно теоретически исследованного сферического потенциала Пламмера [22], для которого хорошо известны распределения по координатам и по скоростям. Модели на его основе в соответствии с теорией должны обладать свойством устойчивости. Если бы построенные модели оказались неустойчивыми, то следовало бы признать наличие ошибок в разработанном программном комплексе или использовавшемся наборе алгоритмов и подходов.

Поведение построенных методом Шварцшильда фазовых моделей для потенциала Пламмера сравнивалось с эволюцией моделей из точечных масс, построенных другим стандартизированным способом. Различие полученных распределений пространственной плотности и кинематических характеристик в нашей модели и модели, использовавшейся как "стандартная", оказалось менее чем 3%. Кинематика моделей в пределах сферы радиусом 5 единиц была близкой, существенные отличия наблюдались только за пределами этой области, где содержится менее 2% массы модели. Построенные модели оказались равновесными и устойчивыми. Эти результаты подтвердили использовавшиеся алгоритмы и подходы и являются хорошей проверкой всего комплекса программ построения фазовых моделей. Также показал свою эффективность новый, использовавшийся при данном построении, алгоритм разбиения пространства модели на ячейки, позволивший повысить пространственное разрешение модели без увеличения общего числа ячеек. Результаты испытаний подтвердили, что данная модификация работы с ячейками полезна при моделировании и ускоряет процесс в целом.

После подтверждения эффективной работы алгоритмов и программного комплекса метод был применен для построения и исследования фазовых моделей на основе потенциала Флинна и др. [29]. Этот потенциал представляет собой трехкомпонентную модель, содержащую ядро, диск и протяженное гало. В проведенных экспериментах гало вводилось в виде внешнего заданного поля и не моделировалось орбитами или телами.

В процессе построения моделей для потенциала Флинна и др [29] был применен новый алгоритм вычисления весов орбит, основанный на М2М методе [52, 28], что позволило увеличить быстродействие, а также учитывать кинематические характеристики модели в процедуре вычисления весов траекторий. Использованная модификация, в частности, позволила справиться с большими дисперсиями остаточных скоростей, возникшими при построении моделей для потенциала Кутузова-Осипкова.

Совокупность использованных при построении данных моделей модификаций (алгоритм вычисления весов на базе made-to-measure метода, разбиение на криволинейные ячейки и переменность размеров ячеек) существенно улучшила качество моделей и ускорила процесс построения, показав свою высокую эффективность. Распределение вещества в построенных моделях хорошо согласуется с теоретическим, что еще раз подтверждает эффективность использования метода Шварцшильда для воспроизведения заданной пространственной плотности.

Кинематические характеристики моделей получаются довольно разнообразными в зависимости от используемых значений настраиваемых параметров. Были получены как модели с характеристиками, близкими к наблюдательным данным, так и модели с совершенно необычными распределениями скоростей и их дисперсий. По итогам серии построений были выбраны оптимальные значения параметров. Но для данного распределения плотности, определяемого потенциалом Флинна и др. [29], не удалось полностью воспроизвести кинематические характеристики, свойственные Галактике. Построенные с оптимальными значениями параметров модели при тестировании методами задачи N тел показывали отклонение от первоначальных характеристик, однако после короткого промежутка времени эволюция прекращалась, и модели стабилизировались в состоянии, близком к исходному. Это указывает на то, что построенные модели были в окрестности устойчивых решений.

Благодарности

Хочу выразить благодарность:

Николаю Петровичу Питьеву за приобщение к вышеописанному методу, постановку задачи, помощь в работе и ценные замечания и советы;

Виктору Владимировичу Орлову за научное руководство, координацию и интересные идеи; сотрудникам Кафедры небесной механики СПбГУ во главе с Константином Владиславовичем Холшевниковым за полученные знания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Башаков, Андрей Александрович, 2010 год

1. Ашманов С. А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

2. Башаков А.А. Использование модифицированного метода Шварцшильда для построения фазовой модели Галактики // Вестник СПбГУ, 2009, сер. 1, вып. 3, с. 142-149.

3. Башаков А.А. Построение модели Галактики методом Шварцшильда. // Конференция ВАК-2007, Казань.

4. Башаков A.A. Construction of self-consistent galactic models by Schwarzschild's method. Dynamics of galaxies // Международн. конф. Пулково, 6-10 авг. 2007. Тезисы докладов, с. 25.

5. Башаков А.А. Тестирование фазовых моделей звездных систем, построенных методом Шварцшильда // Вестник СПбГУ, 2008, сер. 1, вып. 4, с. 131-143.

6. Башаков А.А., Питьев Н.П. Построение самосогласованных моделей звездных систем методом Шварцшильда // Вестник СПбГУ, 2007, сер. 1, вып. 3, с. 151-159.

7. Башаков А.А., Питьев Н.П., Осипков Л.П. Constructing a self-consistent Galaxy model by Schwarzschild's method. // Звездные .системы. Всероссийская конференция 24-26 мая 2006 г. к 100-летию П.П. Паренаго. Тезисы докладов. Москва, 2006, с. 6.

8. Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю. Линейное программирование. М: Факториал Пресс, 2003.

9. Кутузов С.А., Осипков Л.П. Двухкомпонентная модель гравитационного поля Галактики // Астрон. журн., 1989, т. 66, вып. 5, с. 965-973.

10. Кутузов С.А., Осипков Л.П. Оценка параметров двухкомпонентной модели Галактики интервальным методом // Сб. Вопросы небесной механики и звездной динамики, Алма-Ата, 1990, с. 110-116.

11. Огородников К.Ф. Динамика звездных систем. М.: Физматгиз, 1958.

12. Осипков Л.П. О построении самосогласованной модели Галактики // Вестн. СПбГУ, 1997, сер.1, вып. 4, с. 110-116.

13. Поляченко В.Л., Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гравитирую-щих систем// М.: Наука, 1976.

14. Родионов С.А., Сотникова Н.Я. Итерационный метод построения равновесных (]М-Ьос1у)-моделей звездных дисков // Астрон. журн., 2006, т. 83, № 12, с. 1095-1114.

15. Родионов С.А., Сотникова Н.Я. Оптимальный выбор параметра сглаживания и шага интегрирования в N-body экспериментах // Астрон. журн., 2005, т. 82, № 6, с. 527-534.

16. Aarseth S.J., Нёпоп М., Wielen R. A comparison of numerical methods for the study of star cluster dynamics // Astron. Astrophys., 1974, v. 37, p. 183187.

17. Allen C., Santillan A. An improved model of the galactic mass distribution for orbit computations // Rev. Mexicana Astron. Astrof., 1991, v. 22. p. 255-263.

18. Allen C., Martos M. A simple, realistic model of the Galactic mass distribution for orbit computations // Rev. Mexicana Astron. Astrof., 1986, v. 13. p. 137-147.

19. Bashakov A.A., Pitjev N.P., Ossipkov L.P. Constructing self-consistent galactic models by Schwarzschild's method // Astron. and Astrophys. Transactions, 2006, v. 25, N 2-3, p. 135-138.

20. Bertin G. Dynamics of galaxies. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000.

21. Binney J. J., Ossipkov L.P. Astrophysics at Frontier of Centuries, edited by N.S. Kardashev, R.D. Dagkesamansky, Yu.A. Kovalev, Janus-K, Moscow, 2001, p.181-183.

22. Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics. Princeton University Press, Princeton, 1987.

23. Bottema R. The Stellar Kinematics of Galactic Disks // Astron. Astrophys., 1993, v. 275, p. 16-36.

24. Capuzzo-Dolcetta R., Leccese L., Merritt D., Vicari, A. Self-consistent Models of Cuspy Triaxial Galaxies with Dark Matter Halos // Astrophysical Journal, 2007, v. 666, p. 165-180.

25. Copin Y., Cretton N., Emsellem E. Axisymmetric dynamical models for SAURON and OASIS observations of NGC3377 // Astron. Astrophys., 2004, v. 415, p. 889-903 .

26. Dehnen W., Binney J. Mass models of the Milky Way 11 MNRAS, 1998, v. 294, p. 429-438.27. de Blok W. J. G., Bosma A. High-resolution rotation curves of low surface brightness galaxies // Astron. Astrophys., 2002, v. 385, p. 816-846.

27. De Lorenzi F., Debattista V.P., Gerhard O., Sambhus N. NMAGIC: Fast parallel Implementation of a x2-Made-To-Measure Algorithm for Modeling Observational Data // MNRAS, 2007, v. 376, p. 71-88.

28. Flynn C., Sommer-Larsen J., Christensen P.R. Kinematics of outer stellar halo // MNRAS, 1996, v. 281, p. 1027-1032.

29. Gebhardt K., Thomas J. The black hole mass, stellar mass-to-light ratio, and dark halo in M87 // Astrophys. J., 2009, v. 700, p. 1690-1701.

30. Hafner R., Evans N.W., Dehnen W., Binney J. A dynamical model of inner galaxys // MNRAS, 2000, v. 314, p. 433-452.

31. Hernquist L. N-body realization of compound galaxies // Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 1993. v. 86. N 2, p. 389-400.

32. Hunter C. Constructing Stellar Dynamic Models for Elliptical Galaxies. // Proc. conf. "Stellar Dynamics: from classic to modern", SPb, 2001, p. 281291.

33. Jiang Z. Flattened Jaffe models for galaxies // MNRAS, 2000, v. 319, p. 235-247.

34. Jiang Z., Moss D. Prolate Jaffe models for galaxies // MNRAS, 2002, v. 331, p. 117-125.

35. Katz N., Richstone D. O. Mass-to-light estimates for three round galaxies using Schwarzschild's method // Astrophys. J., 1985, v. 296, p. 331-335.

36. Kuijken K. Self-consistent models for triaxial galaxies with flat rotation curves The disk case // Astrophys. J., 1993, v. 409, p. 68-74.

37. Kuijken K., Dubinski J. Nearly self-consistent disc-buldge-halo models for galaxies // MNRAS, 1995, v. 277, p. 1341-1353.

38. Levison H.F., Richstone D.O. Dynamical models of a sample of Population II stars // Astrophys. J., 1986, v. 308, p. 627-634.

39. Levison H.F., Richstone D.O. Internal dynamics of highly flattened spheroidal systems // Astrophys. J., 1985, v. 295, p. 349-357.

40. Levison H.F., Richstone D.O. Scale-free models of highly flattened elliptical galaxies with massive halos // Astrophys. J., 1985, v. 295, p. 340-348.

41. Merritt D., Fridman T. Triaxial Galaxies with Cusps // Astrophys. J., 1996, v. 460, p. 136-162.

42. Miller R.H. Computational approaches to stellar dynamics. // Proc. conf. "Stellar Dynamics: from classic to modern", SPb, 2001, p. 132-141.

43. Miyamoto M., Nagai R. Three-Dimensional Models for the Distribution of Mass in Galaxies// Publ. Astron. Soc. Japan, 1975, v. 27. p. 533-543.

44. Richstone D.O. Scale-free, axisymmetric galaxy models with little angular momentum // Astrophys. J., 1980, v. 238, p. 103-109.

45. Richstone D.O., Tremaine S. Dynamical models of M87 without a central black hole // Astrophys. J., 1985, v. 296, p. 370-378.

46. Rodionov S.A., Orlov V.V. Phase models of the Milky Way stellar disc // MNRAS, 2008, v. 385, p. 200-214.

47. Schwarzschild M. A numerical model for a triaxial stellar system in dynamical equilibrium. // Astrophys. J., 1979, v. 232, p. 236-247.

48. Statler T. S. Self-consistent models of perfect triaxial galaxies j I Astrophys. J., 1987, v. 321, p. 113-152.

49. Sambhus N., Sridhar S. Dynamical modeling of the stellar nucleus of M 31 // Astron. Astrophys., 2002, v. 388, p. 766-770.

50. Syer D., Tremaine S. Made-to-measure N-body system // MNRAS, 1996, v. 282, p. 223-233.

51. Teuben, P. Self-consistent equilibrium models for the perfect elliptic disc momentum // MNRAS, 1987, v. 227, p. 815-841.

52. Widrow L. M., Dubinski J. Equilibrium disc-buldge-halo models for the Milky Way and Andromeda galaxies j I Astrophys. J., 2005, v. 631, p. 838.