Применение асимптотических методов для решения задач тепло- и массопереноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Коркешко, Ольга Ильинична

• Коркешко, Ольга Ильинична
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коркешко, Ольга Ильинична

ВВЕДЕНИЕ.

1. ЗАДАЧИ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ГЛУБОКО ЗАЛЕГАЮЩИХ ПЛАСТАХ.

1.1. Некоторые аспекты развития методов расчётов температурных полей в пластах.

1.2. Основные физические процессы при фильтрации жидкости в глубоко залегающих пластах.

1.3. Постановка задач тепло- и массопереноса с учётом радиальной теплопроводности и радиальной диффузии.

1.4. Постановка задач тепло- и массопереноса без учёта радиальной теплопроводности и радиальной диффузии.

1.5. Выводы.

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ.

2.1. Общие положения методов возмущений.

2.2. Разложение задач тепло- и массопереноса по малому параметру. Системы «зацепляющихся» уравнений.

2.3. Краевые задачи тепло- и массопереноса для нулевого приближения.

2.4. Постановка задачи массопереноса в первом приближении.

2.5. Дополнительные условия для определения концентрации в первом и более высоких приближениях.

2.6. Краевая задача массопереноса для первых коэффициентов разложения без учёта радиальной диффузии.

2.7. Краевая задача теплопереноса для первых коэффициентов разложения без учёта радиальной теплопроводности.

2.8. Задачи тепло- и массопереноса для второго приближения.

2.9. Выводы.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА БЕЗ УЧЁТА

РАДИАЛЬНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ.

3.1. Решение задачи массопереноса в нулевом приближении.

3.2. Решение задачи теплопереноса в нулевом приближении.

3.3. Решение задачи массопереноса в первом приближении.

3.4. Важные частные случаи решения задачи массопереноса для первого приближения.

3.5. Решение задачи теплопереноса в первом приближении.

3.6. Решение задачи массопереноса во втором приближении.

3.7. Частные случаи решения для второго приближения.

3.8. Решение задачи теплопереноса во втором приближении.

3.9. О радиусе сходимости степенных рядов.

3.10.Асимптотическое разложение решения задачи массопереноса без учёта радиальной диффузии.

3.11.Вывод ы.

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА С УЧЁТОМ

РАДИАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ.

4.1. Краевая задача массопереноса с учётом радиальной диффузии в окружающих пласт породах в нулевом приближении.

4.2. Краевая задача массопереноса в нулевом приближении с учётом радиальной диффузии в окружающих средах и в пласте.

4.3. Выводы.

5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЁТОВ И СОПОСТАВЛЕНИЕ

ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ.

5.1. Сопоставление результатов расчётов температурных полей на основе метода малого параметра с экспериментальными данными.

5.2. Анализ результатов расчётов пространственно-временных распределений концентраций вредных примесей в глубоко залегающих пластах.

5.3. Анализ результатов расчётов температурных полей при закачке вредных примесей в глубоко залегающие пласты.

5.4. Способ определения зоны заражения по результатам измерения аномалии охлаждения.

5.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение асимптотических методов для решения задач тепло- и массопереноса»

Актуальность темы исследований. Одним из путей утилизации растворов отходов химических предприятий, в том числе и радиоактивных, является закачка в глубоко залегающие проницаемые пласты через специальные скважины. Такие объекты «Кама-1» и «Кама-2» имеются и в окрестностях г. Стерлитамака. Экологическая опасность подобных объектов заключается в том, что глубоко залегающие пористые пласты имеют выход на поверхность вследствие особенностей геологического строения осадочных пород. Поэтому важно прогнозировать и контролировать размеры зоны, охваченной воздействием вредных примесей, что осуществляется, в основном, расчётным путём, так как возможности экспериментального определения размеров глубоко залегающих зон весьма ограничены.

Разработка методов расчётов пространственно-временных распределений концентрации вредных примесей в глубоко залегающих пластах сводится к решению краевых задач конвективной диффузии в пористых средах. Соответствующие задачи обладают большим разнообразием, и решение их сопряжено со значительными трудностями.

При закачке вредных примесей нарушается также естественное температурное поле, так как температура закачиваемой жидкости отличается от температуры пласта. Поля концентраций вредных примесей и температуры в этом случае оказываются взаимосвязанными. Поэтому на основе измерений температуры в контрольных скважинах, проведённых в зоне влияния закачки отходов химических предприятий, можно создать методы контроля за зоной заражения.

Аналогичные процессы наблюдаются при закачке воды для поддержания давления в нефтегазовых пластах [1, 15, 16, 67, 68]. С другой стороны, для увеличения нефтеотдачи используют закачку нагретого теплоносителя. Исследование полей концентрации вредных примесей и температуры важно также потому, что на ряде месторождений нефти, в связи с заколонными перетоками в нагнетательных скважинах, происходит неконтролируемое заводнение пресноводных пластов, что лишает ближайшие населённые пункты источников питьевой воды.

Исследованию температурных полей в нефтегазовых пластах посвящено большое число работ научных школ Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов, научно-исследовательских и проектных институтов нефтегазовой промышленности [1, 15, 16, 67, 68], а также зарубежных исследователей [102]. В этих работах в основу исследований положена «схема сосредоточенной ёмкости», которая предполагает, что поле температуры в интервале пласта не зависит от вертикальной координаты. Если раньше результаты расчётов при таких допущениях считались удовлетворительными, то в последние годы, в связи с повышением разрешающей способности термометрической аппаратуры, остро встаёт вопрос о методах расчётов температуры с учётом зависимости от вертикальной координаты. «Схема сосредоточенной ёмкости» является приближённой в указанном выше смысле, поэтому важен вопрос об области её применимости, который до настоящего времени не решён.

Интерес к проблеме температурных полей в нефтегазовых пластах достаточно высок также в связи с различными геофизическими приложениями.

Исследованию взаимосвязанных полей температуры и концентрации при закачке жидкости с примесями в пласт посвящена предлагаемая работа.

Вышеизложенное свидетельствует о том, что избранная тема исследований является весьма актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка методов расчётов полей температур и концентраций на основе применения асимптотических методов, в частности метода малого параметра, к многослойным краевым задачам теплопроводности и конвективной диффузии, описывающим распределение температуры и динамику вредных примесей при закачке растворов в глубоко залегающие проницаемые пласты.

Задачи исследований:

1. Анализ вклада основных физических процессов, обуславливающих динамику вредных примесей и температурные поля, и постановка соответствующих математических задач.

2. Применение метода малого параметра к многослойным задачам, получение системы уравнений для коэффициентов разложения искомого решения в виде ряда по малому параметру. Разработка методики «расцепления» соответствующих уравнений, получение дополнительных интегральных условий и формулировка соответствующей последовательности краевых задач для коэффициентов разложений.

3. Получение аналитических решений для коэффициентов разложения нулевого, первого и второго порядков. Поиск условий применимости полученных решений для расчётов полей вредных примесей и температур.

4. Сопоставление расчётных и экспериментальных кривых для оценки достоверности приближённых решений.

5. Расчёт полей и изучение особенностей пространственно-временных распределений концентраций вредных примесей в природных объектах и температур и разработка практических рекомендаций на этой основе.

6. Исследование возможности определения радиуса зоны заражения вредными примесями по результатам измерения аномалии охлаждения в контрольных скважинах.

Методика исследований. Проблема исследования взаимосвязанных полей температуры и концентрации сведена к краевым задачам конвективной теплопроводности и диффузии, представленным в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения по целесообразно выбранному малому параметру, аналитическое решение которых построено на основе методов интегральных преобразований. Расчёты и графические построения осуществлялись с использованием ЭВМ на основе программ Turbo pascal, Paint, Grapher, CorelDRAW, Mathcad. Исследования осуществлялись также на основе сопоставления теоретических и экспериментальных результатов.

Достоверность полученных результатов обосновывается тем, что в основу исследований положены уравнения, выведенные из надёжно установленных законов сохранения, согласованием полученных решений в частных случаях с результатами других исследователей, а также удовлетворительным согласием расчётных кривых с результатами экспериментальных исследований, опубликованных в печати.

Научная новизна. Получены новые приближённые решения задач, описывающих динамику вредных примесей и температурные поля в проницаемых пластах, в которых в высоких приближениях использовано условие усреднения по некоторым поверхностям.

Показано, что в частном случае нулевое приближение совпадает с хорошо исследованной в литературе задачей по «схеме сосредоточенной ёмкости», использованной ранее в теплофизике. Найдены новые условия применимости схемы сосредоточенной ёмкости для расчётов полей концентраций при закачке растворов в глубоко залегающие пористые пласты и полей температур при закачке теплоносителя.

Установлены закономерности взаимосвязанных полей концентрации и температуры при закачке растворов в пласты.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе полученных решений созданы новые способы расчётов экологической безопасности природных глубоко залегающих объектов, используемых для захоронения отходов промышленных предприятий, а также оценки экологической опасности неконтролируемого заводнения пресноводных объектов на нефтяных месторождениях. Предложен новый метод определения зоны заражения по результатам измерения аномалии охлаждения.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Физическое обоснование соответствующего дополнительного интегрального условия при применении метода малого параметра, позволившего представить решения в виде комбинации полиномов по переменным гиг цилиндрической системы координат и интеграла ошибок и его производных, к задачам конвективной диффузии и теплопроводности, описывающим пространственно-временные распределения концентраций вредных примесей и температуры в глубоко залегающих пористых пластах.

2. Аналитические выражения для расчётов полей температуры и концентрации вредных примесей при их закачке в подземные пласты, представленные в виде разложения по малому параметру, равному отношению коэффициента диффузии загрязнителя в окружающих пласт породах к коэффициенту диффузии в пласте для задач конвективной диффузии, или отношению коэффициента теплопроводности окружающих пласт пород к коэффициенту теплопроводности пласта для задач теплопроводности, содержащие слагаемые нулевого, первого и второго порядков.

3. Обоснование применимости полученных формул для расчётов полей температур и концентраций вредных примесей к реальным условиям в стационарном и нестационарном случаях.

4. Способ определения радиуса зоны заражения на основе результатов измерения аномалии охлаждения в контрольных скважинах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на 1-ой научной конференции молодых учёных-физиков Республики Башкортостан (г. Уфа, 1994 г.); на межвузовской научно-практической конференции «Экономический рост: проблемы развития науки, техники и совершенствования производства» (г. Стерлитамак, 1996 г.); на первой межвузовской научно-теоретической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (г. Бирск, 1996 г.); на Всероссийской научной конференции «Физика конденсированного состояния» (г. Стерлитамак, 1997 г.); на Международной конференции «Экологические проблемы бассейнов крупных рек-2» (г. Тольятти, Россия, 1998 г.); на Международной научной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы» (г. Стерлитамак, 1998 г.); на второй Всероссийской научной конференции «Физические проблемы экологии (Физическая экология)» (г. Москва, 1999 г.); на научном семинаре математического факультета БашГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Я. Т. Султанаева; на научном семинаре в институте математики ВЦ УНЦ РАН (г. Уфа) под руководством доктора физико-математических наук, профессора М. Д. Рамазанова; на научном семинаре в институте механики УНЦ РАН (г. Уфа) под руководством доктора физико-математических наук, профессора И. Ш. Ахатова; на научном семинаре физического факультета БашГУ под руководством член-корреспондента АН РБ и АЕН РФ, доктора физико-математических наук, профессора Ф. Л. Саяхова; на научном семинаре кафедры теоретической физики СГПИ под руководством член-корреспондента АН РБ, доктора физико-математических наук, профессора В. Ш. Шагапова; на научном семинаре кафедры математического анализа СГПИ под руководством доктора физико-математических наук, профессора К. Б. Сабитова; на научном семинаре кафедры алгебры и геометрии СГПИ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ф. X. Мукминова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 научных работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы, состоящего из 116 наименований. Работа изложена на 196 страницах и иллюстрирована 21 рисунком.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Коркешко, Ольга Ильинична

5.5. Выводы

Анализ результатов расчётов пространственно-временных зависимостей полей концентраций вредных примесей и температур в глубоко залегающих пластах позволяет установить следующее.

Нулевое приближение может быть успешно использовано для расчёта средних значений концентраций вредных веществ и температуры в проницаемых пластах и с достаточной точностью описывает поля концентраций и температур в окружающих породах и зону возмущений концентрации и температуры в среде.

Первое приближение удовлетворительно описывает поля концентраций и температур, как в пласте, так и в окружающих породах и позволяет устранить главный недостаток нулевого приближения, то есть учесть зависимость от ^ в интервале пласта. Причём для / > 1 и е < 1 погрешность нулевого приближения не превосходит 10 % в интервале пласта.

Произведённые расчёты позволили также дать оценку погрешности «схемы сосредоточенной ёмкости», которая раньше использовалась в теплофизике и, как показано в данной работе, может быть успешно использована для расчётов полей концентраций вредных примесей в глубоко залегающих пластах. Точность «схемы сосредоточенной ёмкости» растёт с увеличением времени, уменьшением отношения коэффициента диффузии в окружающей среде к коэффициенту диффузии в пласте (уменьшением отношения коэффициента теплопроводности в окружающих породах к коэффициенту теплопроводности в пласте) и уменьшением координаты г от оси скважины. При этих условиях сохранение в результирующем решении двух слагаемых позволяет достигать высокой точности расчётов, достаточных для практических приложений.

Сопоставление теории и эксперимента позволило подтвердить удовлетворительную точность при применении расчётных формул, полученных по методу пространственного усреднения на основе малого параметра, для практических расчётов. Показано, что их погрешность не превышает 10%, если расстояния от скважины, в которую осуществляется закачка, не превосходят 0,8 радиуса зоны возмущений концентрации и температуры.

Предложен и реализован способ оценки радиуса зоны заражения пласта на основе измерения температуры в контрольных скважинах. Этот способ имеет также важное практическое значение для исследования неконтролируемого заводнения пресноводных источников на нефтяных месторождениях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате осуществлённых исследований получены следующие основные результаты.

1. Показано, что асимптотические методы при рациональном выборе малого параметра могут быть успешно использованы для решения многослойных взаимосвязанных задач конвективной диффузии, описывающих распределение вредных примесей, закачиваемых в виде растворов в глубоко залегающие пласты, и конвективной теплопроводности, описывающих сопутствующие температурные поля.

2. Установлено, что если в качестве малого параметра выбрать отношение коэффициента диффузии или теплопроводности в окружающей среде к коэффициенту диффузии или теплопроводности в пласте, то нулевое приближение описывает поля концентрации и температуры, осреднённые по толщине пласта, в который осуществляется закачка, а в частном случае нулевое приближение совпадает со «схемой сосредоточенной ёмкости», при использовании которой выделяются области с мало изменяющимися концентрациями или температурами вдоль одной или нескольких координат и искомый параметр в этих областях заменяется на его среднее значение. Благоприятствующим условием широкой применимости метода является обнаруженное ранее различие коэффициентов молекулярной и конвективной диффузии на 2 - 3 порядка.

3. В результате применения метода малого параметра задачи тепло- и массопереноса представляются в виде бесконечной цепочки «зацепляющихся» уравнений, в том смысле, что в каждое уравнение входят коэффициенты разложения соседних порядков. Разработана процедура расцепления, в результате которой исследуемые задачи представляются в виде бесконечной последовательности краевых задач для соответствующих коэффициентов. Установлено, что определение коэффициентов разложения, начиная с первого, требует применения дополнительных условий. Такие условия получены на основе сопоставления задачи для нулевого приближения и соответствующих задач для осреднённых значений концентрации или температуры. Дополнительное интегральное условие заключается в приравнивании к нулю усреднённых значений коэффициентов разложений для концентрации или температуры по толщине пласта, в который осуществляется закачка. Установлен физический смысл нулевого приближения. Оно соответствует большим значениям коэффициентов диффузии и теплопроводности в интервале пласта по вертикальной координате. Первое приближение устраняет недостаток «схемы сосредоточенной ёмкости», что выражается в его зависимости от г.

4. На основе полученных аналитических решений впервые оценена погрешность «схемы сосредоточенной ёмкости» и определены границы её применения для практических расчётов. На основании метода малого параметра доказано, что точность «схемы» возрастает с увеличением времени и уменьшением отношения коэффициентов диффузии в окружающей среде и в пласте Д/1) или отношения коэффициентов теплопроводности в окружающих пласт породах и в пласте Л1 /Я. Показано, что для относительных времён (»1 и значений В1/В«1 (или /А «1) в результирующем решении достаточно сохранить два слагаемых для обеспечения погрешности не более 1 %.

5. Для времён ? < 10 зона влияния пласта в окружающих породах достигает приблизительно пяти толщин пласта, что практически исключает вероятность диффузионного проникновения вредных веществ на поверхность для пластов, залегающих на глубинах порядка одного километра. Отметим, что это не уменьшает опасности загрязнения земной поверхности, поскольку пласты имеют выход на поверхность; в силу этого представляют интерес полученные формулы для расчётов предельного радиуса зоны заражения.

6. Разработан способ определения радиуса зоны заражения вредными веществами по результатам измерений аномалии охлаждения в контрольных скважинах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коркешко, Ольга Ильинична, 2000 год

1. Авдонин Н. А. О некоторых формулах для расчёта температурного поля пласта при тепловой инжекции // Изв. вузов. Нефть и газ. 1964. № 3.

2. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции.- М.: Наука, 1984.- 384 С.

3. Бармин А. А., Гарагаш Д. И. О фильтрации раствора в пористой среде с учётом адсорбции примеси на скелет // Механика жидкости и газа. 1994. №4. С. 97-110.

4. Бартман А. Б., Перельман Т. Л. Новый асимптотический метод в аналитической теории переноса. Под ред. д. физ-мат. наук С. И. Анисимова-Минск: Наука и техника, 1975.

5. Баум В. А. Исследование процесса перемешивания в потоке жидкости, протекающей в трубах, заполненных кусковым материалом. Изв. АН СССР, ОТН, вып. 9, 1953.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Серия: «Справочная математическая библиотека».- М.: Наука, 1966 296 С.

7. Бондарев Э. А., Николаевский В. Н. Конвективная диффузия в пористых средах с учётом явления адсорбции // ПМТФ. 1962. № 5. С 128-134.

8. Бочевер Ф. М., Лапшин Н. Н., Орадовская А. Е. Защита подземных вод от загрязнения М.: Недра, 1979- 254 С.

9. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости М.: Мир, 1973757 С.

10. Бэтчелор Дж. Теория однородной турбулентности. Пер. с англ-Изд. иностранной литературы, 1955.

11. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. Перевод с англ. В. А. Смирнова. Под ред. А. А. Никольского М.: Мир, 1967.

12. Ватсон Г. Теория бесселевых функций ИЛ, 1949.

13. Венецианов Е. В., Рубинштейн Р. Н. Динамика сорбции из жидких сред,- М.: Наука, 1983.- 237 С.

14. Владимиров В. С. Уравнения математической физики М.: Наука,1981.-512 С

15. Волков И. К. К расчёту двухмерного температурного поля пласта при заводнении с учётом дроссельного эффекта // Вопросы экспериментальной геотермологии: Сб. /КГУ. Казань, 1973. С. 10-14.

16. Волков И. К. О некоторых формулах для расчёта температурного поля пласта при нагнетании в него воды с учётом дроссельного эффекта (плоско-параллельная фильтрация) // Вопросы экспериментальной геотермологии: Сб. / КГУ. Казань, 1973. С. 3-9.

17. Вопросы теории процессов переноса. Сб. научных трудов. Институт тепло- и массообмена имени А. В. Лыкова АН БССР Минск, 1977.

18. Герасимов Я. И. Курс физической химии М.: Химия, 1970 - 5921. С.

19. Герасимов Я. И., Гейдерих В. А. Термодинамика растворов М.: Изд. МГУ, 1980.- 183 С.

20. Годунов С. К. Уравнения математической физики- М.: Наука, 1971.-416 С.

21. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды М.: Наука, 1978.-304 С.

22. Градштейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, рядов и произведений-М.: Наука, 1963.

23. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление-М.: Наука, 1974.

24. Диткин В. А., Прудников А.П. Операционное исчисление М.: Высшая школа, 1975.

25. Диткин В. А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению- М.: Высшая школа, 1965- 465 С.

26. Зельдович Я. Б. Химическая физика и гидродинамика М.: Наука, 1980.-479 С.

27. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы математической физики,- М.: Наука, 1973,- 352 С.

28. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды -М.: Изд. МГУ, 1979288 С.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям-М.: Наука, 1965.

30. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел М.: Наука, 1964.-488 С.

31. Коллинз Р. Течение жидкости через пористые материалы- М.: Мир, 1964.-350 С.

32. Конвекция в каналах: Сб. статей. Под ред. академика АН БССР А. В. Лыкова. Институт тепло- и массообмена АН БССР Минск, 1971 - 342 С.

33. Коркешко О. И., Костомаров Ю. В. Новые подходы к экологическим задачам конвективной диффузии в сложных средах // 1 науч. конф. молодых учёных-физиков республики Башкортостан 21-23 ноября 1994 г.: Тез. докл.- Уфа: Баш. гос. ун-т, 1995 С. 17.

34. Коркешко О. И., Котельников В. А., Тарасов А. Г. Обратные задачи конвективной диффузии // 1 науч. конф. молодых учёных-физиков республики Башкортостан 21-23 ноября 1994 г.: Тез. докл.- Уфа: Баш. гос. ун-т, 1995,-С. 16.

35. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров М.: Наука, 1984.

36. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике М.: Мир, 1972.

37. Кэйс В. М. Конвективный тепло- и массообмен М.: Энергия,1972.

38. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.: Наука, 1967 - 736 С.

39. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред М.: Гос-техиздат, 1954.- 795 С.

40. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. 5: Гидродинамика-М.: Наука, 1988 736 С.

41. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения М.-Л.: Физматгиз, 1963.-358 С.

42. Малофеев Г. Е., Толстов Л. А. и Шейнман А. Б. Исследование распространения тепла в пласте при радиальном течении горячей жидкости // Нефтяное хозяйство. 1966, № 8.

43. Мартыненко О. Г., Березовский А. А., Соковишин Ю. А. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена. Под ред. члена-корреспондента АН СССР Р. И. Солоухина Минск: Наука и техника, 1979.

44. Мартыненко О. Г., Соковишин Ю. А. Теплообмен смешанной конвекцией. Под ред. академика А. В. Лыкова Минск: Наука и техника, 1975.

45. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы М.: Изд. МГУ, 1965.-553 С.

46. Математический энциклопедический словарь М.: Большая Российская энциклопедия, 1995 - 847 С.

47. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1983.- 424 С.

48. Мошинский А. И. Граничное условие «Тепловая ёмкость» как предельное соотношение // ИФЖ. 1991. Т. 61, № 3. С. 458.

49. Мошинский А. И. О граничных условиях типа тепловой ёмкости в задачах теплообмена // ТВТ. 1989. Т. 27, № 4. С. 708.

50. Мошинский А. И. Об уточнении условия типа «Тепловая ёмкость», применяемого в задачах тепломассопереноса // ТВТ. 1997. Т. 35, № 1. С. 160-162.

51. Найфэ А. X. Методы возмущений. Перевод с англ. А. А. Меликя-на, А. А. Миронова. Под ред. Ф. Л. Черноусько- М.: Мир, 1976.

52. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред М.: Наука, 1987. Ч. 1,2.

53. Нигматулин Р. И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред // ПММ. 1971. Т.35, №3. С.451-463.

54. Нигматулин Р. И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей // ПММ. 1970. Т.34, №6. С. 1097-1112.

55. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред М.: Наука, 1978,- 336 С.

56. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики М.: Наука, 1978 - 320 С.

57. Николаевский В. Н. Капиллярная модель диффузии в пористых средах. Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и маш., вып. 4, 1959.

58. Николаевский В. Н. Конвективная диффузия в пористых средах // ПММ. 1959. Т. 23, № 6. С. 1042-1050.

59. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред.- М.: Недра, 1970 336 С.

60. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред-М.: Недра, 1984.-232 С.

61. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: Учебное пособие для втузов М.: Наука, 1985. Т. 2 - 560 С.

62. Пудовкин М. А. Теоретические расчёты поля температур пласта при нагнетании в него воды // Вопросы усовершенствования разработки нефтяных месторождений Татарии: Сб. / КГУ. Казань, 1962.

63. Рубинштейн Л. И. Температурные поля в нефтяных пластах М.: Недра, 1971.

64. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Курс высшей математики и математической физики.- М.: Наука, 1967.-304 С.

65. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике М.: Недра, 1978.-216 С.

66. Седов Л. И. Механика сплошной среды М.: Наука, 1994. Т. 1,2.

67. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного М.: Наука, 1982 - 488 С.

68. Смирнов В.И. Курс высшей математики М.: Наука, 1967. Т. 1480 С.

69. Соломенцев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учебное пособие для студентов вузов М.: Высшая школа, 1988167 С.

70. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972,- 376 С.

71. Филиппов А. И. Методические указания по спецкурсу «Гидродинамика». Уфа, 1992.

72. Филиппов А. И., Коркешко О. И. Исследование пространственно-временных распределений концентрации веществ на основе «схемы сосредоточенной ёмкости» // ИФЖ. 1997. Т. 70. № 2. С. 205-210.

73. Филиппов А. И., Коркешко О. И. Компьютерное моделирование экологических процессов // ЭВТ в обучении и моделировании: Материалы первой межвуз. науч.-теоретической конф. 7-8 июня 1996 г.- Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 1996,-С. 80-82.

74. Филиппов А. И., Коркешко О. И. Применение «схемы сосредоточенной ёмкости» к экологическим задачам конвективной диффузии // Прикладная физика и геофизика: Межвуз. сб. науч. тр.- Уфа: Баш. гос. ун-т, 1995,- С. 124-130.

75. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике-М.: Наука, 1967.

76. Френкель Ф. Н. Турбулентная диффузия; распределение средней концентрации в поле однородного турбулентного потока // Проблемы механики: Сб. / Пер. с англ. Изд. иностранной литературы, 1955.

77. Шейдеггер А. Э. Физика течения жидкости через пористые среды. Пер. с англ.- М.: Гостоптехиздат, 1960 249 С.

78. Эрдейи А. Асимптотические разложения. Перевод с англ. Н. Я. Виленкина.-М.: Физматгиз, 1962.

79. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции- М.: Наука, 1968.-344 С.

80. Aronofsky J.S., Heller J.P. A diffusion model to explain mixing of flowing fluids in porous media. J. Petrol. Technol., December, 1957.

81. Bachmat Y and Bear J. Mathematical formulation of transport phenomena in porous media. Proc. Int. Symp. of IAHR on the Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, Guelph, Canada, 1972. P. 174-197.

82. Bear J. a. o. Flow through porous media. New York London: Academic Press, 1969.

83. Bear J. Dynamics of fluids in porous media. New York: American Elsevier publ. со., 1967. 764 pp.

84. Bear J. Hydraulics of groundwater. New York etc.: McGraw-Hill intern. book со., cop. 1979. XIII, 567 pp.

85. Bear J., Bachmat Y. Introduction to modeling of transport phenomena in porous media. Dordrecht et al.: Kluwer, 1990. 533 pp.

86. Brooks R.H. and Corey A.T. Properties of porous media affecting fluid flow. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 92 (IR2), 61-87, 1966.

87. Filippov A.I., Korkeshko O.I., and Chiganov P.A. The use of a small parameter method to solve problems of convective diffusion // Russ. J. Eng. Ther-mophys., 1999, Vol. 9, No. 3, P. 161-182.

88. Gershon N.D. and Nir A. Effects of boundary conditions of models on tracer distribution in flow through porous mediums. Wat. Resour. Res., 5 (4), 830839, 1969.

89. Koch H.A., Slobod R.L. Miscible slug process. J. Petrol. Technol., February, 1957.

90. Lau L.K., Kaufman W.J., and Todd D.K. Dispersion of a water tracer in radial laminar flow through homogeneous porous media. Hydraulic Lab., Univ. of California, Berkeley, Calif., 1959.

91. Lauwerier H.A. The transport of heat in an oil layer caused by the injection of hot fluid. Applied Scientific Research, Section A, 1955, vol. 5, No 2-3, pp. 145-150.

92. Morel-Seytoux H.J. Two-phase flows in porous media, in Advances in Hydroscience (V. T. Chow, Ed.), 9, 119-202. New York: Academic Press, 1973.

93. Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media. New York: McGraw-Hill, 1937. 763 pp.

94. Ogata A. and Banks R.B. A solution of the differential equation of longitudinal dispersion in porous media. U.S. Geol. Survey, Prof. Paper no. 411-A, 1961.

95. Parlange J.Y. and Babu D.K. On solving the nonlinear diffusion equation a comparison of perturbation, iterative and optimal techniques for an arbitrary diffusivity. Wat. Resour. Res., 13 (1), 213-214, 1977.

96. Philip J.R. Flow through porous media. Ann. Rev. Fluid Mechan., 2, 177-204, 1970.

97. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of filtration of liquids in porous media, in Advanc. Appl. Mech. (R.V. Mises and Th.U. Karman, Eds), 2, 153-225. New York: Academic Press, 1951.

98. Prakash A. Radial dispersion through adsorbing porous media. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 102 (HY3), 379-396, 1976.

99. Rosenberg von, D.V. Mechanics of steady-state single-phase fluid displacement from porous media. AIChE Journ., vol. 2, No. 1, March, 1956.

100. Saffman P.G. A theary of dispersion in a porous medium. J. Fluid Mech., 6 (3), 321-349, 1959.

101. Scheidegger A.E. General theory of dispersion in porous media. J. Geophys. Res., 66, 3273-3278, 1961.

102. Scheidegger A.E. Statistical hydrodynamics in porous media. J. Appl. Phys., vol. 25, no. 8, August, 1954.

103. Taylor G. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube. Proc. Roy. Soc. A, vol. 219, 1953.158

104. Verruijt A. Steady dispersion across an interface in a porous medium. J Hydrol., 14, 337-347, 1971.

105. Ward J.C. Turbulent flow in porous media. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 90 (HY5), 1-12, 1964.