Применение кинетических и Навье-Стокса уравнений для описания нелинейных эффектов и неустойчивостей в сжимаемом газе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Ровенская, Ольга Игоревна

• Ровенская, Ольга Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ровенская, Ольга Игоревна

Содержание.

Обозначения.

Введение.

1 Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики.

1.1 Некоторые математические модели газодинамических процессов.

1.2 Численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики (кинетический подход).

2 Методы исследования.

2.1 Консервативный метод дискретных ординат.

2.2 Псевдоспектральный метод.

2.3 Метод прямого статистического моделирования.

2.3.1 Алгоритм моделирования.

2.4 Схема Годунова.

3 Численное моделирование одномерной динамики индуцированных акустических волн.

3.1 Кинетический подход.

3.1.1 Постановка задачи в рамках кинетического подхода.

3.1.2 Метод решения и параметры моделирования.

3.1.3 Анализ результатов численного эксперимента.

3.1.4 Определение структуры ударной волны.

3.2 Континуальный подход.

3.2.1 Постановка задачи в рамках континуального подхода.

3.2.2 Метод решения.

3.2.3 Связь масштабов.

3.2.4 Анализ результатов численного эксперимента.

3.2.5 Изучение влияния интенсивности внешних возмущений.

3.3 Сравнение решений, полученных в рамках кинетического и континуального подходов.

3.3.1 Уравнения высших приближений метода Чепмена - Энскога.

3.3.2 Первое приближение к функции распределения.

3.3.3 Второе приближение к функции распределения.

3.3.4 Анализ результатов сравнения.

Выводы.

4 Численное решение некоторых задач с помощью кинетического подхода.

4.1 Задача о распаде разрыва.

4.2 Численное моделирование процесса испарения в вакуум с плоской поверхности.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Результаты моделирования.

Выводы.

4.3 Численное моделирование вихревой системы с начальными условиями типа Тейлора-Грина.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Параметры моделирования.

4.3.3 Сравнение с результатами, полученными другими методами.

4.3.4 Спектральные свойства.

4.3.5 Влияние интенсивности начальных условий.

4.3.6 Влияние числа Кнудсена.

4.3.7 Эволюцию вихревой системы при М > 1.

4.3.8 Моделирование эволюции сложной вихревой системы.

Выводы.

4.4 Численное моделирование задачи Рэлея - Бенара в разреженном газе.

4.4.1 Постановка и метод решения задачи.

4.4.2 Моделирование одномерной задачи Релея - Бенара.

4.4.3 Моделирование двумерной задачи Релея - Бенара.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение кинетических и Навье-Стокса уравнений для описания нелинейных эффектов и неустойчивостей в сжимаемом газе»

Актуальность работы

Существует множество процессов связанных с газовой динамикой: испарение, разнообразные газодинамические неустойчивости, акустика газовых потоков, генерация звука и т.д. Каждая тема имеет немалое практическое применение: при разработке и создании авиадвигателей, в вопросах экологии, в авиастроении и машиностроении (проблемы возникновения и подавления шума). Поэтому задачи, связанные с исследованием нестационарных течений сжимаемого газа важны и актуальны для различных инженерных приложений, промышленности и экологии. Такие течения можно охарактеризовать нелинейностью происходящих в них процессов, наличием больших перемещений среды, разнохарактерным и сложным механизмом взаимодействия, диссипацией энергии.

Для детального исследования таких течений уже недостаточно только проведение натурных экспериментов необходим вычислительный эксперимент или математическое моделирование поставленной задачи. Появление все более мощной высокопроизводительной техники, в первую очередь параллельных вычислительных машин, и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики и механики создали объективные предпосылки для реализации прямого численного моделирования сложных течений жидкости и газа, в том числе и турбулентности. Численный эксперимент в сочетании с физическим открывает новые возможности в познании явлений природы, установлении роли в них различных факторов, а также позволяет определить границы применимости математических моделей. Несомненный интерес представляют исследования различных видов неустойчивости, особенно при расчетах на большие интервалы времени, включая турбулентную стадию.

Основная трудность при рассмотрении таких задач - выработка общей концепции построения конструктивных численных моделей сложных нестационарных течений, турбулентности, развития неустойчивости. В качестве математической модели для изучения этих процессов можно использовать систему континуальны уравнений Навье - Стокса для вязкого сжимаемого теплопроводного газа, а также уравнения высших приближений — Барнетта, супербарнетта и т.д. Фактически единственным эффективным способом решения этой сложной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных являются численные методы. Известно, что прямое применение дискретизированных тем или иным способом уравнений Навье - Стокса (так называемое DNS - Direct Numerical Simulation) для расчетов течений имеющих области с большими градиентами газодинамических параметров или узкие области, примыкающие к границам с твердыми телами не всегда корректно. Вне этих областей, где состояние газа близко к равновесному, т.е. характерные размеры и времена значительно больше кинетических и функция распределения близка к локально -равновесной, описание течений вполне удовлетворительно может быть проведено в рамках континуальных уравнений.

Наиболее корректно задачи такого типа во всех областях течения решаются, используя только кинетический подход - на основе решения уравнения Больцмана или его модельных уравнениях. Поэтому в диссертационной работе помимо уравнений Навье — Стокса и Барнетта будет рассматриваться кинетическое уравнение Больцмана (и его модельное уравнение), которое можно интерпретировать как физическую модель, описывающую течения вязкого газа и альтернативную континуальным уравнениям.

Ввиду этого, представляется актуальным изучение численных методов для решения уравнения Больцмана и реализация на их основе программ, в том числе параллельных для решения задач связанных с такими явлениями как турбулентность и неустойчивость в сжимаемых течениях. Иная математическая модель по сравнению с континуальными уравнениями дает иные возможности для описания явлений.

Важным моментом в численном моделировании аэродинамических задач с помощью кинетического подхода является выбор метода для решения уравнения Больцмана, который мог бы одинаково надежно работать в областях с разными типами течений. В этом смысле хорошо зарекомендовал себя консервативный проекционный метод дискретных ординат Ф.Г. Черемисина, обеспечивающий строгое выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также обращение интеграла столкновения в ноль в условиях термодинамического равновесия. Наиболее популярной альтернативой прямому численному решению уравнения Больцмана является метод Монте-Карло, который направлен на то, чтобы обойти прямое численное решение уравнения Больцмана и моделировать непосредственно движение фиксированного числа частиц в ячейках численной сетки. При этом широкое распространение получили модификации метода, предложенные Бердом, Белоцерковским и Яницким.

Следует отметить, что на сегодняшний день все более широкое распространение получают модельные кинетические уравнения, аппроксимирующие уравнение Больцмана, реализация которых требует существенно меньше вычислительных затрат. Наибольшую популярность имеют так называемое уравнение Крука и модельное уравнение неполного третьего приближения, получившее название модели Шахова, или S-модели, которые, как и уравнение Больцмана является интегро-дифференциальным.

Таким образом, для расчета сложных разномасштабных нестационарных течений, которые характерны для индустриально важных на сегодняшний день задач, актуально использование максимально универсальной модели — уравнения Больцмана, адекватно описывающего возможно большее число типов течения.

В рамках многопланового подхода к изучению нестационарных и нелинейных процессов (в том числе неустойчивости и турбулентности) представляется актуальным исследовать характеристики течения в рамках двух подходов - континуального и кинетического.

Актуальность проведенного исследования обусловлена ценностью информации, полученной с помощью методов прямого моделирования, что стало возможным благодаря появлению многопроцессорных вычислительных систем.

В главе 1 кратко описывается история развития численных методов используемых при моделировании течений разреженного газа. Дан обзор методов решения кинетического уравнений Больцмана. Приводится обзор экспериментальных, теоретических и численных работ, в которых излагаются существующие на сегодняшний день представления о природе возникновения нелинейных процессов, в том числе неустойчивости и турбулентности.

В главе 2 описываются численные методы и схемы, применяемые при решении поставленных задач.

В главе 3 рассматривается задача о динамике акустических возмущений, возбуждаемых малой нестационарной внешней силой. Исследуется одномерное нестационарное течение вязкого сжимаемого газа на конечном пространственном интервале с периодическими граничными условиями на его концах, которое возбуждается малой внешней, нестационарной силой. Эволюция течения описывается с помощью двух подходов: кинетического на основе решения Бхатнагара - Гросса - Крука (БГК) модели кинетического уравнения, и континуального на основе решения уравнений Навье - Стокса и Барнетта. Проводится сопоставление результатов, получаемых в разных подходах.

В главе 4 приводятся результаты численного решения некоторых задач с помощью кинетического подхода. Рассматриваются следующие задачи: нестационарное одномерное испарение в вакуум с плоской поверхности; двумерная эволюция вихревой системы с начальными условиями типа Тейлора - Грина; одномерная и двумерная задача Рэлея - Бенара. Результаты получены с помощью консервативного метода дискретных ординат Ф.Г. Черемисина; метода прямого статистического моделирования Монте-Карло; и на основе решения модельного уравнения (БГК) с помощью конечно -разностного метода типа Годунова.

Цель работы

Во — первых, исследование с помощью численного моделирования нелинейной динамики индуцированных акустических волн. Изучение механизмов развития неустойчивости и возникновения акустической турбулентности. Сравнение решений получаемых в кинетической и континуальной постановках.

Во — вторых, анализ численных методов решения многомерного кинетического уравнения Больцмана для разработки на их основе эффективных программ численного моделирования и исследование характера движения газа для ряда задач механики разреженных газов имеющих теоретическое и прикладное значение:

• Одномерной задачи о нестационарном испарении в вакуум с плоской поверхности. Исследование пространственно-временной эволюции течения. Определение границ областей континуального и свободномолекулярного режимов течения в пространственно-временных и автомодельных координатах.

• Двумерной задачи Тейлора - Грина в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Моделирование эволюции вихревого каскада. Выяснение влияния разреженности газа и интенсивности начальных условий на характер эволюции заданной системы вихрей.

• Задачи Рэлея - Бенара в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Исследование процесса формирования и развития конвекционного течения.

Научная новизна работы

1.В данной работе сформулирована и решена задача об индуцированной динамике акустических волн. В рамках которой:

Обнаружено, что малые возмущения, со временем приводят к возникновению ряда нелинейных эффектов. При этом образующаяся со временем нелинейность колебаний макровеличин обусловлена возникновением нестационарных разрывов — ударных волн периодически движущихся от центра интервала к его концам и обратно. Вместе с тем диссипация малой подводимой энергии со временем начинает происходить в ударных волнах, а не только за счет механизма вязкости, что приводит к появлению квазинепрерывного спектра кинетической энергии.

Установлено, что при уменьшении амплитуды внешних возмущений, начиная с некоторой малой амплитуды, ударные волн не возникают и в поле течения распространяются только звуковые волны. Наоборот, увеличение амплитуды, приводит к заметному усложнению движения газа, выражающегося в том, что колебания становятся ангармоническими даже при небольшом интервале периодичности.

Обнаружено, что толщина возникающих слабых ударных волн подчиняется зависимости 1/Др, т.е. изменяется обратно пропорционально разности давлений Ар на фронте ударной волны.

Можно ввести новое понятие - перемежаемости по неравновесности. В области неравновесности справедлива кинетическая модель, а вне этой области континуальная. Появляется еще один масштаб 5 = Kn/Ар, характеризующий нелокальность системы. При этом размер области неравновесности уменьшается с увеличением градиентов макропараметров.

Получена система уравнений Барнетта для интеграла столкновений в виде БГК модели. Обнаружено, что навье - стоксовская и барнеттовская поправки к функции распределения растут с увеличением интервала периодичности.

Проведенное сравнение показало, что вне переходной области ударной волны отклонения функций распределения по скоростям навье-стоксовского и барнеттовского приближений от «модельной» кинетической функции порядка ошибки вычисления, а в этой области становятся значительными, и растут с увеличением интервала периодичности. Обнаруженные отличия функций распределения в переходной зоне ударной волны проявляются в расхождении макропараметров, полученных на основе кинетического (в рамках модельного уравнения) и континуального (в рамках уравнений Навье - Стокса и Барнетта) подходов, в областях неравновесности. Вне этих областей макропарметры из разных подходов хорошо согласуются.

2. Впервые проведено прямое численное моделирование следующих задач в рамках кинетического подхода, на основе численного решения уравнения Больцмана с помощью метода дискретных ординат Ф.Г. Черемисина: а. Нестационарного испарения в вакуум с плоской поверхности. Установлена газодинамическая структура течения, дающая представление о его пространственно - временной эволюции. б. Двумерной задачи с начальными условиями Тейлора - Грина и периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе для чисел Кнудсена 0.0025 < Кп < 0.01. Демонстрируется особенность турбулентных течений образование вихревого каскада - процесс разрушения крупных вихрей на мелкие. Обнаружено, что с уменьшением числа Кнудсена происходит увеличение наклона и инерционного интервала графика распределения спектральной плотности кинетической энергии по волновым числам, представленного в логарифмических координатах. Установлено, что увеличение интенсивности начальных условий (увеличение числа Маха) приводит к появлению в поле течения слабых ударных волн. е. Одномерной и двумерной задачи Релея — Бенара в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. В одномерной постановке: выявлен эффект влияния числа Фруда и отношения температур г на поведение течения газа при фиксированном числе Кнудсена. В рамках двумерной задачи установлено, что при числах Кнудсена Кп < 0.028 и фиксированном г = 0.1 возможно возникновение конвекции. Обнаружено, что с ростом отношения продольного и поперечного размеров области число возникающих вихревых структур в конвекционном течении увеличивается.

Вместе с тем проведенные расчеты показали, что используемые алгоритмы экономичны по затратам вычислительных ресурсов и ими можно эффективно пользоваться для выполнения расчетов с высокой точностью и в широком диапазоне физических параметров.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанные в данной работе программы применимы для расчета течений разреженного газа и сплошной среды в широком диапазоне чисел Маха и Кнудсена. Они позволяют получить решения уже известных задач с более высокой точностью, а также строить решения новых задач, получение решений которых обычными методами было бы затруднительно. Созданные алгоритмы были преобразованы для расчета на многопроцессорных системах, что дает возможность эффективного их использования при выполнении научных исследований и прикладных расчетов.

На рассматриваемых задачах проведен анализ ряда теоретических положений. Так моделирование эволюции вихревого каскада позволяет проследить, как на кинетическом уровне происходит эволюция начальной вихревой системы и передача энергии в более мелкие масштабы. Моделирование динамики акустических волн позволяет исследовать неустойчивость и акустическую турбулентность с учетом сжимаемости среды. Моделирование конвекции Релея - Бенара дает возможности для исследования процессов самопроизвольного возникновения упорядоченных структур и содержит в себе существенные черты, характерные для многих явлений гидродинамической неустойчивости. Получаемые результаты ценны с точки зрения качественного и количественного изучения механизмов возникновения неустойчивости, турбулентности, а также процессов происходящих в вязком, сжимаемом газе при турбулентном движении.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Результаты численного моделирования нелинейной динамики индуцированных акустических волн, возбуждаемых малой внешней нестационарной силой в вязком сжимаемом газе в рамках континуального и кинетического подходов.

2. Расчет нестационарного испарения в вакуум с плоской поверхности для всех режимов течения.

3. Результаты численного моделирования нестационарной двумерной задачи с начальными условиями Тейлора — Грина и периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе.

4. Результаты моделирования течения вязкого сжимаемого газа в плоском горизонтальном слое, подогреваемого снизу - задача Релея - Бенара.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на: XLYIII, XLIX и L научных конференциях МФТИ, Жуковский, 2005, 2006 и 2007 г.; II Международной научно — технической конференции «Авиадвигатели XXI века», Москва, 6-9 декабря 2005 г.; XXV Международном симпозиуме по динамике разреженного газа, Санкт - Петербург, 21-28 июля 2006 г. (25th International symposium on Rarefied Gas Dynamics); XX Международной конференции по теории переноса, Обнинск, 22-28 июля 2007 г. (20th International Conference on Transport Theoiy); Семинаре НИО-8 ЦАГИ (Жуковский, 2008); Семинаре Института механики МГУ (Москва, 2008); XIV Международной конференции по методам аэрофизических исследований, Новосибирск, 30 июня - 6 июля 2008 г. (14th International Conference on Methods of Aerophysical Research (ICMAR))

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Ровенская О.И., Воронин И.В. Численное моделирование нелинейных эффектов в сжимаемом газе на основе уравнений Навье - Стокса и кинетического уравнения // Авиадвигатели XXI века: Тезисы докладов II Международная науч. - тех. конф. - М.: ЦИАМ, 2005.-С. 146-148.

2. Ровенская О.И. Прямое статистическое моделирование эволюции вихревой системы в разреженном газе // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Сборник трудов 48-й науч. конф. МФТИ, Жуковский, 2005 г.-Ч. VI.-С. 22-23.

3. Хлопков Ю.И., ВороничИ.В., Ровенская О.И. Прямое статистическое моделирование эволюции вихревой системы в разреженном газе // Мат. моделирование. - 2007. - Т. 19. № 2. - С. 39-47.

4. Жаров В.А., Ровенская О.И. Одномерная нелинейная индуцированная динамика акустических волн в конечной пространственной области // Изв. РАН МЖГ - 2007. - №2. - С.39-45.

5. Rovenskaya O.I., Voronich I.V. Numerical Modeling of the Unsteady Vapor Outflow from a Flat Surface Using Direct Numerical Solution of the Boltzmann Equation // Proceedings of 25th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. -Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the RAS, 2007. - P. 304-309.

6. Khlopkov Yu.I., Voronich I.V., Rovenskaya O.I., Young-In Choi. On Evolution of Vortical System in Rarefied Gas Flow // Proceedings of 25th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the RAS, 2007. - P. 462-466.

7. Ровенская О.И. -Исследование эволюции вихревой системы на основе решения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики. -2007. - Т. 47. №> 9. - С. 1642 - 1648.

8. Rovenskaya O.I. Numerical modeling of the Rayleigh-Benard problem for rarefied gas // Book of Abstract of 20th Intern. Conf. on Transport Theory. -Obninsk, 2007. - P. 83-84.

9. Ровенская О.И. Численное моделирование динамики акустических волн, используя кинетический подход // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Сборник трудов 50-ой науч. конф. МФТИ, Жуковский, 2007 г. -Ч. VI. - С. 36-37.

10. Ровенская О.И. Численное моделирование динамики акустических волн с помощью кинетического подхода // Изв. РАН. МЖГ. - 2008. - №4. - С. 172179.

11. Ровенская О.И. Прямое численное моделирование эволюции двумерной вихревой системы в разреженном газе // Изв. РАН. МЖГ. - 2008. - №5. - С. 173-180.

12. Zharov V.A., Rovenskaya O.I. One - dimensional nonlinear induced dynamics of acoustic waves in finite domain // Book of Abstracts of 14th Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. - Novosibirsk: Parallel, 2008. - P. 214-215.

13. O.I. Rovenskaya Numerical modeling of the Evolution of an Eddy System Based on the Boltzmann Equation // Book of Abstract of 14th Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. - Novosibirsk: Parallel, 2008. - P. 196-197.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы. Общий объем 200 страниц, в том числе 71 рисунк, 6 таблиц. Список литературы содержит 235 наименование.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ровенская, Ольга Игоревна

Выводы

1. Установлено, что при числах Фруда Fr > 1 (и фиксированных Кп = 0.02, 0.01 и отношении температур г = 0.1) и числах Кнудсена Кп < 0.028 (и фиксированных Fr = 3, г = 0.1) возникает неустойчивость и система переходит в состояние стационарной конвекции.

2. В рамках одномерной задачи показано, что возникновение неустойчивости и переход системы в новое устойчивое состояние возможен только при достаточно небольшом отношении температур г. Показано, что для малых чисел Фруда (Fr = 0.5) профиль плотности возрастает по направлению к горячей стене и неустойчивость возникнуть не может. При увеличении числа Фруда (Fr= 1) около холодной стены образуется минимум профиля плотности, и неустойчивость может возникнуть (при достаточно малом Кп). С увеличением Fr минимум профиля исчезает, и плотность растет по направлению к холодной стене (Fr = 25).

3. Установлено, что результаты, полученные в рамках континуального подхода (из решения уравнений Навье-Стокса) согласуются с данными из кинетического подхода (ПСМ Монте-Карло и метод дискретных ординат).

4. В рамках двумерной задачи обнаружено, что с ростом отношения продольного и поперечного размеров области А число возникающих вихревых структур увеличивается: при А= 1 образуется 1 вихрь, при А= 1.5 - 2 вихря, А = 2-3 вихря; т.е. происходит усложнение картины конвекционного течения.

Заключение

Исследование нестационарных газодинамических процессов, включающих сложные переходные, турбулентные движения, а также неустойчивости с учетом сжимаемости среды, при различных режимах движения в широком диапазоне изменения параметров потока является актуальной проблемой. Большой интерес представляют исследования различных видов неустойчивостей, особенно при расчетах на значительные интервалы времени.

Численное моделирование занимает все более значимое место в теоретических и прикладных исследованиях нестационарных течений. Появление все более мощной высокопроизводительной вычислительной техники, в первую очередь параллельных вычислительных машин, и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики и механики создали объективные предпосылки для расширения области исследований сложных течений жидкости и газа, в том числе и турбулентности, с использованием результатов численного эксперимента.

Применение кинетического уравнения Больцмана в качестве физической модели, описывающей течение вязкого газа, дает иные возможности для описания явлений по сравнению с континуальными уравнениями. Необходимо отметить, что использование континуальных уравнений во всей области течения оказывается не корректным. Например, в узких областях, примыкающих к границам с твердыми телами либо в областях внутри течения с большими градиентами газодинамических параметров. Между тем в рамках кинетического подхода возможно наиболее полное описание движения среды во всех областях течения. Следовательно, применения кинетического подхода к нестационарным задачам, рассматривающим сложные переходные, движения среды, включая турбулентность и неустойчивость, в сжимаемых течениях актуально.

В диссертационной работе ставились две цели. Во - первых, с помощью численного моделирования провести исследование нелинейной динамики индуцированных акустических волн. Изучить механизмы развития неустойчивости и возникновения акустической турбулентности. Определение границ применимости континуальных уравнений с помощью сравнения решений получаемых в кинетической и континуальной постановках.

Во - вторых, исследовать возможность применения метода дискретных ординат для решения ряда задач механики разреженных газов имеющих теоретическое и прикладное значение и изучить характер движения газа:

• Одномерной задачи о нестационарном испарении в вакуум с плоской поверхности. Исследовать пространственно-временную эволюцию течения. Определить зависимости, описывающие границы областей возникающих режимов течения (от континуального до свободномолекулярного) в пространственно - временных и автомодельных координатах.

• Двумерной задачи Тейлора - Грина в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Выяснить влияние разреженности газа и интенсивности начальных условий на характер эволюции заданной системы вихрей.

• Двумерной задачи Рэлея - Бенара в вязком, сжимаемом слаборазреженном газе. Исследовать процесс формирования и развития конвекционного течения.

При этом были изучены численные методы решения многомерного кинетического уравнения Больцмана и на их основе разработаны эффективные программы численного моделирования поставленных задач.

Для численного моделирования в диссертационной работе применялись методы механики разреженных газов и вычислительной математики: метод прямого статистического моделирования (ПСМ) Монте-Карло, консервативный проекционный метод дискретных ординат Ф.Г. Черемисина для уравнения Больцмана. В качестве альтернативы конечно - разностным методам применялся псевдоспектральный метод, использующий стандартную процедуру быстрого преобразования Фурье.

Достоверность полученных результатов обосновывается тем, что в работе использовались апробированные методы численного расчета. Было проведено сравнение полученных результатов с точным решением соответствующих задач, с данными, других авторами, с экспериментальными данными и результатами расчетов, выполненных по другим методикам. Кроме того, основные результаты работы физически не противоречивы и качественно согласуются с известными теоретическими представлениями о природе неустойчивости и турбулентности.

В работе была сформулирована и решена задача об индуцированной динамике акустических волн. Рассмотрена эволюция вязкого сжимаемого газа на конечном одномерном интервале с периодическими граничными условиями, возбуждаемого внешней нестационарной силой, на основе двух подходов континуального и кинетического. Моделирование течения газа проводилось с помощью решения модельного кинетического уравнения для значений

21 3 интервала периодичности 10 < L = 1/Кп <4x10 и решения уравнений Навье —

2 3

Стокса и Барнетта для значений интервала 10 < L = Re„ < 7.3 х 10 .

В рамках данной задачи обнаружено, что малые внешние возмущения (порядка Кп в кинетической постановке и 1/Re в континуальной) со временем, приводили к возникновению ряда нелинейных эффектов. Для внешней силы в виде стоячей волны появляющаяся с ростом времени в эволюции газодинамических величин нелинейность колебаний обусловлена возникновением нестационарных разрывов - ударных волн периодически движущихся от центра интервала к его концам. Выявлен эффект, состоящий в том, что диссипация малой подводимой энергии начинала происходить в ударных волнах, а не только за счет механизма вязкости. Это приводило к появлению частотного спектра близкого к непрерывному.

Было установлено, что при уменьшении амплитуды внешних возмущений, начиная с некоторой малой амплитуды, структуры типа ударных волн не образовывались и в газе распространялись только звуковые волны. Наоборот, увеличение амплитуды, приводило к заметному усложнению движения газа, выражающегося в том, что колебания становились ангармоническими даже при небольшом интервале периодичности.

В кинетической постановке было показано, что толщина возникающих слабых ударных волн подчиняется зависимости 1/Др, т.е. изменялась обратно пропорционально Ар разности давлений на фронте ударной волны.

Выявлен эффект перемежаемости по неравновесности (размер которой At/T~¥j\lAp) в эволюции макропараметров. При этом размер области неравновесности уменьшался с увеличением градиентов макропараметров. Другими словами в области неравновесности размера At справедлива кинетическая модель, а вне этой области континуальная. Такое поведение системы можно рассматривать как нелокальную модель континуальности. Появляется еще один масштаб Кп/Ар, характеризующий нелокальность системы.

В работе была получена система уравнений Барнетта для интеграла столкновений, заданного в виде БГК модели. Обнаружено, что навье -стоксовская и барнеттовская поправки к функции распределения росли с увеличением интервала периодичности.

Установлено, что вне переходной области ударной волны отклонение функции распределения по скоростям навье — стоксовского приближения от «модельной» кинетической функции приблизительно равнялось ошибке вычисления, а в этой области становилось значительным, и росло с увеличением интервала периодичности. Отклонение функции распределения барнеттовского приближения от «модельной» ведет себя аналогично, но в ударной волне отклонение барнеттовской функции от «модельной» меньше. Это отличие барнеттовской и навье - стоксовской функций распределения от «модельной» в переходной области ударной волны проявляется в расхождении макропараметров полученных на основе кинетического и континуального подходов в областях неравновесности и их хорошее согласие вне этих областей.

Поскольку только в рамках кинетического рассмотрения возможно наиболее полное описание движения среды. Было проведено моделирование некоторых задач на основе кинетического подхода.

Численно моделировался процесс нестационарного испарения в вакуум с плоской поверхности. Получены распределения параметров потока в обычных и автомодельных координатах. Установлена газодинамическая структура течения, дающая представление о его пространственно - временной эволюции. Получены выражения для границ областей с различными режимами течения (от свободномолекулярного до континуального) в пространственно - временных и автомодельных координатах.

С помощью кинетического подхода решалась двумерная задача с начальными условиями Тейлора - Грина и с периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе для чисел Кнудсена 0.0025 < Кп < 0.01. Полученные результаты продемонстрировали процессы, происходящие в турбулентных течениях - эволюцию вихревого каскада -процесс разрушения крупных вихрей на мелкие. При этом в процессе дробления крупных вихрей происходила передача кинетической энергии малым вихрям с последующей диссипацией кинетической энергии в тепло.

Проведенные расчеты показали хорошее согласие данных, полученных с помощью метода дискретных ординат Ф.Г. Черемисина с результатами, полученными с помощью метода ПСМ Монте-Карло и БГК модели кинетического уравнения, что говорит о надежности и корректности используемого метода дискретных ординат применительно к решению многомерных нестационарных задач. А также, что спектральная плотность распределения удельной кинетической энергии имела наклон, варьирующийся от «-3.6» до «-4» в некотором интервале волновых чисел.

В сжимаемом газе динамика крупных вихревых структур на начальном этапе оказалась близка к динамике, описываемой уравнениями Эйлера (Re—>со), т.е. новые вихри могут также формироваться за счет механизма небаротропности.

Обнаружено, что уменьшение числа Кнудсена приводило к увеличению наклона и инерционного интервала в графике распределения спектральной плотности кинетической энергии по волновым числам, представленного в логарифмических координатах. А увеличение интенсивности начальных условий или увеличение числа Маха, приводило к появлению в поле течения наряду с вихрями слабых ударных волн, что характерно для сжимаемой турбулентности. Аналогичные структуры, объединяющие вихрь и ударную волну, для сжимаемого течения отмечались в [209-211].

В рамках кинетического подхода выполнено численное моделирование задачи Релея — Бенара в одномерном и двумерном случаях. Исследовался процесс формирования и развития конвекционного течения в вязком сжимаемом слаборазреженном газе между двумя горизонтальными параллельными пластинами, нижняя из которых нагревается.

В рамках одномерной задачи с помощью численного решения уравнения Больцмана было показано, что возникновение неустойчивости и переход системы в новое устойчивое состояние возможно только при достаточно небольшом отношении температур г. Показано, что для малых чисел Фруда Fr профиль плотности возрастал по направлению к горячей стене, и неустойчивость не могла возникнуть. При увеличении Fr около холодной стены образовывался минимум профиля плотности, и при достаточно малом Кп неустойчивость могла возникнуть. С увеличением Fr минимум профиля исчезал и профиль менял наклон, плотность росла по направлению к холодной стене.

Для двумерной задачи было установлено, что для всех чисел Кнудсена Кп < 0.028 и при числах Фруда Fr > 1, и фиксированном отношении температур холодной и горячей стен г = 0.1 возможно возникновение конвекции. Обнаружено, что с ростом отношения продольного и поперечного размеров области число возникающих в поле конвекции вихревых структур увеличивалось, т.е. происходило усложнение картины конвекционного течения.

Заметим, что результаты, полученные в континуальном постановке, хорошо согласовались с данными, полученными в рамках кинетического подхода с помощью методов ПСМ Монте-Карло и дискретных ординат.

Главным образом, разработанные в данной работе программы применимы для расчета течений разреженного газа в широком диапазоне чисел Маха и Кнудсена. Они позволяют получить решения уже известных задач с более высокой точностью, а также строить решения новых задач, получение решений которых обычными методами было бы затруднено. Созданные алгоритмы были преобразованы для расчета на многопроцессорных системах, что дает возможность эффективного их использования при выполнении научных исследований и расчетов.

Более того, полученные результаты ценны с точки зрения качественного и количественного изучения механизмов возникновения неустойчивости, турбулентности, а также происходящих в турбулентном движении процессов в вязком, сжимаемом газе. На рассматриваемых задачах численно изучен ряд теоретических положений. С помощью моделирования динамики индуцированных акустических волн исследованы нелинейные эффекты, механизмы возникновения неустойчивости и акустической турбулентности в вязком сжимаемом газе в рамках кинетического и континуального подходов. При численном исследовании эволюции вихревого каскада изучено как на кинетическом уровне происходит эволюция начальной вихревой системы и передача энергии в более мелкие масштабы с последующей диссипацией энергии в тепло. При моделировании конвекции Релея - Бенара с помощью кинетического рассмотрения исследована неустойчивость и процессы самопроизвольного возникновения упорядоченных структур в вязком сжимаемом слаборазреженном газе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ровенская, Ольга Игоревна, 2008 год

1. Абрамов А.А. Решение задачи о сильном испарении одноатомного газа методом Монте-Карло // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. - № 1. - С. 185.

2. Абрамов А.А., Коган М.Н. Сильная дозвуковая конденсация одноатомного газа//Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. -№ 1. - С. 165.

3. Азарова О.А., ЯницкийВ.Е. Моделирование турбулентого потока сжимаемого газа с ударными волнами // Мат. моделирование. 2002. - Т. 14. № 8.-С. 56 -60.

4. Анисимов С.И., ИмасЯ.А., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970. - 272 с.

5. Анисимов С.И., Рахматуллина А.Х. Динамика расширения пара при испарении в вакуум // ЖЭТФ 1973. - Т.64. Вып. 3. - С. 869 - 876.

6. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. М.: Изд-во МГУ, 2004. - 71 с.

7. Аристов В.В. Изучение устойчивых и неустойчивых струйных течений на основе уравнения Больцмана // Изв. РАН Механика жидкости и газа. 1998. - № 2.-С. 153- 157.

8. Аристов В.В. О решении уравнения Больцмана для дискретных скоростей. // Доклады АН СССР. 1985. - Т.283. № 4. - С.831-834.

9. Аристов В.В. Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена // Ж. вычисл. математики и мат. физики. — 2004. Т.44. №6. - С. 1127-1140.

10. Аристов В.В., Забелок С.А. Получение решений для уравнения Больцмана на многопроцессорных компьютерах // Мат. моделирование. 2002. - Т.14.№ 8. - С. 5-9.

11. Аристов В.В., Забелок С.А., Фролова А.А. Структура свободных сверхзвуковых струй, изучаемая с помощью уравнения Больцмана // Мат. моделирование. 2004. - Т. 16. № 6. - С. 31 - 34.

12. Аристов В.В., МамедоваИ.Г. Параллельные алгоритмы для решения кинетического уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики.1996. №2.-С. 138-146.

13. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1980. -Т. 20. № 1.-С. 191-207.

14. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативная разностная схема дискретных ординат для решения кинетических уравнений методом расщепления // Прямое числ. моделирование течений газа. М.: ВЦ АН СССР, 1978.-С. 164-171.

15. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана // Вычислительная динамика разреженного газа / ВЦ РАН, 1992.- 192 с.

16. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана//Докл. АН СССР.-1976.-Т.231.№ 1.-С. 49 52.

17. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение уравнений Эйлера и Навье -Стокса на основе операторного расщепления кинетического уравнения // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 272. № 3. - С. 555-559.

18. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в одноатомном газе при степенных потенциалах взаимодействия // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1982.- № 6.- С. 179-183.

19. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984.

20. Белоцерковский О.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

21. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2002. - 286 с.

22. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Прямое численное моделирование течений разреженного газа // Численные методы в динамике разреженных газов ВЦ АН СССР. 1977. - Вып. 3. - С. 81 - 88.

23. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод «частиц вячейках» для решения задач разреженного газа. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1975.-Т.15.№5.-С. 6

24. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Численные методы в динамике разреженного газа. II. // Динамика разреженного газа: Труды IV Всесоюз.науч. конф. Москва, 1975.

25. Бердников B.C., ГетлингА.В., Марков В.А. Экспериментальное подтверждение существования предпочтительного масштаба валиковой конвекции Новосибирск: ИТФ. - 1988. - 22 с.

26. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе: О детерминистическом подходе к турбулентности. Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. 368 с.

27. Бетчелор Дж. Теория однородной турбулентности. М.: Иностр. лит., 1955.

28. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987. - 255 с.

29. Булгакова Н.М., Плотников М.Ю., Ребров А.К. Исследование разлета продуктов лазерного испарения методом прямого статистического моделирования // Теплофизика и аэромеханика. 1998 - Т. 5. №3. - С. 421 - 429.

30. Булгакова Н.М., Плотников М.Ю., Ребров А.К. Моделирование стационарного расширения газа с поверхности сферы в вакуум // Изв. РАН Механика жидкости и газа 1997 - № 6 - С. 137-143.

31. Бутковский А.В. Сильная переконденсация газа в пределе малых чисел Кнудсена // Теплофизика высоких температур. — 2007. — Т. 45. №4. С. 575-579.

32. Бутковский А.В. Сильная дозвуковая конденсация многоатомного газа // Теплофизика высоких температур. 2005. - Т.43. № 3. - С. 601.

33. Быков Н.Ю., Горбачев Ю.Е., Лукьянов Г.А. Параллельное прямое моделирование методом Монте-Карло истечения газа в вакуум от импульсного источника // Теплофизика и аэромеханика — 1998. — Т.5. №3. С. 439 - 445.

34. Власов В.И. Расчет методом Монте-Карло потока тепла между параллельными пластинами в разреженном газе // Учен. Зап. / ЦАГИ. 1970. -Т.4. №4. - С. 46-51.

35. Власов В.И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов // Докл. АН СССР. 1966,- Т. 167. №5.

36. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. С.-Пб.: «БХВ-Петербург», 2002. - 608 с.

37. Галкин B.C., Русаков С.В. Барнеттова модель структуры ударной волны в молекулярном газе // Прикладная матем. и мех 2005.-Т. 69. Вып. 3. С. 419-425.

38. Галкин B.C., Шавалиев М.Ш. Газодинамические уравнения высших приближений метода Чепмена Энскога // Изв. РАН МЖГ-1998. -№4. - С. 3-25.

39. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.

40. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея-Бенара. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 248 с.

41. Гиршфельдер Дж., КертиссЧ., БердР. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Изд-во ин. лит., 1961. - 916 с.

42. Горьков Л.П. Стационарная конвекция в плоском слое жидкости вблизи критического режима теплопередачи // ЖЭТФ. -1957. -Т.ЗЗ. С.402-407.

43. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С., Харитонова М.И. К вопросу о решении нелинейных уравнений динамики разреженного газа методом Монте-Карло // Численные методы механики сплошной среды / СО АН СССР ВЦ. 1971. - Т.2.

44. Дроздов С.М. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы //Изв. РАН. МЖГ. 2001. - №1. - С.31-45.

45. Ермаков М.К., Мякшина М.Н., Никитин С.А., Яремчук В.П. Компьютерная лаборатория и компьютерный практикум по конвективному тепло- и массообмену // Тр. 3-я Росс. нац. конф. по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ, 2002. Т. 3. - С. 72-75.

46. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа // Учен. Зап. / ЦАГИ. 1975. -Т.6. №3. - С. 5175.

47. Жаров В.А., Ровенская О.И. Одномерная нелинейная индуцированная динамика акустических волн в конечной пространственной области // Изв. РАН. МЖГ. 2007. - №2. - С.39-45.

48. Забелок С.А. Параллельные вычисления для уравнения Больцмана // Вычисл. динамика разреженного газа/ ВЦ РАН. 2000. - С. 143-160.

49. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988.

50. Захаров В.Е. Колмогоровские спектры в задачах слабой турбулентности // Основы физики плазмы: В 2 т. Т.2 / Под ред. А.А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1984.

51. Захаров В.Е. Слабая турбулентность в средах с распадным спектром // ПМТФ. 1965. - №4. - С.35-39.

52. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. 1968. - № 2. - С.86-94.

53. Иванов М.С. Статистическое моделирование гиперзвуковых течений разреженного газа: Дис. на соискание д-ра физ. мат. наук: 01.02.05/ Рос.АН, Сиб.отд-ние, Ин-т теплофизики. - Новосибирск, 1993. — 200 с.

54. Иванов М.С., Рогазинский С.В. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газ. Новосибирск: Ротапринт ВЦ 49. СО АН СССР, 1988. - 117 с.

55. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 192,. № 4. - С. 753—756.

56. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. - 440 с.

57. Колмогоров А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости // ДАН СССР. -1941. Т.31. - С. 538-541.

58. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности //ДАН СССР. 1941. - Т.32. С. 19-21.

59. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемойжидкости // Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1942. - Т.6. №2 - С. 56 - 58.

60. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М: Наука, 1989.-240 с.

61. Кузнецов Е.А. Спектры турбулентности, порождаемые сингулярностями // Письма в ЖЭТФ. Т.80. Вып.2. - С. 92-98.

62. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. - 608 с.

63. Ландау JI.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. -М.: Наука, 1986. 736 с.

64. Ларина И.Н. Обтекание сферы разреженным газом//ПММ.-1969.-Т.ЗЗ. №.5.

65. Ларина И.Н., Рыков В.А. Аэродинамика сферы, газирующей в потоке разреженного газа//Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. - №3. - С.173-176.

66. Ларина И.Н., Рыков В.А. Гиперзвуковое обтекание конических тел потоком разреженного газа // Сообщ. по прикл. матем./ ВЦ АН СССР.- 1990.

67. Ларина И.Н., Рыков В.А. Метод исследования течений двухатомного газа // Численные методы в динамике разреженных газов /ВЦ АН СССР. 1977. -Вып. 3. - С. 99-116.

68. Ларина И.Н., Рыков В.А. Метод численного решения осесимметричных задач для уравнения Больцмана // Математическое моделирование. 2004.Т. 16. №6.-С. 65-68.

69. Ларина И.Н., Рыков В.А. Обтекание сферы двухатомным газом на основе кинетических уравнений // Док. АН СССР. 1976. - Т.227. № 1. - С. 60 - 62.

70. Ларина И.Н., Рыков В.А. О граничных условиях для газов на поверхности тела // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1986. - №5. - С. 141-148.

71. Лившиц Е.М., Питаевский Л.П.Физическая кинетика.-М.:Наука,1979.-527с.

72. Лимар Е.Ф. Метод численного решения уравнения Больцмана // Численные методы в динамике разреженных газов /ВЦ АН СССР. 1973. -Вып. 1. - С. 31 -45.

73. Лимар Е.Ф. О численном решении уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. - Т.13. № 6. - С. 1573-1580.

74. Лимар Е.Ф. Решение задачи о релаксации для уравнения Больцмана методом интегральных итераций // Численные методы в динамике разреженных газов /ВЦ АН СССР. 1969. - С. 79-83.

75. Лимар Е.Ф. Численное исследование течения разреженного газа около цилиндра // Численные методы в теории разреженных газов /ВЦ АН СССР. -1975. Вып.2. - С. 95-107.

76. Лукьянов ГА. Нестационарное истечение пара в вакуум от плоской поверхности // Теплофиз. и аэромех. 2004. —Т.11.№11. - С. 63-77.

77. Лукьянов ГА., Ханларов Гр.О. Стационарное расширение паров воды с поверхности сферы в вакуум // Теплофизика и аэромеханика 2000 - Т.7. №4 -С. 1-11.

78. Монин А.С., ЯгломА.М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965.-639 с.

79. Обухов A.M. Течение Колмогорова и его лабораторное моделирование // УМН -1983. Т.38. Вып. 4. - 1983. - С. 101-111.

80. Обухов A.M. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // ДАН СССР. 1941. - Т. 32. № 1. - С. 22-24.

81. Перепухов В.А. Аэродинамические характеристики сферы и затупленного конуса в потоке сильноразреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1967. -Т.7.№2.

82. Перепухов В.А. Применение метода Монте Карло в динамике сильноразреженного газа // Динамика разреж. газа и молекулярная газовая динамика. / ЦАГИ. - 1972. - Вып. 1411.

83. Полежаев В.И., ЯремчукВ.П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу // Изв. РАН. МЖГ. 2001. - №4. - С. 34 - 45.

84. Ровенская О.И. Исследование эволюции вихревой системы на основерешения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 2007. -Т. 47. №9.-С. 1642- 1648.

85. Ровенекая О.И. Численное моделирование динамики акустических волн с помощью кинетического подхода // Изв. РАН МЖГ 2008. - №4. - С. 172-179.

86. Ровенекая О.И. Прямое численное моделирование эволюции двумерной вихревой системы в разреженном газе // Изв. РАН. МЖГ. 2008. - №5. - С. 173180.

87. Рыжов О.С. Численные методы в динамике разреженных газов, развитие и использование в Вычислительном центре АН СССР // Численные методы в динамике разреженных газов. ВЦ АН СССР. 1977. - Вып.З.

88. Рыков В.А. Модельное кинетическое уравнение для газа с вращательными степенями свободы // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1975. - № 6. - С. 107-115.

89. Скоров Ю.В., Королев А.Е. Пространственная структура приповерхностного слоя кометной атмосферы // Астрономический вестник -1998. Т. 32. №4. - С. 370 - 379.

90. Титарев В.А., Шахов Е.М. Расчет донного вакуума за пластиной, обтекаемой гиперзвуковым потоком разреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. - Т.41. № 9. - С. 1444 - 1456.

91. Титарев В.А., Шахов Е.М. Численный расчет поперечного обтекания холодной пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа // Изв. РАН. МЖГ. 2005. - № 5. - С. 139-154.

92. Фриш У. Турбулентность. Наследие Колмогорова. М.: Фазис, 1998.-343 с.

93. Фролова А.А., Черемисин Ф.Г. Обтекание цилиндрических тел потоком разреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т. 38. № 12. - С. 2096-2102.

94. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения приближенного кинетического уравнения // Учен. Зап./ ЦАГИ. 1973. - Т.4. №4. - С. 108-113,

95. Хлопков Ю.И., Воронин И.В., Ровенекая О.И. Прямое статистическоемоделирование эволюции вихревой системы в разреженном газе // Мат. моделирование. 2007. - Т. 19. № 2. - С. 39-47.

96. Хлопков Ю.И., Горелов C.JI. Методы Монте-Карло и их приложение в механике и аэродинамике. М.: МФТИ, 1989.

97. Чепмэн Д.Р. Вычислительная аэродинамика: драйденовская лекция // Ракетная техника и космонавтика. — 1980. — Т. 18. № 2. — С. 3-32.

98. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 510 с.

99. Черемисин Ф.Г. Движение разреженного газа между бесконечными плоскопараллельными эмитирующей и поглощающей поверхностями // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. - № 2. - С.176 - 178.

100. Черемисин Ф.Г. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана // Докл. РАН. 1997. - Т. 357. № 1. - С. 1 - 4.

101. Черемисин Ф.Г. Метод численного интегрирования кинетического уравнения Больцмана//Всес. съезд по теор. и прикл. мех.-М.:Наука,1968.-С. 312.

102. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о теплопередаче между параллельными бесконечными стенками в разреженном газе // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1970. - № 5. - С. 190-193.

103. Черемисин Ф.Г. Решение плоской задачи аэродинамики разреженного газа на основе кинетического уравнения Больцмана. // Докл. АН СССР. 1973. - Т. 209. №4.-С. 811-814.

104. Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в простом одноатомном газе //Докл. АН СССР. 1969. - Т. 184. № 4. - С. 890-793.

105. Черемисин Ф.Г. Численное решение кинетического уравнения Больцманадля одномерных стационарных движений газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. - Т.10. № з. с. 654-665.

106. Шахов Е.М. Поперечное обтекание пластины разреженным газом // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. - №6. С. 107-113.

107. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Наука, 1974.-208 с.

108. ЩецДж. Турбулентное течение: процессы вдува и перемешивания. М.: Мир, 1984.

109. Яницкий В.Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации переновленного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. -Т. 13.№2. - С. 505 -510.

110. Agarwal R.K., YunK.-Y., Balakrishnan R. Beyond Navier -Stockes: Burnett equation for flows in the continuum transition regime // Phys. Fluids. -2001-Vol. 13. No.10. - P. 3061 - 3085.

111. Amarouchene Y., Kellay H. Batchelor Scaling in Fast-Flowing Soap Films // Phys.Rev. 2004.-Vol. 93. No.21.

112. Aristov V.V., Tcheremissine F.G. The kinetic numerical method for rarefield and continuum gas flows // Rarefied Gas Dynamics: Book of Abstracts 13th Internat. Symposium. Novosibirsk, 1982. - P. 147-149

113. Arter W., Bernoff A., Newell A.C. Wavenumber selection of rolls in a box. // Phys.Fluids. 1987. - Vol. 30. - P. 3840.

114. Arter W., Newell A.C. Numerical simulation of Rayleigh-Benard convection in shallow tanks // Phys. Fluids. 1988. -Vol.31. - P. 2474.

115. Batchelor G.K. The Theory of Homogeneous Turbulence. Cambridge: Cambridge University Press. - 1971.

116. Belmonte A., Martin В., Goldburg W.I. Experimental study of Taylor's hypothesis in a turbulent soap film // Phys. Fluids 2000 - №12 - P. 835-845.

117. Belotserkovskii O.M., Khlopkov Yu.I. Monte Carlo Methods in Applied Mathematics and Computational Aerodynamics // Computational Mathematics and

118. Mathematical Physics. 2006. - Vol.46. No.8 - P. 1418-1441.

119. Benzi R., Paladin G., Vulpiani A. Power spectra in two- dimensional turbulence // Phys.Rev. A 1990.-Vol. 42. No. 6. - P.3654-3656.

120. BenardH. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Rev. Gen. Sci. Pure Appl.- 1900. Vol.11. - P. 1261-71.

121. Beylich A.E. Solving the kinetic equation for all Knudsen numbers // Phys Fluids. 2000. - Vol. 12. - P. 444

122. Bhathnagor P.D., Goss E.P., KrookM.A. A model for collision processes in gases // Phys.Rev. 1954.-Vol. 94.

123. Bird G.A. Molecular gas dynamics and direct simulation of gas flows Oxford Clarendon Press, 1994 - 451 p.

124. Bird G.A. The Initiation of Centrifugal Instabilities in an Axially Symmetric Flow // Proceedings of 20th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. -1997. P. 149-154.

125. Bird G.A. The Velocity Distribution Function within Shock wave // J.Fluid Mech.- 1967.-Vol.30.

126. Bird G.A. Shock-Wave structure in Rigid Sphere Gas // Proceedings of 6th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. N.-Y.: Acad.Press. - 1965.

127. Bodenschatz E., Pesch W., Ahlers G. Recent development in Rayleigh- Benard convection // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P.709-778.

128. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Berlin etc.: Springer, 1989.-XVI, 798 p.

129. Bruneau Ch.H., Fischer P. Spectra and filtering: a clarification // Int. J. Wavelets, Multiresol. Info. Proc. 2007. - Vol. 5. No 3.

130. Bruneau Ch.H., Fischer P., Kellay H. The structures responsible for the inverse energy and the forward enstrophy cascades in two-dimensional turbulence // Europhys. Let. 2007. - Vol. 78. No 3.

131. Bruneau Ch.H., Fischer P., Peter Z., Yger A. Comparison of numerical methods for the computation of energy spectra in 2D turbulence. Part I: Direct methods Sampl.

132. Theory Signal Image Process. 2005. - No. 4. - P. 169-192.

133. Bruneau Ch.H., Fischer P., Peter Z., Yger A. Comparison of Numerical Methods for the Computation of Energy Spectra in 2D Turbulence. Part II: Adaptative Algorithms Sampl. Theory Signal Image Process. 2005. No. 4. - P. 271-280.

134. Bruneau C.H., Kellay H. Experiments and direct numerical simulations of two-dimensional turbulence // Phys. Rev. E. 2005.- Vol.71. No.4 - P. 046305.1046305.5

135. Burnett D. The distribution of velocities in a slightly non- uniform gas // Proc. Lond. Math. Soc. 1935. - V.39. - P. 385-430.

136. Busse F.H. Non-linear properties of thermal convection // Rep.Prog.Phys. -1978. Vol.41. - P. 1929-1967.

137. Busse F.H. Transition to turbulence in Rayleigh-Benard convection // Topics in Appl. Phys. 1981. - Vol. 45. - P. 97-137.

138. Cai W., Gottlieb D., HartenA. Cell-averaging Chebyshev methods for hyperbolic problems // Comput. Math. Appl. 1992 -Vol. 24. - P. 37-49.

139. Cai W., Gottlieb D., Shu C.W. Essentially nonoscillatory spectral Fourier methods for shock wave calculations // Math. Comput. -1989. -Vol. 52 P. 389-410.

140. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral Methods in Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 1987.

141. Cercignani C. About methods of the Boltzmann equation solution, in Nonequlibrium Phenomena I:Boltzmann equation.-Oxford:North-Holland Pub., 1983.

142. Cha C.Y., McCoy В.J. Third- order constitutive equations for monatomic gas // J. of Chemical Phys. V. 54. № 10. - P. 4369-4372

143. Chapmen S. On the low of distribution of velocities and on the theory of viscosity and thermal conduction in a non uniform simple monatomic gas // Phyl.Trans.Roy.Soc. - 1916. - V.A216. - P. 279.

144. Chen S., EyinkG., Ecke R.E. Physical Mechanism of the two-dimensional enstrophy cascade // Phys. Rev. Letters 2003 - Vol. 91. - P. 214501

145. Elliot D.F, Rao K.R. Fast Transforms: algorithms, analyses, applications.

146. Academic Press, INC, 1982. 488 p.

147. Enskog D. Kinetische theorie der vorgang in massing verdunnten gasen: Diss.-Uppsala, 1917.

148. Erlebacher G, Hussaini MY, Speziale CG, Zang ТА. Toward the large-eddy simulation of compressible turbulent flows // NASA CR-178273. ICASE report No.87-20, 1987

149. Fang Y., Liou W.W., Bird G. Three Dimensional Simulations of Micro Rayleigh - Benard Convection by DSMC // 37th AIAA Thermophysics Conference, 2004 Portland, Oregon.

150. Fedosov D.A., Rogasinsky S.V., Zeifman M.I., IvanovM.S., Alexeenko A.A., Levin D.A. Analysis of Numerical Errors in the DSMC Method // Proceedings of the 24th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 2004.- P. 589-594.

151. Flicks B.L., Yen S.M. Collision integrals for rarefied gas flow problems // Proceedings of 7th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. N.-Y.: Acad.Press., -1971.-P. 845-854.

152. FornbergB. A Practical guide to Pseudospectral Methods. Cambridge: Univ. Press, 1996. -231 p.

153. Garcia A. Hydrodynamic fluctuations and the direct simulation Monte-Carlo method in Microscopic Simulation of Complex Flows. N.- Y.: Plenum, 1990.-177 p.

154. Garcia A., Penland C. Fluctuating hydrodynamics and principal oscillation pattern analysis // J. Stat. Phys. 1991 - Vol. 64. - P. 1121

155. Getling A.V. Evolution of two-dimensional disturbances in the Rayleigh-Benard problem and their preferred wavenumbers // J. Fluid Mech. 1983. -Vol. 130.-P.165

156. Gottlieb S., Shu C.-W., Tadmor E. Strong Stability-Preserving High-Order Time Discretization Methods // SIAM Review. 2001. - V. 43 .№ 1. - P. 89-112.

157. Gottlieb D., Chi-Wang Shu, Solomonoff A., VandevenH. On the Gibbs phenomenon I: recovering exponential accuracy from the Fourier partial sum of a nonperiodic analytic function // J. of Сотр. and Appl. Math. -1992. Vol.43 No. 1-2.- P.81-98.

158. Gottlieb D., LustmanL., Orszag S. A. Spectral calculations of one-dimensional inviscid compressible flows // SIAM J. Sci. Stat. Comput.-1981.-Vol. 2. P.296-310.

159. Gottlieb D., Wang Chi-Shu On the Gibbs phenomenon III: Recovering exponentional accuracy in a sub interval from a spectral partial sum of a piecewise analytic function // SIAM Journal on Numerical Analysis. -1996.-Vol. 33. No.l. -P.280-290.

160. Greffier O., Amarouchene Y., Kellay H. Thickness Fluctuations in Turbulent Soap Films // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol.88.No. 19. - P. 194101.

161. Guichard L, VervischL, Domingo P. Numerical study of the interaction between a mixing zone and a pressure discontinuity. AIAA paper 95-0877, Proceedings of AIAA 33rd Aerospace Science Meeting, 1995.

162. Hanley P. A strategy for the efficient simulation of viscous compressible flows using a multidomain pseudospectral approach // J. Comput. Phys. 1993. - Vol.108. -P. 153

163. Hannappel R, Freidrich R. DNS of a M = 2 shock interacting with isotropic turbulence // Proceedings of 1st ERCOFTAC Workshop on DNS and LES 1994.

164. Hasegawa M. Convection Flip in the Rayleigh-B6nard Problem in a Small System // Progress of Theoretical Physics. 2000 - No.138. - P. 604-605.

165. Hasegawa T, Noguchi S, NakamuraT, KuchidaM, Yamaguchi S. Direct numerical simulation of compressible turbulence and its application // Proc. 6th Symp. on Computational Fluid Dynamics. 1992. P. 321- 324.

166. Hasegawa T, Noguchi S. Numerical study on a turbulent flow compressed by a weak shock wave // Int. J. Comput. Fluid Dynamics. 1997. - Vol. 8. - P. 63 -75.

167. Haviland J.K. Determination of the Shock Wave Thickness by the Monte -Carlo Method // Proceedings of 6th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. N.-Y.: Acad.Press. - 1965.

168. Haviland J.K. The solution of two molecular flow problems by the Monte-Carlo method // Meth. Comput. Phys. 1965. - Vol. 4. - P.109-209.

169. Haviland J.K., LavinM.D. Application of the Monte Carlo Method to Heat Hauster in Rarefied Gas // Phys.Fluids. - 1962. - No.l 1 - P. 1399-1408.

170. Hicks B.L., Yen S.M., Reilly B.J. The internal structures of shock waves // J. Fluid Mech. 1979. - Vol. 53. - P. 85-111.

171. HilbertD. Grandzuge einer allgemeint theorie der linearen integralgleichung. -Leipzig: Teubner, 1912.

172. Holway L.H. Approximation Procedures for Kinetic Theory: Ph.D. Thesis / Harvard. 1963.

173. Huang A.A. Hartley D.K. Kinetic Theory of the Sharp Leady Edge Problem in Supersonic Flow//Phys. Fluids. 1969. - Vol.12. №1. - P. 96-108.

174. Huang A.B., Huangs P.F. Supersonic Leading Edge Problem According to the Ellipsoidal Model // Phys. Fluids. 1970. - Vol.13. No.2. - P.309-317.

175. Huang X., Zhang X. A fourier pseudospectral method for some computational aeroacoustics problems // International Journal of Aeroacoustics. 2006. —Vol.5. No.3. -P. 279 -294.

176. Hussaini MY, Kopriva DA, Salas MD, Zang ТА. Spectral methods for the Euler equations: Part I-Fourier methods and shock capturing // AIAA J. 1985. - Vol. 23. P.64-70.

177. Hyakutake Т., Nishida M. DSMC simulation of normal, parallel and oblique jet impingement on a flat plate // Proceedings of 21th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 1999. - P. 561-568.

178. Jianping W., Hasegawa T. Numerical simulation on compressible turbulence by spectral method // Chinese Journal of Mechanics -1998. Vol.14. No.3. - P. 193-207.

179. Kellay H., Goldburg W.I. Two-dimensional turbulence: a review of some recent experiments // Rep. Prog. Phys. 2002 - Vol.65. - P.845-894.

180. Kelly R. Gas dynamics of the pulsed emission of a perfect gas with applications to laser sputtering and to nozzle expansion // Phys. Rev. A. 1992.- Vol.46. № 2. -P. 860-874.

181. Kida S., Orszag S.A. Energy and Spectral Dynamics in decaying compressible turbulence // Journal of Scientific Computing -1992 —Vol.7.No.l.

182. KoganM.N. Evaporation. Condensation kinetics // Proceedings 19th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics / Eds. Harvey J., Lord G. Oxford: Univ. Press, 1995. -Vol. 1. P. 253.

183. Koschmieder E.L. Benard Cells and Taylor Vortices. Cambridge: Cambridge Univ.Press, 1993.-337 p

184. Kraichnan R.H. Inertial ranges transfer in two-dimensional turbulence // Phys. of Fluids 1967.-No.10.-P. 1417-1423.

185. Kraichnan R.H. Inertial-range transfer in two- and three dimensional turbulence // J. Fluid Mech. - 1971 - Vol. 47. P. 525-535.

186. Kraichnan R.H., Montgomery D. Two-dimensional turbulence // Rep. Prog. Phys. -1980 Vol. 43. -P. 547-619.

187. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part 1. The transition from two- to three-dimensional flow// J. Fluid Mech.- 1970. Vol. 42. Part 2. - P. 295-307.

188. Larinal.N., Rylcov V.A. Influence of internal molecular degrees of freedom on the hypersonic rarefied gas flow about a conical body // Proceedings of 17th Symposium on Rarefied Gas Dynamics .- 1991. P. 539-545.

189. Lee S, Lele SK, Moin P. Direct numerical simulation of isotropic turbulence interacting with a weak shock wave // J. Fluid. Mech. 1993. - Vol. 251.-P. 533-562.

190. Lilly D.K. Numerical simulation of developing and decaying two dimensional turbulence // J. Fluid Mech. -1971. - Vol. 45. - P. 395-415.

191. Martinez D.O., Matthaeus W.H., ChenS., Montgomery D.С. Comparison of spectral method and lattice Boltzmann simulation of two dimensional hydrodynamics // Phys Fluids. 1994. - V.6. - P. 1285

192. Mathematica 5.0. Users Guide, Wolfram Research, 2003.

193. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases // Phil. Trans.Roy.Soc.- 1867. -V.157. P. 231.

194. McCoy В J. Second-order constitutive equations for monatomic fluids // Amer. J. Phys. 1969. - V.37. № 8. - P. 785- 789.

195. Meadows K.R., Kumar A., Hussaini M.Y. Computational study on the interaction between a vortex and a shock wave // AIAA J.-1991.-Vol. 29.-P. 174-179.

196. Miura H., Kida S. Acoustic energy exchange in compressible turbulence // Phys. Fluids 1995.- Vol. 7. № 7. - P.1732-1742.

197. Nordsieck A., Hicks B.L. Monte-Carlo evaluation of the Boltzmann collision integral // Proceedings of 6th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 1967 -Vol. 1.

198. Perez C.R., VelarseM.G. On the (nonlinear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid//J. De Phys.-1975.-Т. 36.-P.591-601.

199. Quarteroni A. Domain decomposition methods for systems of conservation laws: Spectral collocation approximations // SIAM J. Sci. Stat. Comput. -1990 -Vol. 11.-P. 1029.

200. Rivera M.K., Daniel W.B., Chen S.Y., Ecke R.E. Energy and enstrophy transfer in decaying two-dimensional turbulence // Phys. Rev. Lett. 2003 - Vol.90. No. 10 -P. 104502.

201. Rivera M.K., VorobieffP., Ecke R.E. A turbulence in flowing soap films: velocity, vorticity and thickness fields // Phys. Rev. Lett. 1998-Vol. 81. - P. 1417.

202. RosenauP. Extending hydrodynamics via the regularization of the Chapman — Enskog expansion//Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 40. No. 12. - P. 7193-7196.

203. Rotman D. Shock wave effects on a turbulent flow // Phys. of Fluids A. 1991. -Vol. 3.-P. 1792-1806.

204. Rovenskaya O.I. Numerical Modeling of the Rayleigh-Benard problem for rarefied gas // Book of Abstract of 20th International Conference on Transport Theory, Obninsk, 2007. P. 83-84.

205. Rovenskaya O.I., Voronich I.V. Numerical Modeling of the Unsteady Vapor

206. Outflow from a Flat Surface Using Direct Numerical Solution of the Boltzmann Equation // Proceedings of 25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the RAS, 2007. - P. 304309.

207. Rutgers M.A. Forced 2D Turbulence: experimental evidence of simultaneous inverse energy and forward enstrophy cascades // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 2244-2247.

208. SaffmanP.G., 1971: On the spectrum and decay of random two-dimensional vorticity distributions at large Reynolds number // Stud. Appl. Math. 1971. - Vol. 50. P. 377-383.

209. Saffman P.G. A note on the spectrum and decay of random two-dimensional turbulence // Phys. Rev. Lett. 1971. - Vol.7. No.7.

210. Sanford S.D. Aeroacoustic model for weak shock waves based on Burgers equation//AIAA J. 1995. - Vol. 33. No. l.P. 120-135.

211. Sakurai A., Takayama F. Eddy shocklet in coplanar gas model // Proceedings of 20th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. -1997. P. 291

212. Sakurai A., Takayama F. Molecular kinetic approach to the problem of compressible turbulence // Phys. of Fluids. 2003. - V. 15. - P. 1282-1294.

213. Sakurai A., Takayama F. Vorticity and shock wave in a compressible turbulent flow of molecular kinetic model // Proceedings, of 21th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 1999. - P. 663.

214. Schliiter A., Lortz D., Busse F.H. On the stability of steady finite amplitude convection // J. Fluid Mech. -1965. Vol. 23. - P. 129-144.

215. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially nonoscillatory shock capturing schemes II // J. Comput. Physi. 1989. -Vol. 83. - P.32-78.

216. Shy W, Krishnamurty V.S. Compressibility effects in modeling complex turbulent flows // Prog. Aerospace Sci. 1997- Vol.33. - P. 587-645.

217. Sibold D., Urbassek H.M. Kinetic study of pulsed desorption flows into vacuum // Phys. Rev. A. 1991.- V. 43, № 12. - P. 6722-6734.

218. SiboldD., UrbassekH.M. Monte Carlo study of Knudsen layer in evaporation from elemental an binary media // Phys. Fluids. A. 1993.- V. 5. № 1. - P. 243-255.

219. SoneY., Aoki K., Sugimoto H. The Benard problem for a rarefied gas: Formation of steady flow patterns and stability of array of rolls // Phys. Fluids. -1997.- Vol.9. No. 12. P.3898 - 3914.

220. Stefanov S., Cercignani C. Monte-Carlo simulation of Benard's instability in a rarefied gas // Eur. J. Mech. B/Fluids 1992. - Vol. 11. - P. 543 - 553.

221. Stefanov S., RoussinovV., Cercignani C. Rayleigh-Benard flow of a rarefied gas and its attractors // Phys. Fluids. 2002 - Vol.14. No.7.- P. 2255-2269.

222. Stefanov S., Roussinov V., Cercignani C. Three dimensional Rayleigh — Benard convection of a rarefied gas: DSMC and Navier - Stokes calculations // Proceed, of 24-th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. - 2005. P. 529-534.

223. Stork K., MullerU. Convection in boxes: experiments.// J. Fluid Mech.-1972. — Vol. 4. №54.-P. 599-611.

224. Tabeling P. Two-dimensional turbulence: a physicist approach // Phys. Rep. -2002.-№362.-P. 1-62.

225. TadmorE. Convergence of spectral methods for nonlinear conservation laws // SIAM J. Numer.Anal. 1989. - Vol. 26. - P. 30-44.

226. Tadmor E. Shock capturing by the spectral viscosity method // Сотр. Meth. In Appl. Mech. Eng. 1990. -Vol. 80 - P. 197 - 208.

227. TadmorE. Superviscosity and spectral approximations of nonlinear conservation laws in Numerical Methods for Fluid Dynamics IV (M.J. Bainsand K.W. Morton, eds), Oxford University Press, P.69-82

228. Taylor G.I., Green A.E. Mechanism of the production of small eddies from large ones //Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1937. - V. 158. - P. 499.

229. Tcheremissine F.G. Conservative discrete ordinates method for solving of Boltzmann kinetic equation // Proceedings of 20th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Beijing: Peking Unj . Press, 1997. - P. 297-302.

230. Tcheremissine F. Direct numerical solution of the Boltzmann equation // Proc.of 24th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 2004. - P. 677-685.

231. Voronich I., Popov V., Khlopkov Yu. Kinetic Calculation Model for Gas Dynamics// Proc. of the 2nd Seminar on RRDPAE"98./ Warsaw University of Technology. Warsaw, 1998.-P. 167- 171.

232. Wai Sun Don. Numerical study of pseudospectral methods in shock wave applications // J. Comput. Phys. 1994. -Vol. 110. - P. 103-111.

233. Wang JP, Nakamura Y, YasuharaM. A Chebyshev collocation method for the compressible Navier-Stokes equations in generalized coordinates. Transactions of the Japan Society for Aero-nautical and Space Sciences. 1990. - Vol. 101. No. 33. P. 120- 134.

234. Wang JP, Nakamura Y, Yasuhara M. Several improvements of spectral method in compressible flow calculation // Proc. Int. Symp. on Computational Fluid Dynamics, Nagoya. 1989. - P. 1210 - 1215.

235. Willis G.E., Deardorff J.W., Somerville R.C.J. Roll-diameter dependence in Rayleigh convection and its effect upon the heat flux // J. Fluid Mech. 1972. -Vol. 54.-P. 351-357.

236. Zakharov V.E., L'vov V.S., Falkovich G. Kolmogorov Spectra of Turbulence I Wave Turbulence. Springer Verlag.

237. Zienicke E., SeehaferN., FeudelF. Bifurcations in two-dimensional Rayleigh-Benard flow // Phys. Rev. E 1998. - Vol. 57. P.428 - 435.