Применение метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Журавлева, Ирина Викторовна

  • Журавлева, Ирина Викторовна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2009, Воронеж
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 121
Журавлева, Ирина Викторовна. Применение метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей: дис. кандидат физико-математических наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Воронеж. 2009. 121 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Журавлева, Ирина Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ ПРИЕМЛЕМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

1.1. Понятие приемлемости. Постановка основных задач

1.2. Приемлемость решений вырожденных уравнений движения механических систем

1.3. Преобразование переменных

1.4. Свойства решений вырожденной системы уравнений

1.5. Исследование приемлемости решения вырожденной системы методом функций Ляпунова

1.6. Сохранение приемлемости при возмущениях

1.7. Пример исследования приемлемости

ГЛАВА 2. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТНОГО ВИДА.

ПРИЕМЛЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Понижение порядка уравнений движения диссипативной системы

2.2. Понижение порядка уравнений диссипативной системы при наличии гироскопических сил

2.3. Понижение порядка уравнений движения гироскопической системы

2.4. Понижение порядка дифференциальных уравнений движения механических систем с малым параметром при старших производных

2.5. Пример оценки значений параметра приемлемости

ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

3.1. Четаевская А - X оценка погрешности линеаризованных дифференциалных уравнений системы автоматического регулирования

3.2. Приемлемость приближенного решения нелинейной диссипативной системы при постоянно действующих возмущениях

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРА ПРИЕМЛЕМОСТИ И ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МОДЕЛЕЙ

4.1. Алгоритм нахождения значений параметра приемлемости

4.2. Эллипсоидальная оценка области отрицательных значений производной функции Ляпунова v

4.3. Использование экстремальных функций Ляпунова при вычислении значений параметра приемлемости

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей»

Актуальность темы исследования. В настоящее время наблюдается высокий уровень развития средств современной вычислительной техники и численных методов анализа, вместе с тем особенного внимания требует проблема построения и оценки адекватности приближенных математических моделей сложных систем. Особенно важны такие оценки погрешности приближенной модели, которые справедливы для целых классов зависимостей, а не только для конкретных функций или значений параметров. Для динамических систем важное значение имеют и размеры временной области, в которой сопоставляются результаты, полученные по приближенной и точной моделям.

Упрощенные модели часто являются единственным средством качественного анализа процессов, используемым на этапе предварительных расчетов при проектировании сложных систем. Понижение порядка дифференциальных уравнений модели способно существенно снизить затраты машинного времени, что особенно важно для моделей очень большой размерности.

Одним из методов получения оценок приближенных решений является метод, основанный на использовании функций Ляпунова. Изначально метод функций Ляпунова предназначался для исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Н.Г.Четаев первым (1957г.), предложил использовать этот метод для оценки погрешности приближенных решений дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие эта идея Н.Г.Четаева получила в работах В.Н.Скимеля. Ему принадлежит строгая математическая формулировка понятия приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений по существенным параметрам. Используя квадратичные функции Ляпунова, В.Н.Скимель получил критерии проверки приемлемости приближенных решений линейных динамических систем. Впервые понятие и термин «приемлемость» применительно к приближенным решениям дифференциальных уравнений динамики гироскопических систем использовал Д.Р.Меркин (1956г.).

Реализация оценок, получаемых методом функций Ляпунова, затрудняется необходимостью решения нелинейных неравенств и матричных уравнений высокого порядка. Эти трудности могут быть преодолены с помощью возможностей' современной вычислительной математики и компьютерной техники. При этом появляется возможность оптимизировать качество этих оценок и сделать их более доступными для специалистов прикладных областей.

Таким образом, актуальными являются создание строго обоснованных критериев возможности использования упрощенных дифференциальных моделей механических систем; дальнейшее развитие метода функций Ляпунова как средства оценки точности приближенных решений дифференциальных уравнений; создание доступных алгоритмов и программ для численной реализации оценок погрешности приближенных моделей на основе метода функций Ляпунова.

Связь диссертационной работы с планами НИР, НИОКР и проектами по грантам. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 05-07-90313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы», а так же в учебном процессе МарГТУ.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является получение аналитических и численных оценок погрешностей приближенных дифференциальных моделей механических систем, содержащих существенные параметры.

В соответствии с указанной целью в работе поставлены следующие основные задачи:

1. Анализ методов исследования упрощенных моделей как средства качественного анализа процесса функционирования системы.

2. Моделирование направлений развития метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей

3. Разработка алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений

4. Реализация алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений в виде программ

Методы исследования. Работа выполнена с применением методов функций Ляпунова, аппарата матричной алгебры, теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры и теории оптимизации, метода эллипсоидальных оценок областей изменения фазовых переменных динамических систем. При выполнении численных исследований использован пакет программ общематематического назначения Mathcad.

Научная новизна. К результатам работы, отличающимся научной новизной относятся: расширение понятия «приемлемость», отличающееся охватом неавтономных систем дифференциальных уравнений с существенным параметром при матричных коэффициентах и обеспечивающее построение унифицированного подхода к оценке близости точного и приближенного решений. доказательства «приемлемости» приближенных дифференциальных моделей некоторых механических систем, позволяющие построить оценки погрешности этих приближенных решений, отличающиеся использованием ограничений, накладываемых на неравенства, содержащие собственные значения матриц порождаемых квадратичной функцией Ляпунова метод улучшения оценок погрешностей, основанный на эллипсоидальной аппроксимации областей изменения фазовых переменных и использовании экстремальных квадратичных функций Ляпунова, необходимый для улучшения качества оценок погрешностей. алгоритмы построения численных оценок параметра «приемлемости», отличающиеся оперативной оценкой качества приближения при численной минимизации погрешности, реализованные в виде программы для ЭВМ.

Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании методики оценки погрешности приближенных решений, получаемых в результате замены исходных дифференциальных уравнений вырожденными. Данная методика позволяет повысить качество оценок погрешностей приближенных решений дифференциальных уравнений получаемых на основе метода функций Ляпунова. В рамках диссертационного исследования разработаны компьютерные алгоритмы и программы для получения количественных данных о погрешностях приближенных решений

Реализация и внедрение результатов работы. Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы реализованы в виде компьютерных программ, позволяющих получить оценки погрешности приближенной модели или выбрать значение существенного параметра, обеспечивающего заданную точность приближенной модели. Результаты диссертационной работы используются в учебном процесссе механико-машиностроительного факультета МарГТУ. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 05-07-90313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы». Имеется соответствующий акт о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV Международной научной конференции "Циклы природы и общества" (г.Ставрополь, СГУ, 15.10.98 г.), на научной конференции аспирантов КазГТУ (г.Казань, 9.02.99 г.), на научной конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов МарГТУ (г. Йошкар-Ола, 1998г.), на третьих Вавиловских чтениях (г.Йошкар-Ола, 1999г.), на 4-х

Ахметгалеевских чтениях (Казань, КазГТУ, 2000 г.), на научной конференции преподавателей и аспирантов Московского университета Дружбы народов (Москва, 25.05.1999 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения (Саранск, СарГУ, 2000г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах, в том числе 4 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат следующие результаты: в [1] — доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для нелинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, построение оценки нормы решения вырожденной системы и ее производных по времени, в [3] - доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для системы с малым параметром при старшей производной, исследование зависимости решения вырожденной системы от существенного параметра, в [8] — аналитическое исследование приемлемости системы второго порядка.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 72 наименования. Основная часть работы изложена на 121 странице, содержит 9 рисунков.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Журавлева, Ирина Викторовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе рассматриваются системы дифференциальных уравнений, описывающих широкий класс механических систем, коффициенты которых содержат существенные параметры. Для таких систем уравнений при некоторых значениях параметров может ставиться вопрос об их замене более простыми - вырожденными дифференциальными уравнениями. При этом решение вырожденной системы оказывается достаточно близким (приемлемым по выбранным параметрам) к решению исходной системы.

Основными результатами диссертационной работы являются новые методы исследования и оценки близости решений точных и вырожденных систем уравнений. Эти результаты заключаются в следующем:

1. Доказаны теоремы о приемлемости приближенных решений линейных неавтономным относительно параметров при матрицах инерции, дисси-пативных и гироскопических сил.

2. Доказаны теоремы о сохранении приемлемости для линейных неавтономных систем при линейных невырожденных преобразованиях переменных и при наличии малых нелинейных постоянно действующих возмущений.

3. Доказана теорема о приемлемости решений вырожденных уравнений для системы, содержащей нелинейность в коэффициентах при первой производной.

4. Получена оценка погрешности при линеаризации дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования с непрямым регулированием.

5. Разработан новый метод эллипсоидальной оценки области изменения отклонений решения вырожденной системы от точного решения.

6. Предложена процедура оптимизации оценки параметра приемлемости за счет выбора в классе квадратичных форм экстремальной функции Ляпунова.

7. Разработаны алгоритмы вычисления оценок погрешностей приближенных решений рассмотренных в работе типов дифференциальных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Журавлева, Ирина Викторовна, 2009 год

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.:Изд-во АН СССР, 1963. - 140 с.

2. Анапольский Л.Ю.Четаевские оценки приближенных решений регулируемых систем//Автоматикаи телемеханика, 1970,С.5-12.

3. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова//Итоги науки и техники, сер. Общая механика. — М.:ВИНИТИ, 1975. Т.2. - С.53-112.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э., Теория колебаний.-М.:Физматгиз, 1959.-915 с.

5. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости.- М.: Наука, 1967. -223 с.

6. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. -240 с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука,1969. —368 с.

8. Булгаков Б.В. Колебания.- М.: Гостехиздат, 1954, 568 с

9. Вахонина Г.С., Земляков А.С., Матросов В.М. О способах построения квадратичной вектор-функции Ляпунова для нелинейных систем//АиТ, 1973. №2. - С.5-17.

10. Ю.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.- М., Наука, 1984.318 с.

11. Н.Воронов А.А.Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.- М.: Наука, 1979.-335 с.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во БГУ, 1975.-280 с.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.- 552 с.

14. Горбунов А.Д. Об одном методе получения оценок решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Вестн.Моск. ун-та, сер. физ.-мат. и естест.н.,1950. №10. - С.19-26.

15. Горбунов А.Д. Об оценках координат решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений//Вестн.Моск. ун-та, сер. физ.-мат. и естест.н.,1954. №5. - С.27-31.

16. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.-М.:Наука, 1967.-472 с.

17. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.:Наука, 1970.-644 с.

18. Журавлева И.В., Скимель В.Н. К некоторым задачам приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений.-Вестник,1998,№3.

19. Журавлева И.В., Скимель В.Н. Приближенные решения линейной системы с малым параметром при старшей производной.//Вестник КГТУ им.А.Н.Туполева.2000.№ I.e. 16-20.

20. Земляков А.С. Способ построения квадратичной вектор-функции Ляпунова для линейных систем//Тр. КАИ, 1975. Вып. 180. — С. 14-21.

21. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.:Высшая школа, 1973. -272 с.

22. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М.:Физматгиз, 1962. - 244 с.

23. Каханнер Д.,Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.- М.: Мир, 1998.- 575с.

24. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.:Физматгиз, 1959.-212 с.

25. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.:Наука, 1973.-208 с.

26. Кузьмин П.А. Устойчивость при параметрических возмущениях//ПММ, 1957. -Т.21.Вып.1. С.129-132.

27. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа.-М.:Физматгиз, 1961.-524 с.

28. Ла-Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. - 168 с.

29. Летов А.М Устойчивость нелинейных регулируемых систем. -М.:Физматгиз, 1962. 483 с.

30. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967. - 184 с.31 .Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. -М.-Л.:ГИТТЛ, 1951. -216 с.

31. Лурье А.И. Аналитическая механика. -М.:Физматгиз, 1961.-е.

32. Лурье А.И., Постников В.Н., К теории устойчивости регулируемых сис-тем//ПММ, 1944. Т.8. Вып.З. - С.246-248.

33. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.:Гостехиз-дат, 1950. 386 с.

34. Малкин И.Г. Об устойчивости при постояно действующих возмущени-ях/ЯТММ, 1944. Т.8. Вып.З. - С.241-245.

35. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.:Гостехиздат, 1952. - 432 с. 2-е изд. - М.:Наука,1966.

36. Матросов В.М.К теории устойчивости движения//ПММ, 1962. Т.26. Вып.6. - С.992-1002.

37. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчиво-сти//Тр.2-го съезда по теоретич. и прикл. механике. Обзорные доклады. Вып. 1. М.:Наука, 1965, С.112-125.

38. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей А.М.Ляпунова за 100 лет: 1892-1992. Известия ВУЗов. Математика, 1993. №4. С.3-47.

39. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.:Наука, 1971.-312 е.; 3-е изд. М.:Наука, 1987. -304 с.

40. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.:Наука, 1974. -344 с.

41. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. М.: Наука, 1971.-632 с.43.0зиранер А.С., Румянцев В.В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.:Наука, 1987. -256 с.

42. Пустовойтов Н.А. Исследование матричных уравнений второго метода Ляпунова//Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений. Киев: ИМ АН УССР, 1973. - С.95-103.

43. Рудаков В.П. Оценка решений и устойчивость на конечном интервале псевдолинейных систем. //Дифференциальные уравнения, 1969. — Т.5.№8. -С.1385-1389.

44. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части пере-менных//Вестн. МГУ. Мат. и мех., 1957. - №4. - С.9-16.

45. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения/Механика в СССР за 50лет. М.:Наука, 1968 - С.7-66.

46. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.:Мир, 1980. - 300 с.

47. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. Киев:Наук. Думка, 1989. - 208 с.

48. Сарыбеков Р.А. Об экстремальной квадратичной функции Ляпунова систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами,- Сиб. мат. журн., 1977, №5, с. 1159-1167.

49. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Казань:Изд-во казанского авиационного института, 1971. - с.

50. Скимель В.Н. О свойстве жесткости движений и приемлемости приближенных решений//Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления. -М.:Наука, 1975. С. 284-289.

51. Скимель В.Н. О свойстве жесткости движения //ПММ. 1978. Т.42, вып.З. С. 407-414.

52. Скимель В.Н. Применение метода функций Ляпунова к некоторым задачам приемлемости приближенныхрешений дифференциальных уравнений //ПММ. 1992. Т.56, вып.6. С. 918-925.

53. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра.-Матем.сборник, 1948, Т.22. С.193-204.

54. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений , содержащие малые параметры при производных.-Матем.сборник, 1952,Т.31(73),№3.

55. Чезари JL Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Мир, 1964. - 477 с.

56. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.гНаука, 1988. - 300 с.

57. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей//ПММ, 1996. — Т.60, вып.6. С.940-950.бО.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - с.

58. Четаев Н.Г. О выборе параметра устойчивой механической систе-мы/ТПММ, 1951. Т.15, №3. С.371-372

59. Четаев Н.Г. К вопросу об оценках приближенных интегрирований//ПММ, 1957. -Т.21, №3. С.419-421.бЗ.Четаев Н.Г. Устойчивость движения.Работы по аналитической механике. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. 534 с.

60. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости//Методы исле-дования нелинейных систем автоматического управления/Под ред. Р.А. Нелепина. М.: Наука, 1975. С.74-175.

61. Постановка задач приемлемости упрощенных математических моделей. Методы исследования. Приложение к механическим, регулируемым и электромеханическим системам. Отчет о госбюджетной НИР / КГТУ, рук-ль темы Скимель В.Н., № ГР 01940004180, Казань, 1995.

62. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. М.: Наука, 1987. 312 с. под ред. А.А.Воронова, В.М. Матросова.

63. Bailey F.N.The application of Lyapunov's second method to interconnected systems//Journ. Soc. Industr. and Appl. Math.Ser.A,Control, 1965. V.3, N3. -P.443-462.

64. Bailey F.N. Vector Lyapunov functions for a class of interconnected sys-tems//Proc.electron.conf., 1965. V.21. -P.593-598.

65. Grujic L.T. On practical stability//Int. J. Control, 1973. V.17,N4. - P.881-887.

66. Hahn W. Theorie und Anwendung der direction Methode von Ljapunov. Ber-lin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1959.

67. Muller W.Fehlerabschatzung fur Nahezungslasungen nichtlinearere Differen-tialg leichungen mit Hilfe der directen Mehtade von Ljapunov/ZDeutsche Akademie der Wissenschaften fur Angewandte Math. Und Mechanik, №1, 1965.

68. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method//Tokyo:Math. Sol. Japan, 1966.-223 p.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.