Разработка алгоритмов метода сопряжений и их реализация для расчета переноса излучения в сложных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Грабежной, Владимир Алексеевич

• Грабежной, Владимир Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грабежной, Владимир Алексеевич

Введение

Глава 1. Методы сопряжения и их применение к расчёту защиты от излучения. Реализация методов сопряжения

1.1. Теоретические аспекты методов сопряжения

1.2. Построение граничных условий на боковой поверхности цилиндра с параллельными осями координат систем источника и детектора

1.3. Построение граничных условий с поворотом осей координат на угол Ti/

1.4. Определение функционала активации из билинейной формы 30 Выводы к главе

Глава 2. Построение тестовых моделей. Тестирование алгоритмов и программ

2.1. Тестирование алгоритмов сопряжения на одномерных моделях

2.2. Тестирование алгоритмов сопряжения на двумерных моделях

2.3. Трёхмерная тестовая модель - циркуляционный насос в реакторе типа БН

2.4. Расчёт активации узлов циркуляционного насоса в трёхмерной тестовой модели 49 Выводы к главе

Глава 3. Реализация пространственно-канальной теории расчёта защиты от излучения

3.1. Основные положения ПК-теории

3.2. Применение метода дискретных ординат и программы TWODANT в реализации ПК- теории

3.3. Применение метода вероятностей первых столкновений в ПК-теории

З.З.Шрямая и сопряжённая задачи в интегральной формулировке

3.3.2. Расчёт потока и функции ценности методом ВПС

3.3.3. Расчёт токов вклада методом ВПС

3.4. Применение ПК-теории к расчёту защиты в экспериментальной сборке и в реакторах типа БН

Выводы к главе

Глава 4. Применение метода сопряжения к задачам переноса излучения в реакторах на быстрых нейтронах

4.1 .Расчёт активности натрия второго контура в реакторе,типа БН-600 и в реакторе типа БН-1600 по методу сопряжения

4.2. Расчётное моделирование пучка нейтронов в канале Б-3 реактора

4.3. Расчёт прохождения излучения в нейтроноводах реактора БН

4.4. Расчёт прохождения пучка нейтронов в шахте реактора БНв вертикальном направлении

4.5. Расчёт потока нейтронов в шахте реактора БНв горизонтальном направлении

Выводы к главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов метода сопряжений и их реализация для расчета переноса излучения в сложных системах»

В процессе своего развития атомная энергетика вплотную подошла к проблеме снятия с эксплуатации отработавших свой срок ядерных энергетических установок (ЯЭУ). В этой проблеме важное место занимает расчётная оценка активации узлов, конструкций или материалов в расположенных асимметрично по отношению к активной зоне теплообменниках, циркуляционных насосах и т. д.

Другая проблема, требующая решения, как для действующих, так и для проектируемых ЯЭУ,- корректное определение активации теплоносителя второго контура. Одно из требований, предъявляемых к защите реакторов на быстрых нейтронах с натриевым теплоносителем, состоит в том, чтобы она обеспечивала нормативное значение активации натрия второго контура. Соответствующая вычислительная задача связана с расчётом прохождения излучения к теплообменнику в сложной протяжённой защите с гетерогенной структурой и в конструкционных материалах с ослаблением до 16 порядков. В задачах по определению активации обычно требуется применение высокоточных вычислительных методов. Наличие разнообразных трёхмерных включений делает эти задачи трудноразрешимыми.

Кроме расчётов активации остаётся актуальной проблема повышения точности расчётных исследований по прохождению излучения в нейтроноводах, зазорах и других полостях (также расположенных асимметрично). Эти задачи находят применение при определении радиационной обстановки в окрестности ЯЭУ, в расчётных оценках прохождения излучения к контрольным датчйкам, в расчёте прохождения пучков излучения для медицинских и исследовательских целей ит. д.

В задачах по определению активации узлов и материалов ЯЭУ и в расчётах по глубокому прохождению излучения в гетерогенных средах обычно решаются сходные методические и вычислительные проблемы. Обобщённо будем рассматривать ЯЭУ в форме системы, содержащей источник излучения и выделенное неоднородное включение (узел) - детектор излучения. Ставится задача по определению в таком узле функционалов от потока нейтронов, в частности, - функционала активации конструкций и материалов или величины потока нейтронов в удалённых местах, там, где производятся измерения.

ЯЭУ представляют собой системы сложной конфигурации, учёт всех деталей которых в расчёте защиты от излучения практически невозможен. Обычно ситуация осложняется ещё и необходимостью использования высокоточных расчётных методов. Наличие разнообразных трёхмерных включений, расположенных асимметрично в реакторе и находящихся на значительном удалении от центра активной зоны, делает задачу ещё более трудноразрешимой, даже если не требуется расчёт дифференциального распределения частиц, а только расчёт интегральных функционалов в некоторой подобласти рассматриваемой системы.

Одна из трудных проблем в расчёте защиты от излучения - проблема описания прохождения излучения в среде с неоднородностями. Наряду с разработкой прецизионных методов решения, соответствующих существующей вычислительной технике, здесь требуется предварительно систематизация и классификация неоднород-ностей, а также выделение общих закономерностей, которым они подчиняются. Отметим некоторые общие особенности неоднородных областей защиты, учёт которых составляет основу для разработки эффективных вычислительных алгоритмов.

- Состав материалов, заполняющих неоднородности, по определению отличается от состава материалов окружающей их среды.

- Неоднородные включения часто обладают собственной симметрией, отличной от симметрии источника и окружающей его защиты.

- Во многих случаях неоднородная область находится на значительном удалении от источника.

- Имеется широкий класс задач, в которых неоднородность локализована и требуется вычислить интегральный функционал по какой-либо её подобласти.

- Существует большой класс задач, для которых характерна разномасштабность составляющих элементов, и, следовательно, необходимо описание мелких деталей неоднородных систем (полостей, зазоров тонких стенок, щелей и т. п.) наряду с гораздо более объёмными областями, что приводит к проблемам с применением любого расчётного метода.

Трудности одновременного учёта перечисленных особенностей неоднородных систем носят принципиальный характер и, несмотря на затраченные усилия, задача прямого полномасштабного расчёта защиты с неоднородностями ещё далека от завершения.

Детерминистические методы решения уравнения переноса в высоких приближениях развиты, в основном, для достаточно простых геометрий. Трёхмерные программы, реализующие высокие приближения уравнения переноса, имеют ограниченное применение в решении упомянутых выше задач. Двумерные программные комплексы, реализующие высокие приближения, уже широко внедрены в практику серийных расчётов, однако их использование в расчётах сложных трёхмерных систем весьма затруднительно.

На первый взгляд может показаться, что для решения геометрически сложных задач наиболее подходящим является метод Монте-Карло. Однако при его применении для решения такого рода задач возникают труднопреодолимые препятствия. Перечислим основные причины, осложняющие применение метода Монте-Карло:

1. Удалённость детектора от источника.

2. Разномаспггабность неоднородностей детектора и источника.

3. Необходимость расчёта функционала по небольшим подобластям (локальный детектор).

Эффективным подходом к решению сложных задач является применение методов сопряжения.

Уже давно было замечено, что многие сложные системы ЯЭУ на самом деле представляют собой соединение достаточно простых подсистем, расчёт которых существенно проще исходной сложной. Суть методов сопряжения состоит в разбиении исходной сложной системы на несколько вспомогательных подсистем, в том или ином смысле более простых. После такого разбиения в каждой из этих подсистем требуется решить уравнение переноса с использованием метода, соответствующего требуемой точности расчёта. Полученные решения вспомогательных задач затем должны сшиваться на заранее выделенных поверхностях с помощью специально подготовленных граничных условий с целью аппроксимации усечённого решения исходной задачи. Класс задач переноса излучения, к которым применяется метод сопряжения, достаточно широк. К нему можно отнести многие задачи расчёта полей излучения за протяжёнными защитами, расчёт активации теплоносителя в теплообменниках первого и второго контуров, определение скорости счёта в датчиках системы контроля мощности, вычисления мощности доз фотонного и нейтронного излучения, наработки радионуклидов и многие другие.

В расчётах защиты комбинирование численных методов и приближений с применением специальных граничных условий в исследовании глубокого проникновения излучения в сложных гетерогенных структурах применялось давно. Так, в книге [38] описан пример комбинирования двумерных расчётов метода дискретных ординат: SgPi и S166Р1 -приближений для численных исследований прострелов в полостях и зазорах экранов по программе DOT-III (1972 г.).

В работе Кейза [1] показано, что фазовая плотность нейтронов в заданном объёме V, ограниченном поверхностью S, единственным образом определяется начальным значением фазовой плотности, источниками внутри объёма и распределением излучения, падающего на S извне. Теорема единственности позволяет при определённых условиях получить решение уравнения переноса в некоторой подобласти VD области V, с применением процедуры сшивания с помощью граничных условий решений в подобластях Уи VD, и служит для обоснования методов сопряжения.

В работе [3] описаны и обоснованы теоретические основы методов сопряжения. Авторы работы [3] показали, что существует довольно широкий класс граничных условий или поверхностных источников, приводящих к правильному решению в некоторой внутренней подобласти VR с VD . Замечателен тот факт, что для конструирования этих поверхностных источников нет необходимости решать сложную исходную задачу, а можно обойтись расчётом для упрощённой (возмущённой) системы.

Решение задачи по методу сопряжения сводится к построению расчётной цепочки, в отдельных звеньях которой решаются вспомогательные задачи, а связь между ними осуществляется посредством обмена информацией на выбранных для вспомогательных задач границах. Перевязка граничных потоков осуществляется специальными программными модулями. Выделенные подобласти рассматриваются по отдельности в присущей им геометрии с необходимой степенью аппроксимации уравнения переноса, с подготовленными заранее граничными условиями или поверхностными источниками, с возможностью концентрации на них ресурсов рассматриваемых программ. Организация такой цепочки требует подготовительной работы: получения самих вспомогательных задач, выбора в каждой из них поверхности сопряжения, определения в каждой из них порядка и методов решения вспомогательных задач, способов их сопряжения. В некоторых ситуациях более привлекательным может представиться другой подход, тоже допускающий независимое рассмотрение интересующих областей расчётной композиции: интегрирование на поверхности сопряжения тока от произведения поверхностного источника и функции ценности (тока от билинейного распределения или тока «контрибутонов»). Можно предположить, что такой расчёт с билинейной формой позволит более точно определять функционалы от излучения для сравнительно мелких узлов и деталей детектора излучения. К методам решения вспомогательных задач следует применить обычные требования -они должны соответствовать уровню реальной сложности полученных вспомогательных подсистем. Предполагается, что реализация этого принципа в отношении исходной задачи невозможна из-за отсутствия расчётных средств или нецелесообразности их использования вследствие неприемлемых затрат расчётного времени на её решение.

В работе [3] исследован комплекс теоретических и алгоритмических проблем, связанных с реализацией методов сопряжений, показаны примеры решения модельных задач для расчётов с применением сеточных методов и метода Монте-Карло. Ранее эти вопросы рассматривались в работах [36], [37], [32]. Вместе с тем, собственно задача программно-методической реализации метода сопряжения оставалась не полностью решённой. Значительная часть этой задачи заключается в построении на поверхностях сопряжения граничных условий, преобразованных так, чтобы получать с достаточной точностью требуемые функционалы от решения в исходной (трёхмерной) геометрии, сшивая решения меньшей размерности. Обычно нужен анализ возникающих в процессе решения погрешностей. С точки зрения практики важно построить сопряжение решений, полученных при использовании программ, основанных на методе дискретных ординат или в Sn-приближении. Большие удобства пользователю предоставляет известная программа TWODANT

4]. Эта программа может обеспечить достаточную точность расчёта в широком классе задач и снабжена удобными интерфейсами, позволяющими использовать граничные условия в разнообразной форме. Кроме расчётов в рамках одного численного метода (Sn-приближения) иногда может оказаться целесообразным комбинированное применение в расчёте разных методов и программ. В частности, комбинирование решений Sn-приближения и метода вероятностей первых столкновений (ВПС).

Программно-методическую реализацию метода надо дополнять разносторонним тестированием на модельных задачах. Кроме тестирования целесообразно проверить эффективность метода на примерах решения реальных задач физики защиты, как типичных, так и отдельных нетипичных, достаточно высокого уровня сложности с исследованием полученных численных результатов.

С проблемами вычисления активации узлов и материалов и исследования прохождения излучения в ЯЭУ близко связана задача по определению каналов преимущественного прохождения от источника к детектору излучения, дающего вклад в показания детектора (т. н. контрибутонов). Эта задача является предметом исследования т. н. пространственно-канальной теории (ПК-теории) [5], [6], [7], [8], [11]. Методами ПК-теории, существенным образом связанной с понятием ценности, наглядно характеризуется проницаемость среды по различным путям переноса контрибутонов от источника к детектору. Эти расчёты могут служить естественным дополнением к расчётам линейного функционала потока, определяемого по методу сопряжений.

В соответствии с поставленными задачами можно сформулировать Цель работы:

1. Построение алгоритмов сопряжения, а также их реализация в программных комплексах. Организация сшивки решений во вспомогательных подсистемах на граничных поверхностях сопряжения с помощью специальных граничных условий.

2. Построение представительных тестовых моделей с последующим исследованием эффективности и точности методов сопряжения.

3. Применение построенных методов и программ к расчёту линейных функционалов потока для выделенных, асимметрично расположенных узлов, а также к исследованию прохождения излучения в сложных гетерогенных средах и полостях для действующих и проектируемых ЯЭУ. Сравнение численных и экспериментальных результатов.

4. Разработка специальных расчётных методик для моделирования сектора нейтроноводов реактора БН-600, и исследования нейтронного фона в шахте реактора.

5. Реализация пространственно-канальной теории для расчёта защиты от излучения в кинетическом приближении, с применением построенного для метода сопряжений алгоритмического и программного аппарата.

Научная новизна работы связана со следующими результатами:

Разработаны и реализованы в расчётных программах новые алгоритмы метода сопряжений, которые позволяют получать значения линейных функционалов потока для сложных (трёхмерных) подобластей путём комбинирования расчётов по более простым моделям. Проведён анализ точности полученных приближений. Разработаны подходы к расщеплению сложных задач на более простые составляющие.

Впервые построен комбинированный алгоритм сопряжения решений с использованием методов дискретных ординат и вероятностей первых столкновений для расчёта прохождения излучения в системах со сложной структурой.

На основе решения интегрального уравнения переноса методом вероятностей первых столкновений разработан новый подход к использованию пространственно-канальной теории в расчёте и оптимизации защиты от излучения.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

Построенные алгоритмы и программы позволяют:

- проводить практические расчёты активации удалённых, асимметрично расположенных узлов и деталей ЯЭУ;

- проводить расчёты прохождения излучения в асимметрично расположенных полостях сложной конфигурации;

- определять каналы преимущественного распространения излучения в защите.

Такие расчёты нашли применение при проектировании и оптимизации защиты от излучения; для оценки величины излучения, проходящего по тем или иным путям к детекторам в действующих и проектируемых ЯЭУ (БН-600, БН-1600 и др.); для оценки величины активации материалов; для определения радиационной обстановки в окрестности ЯЭУ (БН-600); в расчёте пучков излучения для медицинских и исследовательских целей и т. д.

Проведена верификация разработанных алгоритмов и программ путём сравнения их с экспериментом и эталонными расчётами по методу Монте-Карло.

На основе подхода сопряжения решений построена специальная методика для расчёта прохождения излучения в секторе «нейтроноводы - шахта реактора» и определения радиационной обстановки в шахте реактора БН-600.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

Материалы по работе опубликованы в трудах международных конференций:

V. V. Korobeinikov, V. A. Grabezhnoj е. a. Application of the Combined Method for Neutron Transport Calculations in Three Dimensional Systems. Report. Joint International Conference on Mathematical Method and Supercomputing for Nuclear Applications. Proceedings, p. 713. Saratoga 1997.

L. P. Bass, V. A Grabezhnoj e. a. Using of the Combined Method for Calculation of Secondary Coolant Activation IHX and Circular Pump Components Activation of LMFBR. International Conference on Physic of Nuclear Science and Technology. Report, Proceedings, New York 1998.

V. V. Korobeinikov, Grabezhnoj V. A. Popov E. P. Bass L. P. Khmylev A. N. Use of a Combined Method for Calculations of Second Coolant Activation in IHX and Circular Pump Components Activation of LMFBR. Proceeding of "MAC-99" international conference, p. 1775, Madrid 1999.

В сборниках Всероссийской защитной конференции по защите от ионизирующих излучений:

В. И. У санов, В. В. Коробейников, В. А. Грабежной. Расчёты прохождения нейтронов в трёхмерной защите реактора БН-350 с целью определения величины активации трубопровода и окружающих его конструкций. Сб. докладов, VI российской научной конференции по защите от ионизирующих излучений ядерно-технических установок. Т. 2, с. 163. Обнинск, 1994 г.

В. А. Грабежной и др. Применение метода сопряжений к расчёту сложных трёхмерных систем и анализ возникающих погрешностей. Доклад. Сб. VII Российская научная конференция: Защита от ионизирующих излучений ядерно-технических установок, стр. 23. Обнинск 1998.

Л. П. Басс, А. М. Волощенко, В. А. Грабежной и др. Расчёт активности натрия второго контура в реакторе типа БН-600 по методу сопряжения. Доклад. Сб. VII Российская научная конференция: Защита от ионизирующих излучений ядерно-технических установок, стр. 93. Обнинск 1998.

В сборниках «Нейтроника», «Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчётов ядерных реакторов»:

В. А. Грабежной, Г. Я. Румянцев Применение метода вероятностей первых столкновений в канальной теории защиты от излучения. Доклад. Сб. «Нейтроника-96», стр. 184. Обнинск 1998.

В. А. Грабежной Расчётное моделирование переноса нейтронов в канале Б-3 реактора БР-10 с применением метода сопряжения. Доклад. Сб. «Нейтроника-99», стр. 255. Обнинск 2000. В препринтах, статьях, отчётах:

JI. П. Басс, В. А. Грабежной и др. Тестовая модель для применения метода сопряжения к решению задач о переносе излучения в трёхмерных системах Препринт ИПМ,№45,М 1998.

Л. П. Басс, В. А. Грабежной, В. В. Коробейников, В. И. Усанов, А. Н. Хмылёв. Метод сопряжения для решения трёхмерных задач о переносе излучения. Статья. Математическое моделирование. Том 11, №7, год 1999.

В. А. Грабежной, Г. Я. Румянцев. Применение метода вероятностей первых столкновений в канальной теории расчёта защиты от излучения Препринт ФЭИ-2705. Обнинск 1998.

В. А. Грабежной и др. Разработка расчётной методики по определению нейтронного фона в полости шахты реактора БН-600. Расчётное моделирование экспериментов по организации секторного контроля негерметичных ТВЭЛов. Отчёт ФЭИ инв. №10513. Обнинск 2000.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Методика и алгоритмы формирования граничных условий на поверхностях сопряжения с последующим определением линейных функционалов потока.

2. Методика и алгоритмы определения линейного функционала интегрированием тока билинейного распределения по поверхности сопряжения.

3. Реализация пространственно-канальной теории, основанная на решении прямого и сопряжённого интегральных уравнений переноса методом ВПС.

4. Расчётная методика по определению нейтронного поля в секторе «нейтроно-вод - шахта реактора» и нейтронного фона в шахте реактора, построенная на основе метода сопряжений.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Грабежной, Владимир Алексеевич

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

В работе показан переход от общего теоретического изложения метода сопряжений к его практической реализации. Написаны расчётные формулы для граничных условий метода сопряжений. Эти формулы служат основой для построения соответствующих алгоритмов и программ. Граничные условия адаптированы к соответствующим интерфейсам известной программы TWODANT, обеспечивающей решение уравнения переноса.

Решение уравнения переноса в системе детектора с граничными условиями сопряжения даёт возможность получить значение вычисляемого линейного функционала от потока в объёме детектора с высокой точностью. Реализован также второй подход метода сопряжений: определение искомого линейного функционала потока интегрированием через поверхность сопряжения тока от билинейного распределения.

Результаты тестирования построенной реализации метода сопряжений позволяют сделать вывод о том, что при сшивке решений вспомогательных задач на границе сопряжения аппроксимации угловой зависимости в изотропном приближении для достижения приемлемой точности может не хватить. Показано, что если граница сопряжения расположена в рассеивающей нейтроны среде со слабым поглощением, то вблизи зоны возмущения расчёт с сопряжением по току от билинейной формы может оказаться эффективней по точности, чем расчёт с сопряжением по потоку.

Тестирование на двумерных моделях подтвердило правильность алгоритмов и программ данной реализации метода сопряжений. Кроме того, было показано, что для расчётов в тонком слое вблизи свободной границы требования к точности подготовки граничных условий сопряжения возрастают.

Проведено тестирование предлагаемого подхода с помощью трёхмерного расчёта методом Монте-Карло. Показано хорошее согласие результатов с методом сопряжений (расхождения в пределах статистической ошибки или близко к этим пределам). При этом для расчёта функционала активации оказалось достаточным изотропного приближения в граничных условиях сопряжения, в то время как для расчёта функционала от потока быстрых нейтронов для достижения приемлемой точности требуется корректный учёт угловой зависимости.

Получены численные результаты для экспериментальной сборки, реакторов БН-600 и БН-1600 и для исследовательского канала в реакторе БР-10.

Определена активация натрия второго контура в теплообменнике реактора БН-600, и эта величина близка к экспериментальному значению. Расчёт величины активности натрия второго контура для проектируемого реактора БН-1600 методом сопряжения приводит к ее уменьшению в 1,6 раза по сравнению со стандартным двумерным расчётом в (г-2)-геометрии.

Расчётное исследование прохождения нейтронов в тонком протяжённом пустом канале (в исследовательском медицинском канале Б-3 реактора БР-10) требует привлечения прецизионных методов, алгоритмов, специально приспособленных к этой задаче. В данной работе описывается применение метода ВПС, программы PROZA с граничным источником сопряжения, построенным на базе решения S8-приближения, программы TWODANT. Приведённые численные результаты показывают, что комбинирование метода ВПС с методом дискретных ординат в подобных задачах даёт хорошие результаты.

Разработана методика расчёта защиты реактора в секторе нейтроноводов на основе метода сопряжения с решением уравнения переноса в кинетическом приближении. Полученные численные результаты находятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными.

Разработан метод расчёта по пространственно-канальной теории токов вклада на основе решения интегрального уравнения переноса, прямого и сопряжённого ,с использованием метода ВПС. Построен соответствующий алгоритм, который реализован в программе PROZA. Построен и реализован алгоритм расчёта по ПК-теории на базе нейтронных полей и ценностей, получаемых по программе TWODANT в Sn-приближении. Получены численные результаты по расчётам защиты реакторов БН-600 и БН-1600 и экспериментальной сборки, которые позволяют делать определённые выводы по эффективности рассматриваемых вариантов компоновки защиты и по определению каналов прохождения излучения в ЯЭУ.

112

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук профессору Коробейникову Валерию Васильевичу за руководство и постоянное участие при выполнении этой работы.

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук Румянцеву Геннадию Яковлевичу за помощь в построении метода решения задачи расчёта по пространственно-канальной теории на основе интегрального уравнения переноса и метода ВПС.

Автор выражает благодарность Попову Эдуарду Петровичу за обсуждение многих вопросов и помощь в разработке расчётных моделей реальных ЯЭУ.

Автор выражает благодарность Сергееву Виктору Александровичу, предоставившему возможность знакомства с полученными им уникальными экспериментальными материалами.

Автор выражает благодарность Савицкому Владимиру Ивановичу и кандидату технических наук Цикунову Александру Георгиевичу за постановку задачи и плодотворное участие в разработке расчётной методики по исследованию прохождения излучения в секторе нейтроноводов и в шахте реактора.

Автор выражает благодарность кандидату физико-математических наук Усано-ву Владимиру Ивановичу за помощь на начальном этапе работы при постановке проблемы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грабежной, Владимир Алексеевич, 2001 год

1. К. Кейз, П. Цвайфель. Линейная теория переноса. Мир, М., 1972.

2. Д. Белл, С. Глесстон Теория ядерных реакторов. М. Атомиздат, 1975 .

3. В. В. Коробейников, В. И. У санов. Методы сопряжения в задачах переноса излучения. Энергоатомиздат, 1994.

4. R. Е. Alkouffe, F. W. Brinkley, D. R. Marr, R. D. O'Dell. Guid for TWODANT: a Code Package for Two Dimensional, Diffusion-Accelerated, Neutral-Particle, Transport, LA-10049-M Los Alamos National Laboratory.

5. Г. И. Марчук, В. В. Орлов. К теории сопряжённых функций. Нейтронная физика. М.; 1961.

6. М. L. Williams and W. W Engle The Concept of Spatial Channel Theory Applied to Reactor Shielding Analysis. Nuclear Science and Engineering, 1977, v. 62,pp 92-104.

7. Г. H. Хохлов Поле контрибутонов и его использование в задачах физики защиты. Свойства и формы представления поля контрибутонов. Препринт ФЭИ-1806. Обнинск, ФЭИ, 1986.

8. М. L. Williams Generalized Contributon Response Theory. Nuclear Science and Engineering. 1991, N 108.

9. В. А. Грабежной, В. И. Усанов. Применение метода ВПС к расчёту защиты от нейтронного излучения. Программа PROZA. Препринт ФЭИ-2270,Обнинск, 1992.

10. Г. Н. Хохлов Свойства поля контрибутонов. Там же.

11. JI. П. Басс, А. М. Волощенко, Т. А. Гермогенова. Методы дискретных ор динат в задачах о переносе излучения. Монография ИПМ им. М. В. Келдыша, РАН Москва, 1986 г.

12. L. P. Bass, S. V. Deiev at all. RADUGA-4.0 Two-dimensional Transport Code. Proc. of the Int. Top. Meeting "Advanses in Mathematics, Computations and Reactor Physiks". April 28 - May 2, 1991, Pittsburgh, PA, USA, Vol.5, Sec. 30.3.

13. Jl. В. Майоров. Программный комплекс MMKFK для расчёта реакторов методом Монте-Карло, разработанный А. Д. Франк-Каменецким. //Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. 1981. Вып. 8(21). С. 7-20.

14. Л. П. Абагян, Н. О. Базазянц, М. Н. Николаев, А. М. Цибуля. Групповые константы для расчёта реакторов и защиты. Справочник. Энергоатомиздат, М., 1981.

15. В. А. Грабежной, Г. Я. Румянцев. Применение метода вероятностей первых столкновений в канальной теории расчёта защиты от излучения Препринт ФЭИ-2705. Обнинск 1998.

16. Колеватов Ю. И. и др. Экспериментальные исследования прохождения нейтронов через цилиндрический макет железнонатриевой защиты.

17. Препринт ФЭИ-1233, Обнинск 1982.

18. Колеватов Ю. И. и др. Спектр нейтронов, выходящих из канала реактора БР-10. Препринт ФЭИ-1825, Обнинск, 1987.19. Отчёт ФЭИ №7553, 1989 г.

19. Басс Л. П., Николаева О. В. Улучшенная схема расчёта переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах. Мат. моделирование, 9, 63(1997)

20. Грабежной В. А. Расчётное моделирование переноса нейтронов в канале Б-3 реактора БР-10 с применением метода сопряжения. Доклад. Сб. «Нейтроника-99», стр. 255. Обнинск 2000.22. Отчёт ФЭИ №7237, 1986 г.23. Отчёт ФЭИ №7759, 1990 г.

21. Отчёт ФЭИ инв. №10513, 2000 г.

22. Л. П. Басс и др. Расчёт активности натрия второго контура в реакторе типа БН-600 по методу сопряжения. Доклад. Сб. VII Российская научная конферен -ция: Защита от ионизирующих излучений ядерно-технических установок, стр. 93. Обнинск 1998.

23. Л. П. Басс, В. А. Грабежной и др. Тестовая модель для применения метода сопряжения к решению задач о переносе излучения в трёхмерных системах Препринт ИПМ, №45, М 1998.

24. Л. П. Басс, В. А. Грабежной, В. В. Коробейников, В. И. Усанов, А. Н. Хмы-лёв. Метод сопряжения для решения трёхмерных задач о переносе излучения. Статья. Математическое моделирование. Том 11, №7, год 1999.

25. Миронович Ю. H., Панарина JI. M., Савицкий В. И., Усанов В. И. Апробация метода сопряжений на одной из практических задач защиты. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. 1986. Вып. 4. С. 41.

26. Савицкий В. И., Усанов. В. И. Способ расчёта функциоалов в защите по локализованным областям с собственной геометрией. Препринт ФЭИ-1011, Обнинск, 1980.

27. Усанов В. И., Савицкий В. И. Метод расчёта функциоалов полей излучения по неоднородным областям защиты. Атомная энергия. 1982, Т. 52, вып. 5.1. С. 344-345.

28. Болятко В. В., Кулаковский М. Я., Миронов В. Н. И др. Радиационная защита на атомных электростанциях. Атомиздат, М. 1978.

29. Suslov I. R. MCCG3D 3D Discrete Ordinates Transport Code for Unstructured Grid. State-of-Art and Future Developments. Доклад. Сб. «Нейтроника-1996», стр. 162. Обнинск 1998.

30. Грабежной В. А., Румянцев Г. Я. Применение метода вероятностей первых столкновений в канальной теории защиты от излучения. Доклад. Сб. «Нейтро-ника-96», стр. 184. Обнинск 1998.

31. Майоров Л. В. Программный комплекс MMKFK для расчётов реакторов методом Монте-Карло, разработанный А. Д. Франк-Каменецким. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. Вып. 8(21). 1981.